Программа электива для 9 класса "Методы решения геометрических задач"

Методы решения геометрических задач

При решении геометрических задач обычно используются три основных метода: геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем; алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений; комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим. Какой бы путь ни был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения применять их.

В качестве основного метода решения геометрических задач, который стоит освоить и отработать в первую очередь, выступает алгебраический метод. Алгебраический метод, вернее основные его модификации, могут быть в достаточной степени алгоритмизированы. В качестве примера можно привести метод опорного элемента и метод вспомогательного параметра.

Метод опорного элемента является основным методом составления уравнений в геометрических задачах и заключается в следующем: один и тот же элемент (сторона, угол, площадь, радиус и т. д.) выражается через известные и неизвестные величины двумя разными способами, и полученные выражения приравниваются. Довольно часто в качестве опорного элемента выбирают площадь фигуры. Тогда говорят, что для составления уравнения используется метод площадей.

Если в задаче требуется найти отношение каких-либо величин, то, как правило, задача решается методом вспомогательного параметра. Это значит, что в начале решения мы объявляем какую-либо величину известной, обозначив ее, например, буквой а, затем выражаем через а те величины, отношение которых требуется найти. Когда составляется искомое отношение, вспомогательный параметр а сокращается. Метод вспомогательного параметра применяется в задачах, где геометрическая фигура определена с точностью до подобия.

Ставя во главу угла алгебраический метод, следует всегда помнить, что речь идет о геометрической задаче, поэтому работая над ней, следует искать геометрические особенности, учиться смотреть и видеть геометрическую суть.

Кроме вышеперечисленных методов можно назвать еще координатный метод, векторный метод, метод ключевых задач, метод дополнительных построений.

Необходимо научить школьников решению «базисных» (элементарных) задач, то есть тех, которые входят как составные элементы во многие другие задачи. Таковыми являются, например, задачи на отыскание основных элементов треугольника: медианы, высоты, биссектрисы, радиусов вписанной и описанной окружностей. Под элементарными мы будем понимать задачи в одно действие, сделанное на основании известной теоремы или формулы, причем конфигурация, в которой эта формула или теорема применяется, достаточно четко обозначена в условии задачи.

В теоретическую часть школьного курса геометрии включены в основном теоремы, работающие на сам курс, то есть необходимые для его дальнейшего развития. Многие теоремы в известном смысле прикладного характера, областью приложения которых являются задачи, а не теория, из курса исключены.

В связи с этим возникает необходимость в выделении некоторого количества задач, так называемых элементарных (базисных, опорных, ключевых), иллюстрирующих тот или иной часто встречающийся метод или прием решения задач, которые учащийся должен усвоить и освоить. Следует обращать внимание учащихся на «рабочие теоремы», то есть теоремы, которые, с одной стороны, активно используются при решении задач, но с другой стороны, как показывает опыт, либо не всегда рассматриваются при изучении геометрии, либо тщательно не отрабатываются.

Первым и важнейшим этапом решения геометрической задачи является построение чертежа. Нельзя научиться решать достаточно содержательные геометрические задачи, не выработав привычки делать «большой и красивый» чертеж, удовлетворяющий не только формально математическим требованиям, но и известным эстетическим критериям. После построения чертежа следует вспомнить все факты, относящиеся к данным и искомым элементам задачи, а также соотношения между ними.

Таким образом, умение решать геометрические задачи определяется четырьмя слагаемыми: 1) чертеж; 2) метод; 3) владение определенным объемом геометрических фактов и теорем; 4) наличие достаточно активно используемого запаса опорных задач.

Метод дополнительного построения

Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

Пример задачи. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.

Метод введения вспомогательного элемента

Характеристика метода. Длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, x и затем находят искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи “исчезает” (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и поставить в полученное для искомой величины выражение.

Пример задачи. Найдите площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны и  равны d₁ и d₂.

Метод площадей

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он “делает” алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.

Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.

Пример задачи.  Найти формулу для площади произвольного треугольника.

Метод восходящего анализа

Характеристика метода.  Данный метод решения задач имеет ряд особенностей: 1) не требуется обратимости рассуждений (только при доказательстве, при решении задач обратимость имеет место), т.к. возможность обратного перехода проверяется на каждом шаге поиска решения; 2) учащиеся должны хорошо усвоить фразу: «Чтобы доказать… достаточно доказать…». Термин «достаточно» подходит больше, чем «надо», поскольку можно подобрать несколько различных утверждений, для каждого из которых искомое является следствием; 3) в общей схеме восходящего анализа не разъясняется, как получить утверждение, из которого следует искомое, такое утверждение подыскивается, исходя из конкретных условий задач.

Пример задачи. В плоскости даны четырёхугольник АВСD и т. О. Доказать, что точки, симметричные точке О относительно середин четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.

Пример оформления доказательства восходящим анализом.

В плоскости даны четырёхугольник АВСD и т. О. Доказать, что точки, симметричные точке О относительно середин четырёхугольника, являются вершинами параллелограмма.

Дано: ABCD – четырёхугольник, т. О; AE'=BE';

                          BK'=CK'; CH'=ДH';

                          DP'=AP'; EE'=E'O; KK'=K'O; HH'=H'O; PP'=P'O

Доказать: EKHP – параллелограмм

Доказательство:

1) Движение от искомых:

1 – Чтобы доказать, что четырехугольник – параллелограмм, достаточно доказать, что противоположные стороны его равны и параллельны;

2 – Чтобы доказать, что противоположные стороны равны и параллельны, достаточно доказать, что

3 – А для этого достаточно выразить их через один вектор (метод вспомогательного параметра).

Заданные векторы удобно брать такие, которые связывают все данные векторы. Положение всех точек определяется векторами  их считаем данными.

2) Движение от данных:

1 – (Е и О симметричны) => ();

      (Р и О симметричны) => ();

      (Н и О симметричны) => ();

      (К и О симметричны) => ().

Искомые и данные величины максимально сблизились, возникает догадка, ученик вспоминает нужную теорему. Главное условие закономерности при поиске решения задач методом "попеременного движения с двух сторон": "Вероятность вспоминания нужного определения, теоремы, правила, закона, способа решения задачи возрастает, если искомые и данные задачи сближены анализом и синтезом настолько, что в оставшийся интервал как раз укладывается данная теорема, целиком заполняя этот интервал".

Путь решения найден:

Темы рефератов для девятиклассников по геометрии

1.      Замечательные точки треугольника.

2.      Задачи на построение.

3.      Геометрические места точек.

4.      Удивительный квадрат.

5.      Некоторые теоремы об окружности.

6.      Решение задач с помощью дополнительных построений.

7.      Геометрические преобразования на плоскости.

8.      Правильные и полуправильные многоугольники.

9.      Вписанные и описанные многоугольники.

10.  Задачи на векторный метод.

11.  Задачи на координатный метод.

12.  Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.

13.  Равновеликость и равносоставленность многоугольников.

14.  Геометрические задачи на максимум и минимум.

15.  Симметрия на плоскости.

16.  Задачи Л. Эйлера.

17.  Золотое сечение.

18.  Различные доказательства теоремы Пифагора.

19.  Паркеты из многоугольников.

Тема «Замечательные точки треугольника»

План

 1. Четыре замечательные точки треугольника: центр описанной окружности, центр вписанной окружности, центр тяжести (центроид) и ортоцентр.

 2. Теорема Чевы.

 3. Теорема Менелая.

 4. Теоремы о пересечении в одной точке: а) медиан; б) биссектрис; в) высот треугольника. Различные доказательства.

 5. Прямая Эйлера.

Литература

1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-изд. – М.: Просвещение, 1996, с. 407.

2. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. – М.: Просвещение, 1996, с. 92.

3. Готман Э.Г. Прямая Эйлера /Математический кружок: Геометрия. Выпуск 1. – М.: Бюро Квантум, 1998, с. 23. (Приложение к журналу «Квант». – 1998. - № 1).

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 156.

5. Шарыгин И.Ф. Узнайте точку /Математический кружок. – М.: Бюро Квантум, 1999, с. 46. (Приложение к журналу «Квант». – 1999. - № 3).

Тема «Задачи на построение»

План

 1. Простейшие задачи на построение.

 2. Основные этапы решения задачи на построение.

 3. Различные методы решения задач на построение.

 4. Примеры решения задач на построение.

Литература

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 55.

2. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. – М.: Наука, 1992.

3. Савин А.П. Геометрические построения /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 66.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 87.

5. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 79.

Тема «Геометрические места точек»

План

 1. Определение геометрического места точек.

 2. Сущность метода геометрических мест.

 3. Основные геометрические места точек на плоскости.

 4. Примеры задач на геометрические места точек.

Литература

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000, с. 61.

2. Савин А.П. Метод геометрических мест /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 74.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 84.

4. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 76.

Тема «Удивительный квадрат»

План

 1. Определения квадрата.

 2. Замечательные свойства квадрата.

 3. Задачи на разрезание квадрата.

 4. Построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги.

 5. Танграм и другие головоломки, связанные с квадратом.

Литература

1. Квадрат //Квант. – 1989. - № 5. – С. 40.

2. Кордемский Б.А., Русалев Н.В. Удивительный квадрат. – М.: Столетие, 1994.

3. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1995, с.38.

4. Сергеев И.Н. и др. Примени математику. - М.: Наука, 1989, с.172.

Тема «Некоторые теоремы об окружности»

План

1. Число точек, определяющих окружность.

2. Зависимость длин хорд от их расстояния от центра.

3. Взаимное расположение прямой и окружности.

4. Измерение углов, связанных с окружностью.

5. Взаимное расположение двух окружностей.

Литература

1. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса / Л.С.Атанасян и др. – М.: Просвещение, 1996, с.121.

2. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996, с. 61.

3. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996, с. 65.

4. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 8 класса. – М.: Просвещение, 1999, с. 35.

5. Шарыгин И.Ф. Углы и окружности // Квант. – 1994. - № 1. – С. 40.

Тема «Решение задач с помощью дополнительных построений»

План

1. Роль дополнительных построений при решении планиметрических задач.

2. Удвоение медианы треугольника.

3. Проведение вспомогательной биссектрисы треугольника.

4. Проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из данных прямых.

5. Построение вспомогательной окружности.

Литература

 1. Белый С. Учитесь делать дополнительные построения / Практикум абитуриента: Геометрия. Выпуск 1. (Планиметрия) / Под редакцией А.А.Егорова. – М.: Бюро Квантум, 1996, с. 76 (Приложение к журналу «Квант». – 1996. - № 1).

 2. Герасимова А.Д. К стратегии поиска дополнительных построений // Математика в школе. – 1996. - № 3. – С. 15.

 3. Герасимова А.Д. Обоснование дополнительных построений при доказательстве теорем // Математика в школе. – 1994. - № 5. – С. 30.

 4. Готман Э.Г. Вспомогательная окружность //(Приложение к журналу «Квант» №1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 11

 5. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М: Школа-Пресс, 1995, с. 221.

 6. Тарасенкова Н.А. Пропедевтический этап обучения поиску дополнительных построений // Математика в школе. – 2000. - № 4. – С. 32.

Тема «Геометрические преобразования на плоскости»

План

 1. Движения и их свойства.

 2. Центральная симметрия.

 3. Поворот.

 4. Осевая симметрия.

 5. Параллельный перенос.

 6. Равенство фигур.

 7. Классификация движений.

 8. Задачи по данной теме.

Литература

 1. Болтянский В.Г. Геометрические преобразования плоскости /Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 206.

 2. Болтянский В.Г. Движения плоскости / Школа в Кванте. Геометрия / Под редакцией А.А.Егорова. – М.: Бюро Квантум, 1995, с. 4 (Приложение к журналу «Квант» – 1995. - № 1).

 3. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 5.

 4. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 9 класса / Л.С.Атанасян и др. – М.: Просвещение, 1997, с. 108.

 5. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 143.

 6. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса. – М.: Просвещение, 2000, с. 3.

Тема «Правильные и полуправильные многоугольники»

План

 1. Определение правильного многоугольника.

 2. Равноугольно–полуправильные и равносторонне–полуправильные многоугольники.

 3. Построение правильных многоугольников.

 4. Элементы симметрии правильных многоугольников.

 5. Паркеты из правильных многоугольников.

 6. О сумме углов выпуклых и звездчатых многоугольников.

Литература

 1. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 9 класса. – М.: Просвещение, 1997, с. 86.

 2. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996, с. 133.

 3. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. – М.: Просвещение, 1995, с. 49.

 4. Сергеев И.Н. и др. Примени математику. – М.: Наука, 1989, с. 139.

 5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 149.

 6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. О сумме углов звездчатых многоугольников // Математика. – 2002. - № 1. – С. 31.

Тема «Вписанные и описанные многоугольники»

План

 1. Вписанные и описанные треугольники.

 2. Вписанные окружности.

 3. Вписанные и описанные четырехугольники.

 4. Правильные многоугольники.

 5. Некоторые теоремы, связанные с вписанными и описанными окружностями.

Литература

 1. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 класса. – М.: Просвещение, 1996, с. 149.

 2. Гохидзе М.Г. К теме «Вневписанная окружность» //Математика в школе. – 1990. - № 2. – С. 59.

 3. Киселев А.П. Элементарная геометрия . – М.: Просвещение, 1996, с. 82.

 4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 149.

5. Хонсбергер Р. Старая японская теорема // Квант. – 1990. - № 7. – С. 54.

6. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 1997, с. 213.

7. Несколько эпизодов из жизни вписанных и описанных окружностей // Квант. – 1990. - № 8. – С. 66.

Тема «Задачи на векторный метод»

План

 1. Исторические аспекты векторного исчисления.

 2. Понятие вектора.

 3. Сложение и вычитание векторов.

 4. Умножение вектора на число.

 5. Скалярное произведение векторов.

Литература

 1. Атанасян Л.С. и др. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 (9 класс). – М.: Просвещение, 1996 (1997), с. 177 (с. 59).

 2. Габович И. Векторы помогают на экзамене // Приложение к журналу «Квант» № 1/1996. - М.: Бюро Квантум, 1996, с. 108.

 3. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 68.

 4. Дорофеева А.В. Из истории векторного исчисления // Математика в школе. – 1998. - № 2. – С. 91.

 5. Лопшиц А. Векторное решение аффинных задач // Приложение к журналу «Квант» № 1/98. – М.: Бюро Квантум, 1998, с. 90.

 6. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 211.

 7. Скопец З.А. Геометрические миниатюры. – М.: Просвещение, 1990, с. 28.

Тема «Задачи на координатный метод»

План

1. Жизнь и творчество Р.Декарта.

2. Координаты на прямой.

3. Прямоугольная система координат.

4. Решение задач на координатный метод.

5. Полярная система координат.

Литература

 1. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 83.

 2. Котова А. Жизнь Декарта // Квант. – 1996. - № 3. С. 3.

 3. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 137.

 4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Полярные координаты /Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 294.

 5. Степанов М. Рене Декарт. К 400-летию со дня рождения //Математика. – 1996. - № 12. – С. 15.

 6. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы /Сост. И.Л.Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с. 135.

 7. Феоктистов И.Е. Материалы по теме «Декартовы координаты на плоскости» // Математика в школе. – 1994. - № 3. – С. 17.

Тема «Применение подобия к доказательству теорем и решению задач»

План

 1. Подобие треугольников.

 2. Признаки подобия треугольников.

 3. Подобие фигур.

 4. Понятие гомотетии.

 5. Решение задач методом подобия.

Литература

 1. Гейдман Б. Гомотетия и замечательные точки в треугольнике //Приложения к журналу «Квант» № 1/1995. - М.: Бюро «Квантум», 1995, с. 18.

 2. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996, с. 23.

 3. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 класса /Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 1996, с. 73.

 4. Киселев А.П. Элементарная геометрия. – М.: Просвещение, 1996, с. 94.

 5. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. – М.: Просвещение, 1995, с. 45.

 6. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1999, с. 162.

Тема «Равновеликость и равносоставленность»

План

1. Понятие равновеликости фигур.

2. Понятие равносоставленности фигур.

3. Теорема о равносоставленности равновеликих многоугольников.

4. Задачи на разрезание.

Литература

1. Александров А.Д. и др. Геометрия для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1996, с. 340.

2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 1984, с. 114.

3. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995, с. 108.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 253.

5. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2001, с. 363.

Тема «Геометрические задачи на максимум и минимум»

План

1. Понятие экстремальной задачи.

2. Старинные задачи на максимум и минимум.

3. Изопериметрическая задача.

4. Решение экстремальных геометрических задач.

Литература

1. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М.: Владос, 1999, с. 13.

2. Горнштейн П. И др. Геометрические решения экстремальных геометрических задач //Приложение к журналу «Квант» № 3/1996. – М.: Бюро «Квантум», 1996, с. 33.

3. Готман Э.Г. Поиск рационального решения задачи на экстремум //Математика в школе. – 1997. - № 6. – С. 40.

4. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991, с. 282.

5. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. – М.: Наука, 1986 (Библиотечка «Квант», выпуск 56).

Тема «Симметрия на плоскости»

План

1. Понятие о симметрии.

2. Симметрия в окружающем мире.

3. Виды симметрии.

4. Свойства симметрий.

5. Композиции симметрий.

6. Симметрия помогает решать задачи.

Литература

1. Гейдман Б. Осевая симметрия //Приложение к журналу «Квант» № 1/1995. – М.: Бюро «Квантум», 1995, с. 15.

2. Гончарова С.Г., Кукин Г.П. Конструктор «В мире симметрии» //Математика в школе. – 1996. - № 3. – С. 60.

3. Зеркальная симметрия //Квант. – 1992. - № 3. – С. 40.

4. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. Часть I. – 2-е изд. – М.: Наука, 1991, с. 47, с. 56.

5. Тарасов Л.В. Этот удивительно симметричный мир. – М.: Просвещение, 1982.

6. Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследования для 9 класса. – М.: Просвещение, 2000, с. 11, с. 30.

Тема «Задачи Л. Эйлера»

План

1. Жизнь и творчество Л. Эйлера.

2. Прямая Эйлера.

3. Окружность Эйлера.

4. Формула Эйлера (связывающая радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника с расстоянием между их центрами).

Литература

1. Готман Э. Прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 23.

2. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 8 класса /Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 1996, с. 149.

3. Дополнительные главы к школьному учебнику геометрии 9 класса /Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 1997, с. 78, с. 129.

4. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 110.

5. Факультативный курс по математике: Учебное пособие для 7-9 классов средней школы /Сост. И.Л. Никольская. – М.: Просвещение, 1991, с.96.

6. Шарыгин И.Ф. и др. Окружность девяти точек и прямая Эйлера //Приложение к журналу «Квант» № 1/1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 31.

Тема «Золотое сечение»

План

1. История возникновения «тайны золотой пропорции».

2. Построение золотого сечения.

3. Золотые прямоугольники.

4. Золотые треугольники.

5. Использование золотого сечения в строительстве и искусстве: живописи, архитектуре, строительстве.

Литература

1. Азевич А.И. От золотой пропорции к ее «производным» //Математика в школе. – 1995. - № 3. – С. 55.

2. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. – М.: Молодая гвардия, 1990.

3. Волошинов А.В. Математика и искусство. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2000, с. 216.

4. Нафиков Н.Н. Гипотеза об истоке золотого сечения //Математика в школе. – 1994. - № 3. – 76.

5. Смирнова Е.С., Леонидова Н.А. Математическое путешествие в мир гармонии //Математика в школе. – 1993. - № 3. – С.60.

6. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 195.

Тема «Различные доказательства теоремы Пифагора»

План

1. Жизнь и творчество Пифагора.

2. Знаменитая теорема Пифагора.

3. Доказательство Евклида.

4. Древнекитайское доказательство.

5. Древнеиндийское доказательство.

6. Доказательство с помощью листа бумаги и ножниц.

Литература

1. Волошинов А.В. Пифагор. – М.: Просвещение, 1993, с. 165.

2. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. – М.: Просвещение, 1982, с. 196.

3. Изучаем теорему Пифагора //Математика. – 2001. - № 24.

4. Рубинов Р. По следам теоремы Пифагора //Приложение к журналу «Квант» № 3/ 1998. – М.: Бюро «Квантум», 1998, с. 87.

5. Халамайзер А.Я. Пифагор. – М.: Высшая школа, 1994, с. 6, с. 47.

Тема «Паркеты из многоугольников»

План

1. Определение паркета.

2. Паркеты из одноименных правильных многоугольников.

3. Паркеты из различных правильных многоугольников.

4. Паркет из произвольного четырехугольника.

5. Другие паркеты.

Литература

1. Болтянский В.Г. Паркет из четырехугольников //Квант. – 1989. - № 11. – С. 57.

2. Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. – 1999. - № 2. – С. 32.

3. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников //Квант. – 1986. - № 8. – С. 3.

4. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995, с. 96.

5. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005, с. 178.

6. Энциклопедия для детей. Математика. Том 11. – М.: Аванта+, 2001, с. 298.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Покровская средняя общеобразовательная школа»

Рузского муниципального района Московской области

__________________________________________________________________________________

«Методы решения геометрических задач»

Программа элективного курса по геометрии

для предпрофильной подготовки

учащихся 9 класса

Составила: Дюндикова Людмила Анатольевна,

учитель математики и информатики

высшей квалификационной категории

МБОУ «Покровская СОШ»

с. Покровское

2011 год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Основная функция элективных курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике – формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки; развитие творческих способностей у школьников, осознанных мотивов учения, подготовка к продолжению образования и сознательному выбору профессии.

В последнее время качественно меняются условия выпускных и вступительных экзаменов по математике, приближаясь к более объективной своей форме – тестированию. Такие изменения диктуют и новые методы подготовки к экзаменам. Тестовые задания составляются так, что даже небольшие пробелы в знаниях ведут к существенным потерям в баллах. Геометрия – наиболее уязвимое звено школьной математики. Это связано как с обилием различных типов геометрических задач, так и с многообразием приемов и методов их решения. Приобрести навыки в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач, особенно на их частные случаи. Искусство же решать задачи основывается на хорошем знании теоретической части курса, знании достаточного количества геометрических фактов, в овладении определённым арсеналом приёмов и методов решения геометрических задач.

Методы решения геометрических задач обладают некоторыми особенностями, а именно:

-        большое разнообразие, трудность формального описания;

-        взаимозаменяемость;

-        отсутствие чётких границ области применения.

Поэтому целесообразно рассмотреть применение подходов, приёмов, методов при решении конкретных задач.

Знакомство учащихся с методами решения геометрических задач стимулирует анализ учащихся своей деятельности по решению задач, выделению в них общих подходов и методов, их теоретическое осмысление и обоснование, решение задач несколькими способами. Особое внимание уделяется аналитическому способу решения задач, доводится до понимания учащихся, что анализ условия задачи, анализ решения задачи – важнейшие этапы её решения. Учащиеся знакомятся со схемой восходящего анализа.

Знание методов решения геометрических задач позволяет решать, казалось бы, сложные математические задачи просто, понятно и красиво.

Кроме того, предлагаемый курс позволяет создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, благодаря пониманию методов, приёмов решения задач.

Конструирование программного содержания на занятиях по курсу может быть проведено по алгоритму:

-        обобщение первоначальных знаний;

-        систематизация, конкретизация и углубление теоретических знаний;

-        проектирование и организация практической деятельности учащихся по применению базисных знаний.

Важное значение при организации учебно-познавательной деятельности имеет обратная связь: внутренняя при взаимоконтроле, самоконтроле и внешняя.

Технологии, используемые в организации изучения элективного курса по геометрии должны быть личностно-ориентированными, направленными на запланированный конечный результат, а именно, содержание материала, уровневая индивидуализация учебной и дифференциация обучающей деятельности на фоне благоприятного психологического климата дают возможность создать ситуацию выбора для учителя и ученика, помогают ученику сформировать общеучебные умения и навыки, повысить его образовательный уровень, что связано с дальнейшим успешным самообразованием и профессиональным самоопределением.

I. Организационно-методический раздел

Цель курса: расширить представления учащихся о методах решения задач по планиметрии; формирование специфических умений применения аналитических методов в геометрии; формирование представлений об уровне геометрических заданий ГИА.

Задачи курса.

1. Познакомить учащихся с некоторыми методами решения задач:

а)     методом опорного элемента;

б)     методом площадей;

в)     методом введения вспомогательного параметра;

г)     методом восходящего анализа;

д)     методом подобия;

е)     методом дополнительного построения.

2. Познакомить учащихся с некоторыми теоремами планиметрии и свойствами фигур, не рассматриваемыми в курсе геометрии 7-9 классов.

3. Развивать общеучебные умения учащихся, логическое мышление, алгоритмическую культуру, математическое мышление и интуицию, повысить их уровень обученности.

4. Развивать творческие способности школьников, готовить их к продолжению образования и сознательному выбору профессии.

Место курса в системе профильной подготовки.

Курс направлен на предпрофильную подготовку по математике. Он расширяет и углубляет базовый курс по геометрии основной школы, является предметно-ориентированным, дает возможность учащимся познакомиться с различными методами, приемами решения задач по геометрии, которые являются не только эффектными, но и эффективными.

Данный элективный курс будет способствовать совершенствованию и развитию знаний и умений по математике, даст возможность учащимся проанализировать свои способности к математической деятельности.

Требования к уровню усвоения содержания курса

Административной проверки усвоения материала курса «Методы решения геометрических задач» не предполагается. В технологии проведения занятий осуществляется обратная связь при взаимоконтроле и самоконтроле. Возможно проведение обучающих самостоятельных работ и итогового тестирования.

Распределение часов курса по темам

Данный элективный курс предполагает 17 тематических занятий.

Тематический план курса

№ темы	Тема занятия	Количество часов	Форма занятия
1	Методы решения геометрических задач	3	Лекция
2	Треугольники	6	Практикум
3	Четырехугольники	6	Практикум
4	Итоговое занятие	2	Тестирование

II. Содержание курса.

Тема 1. Методы решения геометрических задач (3 часа)

Три основных метода решения геометрических задач: геометрический; алгебраический; комбинированный.

Анализ и синтез. Метод восходящего анализа.

Дополнительные методы и приемы решения задач. Анализ условия задачи, анализ решения задачи – этапы решения задачи.

Решение задач.

Тема 2. Треугольники (6 часов)

Обзор теоретического материала по теме.

Решение задач с использованием методов:

1)      метода опорного элемента, метода площадей;

2)      метода введения вспомогательного параметра;

3)      метода дополнительного построения:

а)     проведение прямой параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке;

б)     удвоение медианы треугольника;

в)     проведение вспомогательной окружности;

г)     проведение радиусов в точки касания окружности и прямой или двух окружностей;

4)      использование свойства медиан, биссектрис и высот треугольника;

5)      метода подобия;

6)      применение тригонометрии (теоремы синусов и теоремы косинусов).

Тема 3. Четырехугольники (6 часов)

Обзор теоретического материала по теме.

Параллелограмм. Вписанные и описанные четырехугольники.

Трапеция. Свойства трапеции определенного вида.

Решение задач с использованием:

1)      метода подобия;

2)      метода опорного элемента; метода площадей;

3)      метода введения вспомогательного параметра;

4)      свойств трапеции определенного вида;

5)      метода дополнительного построения.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

Ø  Работа с рекомендованной литературой.

Ø  Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов решения.

Ø  Самостоятельный подбор задач по теме элективного курса с использованием дополнительной математической литературы.

Ø  Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация.

Ø  Самостоятельный анализ своей деятельности.

III. Учебно-методическое обеспечение курса

1.        Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, АО «Учебная литература», 1996.

2.        Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач. – М.: Просвещение, 1996.

3.        Гусев В.А. и др. Практикум по решению математических задач. – М.: Просвещение, 1985.

4.        Пойа Д. Как решать задачу. – М.: Просвещение, 1959.

5.        Лурье М.В. Геометрия. Техника решения задач. Учебное пособие. – 4-е изд. Стер. – М.: Издательство УНЦ ДО, 2004.

6.        Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии / В. С. Крамор. ­- 4-е изд. - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2008.

7.        Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Учебное пособие. - 5-е изд., испр.и доп.- М.: МЦНМО: АО .Московские учебники., 2006.—

8.        Шарыгин И.Ф. Геометрия-8. Теория и задачи. – М.: Рост, МИРОС, 1996.

9.        Шарыгин И. Ф. Геометрия  9 – 11 кл: От учебной задачи к творческой: Учеб. пособие. -  М.: Дрофа, 1997.

10.    Шарыгин И.Ф. Задачи по геометрии (планиметрия). – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982. – (Библиотечка «Кванта». Вып.17).

11.    Кулагин Е.Д., Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. И доп. – М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

12.    Семенов С.В., Хазанкин Р.Г. Математика. Трапеция. – УРЭК, 1997.

Хорошие подборки книг и задач по геометрии можно найти на следующих ресурсах:

1.        Интернет-библиотека МЦНМО

2.        http://www.math.ru/

3.        http://www.problems.ru/

4.        http://www.mccme.ru/ - Раздел - Задачи по геометрии