Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Научные работы / Проектно-исследовательская работа "Фракталы вокруг нас"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Проектно-исследовательская работа "Фракталы вокруг нас"

Выбранный для просмотра документ Приложения.doc

библиотека
материалов

ПРИЛОЖЕНИЯ.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

У попа была собака, он ее любил.
Она съела кусок мяса, он ее убил.
В землю закопал,
И надпись написал,
Что
У попа была собака…


Вот море,
А на море сyша,
А на сyше пальма,
А на пальме клоп сидит
И видит море,
А на море сyша...


Пришел медведь к броду,
Бултых в воду!
Уж он мок, мок, мок,
Уж он кис, кис, кис,
Вымок,
Выкис,
Вылез,
Высох,
Встал на колоду -
Бултых в воду!
Уж он мок, мок, мок...



"Из Нью-Йорка в Лиссабон..."


Из Нью-Йорка в Лиссабон
Пароход сто тысяч тонн
Шёл волнам наперерез
и на риф налез.

Так погиб "ТрансАтлантик"
С экипажем в тот же миг,
И никто не был спасён
кроме трёх персон:

Анжелика Бетт,
двадцати трёх лет,
Дочь миллионера
из ВанкувЕра.
С нею Питер Босс,
молодой матрос,
и индеец Лысый Нос

Лысый Нос умом востёр -
На берегу развёл костёр
Чтоб тела свои согреть,
стали они петь:

про то, как -
Из Нью-Йорка в Лиссабон...


М.Яснов «Чучело-мяучело»


Чучело-мяучело
На трубе сидело.
Чучело-мяучело
Песенку запело.
Чучело-мяучело
С пастью красной-красной –
Всех оно замучило
Песенкой ужасной.
Всем кругом от чучела
Горестно и тошно,
Потому что песенка
У него про то, что:
Чучело-мяучело
На трубе сидело…






ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

Песенка из английской народной поэзии.
СПЛЯШЕМ, ПЕГГИ, СПЛЯШЕМ!
Пер. И.Токмаковой + варианты бардов


У Пегги жил веселый гусь,
Он знал все песни наизусть.
Ах, до чего веселый гусь!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги жил смешной щенок,
Он танцевать под дудку мог.
Ах, до чего смешной щенок!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги старый жил козёл,
Он бородой дорожки мёл.
Ах, до чего ж умён козёл!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пэгги жил смешной удав,
Он танцевать любил, поддав,
Ах, до чего смешной удав!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пэгги жил огромный глист,
Он по ночам танцует твист,
Ах, до чего огромный глист!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги стройный жил жираф,
Он элегантен был, как шкаф,
Вот это стройный был жираф!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пэгги жил хороший Глюк,
Он самый лучший Пэггин друг,
Ну до чего хороший глюк!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги жил большой баран,
Он говорил: Но пассаран!
Ах, до чегож большой баран!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги жил смешной пингвин,
Он различал все марки вин,
Ах, до чего смешной пингвин!
Спляшем, Пегги, спляшем!

У Пегги жил веселый слон,
Он скушал синхрофазотрон,
Ну до чего веселый слон,
Спляшем, Пегги, спляшем!..


Приложение 3.

Песенки из английской народной поэзии

Ten green bottles hanging on the wall.


Ten green bottles hanging on the wall.
Ten green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be nine green bottles hanging on the wall.

Nine green bottles hanging on the wall.
Nine green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be eight green bottles hanging on the wall.

Eight green bottles hanging on the wall.
Eight green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be seven green bottles hanging on the wall.

Seven green bottles hanging on the wall.
Seven green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be six green bottles hanging on the wall.

Six green bottles hanging on the wall.
Six green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be five green bottles hanging on the wall.

Five green bottles hanging on the wall.
Five green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be four green bottles hanging on the wall.

Four green bottles hanging on the wall.
Four green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be three green bottles hanging on the wall.

Three green bottles hanging on the wall.
Three green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be two green bottles hanging on the wall.

Two green bottles hanging on the wall.
Two green bottles hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be one green bottle hanging on the wall.

One green bottle hanging on the wall.
One green bottle hanging on the wall.
And if one green bottle should accidentally fall,
There'll be no green bottles hanging on the wall.
Five fat sausages

Five fat sausages sizzling in a pan

All of a sudden one went "BANG!"

Four fat sausages sizzling in a pan
All of a sudden one went "BANG!"

Three fat sausages sizzling in a pan
All of a sudden one went "BANG!"

Two fat sausages sizzling in a pan
All of a sudden one went "BANG!"

One fat sausage sizzling in a pan
All of a sudden one went "BANG!"

All of a sudden one went "BANG!"
Аnd there were NO sausages left!

Ten little nigger boys


Ten little nigger boys went out to dine;
One choked his little self, and then there were nine.

Nine little nigger boys sat up very late;
One overslept himself, and then there were eight.

Eight little nigger boys travelling in Devon;
One said he'd stay there, and then there were seven.

Seven little nigger boys chopping up sticks;
One chopped himself in half, and then there were six.

Six little nigger boys playing with a hive;
A bumble-bee stung one, and then there were five.

Five little nigger boys going in for law;
One got in chancery, and then there were four.

Four little nigger boys going out to sea;
A red herring swallowed one, and then there were three.

Three little nigger boys walking in the Zoo;
A big bear bugged one, and then there were two.

Two little nigger boys sitting in the sun;
One got frizzled up, and then there was one.

One little nigger boy living all alone;
He got married, and then there were none.


Ю.Ким. Одиннадцать солдат.

Одиннадцать солдат
Гуляли в самоволе,
Одиннадцать солдат
Забыли о пароле,
Патруль был строг,
Слегка нажал курок...
И вот вам результат:
Семеро солдат.

Семеро солдат
Сивухи налакались,
Семеро солдат
Полковнику попались.
Двоих он расстрелял,
А третий сам не встал –
И вот вам результат:
Четверо солдат.

Четверо солдат
Направились к борделю.
Четверо солдат
Там пробыли неделю,
Но бледный спирохет
Сложил их в лазарет –
И вот вам результат:
Геройски
Погиб весь отряд...

ПРИЛОЖЕНИЕ 4.

Магистральные сонеты венков.
М.Волошин. Lunaria. Венок сонетов


Жемчужина небесной тишины,
Лампада снов, владычица зачатий,
Кристалл любви, алтарь ночных заклятий,
Царица вод, любовница волны.
С какой тоской из влажной глубины
К тебе растут сквозь мглу моих распятий,
К Диане бледной, к яростной Гекате
Змеиные, непрожитые сны.
И сладостен, и жутко-безотраден
Алмазный бред морщин твоих и впадин,
Твоих морей блестящая слюда —
Лик Ужаса в бесстрастности эфира,
Ты вопль тоски, застывший глыбой льда,
Ты жадный труп отвергнутого мира!
1913

М.Волошин. Corona astralis.
В мирах любви неверные кометы,
Закрыт нам путь проверенных орбит!
Явь наших снов земля не истребит,
Полночных Солнц к себе нас манят светы.

Ах, не крещен в глубоких водах Леты
Наш горький дух, и память нас томит.
В нас тлеет боль внежизненных обид –
Изгнанники, скитальцы и поэты!

Тому, кто зряч, но светом дня ослеп,
Тому, кто жив и брошен в темный склеп,
Кому земля – священный край изгнанья,

Кто видит сны и помнит имена, –
Тому в любви не радость встреч дана,
А темные восторги расставанья!
1909

В.Брюсов. Роковой ряд
Четырнадцать назвать мне было надо
Имен любимых, памятных, живых!
С какой, отравно ранящей, усладой,
Теперь, в мечтах я повторяю их!

Но боль былую память множить рада:
О, счастье мук, бесстрашных, молодых,
Навек закрепощенных в четкий стих!
Ты – слаще смерти! Ты – желанней яда!

Как будто призраков туманный строй,
В вечерних далях реет предо мной, –
И каждый образ для меня священен.

Вот близкие склоняются ко мне…
В смятеньи – думы, вся душа – в огне…
Но ты ль, венок сонетов, неизменен?
1918


ПРИЛОЖЕНИЕ 5.

Схема «Сказка о джинне и рыбаке» из «Сказок тысячи и одной ночи».

«Сказки тысячи и одной ночи» повествуют о царе Шахрияре, который, убедившись в неверности всех женщин, еженощно берет себе невинную девушку, чтобы наутро казнить ее. И так продолжается до тех пор, пока не появляется Шахразада, образованная дочь визиря, со своей младшей сестрой Дунязадой. Младшая сестра просит Шахразаду рассказывать ей сказку на

ночь, разумеется, после того, как царь «удовлетворит свою нужду в супруге».

Уже первая сказка Шахразады включает в себя рассказы в рассказе – внутрь истории о злом духе и купце, осужденном демоном на смерть, заключены три истории старцев, которыми они выкупают каждый по трети крови купца. Первый рассказ длится две ночи с маленьким хвостиком, а на протяжении следующих семи ночей Шахразада рассказывает царю историю о рыбаке, которая устроена еще сложнее.

Сначала рыбак достает из моря кувшин с замурованным там джинном и случайно высвобождает истомившегося в неволе духа. Джинн кратко пересказывает ему историю собственных злоключений (первая фрактальная итерация первого порядка), заключая рассказ новостью: он так озверел в этом сосуде, что поклялся убить своего освободителя, так что ничего не попишешь, рыбак, готовься к смерти. Рыбак после положенных мольб и стенаний умудряется обмануть джинна и вновь упрятать его в кувшин. Теперь они поменялись ролями, и уже злой дух умоляет рыбака пощадить его. Но рыбак твердо отказывает джинну, аргументируя свой отказ сходством их истории с историей визиря царя Юнана и врача Дубана. Если предыдущее вложение, рассказ джинна, было простым и кратким, то история царя и его врача (которая есть вторая фрактальная итерация первого порядка) сама является рассказом со вложенным в него рассказом. Итак, некий искусный врач излечил тяжело больного царя, и тот его чрезвычайно возлюбил и день за днем одаривал подарками. Но визирь царя, разумеется, из самых добрых побуждений, уговаривает царя жестоко наказать врача, и даже убить его – ведь если он настолько сведущ в медицине, то легко убьет царя, так что тот и не заметит. Царь не хочет быть неблагодарным и рассказывает визирю историю (заключенная внутрь итерации первого порядка итерация второго порядка) о царе ас-Синдбаде, убившем сокола, который хотел спасти его от яда, капавшего в чашу царя. Параллельно истории сокола звучит история (итерация второго порядка-бис) о прекрасной газели, перепрыгнувшей через голову царя после того, как он успел пообещать убить всякого, через чью голову перепрыгнет эта газель. Возвращаясь к нашему царю (из итерации первого порядка), мы видим, что он не желает убивать врача. Тогда визирь в ответ рассказывает историю (вторая итерация второго порядка) о визире, строившем козни против сына царя. Выслушав его историю, царь (из рассказа рыбака, итерация первого порядка) решает прислушаться к словам своего визиря и наказать врача. Последний горько плачет, но мирится со своей судьбой и даже дарит царю свои драгоценные книги и просит установить свою отрубленную голову на блюдо, чтобы она еще послужила царю. Когда отрубленная голова открывает глаза и велит царю открыть одну из книг, царь облизывает палец, перелистывая слипшиеся страницы, и умирает на месте – а все потому, что не следовало ему обижать мудреца-врача, заключает свой рассказ рыбак, уже замахиваясь сосудом с джинном, чтобы забросить его подальше в море. Конец второй фрактальной истории первого порядка.

О начале следующей (третьей) фрактальной истории первого порядка объявляет джинн: «О, рыбак, не поступай со мной так, как поступила Умама с Атикой!» - умоляет он. «Что же с ними случилось?» – заинтригован рыбак. Но ифрит отказывается рассказывать, пока он заключен в темнице, и ему так грустно и печально. Таким образом, третья итерация первого порядка оказывается вырожденной, и на этом исчерпана.

