Проектно-исследовательская работа "Теорема Пифагора"

1. Время семи мудрецов. …………………………………………….3-5

2. Остров Самос - родина Пифагора. ………………………………6-12

3. Кротон. Пифагорейское братство. ..……………………….........13-24

4. История теоремы Пифагора. ……………………………………25,26

5. Формулировки теоремы Пифагора. ………………………… ..27,28

6. Теорема Пифагора и способы её доказательства. ………………..29

7. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур. ………………………………………………………..30

7. 1. Древнеиндусское доказательство.

   2. Доказательство для равнобедренных треугольников.

8. Аддитивные доказательства. …………………………………..31,32

   1. Доказательство Эпштейна.

   2. Доказательство ан-Найризия.

   3. Другое доказательство ан-Найризия.

   4. Доказательство методом «колеса с лопостями».

9. Доказательства методом построения. ………………………....33,34

   1. Доказательство Леонардо да Винчи.

   2. Доказательство Нассир-эд-Дина.

   3. Доказательство Гофмана.

10. Алгебраический метод доказательства. ………………………..35,36

    1. Доказательство Бхаскари.

    2. Одно из возможных доказательств Пифагора.

    3. Доказательство Мёльманна.

    4. Доказательство Горфилда.

11. Доказательства методом разложения. ………………………..37,38

    1. Доказательство Нильсена.

    2. Доказательство Бетхера.

    3. Доказательство Гутхейля.

    4. Доказательство Перигаля.

    5. Доказательство 9 века н.э. Стул невесты.

12. Доказательства методом вычитания. …………………………..39,40

    1. Доказательство первое.

    2. Другое доказательство.

13. Другие доказательства. ……………………………………….41-43

    1. Доказательство Евклида.

    2. Доказательство Вальдхейма.

    3. Доказательство, основанное на теории подобия.

    4. Векторное доказательство.

    5. Доказательство с помощью косинуса угла.

14. Занимательные задачи по теме «Теорема Пифагора». …….44-49

15. Применение теоремы Пифагора. ……………………………50-53

16. Пифагоровы числа. ………………………………………….54-56

17. Теорема Пифагора в литературе. …………………………..57-65

    1. Легенды о Пифагоре.

    2. Легенда об открытии теоремы Пифагора.

    3. Легенды о смерти Пифагора.

    4. Заповеди и откровения.

    5. Песни, стихи.

    6. О теореме Пифагора.

    7. Любовный треугольник Пифагора.

    8. Треугольник.

    9. Проза, рассказы. Стул невесты.

18. Эпилог. Вечный кладезь мудрости. ……………………...…66-68

19. Литература. ……………………………………………...69

“Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.

Иоганн Кеплер

Прежде чем приступать к жизнеописанию героя, естественно остановиться на времени, в котором он жил. Необходимо познакомиться с властителями дум, определявшими духовный климат эпохи, а значит, и изначальное мировоззрение героя. Наконец следует рассказать о тех предтечах и учителях, на чьем фундаменте вырастало здание, построенное героем.

В случае с Пифагором эта задача (как, впрочем, и любая задача, связанная с Пифагором) становится не из легких: слишком мало мы имеем достоверных сведений и слишком много легенд. Вообще "мифологическое начало" в те далекие времена играло огромную роль, как в художественном, так и в научном творчестве греков. Греческое мировоззрение выросло в недрах мифологии и, разумеется, не могло в одночасье расстаться с пестрым букетом красивых мифов.

Но как прекрасны древнегреческие предания! Вся русская поэзия XIX в., начиная с великого Пушкина, пронизана любовью к греческой мифологии. Не следует и нам, детям века науки, которому так часто не хватает поэзии и душевной щедрости, пренебрежительно отмахиваться от этих "сказок". Тем более что и мифы хранят в себе зерна истины и поучительной мудрости, как поучительно мудры были сказки, услышанные нами в детстве…

Ж. Л. Давид. Елена и Парис. 1788. Париж. Лувр. В правом дальнем углу стоит треножник, который вскорости беглянка Елена выбросит в море со словами "Быть за него борьбе!"

Однажды бог огня Гефест, бог-кузнец, дивный мастер кузнечного ремесла, выковал в подарок к свадьбе героя Пелопа золотой треножник. После смерти Пелопа при его погребении были устроены игры, давшие начало Олимпийским играм, а треножник перешел к спартанскому царю Менелаю. Затем вместе с красавицей Еленой, женой Менелая, треножник был похищен троянским царевичем Парисом, из-за чего, как известно, и вспыхнула вскоре троянская война. Однако по пути в Трою, Елена выбросила треножник в море, сказав: "Быть за него борьбе!"

Прошло время, отгремела Троянская война, и несколько жителей острова Кос, лежащего у берегов Малой Азии, купили как-то у рыбаков весь их улов, в котором и был обнаружен треножник. Рыбаки и купцы стали спорить из-за него, но, так ничего и не добившись, поплыли в город Милет, свою метрополию, за разрешением спора. Однако милитяне, завидев сказочную вещь, пошли на Кос войной за треножник, и много народу пало с обеих сторон. Долго продолжалось кровопролитие, и обессилившие противники обратились к оракулу, который повелел отдать треножник мудрейшему. Обе стороны признали таковым милетянина Фалеса – философа, путешественника, купца, самого уважаемого гражданина Милета. Спор был исчерпан.

Но Фалес не принял подарка. Он посчитал более достойным афинского законодателя Солона и отослал треножник ему. Затем история повторилась, и так треножник обошел коринфского тирана Периандра, Питтака из города Милетины, Клеобула с острова Родос, спартанца Хилона и Бианта из города Приены. Разумеется, круг замкнулся, треножник вернулся к Фалесу, и тот посвятил его Аполлону Дидимейскому.

Такова легенда о семи мудрецах. Характерно, что, начинаясь с личности, бесспорно, мифической – бога Гефеста, легенда заканчивается лицами историческими: все семь мудрецов жили в конце VII – в начале VI в. Правда, в разных вариантах предания встречаются разные семерки мудрецов, так что общее число мудрецов переваливает за десять. В иных семерках мы видим и имя Пифагора. Но важно другое: греческое предание в магическое число семь собирает не тиранов и полководцев, не богатейших знатнейших людей, а именно мудрецов. Именно мудрецы являлись властителями дум в конце VII – в начале VI в., именно вера в могущество человеческого разума и одновременно восхищение им определяли духовный климат этой эпохи, которую стали называть временем семи мудрецов. Таким образом, легенда о семи мудрецах – это дань уважения пробуждающимся интеллектуальным силам Греции, это знак признательности тем, кто закладывал первые камни в фундамент государства и нового миропонимания. Подобно олимпийским богам – Зевсу, Посейдону, Аиду, Афродите, Аполлону, Артемиде, Афине, семь мудрецов – это олимпийцы и патриархи греческой мудрости.

Семь мудрецов. Третью фигуру слева, указывающую на небесную сферу, часто отождествляют с Фалесом. Прорисовка с римской мозаики из виллы Торре Ануциата близ Помпей.

I в. до н.э. Неаполь. Национальный музей.

Семь мудрецов называют – их родину, имя, реченье:

"Мера важнее всего", - Клеобул говаривал Линдский;

В Спарте: "Познай себя самого", - проповедовал Хилон;

Сдерживать гнев увещевал Периандр, уроженец Коринфа;

"Лишку ни в чем!" – поговорка была милетинца Питтака;

"Жизни конец наблюдай", - повторялось Солоном Афинским;

"Худших везде большинство", - говорилось Биантом Приенским;

"Ни за кого не ручайся", - Фалеса Милетского слово.

Как видим, каждому мудрецу приписывалось некое крылатое выражение, которое высоко ценилось греками, высекалось на гермах и ставилось на перепутьях дорог.

Конечно, по происшествии двух с половиной тысячелетий можно критически отнестись и к составу мудрецов, и к самой их "мудрости", состоящей по большей части из остроумных ответов, не требующих никакой философии. Из семи мудрецов, почитаемых античностью, неумолимое время отобрало только Фалеса, который сегодня считается родоначальником европейской философии. Кстати, и сам Пифагор полагал, что мудрецом может быть только Бог, человек же в лучшем случае может быть лишь любителем мудрости – любомудром, или по-гречески философом: "Ибо преждевременно было бы философию называть "мудростью", а упражняющегося в ней – "мудрецом", как если бы он изострил уже свой дух до предела; а философ ("любомудр") – это просто тот, кто испытывает влечение к мудрости".

Что касается большинства остальных мудрецов, то помимо изреченных ими банальностей они выделялись порой упрямством, хитростью и даже злодейством.

"Самос – небольшой остров в Икарийском море, расположенный напротив Милета, к западу от него, на расстоянии немногих часов плавания: в тихую погоду судно, идущее в ту или другую сторону, приходит в порт на следующий день. Земля эта плохо родит хлеб, непригодна для плуга, более благоприятна для маслин, и ни виноградарь, ни огородник не тревожат ее. Все полевые работы там состоят в окапывании и прививках, и, судя по сбору фруктов, остров скорее плодоносен, чем плодороден… Есть там город, далеко не отвечающий своей громкой славе, но свидетельствующий о былом величии своем многочисленными развалинами стен. Исстари знаменит храм Юноны на острове…"

Так описывал остров Самос во II в. древнеримский писатель Апулей. Икарийским древние римляне называли Эгейское море, а Юноной – греческую богиню Геру, покровительницу супружеской любви. Самос у греков считался родиной богини Геры, поэтому неудивительно, что именно здесь был поставлен прославленный храм богини. Лишь храм Артемиды в Эфесе, вошедший в историю как одно из семи чудес света, мог поспорить красотой с храмом Геры на Самосее. Двойной ряд колонн – диптер, изящные локон волют, венчавших колонны, богатство и легкость декора роднили оба эти шедевра ионической архитектуры. Как показали археологические раскопки, храм Геры Самосской был построен на основе строгих математических пропорций, а именно системы правильных треугольников или шестиугольников.

Храм Артемиды в Эфесе – одно из семи чудес света. Ок. 550г. до н.э., сожжен в 356г. до н.э.

Геростратом. Реконструкция.

Колонна храма Геры.

VI в. до н.э. Остров Самос

Сегодня от храма Геры Самосской сохранилась одна-единственная колонна. Двенадцать мраморных дисков метровой толщины, образующих колонну, позволяют судить о былом величии храма. Но от былого изящества, увы, не осталось и следа: капитель колонны утеряна, диски смещены друг относительно друга и нависают в разных направлениях. Все это никак не напоминает стройную деву с локонами, стянутыми в две тугие волюты, каковую изначально призвана символизировать ионическая колонна, а похоже скорее на обезглавленного, но оставшегося стоять воина с искореженным годами и войнами телом.

Остров Самос был заселен с незапамятных времен крито-микенской культуры. Самос неоднократно упоминается в "Илиаде" Гомера – Библии греческого народа.

К VIII в. до н. э. остров Самос, а точнее одноименный полис в юго-восточной части острова, стал цветущем торгово-ремесленным центром. Жителям Самоса греческая традиция приписывает изобретение бронзового литься. Самосцы были прекрасными мореплавателями и расторопными купцами, имевшие торговые дома по всему средиземноморью.

Страбон (64/63 до н. э. – 23/24 н. э.) – древнегреческий географ и историк, автор энциклопедической "Географии в 17 книгах" оставил нам описание города Самоса и его окрестностей. "Самос и его гавани с якорной стоянкой обращены к югу. Большая часть города омывается морем и расположена на ровном месте, но одна часть его поднимается в гору, лежащую над ним. Если подъехать к городу с правой стороны, то увидим мыс Посидий, образующий с горой Микале пролив в 7 стадий шириной. На мысе находится храм Посидона; перед ним лежит островок Нарфекида; на левой стороне расположено предместье святилища Геры, течет река Имбрас, и стоят древнее святилище Геры и большой храм, превращенный теперь в склад картин. Кроме множества хранящихся там картин, есть еще и другие склады картин, а также несколько маленьких храмов, полных древними произведениями искусства". Древний город Самос жив и поныне – это сбегающий с окрестных холмов к морю небольшой городок, называемый сегодня в честь прославленного земляка Пифагорионом.

Наивысшего рассвета Самос достиг во второй половине VI в. до н. э. при тиране Поликрате, став сильным греческим государством во всей Ионии. Именно тогда вокруг города были воздвигнуты крепостные стены, которые ко времени Апулея, через восемь столетий, превратились в величественные развалины.

Но не богиня Гера и ее храм и не тиран Поликрат стяжали подлинную славу маленькому острову в Эгейском море: около 570г. до н. э. на Самосе родился основоположник современной математики Пифагор.

Гера Самосская. Мрамор.

Ок. 560г. до н.э. Париж. Лувр.

Сегодня в Лувре хранится мраморная статуя Геры Самосской, которую специалисты относят к 560г. до н. э. Мраморные складки одежды Геры Самосской хранят, быть может, взгляд юного Пифагора.

Отцом Пифагора бал Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, "славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство"

Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником – прославленным скульптором Феодором вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешел к Поликрату и ценился им превыше всего на свете.

Однажды египетский фараон Амасис, состоявший с самосским тираном в дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал Поликрату следующее письмо: "Амасис Поликрату говорил так: "Приятно узнать, что друг ваш и гостеприимец счастлив. Но все же твои великие успехи не радуют меня, так как я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих друзей одно удавалось, а другое – нет, чтобы лучше на своем веку мне попеременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда. Ведь мне не приходилось слышать еще не об одном человеке, кому бы все удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту-то вещь и закинь так, чтобы она больше не попалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету".

Поликрат нашел совет Амасиса мудрым. "Посадив людей на 50-весельный корабль, - рассказывает Геродот, - он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошел далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил в море. После этого он отплыл назад и, опечаленный потерей, возвратился во дворец.

А спустя пять или шесть дней после этого случилось вот что. Какой-то рыбак поймал большую красивую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Рыбак принес рыбу к воротам дворца и сказал, что желает предстать перед Поликратовы очи. Когда желание рыбака было исполнено, он подал Поликрату рыбу со словами: "Царь! Поймав эту рыбу, я не захотел нести ее на рынок, хотя и живу от трудов рук своих. Я решил, что она достойна тебя и твоего царства. Поэтому я приношу ее тебе в дар". А Поликрат обрадовался таким словам и отвечал: "Ты поступил прекрасно. Я благодарю тебя вдвойне: за речь и за подарок. Приглашаю тебя на обед". Рыбак, польщенный, отправился домой, а слуги выпотрошили рыбу и нашли в ее брюхе тот Поликратов перстень. Увидев перстень, они тот час же с радостью понесли его Поликрату. Отдавая перстень, слуги рассказали, как он нашелся. А Поликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал послание Амасису обо всем, что он сделал и что из этого вышло. А написав послание, он велел отправить его в Египет.

Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не может уберечь другого от предреченной ему участи и что Поликрат не кончит добром, так как он преуспевает во всем и даже находит то, что сам забросил".

Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса и зверски убили его. Случилось это около 523г. до н.э., примерно через семь лет после того, как Пифагор, протестуя против жестокостей самого Поликрата, навсегда покинул родной Самос и переселился в Кротон.

Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом.

С именем скульптора Феодора связано и другое предание, рассказанное древнегреческим историком Диодором Сицилийским (ок. 90-21 до н.э.) в его "Исторической библиотеке". Скульпторы Феодор и Телекл изваяли для самосцев статую Аполлона Пифийского. При этом они разделили работу пополам: одна половина Аполлона была изготовлена на Самосе, а другая – на побережье, в Эфесе. "Будучи сложенными, - Говорит Диодор, - эти части настолько соответствовали одна другой, что казалось, будто все произведение исполнено одним мастером".

Совершенно ясно, что при таком способе изготовления статуи без математических расчетов (хотя бы и элементарных) обойтись невозможно. Плоды этих расчетов, когда сделанные в разных местах части сливались в единое целое, конечно же, приводили в изумление. Быть может, именно в этот момент, наблюдая за соединением "вычисленного" в разных местах Аполлона, в голове юного Пифагора впервые промелькнула мысль: "Все есть число".

Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли ее Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы это сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, что как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Развивая эту мысль, один самосский поэт уверял, что истинным отцом Пифагора являлся не Мнесарх, а сам бог Аполлон:

Фебу, Зевесову сыну, рожден Пифагор Пифаидой,

Той, что в Самосской земле всех затмевала красой.

Наконец, многие, имея на то все основания, считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину стол же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он и был прозван Пифагором.

В самом деле, в слове можно выделить два корня: - указывающий на - Пифия и - восходящий, видимо, к - обращаться с речью, объявлять (однокоренным является и слово - народное собрание, где произносят речи). Таким образом, имя можно толковать как "Пифовещатель", т.е. вещающий (прорицающий) от Пифии или как Пифия. Поскольку бог Аполлон после победы над змеем Пифоном получил прозвище Аполлон Пифий, то "Пифовещатель" превращается в "Аполловещателя" или "Уста Аполлона", как иногда переводят имя Пифагора. Со временем античная традиция развила эту идею и стала называть Пифагора не только "Устами Аполлона", но и сыном лучезарного покровителя искусств Аполлона.

Версия о том, что Пифагор – это не имя собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, а по прозвищу, которое он получил за свою мускулатуру гимнаста, - широкий, широкоплечий, по-гречески Платон (, - ширина).

Интересно, что философское осмысление буквы (греческая ипсилон, латинская игрек (т. е. «и» греческое), старославянская ижица), второй буквы в имени Пифагора, античная традиция приписывает самому великому философу. Поэтому ипсилон называли философской или пифагоровой буквой, а ее правую и левую ветви – самосскими ветвями. Считалось, что буква, называемая также виловатым крестом, являет собой графическое изображение выбора двух дорог: пути добродетели и пути порока. В каноническом начертании правая ветвь ипсилона изображалась прямой, идущей вверх, и символизировала добродетель, а левая – кривой, загибающейся книзу, и означала порок. Вплоть до средних веков было распространено выражение: «По пифагоровой букве выбирать дорогу», т. е. выбирать достойный путь на пересечении жизненных стезей.

Пифагорова буква в чистом виде нашла отражение в гербе старинного русского города Саратова. Три серебряного цвета стерляди, символизировавшие богатство волжского края рыбой, образуют пифагорову букву. Полагают, что число геральдических рыб на гербе Саратова (рыба издавна является христианским символом) равнялось числу монастырей в городе, которые по праву считались форпостами обороны, культуры и духовного богатства города. Расположение рыб в форме философской буквы должно было напоминать горожанам о выборе достойного, правого пути на ежедневных жизненных перепутьях. Увы, сегодня в нашей памяти стерты не только осетровые породы рыб и старинные гербы городов, но и извечное напоминание о выборе праведного пути, заложенное в пифагоровой букве.

Но вернемся к самому Пифагору, сыну счастливой Пифаиды. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского.

Гермодамант был потомком Креофилидов – рода эпических певцов на Самосе. Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера.

Но музыка стала для Пифагора не только видом отдохновения и даже не средством вдохновения. Музыка стала предметом научных изысканий, и именно в музыке Пифагор нашел прямое доказательство своему знаменитому тезису: "Все есть число".

Ферекида Сиросского, ученика мудреца Питтака, самого часто причисляли к семерке мудрецов. И как о всяком мудреце, о нем рассказывали много удивительного. Будто однажды, прогуливаясь по Самосу, Ферекид увидел корабль под парусом и сказал, что он сейчас потонет, - и он потонул на глазах. Будто, отведав воды из колодца, он сказал, что на третий день случится землетрясение, - и оно случилось. Ну, и так далее.

Но если отбросить легенды, то Ферекид был философом и вслед за Питтаком считался основателем италийской школы философии. Третьим в цепи италийских философов стал Пифагор. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя.

У нас нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора. Но как бы то ни было, неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе. Пифагор проявил себя в столь разных областях науки, что историк Диоген Лаэрций решительно утверждает: "Пифагоров было четыре или даже пять – философ, скульптор, кулачный боец и т.д."

Вид на священную гору Микале (Малая Азия) с мыса Трогилия на о. Самос. Современное фото.

Бродя по острову, юноша невольно выходил на скалистые оконечности мыса Трогилия, отстоящего в 40 стадиях от города Самоса, и сквозь теплую дымку жадно вглядывался в синеву манящих очертаний. Только 7 стадий Самосского пролива отделяли остров от берегов Малой Азии.

Часами просиживал юный Пифагор на теплых скалах мыса. К полудню этезии достигали своей наибольшей силы. Лазурь моря наливалась чернотой и вздыбливалась крутыми волнами. Ветер срывал с их вершин серебряную пыль и бросал в лицо освежающие пригоршни. Волны неистово бросались на скалы и отступали, превратившись в шипящую, как молодое вино, пену. В эти минуты Пифагору казалось, что со священной горы Микале, вздымавшейся на том берегу, до него долетают праздничные песнопения в честь бога Посейдона, что он чувствует запах жертвенных костров, зажженных на том берегу, что он видит скачущие колесницы, в клубах пыли уносящие счастливых седоков в огромный неведомый мир.

Мудрый Ферекид понимал все без слов. "Ты вырос из Самоса, - сказал он Пифагору однажды. – Отправляйся путешествовать – только так утолишь ты жажду познания. Помни: путешествия и память суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости".

«Достигнув Италии, Пифагор появился в Кротоне и сразу привлек там всеобщее уважение как человек, много странствовавший, много­опытный и дивно одаренный судьбою и природою: с виду он был величав и благороден, а красота и обаяние были у него и в голосе, и в обхождении, и во всем. Сперва он взволновал городских старейшин; потом, долго и хорошо побеседовав с юношами, он по просьбе властей обратил свои увещевания к молодым; и наконец, стал говорить с мальчиками, сбежавшимися из училищ, и даже с женщинами, которые тоже собрались на него посмотреть. Все это умножило громкую его славу и привело к нему многочисленных учеников из этого города, как мужчин, так и женщин, среди которых достаточно назвать знаменитую Феано; даже от соседних варваров приходили к нему цари и вожди...

Он так привлекал к себе всех, что одна только речь, произне­сенная при въезде в Италию, пленила своими рассуждениями более двух тысяч человек; ни один из них не вернулся домой, а все они вместе с детьми и женами устроили огромное училище в той части Италии, которая называется Великой Грецией, поселились при нём, а указанные Пифагором законы и предписания соблюдали ненарушимо как божественные заповеди».

Так описывал приезд Пифагора в Кротон в сочинении «Жизнь Пифагора» древнегреческий философ Порфирий. Известно, например, что древнегреческий философ-материалист Демокрит (ок. 460 — ок. 370 до

н. э.) написал сочинение «Пифагор», в котором высказывал свое восхищение самосским мудрецом. Увы, из 70 сочинений Демокрита до нас дошло лишь около 300 небольших фрагментов.

Итак, с приездом Пифагора в Кротон начинается самый славный период его биографии. Возраст акме – вершина творческих сил человека – стал и временем расцвета философии Пифагора.

В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Основу пифагорейского союза, скорее всего, составили многочисленные братства орфиков. Орфики были близки Пифагору по духу, и он сумел объединить их в единый религиозно-политический союз. Таким образом, семена учения Пифагора упали на подготовленную орфиками почву, и именно поэтому союз быстро завоевал в Кротоне широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни полиса.

Чем же объясняется феноменальная популярность Пифагора в Кротоне? По-видимому, прежде всего незаурядными личными качествами философа, его умением увлечь за собой людей. Для эмигранта из далекого Самоса ораторское искусство на первых порах было, пожалуй, единственным средством в борьбе за признание. Конечно же, и ореол вечного странника, а возможно, и мученика, вобравшего в себя мудрость великой восточной культуры, придавал образу Пифагора особую притягательную силу.

Но не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников. Поначалу именно талант политического оратора и религиозного проповедника, а не мудрость философа и тем более естествоиспытателя принесли Пифагору успех. Нравственные принципы и правила, проповедуе­мые Пифагором, и сегодня достойны подражания.

«Для всех, и для многих и для немногих, было у него на устах правило: беги от всякой хитрости, отсекай огнём, железом и любым оружием от тела болезнь, от души — невежество, от утробы — роскошество, от города — смуту, от семьи — ссору, от всего, что есть,— неумеренность».

«Вещей, к которым стоит стремиться и которых следует добиваться, есть на свете три: во-первых, прекрасное и славное, во-вторых, полезное для жизни, в-третьих, доставляющее наслажде­ние. Наслаждение имеется в виду не пошлое и обманчивое, но прочное, важное, очищающее от хулы. Ибо наслаждение бывает двоякого рода: одно, утоляющее роскошествами наше чревоугодие и сладострастие, он уподоблял погибельным песням Сирен, а о другом, которое направлено на все прекрасное, праведное и необходимое для жизни, которое и переживаешь сладко, и, пережив, не жалеешь, он говорил, что оно подобно гармонии Муз».

Эти два отрывка из «Жизни Пифагора» Порфирия рисуют высокий нравственный облик великого эллина. Есть две поры, учил Пифагор, наиболее подходящие для размышлений: когда идешь ко сну и когда пробуждаешься ото сна. И в тот и в другой час следует потребовать от себя отчета во всем происходящем, окинуть мысленным взором всё, что сделано и что предстоит ещё сделать. День пифагорейцу надлежало заканчивать стихами:

Не допуская ленивого сна на усталые очи,

Прежде чем на три вопроса о деле дневном не ответишь:

Что я сделал? чего не сделал? и что мне осталось сделать?

и начинать со стихов:

Прежде чем встать от сладостных снов, навеваемых ночью,

Думой раскинь, какие дела тебе день приготовил.

Не правда ли, эти стихи современны и по прошествии двух с половиной тысячелетий?!

Система морально-этических правил, завещанная своим учени­кам Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев — «Золотые стихи». «Золотые стихи» переписыва­лись и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В XVIII — XIX вв. «Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 г. в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нравственные прави­ла», начинавшаяся словами:

Зороастр был законодателем персов.

Ликург был законодателем спартанцев.

Солон был законодателем афинян.

Нума был законодателем римлян.

Пифагор есть законодатель всего человеческого рода.

Вот некоторые извлечения из этой книжечки, содержащей 325 Пифагоровых заповедей:

Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов.

Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.

Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая; но ей не обучаются.

Следуя этим правилам, Пифагор выработал для себя и своих учеников особый распорядок дня. Встав до восхода солнца, пифагорейцы шли на морской берег встречать рассвет. Кротон расположен на восточном берегу Аппенинского полуострова, и солнце встает там прямо из моря. В утренней прохладе священной рощи обдумывали пифагорейцы труды предстоящего дня, после чего делали гимнастические упражнения и принимали завтрак. Сам Пифагор в утренние часы часто успокаивал душу игрой на лире и пением стихов Гомера. Многолюдным сборищам он предпочитал уединенные прогулки с двумя-тремя учениками, замечая при этом, что «где тише всего, там и лучше всего». В конце дня следовали совместная прогулка, морское купание и ужин. После ужина — возлияние богам и чтение. Читал обычно самый младший, а самый старший комментировал прочитанное.

Гармония духовного и физического, взлелеянная пифагорейцами, давала прекрасные всходы. Не случайно среди дошедших до нас имен олимпийских победителей древности так много кротонцев: шестикратный победитель Олимпийских игр среди борцов, ученик Пифагора, Милон; легендарный прыгун Фаилл, согласно преданию, прыгнувший в длину на 55 дельфийских стоп (16,3 м), и др. Как сообщает Страбон, однажды на Олимпийских играх все семь победителей в беге на одну стадию оказались кротонцами. В те времена в ходу были поговорки: «Последний из кротонцев — первый из остальных греков» или «Здоровее кротонца», что означало высшую степень физического совершенства.

На протяжении всей истории Древней Эллады калокагатия оставалась своеобразным культом для древних греков и от них перешла к древним римлянам (вспомним римское: «.Mens sana in corpore sano» — «В здоровом теле здоровый дух»).

Пифагор, предписывая чтить старейших, «ибо всюду предше­ствующее почетнее последующего», учил почитать родителей, высоко ценил дружбу, считая, что у друзей всё общее и что друг — это второе «я». Эти и многие другие заповеди и составляли основу пифагорейской этики.

Даже философия для Пифагора была не просто умственным любомудрием, но и особой системой жизненных правил. Для философа-пифагорейца недостаточно было лишь теоретически любить мудрость. Любовь к мудрости должна была охватывать не только ум, но и все существо философа, подчиняя его себе и делая его аристократом духа и добродетели. Эта мысль нашла прекрасное выражение в одной из сентенций Пифагора: «Одни приходят на Олимпийские игры, чтобы состязаться, другие, чтобы покупать или продавать, а третьи, чтобы смотреть, - это люди высшей категории».

Кстати, изобретение самого термина философия традиция приписывает Пифагору. Пифагор видел себя не обладателем истины, а лишь человеком, стремящимся к ней как к недостижимому идеалу. Поэтому Пифагор утверждал, что он не есть воплощение мудрости — мудрец (софос), а лишь любитель мудрости — любомудр (философ).

Из учения о переселении душ следовали и предписания, запрещающие убивать животных и питаться их мясом, так как в животном могла обитать душа умершего человека. Легко понять, что энергичным грекам, чей организм требовал высококалорийной пищи, это табу Пифагора приходилось не по душе. Да и сам Пифагор, готовя Евримена к Олимпийским играм, вынужден был нарушать его. Поэтому греки весьма прохладно принимали эту часть пифагорейского учения и не упускали случая вспомнить Пифагору его собственные прегрешения, о чем свидетельствует, например, эпиграмма Диогена Лаэртского:

Был Пифагор мудрецом, и таким, что мяса не трогал

И говорил, что оно недопустимый соблазн.

Но угощал им других. Я дивлюсь мудрецу: как же сам он,

Не соблазняясь, других прямо толкал на соблазн.

Ученики Пифагора делились на две большие группы, первую из которых составляли последователи и продолжатели дела (их называли пифагорейцами, эзотериками, познавателями), а вторую - подражатели (пифагористы, экзотерики или акусматики). Для акусматиков придумывались своего рода пословицы, или акусматы, легко запоминаемые и отражающие основные ключевые позиции философии Пифагора. Вот некоторые из них:

„Что самое праведное? — Жертвовать.

Что самое мудрое? — Наука врачевания.

Что самое прекрасное? — Гармония.

Что самое сильное? — Мысль.

Что самое лучшее? — Счастье.

Какое высказывание можно считать самым правдивым? — Что люди злы“.

Из этих акусматов видно, как Пифагор относился к медицине. С учениками он создал одну из крупнейших медицинских школ. В перечне десяти самых известных врачей V в. до н.э. названы почти исключительно пифагорейцы.

Одним из достижений пифагорейской медицины являлось учение о критических днях, согласно которому кризис каждой болезни наступал в строго определенные критические дни. Эти дни отсчитывались от начала болезни и выражались нечетными числами. Учение о критических днях существовало в европейской медицине вплоть до ХVII в.

Пифагор противился хирургии во всех её формах, так как не допускал изменения человеческого тела, данного Творцом и считал это святотатством в отношении богов, поскольку при этом нарушалось место их обитания.

Пифагору принадлежит и открытие терапевтического эффекта музыки. Он не колебался относительно влияния музыки на ум и тело, называя это “музыкальной медициной”. Он полагал, ”что музыка во многом содействует здоровью, если пользоваться ею соответственно подобающим ладам, так как человеческая душа, и весь мир в целом имеют музыкально-числовую основу”.

В школе Пифагора с профилактической целью по утрам и вечерам проводилось хоровое пение, сопровождавшееся струнными инструментами. ”Отходя ко сну, они (пифагорейцы) освобождали разум от смятения и шума, царящего в нем после проведенного дня, некоторыми напевами и специальными мелодиями и таким путем обеспечивали себе спокойный, с немногочисленными, но приятными сновидениями, сон, а, встав ото сна, снимали сонную вялость и оцепенение с помощью другого рода мелодий”.

Пифагор воздействовал музыкой и пением и на больных людей, устраняя многие болезни и страдания души и тела. Описан случай, когда Пифагор предотвратил поджог и убийство, воздействовав музыкой на разъяренного ревнивца, пытавшегося поджечь дом своей подруги. Когда ревнивец подкладывал к дверям дома хворост, флейтист неподалеку играл возбуждающую фригийскую мелодию. Пифагор попросил флейтиста сменить мелодию на более медленную и спокойную. После звуков новой мелодии разъяренный ревнивец присмирел, одумался, забрал свой хворост и ушёл.

Пифагор классифицировал мелодии, применявшиеся для лечения, по болезням и имел для каждого заболевания собственный музыкальный рецепт. “Некоторые мелодии были выдуманы для того, чтобы лечить пассивность души, чтобы не теряла она надежд и не оплакивала себя, и Пифагор показал в этом себя большим мастером. Другие же мелодии использовались им против ярости, против злобных и гневных порывов, против заблуждений души. А были еще мелодии, которые умеряли желания”. К сожалению, ни эта классификация, ни сами мелодии до нас не дошли. Но известно, что Пифагор отдавал явное предпочтение струнным музыкальным инструментам и предупреждал своих учеников, чтобы они не прислушивались, даже мимолетно, к звукам флейты и цимбал, так как, по его мнению, они имеют звучание резкое, торжественно-манерное и несколько не благородное.

Один из его уникальных методов лечения заключался в декламации стихов Гомера из “Илиады” или “Одиссеи” и Гесиода, причем для каждого типа заболевания также подбирались соответствующие отрывки.

Пифагор первым в истории медицины обратил внимание не только на больного, но и на здорового человека, считая здоровье гармонией всех элементов человеческого организма, сочетанием разнообразных и противоречивых качеств, связанных с проявлением и духовной, и телесной жизни. “Чтобы достигнуть идеала, человек должен достигнуть трех совершенств: осуществить истину в разуме, праведность в душе, чистоту в теле. Мудрая гигиена и разумная воздержанность должны поддерживать телесную чистоту. Чистота эта не цель, а средство. Всякое телесное излишество оставляет следы и как бы загрязняет астральное тело, живой организм души; а, следовательно, страдает и дух…” (Э.Шюре, Великие Посвященные).

Путь к здоровой и добродетельной жизни Пифагор советовал начинать “с правильного соотношения питья, еды и отдыха… порядка самого приготовления пищи и напитков и выбора того, что для этого нужно”.

Каждый продукт питания, по мнению Пифагора, порождает свойственное лишь этому продукту состояние души, поэтому нельзя есть, во-первых, чуждую богам пищу (мясо и вино) и, во-вторых, пищу, которая считается священной (мальву и бобы).

Пифагор говорил, что мясо затемняет умственные способности, мешает предвидению будущего, чистоте души и ясности сновидений. Поэтому он настоятельно рекомендовал не есть мяса городским чиновникам накануне рабочего дня и особенно судьям накануне судебных разбирательств. “Те, которые хотят поступать в высшей степени по справедливости, конечно же, не должны причинять вреда родственным нам существам”.

Вареную пищу Пифагор не советовал жарить, так как считал недопустимым смешивать свойство мягкости, присущее вареному, со свойством гнева (огня), присущим жареному.

Когда Пифагор удалялся в храм Бога для молитв и медитаций, то брал с собой заготовленный запас пищи и питья. Пища состояла из равных частей мака и кунжута, шкурок морского лука, из которого выдавливался сок, цветков нарцисса, листьев мальвы, ячменя и гороха. Сюда же добавлялся дикий мед. Для приготовления питья Пифагор использовал семена огурцов, изюм без косточек, цветы кориандра, семена мальвы и портулака, тертый сыр, молоко и масло, смешанные вместе и услащенные диким медом. Пифагор говорил, что это - диета Геркулеса, а рецепт Геркулесу был дан самой богиней Цецерой.

Однако заметим, что даже на пифагорейцев, не говоря уже о пифагористах, Пифагор не накладывал никаких строгих запретов по приему пищи. Все его советы носили исключительно рекомендательный характер. Единственное, о чем Пифагор предупреждал строго, - о необходимости соблюдать умеренность в еде и питье. Пифагорейцы всегда должны были заботиться о том, чтобы их тело не было бы ни слишком тощим, ни тучным.

Пифагор и его последователи огромное значение для сохранения здоровья придавали контролю и управлению эмоциями, и учили постоянно поддерживать в себе ровное настроение. “Человек не должен быть ни слишком веселым, ни излишне мрачным”. Поддерживаемое эмоциональное состояние должно быть умеренно радостное. Особенно опасными состояниями эмоциональной сферы считались состояния раздражения и гнева. Пифагор неукоснительно требовал, чтобы раздраженный или, тем более, разгневанный человек не принимал никаких решений и не совершал никаких действий.

Культивируемое пифагорейцами умеренно-радостное состояние эмоциональной сферы должно было, по замыслу Пифагора, готовить человека к тому, чтобы ни одно из несчастий жизни не обрушилось на него неожиданно. Но, естественно, этого было мало. Для преодоления невзгод необходимо было иметь ясный ум и способность спокойного, не отягощенного эмоциями анализа случившегося. Путь же к ясности ума лежал через тренировку памяти.

Пифагором был разработан комплекс упражнений для тренировки памяти. До нас дошло одно и, по-видимому, самое простое упражнение. Пифагореец, пробудившись утром ото сна, должен был не вставать с постели до тех пор, пока не припомнит в подробностях всю последовательность событий дня минувшего, а если позволяло время, то и предшествовавшего ему дня. Пифагор также считал полезным, чтобы человек ежедневно размышлял о Боге (богах), о том, что Он существует и что Он любит человека, и наблюдает за ним.

Пифагор считал плохую заботу о потомстве главной и очевиднейшей причиной того, что многие люди болезненны, дурны и порочны. Более того, он говорил, что никто из живых существ не уделяет так мало внимания заботе о потомстве, как человек.

Пифагор утверждал, что нужно уделять исключительное внимание выбору спутника или спутницы жизни. “Не брак освещает любовь, а любовь оправдывает брак”. Будущим родителям он предписывал вести разумный и здоровый образ жизни, совсем не пить вина, не есть мяса, питаться в установленное время и ни в коем случае не переедать.

Поскольку самой большой несправедливостью на свете Пифагор считал разлучение детей и родителей, родители должны были постоянно присматривать за детьми и воспитывать их в соответствии с законами добродетельной жизни. “Любовь к родине происходит из любви, питаемой человеком в детстве к матери. Родители не даются нам случайно, как думает несведущий, но благодаря тому высшему порядку, связанному со всем прошлым человека, который можно назвать его судьбой. Родителей нужно уважать, какие бы они ни были, а друзей - выбирать”.

Много тайн видимого и невидимого мира открыл человечеству Пифагор. Но сегодня мало кто вспоминает о нём как о Великом Служителе и Врачевателе, нёсшим свой светильник среди жизни под градом непонимания, и мало кто знает, что “священное число Пифагора есть равновесие Красоты” .

И.Н.Желтякова.

Со мною сердце говорит.

Я этот голос ясно слышу.

Тоска и радость, и восторг,

Язык Всеобщий, Голос Свыше.

Со мною сердце говорит.

О том, что вижу, чем живу я.

Где оборвал я нить живую,

Что с красотою единит.

Со мною сердце говорит.

Я бережно его касаюсь,

Оно одно соединяет

Такие разные миры.

Египетские влияния просматриваются и во многих других внешних и внутренних сторонах жизни пифагорейского братства. Как и египетские жрецы, пифагорейцы запрещали употреблять в пищу бобы и даже прикасаться к ним. Ямвлих рассказывает, как однажды отряд из тридцати воинов сиракузского тирана Дионисия напал на дороге из Тарента в Метапонт на десятерых пифагорейцев. Завязался неравный бой, и вскоре безоружные пифагорейцы были вынуждены отступить, ибо, как говорит Ямвлих, «храбрость состоит в точном знании, когда и где силе уступить или противиться должно». Пифагорейцы отступили и легко оторвались бы от погони, но на пути им попалось поле, засеянное бобами. Свято следуя заветам учителя, они не могли ступить на это поле, вновь приняли неравный бой, и все погибли.

Остывшие после боя сиракузяне весьма огорчились, что никого не взяли в плен, и тут им попались еще двое пифагорейцев — кротонец Милиас со своей беременной женой Тимихою. Сиракузские разбойники пленили безвинную пару и препроводили их к Дионисию. Тиран выразил лицемерное сожаление о случившемся и пригласил Милиаса быть его соправителем. Получив твердый отказ, Дионисий сказал: «Ответствуйте мне только на один вопрос, после чего отпущу я вас с честью и славою домой: почему ваши друзья предпочли смерть бегству через бобовое поле?» «Друзья мои,— отвечал Милиас,— решили лучше умереть, нежели прикос­нуться к бобам; а я скорее умру, чем объявлю причину, по которой мы к бобам не прикасаемся».

Любезность Дионисия иссякла, а любопытство, напротив, разгорелось, и он приказал принести орудия пыток. Начать решено было с несчастной Тимихи, а муж её должен был смотреть на муки своей жены. Однако, исполненная геройского духа, пифагореянка упредила палачей: она откусила себе язык и плюнула его в лицо тирану — теперь она ничего уже не сможет сказать ему!

А все-таки почему пифагорейцам нельзя было прикасаться к бобам? Как нам представляется, этого толком не знали ни погибшие пифагорейцы, ни героическая Тимиха. Согласно одному из орфических мифов, бобы произошли из капель крови растерзанного Диониса-Загрея, поэтому их и запрещалось есть. В целом же все эти истории только лишний раз нам напоминают, что жили пифагорейцы очень давно — два с половиной тысячеле­тия назад, что ясный ум и высокая нравственность окутаны были в сознании древнего человека красивой сказочной пеленой. Как далеко с тех пор подвинулся разум человечества и сколь ничтожны на этом фоне его успехи в сфере нравственного!

Забота о чистоте духа не заслоняла для пифагорейцев заботу и о чистоте тела. Как и египтяне, пифагорейцы пеклись о чистоте тела и чистоте одежды. Сам Пифагор всегда облачался в ослепи­тельно белые одежды, подобно египетским жрецам, и любил носить восточный тюрбан. Возможно, греческой замкнутостью объясняется и тайный характер всего пифагорейского учения.

Здесь мы подошли к едва ли не самому «больному» месту всего «пифагорейского вопроса». Поскольку учение Пифагора было тайным, то оно, видимо, не записывалось. Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, да скорее всего он их просто и не писал. В силу этого, а также в силу существовавшей в античности традиции приписывать результаты открытий учеников своему учителю сегодня невозможно опреде­лить, что сделал в науке сам Пифагор, а что — его ученики и последующие представители пифагорейской школы. Древние верили, что идеи, подобно вину, только улучшаются с возрастом. Поэтому ученики щедро приписывали свои открытия учителям, которые чаще всего об этих открытиях и не подозревали. Споры вокруг «пифагорейского вопроса», начатые еще Аристо­телем, ведутся третье тысячелетие, однако общего мнения не существует и сегодня. Достаточно сказать, что два крупнейших современных авторитета в истории античной науки — голландец Бартел ван дер Варден и немец Отто Нейгебауэр — принципиально расходятся в оценке деятельности Пифагора. Вот почему вместо слов «учение Пифагора» принято осторожно говорить «пифагорейское учение», «пифагореизм».

Ритуал посвящения в члены пифагорейского братства был окружен множеством таинств, разглашение которых сурово каралось. «Когда к нему приходили младшие и желающие жить совместно,— рассказывает Ямвлих,— он не сразу давал согласие, а ждал, пока их не проверит и не вынесет о них свое суждение». Но и попав в орден после строгого отбора и испытательного периода, новички могли только из-за занавеса слушать голос учителя, видеть же его самого разрешалось только после нескольких лет очищения музыкой и аскетической жизнью. Впрочем, это не был суровый христианский аскетизм, умерщвляющий плоть. Пифаго­рейский аскетизм для новичка сводился прежде всего к обету молчания. «Первое упражнение мудреца,— свидетельствует Апулей,— состояло у Пифагора в том, чтобы до конца смирить свой язык и слова, те самые слова, что поэты называют летучими, заключить, ощипав перья, за белой стеною зубов. Иначе говоря, вот к чему сводились начатки мудрости: научиться размышлять, разучиться болтать». Не правда ли, прекрасный совет философ Пифагор дает современным философам!

Обет молчания, даваемый пифагорейцами, нашел отражение в символе — «Бык на языке», что на современный лад означает «Держи язык за зубами». Вообще, пифагорейцы имели множество символических изречений, смысл которых часто был непонятен и неоднозначен. Собрание этих изречений-символов, называемых акусмами (услышанное), заменяло собой устав обще­ства. В основном акусмы регулировали скорее внешнюю сторону жизни пифагорейцев, тогда как «Золотые стихи» ставили целью их нравственное совершенствование. Вот некоторые из пифагорей­ских акусм и их толкования:

Сердце не ешь (т. е. не подтачивай душу страстями или горем).

Огня ножом не вороши (т. е. не задевай гневных людей).

Через весы не шагай (т. е. не нарушай справедливости).

Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).

Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).

Будь с теми, кто ношу взваливает, а не с теми, кто ее сваливает (т. е. живи в труде).

Ласточек в доме не держи (т. е. не привечай в доме шептунов и доносчиков).

Главным пифагорейским символом — символом здоровья и опознавательным знаком — была пентаграмма, или пифагорей­ская звезда,— звёздчатый пятиугольник, образованный диагона­лями правильного пятиугольника. Пентаграмма обладает замеча­тельными математическими свойствами, которые мы рассматривали, когда говорили о золотом сечении.

Поразительным является и ещё одно обстоятельство. Звез­дчатый пятиугольник обладает поворотной симметрией пято­го порядка. Но именно этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе (вспомним цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони, малины, рябины и т. д.) и принципиально не возможен в кристаллических решетках неживой природы. Симметрию пятого порядка называют симмет­рией жизни; это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности. И именно геометрическую фигуру с симметрией пятого порядка пифагорейцы выбирают в качестве символа здоровья и жизни! Что это — случайное совпадение или проница­тельный взгляд пифагорейцев заметил и эту особенность живой природы?!

Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Согласно легенде, когда один пифагореец умирал на чужбине и не мог расплатиться с гостепри­имным хозяином дома, ухаживавшим за ним, он велел хозяину нарисовать на стене своего дома пентаграмму. «Если когда-нибудь мимо пойдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет»,— сказал умиравший. Действительно, через несколько лет другой странству­ющий пифагореец увидел знак, расспросил о случившемся хозяина и щедро вознаградил его.

О верности пифагорейцев долгу повествует и другое предание. Все тот же Дионисий, жестокий тиран Сиракуз, который, конечно же, в тайниках души ощущал разницу между собой и пифагорейца­ми и оттого ещё более тянулся к ним и ещё более их ненавидел, решил испытать пифагорейцев на верность. Дионисий приказал схватить пифагорейца Финтия, затем обвинил его в преступном заговоре и объявил смертный приговор. Как последнее желание Финтий попросил отпустить его до вечера домой, чтобы закончить свои дела и помочь младшему товарищу Дамону, которого он опекал на правах старшего. Дионисий согласился, но при условии, что Дамон останется заложником. Дамон с готовностью согла­сился, чем в первый раз изумил Дионисия. Между тем придворные тирана потешались над Дамоном, не сомневаясь, что он обрек себя на верную смерть. Но не успело закатиться солнце, как Финтий вернулся, чтобы идти на казнь. Дионисий растрогался во второй раз; он заключил друзей в свои объятия и попросил принять его третьим в их дружеский союз. Согласия, однако, тиран не получил.

Были, конечно, и более трезвые суждения о чудесах Пифагора. Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках все, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из аида, а при этом прочитал им обо всем, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом и даже поручили ему своих жен, чтобы те у него чему-нибудь научились; их прозвали «пифагореянками». И тем не менее основной тон всехпреданий о Пифагоре был один: «Ни о ком не говорят так много, и так необычайно» (Порфирий).

Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «чудо», прославившее в веках имя великого эллина, было в другом. Это чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Утренние купания пифагорейцев в волнах Ионического моря были и еже­дневной прелюдией к плаванию по океану знания. Только целью плавания на сей раз были не поиски золотого руна, а поиски сокровища, куда более ценного. То были поиски истины.

Матовая седина ниспадающих на плечи волос Пифагора переходила в сверкающую белизну его жреческих одежд. И только пурпурная перевязь на лбу оттеняла исходящее от него ослепитель­ное сияние, лучистый взгляд мудреца падал прямо в душу собеседника, но не обжигал, а согревал её ровным и мягким светом. Воистину окружавшей толпе учеников он представлялся богом Аполлоном, сошедшим с небес и льющим в их души божественный свет истины. Вот почему пифагорейцы искренне верили, что разумные существа подразделяются на три вида: Бог, человек и существо, подобное Пифагору! Вот почему боготворили они каждое слово учителя, снабжали каждую идущую от него фразу весомой преамбулой (сам сказал).

А сейчас нам хочется закончить рассказ о пифагорейском союзе прекрасной характеристикой, данной ему нашим современником — математиком и историком науки ван дер Варденом: «Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект. Но что отличало пифагорейцев от всех других — это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир — множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто до конца изучит эту божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным».

Таков был пифагорейский союз — любимое детище великого эллинского мудреца. Воистину то - был союз истины, добра и красоты.

Хронология развития теоремы до Пифагора:

№

Историческое место

дата

1

Древний Китай (математическая книга Чу-пей)

~2400 г. до н. э.

2

Древний Египет (гарпедонапты или "натягиватели веревок")

2300 г. до н. э.

3

Вавилон (Хаммураби )

2000 г. до н. э.

4

Древняя Индия (сборник Сульвасутра )

600 г. до н. э.

5

Пифагор

570 г. до н. э.

Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:

"Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Как свидетельствуют летописи, в Древнем Китае уже около 2200 года до н.э. для треугольника со сторонами 3, 4, 5 было найдено правило «гоу-гу», с помощью которого можно было по известным гипотенузе и одному из катетов находить другой неизвестный катет, а также гипотенузу.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).

По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмём веревку длиною в 12 м. и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м и 4 м от одного конца. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближеённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере в некоторых случаях. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой - на критическом изучении греческих источников, Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:

"Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку".

В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины).

Как утверждают все античные авторы, Пифагор первый дал полноценное доказательство теоремы, носящей его имя. К сожалению, мы не знаем, в чём оно состояло, потому что древние математики и писатели об этом умалчивают, а от самого Пифагора и ранних пифагорейцев до нас не дошло ни одного письменного документа. Только позже у Евклида было обнаружено доказательство этой теоремы.

Существует так называемое дерево Пифагора - гипотетическое дерево, которое составлено из соединенных между собой прямоугольных треугольников, с построенными на катетах и гипотенузе квадратами.

В настоящее время насчитывается более пятиста доказательств теоремы, в том числе: геометрических, алгебраических, механических и прочих. Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):

"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:

"Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel.

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе это означает:

"Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:

"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". С другой стороны, Прокл утверждает, что доказательство в "Началах" принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.

Существует три формулировки теоремы Пифагора:

1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью.

Существует такая сказка…

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолёты, находится страна Геометрия. В этой удивительной стране был один необычный город – город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она не обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл хозяин, назвавший себя Прямым Углом, и предложил Гипотенузе поселиться у него и Гипотенуза осталась. Оказалось, что у Прямого Угла было два маленьких сына, звали которых Катеты. С тех пор в доме Прямого Угла началась новая жизнь. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Домик принял форму прямоугольного треугольника. Гипотенуза очень понравилась обоим Катетам, и они попросили её остаться навсегда в их доме. По вечерам дружная семья собирается за столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего водить приходилось ему, а Гипотенуза пряталась так искусно, что найти её иногда бывало очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если удаётся найти Катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. И стал Прямой Угол использовать эту закономерность и, надо сказать, очень успешно».

На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

Существуют различные способы доказательства этой теоремы.

Здесь вы можете увидеть два доказательства теоремы Пифагора, которые основаны на равновеликости фигур, из которых они состоят. Эти доказательства считаются одними из самых простых из-за своей наглядности.

7.1. Древнеиндусское доказательство.

На рисунке изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е.

c² = a² + b². Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

7.2. Доказательство для равнобедренных треугольников.

На рисунке изображено доказательство теоремы Пифагора для равнобедренных треугольников. Как видите, каждый квадрат, построенный на катетах, состоит из двух равных треугольников, а квадрат на гипотенузе - из четырех. Дальнейшие объяснения излишни.

Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

8.1. Доказательство Эпштейна.

Доказательство Эпштейна по праву считается одним из самых легких среди аддитивных доказательств, т.к. квадраты на катетах и гипотенузе делятся исключительно на треугольники.

Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.

Доказательство.

Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.

Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.

Треугольники 3 при повороте и параллельном переносе также совпадают.

При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.

Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теорема доказана.

8.2. Доказательство ан-Найризия*.

Доказательство ан-Найризия тоже довольно легкое. Оно примечательно тем, что все фигуры совпадают с равными им исключительно при параллельном переносе.

Дано: при разделении на фигуры надо учитывать, что DE=BF.

Доказательство.

По чертежу ясно видно, что фигуры, отмеченные одинаковыми цифрами, равны. Треугольники 1 и 1, 3 и 3, 4 и 4 равны между собой. Четырехугольники 2 и 2, 5 и 5 также равны. Следовательно, теорема доказана.

* - Латинизированное имя - Аннариций.

8.3. Другое доказательство ан-Найризия*.

Ан-Найризий привел ещё одно доказательство теоремы Пифагора. Как вы видите, оно основывается на том, что квадраты на гипотенузе и катетах "передвинуты" со своих обычных мест. Думаю, что дальнейшие объяснения тут излишни.

8. 4. Доказательство методом "колеса с лопастями".

Ещё одно доказательство методом разложения квадратов на равные части, называемое «колесом с лопастями».

Дано: ABC– прямоугольный треугольник с прямым углом C; O – центр квадрата, построенного на большом катете; пунктирные прямые, проходящие через точку O, перпендикулярны или параллельны гипотенузе.

Доказательство.

Это разложение квадратов, также как и при разложении ан-Найризия, интересно тем, что его попарно равные четырехугольники могут быть отображены друг на друга параллельным переносом. Теорема доказана.

Здесь вы найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения.

9.1. Доказательство Леонардо да Винчи.

Дано: На рисунке изображена обычная Пифагорова фигура – прямоугольный треугольник ABC с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику.

Доказательство.

Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь C∈EP, прямая EP делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая CM делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90° вокруг центра A отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ. Поворот четырехугольника CBNM вокруг точки В на 90° по часовой стрелке отображает его на четырехугольник EPBA, который в свою очередь равен четырехугольнику EDFP. Теорема доказана.

9.2. Доказательство Нассир-эд-Дина.

Дано: PCL - прямая

Доказательство: четырехугольник KLOA равен четырехугольнику ACPF, а тот, в свою очередь, равен четырехугольнику ACED, и равен a²;

четырехугольник LGBO равен четырехугольнику CBMP, тот, в свою очередь, равен четырехугольнику CBNQ, который равен b²;

четырехугольник AKGB равен сумме четырехугольников AKLO и LGBO и равен c²;

отсюда c² = a² + b². Теорема доказана.

9.3. Доказательство Гофмана.

На рисунке вы видите ещё более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом.

Дано: ΔABC с прямым углом C; BF⊥CB и BF=CB; BE⊥AB и BE=AB; AD⊥AC и AD=AC; точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Доказательство: четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, так как ΔABF=ΔECB; ΔADF=ΔACE; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим:

a²/2 + b²/2 = c²/2, домножаем равенство на 2, и теорема доказана.

Эти доказательства, основанные на применении в геометрии алгебраических формул. Это достаточно легкие доказательства, не требующие никаких дополнительных построений.

10.1. Доказательство Бхаскари.

Этот рисунок иллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ!

Дано: ΔАВС с прямым углом С.

Доказательство: Построим квадрат на гипотенузе так, чтобы ΔАВС находился внутри квадрата. Построим внутри ещё три прямоугольных треугольника как показано на рисунке. Площадь каждого из них равна ab/2, т.е. в сумме - 2ab. Сторона внутреннего квадрата равна разности катета b и катета а, т.е. площадь этого квадрата равна (a - b)². Сложив площади треугольников и внутреннего квадрата, получаем: a² + b² = с². Теорема доказана.

10.2. Одно из возможных доказательств Пифагора.

Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Приведем в современном изложении одно из таких доказательств, возможно принадлежащих Пифагору.

Дано: ΔАВС - прямоугольный с прямым углом С; СМ - высота; b₁ - проекция катета b на гипотенузу, а₁ - проекция катета а на гипотенузу.

Доказательство: Из того, что ΔABC подобен ΔACM следует:

b² = cb₁; (1)

из того, что ΔABC подобен ΔBCM следует:

a² = ca₁. (2)

Складывая почленно равенства (1) и (2), получим a² + b² = cb₁ + ca₁ = c(b₁ + a₁) = c².Теорема доказана.

Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные историки математики обычно приписывают Евклиду.

10.3. Доказательство Мёльманна.

Дано: ΔАВС - прямоугольный.

Доказательство: Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны равна ab/2, а с другой - pr/2, где p - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности. Вспомним, что r = (a + b - c)/2. Имеем:

ab/2 = pr/2 = (a + b + c)/2 * (a + b - c)/2.

откуда следует, что a² + b² = c². Теорема доказана.

10. 4. Доказательство Гарфилда.

Дано: Три прямоугольных треугольника.

Доказательство: На иллюстрации три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна

S = (a + b)2,

а во втором случае

ab/2 + ab/2 + c²/2.

Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.

Простейшие доказательства теоремы, для понимания которых достаточно одного взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько доказательств, которые не требуют пояснений. Это доказательства способом разложения квадратов на катетах и гипотенузе на отдельные фигуры.

11.1. Доказательство Нильсена.

На этом рисунке вы видите доказательство, где вспомогательные линии проведены по предложению Нильсена. Предлагаю вам самим попробовать доказать теорему Пифагора этим способом.

11.2. Доказательство Бетхера.

На иллюстрации дано весьма наглядное разложение Бетхера.

11.3. Доказательство Гутхейля.

Изображенное на рисунке разложение принадлежит Гутхейлю; для него характерно наглядное расположение отдельных частей, что позволяет сразу увидеть, какие упрощения повлечет за собой случай равнобедренного прямоугольного треугольника.

11.4. Доказательство Перигаля.

Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены рядом. Надо разделить эту фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание.

11.5. Доказательство 9 века н.э.

Ранее были представлены только такие доказательства, в которых квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складывались из равных частей. Такие доказательства называются доказательствами при помощи сложения ("аддитивными доказательствами") или, чаще, доказательствами методом разложения. До сих пор мы исходили из обычного расположения квадратов, построенных на соответствующих сторонах треугольника, т. е. вне треугольника. Однако во многих случаях более выгодно другое расположение квадратов.

На рисунке квадраты, построенные на катетах, размещены ступенями один рядом с другим. Эту фигуру, которая встречается в доказательствах, датируемых не позднее, чем 9 столетием н. э., индусы называли "стулом невесты". Способ построения квадрата со стороной, равной гипотенузе, ясен из чертежа. Общая часть двух квадратов, построенных на катетах, и квадрата, построенного на гипотенузе, - неправильный заштрихованный пятиугольник 5. Присоединив к нему треугольники 1 и 2, получим оба квадрата, построенные на катетах; если же заменить треугольники 1 и 2 равными им треугольниками 3 и 4, то получим квадрат, построенный на гипотенузе. На рисунках ниже изображены два различных расположения близких к тому, которое дается на первом рисунке.

Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем. Доказательства методом вычитания - доказательства при помощи вырезания определенных фигур из равных по площади частей.

12. 1. Доказательство первое.

На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь (далее мы это докажем), что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Остается доказать, что наши шестиугольники равновелики. Заметим, что прямая DG делит верхний шестиугольник на равновеликие части; то же можно сказать о прямой CK и нижнем шестиугольнике. Повернем четырехугольник DABG, составляющий половину шестиугольника DABGFE, вокруг точки А по часовой стрелке на угол 90; тогда он совпадет с четырехугольником CAJK, составляющим половину шестиугольника CAJKHB. Поэтому шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики.

12. 2. Другое доказательство.

Познакомимся с другим доказательством методом вычитания. Знакомый нам чертеж теоремы Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направления сторон которой совпадают с направлениями катетов треугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник распадается на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим из прямоугольника сначала несколько частей так чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе.

Эти части следующие:

треугольники 1, 2, 3, 4;

прямоугольник 5;

прямоугольник 6 и квадрат 8;

прямоугольник 7 и квадрат 9.

Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах.

Этими частями будут:

прямоугольники 6 и 7;

прямоугольник 5;

прямоугольник 1(заштрихован);

прямоугольник 2(заштрихован).

Нам осталось лишь показать, что отнятые части равновелики. Это легко видеть в силу расположения фигур.

Из рисунка ясно, что:

прямоугольник 5 равновелик самому себе;

четыре треугольника 1,2,3,4 равновелики двум прямоугольникам 6 и 7;

прямоугольник 6 и квадрат 8, взятые вместе, равновелики прямоугольнику 1 (заштрихован);

прямоугольник 7 вместе с квадратом 9 равновелики прямоугольнику 2(заштрихован). Доказательство закончено.

Здесь приведены несколько доказательств теоремы, не подходящих ни под одну из выше приведенных групп, т.е. доказанные различными способами.

13. 1. . Доказательство Евклида.

Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". По свидетельству Прокла (Византия), оно придумано самим Евклидом. Доказательство Евклида приведено в предложении 47 первой книги "Начал".

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.

В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:

FB = AB, BC = BD

РFBC = d + РABC = РABD

Но

SABD = 1/2 S BJLD,

так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично

SFBC = 1\2S ABFH

(BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что

SABD = SFBC,

имеем

SBJLD = SABFH.

Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что

SJCEL = SACKG.

Итак,

SABFH + SACKG = SBJLD + SJCEL = SBCED,

что и требовалось доказать.

13. 2. Доказательство Вальдхейма.

Это доказательство также имеет вычислительный характер. Можно использовать рисунки для доказательства основанного на вычислении площадей двумя способами. Для того чтобы доказать теорему пользуясь первым рисунком достаточно только выразить площадь трапеции двумя путями.

Sтрапеции = (a+b)²/2

Sтрапеции = a²b² + c²/2

Приравнивая правые части получим: a² + b² = c²

Теорема доказана.

13. 2. Доказательство, основанное на теории подобия.

В прямоугольном треугольника АВС проведем из вершины прямого угла высоту CD; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику. Это легко доказать, пользуясь первым признаком подобия треугольников (по двум углам). В самом деле, сразу видно что, кроме прямого угла, треугольники АВС и ACD имеют общий угол a, треугольники CBD и АВС - общий угол b. То, что малые треугольники также подобны друг другу, следует из того, что каждый из них подобен большому треугольнику. Впрочем, это можно установить и непосредственно.

Т.к. катеты прямоугольного треугольника являются средним геометрическим между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу, имеем:

a² = a₁c и b² = b₁c.

Складывая почленно эти равенства, получаем:

a² + b² = c².

Теорема доказана.

13. 2. Векторное доказательство.

Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: в + c = a,

откуда имеем c = a – b,

возводя обе части в квадрат, получим

c² = a² + b² - 2ab

Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда

c² = a² + b².

Нами снова доказана теорема Пифагора.

Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

13. 2. Доказательство с помощью косинуса угла.

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда

АВ*AD=AC*АС.

Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC.

Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:

AC*AC + BC*BC = AB*AB.

Теорема доказана.

Решение занимательных задач помогает также воспитывать у учащихся интерес к предмету: математика уже не кажется им сухой и скучной наукой, дети видят, что и здесь нужны выдумка, полет фантазии, творческие способности.

Задача №1.

Древнеиндийская задача.

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнёс его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

“Как озера вода здесь глубока?”

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0,3 м) ?

Решение.

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .

Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB² – AC² = BC²,

(Х + 0,5)² – Х² = 2² ,

Х² + Х + 0,25 – Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

Задача №2.

Задача индийского математика XII в. Бхаскары.

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение.

Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ

По теореме Пифагора имеем

АВ = 5 .

CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8.

Ответ: 8 футов.

Задача №3.

Задача арабского математика XI в.

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Решение.

Итак, в треугольнике АDВ: АВ² =ВD² +АD²

АВ²=30² +Х²

АВ²=900+Х²;

в треугольнике АЕС: АС²= СЕ²+АЕ²

АС²=20²+(50 – Х)²

АС²=400+2500 – 100Х+Х²

АС²=2900 – 100Х+Х².

Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ² =АС² ,

900+Х² =2900 – 100Х+Х²,

100Х=2000,

Х=20,

АD=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Ответ: 20 локтей.

Задача №4.

Египетская задача.

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну.

Решение.

Пусть АВ = АС – длина стебля.

Из АDС по теореме Пифагора

СD² = АС²-АD²

Ответ: 5 футов.

Задача №5.

Бамбуковый ствол в 9 футов высотой переломлен бурей так, что если верхнюю часть его пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 3 футов от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение.

Пусть АВ=9 – высота ствола, искомая высота АС=Х, тогда СК = 9 – Х.

Из САК по теореме Пифагора СК² = АС² + АК²;

(9 – Х)² = Х² + 3²,

81 – 18Х + Х² = Х² + 9,

18Х = 72,

Х = 4.

Значит, ствол переломлен на высоте 4 футов.

Ответ: 4 фута.

Задача №6.

Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.

Решение.

а) Пусть АВ – длина лестницы из 17 ступенек.

Из АКD по теореме Пифагора

АD = 45 (см),

АВ = 45 • 17 = 765 (см) = 7, 65 (м).

б) ВС = 40 • 17 = 680 (см).

Из АСВ по теореме Пифагора

АС = 35(см) = 3,5 (м).

Ответ: длина лестницы 7, 65 м, глубина станции 3,5 м.

Задача №7.

Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом?

Решение.

Из АН D по теореме Пифагора

АН =2,755 (км),

АВ = 2 • АН + НК, АВ = 2 • 2,755 + 0,12 = 5,63 (км).

Ответ: 5,63 км.

Задача №8.

Пловец поплыл от берега реки, всё время гребя в направлении по перпендикуляру к берегу (берега реки считаем параллельными). Плыл он, приближаясь к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч. Через 5 мин. он был на противоположном берегу. Узнайте, на каком расстоянии от мести начала заплыва он вышел на противоположном берегу, считая скорость течения всюду равной 6 км/ч.

Решение.

Пловец приближался к противоположному берегу со скоростью 3 км/ч, значит ширина реки

АВ = 50 • 5 = 250 (м). Скорость течения реки 6 км/ч, следовательно, течение снесло его за 5 мин. на 500м (ВС=500м). По теореме Пифагора находим расстояние от точки первоначального заплыва до точки выхода на противоположный берег АС = ?

250 • 2,24=560 (м)

Ответ: 560 м.

Задача №9.

Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого.

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

Задача №10.

Задача из китайской "Математики в девяти книгах".

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?

Задача №11.

Какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Решение.

Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.

OB=OA+AB

OB=r + x.

Используя теорему Пифагора, получим 2,3км.

Ответ: 2,3 км.

Задача №12.

С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Решение.

По теореме Пифагора:

4x²+(0,75x·2)²=2000²

6,25x²=2000²

2,5x=2000

x=800

0,75x=0,75·800=600.

Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Рассмотрим примеры практического применения теоремы Пифагора. Не будем пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. Определим возможности, которые дает теорема Пифагора для вычисления длин отрезков некоторых фигур на плоскости.

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом: d²=2a², d=a.

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² .

Высота h равностороннего треугольника со стороной а может рассматриваться как катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого а, а другой катет a/2. Таким образом имеем

a²=h²+(a/2)², или h²=(3/4)a². Отсюда вытекает h=.

Возможности применения теоремы Пифагора к вычислениям не ограничиваются планиметрией. На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d² = a²+(а)², d²=3a², d=a.

Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение

d =

Исследуем пирамиду, например, такую, в основании которой лежит квадрат и высота которой проходит через центр этого квадрата (правильную пирамиду). Пусть сторона квадрата - а, и высота пирамиды - h. Найдем s (длину боковых ребер пирамиды).

Ребра будут гипотенузами прямоугольных треугольников, у которых один из катетов - высота h, а другой - половина диагонали квадрата .

Вследствие этого имеем:

S²=h². Затем можем вычислить высоту h₁ боковых граней.

Теорема Пифагора используется также при построении сечений в объемных фигурах, таких как куб.

Считать эти приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Если, например, рассматривать нашу четырехугольную пирамиду как крышу башни, то в первом нашем вопросе речь идет о том, какой длины нужно сделать боковые ребра, чтобы при данной площади чердака была выдержана предписанная высота крыши, а вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчёте стоимости кровельных работ. Заметим, что расчёт площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит:

"Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь."

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост. Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг .

Остается ещё полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоватися вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем:

(b/4+p)²=( b/4)²+( b/4-p)²

или

b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/16- bp/2+p²,

откуда

bp/2=b/4-bp.

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

(3/2)p=b/4, p=b/6.

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы, которые долгое время считались искусственными) и др.

Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все ещё ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.

Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение

а²+b²=c².

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а²+b²=c²)— называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c. Далеко не у всех прямоугольных треугольников, катеты которых соотносятся как целые числа, гипотенуза также выражается целым числом, например, треугольник с катетами одинаковой длины. Если бы его катеты были соизмеримы с гипотенузой, то квадрат гипотенузы был бы равен двум одинаковым квадратам катетов. Но известно, что среди квадратных чисел нет двух таких, одно из которых составит ровно половину другого. Поэтому катеты этого треугольника несоизмеримы с гипотенузой: нельзя найти такой меры, которая нацело укладывалась бы как в катете, так и в гипотенузе.

Это – великое открытие пифагорейских математиков. Поэтому особый интерес представляет задача отыскания «целочисленных» прямоугольных треугольников, т. е. таких троек чисел, что а²+b²=c². Их можно найти по формулам:

b=(a²-1)/2, c=(a²+1)/2.

Кроме чисел 3,4,5, существует, как известно, бесчисленное множество целых чисел a,b,c, удовлетворяющих соотношению

a² + b²=c².

Они называются пифагоровыми числами. Согласно теореме Пифагора, такие числа могут служить длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника: поэтому a и b называют «катетами», а с – «гипотенузой». Ясно, что если а,b,с есть тройка пифагоровых чисел, то и ра, рb, pc, где р – целочисленный множитель,- пифагоровы числа. Обратно, если пифагоровы числа имеют общий множитель, то на этот общий множитель можно их все сократить, и снова получится тройка пифагоровых чисел. Поэтому вначале будем исследовать лишь тройки взаимно простых пифагоровых чисел (остальные получаются из них умножением на целочисленный множитель).

Покажем, что в каждой из таких троек а,b,с один из «катетов» должен быть чётным, а другой нечётным. Станем рассуждать «от противного». Если оба «катета» а и b чётны, то чётным будет число, а² + b², а значит, и «гипотенуза». Это, однако, противоречит тому, что числа а,b,с не имеют общих множителей, так как три чётных числа имеют общий множитель 2. Таким образом, хоть один из «катетов» а,b нечётен.

Остаётся ещё одна возможность: оба «катета» нечётные, а «гипотенуза» чётная. Нетрудно доказать, что этого не может быть. В самом деле: если «катеты» имеют вид 2х + 1 и 2у +1 ,то сумма их квадратов равна:

4х² + 4х +1 +4у² +4у +1 = 4(х² + х +у² + у)+ 2, т.е. представляют собой число, которое при делении на 4 даёт в остатке 2. Между тем, квадрат всякого чётного числа должен делиться на 4 без остатка. Значит, сумма квадратов двух нечётных чисел не может быть квадратом чётного числа, иначе говоря, наши три числа – не пифагоровы.

Итак, из «катетов» а, b один чётный, а другой нечётный. Поэтому число, а² + b² нечётно, а значит, нечётна и «гипотенуза» с.

Вот несколько пифагоровых чисел:

3² +4²= 5² 5² + 12²=13²

7² + 24²= 25² 9² + 40²=41²

11² + 60²= 61² 13² + 84²=85²

15² + 8²=17² 21² + 20²=29²

33² + 56²= 65² 39²+ 80²=89²

35² + 12²= 37² 45²+ 28²=53²

55² + 48²=73² 65² + 72²=97²

63² + 16²= 65² 77² + 36²=85²

Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств:

1. Один из «катетов» должен быть кратным трём.

2. Один из «катетов» должен быть кратным четырём.

3. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.

Частные решения задачи Пифагора были известны в глубокой древности. В папирусе времен фараона Аменемхета I (ок. 2000 до н.э.), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношением сторон 3:4:5 (3²+4²=5²). По мнению крупнейшего немецкого историка математики М. Кантора (1829-1920), в Древнем Египте суще­ствовала особая профессия гарпедонаптов -«натягивателей верёвок», которые во время торжественной церемонии закладки храмов и пирамид размечали прямые углы с помощью веревки, имеющей 12 (=3+4+5) равноотстоящих узлов. Способ построе­ния прямого угла гарпедонаптами очевиден из рисунка.

Надо сказать, что с Кантором категорически не согласен другой знаток древней математики — ван дер Варден, хотя сами пропорции древнеегипетской архитектуры свидетельствуют в пользу Кантора. Как бы то ни было, сегодня прямоугольный треугольник с отношением сторон 3:4:5 называется египетским.

Сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. Помимо тривиальной тройки, получаемой из египетской (3, 4, 5) умножением на 15 (45, 60, 75), здесь есть и весьма сложные пифагоровы тройки, такие, как (3367, 3456, 4825) и даже (12709, 13500, 18541)! Нет никаких сомнений, что эти числа были найдены не простым перебором, а по неким единым правилам.

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а²+b²=c²) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становле­ние математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а²+b²=c²) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона.

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.

Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц, анекдотов, частушек об этой теореме. Ниже приводятся примеры каждого вида, перечисленного здесь…

17.1. Легенды о Пифагоре.

К сожалению, за 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц, которые со временем породили несерьезное отношение к Пифагору как исторической личности. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.

Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».

Надо заметить, что повторяемая многими позднеантичными авторами легенда о том, что река Кос вышла из берегов и пропустила Пифагора на другой берег, напоминает известное христианское предание о шествии Иисуса Христа к ученикам по воде: «Они, увидев Его идущего по морю, подумали, что это призрак и вскричали. Ибо все видели Его и испугались. И тотчас заговорил с ними и сказал им: ободритесь; это Я, не бойтесь. И вошел к ним в лодку, и ветер утих» (Евангелие от Марка, 6:49-51).

Перекликается с евангельскими сказаниями о Христе и легенда о том, как Пифагор предсказал рыбакам их улов. Таким образом, в легендах о Пифагоре явно прослеживается стремление позднеантичных авторов, и прежде всего Порфирия и Ямвлиха—непримиримых критиков христианства, показать Пифагора не меньшим чудотворцем, чем появившийся на закате античной культуры новый мессия Иисус Христос.

Были, конечно, и более трезвые суждения о чудесах Пифагора. Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках все, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всем, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом и даже поручили ему своих жен, чтобы те у него чему-нибудь научились; их прозвали «пифагореянками». И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один: «Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).

Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «чудо», прославившее в веках имя великого эллина, было в другом. Это чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Утренние купания пифагорейцев в волнах Ионического моря были и ежедневной прелюдией к плаванию по океану знания. Только целью плавания на сей раз были не поиски золотого руна, а поиски сокровища, куда более ценного. То были поиски истины.

17.2. Легенда об открытии теоремы Пифагора.

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.

Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс в жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».

А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не может доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».

17.3. Легенды о смерти Пифагора.

Как рассказывает Порфирий, «Был в Кротоне человек по имени Килон, первый между гражданами и богатством, и знатностью, и славою своих предков, но сам обладавший нравом тяжелым и властным, а силою друзей своих и обилием богатств пользовавшийся не для добрых дел; и вот он-то, полагая себя достойным всего самого лучшего, почёл за нужнейшее причаститься к Пифагоровой философии. Он пришел к Пифагору, похваляясь и притязая стать его другом. Но Пифагор сразу прочитал весь нрав этого человека по лицу его и остальным телесным признакам, которые он примечал у каждого встречного, и, поняв, что это за человек, велел ему идти прочь и не в свои дела не мешаться. Килон почёл себя этим обиженным и оскорбился; а нрава он был дурного и в гневе безудержен. И вот, созвав своих друзей, он стал обличать перед ними Пифагора и готовить с ними заговор против философа и его учеников».

Однажды во время собрания пифагорейцев в доме шестикратного олимпийского победителя Милона Килон со своими сообщниками поджёг дом со всех сторон. Согласно преданию, во время пожара рухнула центральная колонна, поддерживавшая потолочную балку. Милон, спасая товарищей, взвалил тяжесть перекрытия на свои могучие плечи и так продержал его до тех пор, пока все не выбежали из здания. Впрочем, здесь античные свидетельства расходятся: по другой версии, в доме Милона погибли все собравшиеся, кроме двоих—Архипа и Лисида.

Что было с самим Пифагором во время пожара, также не вполне ясно. По одной версии, Пифагора в Кротоне не было: он ездил на остров Делос ухаживать за своим тяжело заболевшим учителем старцем Ферекидом. Другие источники говорят, что Пифагор находился в доме Милона, но был спасен верными учениками, затем долго скитался в поисках пристанища, пока не нашел его в Метапонте, где и провел остаток своих дней.

Прощаясь с Пифагором, нам остается лишь рассказать ещё одно предание о смерти великого мудреца, предание, на наш взгляд наиболее поэтичное.

Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой—ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла.

А вот ещё одна из легенд о смерти Пифагора. Сонную тишину ночного Метапонта прорезал ужасный крик. Послышалось падение на землю тяжелого тела, топот убегающих ног, и все смолкло. Когда ночной караул прибыл на место происшествия, в колеблющемся свете факелов все увидели распростертого на земле старца, и неподалеку от него - мальчик с лицом, перекошенным от ужаса.

- Кто это? - спросил начальник караула у мальчика

- Это Пифагор, - ответил тот.

- Кто такой Пифагор? Среди жителей города нет гражданина с таким именем.

- Мы недавно прибыли из Кротона. Мой господин должен был скрываться от врагов, и выходил только ночью. Они выследили его и убили.

- Сколько их было?

- Я этого не успел заметить в темноте. Они отбросили меня в сторону и накинулись на него. Начальник караула стал на колени и приложил руки к груди старца.

- Конец, - сказал начальник.

17.4. Заповеди, откровения.

Мысль - превыше всего между людьми на земле.

Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).

Уходя, не оглядывайся (т. е. перед смертью не цепляйся за жизнь).

По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).

Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).

Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).

В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).

17.5. Песни, стихи.

Теорема - Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни.

О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, греческий ученый III в. Диоген Лаэрций, математик V в. Прокл и многие другие.

Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или, как рассказывают другие, сто быков, послужила поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель-романист А. Шамиссо, который в начале XIX в. участвовал в кругосветном путешествии на русском корабле "Рюрик", написал следующие стихи:

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать.

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

17.6. О теореме Пифагора.

Уделом истины не может быть забвенье,

Как только мир ее увидит взор,

И теорема та, что дал нам Пифагор,

Верна теперь, как в день ее рожденья.

За светлый луч с небес вознес благодаренье

Мудрец богам не так, как было до тех пор.

Ведь целых сто быков послал он под топор,

Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.

Быки с тех пор, как только весть услышат,

Что новой истины уже следы видны,

Отчаянно мычат и ужаса полны:

Им Пифагор навек внушил тревогу.

Не в силах преградить той истине дорогу,

Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.

Суть истины вся в том, что нам она-навечно,

Когда хоть раз в прозрений ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда, учуют, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас,

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.

17.7. Любовный треугольник Пифагора.

Здесь не помогут ямб и дольник,

хорей и дактиль грудь не выставят.

Попав в любовный треугольник,

готовься выдюжить и выстоять,

на плечи взять хрустальным грузом

сознанье: разобьешься вдребезги! -

И по его гипотенузе

пройти, страховкою побрезговав;

измерить все своим аршином,

и торопясь - ведь все мы смертные! -

его углы, его вершины

постичь без всякой геометрии:

лбом - об углы! Вершины - приступом

сердечным, нитроглицериновым

(уж если кудри серебристые,

не дорожить же сердцевиною!)

Ни теореме Пифагора

не поддается он, ни времени -

Любви Бермудский Треугольник

разносторонний, тазобедренный...

17.8. Треугольник.

Это все так схоже с детскою игрой -

Первый треугольник мы построим снова:

Первый катет - Витька, я второй,

А гипотенуза - Светка Иванова.

Припев:

И не можем мы поделать ничего.

Напрасно геометрию ругая, ругая,

Я люблю ее, она - его,

А ему, как видно, нравится другая.

Милый математик, добрый Пифагор,

Раз уж речь зашла у нас на эту тему,

Ты нас извини, но до сих пор

Мы твою понять не можем теорему.

Припев.

Ни один учебник так и не успел

Чуточку помочь нам в этом трудном деле.

Зря в руках крошился белый мел,

Зря в тетрадках перышки скрипели.

Припев.

17.9. Проза, рассказы.

Стул невесты.

Фамилия математика была Таратар. Его любили. Таратар Таратарыч - так ребята прозвали своего учителя - никогда не спешил ставить двойку. Когда ученик мямлил и путался у доски, Таратар смотрел на него чуть насмешливо, поблескивая выпуклыми стеклами очков и шевеля густыми, как щетка, усами. Потом он вызывал желающих объяснить ошибку и говорил классу: "Если кто-то не знает данную тему, пусть поднимет руку и скажет, а не отнимает у всех времени. Мне совершенно безразлично, покупал этот ученик коньки, или был в гостях, или просто забыл выучить, - двойку я ему не поставлю. Но должок за ним останется, и я когда-нибудь напомню..." И Таратар не забывал спросить путаника второй раз.

Пока Гусев рисовал на доске чертеж теоремы Пифагора, Таратар, чуть сгорбившись, заложив руки за спину, ходил вдоль рядов и заглядывал в тетради.

- Ну-с, - сказал он Гусеву, - ты кончил?

Макар кивнул.

- Все вы так, как он, начертили? - спросил Таратар у класса.

- Нет, - откликнулся Профессор.

- Пожалуйста, Корольков, подскажи.

- Надо еще провести диагональ в прямоугольнике.

- Правильно. Теперь, Гусев, доказывай.

Макар с грехом пополам, при поддержке Профессора, доказал теорему.

Тяжело вздохнув, он сел на место. Профессор помог ему стряхнуть с куртки

крошки мела.

Учитель опять обратился к классу:

- Это доказательство приведено в учебнике. Знает ли кто-нибудь другие?

Прежде чем Профессор успел поднять руку, Электроник встал:

- Я.

Таратар был чуть удивлен: Сыроежкин никогда не проявляет особой активности, а тут даже встал.

- Прошу, Сыроежкин, - сказал учитель.

- Я могу привести двадцать пять доказательств, - хрипло произнес Электроник.

Гул удивления пролетел над партами.

Усы Таратара дернулись вверх.

- Ну-ка, ну-ка... - сказал он и подумал: "У мальчика ломается голос. Переломный возраст. И как самоуверен... Посмотрим, выдержит ли он эту роль до конца".

Мел в руке Электроника быстро забегал по доске, и вот уже готов треугольник, окруженный квадратами.

- Простейшее доказательство теоремы есть у древнегреческого математика Евклида, - говорит скрипуче Электроник и затем за считанные секунды обрушивает на слушателей сравнение геометрических фигур. - Ученые считают, - продолжает бойко Электроник, - что это доказательство теоремы Евклид придумал сам. Как известно, о Пифагоре Самосском мы почти ничего не знаем. Кроме того, что он жил в шестом веке до нашей эры, сформулировал свою теорему и был главой первой в мире математической школы. Евклид более двух тысяч лет тому назад собрал все известные ему аксиомы. Можно сказать, что он основал геометрию. Евклидова геометрия просуществовала без изменений до девятнадцатого века, пока русский ученый Лобачевский не построил новую систему.

- Правильно, - подтвердил Таратар. - Продолжай, Сережа.

Класс удивленно замер. Даже на последней парте, где сидят любители всевозможных развлечений, перестали играть в "морской бой".

А Электроник уже начертил три новые фигуры. Он рассказывает о том, как формулировали знаменитую теорему древние греки, индийцы, китайцы, арабы.

Таратар успел только вставить:

- В древности, ребята, теорему Пифагора знали лишь отдельные ученые, посвященные в таинства математики, теперь её учат все.

Мел Электроника рисует и рисует. Громоздятся квадраты и треугольники, вырастают квадраты из треугольников, делятся квадраты на треугольники. Сыплются слова: "Метод сложения... Метод разложения... Метод вычитания..." Доска покрылась ровными многоугольниками, все видят чертеж паркета и удивлены тем, что это тоже доказательство теоремы Пифагора.

А Электроник подтверждает: - Метод "укладка паркета". Так он называется.

Потом он снова строит квадраты на сторонах треугольника, делит их на равные части и обращается к слушателям с очень краткой речью:

- Здесь все рассуждения заключены в одно слово: смотрите! И вы все увидите!

Ребята разглядывают доску.

Таратар кивает головой, улыбается.

- Наконец, "стул невесты", - хрипло провозглашает Электроник. Класс не выдерживает, хохочет.

- Я сказал правильно, - обернувшись, говорит Электроник. - "Стул невесты". Эту фигуру придумал не я, а индийцы, причем в девятом веке.

"Стул невесты" уже изображен на доске. Это пятиугольник, поставленный на прямой угол, с выступом для сидения наверху. Не очень-то усидишь на таком шатком стуле! Ребята опять смеются и смолкают. Сыроежкин читает стихи.

Пребудет вечно истина, как скоро насмешливый Таратар Таратарыч приходит в такое умиление. Макар готов уже взять обратно все слова, которые он наговорил Сыроежкину час назад, на берегу. В знак примирения он машет ему рукой.

- Садись, Сережа, - говорит Таратар. - Я с удовольствием ставлю тебе "пять".

- У меня в журнале вопрос, - напоминает Электроник, вызвав этим простым замечанием буйное веселье Гусева.

- Вопроса больше нет, - улыбается Таратар. - Твердая пятерка... - Он повернулся к классу: - Гусев, успокойся, пожалуйста... У меня есть такое предложение ко всем. Со следующего урока за столом на кафедре будет сидеть ассистент. Его задача - объяснять классу наиболее трудные вопросы домашнего задания. Естественно, ассистент должен готовиться лучше всех. Дежурить будете по очереди. Согласны?

- Согласны, - отвечает класс.

- Тогда на ближайшую неделю ассистентом назначается Сыроежкин... И вот что я еще хотел сказать. Главное в математике - это не формулы, не вычисления, а движение мысли, новые идеи. Я говорил уже об этом, но сегодня ваш товарищ еще раз блестяще подтвердил истину. Ваша учеба похожа на путешествие. Каждый день перед вами вырастают новые горы. Взойдете на одну, а там уже другая. И чем больше преодолеете вы вершин, тем сильнее будете чувствовать себя...

Таратар ушел. Ребята обступили Сыроежкина, загалдели:

- Ну, ты герой!

- Молодчина!

- Разложил Пифагора, как маленького!

- Теперь пусть девятиклассники не задаются. У нас своя знаменитость!

- И чемпион по бегу!

- И корреспондент "Программиста".

Громче всех вопил басом Макар:

- У нас свой Пифагор! Вот он сидит на стуле невесты! Ура Сыроежкину!

Вбежал Спартак Неделин, махая голубой бумажкой.

- Сыроежкин, где ты? - закричал он, перекрывая шум. - Держи! Редколлегия "Программиста" наградила тебя билетом в цирк. И готовь новую заметку!

Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человече­ства имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — про­образа средневековых монашеских орденов, богослова и реформа­тора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающей­ся науки и пышно цветущей мифологии.

И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Всё есть число». Если снять с этого тезиса мистическую патину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифа­горейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы.

Именно так определяет роль Пифагора в истории естествозна­ния современный американский математик и историк нау­ки М. Клайн: «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило всё последующее развитие науки: во-первых, что основополагаю­щие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы».

Ну а как же быть с пифагорейской числовой мистикой, которая и породила бесконечные насмешки над пифагорейцами, начатые еще Аристотелем? Здесь мы советуем прислушаться к мнению выдающегося современного знатока античности, «самого крупного русского гуманиста и философа настоящего времени» А. Ф. Лосе­ва, который отмечал, что человек XX в. «настолько далек от древнего пифагорейства, что даже не испытывает потребности его критиковать, а должен рассмотреть его со всеми объективно-историческими причинами, делающими его существование понят­ным». Мистика чисел была у пифагорейцев следствием эмбрио­нального состояния науки, философии, да и всего мышления того времени, которое только начинало проклевывать скорлупу мифоло­гии. Но за этой по-детски наивной сказочной формой нельзя не видеть гениально угаданного содержания, значение которого все яснее проступает по мере развития научного знания.

Что говорили о Пифагоре его современники? В уцелевшем фрагменте Гераклита (ок. 540 до н. э.— ?). мы читаем: «Пифагор, сын Мнесарха, предавался исследованию больше всех прочих людей и мудрость свою состряпал из многознайства и обмана». И это отзыв о человеке, которому поклонялись толпы учеников и которого потомки считали за полубога?!

Нужно было время, чтобы Пифагор был понят не только своими учениками, но и своими соотечественниками. Но как быстро это время пришло! Фактически сам Гераклит, которого отделяло от Пифагора два моря — Ионийское и Эгейское, свидетельствует нам о том, что слава Пифагора ещё при жизни перелетала через моря. Однако понят он был чуть позже.

Уже в V в. до н. э. мы находим восторженные отзывы о Пифагоре у людей, которые, возможно, общались с теми, кто видел Пифагора живым. Это и древнегреческий философ, врач и политический деятель Эмпедокл (ок. 490 — ок. 430 до н.э.) писавший о Пифагоре: «Был среди них муж редких знаний, дос­тигший величайшего богатства ума и весьма искусный во всех видах мудрых дел...» Это и отец истории Геродот, живший в 40-х гг. V в. до н. э. совсем рядом с Кротоном, когда изустная память о Пифагоре здесь ещё жила, и назвавший Пифагора «великим эллинским мудрецом». Это и отец атома Демокрит, живший совсем в другом регионе, на самом севере Эгейского моря, в Абдерах, и написавший о Пифагоре восторженное сочинение.

Абдерская монета с изображением Пифагора -первый подписанный портрет на греческих монетах.

430-420 гг. до н.э.

Как полагает большинство историков, именно благодаря Демокриту в Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа вообще (изображения выдающихся философов на монетах появятся значительно позже, и только в родных городах), но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человече­ства, чей профиль удостоился столь высокой чести!

Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщённый образ учёного.

Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его идей. И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в исто­рии человечества. Античные неоплатоники III — VI вв.: Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и матема­тик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан,— все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходя­щий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплато­ников питали Аврелия Августина (354—430) и Иоанна Скота Эриугену (810—877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 —1576), Томмазо Кампанеллу (1568—1639) и Джордано Бруно (1548—1600), Фридриха Шеллинга (1775— 1854) и Георга Гегеля (1770—1831), Владимира Соловьева (1853—1900) и Сергея Булгакова (1871 —1944), Павла Флорен­ского (1882—1937?) и Алексея Лосева (1893—1988).

Не менее плодотворными оказались идеи Пифагора и для естествознания. Открытие Пифагором закона целочисленных музыкальных отношений, названного немецким физиком и мате­матиком Арнольдом Зоммерфельдом (1868—1951) первым зако­ном математической физики, явилось одновременно и открытием эвристического свойства математики. Это могучее свойство математики, позволяющее делать физические открытия «на кончике пера», со времён Пифагора повергает в священный трепет естествоиспыта­телей. «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны» — так писал об этом свойстве математики, открытом Пифагором, современный американский физик лауреат Нобелевской премии Юджин Вигнер.

Пифагору принадлежит и бессмертная идея о всеобщей гармонии, лежащей в основе мироздания. Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математи­ческих принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда совре­менного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.

1. А.В. Волошинов. Пифагор. Союз истины, добра и красоты. Москва «ПРОСВЕЩЕНИЕ», 1993.

2. Фрагменты Ранних Греческих Философов. Часть 1. От эпических теокосмогоний до возникновения атомистики / Изд. подгот. А. В. Лебедев.— М.: Наука, 1989— 576с. (О Пифагоре и пифагорейских философах — с. 138—156, 465—505).

3. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов / АН СССР, Ин-т философии; Общ. ред. и вступ. статья А. Ф. Лосева.— М.: Мысль, 1979.— 620 с.— (Филос. наследие); кн. VIII Пифагор (с. 332—346).

4. Ямвлих. Жизнь Пифагора / Изд. подгот. В. Б. Черниговский.— М.: Алетейя, Новый Акрополь, 1998.— 248 с;

5. Плутарх. Застольные беседы/ изд. подгот. Я. М.Боровский и др.— Л.: Наука ЛО, 1990.— 592 с; о Пифагоре с.74, 80, 120, 139—140, 150, 152—154, 433, 448, 457, 461.

6. Жмудь Л. Я. Пифагор и его школа.— Л.: Наука ЛО, 1990;

7. Пифагорейские Золотые стихи / Пер. с древнегреч. И. Ю. Петер.— М.: Алетейа, Новый Акрополь, 2000 — 160 с.

8. Diogenis Laertii de Clarorum Philosophorum Vitis Dogmatibus et Apophthegmatibus Libri Decem. Ex Italicis cod-icibus nunc primum excussis recensuit C. Gabr. Cobet Parisiis, Editore Ambrosio Firmin — Didot MDCCCLXXVIII. Pythagoras Libr. VIII;

9. Семенов Е.Е. Изучаем геометрию: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1987.

10. Сергеев И.Н., Олехник С.Н., Гашков С.Б. Примени математику. – М.: Наука, 1990.

11. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – М.: Наука, 1978.

12. Газета «Математика»: еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», № 24, 2001 г. «Изучаем теорему Пифагора».

70

Пифагор — едва ли не самый популярный ученый за всю историю человечества. Если сотни миллионов учащихся умножить на сотни исписываемых ими тетрадей в клеточку, с каждой из которых смотрит на нас таблица Пифагора, то получится астро­номическая цифра. Ни одно имя учёного не повторяется так часто. Но суть, конечно, не в этих арифметических упражне­ниях в духе «статистика мироздания».

Пифагор был не только учёным, основателем первой научной школы. Он был и властителем дум, проповедником собствен­ной «пифагорейской» этики, философом, которого по силе духа и силе воздействия можно сравнить разве что с его великими современниками: Конфуцием, Буддой и, возможно, Заратуштрой. Но в отличие от последних Пифагор создал самую яркую и самую современную «религию»: Пифагор воспитал в челове­честве веру в могущество разума, убежденность в познаваемости природы, уверенность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика.

Историю человечества всегда связывали с именами царей и полководцев. Между тем выдающиеся учёные могут напра­вить цивилизацию по совершенно новому руслу. Пифагор 2500 лет назад направил людей по пути торжества Разума.

Что же можно прочитать о Пифагоре? Ничего. На русском языке нет ни одной современ­ной книги о Пифагоре — ни научной, ни популярной. Исключение, пожалуй, составляет монография А. Н. Чанышева «Италийская философия», изданная Московским университетом. Но в этой книге опущено важнейшее поле деятельности Пифагора — математика.

Такое положение дел неудивительно. Начинать писать о Пи­фагоре просто страшно. Перед глазами предстает пустыня, по которой разбросаны горстки развалин. Кому принадлежали эти развалины? Преодолеть охватывающее чувство растерянности нелегко. Но если пристально всматриваться в зыбкое марево этой пустыни, то сказочными миражами начнут проступать очертания отживших цивилизаций, их обломки волшебным образом станут соединяться в стройные совершенные здания, здания соберутся в узкие улочки и широкие площади, которые заполнят люди со своими заботами, радостями, мыслями.

Между тем история литературы о Пифагоре знала и лучшие времена. Античные авторы наперебой рассказывали о Пифа­горе, и чем дальше отстояли они от времени Пифагора (VI в. до н.э.), тем подробнее и красочнее становились эти рассказы. За 1000 лет античной истории имя Пифагора обросло таким количеством легенд, что Пифагор стал почитаться полубогом.

Так продолжалось вплоть до XIX в. Еще в 1799 г. француз­ский философ и литератор Пьер Сильвен Марешаль опубли­ковал шеститомный роман «Путешествие Пифагора», в котором собрал все античные легенды о Пифагоре, нисколько не заду­мываясь об их критическом осмыслении. В 1804 г. этот роман единственный раз вышел на русском языке и сегодня является библиографической редкостью.

В конце XIX — начале XX в. в литературе о Пифагоре воз­никает обратная волна, настаёт время гиперкритического отно­шения к Пифагору. Пифагора объявили легендой, а все научные достижения стали приписывать группе его учеников — пифаго­рейцев. Впрочем, и это неново: так уже говорили о Гомере, Шекспире, Дюма. Досталось Пифагору и в советской литерату­ре: в известный период его называли не иначе как идеологом реакции и мракобесом.

Где же лежит истина о Пифагоре? Истина лежит за легендой. Нужно только отделить кусочки легенды от целого истины так же, как советовал Микеланджело отделять лишний мрамор от статуи, спрятанной в куске мрамора. Легко ли это сделать?

Итак, вопросов, связанных с личностью Пифагора, великое множество. Лучше сказать, что вся биография Пифагора является сплошным знаком вопроса. Был ли Пифагор учеником Ферекида и встречался ли он с Фалесом? Путешествовал ли Пифагор в Египет? Был ли Пифагор в Вавилоне, и если да, то в качестве пленника Камбиза или по доброй воле? Остальные вопросы, как и масса других, видимо, так и останутся предметом науч­ных споров, хотя итог этим спорам ещё в конце XIX в. пытался подвести немецкий исследователь античности Э. Целлер: «Я счи­таю недоказанным пребывание Пифагора в Египте, но и доказать, что он там не был, также невозможно».

Нам не хотелось лишать биографию Пифагора такого драматического периода, как вавилонский плен. При этом нами руководило не столько стремление к остроте сюжета, сколько сама логика отношений между Востоком и Элладой. Пифагору просто необ­ходимо было зачерпнуть «вавилонской мудрости»: более развитая вавилонская наука того времени явилась фундаментом или по крайней мере первотолчком для греческой науки. Ведь и тео­рема Пифагора была начертана на глиняных вавилонских табличках более чем за 1000 лет до рождения Пифагора. Не яви­лось ли созерцание этих табличек тем импульсом, который подтолкнул Пифагора к строгому доказательству теоремы?

Данная работа адресована учащимся 8, 9 классов для самостоятельного чтения и по содержанию тесно примыкает к школьной программе. В ней широко привлекаются исторические сведения, занимательные факты.

Мощное силовое поле, излучаемое личностью Пифагора, поддерживало авторов данной работы. И если из вихрей ноосферы удалось извлечь интеллектуальную и духовную энергию Пифагора и через 2500 лет передать её юному читателю, значит, путь, начатый авторами, пройден недаром.

Мы, авторы данной работы, надеемся, что вы с удовольствием отправитесь изучать «Терему Пифагора» и узнаете много нового и интересного!

Работу выполнили учащиеся

5 «Б» класса

Ниталия Данилова

8 «А» класса:

Глеб Пирко, Анна Мындра, Анастасия Попова, Кристина Бердникова, Дмитрий Кузьминчук

8 «Б» класса:

Елена Ерошенкова, Марина Перова

9 «В» класса:

Юлия Груздева, Анастасия Грибоедова,

Елена Меньшикова

11 «В» класса

Мария Коркунова

Научный руководитель

Галина Станиславовна Конюхова,

учитель математики МОУ АСОШ №3.

396250, Воронежская область,

п.г.т. Анна.

Ул. Горького, 40

• 1 слайд

  *

• 2 слайд

   “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер *

• 3 слайд

  Прежде чем приступать к жизнеописанию героя, естественно остановиться на времени, в котором он жил. Необходимо познакомиться с властителями дум, определявшими духовный климат эпохи, а значит, и изначальное мировоззрение героя. Наконец следует рассказать о тех предтечах и учителях, на чьем фундаменте вырастало здание, построенное героем. *

• 4 слайд

  Но как прекрасны древнегреческие предания! Вся русская поэзия XIX в., начиная с великого Пушкина, пронизана любовью к греческой мифологии. Не следует и нам, детям века науки, которому так часто не хватает поэзии и душевной щедрости, пренебрежительно отмахиваться от этих "сказок". Тем более что и мифы хранят в себе зерна истины и поучительной мудрости, как поучительно мудры были сказки, услышанные нами в детстве… *

• 5 слайд

  Ж. Л. Давид. Елена и Парис. 1788. Париж. Лувр. В правом дальнем углу стоит треножник, который вскорости беглянка Елена выбросит в море со словами "Быть за него борьбе!" *

• 6 слайд

  Фалес не принял подарка. Он посчитал более достойным афинского законодателя Солона и отослал треножник ему. Затем история повторилась, и так треножник обошёл коринфского тирана Периандра, Питтака из города Милетины, Клеобула с острова Родос, спартанца Хилона и Бианта из города Приены. Разумеется, круг замкнулся, треножник вернулся к Фалесу, и тот посвятил его Аполлону Дидимейскому.

• 7 слайд

  Семь мудрецов. Третью фигуру слева, указывающую на небесную сферу, часто отождествляют с Фалесом. Прорисовка с римской мозаики из виллы Торре Ануциата близ Помпей. I в. до н.э. Неаполь. Национальный музей. *

• 8 слайд

  "Мера важнее всего", - Клеобул говаривал Линдский; В Спарте: "Познай себя самого", - проповедовал Хилон; "Сдерживать гнев", - увещевал Периандр, уроженец Коринфа; "Лишку ни в чём!" – поговорка была милетинца Питтака; "Худших везде большинство", - говорилось Биантом Приенским; "Ни за кого не ручайся", - Фалеса Милетского слово. "Всё есть число", - утверждал Пифагор. *

• 9 слайд

  *

• 10 слайд

  Пифагорея и храм Геры *

• 11 слайд

  Храм Артемиды в Эфесе – одно из семи чудес света. Ок. 550г. до н.э., сожжён в 356г. до н.э. Геростратом. Реконструкция. *

• 12 слайд

  Колонна храма Геры. VI в. до н.э. Остров Самос *

• 13 слайд

  "Самос и его гавани с якорной стоянкой обращены к югу. Большая часть города омывается морем и расположена на ровном месте, но одна часть его поднимается в гору, лежащую над ним. Если подъехать к городу с правой стороны, то увидим мыс Посидий, образующий с горой Микале пролив в 7 стадий шириной. На мысе находится храм Посидона; перед ним лежит островок Нарфекида; на левой стороне расположено предместье святилища Геры, течет река Имбрас, и стоят древнее святилище Геры и большой храм, превращенный теперь в склад картин. Кроме множества хранящихся там картин, есть несколько маленьких храмов, полных древними произведениями искусства". *

• 14 слайд

  Наивысшего рассвета Самос достиг во второй половине VI в. до н. э. при тиране Поликрате, став сильным греческим государством во всей Ионии. Именно тогда вокруг города были воздвигнуты крепостные стены, которые ко времени Апулея, через восемь столетий, превратились в величественные развалины. *

• 15 слайд

  Гера Самосская. Мрамор. Ок. 560г. до н.э. Париж. Лувр. Но не богиня Гера и её храм и не тиран Поликрат стяжали подлинную славу маленькому острову в Эгейском море: около 570г. до н. э. на Самосе родился основоположник современной математики Пифагор. Сегодня в Лувре хранится мраморная статуя Геры Самосской, которую специалисты относят к 560г. до н. э. Мраморные складки одежды Геры Самосской хранят, быть может, взгляд юного Пифагора. *

• 16 слайд

  Отцом Пифагора бал Мнесарх – резчик по драгоценным камням. Мнесарх, по словам Апулея, "славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство". Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником – прославленным скульптором Феодором вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к Поликрату и ценился им превыше всего на свете. *

• 17 слайд

  Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы это сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. *

• 18 слайд

  В самом деле, в слове можно выделить два корня: - указывающий на - Пифия и - восходящий, - обращаться с речью,объявлять - народное собрание, где произносят речи). т.е. вещающий (прорицающий) от Пифии или как Пифия. Поскольку бог Аполлон после победы над змеем Пифоном получил прозвище Аполлон Пифий, то "Пифовещатель" превращается в "Аполловещателя" или "Уста Аполлона", как иногда переводят имя Пифагора. Со временем античная традиция развила эту идею и стала называть Пифагора не только "Устами Аполлона", но и сыном лучезарного покровителя искусств Аполлона. видимо, к является и слово (однокоренным Таким образом, имя можно толковать как "Пифовещатель", *

• 19 слайд

  *

• 20 слайд

  старинного русского города Саратова. Три серебряного цвета стерляди, символизировавшие богатство волжского края рыбой, образуют пифагорову букву. Полагают, что число геральдических рыб на гербе Саратова (рыба издавна является христианским символом) равнялось числу монастырей в городе, которые по праву считались форпостами обороны, культуры и духовного богатства города. Расположение рыб в форме философской буквы должно было напоминать горожанам о выборе достойного, правого пути на ежедневных жизненных перепутьях. Увы, сегодня в нашей памяти стерты не только осетровые породы рыб и старинные гербы городов, но и извечное напоминание о выборе праведного пути, заложенное в пифагоровой букве. в чистом виде нашла отражение в гербе Пифагорова буква *

• 21 слайд

  Но вернёмся к самому Пифагору, сыну счастливой Пифаиды. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского. *

• 22 слайд

  У нас нет твёрдой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора. Но как бы то ни было, неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе. Пифагор проявил себя в столь разных областях науки, что историк Диоген Лаэрций решительно утверждает: "Пифагоров было четыре или даже пять – философ, скульптор, кулачный боец и т.д." *

• 23 слайд

  Вид на священную гору Микале (Малая Азия) с мыса Трогилия на о. Самос. Современное фото. Бродя по острову, юноша невольно выходил на скалистые оконечности мыса Трогилия, отстоящего в 40 стадиях от города Самоса, и сквозь теплую дымку жадно вглядывался в синеву манящих очертаний. Только 7 стадий Самосского пролива отделяли остров от берегов Малой Азии. Часами просиживал юный Пифагор на теплых скалах мыса. *

• 24 слайд

  Мудрый Ферекид понимал всё без слов. "Ты вырос из Самоса, - сказал он Пифагору однажды. – Отправляйся путешествовать – только так утолишь ты жажду познания. Помни: путешествия и память суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости". Статуя Пифагора на острове Самос *

• 25 слайд

  *

• 26 слайд

  С приездом Пифагора в Кротон начинается самый славный период его биографии. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена, члены которого обязывались вести так называемый пифагорейский образ жизни. Это был одновременно и религиозный союз, и политический клуб, и научное общество. Основу пифагорейского союза, скорее всего, составили многочисленные братства орфиков. Орфики были близки Пифагору по духу, и он сумел объединить их в единый религиозно-политический союз. Таким образом, семена учения Пифагора упали на подготовленную орфиками почву, и именно поэтому союз быстро завоевал в Кротоне широкую известность и стал ведущим центром духовной и общественной жизни полиса. *

• 27 слайд

  «Для всех было у Пифагора на устах правило: беги от всякой хитрости, отсекай огнём, железом и любым оружием от тела болезнь, от души — невежество, от утробы — роскошество, от города — смуту, от семьи — ссору, от всего, что есть,— неумеренность». *

• 28 слайд

  Система морально-этических правил, завещанная своим ученикам Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев — «Золотые стихи». «Золотые стихи» переписывались и дополнялись на протяжении всей тысячелетней истории античности, а затем и в эпоху средневековья и Возрождения. В XVIII — XIX вв. «Золотые стихи» были особенно популярны в России. В 1808 г. в Санкт-Петербурге вышла карманного формата книжечка «Пифагоровы законы и нравственные правила», начинавшаяся словами: Зороастр был законодателем персов. Ликург был законодателем спартанцев. Солон был законодателем афинян. Нума был законодателем римлян. Пифагор есть законодатель всего человеческого рода. *

• 29 слайд

  Вот некоторые изречения из этой книжечки, содержащей 325 Пифагоровых заповедей: Сыщи себе верного друга; имея его, ты можешь обойтись без богов. Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом. Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая; но ей не обучаются. *

• 30 слайд

  Пифагор, предписывая чтить старейших, «ибо всюду предшествующее почетнее последующего», учил почитать родителей, высоко ценил дружбу, считая, что у друзей всё общее и что друг — это второе «я». Эти и многие другие заповеди и составляли основу пифагорейской этики. *

• 31 слайд

  Кстати, изобретение самого термина философия традиция приписывает Пифагору. Пифагор видел себя не обладателем истины, а лишь человеком, стремящимся к ней как к недостижимому идеалу. Поэтому Пифагор утверждал, что он не есть воплощение мудрости — мудрец (софос), а лишь любитель мудрости — любомудр (философ). *

• 32 слайд

  Ученики Пифагора делились на две большие группы, первую из которых составляли последователи и продолжатели дела (их называли пифагорейцами, эзотериками, познавателями), а вторую - подражатели (пифагористы, экзотерики или акусматики). Для акусматиков придумывались своего рода пословицы, или акусматы, легко запоминаемые и отражающие основные ключевые позиции философии Пифагора. *

• 33 слайд

  Вот некоторые из них: „Что самое праведное? — Жертвовать. Что самое мудрое? — Наука врачевания. Что самое прекрасное? — Гармония. Что самое сильное? — Мысль. Что самое лучшее? — Счастье. Какое высказывание можно считать самым правдивым? — Что люди злы“. *

• 34 слайд

  Пифагору принадлежит и открытие терапевтического эффекта музыки. Он не колебался относительно влияния музыки на ум и тело, называя это “музыкальной медициной”. Он полагал, ”что музыка во многом содействует здоровью, если пользоваться ею соответственно подобающим ладам, так как человеческая душа, и весь мир в целом имеют музыкально-числовую основу”. *

• 35 слайд

  Пифагор воздействовал музыкой и пением и на больных людей, устраняя многие болезни и страдания души и тела. Описан случай, когда Пифагор предотвратил поджог и убийство, воздействовав музыкой на разъяренного ревнивца, пытавшегося поджечь дом своей подруги. Когда ревнивец подкладывал к дверям дома хворост, флейтист неподалеку играл возбуждающую фригийскую мелодию. Пифагор попросил флейтиста сменить мелодию на более медленную и спокойную. После звуков новой мелодии разъяренный ревнивец присмирел, одумался, забрал свой хворост и ушёл. *

• 36 слайд

  Много тайн видимого и невидимого мира открыл человечеству Пифагор. Но сегодня мало кто вспоминает о нём как о Великом Служителе и Врачевателе, нёсшим свой светильник среди жизни под градом непонимания, и мало кто знает, что “священное число Пифагора есть равновесие Красоты”. *

• 37 слайд

  Со мною сердце говорит. Я этот голос ясно слышу. Тоска и радость, и восторг, Язык Всеобщий, Голос Свыше.   Со мною сердце говорит. О том, что вижу, чем живу я. Где оборвал я нить живую, Что с красотою единит.   Со мною сердце говорит. Я бережно его касаюсь, Оно одно соединяет Такие разные миры. *

• 38 слайд

  Учение Пифагора было тайным и не записывалось. Вот почему не сохранилось ни одной строчки трудов самого Пифагора, да скорее всего он их просто и не писал. В силу этого, а также в силу существовавшей в античности традиции приписывать результаты открытий учеников своему учителю сегодня невозможно определить, что сделал в науке сам Пифагор, а что — его ученики и последующие представители пифагорейской школы. Древние верили, что идеи, подобно вину, только улучшаются с возрастом. Поэтому ученики щедро приписывали свои открытия учителям, которые чаще всего об этих открытиях и не подозревали. *

• 39 слайд

  Главным пифагорейским символом — символом здоровья и опознавательным знаком — была пентаграмма, или пифагорейская звезда,— звёздчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Пентаграмма обладает замечательными математическими свойствами, которые мы рассматривали, когда говорили о золотом сечении. *

• 40 слайд

  Нарисованная пентаграмма была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. Согласно легенде, когда один пифагореец умирал на чужбине и не мог расплатиться с гостеприимным хозяином дома, ухаживавшим за ним, он велел хозяину нарисовать на стене своего дома пентаграмму. «Если когда-нибудь мимо пойдет пифагореец, он обязательно сюда заглянет», — сказал умиравший. Действительно, через несколько лет другой странствующий пифагореец увидел знак, расспросил о случившемся хозяина и щедро вознаградил его. *

• 41 слайд

  Матовая седина ниспадающих на плечи волос Пифагора переходила в сверкающую белизну его жреческих одежд. И только пурпурная перевязь на лбу оттеняла исходящее от него ослепительное сияние, лучистый взгляд мудреца падал прямо в душу собеседника, но не обжигал, а согревал её ровным и мягким светом. Воистину окружавшей толпе учеников он представлялся богом Аполлоном, сошедшим с небес и льющим в их души божественный свет истины. Вот почему пифагорейцы искренне верили, что разумные существа подразделяются на три вида: Бог, человек и существо, подобное Пифагору! Вот почему боготворили они каждое слово учителя, снабжали каждую идущую от него фразу весомой преамбулой (сам сказал). *

• 42 слайд

  А сейчас мне хочется закончить рассказ о пифагорейском союзе прекрасной характеристикой, данной математиком ван дер Варденом: «Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект. Но что отличало пифагорейцев от всех других — это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии. Бог, учили они, положил числа в основу мирового порядка. Бог — это единство, а мир — множество и состоит из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству и соединяет всё в космос, есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых отношениях. Кто до конца изучит эту божественную числовую гармонию, сам станет божественным и бессмертным». Таков был пифагорейский союз — любимое детище великого эллинского мудреца. Воистину то - был союз истины, добра и красоты. *

• 43 слайд

  *

• 44 слайд

  Хронология развития теоремы до Пифагора: * №Историческое местодата 1Древний Китай (математическая книга Чу-пей)~2400 г. до н. э. 2Древний Египет (гарпедонапты или "натягиватели веревок")2300 г. до н. э. 3Вавилон (Хаммураби ) 2000 г. до н. э. 4Древняя Индия (сборник Сульвасутра ) 600 г. до н. э. 5Пифагор 570 г. до н. э.

• 45 слайд

  Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". *

• 46 слайд

  Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. *

• 47 слайд

  Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 и 4 м от одного конца. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. *

• 48 слайд

  Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." *

• 49 слайд

  В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины). *

• 50 слайд

  В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". *

• 51 слайд

  Насчитывается более пятиста доказательств теоремы.Благодаря такому количеству доказательств, теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.   *

• 52 слайд

  Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. *

• 53 слайд

  У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в. *

• 54 слайд

  Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". *

• 55 слайд

  В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". *

• 56 слайд

  В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи *

• 57 слайд

  Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.     *

• 58 слайд

  И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА *

• 59 слайд

  Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью. *

• 60 слайд

  ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ КАТЕТ Это прямоугольный треугольник *

• 61 слайд

  На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придём. *

• 62 слайд

  1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур. Здесь вы можете увидеть доказательство теоремы Пифагора, которое основано на равновеликости фигур, из которых они состоят. Это доказательство считается одними из самых простых из-за своей наглядности. *

• 63 слайд

  Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Доказательство Пифагора *

• 64 слайд

  Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи». *

• 65 слайд

  2. Аддитивные доказательства. Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.   *

• 66 слайд

  Доказательство Эпштейна  Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF. Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах Доказательство. Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны. Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны. При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой. Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теорема доказана. *

• 67 слайд

  3. Доказательства методом построения Здесь вы найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения. *

• 68 слайд

  1. Построим треугольник ABC с прямым углом С. Доказательство Гофмана 2. Построим BF=CB, BFCB 3. Построим BE=AB, BEAB 4. Построим AD=AC, ADAC 5. Точки F, C, D принадлежат одной прямой. *

• 69 слайд

  Что и требовалось доказать! 6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. 7. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 8. Соответственно: а2+ b 2 =с 2 Доказательство Гофмана a *

• 70 слайд

  4. Алгебраический метод доказательства Эти доказательства, основанные на применении в геометрии алгебраических формул. Это достаточно легкие доказательства, не требующие никаких дополнительных построений. *

• 71 слайд

  Доказательство Мёльманна 1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab, с другой 0,5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)). *

• 72 слайд

  Что и требовалось доказать! Доказательство Мёльманна *

• 73 слайд

  5. Доказательства методом разложения Простейшие доказательства теоремы, для понимания которых достаточно одного взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько доказательств, которые не требуют пояснений. Это доказательства способом разложения квадратов на катетах и гипотенузе на отдельные фигуры. *

• 74 слайд

  Доказательство Перигаля Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены рядом. Надо разделить эту фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание. *

• 75 слайд

  6. Доказательство методом вычитания Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем. Доказательства методом вычитания - доказательства при помощи вырезания определенных фигур из равных по площади частей. *

• 76 слайд

  На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь, что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. *

• 77 слайд

  7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла. Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда АВ*AD=AC*АС.  Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC. Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC*AC + BC*BC = AB*AB. Теорема доказана. *

• 78 слайд

  Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора". *

• 79 слайд

  Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?” *

• 80 слайд

  Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?   Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 . Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2, (Х + 0,5)2 – Х2 = 22 , Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. *

• 81 слайд

  На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота? *

• 82 слайд

  Задача Бхаскары Решение.   Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора имеем АВ = 5 . CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов. *

• 83 слайд

  На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? *

• 84 слайд

  Решение   Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2 АВ2=900+Х2; в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 АС2=202+(50 – Х)2 АС2=400+2500 – 100Х+Х2 АС2=2900 – 100Х+Х2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2 =АС2 , 900+Х2 =2900 – 100Х+Х2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы. Ответ: 20 локтей. *

• 85 слайд

  "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."   *

• 86 слайд

   "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? " *

• 87 слайд

  *

• 88 слайд

  Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом: d2=2a², d= a. *

• 89 слайд

  Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² . d= *

• 90 слайд

  На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d2 = a2+( а)2, d2=3a2, d= a. *

• 91 слайд

  Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d = *

• 92 слайд

  Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Заметим, что расчёт площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь." *

• 93 слайд

  В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром p=b/6. *

• 94 слайд

  В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все ещё ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.   *

• 95 слайд

  *

• 96 слайд

  Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а2+b2=c2. *

• 97 слайд

  Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а2+b2=c2)— называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c. *

• 98 слайд

  Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2. Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств: Один из «катетов» должен быть кратным трём. Один из «катетов» должен быть кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. * а3567911131517192139 b4128244060841121441802080 c51310254161851131451812989

• 99 слайд

  Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541: 12709 + 13500 = 18541. Нью-Йорк. Плимптоновский фонд библиотеки Колумбийского университета. *

• 100 слайд

  И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а2+b2=c2) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а2+b2=c2) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. *

• 101 слайд

  *

• 102 слайд

  Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе. Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц об этой теореме и его авторе. *

• 103 слайд

  Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество. *

• 104 слайд

  За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны. *

• 105 слайд

  Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие». *

• 106 слайд

  Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один: «Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий). *

• 107 слайд

  Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «чудо», прославившее в веках имя великого эллина, было в другом. Это чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Утренние купания пифагорейцев в волнах Ионического моря были и ежедневной прелюдией к плаванию по океану знания. Только целью плавания на сей раз были не поиски золотого руна, а поиски сокровища, куда более ценного. То были поиски истины.   *

• 108 слайд

  Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями… * Пифагор. Гравюра из старинной книги.

• 109 слайд

  Мысль — превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах). *

• 110 слайд

  Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. *

• 111 слайд

    Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь, как в день её рожденья. За светлый луч с небес вознес благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор. Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат. Суть истины вся в том, что нам она-навечно, Когда хоть раз в прозрений её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна. На радостях богам был Пифагором дан обет: За то, что мудрости коснулся бесконечной, Он сто быков заклал, благодаря предвечных; Моленья и хвалы вознес он жертве вслед. С тех пор быки, когда, учуют, тужась, Что к новой истине людей опять подводит след, Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, Такой в них Пифагор вселил навеки ужас, Быкам, бессильным новой правде противостоять, Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать. *

• 112 слайд

  Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс в жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». *

• 113 слайд

  А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не может доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам». *

• 114 слайд

  Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой—ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла. *

• 115 слайд

  Фрагмент фильма «Приключения Электроника» Ералаш *

• 116 слайд

  *

• 117 слайд

  Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — прообраза средневековых монашеских орденов, богослова и реформатора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающейся науки и пышно цветущей мифологии. *

• 118 слайд

  И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Всё есть число». Если снять с этого тезиса мистическую паутину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифагорейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы. *

• 119 слайд

  Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный американский математик и историк науки М. Клайн: «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило всё последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы». *

• 120 слайд

  В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа, но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести! *

• 121 слайд

  Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщённый образ учёного. *

• 122 слайд

  Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его идей. И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в истории человечества. Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и математик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан,— все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплатоников питали Аврелия Августина (354—430) и Иоанна Скота Эриугену (810—877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 —1576), Томмазо Кампанеллу (1568—1639) и Джордано Бруно (1548—1600), Фридриха Шеллинга (1775— 1854) и Георга Гегеля (1770—1831), Владимира Соловьева (1853—1900) и Сергея Булгакова (1871 —1944), Павла Флоренского (1882—1937?) и Алексея Лосева (1893—1988). *

• 123 слайд

  Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор. *

• 124 слайд

   “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер *

• 125 слайд

  . *

• 126 слайд

  *

• 127 слайд

  *

• 128 слайд

  *

• 129 слайд

  *

• 130 слайд

  *

• 131 слайд

  *

• 132 слайд

  *

• 133 слайд

  *

• 134 слайд

  *

• 135 слайд

  *

• 136 слайд

  *

• 137 слайд

  *

• 138 слайд

  *

Краткое описание документа:

Данная исследовательская работа адресована учащимся 8, 9 классов для самостоятельного чтения и по содержанию тесно примыкает к школьной программе. В ней широко привлекаются исторические сведения, занимательные факты.

Мощное силовое поле, излучаемое личностью Пифагора, поддерживало авторов данной работы. И если из вихрей ноосферы удалось извлечь интеллектуальную и духовную энергию Пифагора и через 2500 лет передать её юному читателю, значит, путь, начатый авторами, пройден недаром.

Мы, авторы данной работы, надеемся, что вы с удовольствием отправитесь изучать «Терему Пифагора» и узнаете много нового и интересного!