Проектно-исследовательская работа по математике "Симметрия вокруг нас"

МОУ  «Средняя общеобразовательная школа № 23»

города Вологды

Научно-практическая

секция: естественно - научная

проектно – исследовательская работа

СИММЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

                                                  Выполнила работу ученица  8 «а» класса

                                                                                    Старикова Екатерина                                                     

                                                   Руководитель: учитель математики высшей

                                                       категории  Мочалыгина Ирина Анатольевна

2014 год

Структура проекта:

1. Введение.

2. Цели и задачи проекта.

3. Симметрия вокруг нас :

     3.1. Симметрия в живой природе.

    3.2. Симметрия в словах числах.

    3.3. Симметрия в неживой природе.

4. Выводы.

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

Введение

                      Тема моей работы была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия» в курсе «Геометрия 8 класса». Остановилась я на этой теме потому, что она очень заинтересовала меня, мне хотелось познакомиться с  различными видами симметрии, и  выяснить где мы встречается с ней в окружающем нас мире.

Цель:    Знакомство с симметрией в окружающем нас мире.

Задачи:

1.             Изучить литературу  о симметрии живой и неживой природы.

2.             Обобщить и систематизировать материал.

3.             Создать презентацию.

Симметрия вокруг нас.

     Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: живой, неживой  природы и общества.  С симметрией мы встречаемся всюду.   Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. 

1.  Симметрия живой природы.

         Природа - удивительный творец и мастер. Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.

           Все живое в природе обладает свойствами симметрии. Она особенно ярко представлена  в царстве растений. Простые листья – состоят из одной листовой пластинки и  черешка. У березы, у клена, у дуба, у черемухи листья простые. Они обладают лишь одним видом симметрии (осевой), делящей ее на две зеркально равные части. Данный вид симметрии в биологии называется двусторонней  или билатеральной симметрией.

Сложные листья состоят из нескольких листовых пластинок, соединенных с общим черенком. Такие листья у ясеня, у рябины, у малины. Для таких листьев характерна переносная и двухсторонняя(осевая) симметрия. Эта же симметрия встречается и у цветов, однако у них осевая   симметрия чаще выступает в сочетании с поворотной симметрией.

Цветы издавна считаются символом красоты и совершенства. По словам известного математика Германа Вейля (1885-1955), человек на протяжении веков пытался постичь и то и другое посредством симметрии. Как истинный учёный, он считал, что цветы достойны внимания исследователя, потому что обладают свойством поворотной симметрии, весьма распространённой в мире растений.  Свойственная большинству цветов поворотная симметрия n-го порядка проявляется в том, что цветок совмещается сам с собой при повороте вокруг своей оси на любой из углов 360⁰/ n, где n>1, n=2,3…  Это означает что всякий раз при повороте на определённый угол  каждый лепесток встаёт на место соседнего и после n таких перемещений в одном направлении занимает исходное положение. Таким образом, порядок поворотной симметрии цветка определяется, по сути, числом лепестков.

Например, для цветка молочая n=2, он совмещается сам с собой при повороте на углы 180⁰ и 360⁰.

Для триллиума и ириса n=3, а подходящие углы поворота-120⁰,240⁰,360⁰.

 

 Нередко встречаются цветы с поворотной симметрий 4-го порядка (сирень, чистотел)

 Рассмотрим симметрию в живых организмах. Под симметрией у животных понимают соответствие в размерах, в форме и очертаниях, а также относительное расположение частей тела , находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии (оси симметрии). Строение тела многих организмов отражает определённые формы симметрии, такие как лучевая или двусторонняя (осевая). Интересно отметить , что склонность к регенерации (восстановление) зависит от типа симметрии животного. У большинства многоклеточных двусторонняя симметрия. Левая половина их тела — это как бы «отраженная в зеркале правая». Также существуют животные, которые не проявляют симметрию : губки и пластинчатые

У НАСЕКОМЫХ, РЫБ, ПТИЦ и  ЖИВОТНЫХ различают 6 типов симметрии:

1-центральная	2-осевая	3-радиальная	4-билатеральная
5-двулучевая	6-поступательная (метамерия)		7-поступательно-вращательная

Симметрия вирусов.

Приглядевшись к вирусам, можно заметить, что они «собраны» из компонентов, как здание из одинаковых кирпичиков, причем в полном соответствии с принципами геометрии. В результате электронно-микроскопических исследований было установлено, что природа создала два геометрических типа капсидов — спиральные и кубические (изометрические или квазисферические). Правда, тип оболочки вирионов не всегда бывает виден. Подобно зданию, окруженному высокими деревьями, капсиды бывают окружены еще одной оболочкой, которая образуется на последней стадии роста вируса.

 Например , вирусы со спиральными капсидами. Спиральная симметрия характерна тем, что после полного оборота вокруг оси вращения фигура занимает исходно положение. Большинство вирусов, поражающих растения и многие бактерии, имеют спиральный тип симметрии.

     Человек — тоже существо симметричное. Конечно, существуют мелкие несоответствия, но они настолько незначительны, что на них можно не обращать внимание. К таким несоответствиям относятся родинка, пряди волос, глаза и уголки рта. Нет человека, у которого правый глаз совершенно симметричный левому. Но внешне человек построен симметрично, все части его тела симметричны относительно невидимой оси, делящей его на две половины. Например, левой руке соответствует правая, и обе руки совершенно одинаковы.

Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира

2. “Симметрия в буквах и словах”.

Первая группа букв (Буквы А, М, Т, Ш, П)  имеет вертикальную ось симметрии,

Вторая (В, З, К, С, Э, В, Е)  – горизонтальную.

 А буквы Ж, Н, О, Ф, Х имеют по две оси симметрии (вертикальную и горизонтальную).

Некоторые слова и числа также обладают симметрией, например, поп, кок, шалаш, казак, наган и числа 101, 404, 1991, 2002 и др. Можно составить огромное количество симметричных чисел, используя только цифры от 0 до 9.

Есть и целые фразы с таким свойством (если читать фразу наоборот, не учитывая пробелы между словами, то получится та же фраза):

“Искать такси”,  “Аргентина манит негра”,  “Ценит негра аргентинец”.

Такие слова называются палиндромами (от гр. Palindromos –  бегущий обратно). Ими увлекались многие поэты. Некоторые композиторы, в том числе и великий Бах, писали музыкальные палиндромы.

Все мы читали сказку А.Толстого «Золотой ключик» и смотрели фильм или мультфильм. Там Мальвина диктовала Буратино всем известную «волшебную» фразу: «А роза упала на лапу Азора». Она читается и слева направо и справа налево одинаково. Автором этой фразы считается русский поэт XIX века А. А. Фет.

Я – арка края (В.Брюсов).

Приведу примеры некоторых палиндромов:

А Вера - рева
А к порту тропка
Аргентина манит негра
Бел хлеб
Вор в лесу сел в ров
Голод долог
Диван нежен на вид
Аргентина манит негра
Бел хлеб
Вор в лесу сел в ров
Голод долог Ишаку казак сено нес, казаку - каши
Кит на море - романтик
Колька нес сена клок
Конус и рисунок
Диван нежен на вид
Ешь немытого ты меньше!

Лепил и пел
Леша на полке клопа нашел
Мокнет Оксана с котенком
Мороз узором
Тропа налево повела, на порт
Туши рано фонари, шут!

3. Симметрия в неживой природе

Симметрия снежинок.

    Всех нас всегда поражает красота и разнообразие форм снежинок. Но у всех настоящих природных снежинок есть одно общее свойство – каждая из них  имеет шесть осей симметрии.

 Симметрия в архитектуре

        Огромную роль симметрия играет в архитектуре. Архитектурная композиция — это закономерное расположение частей формы относительно друг друга.

       «Архитектура – по словам Н.В. Гоголя – это летопись мира». Она несет в себе уникальную информацию о жизни людей в давно прошедшие исторические эпохи.

Ещё в Древности греки строили пирамиды строго симметрично. Те же развалины Парфенона на Акрополе служат доказательством этого.

Симметрия в Средневековье присутствовала в романском стиле (сооружения в форме креста), в готике (архитектурные конструкции имели прямоугольный или крестообразный вид). На смену готике пришёл стиль «барокко», который использовал асимметрию. Но на  смену этому стилю приходит «классицизм» – самый симметричный из всех известных стилей.

         История архитектуры полна всеми видами симметричных преобразований, основными из которых являются отражение, поворот и перенос. Так зрелищные сооружения (цирки, театры), мемориальные комплексы и другие архитектурные композиции, где есть явно выраженный главный функциональный элемент (сцена, главный монумент) тяготеют к симметричности, к организованности пространства вокруг этого главного элемента. Многие шедевры архитектуры обладают симметрией. При этом обычно имеется в виду зеркальная симметрия.

Симметрия  декора

Различные виды симметрии применяют в особой области убранства архитектуры – орнаментальном декоре. Орнамент – это ритмично повторяющийся рисунок линией, цветом или рельефом. Основные типы орнаментов:

·        Сетчатые – это композиция ряда металлических решеток и оград, плиточных покрытий полов, оформление стен с узорной кирпичной кладкой.

·        прямолинейные (или ленточные) орнаментальные полосы. Они  используются в резьбе карнизов античных храмов, в росписях стен древнерусских храмов.

·        круговые (или кольцевые) орнаментальные композиции,

·        центрические (розеты), основанные на симметрии многоугольников Используются в росписях

    Вот еще  несколько примеров декора :  это декоративные вазы и чаши, вроде тех, что изготовлял герой рассказов П.Баженова Данила-мастер,  фонтаны в парках, и венчающие колонны капители. Украшающие потолки и стены рельефные орнаменты и гипсовые розетки. Роскошные витражи готических соборов: нередко их узор тоже имеет «цветочное происхождение».

Несколько слов хочу сказать о капителях. Капители –декоративные окончания колонн. Существует 3 разновидности капителей:  дорический, ионический и коринфский. Их различают по внешнему виду:

·        ионической капители  – с обеих сторон выступают волюты,

·         коринфская капитель напоминает перевёрнутый колокол,

·        дорическая- не имеет украшений.

Симметрия в быту

Плоский цветочный орнамент встречается в росписи блюд и подносов, аппликации на одежде, рисунке плитки и паркета.

 В декоративных элементах преобладает поворотная симметрия порядка n, равного или кратного 3, 4 либо 5.

Симметрия в технике

Симметрию можно наблюдать и в технике. Такие технические объекты, как самолеты, мосты, автомашины, ракеты, молотки, гайки - практически все они от мала до велика обладают той или иной симметрией. Случайно ли это? В технике красота, соразмерность механизмов часто бывает связана с их надежностью, устойчивостью в работе. Симметричная форма дирижабля, самолета, подводной лодки, автомобиля  обеспечивает хорошую обтекаемость воздухом или водой, а значит, и минимальное сопротивление движению. В технике существует своего рода постулат: наиболее целесообразные и функционально совершенные изделия являются наиболее красивыми.

Вывод:    С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

ЛИТЕРАТУРА: 

1.     Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский.  –  Издательство « Наука».  –  Москва 1971г.  – 416стр.

2.     Современный словарь иностранных слов. — М.: Русский язык, 1993г.

3.     История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.

4.     Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

5.     Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

6.     Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль

7.     Гильде В.  Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г.

8.     Ресурсы сети Интернет. www.likt590.ru/project/matematika/5/, sapr.mgsu.ru/biblio/arxitekt/arhkomp2.htm, www.fondcultura.ru/htmls/method/texts_history/architecture.htm, ru.wikipedia.org/wiki/

Краткое описание документа:

Работа «Симметрия вокруг нас» может быть использована на уроках геометрии или элективных занятиях в 8 классе. В работе показано: где мы встречаемся в жизни с каждым из пяти видов симметрии: центральной, осевой, зеркальной (симметрией относительно плоскости), радиальной (или поворотной) и переносной. Отмечается, что симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: живой, неживой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.