Проектно-исследовательская работа "Алгебра модуля"

Оглавление

Глава I. Модуль: геометрическая интерпретация и некоторые

         свойства модуля                                                                            3

Глава II. Уравнения, содержащие модуль                                             6

Глава III. Неравенства, содержащие модуль                                         10

Глава IV. Графики функций, содержащих модуль                                14

         Приложение 1                                                                               20

         Приложение 2                                                                               22

         Приложение 3                                                                               25

         Приложение 4                                                                               26

         Приложение 5                                                                               28

Ответы                                                                                                    34

Глава I. МОДУЛЬ: геометрическая интерпретация и некоторые свойства модуля

Существенной характеристикой числа является понятие его абсолютной величины (модуля). Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических наук. В практике преподавания математики в средней школе и других средних учебных заведениях понятие абсолютной величины числа (модуля числа) встречаются неоднократно.

         Учёные, занимающиеся проблемами решения заданий с модулем, считают, что термин «модуль» предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Знак модуля введен в XIX веке Вейерштрассом.

Классическое определение модуля: «Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется само число а, если оно неотрицательное, и число противоположное а, если а отрицательное».

         Геометрический смысл модуля. Каждому действительному числу можно поставить в соответствие точку числовой прямой, тогда эта точка будет геометрическим изображением данного числа.

         Каждой точке числовой прямой соответствует её расстояние от начала отсчета или длина отрезка, начало которого в точке начала отсчета, а конец - в данной точке. Это расстояние или длина отрезка рассматривается всегда как величина неотрицательная. Таким образом, геометрическая интерпретация модуля действительного числа а будет рассматриваться от начала отсчета.

Свойства модуля:

                   1.

                   2.

                   3. ,

                   4.

                   5.

                   6.

                   7.

                   8.

Найти значение выражения:

Пример 1:

Пример 2:

Упростить выражение:

Пример 3: 

При b>0, b получим:

=

=

         Вычислить значение выражения:

Пример 4:

, при

1. Преобразуем выражение для x

2. Вычислим значение корня:

3. Вычислим значение знаменателя:

4. Вычислим значение выражения A:

=

         Модуль традиционно является камнем преткновения, своеобразным «ослиным мостом» в математике. На самом деле это понятие становится прозрачным, если, раскрывая модуль по определению, не забывать его геометрический смысл. Тогда становится понятным, не искусственно навязанным и само определение модуля и решение различных задач, связанных с ним. При этом,  конечно, лучше если у вас развито пространственное воображение и, глядя на знак модуля, Вы представляете соответствующую геометрическую картинку, и наоборот.

Глава II. Уравнения, содержащие модуль

         Задача данной главы – систематизировать знания учащихся об уравнениях, содержащих модуль. Заданий на эту тему почти не содержится в учебниках, поэтому школьники не приобретают прочных навыков обращения с этим материалом. В то же время задания этой темы повсеместно применяются в различных формах в экзаменационных и вступительных испытаний в профильных учебных заведениях.

         Рассмотрим примеры решения уравнений, содержащих абсолютные величины.

1. Уравнения вида . По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений:  и . Записывается это так:

Пример:

     

Ответ:                                                    

2. Уравнения вида . По определению абсолютной величины данное уравнение распадается на совокупность двух систем:

Пример:

             

Решим первую систему:                             Решим вторую систему:       

                                              

                                          

                                  

 - удовлетворяет условию                   - не удовлетворяет условию

 - не удовлетворяет условию              - удовлетворяет условию

Ответ:

3. Уравнения вида . Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Пример 1.  

Решим первую систему:                           Решим вторую систему:

                                       

                                                                               

 - удовлетворяет условию                 - удовлетворяет условию

Ответ:

Пример 2.

Ответ:

4. Уравнения вида . Данное уравнение равносильно совокупности:

         Можно решить данное уравнение, учитывая следующее свойство: , то есть

Пример:

1-ый способ                       

      

Ответ:

Уравнения вида  и  решают следующим образом:

а) решают каждое из уравнений

б) вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков, границами которых являются нули подмодульных выражений.

в) на каждом таком промежутке уравнение заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом промежутке.

г) на каждом таком промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается.

д) отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.

е) все корни уравнения получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.

Пример 1.

Нули подмодульных выражений (нпв):2; -4

                 I                               II                                  III

                        -4                              2

I                     II                        III

I                                   

        

II                                  

    

III                                    

          

Ответ:

Пример 2.

Нули подмодульных выражений (нпв):; 

   

Ответ:

         Таким образом обобщены и систематизированы знания по теме главы. Практические задания помогают обрести практические навыки при решении уравнений с модулем. Следовательно, при успешном овладении знаний по теме главы, повышается уровень математической подготовки школьников.

Глава III. Неравенства, содержащие модуль

Решение неравенств, содержащих модуль, влечёт за собой определённые трудности связанные с решением не только классических неравенств, но и способностью школьника к интерпретации классического определения модуля с учётом нестандартной постановки.

В этом разделе рассматриваются неравенства, содержащие переменные под знаком абсолютной величины.

Пусть на некотором множестве Х определены функции f(x) и g(x). Тогда а этом множестве справедливы следующие соотношения:

1. ,

Пример 1

   

Ответ:

2.

Пример 2

Ответ:

3. 

Пример 3

Ответ:

4.

Пример 4

 

Ответ:.

         Во многих случаях для решения таких неравенств целесообразно разбить числовую ось на промежутки так, чтобы функции, стоящие под знаком модуля, на каждом из промежутков сохраняли знак, то есть были либо положительными, либо отрицательными. Тогда на каждом из таких промежутков неравенство можно записать без знака модуля. Данный метод называется метод интервалов.

Как правило, суть указанных методов – реализация хорошего владения курсом математики для решения поставленной задачи, что позволяет. не выходя за рамки школьной программы существенно упростить решение неравенств с помощью применения известных утверждений.

Глава IV. Графики функций, содержащих модуль

Когда в «стандартные» функции, которые задают прямые, параболы, гиперболы, включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приёмами построения графиков элементарных функций, а также твёрдо знать и понимать определение модуля числа.

         Построение графиков функций, содержащих модуль, рассматривается в следующей последовательности:

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

         При построении графиков были рассмотрены два способа построения:

на основании определения модуля

на основании правил геометрического преобразования графиков функций.

1.  Построение графика функции .

.

         Следовательно, график функции  состоит из двух графиков:  - в правой полуплоскости,  - в левой полуплоскости.

         Исходя из этого, можно сформулировать алгоритм построения:

график функции  получается из графика функции  следующим образом: при  график сохраняется, а при  полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ординат.

Рис.1. График функции вида

2. Построение графика функции .

.

         Отсюда вытекает алгоритм построения графика функции .

         а) строим график функции

         б) часть графика , лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

Рис.2. График функции вида

3. Построение графика функции .

.

         Алгоритм построения графика функции .

         Чтобы построить график функции , надо сначала построить график функции  при , затем при  построить изображение симметричное ему относительно оси ОУ, затем на интервалах, где , построить изображение симметричное графику  относительно оси ОХ.

Рис.3. График функции вида

4. Построение графика функции .

         При построении графиков функций такого рода наиболее распространённым  является метод, при котором знак модуля раскрывается на основании самого определения модуля. Как правило, область допустимых значений данной функции разбивают на множества, на каждом из которых выражения, стоящее под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве функцию записывают без знака модуля и строят график.     Объединение множества решений, найденных на всех частях области допустимых значений функции, составляет множество всех точек графика заданной функции.

         При построении графика непрерывной кусочно-линейной функции с двумя бесконечными крайними звеньями используется метод вершин:

1) находят нули подмодульных выражений.

2) составляют таблицу, в которой кроме нулей подмодульных выражений записывают по одному целому числу справа и слева от этих значений.

3) находят значения функции в этих точках.

4) наносят эти точки на координатную плоскость и соединяют последовательно.

Рис.4. График функции вида

5. Построение графика функции .

         Для построения графика  достаточно построить график функции  для тех  из области определения, при которых , и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.

Рис.5. График функции вида

6. . Построение графика функции .

.

         Порядок построения:

1) строим график функции

2) часть графика , симметрично отображаем относительно оси ОХ

3) полученный график симметрично отражаем относительно оси ОХ.

Рис.5. График функции вида

         Таким образом, для построения всех типов графиков учащимся достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков изучаемых в школе.

Приложение 1

Дидактический материал по главе I

«Определение, геометрическая интерпретация и некоторые свойства модуля»

Упростить:

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Доказать, что выражение - целое число:

1.    

2.    

3.    

Вычислить:

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

Приложение 2

Дидактический материал по главе II

«Уравнения, содержащие модуль»

Решить уравнения:

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10.	2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.	3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10.
4.1. 4.2. 4.3. 4.4.  4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10.	5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10.

Решить уравнения:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37.

38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74.

Приложение 3

Дидактический материал по главе III

«Неравенства содержащие модуль»

Решить неравенства:

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

Приложение 4

Дидактический материал по главе IV

«Графики функций, содержащих модуль»

Построить графики функций:

Приложение 5

Тест 1

Решите уравнение: |x-5|=5

         1) {0;10}    2) {10}       3) {0}         4) {-10;0;10}

2.      Найдите наименьший корень уравнения |2-x|=3

         1) -5  2) -1  3) 1   4) 5

3.      Найдите сумму корней уравнения |x|=x+2

         1) -1  2) -3  3) 0   4) 2

4.      Решите уравнение: |3-x|+|x-2|=1

         1) [2;3]        2) 2   3) 3   4) [2;3]

5.      Решите неравенство: |3x-2|>4

         1) (2;)      2) 3)         4)

6. Решите неравенство (|x|-5)(|x|-7)

         1) [5;7]        2) [-7;-5][5;7]    3) (-;-7]    4) (-;-7]  [-5;5]  [7; +)

7. Найдите наибольшее отрицательное решение неравенства 2|x+1|>x+4

         1) -2  3) -5  3) -4  4) -1

8. Решите неравенство

         1) (6;8)        2) (-1;6)(6;8)     3) (-1;8)      4) (8; +)

Тест 2

Решите уравнение: |x-3|=0

         1) {3}         2) {-3}        3) {-3;3}     4) корней нет

2.      Найдите наименьший корень уравнения |7-x|=14

         1) 7   2) -7  3) 21 4) -21

3.      Найдите сумму корней уравнения |x+3|=2x

         1) 2   2) 4    3) -1  4) 3

4.      Решите уравнение: |x+1|+|2-x|=3

         1) 1,5 2) -0,5                  3) корней нет                4) [-1;2]

5.      Решите неравенство: |5x-3|<7

         1) (-0,8;2)   2)      3) 4)

6. Решите неравенство (|x|-3)(|x|-2)>0

         1) решений нет    2) (-;-3)(-2;2)(3;+ )     3) (-2;2)      4) (-3;-2)(2;3)

7. Найдите наименьшее положительное решение неравенства 4|x+1|>x+5

         1) 1   3) 2    3) 3   4) 40

8. Решите неравенство

         1) (2;3)(3;4)      2) (-;2)(3;4) (4;+)        3) (2;3)       4) (4; +)

Тест 3

Решите уравнение: |2x-10|=-8

         1) 1   2) -9  3) корней нет                4) 1;-9

2.      Найдите наименьший корень уравнения |5-x|=15

         1) 20 2) -20 3) 10 4) -10

3.      Найдите произведение корней уравнения |3x|=x+8

         1) 8   2) -8  3) 4   4) -4

4.      Решите уравнение: |3-x|-|x+1|=3

         1) 3   2) -0,5                  3) 0,5          4) корней нет

5.      Решите неравенство: |4x+3|>15

         1) (-;4,5)(3;+ )      2) (-4,5;3)   3) (-;-4,5) 4) (3;+)

6. Решите неравенство (|x|-3)(|x|-2)

         1) (-2;-1)     2) (1;2)       3) [-2;2]      4) [-2;-1][1;2]

7. Найдите наибольшее  целое отрицательное решение неравенства 3|x+1|>2x+4

         1) -1  3) -2  3) 3   4) -4

8. Решите неравенство

         1) (-;1)(2;+) 2) [-3;1)(2;+)) 3) (-;-3]    4) (-3](1;2)

Тест 4

Решите уравнение. В ответе запишите рациональный корни. |x2-4x-20|=1

         1)3;7           2) -3;7                  3) -7;-3                 4) 7

2.      Найдите сумму корней уравнения x2-5|x|-6=0

         1) 12 2) -12 3) 6   4) 0

3.      Найдите меньший корень уравнения |x+4|=|2x+10|

         1) 6   2) -4                  3) 6   4) -8

4.      Решите уравнение: |x-5|+|x+1|=6

         1) (-;-1)(5;+ )        2) [-1;5]                3) -1            4) 5

5.      Решите неравенство: |3x+1|-7

         1) (-;+ ) 2) решений нет    3) (-;-)   4) (-;+)

6. Решите неравенство |x2-1|>1

         1) (-;-) 2) (;+) 3) (-; +) 4) (-;-)(;+)

7. При каких х  точки графика функции y=|x+1| лежат выше точек графика функции y=x2+1

         1) (-;1)     3) (1;+ )   3) (0;1)       4) (-;-1)

8. Укажите количество целых неотрицательных значений х, не удовлетворяющих неравенству |x-2|<2x-10

         1) 8   2)6    3)9    4) 11

Тест 5

Найдите рациональные корни уравнения

         1)               2) 0               3)             4)

2. Найдите сумму корней уравнения

         1) 0                     2) 14             3) -14          4) 7

3. Найдите меньший корень уравнения

         1) -4,5                 2) 6               3) -6            4) -10

4. Решите уравнение:

         1) -2                    2) 1               3) [-2,1]       4) корней нет

5. Решите неравенство:

         1) решений нет  2) [      3)      4)

6. Решите неравенство:   

         1) (-3;3)              2)       3) (3;    4)

7. При каких  точки графика функции  лежат ниже точек графика функции ?

         1)               2)            3)       4)

8. Укажите наибольшее целое отрицательное решение неравенства

         1) -2                    2) -1               3) -5             4) -3

Тест 6

Найдите рациональные корни уравнения

         1) 1;2                   2) -2;-1           3) нет корней       4)

2. Найдите сумму корней уравнения

         1) 0                       2) 10                3) 8                    4) 6

3. Найдите меньший корень уравнения

         1) 4                        2) -4                3) 0                    4) -1

4. . Найдите меньший корень уравнения  

         1) 4,5                     2) 1,25              3) -4,5               4) 4,5;-4,5

5. Решите неравенство

         1) (-2;-1)     2) (-1;0)           3)            4)

6. Решите неравенство

         1) [-1;           2) [1;             3) [-1;1]               4) [-1;

7. При каких точки графика функции  лежат ниже прямой

         1) (-5;5)             2)     3) (-3;3)       4) [0;3)

8. Укажите количество целых чисел, не являющихся решением неравенства .

1) 1                     2) 2                           3) 3                                4) 4

Тест 7

Найдите рациональные корни уравнения

         1) 1                      2) 4                 3) -4            4) 1+

2. Найдите произведение корней уравнения .

         1) -16                   2) 4                  3) -4            4) -8

3. Решите уравнение  

         1) -4;1                    2)       3) [-4;1]       4)

4. Решите уравнение

         1) 4                         2) 1,5              3) -2,5         4) -1,5;2,5

5. Решите неравенство

         1)                  2) 0;2              3) [2;    4) 2

6. При каких  выполняется неравенство ?

         1)    2) (-1;2)          3) (2;    4) (1;2)

7. Укажите количество целых решений неравенства

         1) 0                          2) 3                 3) 4               4) 5

8. При каких точки графика функции  лежат выше прямой y=1?

         1)                   2)       3) (2;6)         4)

Тест 8

Найдите рациональные корни уравнения

         1) 4                         2) 4;          3) 7                  4) 1

2. Найдите произведение корней уравнения

         1) -9                       2) 9                      3) -27                   4) 27

3. Решите уравнение

         1) -1                         2)           3)            4)

4. Решите уравнение

         1) -7;1                          2) -7                     3) 1                       4) [-7;1]

5. Решите неравенство

         1) 0;3                       2) 0                  3) 3                    4) [0;3]

6. При каких  выполняется неравенство ?

         1)             2)          3) (-2;4)          4) [5;

7. Найдите сумму наибольшего и наименьшего целых решений неравенства

         1) 0                      2) -14               3) -15              4) -13

8. При каких точки графика функции  лежат не ниже прямой y=8?

         1) [2                2) (-             3) [7;+             4)

ОТВЕТЫ

Приложение 1.

1.  2-a, если а<-2

     a-2, если а>-2

2. , если а0

    1-a, если 0<а<1

    а-1, если а>1

3. , если m<-2 и m>3, -2<m<0

     - , если 0<m<3

4.  1, если x<-1

     3, если x>1

     , если 1<x<-1

5.  -1, если x<-1

     , если x1,  x<1

     1, если x1

6.  , если x<-3

     , если x>3, -3<x<3

7.   -2, если а<0

      2, если а>0

8.   -2, если а<-3

      2, если -3<a<0

                    0<a<3

                    a>3

9.   , если m>0

     , если m<0

10.  a, если а-26>0

      - a, если а-26<0

11. 1, если y>0

      -1, если 1<y<2

12. 1, если b>2

      -1, если 0b<1

13. 1

14  1, если 0<a<1

      -1, если a>1

15. , если x>3

      , если 2<x<3

      , если x<2

1.     -2

2.     4

3.     2

4.     6

5.     10

6.     6

Приложение 2

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10.	2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10.	3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10.
4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10.	5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10.

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.  

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.  

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.         

62.

63.

64.

65.

66.  

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

Приложение 3

1.       [1,5;4,5]

2.       (-;-3][-1;1][3;+ )

3.       (-;-4)(1,2;+ )

4.       (-;-5/3][1;+ )

5.       (-;-1,5)(-0,25;+ )

6.       [0;+ )

7.       [1;2]

8.       (-;-1)(-1;-1+]

9.       [-1,5;]

10.   (-;+)

11.   [3;4]

12.   (-;-2)(-2;-1)(1+)

13.   [-2;]

14.   (-;-)

15.   [-4;2]

16.   (-;-2-2][2;4][2+2;+)

17.   [-1;1](2;6)

18.   (-;1]

19.   (-2;0)(2;+ )

20.   (-;-4)[-3;-2]  (-1;1)  (4;+ )

21.   (-;-3)(-2;3)  (6;+ )

22.   (-;1)(4;+ )

23.   (0;4)

24.   ()(3;+ )

25.   (-3;1)

26.   ()()

Приложение 5

№	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	2	1	1	2	4	3	2
2	1	3	4	3	1	2	1	2
3	3	4	2	2	1	4	2	1
4	2	4	1	2	1	4	3	3
5	2	1	3	4	4	1	2	2
6	3	1	2	2	4	4	2	3
7	2	1	4	4	2	1	3	4
8	1	1	2	1	1	2	4	4

Для заметок