Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / ПРОЕКТНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПРИ ИЗУЧЕНИИ СИММЕТРИИ В 6 КЛАССЕ

ПРОЕКТНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПРИ ИЗУЧЕНИИ СИММЕТРИИ В 6 КЛАССЕ

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

"СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 10"





Проектно-исследовательская работа

Симметрия вокруг нас







Выполнил: ученик 6 Б класса

Гизатулин Максим

Руководитель:

Клестова Наталья Леонидовна






г. Ревда, 2016 г.


СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………..……...3-4

Глава 1. Понятия симметрии и асимметрии……………………….....4-8

    1. История возникновения симметрии…………………………..4-5

    2. Виды симметрии………………………………………………..6-8

Глава 2. Симметрия окружающего мира……………………………….9-14

    1. Симметрия в природе……………………………………………9-10

    2. Симметрия в неживой природе………………………………....11

2.2.1 Симметрия в физике и технике…………………………………11

    1. Симметрия в архитектуре……………………………………….11-12

    2. Симметрия в искусстве………………………………………….12-13

    3. Симметрия в русском языке…………………………………….13-14

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………15

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………16

ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………17




















ВВЕДЕНИЕ

Немецкий математик и физик-теоретик Герман Вейль сказал: «Симметрия является той идеей, посредством которой, человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

Тема моего проекта была выбрана после изучения темы «Пропорции».

Слово «пропорция» означает «соразмерность», «определенное соотношение частей между собой». Остановился я именно на этой теме не случайно, мне хотелось узнать принципы симметрии, её виды, разнообразие её в живой и неживой природе. Как говорил академик А.В. Шубников, посвятивший изучению симметрии всю свою долгую жизнь: «Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло её в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Можно отметить, например, симметрию, свойственную бабочке и кленовому листу, симметрию форм автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов.

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Таким образом, заинтересовавшись симметрией в окружающем мире, я поставил перед собой следующие цели и задачи:

Цели:

  1. Раскрыть и рассмотреть особенности видов симметрии;

  2. научиться видеть симметрию в объектах;

  3. определить что такое симметрия и асимметрия.

Задачи:

  1. Сбор материала по теме проекта и его обработка;

  2. обобщение обработанного материала;

  3. выводы о проделанной работе;

  4. оформление обобщенного материала;

  5. подготовка презентации.

Приступив к исследованию, я заметил, что симметрия не только математическое понятие, она проявляется как нечто прекрасное в живой и неживой природе, а также в творениях человека. Поэтому я поставил перед собой такие проблемные вопросы:

- Как проявляется гармоничность симметрии в природе;

- Какие виды симметрий, встречаются в природе;

- Как применяет красоту симметрии в своих творениях человек?

Поэтому тему своего исследования я назвал «Симметрия вокруг нас».





























Глава 1. Понятия симметрии и асимметрии

    1. История возникновения симметрии

Представители первой научной школы в истории человечества, последователи Пифагора Самосского, пытались связать симметрию с числом. Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел, которое они называли логосом. Пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрии» пользоваться словом «гармония». Широко используя идею гармонии и симметрии, ученые древности любили обращаться не только к сферическим формам, но и к правильным многогранникам. У правильных многогранников грани – правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны. Древние греки установили, что существует всего пять правильных выпуклых многогранников, название которых связаны с числом граней, - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Все правильные многогранники обладают зеркальной симметрией. hello_html_521a7340.jpg

Познавательную силу симметрии оценили философы Древней Греции, используя ее в своих натурфилософских теориях. Так, например, Анаксимандр из Милета, живший в первой половине VI в. до н. э., использовал симметрию в своей космологической теории, где в центре мира поместил Землю — главное, по его мнению, тело мира. Она должна была иметь совершенную, симметричную форму, форму цилиндра. Земля расположена точно в центре, и здесь симметрия имеет смысл равновесия.

