Программа элективного курса по математике для учащихся 10-11-х классов «Делимость целых чисел: от учебных задач до олимпиадных»

Программа

элективного курса по математике

для учащихся 10-11-х классов

«Делимость целых чисел: от учебных задач до олимпиадных»

   Шмадченко Евгения Александровна, учитель  математики

МОУ «Лицей №1 Красноармейского района Волгограда».

Программа элективного курса «Делимость целых чисел : от учебных задач  до олимпиадных» предлагается для изучения в 10-11 классах  и рассчитана на 34 часа. Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом, методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. Знание различных нестандартных свойств  делимости позволяет получать короткие и красивые решения сложных олимпиадных задач и задач ЕГЭ части С.   Однако программой школьного курса  не предусмотрено детальное изучение данной темы. Это возможно  сделать в рамках элективного курса.

      Данный курс направлен на  расширение и углубление базового уровня знаний учащихся по алгебре, является предметно-ориентированным. Он позволит школьникам  расширить знания, использовать эти знания при решении различных по содержанию и уровню сложности задач, наиболее качественно подготовиться к математическим олимпиадам, сдаче ЕГЭ. Тематика задач, предлагаемых при изучении данного элективного курса, выходит за рамки основного курса, и уровень их трудности – повышенный.  

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников.

    Актуальность данной программы обусловлена ее практиче­ской значимостью. Применение предлагаемых свойств делимости иллюстрируется на решении многих задач из различных разделов алгебры. Учащиеся могут применить полученные знания и практический опыт при решении практических задач из других естественнонаучных дисциплин.

Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей.  Программа может быть использована в общеобразовательных и профильных классах.

          Элективный курс «Делимость целых чисел : от учебных задач до олимпиадных» позитивно влияет на мотивацию  старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла. Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.

         В основе формирования практических навыков решения математических задач лежат два главных вида деятельности учащихся: это обобщение и систематизация теоретических сведений, полученных ранее и отработка умений и навыков на практике.

         Содержание курса объединено в 4 тематических модуля: делимость целых чисел без остатка, арифметика остатков, решение уравнений в целых числах, решение нестандартных задач ЕГЭ на делимость.

Цель данного курса:

-       знакомство учащихся со свойствами  и теоремами арифметики остатков,  способами решения уравнений в целых числах;

-       сформировать понимание необходимости дополнительных знаний по решению нестандартными методами задач на делимость;

-       создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

-       подготовить к решению заданий уровня  С, содержащихся в ЕГЭ ;

-       интеллектуальное развитие учащихся; развитие высокой логической и операционной культуры;

-       развитие научно-теоретического и алгоритмического мышления учащихся; повышение уровня математической культуры; формированию обобщенных устойчивых знаний по алгебре, формирование  практического навыка применения изученных теорем при решении задач на делимость .

Логика освоения тем определяется задачами:

-       научить решать  задачи на делимость с применением свойств и теорем арифметики остатков;

-   познакомить учащихся с понятием диофантова уравнения, историей его появления в математической науке; научить решать диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными различными способами;

-       научить решать текстовые задачи, описывающие различные практические ситуации, математической моделью которых являются диофантовы уравнения первой степени с двумя переменными или их системы;

-       продемонстрировать значимость математических методов в решении разнообразных задач науки и практики;

-       дополнить знания учащихся теоремами прикладного характера, областью применения которых являются задачи на делимость;

-       формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;

-       формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении  задач на делимость,

уметь определять типы заданий и подбирать к ним способы решения;

-              повысить интерес к решению нестандартных творческих задач; 

-              сформировать навыки самостоятельной работы, работы в малых группах;

-              способствовать развитию алгоритмического и эвристического мышления учащихся;

-              способствовать формированию познавательного интереса к математике;

-              создать условия формирования у учащихся способности к организации своей учебной деятельности посредством освоения личностных, познавательных, регулятивных и коммуникативных универсальных учебных действий.

Цели и задачи курса направлены на :

1) систематизацию, углубление знаний, закрепление и упрочению умений, необходимых для продолжения образования в ВУЗах;

2) получение общего представления об алгебре теории чисел как составляющей всей математики как науки;

3) развитие логической и методологической культуры составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемы в рамках общей культуры;

4) овладение общими приёмами организации действий: планирование, осуществление плана анализа и выражение результата действий;

5) получение представлений об универсальном характере математических методов.

Все тематические модули имеют  деятельностно - практический характер.

Практические задания способствуют развитию у детей творческих способностей, уме­ния создавать собственные алгоритмы решения и производить поиск рационального способа.

            Предлагаемые задачи различны по уровню сложности. Каждое занятие  состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем,  и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от  конкурсных до олимпиадных. Программа элективного курса  предполагает использование различных методов активизации познавательной деятельности учащихся, разнообразных форм организации их самостоятельной работы.

   В результате работы  по программе учащиеся должны знать:

-   теоремы и свойства арифметики остатков;

-    классификацию задач на делимость;

-   различные методы решения уравнений в  целых числах;

-   область использования полученных знаний на практике.

должны уметь:

-   применять основные  теоремы делимости целых чисел, свойства сравнений по модулю, теоремы Эйлера и Ферма;

-   решать диофантовы уравнения различными способами;

-   систематизировать знания в решении задач делимости; строить логические схемы, алгоритмы решения задач; структурировать и анализировать задачи по темам;

-   строить математические модели при решении задач делимости; должны использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни;

-   анализу математических моделей окружающего мира, выбору приемов и методов разрешения;

-   проблемных ситуаций; решения олимпиадных и нестандартных задач на делимость , воспроизводить изученные понятия;

-   самостоятельно конструировать свои знания;

-   ориентироваться в информационном пространстве;

-   самостоятельно выдвигать гипотезы, логически обосновывать суждения, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, принимать решения.

Содержание учебного курса

1) Делимость целых чисел без остатка (4 ч.)

Отношение делимости на множестве целых чисел. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения.

Отношение делимости на множестве целых чисел. Теоремы о делимости суммы, разности и произведения.

 Простые и составные числа. Основная теорема арифметики. Каноническое разложение натурального числа.

Количество делителей натурального числа. Сумма делителей натурального числа. Решение задач с использованием изученных теорем.

2) Арифметика остатков (13 ч.)

 Деление с остатком. Теорема о делении с остатком. Алгоритм Евклида  

Введение понятия  непрерывной цепной дроби. Алгоритм получения  непрерывной цепной дроби.   

Определение сравнения по модулю. Основные свойства сравнений по

модулю. Решение задач повышенной сложности с использованием теорем  сравнения по модулю.

Система вычетов. Арифметические операции над классами вычетов и их свойства. Решение задач с использованием операции над классами вычетов.

Периодичность остатков при возведении в степень.

Теоремы Эйлера и Ферма. Решение задач повышенной сложности с использованием теорем Эйлера и Ферма.

3) Решение уравнений в целых числах (12 ч.)

Определение диофантовых уравнений. Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида. Вывод формул для целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения алгоритма Евклида.

 Решение уравнений с использованием алгоритма Евклида.

Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби. Формулы целых решений диофантова уравнения первой степени с двумя переменными на основе применения цепных дробей. Решение уравнений с использованием цепной дроби. Решение текстовых задач.

Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений. Алгоритм решения диофантова уравнения методом измельчения коэффициентов. Пифагоровы тройки. Решение диофантовых уравнений и их систем с использованием других приемов и методов.

4) Решение нестандартных задач ЕГЭ на делимость (4ч.)

Итоговое занятие (1 ч.)

 

Тематическое планирование

№	Наименование тем курса	Всего часов	В том числе
			теория	практика
1	Делимость целых чисел без остатка Цель: дать определение канонического разложение натурального числа,     изучить основные теоремы о делимости целых чисел без остатка,  сформировать умения решать задачи на свойства делимости.	4	2	2
1.1	Теоремы о делимости целых чисел.	1	0.5	0,5
1.2	Каноническое разложение натурального числа .	1	0.5	0,5
1.3	Количество делителей натурального числа.	1	0.5	0,5
1.4	Сумма делителей натурального числа.	1	0.5	0,5
2	Арифметика остатков. Цель: дать определение сравнения по модулю, изучить свойства сравнений, сформировать умения решать задачи с использованием теорем Эйлера и Ферма.	13	5	8
2.1	Деление с остатком.	1	0,5	0,5
2.2	Непрерывные цепные дроби.	1	0.5	0,5
2.3	Сравнения  по модулю.	1	0.5	0,5
2.4	Основные свойства сравнений по модулю.	2	0.5	1,5
2.5	Система вычетов.	1	0.5	0,5
2.6	Арифметические операции над классами вычетов и их свойства.	2	0.5	1,5
2.7	Периодичность остатков при возведении в степень.	1	0.5	0,5
2.8	Взаимно простые числа.	1	0,5	0,5
2.9	Теоремы Эйлера и Ферма.	1	0,5	0,5
2.10	Применение теорем Эйлера и Ферма.	2	0.5	1,5
3	Решение уравнений в целых числах Цель: дать определение диофантовых уравнений  и рассмотреть различные методы решения уравнений в целых числах.	12	4	8
3.1	Теорема о решении уравнений в целых числах.	1	0,5	0,5
3.2	Диофантовы уравнения.	1	0,5	0,5
3.3	Решение диофантовых уравнений с использованием алгоритма Евклида	1	0,5	0,5
3.4	Решение диофантовых уравнений с использованием цепной дроби	2	0.5	1,5
3.5	Метод рассеивания (измельчения) в решении диофантовых уравнений	2	0.5	1,5
3.6	Решение диофантовых уравнений  различными способами	2	0.5	1,5
3.7	Пифагоровы тройки.	1	0,5	0,5
3.8	Решение задач, с использованием различных диофантовых уравнений и их систем	2	0,5	1,5
4	Решение нестандартных задач ЕГЭ на делимость Цель:  рассмотреть решения нестандартных задач ЕГЭ части  С на делимость	4		4
5	Итоговое занятие	1		1
	Всего	34	11	23

 

 Диагностика результата освоения программы

            Результатом освоения программы курса является представление школьниками творческих индивидуальных и групповых работ на итоговом занятии. Смысл элективного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития». Специальный зачет или экзамен по курсу не предусмотрен, но предлагаются некоторые варианты выполнения учениками заданий:

1. Подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации, причем выбор делают сами ученики, оценивая свои возможности и планируя перспективу развития.

2.   Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из того же раздела. Работа в группе способствует проявлению интереса к учению как деятельности.

      Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается:

1) Самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией (программные продукты Microsoft Power Point).

2)  Самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решений.

3) Самостоятельное построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.

4) Самостоятельный подбор задач на изучаемую тему курса из дополнительной математической литературы.

В ходе решения этих заданий учащиеся должны показать понимание теоретических основ способов решения уравнений и уметь решать задания из «Задач для самостоятельной работы» (подбор индивидуальных заданий осуществляется с учетом уровневой дифференциации).

Итоговое занятие предлагается провести в форме круглого стола с презентациями каждого модуля курса.

       Формы подведения итогов обучения:

      - защита проекта, исследовательской работы;

      - выполнение заданий творческого характера индивидуально или в группах.

 

Методическое обеспечение программы.

      В процессе изучения данного курса предполагается использование различных методов активизации познавательной деятельности школьников, а также различных форм организации их самостоятельной работы. При реализации программы предусматривается применение следующих дидактических форм и методов:

-       тематические лекции, эвристические беседы;

-       семинары с выступлениями и докладами учащихся;

-       практикумы по решению задач;

-       индивидуальные консультации;

-       частично-поисковая деятельность, исследования, создание проектов, написание рефератов.

           Для воплощения целей и задач курса целесообразно применять технологии, включающие учащихся в активную учебно-познавательную деятельность, обеспечивающие личностное развитие каждого ученика.

Используемые технологии:

– проблемное обучение, предусматривающее мотивацию к исследованию путем постановки проблемы, обсуждение различных вариантов решения проблемы;

 – лекционно-семинарская система обучения;

– информационно-коммуникационные технологии;

– технология деятельностного  метода, помогающая выявить познавательные интересы школьников; 

– дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы;

 – использование исследовательского метода в обучении.

       Позиция педагога при проведении данного элективного курса меняется в зависимости от этапов освоения программы. Он выступает информатором только в тех случаях, когда является единственным обладателем информации. Большую часть учебного времени учитель выполняет функции советника, консультанта, поддерживающего интеллектуальную активность учащихся, и наблюдателя за процессом практической работы учеников. Позиция равноправного участника - самая предпочтительная при проведении групповых обсуждений и индивидуальной работы.

     Программа мобильна, т.е. дает возможность уменьшить количество задач по данной теме (так как многие задания предназначены на отработку навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов.

        Содержание курса позволяет учащимся любого уровня активно включиться в учебно-воспитательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать и доступные вопросы, интересные всем учащимся. Высоким результатам в обучении способствуют  методические технологии, обеспечивающие динамику индивидуальной траектории обучения, способные учесть реально достигнутый уровень образования и воспитания учащихся.

Сведения о материально – техническом оснащении, необходимом для реализации программы

       Для реализации данного курса на занятиях необходимо использовать проектор, компьютер, программные продукты Microsoft Power Point, приложения Microsoft Office.

          К каждому модулю разработано материально-дидактическое сопровождение:

- объяснительный материал, раскрывающий основные цели и особенности использования приводимого материла;

 - подбор задач по теме модуля;

- указания к решению задач;

 - презентации, слайд-лекции, позволяющие полнее раскрыть идеи и методы решения определенного вида задач.

          Курс является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты, использовать различные приемы подачи материала, например, создание слайдов в программе PowerPoint и их трансляция с помощью медиапроектора. Можно развивать тематику или заменять какие-либо разделы другими, главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям

Список  использованных  источников

 

Литература для учителя

1.     Алфутова, Н.Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. [Текст] / Н.Б.Алфутова, А.В.  Устинов. – М .: МЦНМО, 2002.— 264 с.

2.     Арнольд ,В. И. Цепные дроби [Текст] / В.И.Арнольд —М.: Изд-во МЦНМО, 2009. — 40 с.

3.     Бардушкин, В.Н. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный  курс. [Текст] / В.И.Бардушкин , А.А.Прокофьев –М.: МГИЭТ (ТУ), 2003. —224с.

4.     Башмакова, И. Г. Диофант и диофантовы уравнения [Текст] / И. Г. Башмакова. — М. : Наука, 1972. — 63с.

5.     Виленкин ,Н.Я. Сравнения и классы вычетов. –Квант. –1978. –№ 10.–

С.4–8.

6.     Геронимус ,А. Сравнения по простому модулю. – Квант. – 1978. – № 11. – С.6 –10

7.     Мордкович ,А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс.В 2 частях. Часть 1. Учебник (профильный уровень). [Текст] / Н.Г.Мордкович, П.В. Семенов / 6-е изд., стер. - М.: Мнемозина,2009. —424 с.

8.     Пратусевич, М .Я. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра [Текст] / /Под ред. А.Л. Семенова , И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. – 48 с.

Литература для учащихся

1.     Сканави, М.И. Сборник задач по математике. [Текст] / М.И.Сканави -М.: ОНИКС 21 век  -  2003г.-695с

2.     Ткачук, В.В. Математика – абитуриенту. [Текст] / В.В.Ткачук-М.: МЦНМО , 2004.-966с

3.     Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач : Учеб.пособие для 10 кл. сред. шк. [Текст] / И. Ф. Шарыгин – М.: Просвещение, 1989. —352с.

Цифровые образовательные ресурсы

1. Информационно-поисковая система «Задачи» [Электронный ресурс]. – Режим доступа :http://zadachi.mccme.ru /easy

2. Конкурсные задачи по математике: справочник и методы решения [Электронный ресурс]. – Режим доступа:http://mschool.kubsu.ru/

cdo/shabitur/kniga/tit.htm

 3.Корянов ,А.Г. Задачи на целые числа (типовые задания С6) [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/2011/C6-2011.html

4..Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа:http://reshuege.ru

Краткое описание документа:

Программа элективного курса «Делимость целых чисел : от учебных задач до олимпиадных» предлагается для изучения в 10-11 классах и рассчитана на 34 часа. Решение различного вида уравнений является одной из содержательных линий школьного курса математики, но при этом, методы решения уравнений с несколькими неизвестными практически не рассматриваются. Большинство методов решения таких уравнений основаны на теории делимости целых чисел, интерес к которой в настоящее время определяется бурным развитием информационных технологий. Знание различных нестандартных свойств делимости позволяет получать короткие и красивые решения сложных олимпиадных задач и задач ЕГЭ части С. Однако программой школьного курса не предусмотрено детальное изучение данной темы. Это возможно сделать в рамках элективного курса.