«Утверждаю»
«Согласовано» «Рассмотрено»
Директор МБОУ СОШ № 35 Зам.
дир.УВР на заседании МО учит.
___________Н.С.Мушкат
________Т.В.Казурова ____________________
От «___» _______ 20___
01.09.2014 г. 01.09.2014
г. протокол № __________
______И.М. Рузанова
Программа элективного курса
по математике в 10 классе
«Отдельные вопросы теории многочленов»
Составила:
Рузанова И.М.
учитель математики
высшей категории
Самара,2014
Пояснительная
записка
Данный курс рассчитан для учащихся 10 класса на 35 часов в год, и
предлагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс
математики, но закладывают основы для дальнейшего (вузовского) его изучения.
Включенный в программу материал может применяться для разных групп школьников
за счет обобщенности знаниевого компонента и его преемственности с базовым
уровнем, практической направленности.
Базовый уровень знакомит с многочленами, с действиями над многочленами
(сложением, вычитанием и умножением), разложением многочлена на множители, с
формулами сокращенного умножения. Решаются квадратные уравнения; учащиеся
знакомятся с формулами Виета, выражающими зависимость между корнями квадратного
уравнения и его коэффициентами. Рассматривается метод решения рациональных
уравнений четвертой степени путем введения вспомогательной переменной.
Цель занятий данного профильного курса - расширить
знания школьников о многочленах, рассмотреть новое действие для многочленов, а
именно: деление многочленов нацело и с остатком. Сформировать представление о
методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на
уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов. Знакомство
с теорией многочленов позволит учащимся решать определенные олимпиадные и
конкурсные задачи.
Предложенный материал обеспечивает преемственность между числами и
многочленами, является доступным, интересным, воспитывает математическую
культуру учащихся и вполне уместен для развития устойчивого интереса к
математике, мыслительных и творческих способностей. Теория многочленов богата
идеями, содержит много практически применяемых приёмов. Ее методы интересны, не
трудоемки для изложения и приводят к глубоким результатам, имеющим
многочисленные приложения. Важность теории многочленов состоит еще в том, что с
помощью многочленов можно получить хорошие приближения различных функций, что
позволяет применять теорию многочленов во многих вычислительных методах и в
компьютерной математике. Изучение теории многочленов поможет ученику с единых
позиций взглянуть на многие задачи математики, успешно решать сложные уравнения
и неравенства (в том числе и в заданиях ЕГЭ), почувствовать связь между чистой
и прикладной математикой. В предлагаемом курсе каждое положение теории
многочленов сопровождается большим количеством примеров и исследовательских
задач.
Соответствующий подбор материала преследует следующие цели: с одной
стороны - это создание базы для развития способностей учащихся, расширения
кругозора, с другой - восполнение некоторых содержательных пробелов основного
курса, подготовка к сдаче ЕГЭ, а также включение учащегося в поисковую
деятельность, как фактор личностного развития; развитие коммуникативных навыков
в процессе практической деятельности.
Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются
следующие задачи:
1.
Приобщение учащихся к работе с математической и
справочной литературой.
2.
Выделение логических приёмов мышления, их осмысление
и овладение ими.
3.
Обеспечение диалогичности процесса обучения
математике.
4.
Формирование потребности к целенаправленному
самообразованию.
Вид курса: расширяющий и углубляющий базовый курс.
Профильное обучение в старших классах стало требованием времени, но
переход к нему достаточно труден. Элективные курсы, проводимые в 8-9 классах,
способствуют интенсификации образовательного процесса и призваны помочь
профессиональному ориентированию и самоопределению школьников. Эти курсы предоставляют
возможность оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения
в классах технологического или естественнонаучного профиля.
Для отбора учащихся на соответствующий профильный курс следует
использовать результаты итоговой аттестации за 9 класс, итоги успеваемости на
предпрофильных курсах или входной тест (стартовую диагностику) к началу
изучаемого курса.
С целью определения динамики интереса предлагается:
·
Собеседования в процессе работы.
·
Анкетирование на последнем занятии по теме.
С целью определения динамики умений предлагается:
·
Отслеживание умений по каждой теме.
·
Построение диаграммы умений по темам и общей
диаграммы успешности учебной деятельности.
По окончанию изучения курса учащиеся должны уметь:
·
Выполнять действия над многочленами.
·
Применять теорию многочленов к нахождению корней
уравнений высших степеней. Уметь применять теорему Безу.
·
Использовать обобщенную теорему Виета для решения уравнений
с параметрами.
·
Решать уравнения методом неопределенных
коэффициентов.
·
Использовать замену переменных в определенных типах
уравнений.
·
Применять алгоритмы решения симметричных и
возвратных уравнений.
Изучение курса предполагается построить в виде лекций, семинаров,
уроков-сообщений, консультаций. На всех типах занятий следует вести активный
диалог с учащимися.
Итоговое занятие предусматривает защиту и презентацию собственного
проекта или реферата (доклада).
Тематическое планирование
№ урока п/п
|
Тема
|
Количество часов
|
Тип занятия
|
1-2
|
1. Понятие многочлена. Действия над
многочленами.
|
3
|
Беседа.
Практикум.
|
3-6
|
2. Дополнительные формулы сокращенного
умножения.
|
3
|
Лекция. Практикум.
|
7-9
|
3. Деление многочленов с остатком. Теорема
Безу.
|
3
|
Лекция.
Практикум.
|
10-11
|
Зачетная
работа № 1.
|
2
|
Контроль.
|
12-14
|
4. Обобщенная теорема Виета.
|
3
|
Сообщения
учащихся. Практикум.
|
15-17
|
5. Симметрические многочлены.
|
3
|
Сообщения
учащихся. Практикум.
|
18-20
|
6. Возвратные уравнения.
|
3
|
Сообщения
учащихся. Практикум.
|
21-22
|
Зачетная работа № 2.
|
2
|
Контроль.
|
23-26
|
7. Замена переменных в определенных типах
уравнений.
|
4
|
Практикум.
|
27-30
|
8. Уравнения с параметрами.
|
4
|
Практикум.
|
31-32
|
Зачетная
работа № 3.
|
2
|
Контроль.
|
33-35
|
Итоговое
анкетирование. Заслушивание докладов и рефератов учащихся.
|
3
|
Семинар.
|
Содержание программы
1.
Понятие многочлена. Действия над
многочленами.
Стандартный вид многочлена. Свойства степеней и коэффициентов
многочлена. Равенство многочленов. Действия над многочленами. Разложение
многочленов на множители методом группировки и с помощью вынесения общего
множителя за скобки.
2.
Дополнительные формулы сокращенного
умножения.
(a + b)
(a - b) = a2 – b2, (a
± b)2 = a2
± 2ab + b2, a3
± b3 =(a ± b)(a2 – ab
+ b2),
an
– bn = (a - b)(an-1
+ an-2 b + …+ an-k bk-1
+… + a bn-2 +bn-1),
a2m+1
+ b2m+1 = (a + b)(a2m
- a2m-1b + …+(-1) k a2m-k
b k +… + b2m),
(a + b
+ c)2 = a2 + c2 + b2
+ 2ab + 2ac + 2bc,
(a1
+ a2 + … + an)2 = a12
+ a22 + a32 +…+ 2a1a2
+ 2a1a3 +…+ 2an-1an.
3.
Деление многочленов с остатком. Теорема
Безу.
Деление многочлена на многочлен с остатком. Теорема Безу. Корни
многочлена. Схема Горнера.
4.
Обобщенная теорема Виета.
Обобщение теоремы Виета для многочленов степени n
> 2.
5.
Симметрические многочлены.
Симметрические многочлены и их применение. Метод неопределенных
коэффициентов. Решение симметрических уравнений.
6.
Возвратные уравнения.
Решение возвратных уравнений четной и нечетной степени.
7.
Замена переменных в определенных типах
уравнений.
а) Замена:
б)
Замена: сводит
уравнение к биквадратному.
в) Деление на и
замена сводит уравнение к квадратному.
8.
Уравнения с параметрами.
Входной
тест
A1. Представьте в виде многочлена: (2х2 + 3х -
2)(4х + 2).
1) 8х3
+ 16х2 + 2х – 4; 2) 8х3
+ 16х2 - 2х – 4;
3) 8х3
+ 16х2 - 14х + 4; 4) 8х3
+ 8х2 - 2х – 4
A2. Разложите на множители: abx2 + bxy – axy
– y2.
1) (ax +
y) (bx - y); 2) (ax - y) (bx + y); 3) (ax + y) (bx + y); 4) (ax - y) (bx - y)
A3. Решите уравнение: 2х2 – 9х + 10 = 0.
1) –2 и 2,5; 2)
–2 и –2,5; 3) 2 и 2,5; 4) 2 и –2,5
A4. Не решая уравнения, найдите сумму и произведение его корней: х2
– 9х + 20 = 0.
1) –9 и 20; 2)
–9 и –20; 3) 9 и 20; 4) 9 и –20
A5. Разложите на множители квадратный трехчлен: 3x2
– 2x –
8.
1) (x +
2) (3x + 4); 2) (x – 2) (3x – 4); 3) (x + 2) (3x –
4); 4) (x – 2) (3x + 4)
B1. Решите уравнение: 2х3 + 3х2 + 2х
+ 3 = 0.
B2. Один из корней уравнения х2 – aх
– 12 = 0 равен 2.
Найдите коэффициент a.
В3. Найдите сумму натуральных значений n, при которых
выражение принимает целые значения.
С1. Сравните меньший корень уравнения с числом .
С2. Решите уравнение: abх2 + (a2 – b2)x + (a – b)2 = 0.
Ответы
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
А5
|
В1
|
В2
|
В3
|
С1
|
С2
|
2
|
1
|
3
|
3
|
4
|
- 1,5
|
- 4
|
12
|
Меньший корень< 6
|
|
Зачетная работа № 1
А1. Укажите номера неверных утверждений:
1) (47193
- 27343) 1985;
2) (7315
- 6115) 120;
3) число 255
+ 1 составное, т. к. делится на 33;
4) 313 × 299 - 3132
составное, т. к. делится на 7.
А2. Дан многочлен Р(х)= 2х4 - 3х3 +
7х2 – 10х – 16. Найдите: Р(-1), Р( 1), Р(0), Р(2).
А3. Найдите частное (ответ проверьте умножением):
1) (х2
+ 3х - 4) : (х + 4);
2) (4х3
- 5х2 + 6х + 9 ) : (4х + 3).
А4. Найдите числа а и b из
тождественного равенства:
х4
+ 2х3-16х2 - 2х + 15 = (х +
1)(х3 + ах2 - 17х + b).
А5. Укажите наименьший общий знаменатель данных алгебраических дробей:
А6. Сократите дробь:
B1. Не проводя деления многочленов, найдите остаток от деления многочлена
Р(х)= х50
+ х25 + 4 на многочлен Q(х) = х2
- 1.
В2. При каких натуральных значениях n
выражение является целым числом?
В3. Разложите многочлен Р(х) = х4 - 5х3
- 3х2 + 9 по степеням разности х - 3.
В4. Найдите целые корни уравнения (6 - х)(х - 2)(х +
3)(х + 9) = 24х2.
С1. Остаток от деления многочлена Р(х) на х- 2 равен 6, а
остаток от деления его на х + 3 равен 1. Найдите остаток от деления
этого многочлена на (х - 2)(х + 3).
С2. Разложите на множители многочлен х4 + 3х3
- 13х2 - 9х + 30, если известно, что числа
2 и -5 – корни этого многочлена.
С3. Выясните, делится ли нацело многочлен Р(х)
= х100 + 3х79 + х48 - х27
на х+1.
Зачетная работа № 2
Вариант 1
A1. Известно, что уравнение 2х4
+ 3х3 - 4х2 - 3х + 2 = 0 имеет пять
действительных корней. Не находя этих корней найдите сумму их квадратов.
1) – 6,5;
2) 6,5; 3) - 6,25; 4) 6,25
A2. Известно, что уравнение х4 - 7х3 +
13х2 + 3х - 18 = 0 имеет четыре действительных корня.
Не находя этих корней найдите сумму их кубов.
1) - 63;
2) 63; 3) 61; 4) - 61
В1. Решите уравнение методом неопределенных коэффициентов:
х4
+ 12х3 + 32х2 – 8х – 4 = 0.
В2. Решите возвратное уравнение: 2х4 - 5х3
- х2 + 5х + 2 = 0.
B3. Решите симметрическое уравнение: х4 - 5х3
+ 8х2 - 5х + 1 = 0.
С1. Решите уравнение: х7 + 2х6 - 5х5
- 13х4 - 13х3 - 5х2 + 2х
+ 1 = 0.
Ответы
А1
|
А2
|
В1
|
В2
|
В3
|
С1
|
4
|
3
|
–4 ± Ö14, –2 ± Ö6
|
2,
-0,5,
|
1 (четная
кратность)
|
-1; ;
|
Зачетная работа № 3
Вариант 1
A1. Решите
уравнение: (х2 + х + 2) (х2 + х
+ 3) = 6.
1) 0 и 1; 2) 0 и – 1; 3) 2 и -
3; 4) – 3 и 2
A2. Решите
уравнение: 4х4 - 5х2 + 1 = 0.
1) 1 и 0,5; 2) ± 1 и 0,5; 3) 1 и ; 4) ±1 и ± 0,5
A3. Решите
уравнение: (x + 1)4 + (x + 5)4 = 82.
1) –2 и 0; 2) 2 и 0; 3) - 2;
4) 2 и –3
A4. Решите
уравнение: (x + 1)(x +
2)(x + 4)(x + 5) =
10.
1) –6 и 6; 2) –3 и 3; 3) –3 + Ö6; 4) –3 ± Ö6
B1. Определите,
при каких значениях a уравнение
(а2 + 4а - 21)х2
– (а2 - 3а)х - 3 + 4a - а2 = 0 имеет более двух корней?
B2. При каком
наименьшем значении a уравнение х3
+ 3х2 - 45х + a = 0 имеет
ровно один корень?
B3. Решите
уравнение: 3(х2 + 2х - 1) 2 - 2(х2
+ 3х - 1) = - 5х2.
С1. Укажите
значение параметра a, при котором уравнение х4
+ (1 - 2а)х2 + а2 – 4 = 0 имеет
три различных корня.
Ответы
А1
|
А2
|
А3
|
А4
|
В1
|
В2
|
В3
|
С1
|
2
|
4
|
1
|
4
|
3
|
82
|
|
2
|
Темы докладов и рефератов для учащихся
- Возвратные уравнения. Решение возвратных уравнений четной и
нечетной степени.
- Вывод формулы Кардано.
- Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- История открытия формулы Кардано.
- Метод Феррари для решений уравнений четвертой степени.
- Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
- Неприводимый случай формулы Кардано.
- Основная теорема алгебры многочленов.
- Симметрические многочлены. Метод неопределенных коэффициентов.
Решение симметрических уравнений.
- Теорема Безу. Корни многочлена.
- Теоремы о границах корней многочленов.
- Теоремы о числе действительных корней многочлена (Штурма,
Бюдана-Фурье, Декарта).
- Франсуа Виет, его жизнь и творчество (развитие теории уравнений).
Литература
1.
Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для
10 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением
математики /Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – Москва:
Просвещение, 1996. – 335 с.
2.
Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ для
11 класса: Учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением
математики /Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд. – Москва:
Просвещение, 1996. – 288 с.
3.
Галицкий, М. Л. Сборник задач по алгебре для 8-9
классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением
математики / М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. - Москва:
Просвещение, 1997. – 271 с.
4.
Болдырева, М. Х. Факультативный курс по математике,
8 класс. Материалы для учащихся и учителей математики / М. Х. Болдырева, Ю. П.
Карпухин, Г. А. Клековкин, Л. М. Рудман. - Самара: СИПКРО, 1997. – 142 с.
5.
Лысенко, Ф. Ф. Математика ЕГЭ – 2007. Вступительные
экзамены. Пособие для самостоятельной подготовки / Ф. Ф. Лысенко, В. Ю.
Калашников, А. Б. Неймарк, О. Е. Кудрявцев, Д. А. Мальцев. - Ростов – на –
Дону: Легион, 2006. – 416 с.
6.
Максютин, А. А. Математика – 10. Учебное пособие
для 10-х математических классов, лицеев и гимназий / А. А. Максютин. - Самара,
2002. – 588 с.
7.
Максютин, А. А. Дидактические материалы для
подготовки к Единому государственному экзамену по математике: В помощь
выпускнику и абитуриенту / А. А. Максютин. – Самара: Корпорация «Федоров», Изд.
«Учебная литература», 2002. – 64 с.
8.
Шарыгин, И. Ф. Факультативный курс по математике:
Решение задач: Учебное пособие для 10 класса средней школы /И. Ф. Шарыгин. - Москва:
Просвещение, 1989. – 252 с.
9.
Шарыгин И. Ф. Математика для школьников старших
классов /И. Ф. Шарыгин. - Москва: Дрофа, 1995. – 491 с.
Матричное
представление многоуровневой системы задач.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.