 Весы известны человеку с III в. до н. э. В состоянии равновесия массы грузов на разных концах коромысла одинаковы — положение коромысла симметрично относительно центра тяжести. Симметрия — это не только равновесие, но и покой: стоит добавить на одну из чашек весов дополнительный груз, как они придут в движение. Нарушено равновесие, исчезла симметрия — появилось движение.

Гармония (симметрия) состоит из противоположностей. В пространственной симметрии противоположности явно видны. Например,

правая и левая кисти рук человека. Приложение 1(Объект и его двойник).

И Леонардо да Винчи не обошел своим вниманием симметрию. Он рассмотрел равновесие шара, имеющего опору в центре тяжести: две симметричные половины шара уравновешивают друг друга и шар не падает. Как художник он главное внимание уделял изучению законов перспективы и пропорций, с помощью которых выявляются художественные достоинства произведений искусства.


hello_html_c1705f7.jpg

В науку симметрия вошла в 30-х гг. XIX в. в связи с открытием Гесселем 32 кристаллографических классов и появлением теории групп как области чистой математики. Кристаллы наделены наибольшей величиной симметрии из всех реальных объектов. Симметричной в кристаллографии считается фигура, которая делится без остатка на равные и одинаково расположенные части.

Законы природы являются симметричными, но при ближайшем их рассмотрении, в каждом из них можно найти хоть небольшой изъян. Оказывается, что природа не терпит точной симметрии. Природа почти, но не абсолютно симметрична. Примером этому являются догадки Пифагора, который считал, что орбиты, по которым движутся планеты, являются совершенными окружностями, на самом же деле это не так. Или если мы посмотрим на человека – внешне он симметричен, но строение органов и их расположение абсолютно ассиметрично.

У древних народов Атлантиды, как стало известно учёным по найденным рукописям термин «симметрия» означал совершенство, а по найденным фигуркам, статуэткам и другим вещам, стало ясно, что в древней Атлантиде было всё строго симметрично.

В широком смысле симметрию можно понимать как неизменность при каких-либо преобразованиях. Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Итак, что же такое симметрия?

Симметрия (от греч. symmetria - соразмерность) - однородность, пропорциональность, гармония. Это признак полноты и совершенства.

Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметрией.


    1. Виды симметрии

Симметрия делится на два типа симметрии. Первый тип – это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией. Второй тип – эта та симметрия, которая лежит в законах природы и физических явлениях. Ее можно назвать физической симметрией.

Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Выделяют следующие виды симметрии:

1)осевая симметрия

2) центральная симметрия

3) зеркальная симметрия


Понятие осевой симметрии представлено следующим образом: «Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии фигуры». Тогда говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

hello_html_267e8603.jpg

Приведём примеры фигур, обладающих осевой симметрией. У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии, а равносторонний треугольник— три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат— четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Определение симметричных точек относительно центра

Точки A и A1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA1

hello_html_m43e4cdb2.png

Центральная симметрия (сферическая симметрия) — это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма – точка пересечения его диагоналей. Любая прямая также обладает центральной симметрией. Однако, в отличие от окружности и параллелограмма, которые имеют только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много – любая точка прямой является её центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является произвольный треугольник.



О О.



Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале.

hello_html_9e4501d.jpg









Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру (или тело).

Важно отметить, что два симметричных друг другу тела не могут быть вложены или наложены друг на друга. Так перчатку правой руки нельзя надеть на левую руку. Симметрично зеркальные фигуры при всём своём сходстве существенно отличаются друг от друга. Чтобы убедиться в этом, достаточно поднести лист бумаги к зеркалу и попытаться прочесть несколько слов, напечатанных на ней, буквы и слова просто-напросто будут перевёрнуты справа налево. По этой причине симметричные предметы нельзя называть равными, поэтому их называют зеркально равными.

Две зеркально симметричные плоские фигуры всегда можно наложить
друг на друга. Однако для этого необходимо вывести одну из них (или обе) из их общей плоскости.

Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называются тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).


hello_html_m269e8dc9.jpg






Глава 2. Симметрия окружающего мира

2.1. Симметрия в природе

Если внимательно приглядеться к стеблю растения, то окажется, что и здесь действует закон симметрии. Ярко выраженной симметрией обладают листья, цветы и плоды растений. В приложении 2 показаны примеры, в которых наблюдается осевая симметрия (лист дуба, лист клена).

В пространстве существуют тела, обладающие винтовой симметрией, т. е. совмещающиеся со своим первоначальным положением после поворота на угол вокруг оси, дополненного сдвигом вдоль той же оси.

hello_html_89ca2f.jpg

Винтовая симметрия наблюдается в расположении листьев на стеблях большинства растений. Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются во все стороны и не заслоняют друг друга от света, крайне необходимого для жизни растений. Это интересное ботаническое явление носит название филлотаксиса, что буквально означает строение листа. Другим проявлением филлотаксиса оказывается устройство соцветия подсолнечника или чешуи еловой шишки, в которой чешуйки располагаются в виде спиралей и винтовых линий. Такое расположение особенно четко видно у ананаса, имеющего более или менее шестиугольные ячейки, которые образуют ряды, идущие в различных направлениях.

Веточка акации обладает осевой симметрией. Если прочертить вертикальную прямую вдоль центральной прожилки листа и поставить зеркальце, вдоль прочерченной прямой, то отраженная в зеркальце половинка фигуры дополнит ее до целой (такой же, как исходная фигура).

Среди цветов наблюдаются поворотные симметрии разных порядков. Многие цветы обладают характерным свойством: цветок можно повернуть так, что каждый лепесток займёт положение соседнего, цветок же совместится с самим собой. Такой цветок обладает осью симметрии. Приложение 2.

Осевая симметрия встречается и в животном мире. Так у бабочки симметрия левого правого крыльев проявляется с математической строгостью.

hello_html_m1dc1f24c.jpg

hello_html_5c0a559e.jpg

Человеческое тело, так же как и тело других позвоночных, в основе своей построено симметрично. Приложение 2. Общие принципы строения организма человека заложены миллиарды лет назад, когда формировался генетический код, и возникла первая клетка. В наших генах содержится значительная часть генофонда древних рыб, первых хордовых и некоторых беспозвоночных животных. Одним из признаков, переданных нам, является двухсторонняя симметрия человеческого тела. Среди врачей существует мнение, что причинами наших болезней являются не только и не столько вирусы и прочие вредные факторы среды, сколько генетически обусловленные нарушения конструкции тела. «Симметричные» животные живут дольше, чем «несимметричные», что также и показатель лучшей способности к воспроизводству. Асимметрия лица – это показатель старения.

В природе почти везде можно найти симметрию. Спил дерева, цветок, плоды многих растений. Посмотрим в более глобальном масштабе: планеты, звезды, звездные системы – все относительно симметрично.

Необходимо отметить, что в природе невозможна идеальная математическая симметрия. Отсюда можно сделать вывод: в реальной жизни не может быть совершенной симметрии.


2.2.Симметрия в неживой природе

Получается, что всякий раз, когда мы, говорим о гармонии, красоте, мы тем самым касаемся симметрии.

На первый взгляд мир неживой природы кажется лишенным симметрии и порядка, но это не так. Ярким доказательством этого утверждения могут служить кристаллы. Все твердые тела состоят из кристаллов. Симметрия кристаллов является следствием их внутреннего строения: их атомы и молекулы имеют упорядоченное взаимное расположение, образуя симметричную решетку из атомов – так называемую кристаллическую решетку. Загадочная снежинка – это маленький кристалл замерзшей воды. Форма снежинок может быть очень разнообразной, но все они обладают симметрией.

2.2.1 Симметрия в физике и технике

Симметрия – одно из фундаментальных понятий в современной физике, играющее важнейшую роль в формулировке современных физических теорий. В теоретической физике поведение физической системы описывается обычно некоторыми уравнениями. Если эти уравнения обладают какими-либо симметриями, то часто удаётся упростить их решение путём нахождения сохраняющихся величин. Например, следует, что инвариантность (неизменность) уравнений движения тела с течением времени приводит к закону сохранения энергии; инвариантность относительно сдвигов в пространстве – к закону сохранения импульса; инвариантность относительно вращений – к закону сохранения момента импульса.

Техника пока интуитивно, подсознательно использует и заимствует законы природной симметрии. В технике плоскость симметрии делит машину на две равные части. Любой станок, машина, прибор, механизм, узел должны компоноваться вокруг установленной оси симметрии. Приложение 3.

Симметричная форма дирижабля, самолета, автомобиля и т.д. обеспечивает хорошую обтекаемость, а значит, и минимальное сопротивление движению.


2.3.Симметрия в архитектуре

Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения архитектуры. Архитектура сопровождает человечество на всем его историческом пути. По образному выражению Н. В. Гоголя: «…Архитектура – тоже летопись мира. Она говорит, когда уже молчат и песни и предания…».

Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Внешне этот внутренний порядок воспринимается как красота.

Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Все это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Симметрия использовалась при сооружении культовых и бытовых сооружений в Древнем Египте. Украшения этих сооружений тоже представляют образцы использования симметрии. Но наиболее ярко симметрия проявляется в античных сооружениях Древней Греции, предметах роскоши и орнаментов, украшавших их. С тех пор и до наших дней симметрия в сознании человека стала объективным признаком красоты. В нашем городе есть замечательные здания, где можно наблюдать симметрию. Приложение 4.


2.4.Симметрия в искусстве

В геометрических орнаментах (Приложение 5) всех веков запечатлены неиссякаемые фантазия и изобразительность художников и мастеров, чьё творчество было ограничено жёсткими рамками, установленными неукоснительным следованием принципам симметрии. Трактуемые несравненно шире идеи симметрии нередко можно встретить в живописи, скульптуре, музыке и поэзии. Во многих случаях именно язык симметрии оказывается особенно пригодным для обсуждения произведений искусства, даже если последние отличаются отклонениями от симметрии или их создатели стремились умышленно её избежать. hello_html_4c2d0b02.jpg

Для усиления эстетического воздействия симметрия используется и в музыке. «Душа музыки – ритм – состоит в правильном периодическом повторении «частей музыкального произведения», писал русский физик Г. В. Вульф. На Руси с давних пор сложилась своя система звонов колоколов, колокола звонили по-разному, в каждом случае со своим ритмом, со своей симметрией. Музыка, исполняемая на музыкальных инструментах или воспроизводимая человеческим голосом, также полна симметрии.

В музыке многое непосредственно связано с законами симметрии, в первую очередь нотная запись: симметрия нотного стана, зеркальная симметрия басового и скрипичного ключей на второй строке сверху и снизу и т. п. Следует подчеркнуть , что симметрия музыкальных фигур рассчитана прежде всего на визуальное, а не слуховое восприятие. С помощью зрения мы постигаем симметрию окружающего мира - от красоты природы до эстетического наслаждения архитектурными ансамблями. Архитектура в наибольшей степени, чем какой- либо другой вид искусства, основана на принципах зеркальной симметрии. Помня формулу, что архитектура - это застывшая музыка, а, следовательно, музыка - "текучая", подвижная архитектура, нельзя не учитывать два способа существования музыкального произведения в пространстве музыкальной культуры: слухового - в звучащем исполнении и визуального статичного - в нотной записи. Приложение 6.


hello_html_67dd3b55.png


2.5.Симметрия в русском языке

В русском языке встречаются симметричные слова - палиндромы, произношение которых не меняется независимо от направления чтения:

Шалаш, радар, Алла, Анна, кок, казак, дед, потоп, боб, поп, мадам и другие.

Так же в русском языке имеют место фразы-перевёртыши - палиндромические предложения:

Кинь лед зебре, бобер бездельник

Если прочитать эти фразы наоборот, то получиться то же предложение (исключая, конечно, пробелы и знаки препинания).

Если прочитать эти фразы наоборот, то получится то же предложение (исключая, конечно, пробелы и знаки препинания).

Симметрию можно увидеть в стихотворениях – это чередование рифм, ударных слогов, т. е. ритмичность.

Заметим, что некоторые поэты в своих стихах тоже стремятся установить симметрию и вначале и в конце стиха часто повторяют слова:

Ночь, улица, фонарь, аптека,

Бессмысленный и тусклый свет,

Живи ещё хоть четверть века,

всё будет так – исхода нет.

Умрешь, начнешь опять сначала…

И повторится всё как встарь:

Ночь, ледяная рябь канала,

Аптека, улица, фонарь.

А. Блок

Стихотворный размер почти всегда симметричен. В нем чередуются ударные и безударные слоги. Единый размер обязателен для всего стихотворения.

В русском алфавите встречаются симметричные буквы.

  1. Буквы симметричные относительно вертикальной оси симметрии:

А; Д; Л; М; П; Т; Ф; Ш.

  1. Буквы симметричные относительно горизонтальной оси симметрии:

В; Е; З; К; С; Э; Ю

  1. Буквы симметричные относительно и вертикальной и горизонтальной осей симметрии:

Ж; Н; О; Х

  1. Буквы не симметричные относительно ни вертикальной ни горизонтальной осей симметрии:

Б; Г; И; Й; Р; У; Ц; Ч; Щ; Я

  1. Встречаются буквы с ярко выраженной центровой симметрией (имеется ввиду случаи, когда невозможно провести ось симметрии). Например:

И

Все упомянутые буквы симметричны во многих гарнитурах. Приложение 7.















ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении столетий пытался постичь и создать порядок, красоту, совершенство. Симметрия с давних времён считалась синонимом прекрасного.

Почти все считают, что красоту, воспринимаемую зрением, порождает соразмерность частей друг с другом и прелестью красок, и для всех тех, кто так считает, и вообще всех остальных быть прекрасным – значит быть симметричным.

Симметрия, как объективный признак красоты, проходит через всю историю искусств. Я убедился, работая над проектом, симметрия господствует не только в природе, но и в творчестве человека: архитектуре, живописи, музыке, литературе.

Работая над проектом, можно сделать вывод, что изучение симметрии было актуально как в древности, так и в современном мире при создании механизмов. Я все больше убеждаюсь, что чем сильнее развивается технический прогресс, тем чаще симметрия становится неотъемлемой частью человеческого бытия.

Изучив и исследовав тему «Симметрии» я узнал, что помимо осевой, зеркальной и центральной видов симметрии, которые мы изучаем в школьном курсе, существуют и другие виды симметрии, например в природе – поворотная, винтовая.

И в заключении хочется сказать о том, что быть прекрасным значит быть симметричным и соразмерным.

Мне было интересно работать над выбранной темой проекта. Я узнал много нового. Но наибольший интерес у меня вызвал раздел, касающийся слов и цифр, а также о симметрии в живой природе.

Хотелось бы сказать, что почти во всём, что нас окружает, есть та или иная симметрия. О ней можно говорить бесконечно.






Список литературы.

  1. Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.

  2. Справочник по математике для средних учебных заведений. А.Г. Цыпкин. Под редакцией С.А. Степанова. – Издательство «Наука». – Москва 1984г. – 480 стр.

  3. Симметрия природы и природа симметрии: Философские и естественно-научные аспекты. Урманцев Ю.А Изд.2.— М.: Мысль, 2006.

  4. История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.

  5. Эстетика урока математики. И.Г. Зенкевич. – Издательство «Просвещение». – Москва 1981г. – 79 стр.

  6. Этюды о симметрии. Вигнер Е. – М., 1971.

  7. Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

  8. Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

  9. Ресурсы сети Интернет.www.likt590.ru/project/matematika/5/, sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/arhkomp2.htm, www.fondcultura.ru/htmls/method/texts_history/architecture.htm, ru.wikipedia.org/wiki/

















ПРИЛОЖЕНИЯ




hello_html_m778deb06.jpg









19

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 26.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1194
Номер материала ДБ-054514
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх