Инфоурок Другое Рабочие программыПрограмма элективного курса "Графический способ решения заданий с параметрами"

Программа элективного курса "Графический способ решения заданий с параметрами"

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №108»

 

 

 

 

 

 

 

 

Программа элективного курса

«Графический способ решения  заданий с параметрами».

Возраст 15-18 лет.

Срок реализации -1 год.

 

 

Работу выполнила

Пушкарёва Елена Юрьевна,  учитель математики

 

 

 

 

 

 

 

Пермь, 2014

 

Оглавление.

Пояснительная записка……………………………………………………     2

Учебно-тематический план………………………………………………       4

Содержание программы (методическое обеспечение)………………..         5

Тема 1. Графический способ решения задач с параметрами………….        5

Тема 2. Задания с параметрами вида f(x)=а……………………….      7 Тема 3. Задачи с параметрами вида f(x)=…………………….     12

Тема 4. Системы уравнений, где одно из уравнений с параметром……………..         20

Тема 5. Неравенства вида f(x) и системы неравенств……      31 Тема 6. Системы двух линейных уравнений, где оба уравнения              с параметром……………………………………………………        38

Тема 7. Уравнения с параметром, решаемые в системе хоа………….       40 Тема 8 . Системы неравенств с параметром, решаемые в системе хоа..     47

Литература……………………………………………………………….        51

Пояснительная записка.   Данный спецкурс направлен на расширение и углубление знаний учащихся по математике. Спецкурс расширяет стандартный курс математики, наполняет его дополнительными разделами, а также углубляет путем насыщения более сложным и разнообразным задачным материалом.

Задачи с параметрами – это высший пилотаж, ибо человек, умеющий решать задачи с параметрами, в совершенстве знает теорию и умеет применять её не механически, а с логикой. Он «понимает» функцию, «чувствует» её, считает её своим другом или хотя бы хорошим знакомым, а не просто знает о её существовании, как мы знаем и об английской королеве, но вот незнакомы с ней. Если человек умеет решать задачи с параметрами, он ас в математике.      В настоящее время на выпускных экзаменах, различного уровня олимпиадах  предлагаются задачи с параметрами, решение которых вызывает большие затруднения у учащихся, а также учителей. Существует несколько вариантов условий параметрических примеров: исследовать уравнение, решить уравнение, определить количество решений и т.д.

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений уравнений и неравенств, умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию. 

Задачи с параметрами представляют собой небольшие исследовательские задачи. 

К сожалению, в программах по математике для общеобразовательных школ задачам с параметром практически не отводится места, что затрудняет систематическое изучение данной темы. Между тем, я считаю, что задачи с параметрами можно и нужно использовать уже начиная с линейных и квадратных уравнений и неравенств. Это могут быть задачи нахождения решений в общем виде, определения корней, удовлетворяющих каким-либо свойствам, исследования количества корней в зависимости от значений параметра. Важно, чтобы школьники уже на первых простых примерах усвоили: во-первых, необходимость аккуратного обращения с параметром – фиксированным, но неизвестным числом, поняли, что оно имеет двойственную природу (с одной стороны, это некоторое число, с другой стороны, степень свободы общения с ним ограничивается его неизвестностью); во-вторых, что запись ответа существенно отличается от записи ответов аналогичных уравнений и неравенств без параметра. 

Сказанное выше указывает на актуальность выбранной темы.

        Целью  спецкурса является изучение уравнений, неравенств и их систем с параметрами

        Для этого нужно будет решить следующий комплекс вопросов:   - рассмотреть задания с параметром, классифицировать их по способам решения;

  - рассмотреть основные типы графического способа решения задач с параметрами;

 

   Данный спецкурс рассматривается как элективный для 10-11 классов  (частично можно рассмотреть и в 9 классе).

   Программа спецкурса рассчитана на то, что учащиеся уже изучили графики элементарных основных функций, их преобразования, графики функций, содержащие модули.

   Программа рассчитана на 30  занятий, включая контрольную работу. Ожидаемый результат: умение решать графически задания с параметром

 

Учебно-тематический план.

Тема

Кол-во часов

1

Определение параметра. Алгоритм решения заданий с параметром графическим способом

2

2

Задания с параметрами вида f(x)=а

2

3

Задачи с параметрами вида f(x)=

4

4

Системы уравнений, где одно из уравнений с параметром

4

5

Неравенства с параметром вида f(x)= и системы неравенств

4

6

Системы двух линейных уравнений, где оба уравнения с параметром

1

7

Уравнения с параметром, решаемые в системе хоа

3

8

Системы неравенств с параметром, решаемые в системе хоа

4

13

Решение заданий с параметрами

5

14

Контрольная работа

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 1.

Графический способ решения заданий с параметрами    Что же такое уравнение с параметром?

    Если уравнение f(x;a)=0 нужно решить относительно переменной х, а под а понимается произвольное действительное число, то уравнение называют уравнением с параметром а .

Рассмотрим графический метод решения заданий с параметрами.

Лучше всего этот метод работает в тех случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве корней в зависимости от значений параметра или определения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно. 

Графическое представление уравнения или системы уравнений с параметром обладает несколькими несомненными преимуществами: вопервых, построив график (графики), можно определить, как влияет на них и, соответственно, на решение уравнения изменение параметра; во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи и, втретьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве корней уравнения, об их границах и т.д. 

       Алгоритм решения заданий с параметром вида f (x) v g(a;х)

1.     Ввести функции f(x) и g(x), так что f(x)-статистическая функция (без параметра), g(x)- динамическая (с параметром).

Пример:  

                

               f(x) =      g(x) =  

2.     Провести полное исследование функции f(x):

-   D(f)

-Непрерывность

Оставшийся анализ по типу функций

А) – линейная

Б)  – квадратичная (парабола)

-   ветви

     -вершина, сжатие, -коэффициент сжатия

В)  – окружность

  центр,  - радиус

 

           Г)  – гипербола

                      X=a

                     Y=b  асимптоты,   -коэффициент сжатия                   k>0 – функция убывает                   k<0 – функция возрастает

           д)  

                 - исходная точка

           Е)  

                Асимптота х=0, М(1;0),

                  a>1 – функция возрастает                   0 < a<1 – функция убывает

           Ж) - показательная

                  Асимптота у=0, М(0;1)

                   a>1 – функция возрастает

                  0 < a<1 – функция убывает

             З)Анализ функций, содержащих модули.

1)   Найти нули модулей                            

                       Нули     

2)   Смоделировать интервалы ограничения нулями модулей

I.                                                         -х+х+у=1     у=1

II.                                                           х+х+у=1     у= - 2х+1

III.                                                    -у=1     у= -1

IV.                                                   -у=1     у= -2х-1

                                                 

3. Полный анализ динамической функции g(x). У любой динамической функции есть статичные и динамичные характеристики.

Для анализа функции с параметром:

А) указать тип функции (линейная, квадратичная,…)

Б) найти все статистические параметры функции. 

В) Описать движение функции в зависимости отпараметра. Пример1: у=а(х+1)- линейная функция.

Точки пересечения с ох: у=0,  х= - 1, (- 1; 0)- статистическая характеристика.

График- пучок прямых, проходящих через точку ( – 1 ; 0)

а- угловой коэффициент.

 

           Пример 2:  у= (х – а + 1)2 + 2а - 3 – парабола

         Статистические : ветви вверх, не сжатая          Динамические: вершина ( а – 1; 2а – 3)

               

         - вершина лежит на этой прямой

           Пример 3:   – окружность

         Статистические: R=1

         Динамические: О(а ; - 3)- центр окружности лежит на прямой у= - 3

4.     Изобразить на координатной плоскости статистическую функцию f(x), а затем нарисовать такие случаи динамической функции, чтобы были выполнены касания со статистической.

5.     Исследовать все случаи касания:

1)Если точка касания очевидна, то ее координаты подставить в g(x) и найти параметр.

2)               если точка касания неочевидна и касающиеся функции степенные со степенью не выше 2, то решение уравнения f(x)= g(x) сводится к решению квадратного уравнения и условию D=0.

3)если точка касания неочевидна, а касающиеся функции разных типов, то параметр находится из условия:.

6.     Исследовать вопрос задачи между каждым случаем касания и в них.

7.     В ответе указать нужный случай.

 

Тема 2.

Задания с параметром вида f (x) = a

 

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение

2)               - 5 | х | +4 |=а имеет максимальное количество корней

| х

            Решение:                                                           

Строим  

 

С помощью элементарных преобразований строим график данной  функции . g(x)= а- прямые, параллельные  ох.

 

Проводя прямые у = а , убеждаемся, что при а < 0 они не имеют общих точек с графиком функции

 ;

 при а=0 - четыре общие точки; при 0 - восемь;  при а=2,25 – шесть; 

при 2,25 -четыре;  при а=4 – три;  при а4 –две.

Ответ: Максимальное число корней уравнения | х2 - 5 | х | +4| = а равно восьми.

Пример 2. Определите при каких значениях параметра а количество различных корней уравнения

2 -4x + 3| = 3a-2a2

больше двух..

Решение. Обозначим  f(х) = |х2 - 4х + 3| и g ( x) = 3а - 2а2.

 f(х) = х2 - 4х + 3 – парабола с вершиной (2; -1), ветви вверх. f(х) = |х2 - 4х + 3| получаем из параболы, симметрично отображая график относительно ох для у.

g (x ) = 3а - 2а2 – прямая, параллельная ох

 

Из рисунка  видно, что уравнение имеет:

 при А < О - 0 корней при А=0  -  2 корня при 0 < А < 1 - 4 корня  при А =1 - три корня при  А > 1 – 2 корня уравнение имеет больше двух корней при  при 0 < А  1. А=3а - 2а2

  

Ответ: а(0;;1,5)

Пример 3. При каких значениях параметра  уравнение

   имеет ровно три корня? е: Построим функциюf(х)=  

Нули модулей: 2; 4; 1;5.

Если х, х, то f(х) =

                                 f(х) = - парабола, хв=3, ув=-5 если , то f(х) =                                   f(х) =  – прямая

если , то f(х) =

                             f(х) = - парабола, хв=3, ув=5

 

по графику:

                     

                    корня                      

                    корня

Ответ:  

   Пример 4. Найти все значения параметра , при каждом из

которых график функции f(х)=  пересекает ось абсцисс более чем в двух различных точках.

Решение: Переформулируем задачу: при каких значениях параметра , уравнение    имеет более двух корней. Построим функцию f(х)=

Нули модуля: -3 и 1.

Если х, то f(х)=

                                  f(х)=-прямая если -3<х<1, то f(х)=

                          f(х)= - парабола хв=-0,5, ув=-3,5

                

 

По графику:

 

                                

корня

 

корень

 

Ответ:  

 

Примеры для самостоятельного решения:

1.     Найти при каком значении параметра а функция     f(х)= имеет более двух нулей.

                                                                                        Ответ: а>0

2.     Для каждого параметра а укажите количество корней уравнения

.                  

                                                   Ответ:  при <0,  - 1 корень                                                                 при  - 2 корня                                                                 при 0<  - 3 корня.

3.     При каком значении параметра  уравнение  имеет 4 решения.

                                                                        Ответ: -2,25<

4.     При каких значениях  параметра  число корней уравнения

  равно ?

                                                                               5. Найти все значения параметра , при каждом из которых график

функции f(х)=  пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

                                                                Ответ:  

6. При каком значении параметра  уравнение   имеет 3 различных  решения.

 

                                                                      

 

Тема 3.

 

                    Задания с параметром вида f (x) = g(a;х).

 

Пример 5. Определить графически количество корней уравнения   а в зависимости от значений параметра а .

Решение. Построим график функции f(см. рис.): f

Функция вида g(х)  = х2 + а задает семейство парабол, получающихся из  у = х2 параллельным переносом на а единиц вдоль оси Оу . Имеется два cлучая касания этих парабол :

 

1   случай Парабола  проходит через точки А(2;0) и B(-2;0), подставим эти значения в g(х): 0=4+,  

2   случай – через точку С(0;2), подставим 2=0+,  

 

Ответ. Если а = 2 , то один корень х = 0 ; если -4 ≤ а < 2 , то два корня; если

 а < - 4 и а > 2 , то уравнение действительных корней не имеет.

 

     

Пример 6. При каких значениях параметра а уравнение ах2 + | х – 1| = 0 имеет три решения?

Решение. Перепишем данное уравнение в следующем виде: ах2=-\х-1|. Введем функции f(х)  = -|х -1| - «уголок» с  вершиной в точке (1:0), ветви которого направлены вниз (см. рис.) .

   

Функция g(х)  = ах2 задает семейство парабол с вершиной (0;0) при а ≠ 0 и прямую у = 0 при а = 0. Изменение параметра а влияет на направление ветвей параболы.

 

 

I.Если а = 0, то прямая у = 0 и график функции у= -|х -1| имеют одну общую точку, а следовательно данное уравнение – один корень. Значение  а = 0 не удовлетворяет условию задачи.

II.                Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, и графики не имеют общих точек.

III.             Пусть а < 0, тогда ветви параболы будут направлены вниз. Рассмотрим случай касания. А-точка касания прямой у = -х + 1 и функции у = ах2 ,  Найдем при каком значении :

ах2=-х + 1,  Д=0

ах2+х-1=0 Д=1+4а=0 а=-0,25 при  а<-0,25 –два решения при а=-0,25-три решения при  -0,25<а<0 – четыре решения

                                                              Ответ:  

 

Пример 7(ЕГЭ 2013).

Найти при каком значении параметра  уравнение   имеет имеет единственный корень.

 

Перепишем уравнение:  

Пусть f ;    g(х) =

Исследуем функцию f(х)   

Д(f):  

у=

 

 

-  верхняя полуокружность с центром (1; -6) и

радиусом R=6. При этом  

g(х):  g(х)=а(х-13)

точки пересечения с ох: у=0 а(х-13)=0

                                                х=13, => М(13;0) g(х)=а(х-13)-пучок прямых, проходящих через точку М(13;0).

 

Рассмотрим случаи касания:

1)К(7;-6)-точка касания. Подставим в функцию g(х). 

       7а-13а=-6

         а=1  

2) N(-5;-6)=> -5a-13a=-6

                                   а

3) L(1;0) => a-13a=0

                              a=0 при  

        

       корня

 

        

         

         

Ответ:  

Пример 8.

Найти при каких значениях параметра  уравнение     

     имеет одно решение.

          

Введем функции:

f       и     g                            f(х): у=   Д(f):           х Е(f): у

- верхняя полуокружность с центром (3; -3) и

радиусом R=1

g(х): у=  ,   у

 

 – полуокружность верхняя с центром (a;-a) и

радиусом 1. Центр лежит на прямой у=-х

 :

1)    Точка касания (3;-2), при этом a=2

2)    Точка касания (4;-3), при этом a=4 3) При a=3 бесконечно много решений

= одно решение при .

Ответ:

Пример 9.

Решить уравнение     .

F    и   g(х)=

f. Д(f): ,  Е(f): у у2=1 – х2 х2 + у2 = 1- верхняя полуокружность с центром (0;0) и радиусом 1. G(х): у=а-х –прямая, параллельная биссектрисе II и IV координатных углов.

 

Рассмотрим случаи касания:

1)    Точка касания (-1;0)=> 0=а+1, а=-1

2)    Точки пересечения (1;0) и (0;1), а=1

3)    М- точка касания прямой у=а-х и полуокружности  Найдем при каком а:

 

Находим решения:

 

при а= -1 – 1 корень х=-1

при – 1 < а<1 графики пересекаются в одной точке 

. В этом случае решением будет

меньший корень, т.е.  

 

При а=1, два корня х=0, х=1

При 1< а <  два корня   

При а=   Прямая касается полуокружности в точке М(

При а> решений нет.

Ответ: нет корней при а>,  

Один корень х=-1 при а=-1

Примеры для самостоятельного решения:

7.              Найти при каких значениях параметра  уравнение  имеет более двух корней.

                                                       Ответ:   

8.              Найти при каких значениях параметра  уравнение 

 имеет единственное решение.                                                     Ответ:  

9.              Найти при каких значениях параметра  уравнение имеет два корня.

                                                       Ответ:   

10.          Найти при каких значениях параметра  уравнение     имеет ровно три корня.

                                                       Ответ:   

11.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет более двух корней.

                                                       Ответ:   

12.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет два корня.

                                                       Ответ:   

13.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       не имеет решений.

                                                       Ответ:   

14.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет три различных решения.

                                                       Ответ:   

15.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет два корня.

                                                        Ответ:  

 

16.          Найти при каких значениях параметра  уравнение     

  

А)имеет единственный корень и найти его;

Б)имеет ровно два корня и найти их;

В)имеет бесконечно много корней

                                Ответ: а)  

                                     Б)при Ответ:  

                                     В)при a=

17.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет единственный корень.

                                                       Ответ:   

18.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет не более одного корня.

                                                       Ответ:   

19.          Найти при каких значениях параметра  уравнение     

 имеет не более одного корня.

                                                       Ответ:  

 

20.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет три корня.

                                                       Ответ:   

21.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет единственное решение.

                                                       Ответ:  

 

22.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет единственное решение.

                                                       Ответ:  

 

23.          Найти при каких значениях параметра  уравнение          имеет единственное решение.

                                                       Ответ:   

24.          Найти при каких значениях параметра  уравнение       имеет единственное решение.

                                                       Ответ:   

25.          Решить уравнение .

                                          Ответ: корней нет при -1                                один корень х=2 при а=1, х=4 при а=0                                                          Х= пр  а

                             два корня  при 0

 

 

 

 

 

Тема 4. Системы уравнений, где одно из уравнений с параметром.

 

Способ решения данных систем уравнений точно такой же, как и решение уравнений вида f(х)= g(a;х)

 

Пример10. Определить в зависимости от значений параметра а количество решений системы уравнений

 

Р ш н  .  Введем функции:  f(х):       и     g(х):

f(х): окружность с центром (0;0) и радиусом 2 g(х):

a уравнение решений не имеет а=0, х=0, у=0 график точка (0;0)

1)  

2)   

3)  

4)  

График  квадрат , центр квадрата (0;0), сторона меняется в зависимости от а.

 

Рассмотрим случаи касания:

1) Точка касания (2;0), подставим в g(a;х). 2+0=,  2) Случай касания, когда окружность внутри квадрата.

Пусть точка А-точка касания.  ∆АОВ- прямоугольный. ОА=2-катет=

гипотенуза ОВ=2. 2 По графику:

При  решений нет

При  

При  каждая сторона имеет две общие точки с окружностью, а значит, система будет иметь восемь решений. 

При  а = 2 четыре решения

 При а > 2система решений не имеет.

Ответ. Е    а <2     а , то решений нет; если 2 < а < 2, то восемь решений; если а = 2 или а , то четыре решения.

 

х2 у2 4  Пример 11.Решить систему уравнений  ?

уха

 

Р ш н 

Введем функции:  f(х):       и     g(х):у=х+а f(х): окружность с центром (0;0) и радиусом 2

g(х):у=х+а- прямые, параллельные у=х

 

Рассмотрим случаи касания:

1) Точка С- точка касания окружности и прямой. Найдём координаты т.А из треугольника ОСА – прямоугольного. ОС=2=R, ОС=СА=2. По теореме Пифагора ОА2=ОС2+СА2. ОА2=4+4=8. ОА=2.

Следовательно, А(0; -2) и К(0;2), следовательно прямая 2 – y=x-

2. y=x-

              y=-=.    С(;-) при а<-2 - нет решений

при    одно решение ( при -2<<2 - 2 решения

Найдём точку пересечения x2+y2=4 ; y=x+a. х2+(х+а)2=4 х22+2ах+а2=4

+2ах+(а2-4)=0

при а>2 - нет решений

Ответ: при а, а>2   - нет решений

При а=-2  - 1 решение (

При а= - 1 решение (-)

При -2<а<2 - 2 решения

 

.

 

Пример 12. Пр  каких значениях параметра а система уравнений

 

имеет ровно два решения? Р ш н  . Введем функции: f(х): 

 (у + 8 - х2 )(2х+| у |) = 0 <=>    (1)

х

Заметим также, что                                      х

Геометрическое место точек плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют совокупности (1) состоит из параболы у = x2- 8 и двух лучей, лежащих на прямых у = 2х и у = -2х.

 

 

g(a;х): Графиками функции у = 2ах-(8+а2) при разных значениях а

являются прямые.

Определим, при каких значениях параметра а прямая, заданная уравнением у = 2ах-(8+а2)  является касательной к параболе у = х2 - 8 . Для этого используем условие касания графиков функции f (х) и g(x), состоящем в том, что в точке касания совпадают значения производных функций и

ординаты графиков . В нашем случае имеем  

 

Из первого уравнения получаем х = а . Второе уравнение при этом превращается в тождество. Следовательно, при каждом а эти прямая и парабола касаются в точке с координатами (а, а2 -8). Соответственно при любом значении а исходная система имеет решение , а2 - 8).

При разных значениях а имеется четыре критических положения прямой  у = 2ах-8-а2 (см. рис.):

I.           Прямая параллельна прямой y = 2x. Так как угловой коэффициент этой прямой равен 2, то из уравнения 2а = 2 получаем а =1.

II.         Прямая параллельна прямой у = -2х. Так как угловой коэффициент этой прямой равен -2. то из уравнения = -2 получаем а = -1.

III.      Прямая проходит через точку А (точку пересечения прямой у = 2х и параболы при х ≤ 0). Из уравнения х2 -8 = 2х получаем х = -2 и х = 4 (не подходит). В этом случае а =-2.

IV.      Прямая проходит через точку В (точку пересечения прямой у = -2х и параболы при х≤0). Из уравнения х2 - 8 = -2х получаем х = -4 и х = 2 (не подходит). В этом случае а = -4.

Точки -4,-2,-1 и 1 разбивают числовую прямую Оа на промежутки. Замечаем (см. рис.), что условию задачи удовлетворяют все а такие, что  а  [-1; 1)и{-4}и{-2}. При этих значениях параметра система (2) имеет два

решения.

Отв т: а - -4, а = -2, -1 ≤ а < 1.

 

Пример 13.  Найти все значения параметра а, при каждом из которых

система  

имеет единственное решение.

Решение. Введем функции:

f(х):  у2 + ху - 7х -1 4 у + 49 = (у2 -14у + 49) + (ху -7х) = = (у- 7)2 + х(у - 7) = (у - 7)(у + х - 7).

Тогда первое уравнение системы равносильно совокупности двух линейных уравнений.

 при х 

g(a;х): у = ax + 1 задает семейство прямых, проходящих через точку с координатами (0; 1).

 

Исходная система будет иметь единственное решение при тех значениях параметра а, при которых соответствующая прямая из этого семейства имеет только одну точку пересечения с прямой у = 7 или прямой у = -х + 7 в полуплоскости, расположенной правее прямой х = 3 (см. рис. 25).

 

Имеется четыре критических положения для прямых у = ах +1:

I.          Прямая у = ах +1 проходит через точку А(3; 7). Из уравнения 7 = За1+ 1 получаем а = 2.

II.       Прямая у = ax+1 проходит через точку пересечения прямых х = 3 и  у = -х + 7 с координатами В(3; 4). Из уравнения 4 = За2 + 1 получаем а=1.

III.     Прямая у=ах+1 параллельна прямой у =7, т.е. а = 0 . IV. Прямая у = ах +1 параллельна прямой у = -Х+ 7, т.е. а = -1.

При -1 решений нет  нет решений

 -одно решение

 - одно решение

 - два решения

- два решения

 -одно решение

 - одно решение

 - нет решений

Ответ. (-1; 0]  (1; 2].

Пример 14. Найти при каких значениях параметра  система

уравнений  имеет ровно два решения.

Решение: f(х):  

Нули модуля  

I.                        х+2у+2у-3х=12

 

II.                     х+2у-2у+3х=12,   х=3

III.                  х-2у-2у+3х=12,   у=х-3

IV.          2у+3х=12,   у=

V.             2у+2у-3х=12,  х=-3

VI.          -х+2у+2у-3х=12,    у=х+3

g(a;х): - окружность с центром (0;0) и R

 

Случаи касания:

I.                   Окружность внутри шестиугольника. Точка А- точка касания.

Треугольник ОАВ- прямоугольный. ОВ=3,   2 ОА2=9,  ОА,

ОА=

II.                (3;0)-точка касания. R=3.  

III.             С-точка касания и точка пересечения прямых  Х=3 и  У= = у=4,5.

ОС

   По графику:

При   нет решений

При =4,5 два решения

При 4,5 четыре решения

При  четыре решения

При 9  четыре решения

При  два решения

Ответ: 4,5; 29,25.

 

Пример 15. Найти при каких значениях параметра  система

уравнений  имеет единственное решение.

f(х):  - окружность с центром О(5;3) и R=2.

g(a;х):  – окружность с центром

(1+4 и радиусом R=3.

- центр лежит на этой

прямой.

 

. Касание внешним образом Окр1(О;ОА)  О(5;3),  ОА=2. Окр211А)   О1(4; 3,   О1А=3 d(ОО1)=ОА+О1А. по формуле расстояния между двумя точками.

 

 

II. Касание внутренним образом. Окр1(О;ОА)  О(5;3),  ОА=2

Окр322К)   О2(4; 3     • ОК=2, О2К=30,  О2О=О2К – ОК

 

                        

 

Примеры для самостоятельного решения:

 

26.   Найти при каких значениях  система уравнений  

 имеет ровно четыре решения

                                                          Ответ:  

27.   Найти при каких значениях  система уравнений    имеет единственное решение.

                                                                                  Ответ:  

28.   Найти при каких значениях  система уравнений   

имеет наибольшее число решений.

                                                                             Ответ:  

29.   Найти при каких значениях  система уравнений   имеет ровно два решения.

                                                                              Ответ:   

30.   Найти при каких значениях  система уравнений   имеет

решения.

                                                                              Ответ:   

31.   Сколько решений имеет система уравнений       в зависимости от параметра .

                                         Ответ: нет решений при ;                                                       четыре     решения при ;                                                        восемь решений при 1.

32.   Найти при каких значениях  система уравнений    имеет ровно два различных решения.

                                                                     Ответ:  33. Найти при каких значениях  система уравнений 

 

А) имеет ровно два решения;

Б) имеет ровно четыре решения;

В) Имеет ровно шесть решений; Г) имеет ровно восемь решений;

Д) не имеет решений.

                                            Ответ: а)  

                                                        Б)  

                                                        В)  

                                                               Г)  

                                                              Д)  

34. Найти при каких значениях  система уравнений   имеет единственное  решение.

                                                                                    Ответ:  

35. Найти при каких значениях  система уравнений   имеет

решения, удовлетворяющие условиям  

                                                                                   Ответ:  

36. Найти при каких значениях параметра а система уравнений 

имеет единственное решение.

                                                                                      Ответ: 4; 64

37. Найти при каких значениях  система уравнений     имеет ровно два решения.

                                                                                      

38. Найти при каких значениях  система уравнений     имеет ровно три решения.

                                                                                  Ответ: 2+.

39. Найти при каких значениях  система уравнений  

  имеет ровно восемь решений.

                                                        Ответ:  

40. Найти при каких значениях  система уравнений   имеет три различных  решения.

                                                                                Ответ: -

41. Найти при каких значениях  система уравнений    имеет

ровно пять решений.

                                                                                Ответ:

42. Найти при каких значениях  система уравнений   

имеет единственное решение.

                                                                  Ответ:  

43. Найти при каких значениях  система уравнений   

имеет единственное решение.

                                                                  Ответ:  

 

 

 

Тема 5.

Неравенства вида f(х) v g(a;х) и системы неравенств. Начало решения неравенств точно такое же как у уравнений. На последнем этапе решения находим промежутки, где одна функция лежит выше другой.

Пример 16.

Найти при каких значениях  множеством решений неравенства   является отрезок.

Решение:  f

Д(f): х.  Начальная точка (3;2). Нижняя ветвь.

g(a;х): у=-функция модуль х., график «уголок» с вершиной на оси х, лучи вверх.

 

Рассмотрим случаи касания:

I.                   А(-1;0),   

II.                В(3;2),  

III.             С-точка касания функций у=  и у=х-.

Найдем  решив уравнение

 

 

Условие касания- Д=0.  Д=9+12

                                                                    

IV.             

Смотрим по графику, когда функция у=  лежит выше функции  у=х-, это и есть решения неравенства.

 При  решений нет

При  решение есть отрезок.

При   решение так же является отрезок

                                                                         Ответ:  

Пример 17. Решить неравенство . f(х)=х –прямая

g. График этой функции может быть

          получен из графика функции g(х)=    х сдвигом вдоль оси ох на .

 

Графики могут пересекаться в двух точках, в одной точке и не пересекаться. Найдем графическое решение неравенства в каждом из этих случаев и выясним при каком значении параметра получается соответствующее множество.

I.                   Пересекаются в двух точках, найдем их

,  2х=х2,  х=0. Х=2, решение х

II.                В-точка касания функций. Найдем  уравнения, при условии

 

Д=1-. Решений нет при  

III.             При 0 решением неравенства является множество , где х1 и х2 корни уравнения .

 

IV.             х0-решение уравнения g(х)=0, х решение (

Ответ:  (0;2) при  

             Нет решений при  

             ) при 01               .

 

 

Пример 18. При каких значениях параметра а неравенство х

имеет хотя бы одно неположительное решение?

 

Р ш н  . Приведем неравенство к виду х2 + 2х + 1 < (х - а) - 3 | х - а | +4.

График функции у = х2+2х + 1 =  (х+1)2 - парабола, полученная из  у = х2, параллельным переносом влево вдоль оси Ох на 1 (см. рис.).

График функции

Уа(х)=(х-а) - 3 | х - а | +4, стоящей в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получается из графика функции

    х

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            х              х

параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох (см. рис.).

Решением исходного неравенства является множество всех таких х, для которых точки на графике функции

у а (х) расположены не ниже точек графика функции у = (х + 1)2.

Имеется два критических положения графика функции уа(х), удовлетворяющих условию задачи.

(I)     График функции у а (х) проходит через точку А(0; 1) как указано на рис. Из уравнения 4(х - а) + 4 = 1 при х = 0 получаем а = 0,75 .

(II)  График функции уа (х) проходит через точку В как указано на рис. . В этом случае прямая у = -2(x-а) + 4 является касательной к графику функции у = (х + 1)2. В этом случае совпадают значения производных от функций в точке касания и значения ординат точек касания графиков. Из условия

2 +2x + l)1 = (- 2(х -а) + 4) 1 получаем уравнение 2х + 2 = -2, т.е. х= -2- абсцисса точки касания графиков. Тогда из условия совпадения ординат получаем (-2 +1)2 = -2(-2 - а) + 4 или  а= -3,5.

Следовательно, при - 3,5 ≤ а ≤ 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.

Отв т. - 3,5 ≤ а ≤ 0,75 .

 

Пример 19. При каких значениях параметра  система     имеет        единственное решение.

-

- область между данными прямыми.

g(х):  - окружность с центром О() и

RЦентр окружности лежит на прямой у=2х.

 

Окружность не может располагаться между прямыми, т.к. в этом случае будет много решений.

Рассмотрим случаи касания, когда окружность лежит вне заштрихованной области.

I.                   В-точка пересечения прямых у= -0,5х+5 и у=2х. Найдем точку. - 0,5х+5=2х Х=2, у=4.

В(2;4) подставим точку В в уравнение окружности.

Д=81

-не удовл. Усл, т.к. , иначе центр попадет

внутрь области

II.                С-точка пересечения прямых у= -0,5х-6 и у=2х. Найдем точку.

- 0,5х-6=2х

Х=-2,4, у=-4,8.  Т.к. х, тоска С не подходит

III.             Рассмотрим . График g(х)-точка с координатами (-2;-4),

подставим в f(х):  (верно)= (-2;-4)-решение.

                                     Ответ: -2; 3

Пример 20. При каких значениях параметра  система     имеет решение.

Решение:

f   

 

 

В итоге по графику получается область, ограниченная прямой у=1 сверху и прямой х=1 слева.     

g(х): 4 – окружность с центром О(, лежащем на прямой у=х и радиусом R=2.

Рассмотрим случаи касания окружность этой области. I.      Окружность с центром О1(-1; -1)=

        II.       Окружность с центром О2(3; 3)=

При   система решений не имеет, при остальных значениях решения есть.

                                                 Ответ:  

Пример 21. При каких значениях параметра  система неравенств    имеет хотя бы одно решение.

Решение: f(х):  

          - область выше этой прямой.

g(х): - круг с центром (, лежащем на прямой у=х  и  радиусом  R=.

 

 

При R=0,  решений нет.

при круг движется вверх, при  вниз.

Если окружность и прямая  касаются, то точка касания лежит на прямой и окружности. Подставим  в уравнение окружности:   Условие касания Д=0

 

Д=

Д=  

-условия касания.

Система имеет решения при        .               Ответ: .

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения.

44. Найти при каких значениях  неравенство   имеет решения.

                                                                                   Ответ:              

45. Найти при каких значениях  неравенство  имеет решения, образующие отрезок длины 1.

                                                                         Ответ:  

46. Найти при каких значениях параметра  система 

   имеет хотя бы одно решение

                 Ответ:  

                                                  

Найти при каком значении параметра система неравенств

 выполняется хотя бы при одном значении х

 

                                                                 Ответ:  

48. Найти при каком значении  система   имеет хотя бы одно решение.

                                                                            Ответ:  

 

 Тема 6. 

Системы двух линейных уравнений, где оба уравнения с параметром. Способ решения: 

1)    Необходимо представить уравнения в виде  

2)    Система не имеет решений при условии  

Система имеет бесконечно много решений при условии  

Система имеет единственное решение при условии .

Пример 22. Определить число решений системы уравнений

.

Решение:  

Не имеет решений:  

 

= бесконечно много решений  при  

Одно решение при  

Ответ: нет решений при  бесконечно много решений , одно решение при  .

Примеры для самостоятельного решения.

49. Определить при каких значениях параметра  система уравнений   имеет единственное решение.

                                                                             Ответ: .

50. Определить при каких значениях параметра  система уравнений   не имеет решений.

                                                                             Ответ:  

51. Определить при каких значениях параметра  система уравнений   имеет бесконечно много решений.

                                                                             Ответ:  

Тема 7. 

 

Решение уравнений и неравенств в координатных плоскостях Оха и Оах.

 

Данный метод представляет собой некоторое обобщение графического метода решения уравнений и неравенств, основанного на использовании координатной плоскости Оха или Оах. В последнем случае ось Ох называют коорд натной, ось Оа - парам тр ч  кой, а плоскости Оха   Оах - коорд натно- парам тр ч  к м  (или КП - п о ко тям ).

При использовании это метода исходное уравнение (или неравенство) преобразуют к виду   а f(х)  или   x f(а). В первом случае на плоскости Оха строят график функции f(х) , а затем, пересекая полученный график прямыми, параллельными оси Ох, получают необходимую информацию. Во втором - производят построения графика функции f) на плоскости Оах. Другой вариант этого приема связан с нахождением графического решения уравнения (неравенства) вида, а затем его аналитической интерпретацией. Построение графика уравнения f(x,a) = 0 с двумя переменными х и а на плоскости Оах является основой для ответа на поставленный вопрос о решениях уравнения с параметром. Графическим решением неравенства , где символ v заменяет один и з з н а к о в > , < , ≥ , ≤ , являются множества точек (области) плоскости, координаты которых удовлетворяют данному неравенству.

При решении уравнения или неравенства f(x, a)v g(x.a) иногда удается выразить одну из переменных в явном виде, что позволяет перейти от задачи с параметром к задаче без параметра, а именно к исследованию функциональной зависимости одной переменной от другой.

Для решения неравенств полезным будет напомнить одно простое утверждение: пусть имеется график функции у = f(x), тогда множество точек плоскости,  расположенных выше графика, будет геометрическим изображением решения неравенства у >  f(x ), а для точек, лежащих ниже графика – неравенства  у <f(x).

 

Уравнения с параметром, решаемые в системе хо.

 

Пример23При каких значениях а уравнение х2 - (4а - 2) | х | +3а2 -2а =0  имеет два различных решения? Р ш н  . Пусть | х | = t,  тогда получим квадратное уравнение t2 - (4а - 2)t + За2 -2а = 0,

имеющее корни t = а или t=3а - 2. Отсюда получаем | = а и | х | = - 2.

Построим графики двух функций а(х) = | х |  и , которые имеют две общие точки (-1; 1) и (1; 1) (см. рис.).

Первый график (уголок) имеет «верши- ну» (0; 0), а второй – .

 

Рассматривая семейство горизонтальных прямых, получаем всевозможные ответы для более общей задачи: для каждого значения а определите число различных решений уравнения х2 - (4а - 2) | х | +3а2 - 2а = 0 .

При а  нет корней;  при а=0 1 корень; 

при а 2 корня;  при а=2/3 – 3 корня;

 при а - четыре корня;

 при а=1 – 2 корня;  при а  - 4 корня.

Запишем ответ для исходной задачи.

Ответ: 0 < а  

 ам чан  . Здесь полезным оказался тот факт, что корни квадратного уравнения легко выразить через параметр (т.е. дискриминант является квадратом некоторого выражения). В этом случае способ решения, использующий явные выражения для корней, является одним из наиболее рациональных. Построение графика уравнения сводится к построению нескольких простейших графиков функций.

Пример 24. Решить уравнение .

Решим это уравнение графически в системе (ХОа).  Преобразуем данное уравнение: x-a=4x2-4x+1 -4x2+5x-1=a

     1)

  

пара о а

1)    D(a)=

 

2)                                               

 

3)      

 

a

 

-4x2+5x-1-a=0, 4x2-5x+(a+1)=0. D=25-16a-16=9-16a

x

1   случай: а- нет решений

2   случай: а=    1 корень х=

3   случай:     2 корня x

4   случай: а    1 корень x

 

Ответ: единственный корень  уравнение имеет при , два корня - при  , нет корней при а>.

 

Пример 25. При каких значениях параметра а имеет ровно два различных корня уравнение

) = 0?

Р ш н  . Корни данного уравнения должны удовлетворять условию 

х ≥ -2а(условие существования квадратного корня из выражения х + 2а2). Заметим, что х2 +(2-а)х-2а = (х-а)(х + 2). Тогда

 

Следовательно, корнями уравнения могут быть числа х1 = -2а2, х2 = а   и x3 = -2 . По условию задачи требуется найти значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно два различных корня. Для отбора искомых значений параметра на плоскости Оах построим графики функций х = -2а2,

 х = а и х = -2 (см. рис.). Каждая прямая а - const ,

параллельная оси Ох , пересекает каждый из построенных графиков, и ордината точки пересечения дает значение корня исходного уравнения при условии, что х≥-2а2. Точки (а, х), координаты которых удовлетворяют последнему неравенству, расположены на плоскости Оах в выделенной фоном области.

 Имеется пять критических положений этих прямых:

1) а = -2, II) а = -1, III) а = -0,5, IV) а = 0, V) а = 1.

В этих случаях они проходят через точки пересечения графиков. Точки -2,-1,-0,5,0 и 1 разбивают числовую прямую Оа на шесть промежутков. Рассмотрим каждый из них:

(I) а  (- ; - 2)   (2) а  {-2; - 1). На этих промежутках уравнение имеет три корня.

(3)       а (-1;-0,5). Уравнение имеет два корня (график функции х = -2 расположен ниже графика функции х = -2 а2).

(4)       a  (-0,5; 0). Уравнение имеет один корень, так как графики функций х = а и х = —2 - ниже графика функции x = -2а2.

(5)       а  (0; 1). Уравнение имеет два корня (график функции х = -2 - ниже графика функции х = -2а2). (6) a (1;+оо). Уравнение имеет три корня.

Соответственно при каждом из значений а = - 2, а = - 1 или а = 1 уравнение имеет два корня .

Ответ. {-2}  [-1;-0,5)  (0; 1].

Пример 26. Определить количество корней уравнения 

3|х + а\ + 2|х - а\ = 2 в зависимости от значений параметра а. Данное уравнение равносильно совокупности четырех систем:

 

Решения первой системы образуют отрезок ВС, решения второй системы составляют отрезок АВ, решения третьей системы дают отрезок ДС и решения четвертой системы отрезок АД.

Таким образом, координаты всех точек плоскости, принадлежащих сторонам параллелограмма ABCD, составляют множество решений данного уравнения. Определим координаты точек А, В, С, D. Для этого решим системы, составленные из уравнений прямых линий

 

а = -5х + 2 (ВС), а =   а =  х –), а = -5х — 2 (AD) пересекающихся в вершинах параллелограмма. Получим:

 

 

Рассматривая прямые а = const в пересечении с параллелограммом, получаем ответ.

Отв т. При а < -0,5 или а > 0,5 нет корней; при а = -0,5 или а = 0,5 один корень; при -0,5 < а < 0,5 два корня.

Пример 27. (ЕГЭ 2010, С5). Найти все значения а, при каждом из которых уравнение

х2 + + 4)2 = | х + а + 4 | +| х а – 4 | имеет единственный корень.

Решение. Введем обозначение а + 4 = b, тогда уравнение примет вид

 

Раскроем знаки модулей и построим графики  полученных уравнений в плоскости bOx.

 

 

График уравнения состоит из четырех полуокружностей. Проводя прямые, параллельные оси х, получим одну общую точку с построенным графиком при b=-2 или b=2. Функция а(b)=b-4 с переменной b является возрастающей, поэтому каждому значению b соответствует единственное значение а. Таким образом исходное уравнение имеет единственное решение при  а=-6 или а=-2.

Ответ: - 6; - 2.

 

 

Примеры для самостоятельного решения.

52. Найти при каком значении параметра  уравнение   имеет единственное решение.

                                                                         Ответ:  

53. Найти при каком значении параметра  уравнение     имеет три корня.

 

54. Найти при каком значении параметра  уравнение имеет единственное решение.

 

55. Найти при каком значении параметра  уравнение     имеет четыре различных решения.

  

56. Найти при каком значении параметра  уравнение

   имеет решения и все решения принадлежат отрезку .

 

57. Найти при каком значении параметра  уравнение

   имеет решения и все решения принадлежат отрезку .

                                                                     Ответ:  

 

58. Найти при каком значении параметра  уравнение   имеет ровно три различных

решения.

 

 

Тема 8. 

Решение системы неравенств с параметром в системе хоа.

Пример 28. Решить систему неравенств в зависимости от значений параметра а.

Решение. Преобразуем исходную систему уравнений к виду

. Выполним построения

графиков функций а = х 2 + х и а= -х 2 + 2х +1 на плоскости Оха (см. рис.). Оба графика задают параболы. 

а=х2 +х-парабола с вершиной (, ветви направлены вверх а= -х 2 + 2х +1-парабола с вершиной (1; 2), ветви вниз.

 

Координаты точек пересечения построенных графиков найдем из уравнения х2 + х= 2х – х2 +1. Его корнями являются числа  х1 = —0,5 и х2 = 1.

Корень х1 совпадает с абсциссой вершины первой параболы, х2 - второй параболы. Область решения на рисунке заштрихована. Система имеет решения при -0,25 ≤ а ≤ 2 . 

При а=-0,25, а=2 одно решение х=-0,5; х=1 соответственно.

При -0,25 решение отрезок - [х3; х4 ], где х3 - меньший из корней уравнения

х2 - 2х + а -1 = 0,  х- больший из корней уравнения х2 + ха  

 

Ответ:  

Пример 29. Найти при каких значениях параметра а система неравенств   имеет решение.

Решение: Разложим на множители первое неравенство:

Д=

 

- область между прямыми х=а  и х=2а-2,

причем прямые рисуются пунктиром.

 

 

 

А и В как точки пересечения прямой х=2а-2   гиперболы

 

                           –точка А                          -точка В.

1    a=1

 и видим.что система имеет решения

при  

                                         Ответ:  

 

 

 

 

 

Примеры для самостоятельного решения:

59.Найти при каких значениях параметра а система неравенств   имеет хотя бы одно решение.

                                                                       Ответ: а

60.Найти при каких значениях параметра а система неравенств   имеет единственное  решение.

                                                          Ответ: а=-1,25, а=5

 Найти при каких значениях параметра а система неравенств   имеет решение.

                                                                                          Ответ:

62. Найти при каких значениях параметра а система неравенств   имеет решения.

                                                                    Ответ:(-1; 0)

Найти при каких значениях параметра а система неравенств   имеет решения.

                                             Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература.

 

1.     Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. – Львов. Журнал «Квантор», 1991. 

2.     Иванов А.П. Тематические тесты.

3.     Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений. Математика ЕГЭ 2011 (типовые задания С5)

4.     Кочарова К.С. Обуравнениях с параметром и модулем//Математика в школе.М.:Просвещение, 1995-№2 стр2.

5.     Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. – М.: Школа-Пресс,

1995. 

6.     Родионов Е.М. Решение задач с параметрами: Пособие для поступающих в вузы. – М.: МП «Русь-90», 1995. 

7.     Прокофьев А.А. Задачи с параметрами. Пособие по математике для учащихся старших классов.  Москва, МИЭТ,2004

8.     Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991.  9. Шестаков С.А., Юрченко Е.В. Уравнения с параметром. – М.: Слог, 1993. 

10. 12. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Наука, 1989.  11. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1986.

12.  www.alexlarin.narod.ru

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Краткое описание документа:

Разработка представляет собой программу элективного курса "Графический способ решения задач с параметрами".

На программу есть рецензия кандидата педагогических наук, доцента кафедры высшей математики ПГГПУ Шеремет Г.Г.

Решение уравнений инеравенств, содержащих параметр, является одним из самых трудных разделов математики. В последние годы задачи с параметрами регулярно встречаются в варинатах ГИА и ЕГЭ.

Представленный эллективный курс предназначен для учащихся 10-11 классов, с частичным использованием в 9 классе. В программе достаточно методического обеспечения. Развертывание материала структурировано таким образом, что изучение всех последующих тем обеспечивается предыдущими темами.

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 896 417 материалов в базе

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 22.11.2014 304
    • PDF 1.4 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Пушкарёва Елена Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Пушкарёва Елена Юрьевна
    Пушкарёва Елена Юрьевна
    • На сайте: 7 лет и 8 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 5572
    • Всего материалов: 7

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой