Программа элективного курса по математике «Построение графиков функций, содержащих знак модуля»

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 города Россоши

Программа элективного курса по математике

«Построение графиков функций, содержащих знак модуля»

для учащихся 9 классов в рамках предпрофильной подготовки

Составитель:

 учитель математики МОУ СОШ №2 г. Россоши Воронежской облает

Всего аудиторных занятий -17

Формы контроля:

Обучающие самостоятельные работы, зачёт.

город Россошь 2006

Структура программы:

1)     Пояснительная записка;

2)     Цели курса;

3)     Задачи курса;

4)    Задания для самостоятельных работ учащихся;

5)     Рекомендуемая литература;

6)     Тематический план курса;

7)     Материал для учителя по содержанию курса.

Программа курса.

Пояснительная записка.

Предлагаемая тема в системе предпрофильной подготовки по математике важна, во-первых, потому, что задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и выпускных экзаменах, и, во-вторых, потому что эта тема связана практически со всеми разделами школьной программы и особенно удобна, при повторении и углубленном изучении математики. Однако опыт работы в школе показывает, что задания на построение графиков функций, содержащих знак модуля, вызывают у учащихся затруднения. В курсе алгебры неполной средней школы в действующих учебниках недостаточно для рассмотрения и решения такого рода задач. Поэтому считаю включение предметно ориентированного элективного курса «Построение графиков функций, содержащих знак модуля» в систему предпрофильной подготовки учащихся по математике целесообразным. Этот курс дополняет базовую программу, не нарушая её целостности.

В теоретической части рассматриваются приемы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины. Эти приемы и методы являются общими и применяются не только к линеёной и квадратичной, но и к тригонометрической, показательной и логарифмической функциям.

В практической части приводятся примеры построения графиков функций следующих видов:

y=f(|x|);                 у=|f(x)|;|                       |y|=f(x);

y=|f(|x|)|;               |у|=f|(x)|;                       y=|f1(x)|+|f2(x)|+ … +|fn(x)|

Задачи, предлагаемые в данном курсе интересны, что позволит учащимся повысить учебную мотивацию и проверить свои способности к математике. Чтобы способствовать процессу самоопределения учащихся и помочь им адекватно оценить себя не снизив уровень своей самооценки в организации предпрофильной подготовки по математике использую технологию деятельностного метода, которая обеспечит системные включения каждого учащегося в процесс самостоятельного овладения новыми знаниями.

Данный курс будет способствовать совершенствованию и развитию важнейших математических знаний и умений, предусмотренных школьной программой, поможет оценить свои возможности по математике и более осознанно выбрать профиль дальнейшего обучения.

В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который дает учащимся возможность самим проверять, насколько ими усвоен изученный материал. Формой итогового контроля может стать обучающая самостоятельная работа, собеседование или защита собственного проекта по теме курса.

В системе предпрофильной подготовки целью данного курса является повышение уровня математической подготовки учащихся через решение задач на построение графиков функций, содержащих знак модуля и оказание помощи в выборе профиля для дальнейшего обучения.

Цели курса:

1)      Научить приемам построения графиков функций, содержащих знак модуля.

2)     Помочь   оценить   каждому   ученику   свои   способности    с   точки   зрения дальнейшего самоопределения.

3)     Продолжить   формирование   математических   способностей    при    решении практических задач.

Задачи курса:

•      развивать способности учащихся к математической деятельности;

•      предоставить учащимся возможность проанализировать свои способности к математической деятельности;

•      познакомить учащихся с основными способами построения графиков функций, содержащих знак абсолютной величины;

•      исследовать на наглядном уровне свойства функций, содержащих знак модуля;

•      научить строить графики, содержащие знак модуля.

Задания для самостоятельной работы:

1)      Работа с рекомендуемой литературой.

2)      Самостоятельное изучение отдельных вопросов курса и решение предложенных задач с последующим разбором.

3)      Самостоятельное конструирование задач на изучаемую тему.

4)      Самостоятельный анализ своей деятельности.

5)      Популяризация математических знаний среди младших школьников.

Рекомендуемая литература:

1)      Р.Б. Райхмист. Графики функций. - М., «Школа - Пресс», 1997г.

2)      А.М.Дородное, И.Н.Острецов и др. Графики функций. - М., «Высшая школа», 1972г.

3)      Газета «Математика», №33, 2004г.

4)      Газета «Математика», №7,1998г.

5)      Л.В.Ершов, Р.Б. Райхмист. Построение графиков функций. - М.: Просвещение, 1984 г.

6)      М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре: Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 2004г.

Данный элективный курс рассчитан на 17 тематических занятий.

Тематический план курса.

№ п/п	Тема	Продолжительность, а/ч
1.	Определение модуля.	2
2.	Построение всех типов графиков, аналитическое выражение которых содержит знак модуля.
2.1	y=|f(x)|	2
2.2	y=f(|x|)	2
2.3	|y|=f(x)	1
2.4	|y|=|f(x)|	1
2.5	y=|f(|x|)|	2
2.6	y=|fl(x)|+|f2(x)|+...+|fn(X)|	2
3.	Разные задачи (предлагаемые на математических олимпиадах и вступительных экзаменах).	4
4.	Урок - зачёт	1
5.	Итого	17

Материалы для учителя по содержанию курса.

Занятие1. Определение модуля.

1.  Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само число, если оно неотрицательно, противоположное число, если а отрицательно:

|a|={
а, а ≥ О -а, а < О

2.  Геометрический смысл модуля действительного числа а:

|а| - расстояние на координатной прямой до точки а от начала координат.

\-а\               \а\

Л___ ?_____ К

о

(                 ZX

-а                                                                             а
3.   Практическая часть
№1. Вычислить

1)  |3|; |-5|; |0|                                     8) \х² + Зх + 4|

2)             |π-4|                                           9)V(a-4)² при а> 4

3)             |2 + V3|                                     10)7(л:-5)²прих<5

4)             |л/3 — л/21                              11) Vx² - 2х + 1 при х>1

5)             |2-л/3|                                     12) х² - 6х + 9 при х<3

6)             |х⁶ + 1|                                13) V25 + 10х + х² при х<-5

7)             |л/8-3|                                 14) V49 + 14х +х ² при х>-7

№2 Преобразуйте заданную функцию так, чтобы в записи её аналитического выражения не содержался знак модуля.

1)  у=                               7)у=lх-3| + |х + 2|                     ,

2)            у=|х-2|                                              8)y=|x + l|-|х-5|

3)            у=|х + 3|                                   9) у=|х - 1| + |2х + 6| - |4 - х|

4)            у=|х² +1|                                               10) у= х |х -1|

5)            у=|х² -2х + 5|                                            ID У~

6)            у=|х² – 6х + 9|                                          12) у: '"

х+2

Например:

 у=|х- 1| + |х-2|

f 3 - 2х, х < 1

Hi,   1 < х < 2

12х - 3,  х > 2

2

III

№3. Упростите выражение

1)    1(3-2л/2)² + 3

[3-2V2 + 3]

[1]

2)  ^(4-3V2)²-3V2                    [-4]

3)  J(2-V5)²+J(3-V5)²

4) J(V3-1)²+J(V3~=^2)²             [1]

5)          х + д/^^П)², если х<11                 [11]

6)          х-_Л/(12-%)²,еслих>12                  [12]

7)          J (2-х)² + V(6-x)², если 3< х < 5

8)          V(⁴~*)² - V(10~^)²/ ^если 5< х < 9

9)

J(3-2Vx)²+V(10-x)2

7V3-1- VV3+1

10)

J(3V2-4)2+J(3V2-5)2

Н2+1- VV2-1

№4. Упростите выражение

1) Vx² - 6х + 9 + л/1 - л: + х - 3

х<3,   л/!--*, х > 3,  2х - 6 - л/1-х

2) Vx² + 6х + 9 + л/1 - л: + х - 4

Vl-x, 2х — 6 + Vl — х

3) V4a² - 4a + 1 + л/9а² -ва + 1

a<-;   2-5a

1          1

3<a<₅,  a

1 a > -;   5a — 2

4)  Vx² - 2x + 1 + Vx² + 4л: + 4 - 2л/х² - 10* + 25

x < -г,     -li

-2 < x < 1;   2x - 7

1 < x < 5;   4x - 9

x>5;   11

Занятие 2.Построение графиков функций вида v=\f(x)\

Правило: Для построения графиков функции y=|f(x)| а,дя всех х из области определения, надо ту часть графика функции y=f(x), котора* расположена ниже оси абсцисс (f(x)<0), отобразить симметричнс этой оси.

Hffr^l4^/(x)'^ec™^/(x)-⁰' -l/WI \-f(x)₉eamf(x)<0

Т.о. график функции y=|f(x)| располагается только в верхней полуплоскости

^f                   Практическая часть.

Построить график следующих функций:

1}	у=	|х|
2)	У=	-|х +4|
3)	У=	|х2-	-4|
4)	у=	|-х2	+ 4|
5)	у=	|х2-	-2х-3|
б)	у=	|х2-	-х--6|
7)	у= у= у=	|-х2	■ + 2х + 3|
8)		Vx2	-6х + 9
9)		Vx2"	+ 10х + 25

Ю) У=

Vx²-4x+4

х-2

Задания для более подготовленных учащихся:

1) у=|х²-2|х|-3|

2) у=|х²-2|х|~3|-3

3) у=-|х²-4|х| -5|

4)  у=_ЛДх² + 2х + 1) • (х² - 10х + 25)

5)  y=Vx⁴ + 6х² + 9

6)  у=1 - Vx⁴ -f 2х² + 1

Занятие 3. Построение графиков функций вида у = f(\x\) Правило: Для  построения  графика  функции  у = /(|х|)   надо  построить график   функции   у = /(х),   затем   оставить   только   его   часть, лежащую справа от оси ОУ, и отобразить эту часть симметрично той же оси.

г-ЛЮ-Ц^

х > О х <0

у = /(|х|) - функция четная, т.к. |х| - четная функция => график функции симметричен относительно оси ОУ

Практическая часть.

Построить графики следующих функций

1) у = 31*1-3

2)      у = 2 + |*| 3)у = 5-|*|

4)      у = х² — |*| — 6

5)      у = *² — 3|*| + 2

6)      у = *²-|*|-2

7)      у = -х²-2|*| -3

8)      у = *²+4|*| -5

9)      у = *²4|*| +3

10)           у = *² + 2|*| - 3

Задания для более подготовленных учащихся:

1) У =	|2|*|-3|
2) у =	|*| 4- *
3)  У =
4) у =	х2-1 \x\-l
5) у =	2 |х|+х
6) у =	*|*| +4* -	-5