Рыбак же проникается к поэтически одаренному джинну добрыми чувствами и немедленно освобождает его, и тот навсегда уходит из нашего повествования, оставляя рыбака на берегу озера с чудесными рыбками с наказом не забрасывать сеть чаще, чем раз в день. Но что ж, ведь сказка, рассказываемая Шахразадой, не была сказкой о рыбаке и джинне, и с уходом джинна, жизнь рыбака и нулевая итерация еще продолжаются, хотя и связана с предыдущим повествованием тонкой сюжетной нитью, протянувшейся от рыбака к волшебным заколдованным рыбкам. Эти разноцветные рыбки, предложенные рыбаком царю, стали таинственным образом подгорать на сковороде, и царь в изумлении сам отправился в таинственному пруду за полчаса пути от дворца, чтобы узнать, в чем дело. А подивившись волшебству, царь снова отправился неизвестно куда, чтобы встретить хоть кого-нибудь, кто сумеет рассказать ему об этих рыбках. На третий день пути царь попадает в некий дворец, где встречает странного юношу, наполовину живого человека, наполовину камень. Юноша рассказывает ему свою историю (первая итерация ко второй половине нашей истории) о неверной жене-колдунье, изменявшей ему, сыну царя, с черным рабом, которого он почти, но, к сожалению, не до конца убил, и вот теперь злодейка обратила его наполовину в камень, бьет и унижает его, а сама продолжает прислуживать своему черному полутрупу. Конец первой итерации.

Царь (наш царь, из сказки о рыбаке и разноцветных рыбках) тут же вызывается помочь несчастному юноше, окончательно убивает черного раба, и закутавшись в его тряпки, заставляет колдунью расколдовать юношу и всех его подданных, жителей города, обращенных в рыбок, ибо это, конечно же, была та самая история о заколдованных разноцветных рыбках, которую царь так желал узнать. Добрые дела царь завершает убийством злодейки-колдуньи и заключением вечного союза с выздоровевшим юношей, царем расколдованной страны. Собрав караван подарков, они вместе отправляются в обратный путь в страну нашего царя. Обратная дорога занимает уже не полчаса, и не три дня, а целый год. Обнаружив, что в его отсутствие в стране был образцовый порядок, царь награждает своего верного визиря, а также рыбака (помните рыбака, с которого все началось?) и его детей. Все счастливы, конец нулевой итерации, или истории о рыбаке.

Итого, мы встречаемся здесь с историей, которая делится на две почти независимые истории – о злом джинне и о заколдованных рыбках. Внутри первой присутствуют одно вложение первого порядка – история джинна, другое вложение первого порядка – история о визире царя Дунана и враче Дубане, в которое включены два вложения второго порядка – о соколе, о злом визире, и вырожденное вложение первого порядка – о Умаме и Атике. Внутри второй истории находится единственное вложение первого порядка о злоключениях заколдованного юноши.

hello_html_m431bd852.png
Схема сказки о рыбаке.

На протяжении следующих девятьсот девяноста двух ночей Шахразада рассказала царю Шахрияру еще много других фрактальных историй, которые все вместе объединяются в единый текст «Сказок тысячи и одной ночи».












ПРИЛОЖЕНИЕ 6.

Э.А.По «Сон во сне» (перевод В.Брюсова).

В лоб тебя целую я,
И позволь мне, уходя,
Прошептать, печаль тая:
Ты была права вполне, -
Дни мои прошли во сне!
Упованье было сном;
Всё равно, во мгле иль днём,
В дымном призраке иль нет,
Но оно прошло, как бред.
Всё, что в мире зримо мне
Или мнится, – сон во сне.
Стою у бурных вод,
Кругом гроза растёт;
Хранит моя рука
Горсть зёрнышек песка.
Как мало! Как скользят
Меж пальцев все назад...
И я в слезах,— в слезах:
О боже! как в руках
Сжать золотистый прах?
Пусть будет хоть одно
Зерно сохранено!
Все ль то, что зримо мне
Иль мнится,— сон во сне?
  ориг.1827-1849, пер.1924.

14


Выбранный для просмотра документ РЕЦЕНЗИЯ.doc

библиотека
материалов

РЕЦЕНЗИЯ

1. Предмет анализа: проектная работа «Фракталы вокруг нас».

2. Актуальность темы: интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря.

3. Формулировка основного тезиса: сравнительный анализ программного обеспечения для построения фрактальных множеств.

4. Краткое содержание работы:  в начале работы поясняется причина выбора данной темы, и указываются объект, цели и задачи исследования. Далее рассматривается история возникновения фракталов и различные его виды. Рассмотрен вопрос фрактальности человека и библии. Подобран хороший материал: фракталы в литературе, биологии и музыке. В работе собрана прекрасная галерея фракталов в природе.

5. Общая оценка: оценивая работу в целом, можно сказать, что тема раскрыта полностью, суммируя результаты отдельных глав, напрашивается вывод о соответствии выбранной темы с её содержанием – каждый блок работы дополняет другой, наблюдается плавный переход от части к части. Таким образом, в рассматриваемой работе автор проявил умение разбираться в терминах, касающихся данной темы, систематизировал материал и обобщил его, благодаря чему углубляются школьные представления об исследуемой теме.

6. Теоретическая и практическая значимость: использование материала на уроках и факультативных занятиях по математике и информатике в классах физико-математического профиля.

7. Выводы:  работа может быть оценена «отлично», так как удовлетворяет всем основным требованиям.

 

Учитель: ___________  (Г.С. Конюхова)



Выбранный для просмотра документ приложения 21.doc

библиотека
материалов

hello_html_m41d48e3f.gif

Выбранный для просмотра документ титульный лист.doc

библиотека
материалов

hello_html_5f2b0bca.gifРаботу выполнили учащиеся

7 «Б» класса:

Юденкова Вера, Пономарева Катя, Щипанова Ксения, Дементьев Евгений

9 «Б» класса:

Мерзликина Ангелина, Иванова Алина, Илларионова Лена, Сухой Вадим, Василенко Евгения, Крюченкова Александра,



Научный руководитель

Галина Станиславовна Конюхова,

учитель математики МКОУ АСОШ №3

396250, Воронежская область,

п.г.т. Анна.

Ул. Горького, 40



Выбранный для просмотра документ фракталы вокруг нас.doc

библиотека
материалов

СОДЕРЖАНИЕ

стр.

  1. Введение ………………………..……………………………………………2-4

  2. История возникновения фракталов ………………………………………....5,6

  3. Геометрические фракталы ……………………………………………........7-11

3.1. Кривая Дракона ……………………………………………………...8

3.2. Кривая Леви …………………………………………………………....8

3.3. Кривая Минковского ………………………………………………….8

3.4. Множество Кантора…………………………………………………...….9

3.5. Дерево Пифагора……………………………………………….………....9

3.6. Ковёр Серпинского…………………………………………………….....9

3.7. Губка Менгера………………………………...........................................10

3.8. Снежинка Коха……………………………………………………….10,11

3.9. Треугольник Серпинского……………………..……………………….11

  1. Алгебраические фракталы …………………………………………………..12-16

4.1. Множество Жюлиа ………………………………………………….13,14

4.2. Множество Фату………………………………………………………...14

4.3. Бассейны Ньютона ……………………………………………………...14

4.4. Биоморф………………………………………………………………….14

4.5. Множество Мандельброта ………………………………………….14-16

  1. Фрактальность человека……………………………………………………......17-20

  2. Фракталы в литературе…………………………………………………………21-41

  3. Фрактальность Библии………………………………………………………….42-48

7.1. Логика Библии…………………………………………………………...42

7.2. Азбука Библии………………………………………………………..43,44

7.3. Структура фракталов Библии ……………………………………….44,45

7.4. Фрактал «Образ Божий»……………………………………………..45-47

7.5. Фрактал «Христос»……………………………………………………...47

7.6. Фрактал «Подобие Бога»………………………………………………….48

  1. Герб РФ – фрактал……………………………………………………………..…...49

  2. Фракталы в биологии…………………………………………………………..50-52

  3. Фрактальность в музыке…………………………………………………….....53-55

  4. Природные фракталы…………………………………………………………..…56

  5. Библиографический список……………………………………………………...57

1. ВВЕДЕНИЕ

- А ты знаешь, что такое фрактал???

- Да ты что, ламер что ли??? Штука

такая прикольная, там ещё всё повторяется…

Разговор двух учеников

Сказать честно, впервые о фракталах я узнал довольно давно. Конечно, пешком под стол уже не ходил, но до школы ещё не дорос, лет 5-6 было. Так вот, подарили мне игрушку такую интересную – Magic Caleidoscope.

Так вот, будучи ребенком любознательным и не по годам своим шокирующим взрослых, начал расспрашивать, что там внутри получается. Кто-то ограничивался объяснением, что там красивые узорчики, кто-то рассказал, что там зеркальца и осколки стекол и разные штучки образуют симметрию, которая радует глаз смотрящего. А вот кто- то произнес это непонятное слово - ФРАКТАЛЫ. Естественно я, как не только любознательный ребенок, но и как любопытный, захотел достать те самые фракталы, ведь ни у кого их не было! Вскрытие показало, что никаких фракталов и не существует, только зеркальца.

Конечно, у вас может возникнуть вопрос – почему за такое долгое время я не мог найти ответ на интересующую меня тему? То, что я знал, мне хватало, чтобы в общих чертах объяснить это ещё кому-то.

В этом году члены НОУ задумались над вопросом, что же это на самом деле – фрактал. Решили выяснить, кто придумал эту самую штуку???

Это заинтересовало нас, и мы выбрали для себя объект исследования – ФРАКТАЛ. Перед собой мы поставили цель исследования:

  • Найти способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Задачи исследования:

  • Познакомиться с исследованиями Б.Мандельброта и Е.Федера по определению длины береговой линии и понятием фрактальной размерности.

  • Классифицировать фрактальные множества (на основании изучения научной литературы).

  • Провести сравнительный анализ программного обеспечения для построения и исследования фрактальных множеств.

В своей работе, для того чтобы со всех сторон как можно лучше изучить взятый объект, нам пришлось использовать много разных методов исследования.

Методы исследования: философский, сравнительный анализ, синтез, моделирование.

В самом начале работы мы решили окунуться в историю возникновения фракталов. Для этого воспользовались философскими методами исследования, в частности, всесторонним философским методом познания, выражающим всеобщую связь всех явлений действительности и включающим в себя следующие основные требования:

•     вычленение предмета исследования и проведение его границ;

•     его целостное "многоаспектное" рассмотрение.

Актуальность. Интерес к проблеме обусловлен возросшей ролью фракталов в машинной графике. Они незаменимы при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря.

Исследование: сравнительный анализ программного обеспечения для построения фрактальных множеств.

Предполагаемый результат: убедиться, что фракталы — это, прежде всего, язык геометрии. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.


     Научная новизна: исследование средств и методов построения фрактальных множеств, разработка программного продукта построения фракталов с указанным числом итераций.

Теоретическая и практическая значимость: использование материала на уроках и факультативных занятиях по математике и информатике в классах физико-математического профиля.

При написании работы использовались справочники и специальная литература по математике.

Мерзликина Ангелина, ученица 9 «Б» класса,

член НОУ «Эрудит»































2. ИТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФРАКТАЛОВ

Математика, если на неё правильно

посмотреть, отражает не только истину,

но и несравненную красоту.

Бертран Рассел


Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - это не конусы, линии берега – это не окружности…

«Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные».

Вплоть до XX века шло накопление данных о таких странных объектах, без какой либо попытки их систематизировать. Так было, пока за них не взялся Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной геометрии и слова фрактал. Постепенно сопоставив факты, он пришёл к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии.

Что же такое фрактал? Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно).

Понятие фракталов ворвалось в сознание математиков, других учёных и даже людей, не связанных с наукой, в 1983 году, когда была опубликована основополагающая книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».

Фракталы — это нечто гораздо большее, чем математический курьёз. Они дают чрезвычайно компактный способ описания объектов и процессов. Если рассматривать эти объекты в различном масштабе, то постоянно обнаруживаются одни и те же фундаментальные элементы. Эти повторяющиеся закономерности определяют дробную, или фрактальную, размерность структуры. Фрактальная геометрия описывает природные формы, по-видимому, изящнее и точнее, чем евклидова геометрия.

Фракталы — это прежде всего язык геометрии. Однако их главные элементы недоступны непосредственному наблюдению. В этом отношении они принципиально отличаются от привычных объектов евклидовой геометрии, таких как прямая линия или окружность. Фракталы выражаются не в первичных геометрических формах, а в алгоритмах, наборах математических процедур. Эти алгоритмы трансформируются в геометрические формы с помощью компьютера. Овладев языком фракталов, можно описать форму облака так же чётко и просто, как архитектор описывает здание с помощью чертежей, в которых применяется язык традиционной геометрии.

Язык — это очень подходящая метафора для концепции, лежащей в основе фрактальной геометрии. Буквы не несут в себе никакого смыслового значения до тех пор, пока они не соединены в слова. Точно так же евклидова геометрия состоит лишь из нескольких элементов (прямая, окружность и т.д.), из которых строятся сложные объекты, геометрически выражающие некий смысл.

Красота природы безгранична

И сложными объектами полна.

А то, что геометрии привычно
Не удаётся описать сполна:

Берег моря, облако иль пламя,
Как их форму можно описать?
Чтобы приоткрыть завесу тайн,
Нужно мир фракталов изучать.




3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке. Фракталы этого класса — самые наглядные, потому что в них сразу видна самоподобность. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений.

Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Пhello_html_6d6a2f6b.pngример кривой Пеано, построенный Гильбертом.

Здесь приведены первые шесть итераций последовательности кривых.

Первая такая кривая была построена Джузеппе Пеано в 1890.

Рассмотренная выше кривая Пеано является геометрическим фракталом.

Есть ещё и другие кривые:

  • кривая дракона;

  • кривая Леви;

  • кривая Минковского;

  • кривая Коха.



3hello_html_4507701.png.1. КРИВАЯ ДРАКОНА

Дракон Хартера, также известный как дракон Хартера — Хейтуэя, был впервые исследован физиками NASA. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером.

Дракон Хартера — Хейтуэя

hello_html_293d4374.pnghello_html_52a772fb.png



3hello_html_49995c07.png.2. КРИВАЯ ЛЕВИ — фрактал. Предложен французским математиком П. Леви. Получается, если взять половину квадрата вида /\, а затем каждую сторону заменить таким же фрагментом, и, повторяя эту операцию, в пределе получим кривую Леви.

hello_html_4a135370.png

3.3. КРИВАЯ МИНКОВСКОГО

Кривая Минковского или колбаса Минковского — классический геометрический фрактал, предложенный Минковским. Инициатором является отрезок,

а генератором является ломаная из восьми

звеньев (два равных звена продолжают друг друга).

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

  • множество Кантора;

  • дерево Пифагора;

  • коврик Серпинского;

  • губка Менгера;

  • кладбище Серпинского;

  • треугольник Серпинского.



3.4. МНОЖЕСТВО КАНТОРА

Ка́нторово множество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.

hello_html_3f07964f.png

Из единичного отрезка C0 = [0,1] удалим среднюю треть, т. е. интервал (⅓,⅔). Оставшееся точечное множество обозначим через C1, оно состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть и оставшееся множество обозначим через C2. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем C3. Обозначим через C пересечение всех Ci. Множество C называется Канторовым множеством.

3hello_html_m1819c8f3.png.5. ДЕРЕВО ПИФАГОРА

Дерево Пифагора — разновидность фрактала, основанная на фигуре, известной как «Пифагоровы штаны».

Сверху - классическое дерево Пифагора, снизу - обнаженное обдуваемое ветром дерево Пифагора.

3.6. КОВЁР СЕРПИНСКОГО

Кhello_html_26402863.pngовёр Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским. Также известен как квадрат Серпинского.

Квадрат Q0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата Q0 удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество Q1, состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность пересечение членов которой есть ковёр Серпинского.

3hello_html_mcb96f81.gif.7. ГУБКА МЕНГЕРА

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

hello_html_664d948b.jpg



Куб K0 с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба K0 удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество K1, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество K2, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность, пересечение членов которой есть губка Менгера.

Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Треугольник Серпинского, Лист.

3.8. СНЕЖИНКА КОХА

Иhello_html_20eb1198.pngз этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха.

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом. Кривая Коха примечательна тем, что нигде не имеет касательной, т. е. нигде не дифференцируема, хотя всюду непрерывна.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую, называемую снежинкой Коха.

Сhello_html_m48fe3ace.pngтроится она на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого заменяется на 4 линии каждая длиной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь. Попробуйте сделать то же самое методами и фигурами из евклидовой геометрии. Для построения геометрических фракталов хорошо приспособлены так называемые L-Systems. Суть этих систем состоит в том, что имеется определенных набор символов системы, каждый из которых обозначает определенное действие и набор правил преобразования символов.

3.9. ТРЕУГОЛЬНИК СЕРПИНСКОГО

Второе свойство фракталов - самоподобие. Возьмем, например, треугольник Серпинского.

Тhello_html_3892399f.pngреугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Он также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.


Равносторонний треугольник M0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество M1, состоящее из 3 оставшихся треугольников "первого ранга". Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество M2, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.



4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ

Это самая крупная группа фракталов. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдёт. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов.

Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Алгоритм построения достаточно прост и основан на итеративном выражении: zi + 1 = F(zi), где F(z) — какая-либо функция комплексной переменной.

Для всех точек прямоугольной или квадратной области на комплексной плоскости вычисляем достаточно большое количество раз zi + 1 = F(zi), каждый раз находя абсолютное значение z. При этом значения функции для разных точек комплексной плоскости могут иметь разное поведение:

  • с течением времени | z | стремится к бесконечности;

  • | z | стремится к 0;

  • | z | принимает несколько фиксированных значений и не выходит за их пределы;

  • Поведение | z | хаотично, без каких-либо тенденций.

Одним из самых распространённых способов раскрашивания точек будет сравнение |z| с заранее выбранным числом, которое считается «бесконечным», т. е. цвет точки равен номеру итерации, на которой | z | достиг «бесконечности», или чёрному в противном случае.

Также можно изменить вид фрактала, если контроль значения z вести другим образом, например:

  • действительная часть z меньше определённого числа;

  • мнимая часть z меньше определённого числа;

  • мнимая и действительная части z меньше какого-либо числа;

  • другие способы.

И, наконец, ещё один интересный эффект — изменение палитры. После того как изображение построено, можно циклически изменять цвета закрашенных областей, и тогда и без того удивительное изображение «оживёт» на экране.

Примеры алгебраических фракталов:

  • множество Жюлиа;

  • бассейны Ньютона;

  • биоморфы;

  • множество Мандельброта.


4.1. МНОЖЕСТВО ЖЮЛИА

Вhello_html_2f615440.png голоморфной динамике, множество Жюлиа́ hello_html_m7c7afb03.pngрационального отображения hello_html_47ef3599.png — множество точек, динамика в окрестности которых в определённом смысле неустойчива по отношению к малым возмущениям начального положения. В случае, если f — полином, рассматривают также заполненное множество Жюлиа — множество точек, не стремящихся к бесконечности. Обычное множество Жюлиа при этом является его границей.

4.2. Множество Фату hello_html_mc3b937.png — дополнение к множеству Жюлиа. Иными словами, динамика итерирования f на hello_html_mc3b937.pngрегулярна, а на hello_html_m7c7afb03.pngхаотична.

Эти множества названы по именам французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату, положивших начало исследованию голоморфной динамики в начале XX века.

4.3. БАССЕЙНЫ НЬЮТОНА

Бассейны Нью́тона — разновидность алгебраических фракталов.

phello_html_36a395ce.png(z) = 0, p(z) = z3 − 1

Строятся по следующей формуле:


4.4. БИОМОРФ



Биомо́рфы — термин, предложенный Клиффордом Пикоувером для обозначения особым образом построенных алгебраических фракталов, внешним видом напоминающих одноклеточные организмы.hello_html_m13a54ec0.png

Классическим примером алгебраических фракталов является множество Мандельброта.


4.5. МНОЖЕСТВО МАНДЕЛЬБРОТА

Вhello_html_87cd7ee.pnghello_html_m42cd76f4.pnghello_html_m5b5b569b.png математике мно́жество Мандельбро́та — это фрактал, определённый как множество точек hello_html_m390e16be.pngна комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность не уходит на бесконечность.

Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200 pаз.

Вhello_html_m35c703c6.pngпервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные процессы вида hello_html_m48e52be0.png

Начав с точки hello_html_m208da59b.png на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой hello_html_m208da59b.png при преобразовании hello_html_m48e52be0.png.

Фату нашел, что орбита hello_html_m42cd76f4.png при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований — своё для каждого значения hello_html_m390e16be.png. В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность.

Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер.

Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта — один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя.

Фрактальные множества часто возникают в качестве аттракторов или бассейнов притяжений динамических систем даже в самых, казалось бы, простейших ситуациях (см. Множество Мандельброта).

Множество Мандельброта не является динамической системой (по своему определению, хотя тут можно поспорить), тогда как множество Жюлиа - яркий пример динамической системы (фактически это все устойчивые точки динамической системы).

Более того, аттракторы не являются фракталами! Фрактальна зона "раздела влияния" между аттракторами, и то далеко не всегда.



















5. ФРАКТАЛЬНОСТЬ ЧЕЛОВЕКА

В деятельности людей обнаруживается много малоизученных моментов самоподобия. Хотелось бы привлечь внимание к отдельным проблемам изучения фрактальности человека.

Триединый мир, "природа, социум, дух" - сконцентрирован в человеке. Человек выражает мир. Неслучайно в культуре Востока и Запада утверждается, что весь мир проявляется в человеке, а человек во всем мире. Здесь соотносительная фрактальность человека и мира предстает во всеобщей и целостной форме. Человек является очень сложным фрактальным объектом.

Будучи существом одновременно природным, социальным и духовным, он самоподобен во взаимной проникновенности каждого из этих трех "компонентов". В духовности и единстве психики, интеллекта и воли - выражается вся природность и социальность людей. В социальности обнажается вся природность и духовность человечества, каждого его представителя. Природность же, естественность человека предопределяет его социальность и духовность. Но так представленная фрактальность человека лишь номинальна, мертва.

В действительности же она жизненна, реальна, ибо объектная (телесная, общественная, сознательная) сущность человека не может быть разорвана, отделена от деятельностной сущности людей, которая является в триедином процессе - производстве (прежде всего самой жизни и как следствие отсюда и жизненных средств, благ), общении и мышлении.

Человек всегда стремится познать и понять самого себя. Простейшими средствами здесь выступают сравнение, аналогия, сходство, различие. Сходство или подобность самому себе человек издревле искал в объектах и действиях природы, в явлениях общества, феноменах собственного духа. Человек давно пришел к мысли, что природа рождает самоподобные объекты, т.е. фракталы.

Человек свою подобность искал и создавал даже в отражении: сначала в воде, потом в зеркале, далее в графике, скульптуре, портретной живописи, фото, наконец, в фильмах. Пожалуй, первыми фракталами человека в целом и отдельных человеческих органов выступали животные и их действия.

Сегодня человек в своей деятельности предстает очень сложным самоорганизующимся и преобразующим мир фракталом. Все развитие культуры видится нам как развитие фрактальности человека.

Действительно, люди всегда всецело и (или) частично развивали свою фрактальность. Сначала человек руками собирал плоды с дерева, затем, сбивал их палкой, потом пользовался камнями, создавал орудия труда, инструменты, машины, сложные агрегаты, разрабатывал и совершенствовал технологию. Все это представляет собой внешнее продолжение человека, его органов, его функций, выступает дополнением и носителем человека. Все средства производства, постоянные, съемные и сменные "продолжения" искусственных органов1 люди создавали и совершенствовали по своему образу и подобию.

Ныне развитие науки, техники, современной технологии оказывает огромное влияние на образ жизни всего человечества и каждого его представителя. Человек создал свою подобность в технике и стал познавать себя посредством техники. Возник фрактал человека, названный homo tetechnicus. Техника и творение человека. Вместе с тем, техника - образ человека. Человек созидает свой образ, фрактал, т.е. продолжает строить себя. Природа не достроила человека; человек, преображая природу, продолжает создавать, совершенствовать себя сам.

Весь технический мир есть механический образ человечества, его продолжение и расширение. С позиции техники человек есть странная и несовершенная машина. Он почти ничего не может2. Кроме построения и развития механической фрактальности ("рук", "ног", "глаз", "ушей", искусственных органов - "легкие", "почки" и т.д.), человек начал строить и развивать и другой орган и искусственный "мозг". В XX в. это было названо компьютерной технологией с кибернетическими методами управления. Не будем говорить, что человеческий мозг хуже думает, чем кибернетический, но все же кибернетика тоже является фракталом - своеобразным самоподобием человеческого мозга.

Человек всегда стремился наделить машину возможностями, которыми природа изначально одарила только живые организмы, и воссоздать из груды мертвого материала технический организм, способный действовать подобно живому. Одним из направлений в этой области является создание антропоморфных машин и роботов, где объединены механические, химико-биологические и кибернетические фрактальности человека.

Надо отметить, что самым естественным и первым фракталом выступает потомство. Потомство всегда является фракталом предков. Большой интерес для исследователей представляют близнецы. Их подобность выражена максимально. Не только внешне, но и в поведении, в интересах и т.д. Они действительно фрактальны друг другу. Устремляясь за подобностью, человек пытается в XXI в. идентично воссоздать себя. Клон - это и есть фрактал. Первое клонирование, т.е. фракталирование проводилось в растениях (клубника и т.д.), далее в животных (мышка Маша, овечка Долли), но теперь человек пытается клонировать себя. Это еще раз доказывает, что человек всегда пытается познать себя на основе своего же образа и подобия.

В обществе принцип фрактальности приобретает порой своеобразную форму: один или несколько человек могут быть фракталом другого человека, а он, в свою очередь, может быть фракталом еще третьего. Более того, один человек может являться несколькими фракталами. Некоторые "авторитетные" руководители, указывая на отдельных своих подчиненных, утверждают: "он является моей правой рукой, а этот левой". Иными словами, руководитель фрактально развивает свои органы в социальном мире. Военные структуры почти полностью описывают фрактальность человека. Например, полевая разведка – глаза, государственная разведка – уши, военный штаб – мозг, механизированная пехота – ноги, и т.д

Наряду с природными и социальными проявлениями фрактальности человека особого внимания ученых заслуживают и фракталы духовного порядка. Человеческая и человечная психика базируется на чувствах, эмоциях и выражается в них. Вся психика, по сути, фрактальна. Действительно, чувство сопереживания, жалость возникают как раз на основе существующих в человеке фрактальных чувств. Понимать и воспринимать другого человека, поставив себя на место страдающего есть подобность чувств, т.е. фрактальность. Нравственность, этические воззрения людей фрактально развиваются через образы добродетели, справедливости, блага.

















6. ФРАКТАЛЫ В ЛИТЕРАТУРЕ

Представление о фракталах, и мечта о литературных фрактальных произведениях характерны для человеческой мысли с незапамятных времен: вспомним хотя бы мечту о Книге книг – книге, состоящей из книг, или книге, включающей в себя иные книги – если это и не фрактал, то первая к нему итерация.

Тот факт, что писатели прошлого никогда не слышали и не могли слышать о фракталах, ровно ничего не означает: «когда писатель (и вообще художник) говорит, что, работал, не думал о правилах, это означает только, что он не знал, что знает правила»,3

Попытаемся сформулировать, что представляют собой фракталы как произведения - сплав визуального искусства и математики.

В целом мы будем считать фрактал произведением искусства, которое характеризуется двумя основными характеристиками:

1) часть его неким образом подобна целому (в идеале, эта последовательность подобий распространяется на бесконечность, хотя никто никогда не видел действительно бесконечной последовательности итераций, строящих снежинку Кох);

2) фракталы обладают особым завораживающим шармом, погружение в который может завести чрезвычайно далеко.

Пытаясь определить литературные фракталы, мы встречаемся с некоторыми принципиальными трудностями: во-первых, литературный текст, по сравнению с произведением визуального искусства, обладает одной существенной особенностью – он линеен, существует направление его прочтения от начала до конца. Впрочем, с этой особенностью текста успешно справляются как создатели палиндромов, закручивающих текст в двустороннее обращаемое кольцо, так и создатели интерактивной литературы, предлагающие читателю произвольно или по некоторому закону изменять порядок прочтения фрагментов текста.

Ещё одной особенностью текста является его конечность. Эта особенность свойственна и визуальным работам, и именно фракталы вывели визуальные произведения за рамки формальной конечности.

Как же можно создать бесконечный текст? Этим вопросом задавался герой рассказа Х.-Л.Борхеса «Сад расходящихся тропок»: «…я спрашивал себя, как может книга быль бесконечной. В голову не приходит ничего, кроме цикличного, идущего по кругу тома, тома, в котором последняя страница повторяет первую, что и позволяет ему продолжаться сколько угодно»4.

Посмотрим, какие ещё решения могут существовать.

Самыми простым бесконечным текстом будет текст из бесконечного количества дублирующихся элементов, или куплетов, повторяющейся частью которого является его «хвост» – тот же текст с любым количеством отброшенных начальных куплетов. Мы постарались максимально упростить  примеры, подобрав короткие и, по возможности, забавные стишки.

Схематически такой текст можно изобразить в виде неразветвляющегося дерева или периодической последовательности повторяющихся и повторяющихся  куплетов. Единица текста – фраза, строфа или рассказ, начинается, развивается и заканчивается, возвращаясь в исходную точку, точку перехода к следующей единице текста, повторяющей исходную. Такой текст можно уподобить бесконечной периодической дроби: 0,33333…, ее еще можно записать как 0,(3). Видно, что отсечение «головы» – любого количества начальных единиц, ничего не изменит, и «хвост» будет в точности совпадать с целым текстом.

                       

hello_html_m4c637db6.pnghello_html_m7a44a866.pnghello_html_m5a2b2322.png       hello_html_699182bc.png     …                    …

Рис.1. Неразветвляющееся бесконечное дерево тождественно самому себе с любого куплета.

Среди таких бесконечных произведений – стихи для детей или народные песенки, как, например, стишок о попе и его собаке из русской народной поэзии (смотри приложение 1):

У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

В землю закопал,

Надпись написал,

Что

У попа была собака…

Или стихотворение М.Яснова «Чучело-мяучело»:

Чучело-мяучело

На трубе сидело.

Чучело-мяучело

Песенку запело.

Чучело-мяучело

С пастью красной-красной –

Всех оно замучило

Песенкой ужасной.

Всем кругом от чучела

Горестно и тошно,

Потому что песенка

У него про то, что:

Чучело-мяучело

На трубе сидело…

Схематично эти тексты могут быть записаны как «А А А А …».

Другие стихотворения этого класса обладают схемой типа «А В А В …», например:

Еду я и вижу мост, под мостом ворона мокнет,

Взял ворону я за хвост, положил ее на мост, пусть ворона сохнет.

Еду я и вижу мост, на мосту ворона сохнет,

Взял ворону я за хвост, положил ее под мост, пусть ворона мокнет…

К последним текстам можно отнести знаменитую притчу о бабочке Чжуан Цзы, если перефразировать ее следующим образом: «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…».

Заметим, что тема сна и сновидений ещё встретится нам в других произведениях фрактальной литературы.

Подвариант схемы – «А B А В …»: «Игры, в которые играют люди, которые играют в игры, в которые играют люди, которые…».

В качестве суждения В может выступать и суждение, обратное к А: А. Тогда схему можно записать как: «А А А А А А А ...». К подобным текстам относится знаменитый парадокс «Лжеца», модифицированный в суждения, записанные на двух сторонах одной карточки. Первое из суждений гласит: «Утверждение на обратной стороне карточки ложно», а другое: «Утверждение на обратной стороне карточки истинно». Перефразируя их в единый бесконечный лексически фрактальный текст, получаем: «ложным является утверждение, что истинным является утверждение, что ложным является утверждение, что истинным…».

В работах А.Зенкина было показано, что  «"истинной" формой "Лжеца" (и ему подобных парадоксов) является именно бесконечное "рассуждение"» 5 приведенного выше вида.  Именно такая запись позволяет, наконец, разрешить старинный парадокс, выводя читателя из «состояния интеллектуально-психологического шока», вызываемого традиционной конечной записью.

С формальной точки зрения, развернутое в бесконечное высказывание суждение о лжеце представляет собой лексический фрактал без разветвлений, связывающий в единую цепь взаимных отражений два противоречивых суждения, в чем проявляется и характерная для фрактальных текстов парадоксальность, и энигматичность, выводящая читателя из рамки привычных представлений о конечных логичных текстах.

Фhello_html_559a2476.pngрактальный рисунок для такого рода стихотворений возникает из самой записи текста. Структуру их можно изобразить или в виде замкнутой кривой (первый случай) или двух замыкающих друг друга кривых (второй случай).

 

Рис.2. Змея, кусающаяся себя за хвост



hello_html_m56e028fd.png


Рис 3. Две змеи, пожирающие друг друга.



В кольце может быть и большее число звеньев, как, например, в случае замкнутой логической схемы из трех элементов, описывающей строение стихотворения для детей Р.Сефа «Бесконечные стихи»:

Кто вечно хнычет и скучает –

Тот ничего не замечает,

Кто ничего не замечает –

Тот ничего не изучает,

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

Если скучно стало – почитай сначала.


Видно, что увеличение числа звеньев в кольце, хотя и обладает определенным философским значением, мало отражается на фрактальности бесконечных стихотворений.

Простота этих стишков не должна служить основанием для отказа им во фрактальной сущности, вспомним, что и фракталы Мандельброта, и кривые с дробной размерностью задаются достаточно простыми алгебраическими формулами или алгоритмами, и это также одна из особенностей фракталов – простая задача имеет необычайно сложные решения.

А первое основное свойство фракталов, свойство гомоморфности частного целому, нашим детским стихотворениям присуще.

В результате возникает в точности повторяющиеся «куплеты», которые производят бесконечную последовательность повторений, никогда и ничем не исчерпывающуюся. Эти повторы точны и математически строги. Попробовав повторять их действительно долго, мы легко увидим, что через несколько циклов повторений они потеряют и забавность, и очарование, и превратятся в скучную, нудную, ужасную тавтологию.

В отличие от бесконечных куплетов, фрагменты фракталов Мандельброта все же не тождественны, а подобны друг другу, и это качество и придает им завораживающее очарование.

Чтобы избежать точного повторения куплетов бесконечных стихотворений, поэты идут двумя путями: создают стихи с вариациями и зацикленные стихи с конечной последовательностью куплетов.

Стихи с вариациями это, например, запущенная в оборот С.Никитиным и ставшая народной песенка «У Пегги жил веселый гусь», в которой варьируются Пеггины приживалы и их привычки: «У Пегги стройный жил жираф, он элегантен был, как шкаф»,  «У Пэгги жил веселый глюк, он самый лучший Пэггин друг», «У Пегги жил смешной пингвин, он различал все марки вин», и т.д., (смотри приложение 2).

Сочинено уже если не бесконечное, то довольно большое число куплетов: утверждают, что кассета «Песни нашего века» вышла с двумястами вариациями песенки, и, вероятно, число это продолжает расти.

Стихотворения с вариациями можно уподобить кристаллической решетке с нарушениями, первым мутациям строгого структурного кода. Дурную бесконечность пытаются преодолеть здесь за счет сотворчества, детского, наивного и забавного.

Такие куплеты уже не превращаются в безжизненную или изменяющее сознание мантру, они требуют постоянного активного сочинительства, пробуя различные бессмысленные комбинации в потенциальном поле бесчисленных возможностей, проверяя жизнеспособность словесной мутации на практике, и – бурно радуясь комбинаторике соответствий и несоответствий: «У Пегги жил веселый слон, он скушал синхрофазотрон, спляшем, Пегги, спляшем!».

Другая возможность вырваться из бесконечной последовательности повторений – это изначально объявить о конечном количестве повторяющихся строф.  К таким произведениям относятся: песенка про пять сосисок («Five fat sausages sizzling in a pan…»), которые постепенно исчезали со сковородки, песенка про десять негритят («Ten little nigger boys went out to dine…»), в которой различия уже событийные, аналогичная песенка про одиннадцать солдат Ю.Кима, и другие, (смотри приложение 3).

Изначально заданная конечность последовательности куплетов сразу же вносит интонации черного юмора в эти стихотворения. Недаром такие куплеты адресуются и исполняются хором, аудиторией, находящейся в состоянии эйфории – в баре, на слете КСП и др. Исчезающие герои стихотворений шагают в небытие с улыбкой на лице, под одобрительный хохот аудитории – «ах, ах, ах, еще один упавший вниз…». Впрочем, это уже совсем другая песня.

Возвращаясь к фрактальным произведениям, заметим, что с формальной точки зрения и куплеты с вариациями, и конечные куплеты так и не выходят за пределы схемы неветвящегося дерева.

Посмотрим, возможны ли литературные фракталы с вариациями, которые могут вывести читателя от кристаллической решетки, свойственной неживой природе,  и от примитивной цепочки случайных разовых мутаций к сложным и самоорганизующимся, изобретательным и страстным живым структурам.

Но сначала поразмыслим немного, а сколько же на самом деле итераций требуется, чтобы фигура воспринималась как фрактальная. Вероятно, ответ лежит где-то между психологическими константами три и семь.

Как мы видели, одинаковых куплетов можно спеть три-пять, куплетов с заданным пределом – около десяти, куплетов с вариациями – достаточно много, но за одно исполнение вряд ли больше тех же десяти.

Замечено, что рассматривание последовательности увеличивающихся масштабов фракталов Мандельброта на компьютере, требующее от наблюдателя только нажатия кнопки мыши, обычно не идет дальше трех-семи приближений, после чего внимание переключается на другую картинку.

Стремящийся к большим и бесконечно большим числам человеческий разум, в реальности вполне удовлетворяется тремя, пятью, семью или девятью итерациями к этой самой бесконечности. Большие усложнения могут вызвать, видимо, только скуку, головную боль или, у самых настойчивых исследователей, психические проблемы.

А что же подлинная бесконечность, подлинное и совершенное знание? Видимо, она лежит за пределами человеческого восприятия, и принадлежит высшему. Как утверждает писатель семнадцатого века Марин Мерсенн в «Quaestiones super Genesim», «наличие у человека чувства бесконечности уже является доказательством бытия Бога»6. Но стремление человека к бесконечному, принципиально недостижимому, и есть доказательство его человечности.

Существуют тексты, в которых фрактальная природа проявляется в их форме, структуре. К таким произведениям можно отнести, например, сложные стихотворные циклы, состоящие из стихотворений твердых форм, как то венки сонетов. Если сонет – стихотворение из четырнадцати строк с заданным числом слогов в строке, строк в строке, схемой рифм и ритма, с небольшими различиями для традиционных французских, итальянских и английских сонетов, то венок сонетов представляет собой цикл из четырнадцати сонетов, связанных крайними строками – последняя строка первого сонета является первой строкой второго сонета венка, последняя строка второго сонета – первой строкой третьего сонета, и т.д., а все четырнадцать крайних строк образуют еще один, магистральный сонет, в котором и заключен общий замысел всего цикла.

В России венки сонетов писали Вяч.Иванов – «Cor ardens», М.Волошин – «Lunaria» и «Corona astralis», В.Брюсов – «Роковой ряд» и др., (смотри приложение 4).

hello_html_m28e80860.png

Рис.4. Схема венка сонетов (создана с подсказки схемы Л.Г.Портера из книги «Симметрия – владычица стихов: Очерк начал общей теории поэтических структур. М.: Языки славянской культуры, 2003).

 


hello_html_m7768436b.png

Рис.5. Схема венка венков сонетов.

Усложним эту структуру – пусть теперь каждый сонет из венка сонетов будет магистральным для своего, второго порядка, венка сонетов, а все 14*14 + 14 + 1 = 211 сонетов образуют венок венков сонетов (рис.5). Эта конструкция настолько сложна, что она не имеет однозначного названия – различные исследователи именуют ее и венком в квадрате, и кружевом, и короной сонетов. На ней уже явно видна фрактальная природа такого цикла.

И также очевидно направление усложнения – в сторону венка венков сонетов – он же венок в кубе, пирамида сонетов, диадема сонетов, состоящего из 143 + 142 + 141 + 140 = 2455 сонетов.

  Создать венок венков сонетов – чрезвычайно трудная задача. В.Шкловский выражал сомнение, что она может быть проведена без риска для психики автора. Однако таким стихотворным циклам нельзя отказать в наличии завораживающей красоты, настоятельно требующей полного в нее погружения и не дающего пустых обещаний относительно возвращения в реальный мир.

Создание фрактального  произведения следующего уровня сложности, венка венков венков сонетов, представляется нам практически неосуществимым. И это еще одно подтверждение ограниченности человеческого духа, не способного справиться с задачей не то, что бесконечного, а хотя бы третьего уровня сложности.

Изобразим литературное произведение следующего фрактального типа кривой, сходной с кривой Коха. В отличие от ломаной Коха, где две конечные точки соединяются прямой линией, мы будем изначально считать процесс прохождения от начала до конца текста нелинейным. Простое повествование, или первую итерацию, мы будем изображать округлой кривой, соединяющей две конечные точки, вторая итерация будет изображаться кривой меньшего радиуса на середине первой, третья – еще одной меньшей кривой, наложенной на предыдущую, и т.д. Количество кривых второго уровня сложности может быть равно как одному, так и некоторому числу, больше одного. Число усложнений, говоря теоретически, неограниченно.




hello_html_6bc04275.jpg



Рис.6. Фрактал «рассказ в рассказе».

Если кривую без изломов рассматривать как некоторое простое литературное произведение – рассказ, то кривая внутри нее представляет собой «рассказ в рассказе», явление в литературе знакомое, нередкое и достаточно древнее. Вспомним хотя бы хрестоматийный рассказ Л.Н.Толстого «После бала», где авторский текст открывает и замыкает рассказ, внутри которого находится история, рассказанная ее героем, Иваном Васильевичем.

Часто автор предпосылает своему произведению предисловие, в котором создает повествователя, который якобы сочинил или записал следующее произведение. Так поступает А.С.Пушкин, предваряя «Повести Белкина» биографией «покойного Ивана Петровича Белкина», написанной по просьбе издателя его соседом-помещиком. Оказывается, что «настоящий» автор повестей мертв, его наследница никогда с ним не встречалась и ничего о нем сказать не может, а свидетель-сосед не желает открывать свое имя и публично выступать писателем, даже небольшой биографии.

Повести, выдаваемые за запись реальных событий, окружены завесой тайны. Это одна «обертка», одна маска, которую надевает на себя автор.

Умберто Эко предваряет «Имя розы» целой луковицей масок: в Праге 16 августа 1968 года повествователь приобретает книгу «Записки отца Адсона из Мелька, переведенные на французский язык по изданию отца Ж.Мабийона» в переводе на французский язык аббата Валле. В комментарии к этой якобы изданной в 1842 книге указывается, что «переводчик дословно следовал изданию рукописи XIV века, разысканной в библиотеке Мелькского монастыря знаменитым ученым семнадцатого столетия». Рассказчик начинает переводить книгу на итальянский, попутно обнаруживая, что «никаких следов рукописи отца Адсона в монастырской библиотеке не обнаружилось». Вскоре он теряет и книгу Валле. И обнаруживает, что «первоисточник», книга доктора теологии Жана Маоийона, издана иным издателем и на два года позже, чем указано у Валле. Посетив аббатство, где якобы была издана книга Валле, он убеждается, что никакой аббат Валле никогда не публиковал книг в типографии аббатства, да похоже, и типографии то у аббатства никогда не было. Мистификация? Но повествователь находит в другой книге, переводе с утерянного грузинского (!) оригинала (Тбилиси, 1934) обширные выдержки из рукописей Адсона Мельксого в изложении преподобного Афанасиуса Кирхера, знаменитого ученого XVII века, и значит, делает вывод повествователь, аббат Валле подтвердил свое существование, следовательно, существовал и Адсон из Мельда. И повествователь решает опубликовать свой «итальянский перевод с довольно сомнительного французского текста, который в свою очередь должен являть собой переложение с латинского издания семнадцатого века, якобы воспроизводившего рукопись, созданную немецким монахом в конце четырнадцатого». Число «оберток» достигает четырех, и уже, несомненно, фрактально по природе.

Вернемся к «рассказам в рассказах». Они  появлялись и много раньше приведенных примеров, так, в «Метаморфозах» Овидия внутри истории об обращении Ио в корову, находится рассказ о Пане и Сиринге. Этим повествованием посланец Зевса пытается усыпить стоокого Аргуса, стража несчастной Ио. А внутри «Золотого осла» Апулея мы встречаем изложение истории об Амуре и Психее.

Это случай одной итерации, что уже интересно, но, вероятно, не является полноценным фрактальным литературным произведением. Если «сверху» количество повторов ограничивалось, как мы видели, числом около семи, то ограничением «снизу» будет, вероятно, число три – нужно хотя бы три повторения или структурные итерации, чтобы литературное произведение воспринималось как фрактальное, потенциально допускающее усложнение до бесконечности.

Уникальную коллекцию «рассказов в рассказах» можно найти в сборнике арабских «Сказок тысячи и одной ночи».

Так, в «Сказке о джинне и рыбаке» можно найти в общей сложности семь вложенных историй, вплоть до третьего порядка вложений. Число, заметим,  не слишком большое по сравнению с бесконечностью (смотри приложение 5).

Автор «Сказок» при всей любви к сложным и завораживающим повествованиям не умножает количества вложенных историй, понимая, что это только запутает или отпугнет читателя, а заскучавший слушатель Шахразаде смертельно опасен. И автор предпочитает набирать вариации увеличением количества рассказов.

Итак, хотя число вложенных уровней в «Сказках» уже позволяет сделать заключение о фрактальности произведения, структура «Сказок» не слишком сложна, и завораживающее кружево плетется количественным умножением сюжетов со сходными персонажами, обозначенными только именами и ролями – юный царь, мудрый или злобный визирь, джинн, волшебник, – за счет чего возникает еще и возможность отражения одной истории в другой.

Истории Шахразады можно представить себе как горизонтальный лес из сотен деревьев, на каждой из которых по два, три, четыре уровня ветвления – от ствола к веткам и цветам.

Красота «Сказок» более возбуждает, чем завораживает, она более пряная, чем пьянящая, и более дурманящая, чем раскрывающая сознание. «Сказки тысячи и одной ночи» повторяют схожие сюжеты, пока у читателя не закружится голова, как у зрителя танца дервишей, они пересказывают все те же волшебные истории, не стремясь выйти за земные пределы, за пределы садов, гаремов и рынков.

Другими примерами текстов с вложенными в них текстами является «готический» роман Яна Потоцкого «Рукопись, найденная в Сарагосе», романы «с выдвижными ящиками» Евгении Сюэ, или произведения Раймона Русселя, в которых внутренние сюжеты до шести раз «заключаются в скобки» (Berge Cl. Pour une analyse potentielle de la litterature combinatoire. // L’OULIPO: La litterature potentielle. Paris: Gallimard, 1973. P.57).

В классической литературе «рассказ в рассказе», вложение, сюжетно подобное оригиналу, осуществляет В.Шекспир в III действии «Гамлета», когда заезжие актеры по просьбе Гамлета разыгрывают перед двором сцену, которая дублирует ключевые события оригинальной пьесы – убийство короля и брак цареубийцы с королевой.

Мимо этого вложения, разумеется, не мог пройти Т.Стоппард в пьесе «Розенкранц и Гильдернштерн мертвы», построенной на основе и поверх шекспировского «Гамлета».

Т.Стоппард, вслед за Шекспиром, вносит в пьесу вторую итерацию: актеры, репетирующие пьесу, разыгрывают и пантомиму на тот же сюжет. Интересно, что в одноименном фильме (автором сценария и режиссером его также был Т.Стоппард, что дает нам возможность делать отсылку к сценарию фильма как к литературному произведению), в этом фильме производится еще одна итерация, и на сцене появляется грубо вылепленные марионетки героев. Таким образом, трагическая история рассказывается в третий раз, на каждом уровне теряя в качестве изложения, как теряет качество все уменьшающаяся копия.

Трех итераций, как мы видели, уже вполне достаточно, чтобы говорить о полноправном фрактальном произведении. Заметим, что ключевой момент, убийство короля, не представлен в пьесе Шекспира, и изначально существует только как догадка, мучащая Гамлета, и также как копия, пересказывание ее  заезжими актерами. Оригинал утерян безвозвратно, и попытки Гамлета создавать все новые копии есть попытки восстановить утраченный оригинал по бледным, с каждым разом все более грубым, копиям.

Снижение качества копии при «увеличении масштаба» изображения является здесь осознанным решением художника в поисках выхода из бесконечной цепи тавтологически повторяющихся повторений. Это решение должно, через какое-то количество чарующих итераций, снять вызванную им проблему и прервать ряд, ибо ни королевское спокойствие, ни гамлетовские комплексы не бесконечны.

В пьесе Стоппарда, как и в пьесе Шекспира, ряд все же рвется, рассказ в рассказе в рассказе в рассказе заканчивается, и история продолжается примерно там же, где прервалась. Доказательства, признания в цареубийстве, которого так жаждет Гамлет, он не получает, король в гневе покидает зал, и Гамлету остается довольствоваться этим, как косвенным признанием вины. Последовательность фрактальных изображений не привела к восстановлению оригинала.

Мы уже видели, что чары фрактальных литературных произведений часто лежат около волшебных снов. К структурным фракталам можно отнести такие произведения, в которых повествуется о снах, неотличимых от действительности, которые оказываются частью иного сна, а те – еще одного, так что всякое пробуждение приводит героя в новую сновидческую реальность. Это ощущение, вероятно, испытывали многие в собственной жизни, и многие писатели пытаются провести читателя коридорами вложенных снов в своих произведениях – среди них и Г.Майнринк в «Големе»: «Когда люди подымаются с ложа сна, они воображают, что они развеяли сон, и не знают, что становятся жертвой своих чувств, что делаются добычей нового сна, более глубокого, чем тот, из которого они только что вышли», и С.Лем в одном из романов из серии «Приключения Ййона Тихого». Одним из примеров, простым, но претендующим на всеохватность темы, является стихотворение Э.А.По «Сон во сне» (смотри приложение 6). 

Еще одна разновидность литературных фракталов, которые мы хотели бы представить на суд читателя, – фракталы семантические, где о подобии части бесконечному и вечному целому только рассказывается. В таких произведениях писатель демонстрирует, что предметы, явления или люди бесконечно повторяются в цепи сходства-подобия. И уразумев сказанное, читатель получает и представление о беспредельной красоте сущего и беспредельный же экзистенциальный ужас.

К таким текстам отнесем рассказ Х.-Л.Борхеса «В кругу развалин» о неизвестном, возникшем неизвестно откуда у развалин храма Огня в неведомых джунглях, где «язык зенд не затронут греческим и редко встретишь проказу». Этот безымянный человек одержим желанием создать во сне человека, чтобы все, за исключением самого сновидца и бога Огня, считали бы его совершенно реальным. Все – это значит, включая самого созданного. И когда дерзновенный замысел, над которым кудесник трудился тысячу и одну ночь, осуществляется, и создание оживает и отправляется к другой храм Огня вверх по реке,  его создатель начинает тосковать и бояться – он не хочет, чтобы сын понял, что тот – не человек, а только подделка, отражение чужого сна! Кудесник испытывает ужас: что может быть страшнее, чем знать, что ты – не настоящий, что ты – всего лишь чья-то выдумка. В конце рассказа кудесник осознает, и осознает с облегчением, что и сам он «лишь призрак, снящийся другому».

На крошечном отрезке цепи, минимальном возможном, чтобы показать подобие и перерождение, Борхес открывает целую бесконечность призрачных существ, порожденных одно за другим в течении неведомой, и тоже бесконечной, реки, в дурной бесконечности бледных копий без оригинала. Минимальная структура одного звена приводит к видению всей цепи, и эта цепь отвратительна, ибо есть бесконечное фрактальное умножение и повторение, а как сказано в другом рассказе Борхеса,  «зеркала и совокупления отвратительны, ибо умножают количество людей». Никакого исхода, никаких разветвлений и бифуркаций, никакого развития и вариаций в цепи, один лишь экзистенциональный ужас, крик в одиночестве ночи и пустыни: «Кто я?», и стойкое принятие своей участи, я – тот, кто я есть, тот, кем я был создан, смирение, что паче гордыни.

Герой рассказа Х.Кортасара «Желтый цветок», напротив, предпринимает отчаянное действие, чтобы разорвать бесконечную цепь бессмысленных перерождений. Герой этот, рассказывающий повествователю свою историю, «совсем еще не старый человек, с высохшим лицом и глазами больного туберкулезом», встречает однажды в автобусе подростка и вдруг осознает, что этот мальчик, Люк, – это «еще раз родившийся он, смерти не существует, мы все – бессмертны». Люк повторяет его, он подобие, но не тождество, вывихнувший ключицу, там, где старик вывихивал запястье, болевший корью, а не скарлатиной, потом безнадежно влюблявшийся, как и старик в свое время, получавший дорогой подарок и тут же терявший его, и все в той же последовательности, что и старик в его возрасте. И все, что у него было – это нищета, болезни, физические и душевные травмы, утраты и боль. И все, что будет у него в будущем, тоже известно: «унижения, жалкая рутина, безликие годы, неудачи, разъедающие душу, как моль – одежду, убежище в горьком одиночестве – в одном из бистро квартала». А за смертью прошедшего тягостный путь до конца будет рождение следующего Люка, и еще одного, все таких же униженных, несчастных неудачников. И старик, прерывая дурную бесконечность бессмысленных перерождений, убивает (или считает, что убивает) ребенка. Он уверен теперь, что тяготы его близятся к концу и никогда больше не повторятся, он разрезал нить и порвал цепь. Выйдя из порочного круга пустых и жалких перерождений, он счастлив, и вдруг он замечает на клумбе Люксембургского сада прекрасный желтый цветок, и уразумевает небытие. Небытие есть отсутствие цветка. И неожиданно, как пришло и откровение о другом, столь же бестолковом и несчастном «я», приходит понимание красоты и, напоследок, жизни, какой бы жалкой она ни была: «Весь вечер, до наступления ночи, я менял автобусы, и мысли мои были о цветке и Люке: среди пассажиров я искал кого-нибудь, похожего на Люка, кого-нибудь, похожего на меня или на Люка, кого-нибудь, кто мог бы быть другим я, кого-нибудь, чтобы смотреть на него, зная, что это – я, а затем позволить ему уйти, не сказав ни слова, почти защищая его, для того чтобы он мог продолжать жить своей бестолковой жизнью, своей дурацкой, неудавшейся жизнью, идущей к другой дурацкой и неудавшейся жизни, к другой, дурацкой и неудавшейся, к другой…

Расплатился в бистро я», – заключает автор.

Одно звено цепи открывает читателю бесконечную фрактальную структуру с вариациями, перерождения и повторения, сходства и подобия людей, звеньев в цепочке человеческого рода. И несчастия героя, унижения и утраты, которые чувствует герой на своем уровне восприятия, на одном звене бесконечной цепи, вдруг, при взгляде сверху, сменяются пониманием радости, счастья бытия как такового, пронзительного счастья, видимого только на грани существования. Слишком поздно, мальчик умер, а старик умирает от туберкулеза. Для героя рассказа – слишком поздно. А для читателя? Автор предоставляет ему возможность взглянуть на цепочку перерождений с разных уровней, оценить картину бытия в разных масштабах, и какой, первый – линейный, уровень несчастий и утрат, или второй – фрактальный, уровень экзистенциальной радости, выберет читатель, зависит только от него.

И последний вид литературных фракталов, который мы хотели бы представить вашему вниманию, можно было бы назвать нарративными фракталами, ибо они соотносятся не с умственными схемами, а с существующими или мнимыми визуальными произведениями.

Ряд картин известных художников представляют собой изображение множества картин внутри картины – барочные галереи, кабинеты или кунсткамеры, на которых изображаются другие картины или собрания картин, как на знаменитых «Менины» Веласкеса или картинах Дж.-П.Паннини.


hello_html_e7c3391.png








Джованни-Паоло Паннини. Галерея с видами современного Рима (1757)


Мы рассмотрим здесь только одно литературное произведение, повествующее о художественной коллекции – «Кунсткамеру» Ж.Перека (Перек, Жорж. Кунсткамера. История одной картины. Пер. В.Кислова. Спб, Machina, 2001).

Структура его настолько сложна, что для описания ее потребовалась бы отдельная большая работа. Скажем лишь, что оно посвящено многостороннему, подробному и повторяющемуся описанию некой коллекции картин, представленной на выставке. Среди картин этих мы замечаем и одну с названием «Кунсткамера», изображающую само помещение выставки с сотней представленных на ней картин, плотно развешенных по трем стенам. Заметим, что оригинал, предшествующий художественному творению, уже отсутствует – картина «Кунсткамера», чье название естественным образом совпадает с  названием книги Перека, – это портрет хозяина галереи, рассматривающего собственную коллекцию. За этим исчезнувшим оригиналом на следующей визуальной фрактальной итерации следует собственно картина «Кунсткамера», а дальше, внутри картины, находятся, наряду с копиями всех картин выставки, и уменьшенная копия ее самой, а в нее – еще одна… «Все картины воспроизводятся снова, и так – несколько раз; при этом точность изображения сохраняется и на первом, и на втором, и на третьем уровне, – до тех пор, пока рассматриваемые произведения не превращаются в крохотные точки».

Невооруженным глазом зритель различает всего шесть уменьшающихся копий, но изучение последней в лупу якобы демонстрирует еще два вложенных изображения, последнее из которых было просто черточкой в полмиллиметра.

В отличие от Стоппарда, отказывающего уменьшающимся копиям в сохранении исходного качества, Перек категорично утверждает, что даже шестая, в несколько миллиметров копия, сохраняет детали оригинала.

Но копии Перека не воспроизводят оригинал тождественно, детали изображений варьируются или исчезают, чайник превращается в синий кофейник, боксер-победитель на одном уровне изображения в следующей копии лежит на ковре, лютнист превращается во флейтиста, пустынную площадь на следующем уровне заполняет карнавальная толпа, и пр.

Вскоре, вслед за смертью хозяина коллекции и закрытием выставки, в результате несчастного случая уничтожается и картина «Кунсткамера». Это исчезновение «оригинала второго уровня», или первой копии заведомо недостижимого оригинала, резко подогревает интерес и к самой пропавшей картине, и к коллекции в целом, состоящей (по описанию) из многочисленных шедевров старых мастеров.

На волне этого интереса появляются искусствоведческие исследования, посвященные как работам художника, создавшему «Кунсткамеру», так и другим картинам из коллекции.  

Читатель, естественно, узнает и о картинах, и об их истории, и о их культурологической и рыночной ценности, исключительно из текста Перека, и в отсутствии оригинальных изображений, располагает только словесными описаниями картин. Впрочем, и персонажи книги располагают, в отсутствии спрятанных в семейных кабинетах картин, только этими самыми искусствоведческими исследованиями, очередной копией пропавшего оригинала.

Но не стоит расстраиваться, не стоит скорбеть об утерянной бесконечности и изначальности, понапрасну израсходованному снобистскому восхищению прекрасным и о деньгах, потраченных на фальшивки. Вы восприняли происшедшее чересчур серьезно, а художник просто смеялся, и его смех создал бесконечные ряды и разрушил их, взошел к вершинам художественного мастерства и спустился в мир, к читателям.

И это лучшее из решений фрактальной литературы, которое нам известно.

 








7. ФРАКТАЛЬНОСТЬ БИБЛИИ.

Библия есть руководство по теории и практике обожания человека. Она включает в себя Ветхий и Новый Заветы, а также Коран: Ниспослали Мы Коран легким для понимания (Сура Месяц 54, 17). Уникальность Библии обусловлена присутствием в ней видения и ведения мира “внешнего” наблюдателя, обладающего всей полнотой Знания о механизме сообщения человека с Духом: превыше любого знающего Всеведущий (Сура Иосиф 12, 76); яко храм Божий есте, и Дух Божий живет в вас (1 Кор 3, 16);

7.1. ЛОГИКА БИБЛИИ.

Под логикой Библии следует понимать принципы шифровки в ней информации, представляющей Знание “внешнего наблюдателя”. Данные принципы и само Знание составляют сокровенный смысл Библии. В основе логики Библии лежит механизм материализации кванта Духа в смысл слова: Слово (L o g o z ) плоть бысть (Ин 1, 14). Логика Библия активна – она совершенствует ум человека, когда он изучает Библию в состоянии молитвенной сосредоточенности: Испытайте писаний (Ин 5, 39); Преобразуйтесь обновлением ума вашего (Рим 12, 2).

Логика Библии зиждется на двух фундаментальных диалектических законах: на законе единства и борьбы противоположностей и на законе подобия. Подчиненность этим законам процессов развития живой и косной материи удостоверена наукой на всех уровнях порядка Вселенной (от элементарных частиц и клеток, до человека и галактик). С их помощью процесс материализации духа можно связать с фрактально-резонансным принципом действия субэлементарных динамических форм материи (энергоформ)7. Данный принцип действия энергоформ через метрико-функциональные взаимосвязи дискретных вещественных образований обнаруживается как духовно-физический изоморфизм.

К примеру, живые системы на стадии филогенеза и онтогенеза изоморфно воспроизводят в своей динамической структуре метрику и принципы действия гравитационной, нейтринной и электромагнитной форм энергий. По тем же законам духовно-вещественные элементы ноосферы оказываются изоморфны анатомо-функциональным особенностям мозга человека. В наиболее яркой и адекватной форме духовно-физический изоморфизм отображается в творчестве пророков и гениев, что и объясняет исключительную значимость для духовной эволюции человека библейских и научных откровений. Подчиненность библейской логики духовно-физическому изоморфизму ведет к расщеплению содержания Библии на многоветвистый и многомерный семантический фрактал.

7.2. АЗБУКА БИБЛИИ.

Библия, наследуя зоо- и антропоморфные языческие мифологемы, развивает и углубляет их духовно-физический смысл с помощью своего сакрального языка8, “азбукой” которого становятся реалии истории иудейского рода: всем Бытием и нашими жизнями Господь Бог пишет Свою Книгу9. Пишется эта книга и сегодня. К примеру, в библейском контексте война Израиля с Палестиной и возведение иудеями стены безопасности есть знаки “азбуки”, изоморфно отображающие эволюционные изменения в мозгу человека. Причиной обострения еврейско-арабских отношений во всем мире, как и анатомо-функциональных изменений в мозгу человека явилась перестройка энергетики Солнечной системы, начавшаяся в конце ХХ века.

Особенности “азбук” национальных Библий в своей совокупности образуют единый фрактал сокровенного смысла Библии. Его мощными, духовно актуальными ветвями до сих пор остаются следующие канонические и национальные Библии:

  • Ветхий Завет (на иврите) – иудаизм;

  • Ветхий Завет (Септуагинта) и Новый Завет (на греческом) – христианство;

  • Библия Иеронима (Вульгата, на латинском) – католицизм;

  • Библия Кирилла и Мефодия (на церковнославянском) – православие;

  • Библия Лютера (на немецком) – протестантизм;

  • Коран пророка Мухаммада (на арабском) – ислам.

7.3. СТРУКТУРА ФРАКТАЛОВ БИБЛИИ.

Дадим общую схему построения семантики фракталов Библии. Элементами ствола, ветвей, веточек и листочков являются имена собственные (имена персонажей, населенных пунктов и географических объектов). Ствол фрактала образует генеалогическое древо праотцев и далее древо иудейского рода. Каждый элемент фрактала многозначен. Самые фундаментальные из них могут сочетать до четырех уровней сакральной семантики: уровень энергоформ, элементарных частиц, духовно-физиологический и космический. Примером сквозных элементов всего фрактала Библии являются ипостаси Святой Троицы – Бог, Дух и Христос. Универсальность этих знаков сакральной “азбуки” связана с тем, что на физическом уровне им соответствуют законы действия трех фундаментальных сил: инерционно-гравитационной (ядерной), нейтринной и электромагнитной природы, соответственно.

Диалектичность фрактала Библии выражается в дихотомичности всех его элементов. В основе дихотомии лежит изначальное саморазделение Духа на пару {Свет - Тьма}, которое можно назвать стартовой бифуркацией. Физическим эквивалентом данной бифуркации является понятие изначальной дискретной формы материи (энергоформы). Разнообразные энергоформы, сочетая в себе равные меры поступательного и вращательного движения, сообщили миру пространственно-временное и энергетическое содержание. Дихотомия вещественных образований различного уровня организации (от элементарных частиц до человека) представлена в Библии символикой пар, включающих в себя разнополые особи или разнохарактерных близнецов. Иерархия библейского фрактала коррелирует с направлением стрелы времени или энергетическим вектором эволюции Вселенной.

Общую схему развития сложности библейских фракталов можно представить в таком виде:

ЗАМЫСЕЛ

Космический фрактал “Образ Божий” из энергоформ

Вещественно-полевые фракталы “космос – микрокосмос”.

Духовно-ментальные фракталы ноосферы

Фрактал “Подобие Бога” в Духе

7.4. ФРАКТАЛ “ОБРАЗ БОЖИЙ”.

Хронологически процесс формирования метрики генома человека (фрактал – “Образ Божий”) коррелирует с ходом самоорганизации Вселенной, изоморфно отображая его ключевые моменты. Последовательность развития этих двух процессов представляет фрактал генеалогического древа праотцев. Срок их жизни соответствует условной длительности эволюционной ступеньки, которая, вплоть до Ноя, была пропорциональна ~ 900 годам, что следует соотносить с длительностью космических этапов формирования Вселенной, длящихся миллиарды и миллионы земных лет. Единственное отклонение в последовательности космических этапов выделено временем жизни праотца Еноха, численно равной земному году (365 дней). Скачок 900 → 365 в линии развития Ноя, следует отнести к началу адаптации метрики генома человека уже непосредственно к земным условиям. При этом остались в силе галактические факторы формирования генома, поскольку и после Еноха восстановилась длительность этапа в 900 лет.

Отметим некоторые важные бифуркации космической стадии развития фрактала “Образ Божий”. Райский этап “Адам” вплоть до бифуркаций {Адам - Ева} и {грехопадение}, следует считать введением в Замысел Бога по сотворению мира, по которому конечная цель бытия материального мира заключается в преобразовании вещественного фрактала “Образ Божий” в духовный фрактал “Подобие Бога”: последний Адам в Дух животворящ (1 Кор 15, 45).

Фрактал “древо жизни” или “древо рая”, символизируя будущую связь человека с Духом, есть прообраз энергетики лобных долей головного мозга: древа, еже есть посреде рая (Быт 3, 3). Ствол позвоночника с ветвями-нервами составил при этом фрактал “древа познания”, зеркально инверсный фракталу “древа жизни”. Роль запретного плода (яблока), коим соблазняется жена, а от нее муж, исполняет ядро блуждающего нерва (вагуса) женщины, расположенное в стволе конечного мозга: древо животное, еже творит плодов дванадесяте, на кийждо месяц воздая плод свой (Отк 22, 2).

Пара первенцев Адама и Евы – {Каина – Авель} есть представление бифуркации {верх-низ} на первом космическом этапе развития метрики генома человека. Каин (приобретение), как символ низа или энергетики плоти человека-зверя, прямо связан с гравитационно-электромагнитной энергетикой космоса: делаяй землю. ... стеня и трясыйся будеши на земли (Быт 4, 12). Трясыйся - базовая частота ритма энергетики плоти, задаваемая ритмикой и энергетикой реликтового излучения: положи страх Его на всяцей плоти (Сир 17, 4). Авель (дуновение) есть лишь прообраз духовно-ментальной (нейтринной) энергетики неокортекса (верх) - пастырь овец (Быт 4, 2). Формирование же духовно-ментальной составляющей метрики генома человека начинается с этапа “Сиф”: вместо Авеля (Быт 4, 25). И уже на следующем этапе “Енос” возникает сам механизм акцепции кванта Духа: Енос: сей упова призывати имя Господа Бога (Быт 4, 26).

Расслоение фрактала “Образ Божий” на мусульманскую и христианскую ветви началось с бифуркации {Исмаил - Исаак}. Отличительные особенности духовно-ментальных составляющих этих двух ветвей были заложены уже на предшествующих этапах. Исмаил есть законнорожденный сын Аврама от наложницы египтянки Агари: вниде ко Агари, и зачат (Быт 16, 4). Исаак же (прообраз Иисуса Христа) был зачат уже бесплодной по старости Саррой (жены Авраама) от силы Бога Слово (Быт 18, 14). 

7.5. ФРАКТАЛ “ХРИСТОС”.

Фрактал “Христос” имеет две ипостаси – фрактал космической энергоформы “Христос” и его изоморфное отображение в мозгу человека10: един ходатай Бога и человеков, Человек, Христос Иисус” (1 Тим 2, 5). Вещественно-функциональный “костяк” фрактала “Христос” образует ликворная система мозга (семисвечник). Ее несущей опорой является Т-образный стык рогоподобных боковых и центрального желудочков, вместе с птицеподобной формой четвертого желудочка. Обе ипостаси фрактала “Христос” представлены множеством знаков библейской “азбуки” (крест, агнец, лев, бык, овен, голубь, орел): восхождаше от моря орел, емуже бяху дванадесят крил пернатых и главы три (3 Езд 11, 1); агнец стоящь яко заколен, имущь рогов седмь (Отк 5, 6).

Благодаря филогенетическим вариациям фракталов “Христос” и “Скиния Христова” осуществилось итоговое подразделение людей на 7 духовных типов или на семь церквей Апокалипсиса: седмь звезд Ангели седми церквей суть (Отк 1, 20); Мы создали выше вас семь путей (Верующие 23, 17). Эти семь церквей, отвечая семи духовно-ментальным ветвям древа “Образа Божия”, охватывают весь возможный спектр религиозной самоидентификации человека не язычника. Если шесть церквей отнести к мировым религиям (иудаизм, ислам, буддизм, католицизм, протестантизм, православие), то седьмая церковь ответит специфике духовной конституции законопослушного атеиста: ни тепл ни студен (Отк 3, 16); Несть бо на лица зрения у Бога (Рим 2, 11).

7.6. ФРАКТАЛ “ПОДОБИЕ БОГА”.

Духовный фрактал “Подобие Бога” формируется в процессе сообщения человека с Духом. Логика Библии свидетельствует, что данному фракталу свойственно непрерывное состояние Духа, а его многообразие соответствует совокупной метрике фрактала “Образ Божий”, при достижении ею всей полноты совершенства фрактала “Христос”: вси же изменимся (1 Кор 15, 51); паче звезд возблистают лица (3 Езд 7, 55); о Христе вси оживут, кийждо же во своем чину (1 Кор 15, 22, 23); в меру возраста исполнения Христова (Ефс 4, 13).

Данному уровню духовного совершенства человека отвечает предельное развитие фрактала “Скиния Христова”, который представлен в Апокалипсисе городом-фракталом из драгоценных камней: И основания стены града всяким драгим камением украшена бяху: основание первое яспис, второе сапфир, третие халкидом, четвертое смарагд, пятое сардоникс, шестое сардий, седмое хризолиф, осмое вирилл, девятое топазий, десятое хрисопрас, первоенадесять акинф, второнадесять амефист. И дванадесять врат дванадесять бисеров: едина каяждо врата беша от единого бисера. И стогны града злато чисто, яко стекло пречисто (Отк 21, 19 – 21).

Христов чин каждого человека во фрактале “Подобие Бога” определяется его ревностью в исполнении законов Божьих и труде стяжания Духа Христова: от своих дел приимут мзду (3 Езд 8, 33); У каждого - ступени по тому, что они делали (Сура Скот 6, 132).







8. ГЕРБ РФ — ФРАКТАЛ.

Скипетр, который орёл на российском гербе держит в правой лапе, увенчан небольшим двуглавым орлом, который, в свою очередь, также держит скипетр и так далее до бесконечности.


hello_html_m10973294.png





















9. ФРАКТАЛЫ В БИОЛОГИИ.

Фрактальную геометрию в основном использовали только математики и физики. Вот появилась идея использовать принципы фрактальной геометрии в биологии.

Исходя из того, что фракталы в неживой природе отображают процесс разрушения (энтропия увеличивается), а в живой природе - процесс созидания (энтропия уменьшается).

          Термодинамические процессы в живой природе идут по пути уменьшения энтропии системы, увеличения организованности объектов. Эти свойства являются фундаментальными для живой природы. Другие свойства живого - это рост и развитие. То есть живой объект постепенно разворачивается в пространстве и времени, увеличивая свои размеры и массу, (береговая линия - результат разрушения неких неживых тел (пород)). То есть, исходя из выше сказанного, мы предположили - в живой природе можно наблюдать фрактальные явления, можно попытаться их построить. На первом этапе мы решили попробовать проследить фрактальные явления там, где они сами напрашиваются на реализацию. В биологии при изучении роста растений была выявлена такая закономерность как "Ветвление".

Ветвление возникло в процессе эволюции тела растений ещё до появление органов. Существуют несколько типов ветвления: дихотомическое, моноподиальное, симподильное.

При дихотомическом ветвлении конус нарастания раздваивается, образуя два побега, каждый из которых в свою очередь дает ещё два побега и т.д. Это ветвление наиболее древние и, оно представлено у плаунов и некоторых других растений.





hello_html_md2b1a40.jpghello_html_m5ebedd50.jpg






При моноподиальном ветвлении имеет место длительный неограниченный верхушечный рост главной оси первого порядка — моноподия, от которой отходят более короткие боковые оси второго и последующих порядков. Их количество зависит от времени жизни растения. Это ветвление свойственно многим голосеменным (ель, пихта, кипарис и т.д.). Их ствол представляет ось одного порядка.


 hello_html_m2cf72e94.jpghello_html_m28f8c152.jpg




            При симподильном ветвлении главная ось рано прекращает вой рост, но под её верхушкой трогается в рост боковая почка. Выросший из неё побег как бы продолжает ось первого порядка. Этот побег в свою очередь также прекращает верхушечный рост, и тогда начинает расти его боковая почка, из которой возникает ось третьего порядка, и т.д. Такое ветвление характерно для большинства деревьев, кустарников и т.д. Симподильное ветвление эволюционно более продвинутое.

hello_html_65732c3.jpghello_html_m128f1dc1.jpg

 

 

 

 

 

 

 

Впервые за свою историю математика оказалась в состоянии правильно отражать мир во всем многообразии его сложных форм, не прибегая  к многоярусным нагромождениям все более абстрактных и искусственных интеллектуальных конструкций. В этом  плане особенно показательно то, как фрактальная геометрия рисует мир. Здесь человек научился творить многообразие геометрических форм наподобие самой природы. Пусть для начала - лишь на экране дисплея.

                В данной работе,  вместе с наукой наших дней, мы попытались освоить определенный тип геометрического описания природы - фрактальный. Перспективы работы в этой области безграничны, как и сама природа.












10. ФРАКТАЛЬНОСТЬ В МУЗЫКЕ.

В музыке приложение элементов фрактальной геометрии – в трех основных областях: композиция, синтез звука, аналитические исследования.

В музыке существует немало явлений, обладающих свойствами фрактальности («самоподобия»):

  • золотое сечение

  • деление длительностей

  • тактовая организация в метрическом периоде 2-такты, 4-такты, 8-такт.

Редким примером последовательного проведения принципа самоподобия являются Электронные этюды 1 и 2 Штокхаузена: организация на всех уровнях (от тембрового до композиционного) согласно одному и тому же сериальному принципу.


ФРАКТАЛЫ В КОМПОЗИЦИИ.

Четыре основных способа использования. Классификация молодого голландского музыковеда Нильса Путтеманса:

  1. Конвертация графического изображения. Само изображения фрактала конвертируется в двумерную партитуру (координаты высота-время), причем может учитываться как графическое расположение точек, так и их цвет (например, для переключения тембров).

  2. По формуле: определение высот и длительностей звуков посредством арифметических расчетов согласно фрактальным алгоритмам.

  3. По генезису: определенный музыкальный параметр трансформирован таким образом, что результат этого заполнения демонстрирует фрактальный характер. Т.е. сами фракталы не используются, но если бы потребовалось уложить в формулу результат такой композиции, то тогда для этого наиболее пригодными были бы фракталы.

  4. Фрактальная композиция через игровое поведение: в которых исполнители взаимодействие на основе некоторых правил, создавая на протяжении пьесы своего рода модель поведения в сложных системах. Большинство композиторов предпочитают одну, максимум две категории из четырех перечисленных. В основном – «университетские» композиторы. В США это поколение учеников Бэббита, также испытавших на себе влияние Ксенакиса – это Ч.Додж, Г.Нельсон, М.МакНабб, Б.Эванс, Л.Остин, Ч.Вуоринен. В Европе это, прежде всего Д.Лигети (фортепьянные сочинения), а также Д.К.Литтл (Нидерланды).

I пункт (конвертация графики) на практике дает наименее интересные результаты (музыка – временное искусство, и в ней не столь очевидна гармония пропорций, так хорошо схватываемых зрительно). Существует немало компьютерных программ перевода фракталов в звук, одна из известных – «Хорошо темперированный фрактал» Роберта Гринхауза из Калифорнии. В ней десять различных типов фракталов могут быть «воспроизведены» при помощи 21-го варианта звукоряда (все – в темперир. системе… интересно, что хроматическая гамма отсутствует!); звуковой результат может варьироваться по динамике, артикуляции, октавному расположению. Он записывается в стандартный MIDI-файл. Автор программы не ставил перед собой цели создать «цельное произведение»; полученный результат он предлагает использовать как «сырой материал для будущей композиции».

II. «по формуле». Рассмотрим композицию американского композитора и исполнителя на электронных инструментах Гарри Ли Нельсона (профессор, директор отделения музыкальной технологии в Оберлин-колледже; в 60-е годы он работал вместе с Г.М.Кенигом в Утрехте.

В основе композиции лежит «сценарий перехода к хаосу» бельгийского математика Ферхюльста (40-ее гг. XIX в.)

Несмотря на то, что данный метод не является «синтезом звука» в традиционном смысле слова, он, тем не менее, носит название «гранулярного синтеза», поскольку получаемые этим методом звуковые события, как правило, невозможно синтезировать ни одним из известных методов + сложение «гранул» происходит на столь мельчайшем уровне, что это никак нельзя отнести к области ритма.

III. по генезису.

Трехголосный полифонический склад:

Каждая мелодическая линия получена стохастическим методом Генерация нот прекращается после появления определенного количества звуковых классов, для верхнего голоса их три; теперь напротив каждой ноты в голоса выстраивается фраза в среднем голосе - такая же генерация, до пяти в. классов затем против каждой ноты во II голосе - фраза (до 4 в. классов) в нижнем голосе - в результате - своего рода трехголосный нестрогий мензуральный канон (голоса не идентичны, но самоподобны - как различные уровни измерений во фрактале, например. в кривой Коха). Звуковой результат - ощущение общая взаимосвязанности и статики.

IV. по поведению. Рассмотрим своеобразную «партитуру» и свод правил для исполнителей в произведении Д.К. Литтла «Brain Wave»; («Волна мозга»). Три музыканта импровизируют не только согласно заданным правилам, но и в зависимости от действий впереди и сзади сидящих др. музыкантов.

«Мы имеем новый способ выражения, которое не является ни чистым искусством, ни чистой наукой. В законченном виде, готовый результат должен состоять из формулы, изображения и звучания. При отсутствии любого из этих компонентов произведение будет неполным. Музыка, которую называют фрактальной, без приложения математических данных, – это просто музыка. Аналогично, фрактал, который считают музыкальным, без звукового материала, – это просто фрактал». Роберт Гринхауз, автор компьютерной программы "The Well-Tempered Fractal" .




11. ПРИРОДНЫЕ ФРАКТАЛЫ.

В этой галерее мы собрали природные образы, в которых ясно видна фрактальность. И конечно, в природе гораздо больше фрактальных объектов, нежели тут представлено, поскольку фракталы, по нашему скромному мнению, - сама суть природы (Неслучайно первая книга открывателя фракталов Бенуа Мандельброта называлась "Фрактальная геометрия природы") как живой, так и неживой, как человеческой, так и нечеловеческой. Неудивительно, что и наше сознание подчиняется тем же фрактальным законам.

Но важно научиться "чувствовать" фракталы, может быть, этот сборник немного поможет этому...

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения.

Оhello_html_m8f88a65.gifт гигантских гор, до того, что мы кушаем за обедом, везде можно увидеть идеальную гармонию.













12. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

  1. Хаусдорф Ф. Теория множеств. - М., 1937. С.179-191

  2. Кормер В.Ф. Человек плюс машина // Вопросы философии, 1997, № 8.

  3. (У.Эко. Заметки на полях «Имени розы». Рассказывание процесса. // У.Эко. Имя Розы. СП-б, Симпозиум, 1997. С.602).

  4. Х.-Л.Борхес. Соч. в 3-х т. т.1. С.326.

  5. Автоматическая классификация парадокстов логики и математики. Об одной "физической" модели парадокса "Лжец". - Новости Искусственного Интеллекта, 1997, no. 3, С. 69-79; Новый подход к анализу проблемы парадоксов. - Вопросы философии, 2000, No. 10, 79-90

  6. Цитата по Eco, Umberto. The Search for the Perfect Language. Blackwell Publishers Inc. 1995. Р.142.

  7. Холманский А.С. Фрактально-резонансный принцип действия

// www.ikar.udm.ru/sb29-2.htm

  1. Холманский А.С. Сакральный язык Библии // SciTecLibrary - Cтатьи и Публикации www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/6668.html

  2. Берман Б.И., Библейские смыслы, М., 1997, 200 с.

  3. Холманский А.С., Агнец пасхальный // SciTecLibrary - Cтатьи и Публикации www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/6786.html

  4. Яних П. Человек и автомат // Вопросы философии, 1996, № 3 .

  5. С. К.Абачиев Концепция современного естествознания. Балашиха - 1998.

  6. Г. П. Яковлев, В. А. Челомбитько. Ботаника. М. 1990г. 

  7. http://library.thinkquest.org/26242/russian/tutorial/tutorial.html

  8. http://www.chat.ru/~fractals/

  9. http://www.geocities.com/SoHo/Studios/6648/fractals.htm

1 Хаусдорф Ф. Теория множеств. - М., 1937. С.179-191

2 Яних П. Человек и автомат // Вопросы философии, 1996, № 3

3 (У.Эко. Заметки на полях «Имени розы». Рассказывание процесса. // У.Эко. Имя Розы. СП-б, Симпозиум, 1997. С.602).

4 Х.-Л.Борхес. Соч. в 3-х т. т.1. С.326.


5 Автоматическая классификация парадокстов логики и математики. Об одной "физической" модели парадокса "Лжец". - Новости Искусственного Интеллекта, 1997, no. 3, С. 69-79; Новый подход к анализу проблемы парадоксов. - Вопросы философии, 2000, No. 10, 79-90

6 цит. по Eco, Umberto. The Search for the Perfect Language. Blackwell Publishers Inc. 1995. Р.142.

8 Холманский А.С. Сакральный язык Библии.

9 Берман Б.И., Библейские смыслы.

10 Холманский А.С., Агнец пасхальный.

57



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 18.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров597
Номер материала ДВ-537788
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

1 год назад
Уважаемая Галина Станиславовна, Вы, вместе со своими учениками, выполнили многоаспектную, отвечающую всем требованиям исследовательской деятельности работу. Тема фракталов очень интересная, но мало кто из преподавателей математики или информатики рассматривают её литературное и музыкальное звучание. Мне ваша работа очень понравилась, хотелось бы познакомить с ней моих учеников. Преподаватель информатики Воронежского политехнического техникума Солманова Вера Васильевна.
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх