Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа элективного курса "Системы уравнений" (9 класс)

Программа элективного курса "Системы уравнений" (9 класс)


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Кайпинская основная общеобразовательная школа


















ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 9 КЛАССА



ТЕМА: «СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ»























Составила: Панкевич Людмила Анатольевна,

Учитель математики

стаж работы 40 лет.

г. Суоярви


СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ


Программа является обучающей и содержит:

  • пояснительную записку

  • цели курса

  • требования к усвоению курса

  • учебно-тематический план

  • содержание программы

  • методические рекомендации

  • список литературы

  • приложения


Пояснительная записка

Данный курс «Системы уравнений» предусматривает изучение отдельных вопросов, непосредственно примыкающих к основному курсу математики и углубляющих его путем включения более сложных задач, исторических сведений, нового для учащихся метода решения систем, материала занимательного характера при расширении теоретического материала.

Материал этого курса может использоваться как на уроках, так и на занятиях кружка или факультатива. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков решения систем уравнений и формированию интереса к предмету, но и подтолкнет к самостоятельной работе по приобретению знаний.

В ходе решения задач развиваются творческая и прикладная стороны мышления, воображение; курс повышает общую культуру ученика путем знакомства с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку.

Целями данного курса являются:

1.овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для продолжения образования..

2.интеллектуальное развитие учащихся и формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности, необходимых для жизни в современном обществе.

3.показать некоторые нестандартные методы решения систем уравнений.

Для достижения поставленных целей в процессе изучения курса решаются следующие задачи

1.Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2.Научить решать системы уравнений методом сравнения, методом Гаусса, с помощью формулы Крамера и определителей.

3.Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и повысить уровень математической культуры.

Требования к уровню усвоения курса.

Данный курс рассчитан на 18 часов для учащихся 9 класса; предполагает систематизацию и обобщающее повторение темы алгебры «Системы линейных уравнений», а также расширение учебного материала за счет изучения ранее не известных учащимся методов решения систем уравнений, исторического материала.

Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, семинар, практическая работа. Уровень сложности заданий варьируется от простых до конкурсных. Все занятия направлены на развитие интереса к предмету путем расширения представлений об изучаемом материале, на изучение новых методов. При изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, достаточно, чтобы учащиеся знали:

1.Основные алгоритмы решения систем уравнений.

2.Определение количества решений системы.

Умели:

1.Применять алгоритмы при решении систем уравнений.

2.Понимали графическую интерпретацию решения систем уравнений.

3.Применяли полученные знания при решении текстовых задач.


УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Наименование тем курса

Всего

часов

В том числе

Форма контроля


Беседа

лекция

практика

семинар

1

Урок вводного повторения:. «Системы уравнений и способы их решения»

2

1

1


Срезовая с\р

по уровням

2

Замена системы уравнений другой системой

1


1




3

Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований

2


1

1

с\р

4

Формулы Крамера

1


1



5

Определители и матрицы. Теорема Крамера. Исследование и решение систем с помощью определителей

4

2

2


1.творческая дом. с\р

2.с\р с послед. проверкой

6

Равносильность систем и метод Гаусса

3

1

2


с\р

7

Решение текстовых задач с помощью составления систем уравнений

3


2

1

с\р

8

Проверочная работа

1





9

Урок коррекции знаний

1





Всего: 18 час

Содержание программы.


ТЕМА 1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ \2ч\

Система уравнений с двумя переменными. Решение систем двух линейных уравнений методом сложения и подстановки. Графический метод решения систем. Исследование количества решений системы.

Метод обучения: беседа, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: трехуровневая самостоятельная работа.

ТЕМА 2 ЗАМЕНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДРУГОЙ СИСТЕМОЙ\ 1ч\

Симметрическая система. Решение системы с помощью замены переменных Замена системы с помощью операций над уравнениями \сложение вычитание, умножение, деление\.

Форма занятий: беседа, практическая работа.

Метод обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: самостоятельная работа.

ТЕМА 3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ, АНАЛОГИЙ ИЛИ ЗАИМСТВОВАНИЙ \2ч\

Теорема Виета \обратная\. Решение биквадратных уравнений .Разложение многочлена на множители .Ассоциации с разными элементами уравнений.

Метод обучения: беседа, тренировочные упражнения.

Форма контроля: домашняя самостоятельная работа.

ТЕМА 4 ФОРМУЛЫ КРАМЕРА \1ч\

Историческая справка о Крамере. Вывод формул Крамера. Решение и исследование систем с помощью формул Крамера.

Форма занятия: лекция

Метод обучения : тренинг.

ТЕМА 5 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. ТЕОРЕМА КРАМЕРА.ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.\4ч\

Матрица, ее элементы и принцип составления. Определитель второго порядка. Совместные и несовместные системы. Теорема Крамера и ее использование для решения систем. Исследование систем линейных уравнений.

Формы занятий: практикум, семинар .

Методы обучения: беседа, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: творческая работа.

ТЕМА 6 РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ И МЕТОД ГАУССА.\2ч\

Равносильные системы. Замена одного из уравнений системы суммой двух уравнений. Метод Гаусса.

Формы занятий: лекция, практикум .

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: самостоятельная работа.

ТЕМА 7 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.\4ч\

Решение задач методом составления систем уравнений.

Методы обучения: беседа. выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

ТЕМА 8 ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА\1ч\

Трехуровневый письменный зачет.

ТЕМА 9 УРОК КОРРЕКЦИИ.\1ч\

Форма занятия: семинар - практикум.


МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Данный элективный курс «Системы уравнений» дает полный объем знаний, умений и навыков, которыми должен овладеть ученик. В этот объем входят как знания, предусмотренные программой общеобразовательной школы, так и выходящие за ее рамки. Учащиеся должны научиться решать системы более высокого уровня сложности, причем не нужно этого требовать от всех учеников. Задания предусмотрены трех видов сложности ,и их выбор зависит от желания самого ученика. Цель курса - помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.

Не все системы уравнений легко и просто решаются методами, изучаемыми в школе, поэтому для расширения знаний по этой теме подобраны системы, которые можно решить другими способами. Кроме того, уделяется достаточно внимания на применение систем.

Поурочные домашние задания разного уровня являются обязательными для всех. Активным учащимся предлагаются задания творческого характера, также домашние самостоятельные работы. Проверочные работы рассчитаны на часть урока \кроме итогового зачета \ Задания выбираются по усмотрению учителя в зависимости от подготовленности учеников.

Курс является открытым: в него можно добавили какие-то вопросы не рассматривать, главное чтобы курс соответствовал возможностям слушателей.


ВОЗМОЖНЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНОК

Поскольку уровень подготовки и интерес к математике у всех учеников различный, то все задания предлагаются разноуровневые .

Оценка «отлично» ставится, если ученик освоил теоретический материал и свободно им владеет, решает задания высокого \3\уровня,выполняет задания творческого характера, умеет пользоваться теоретическим материалом, изученным самостоятельно, владеет математической культурой.

Оценка «хорошо»-ученик освоил основные методы решения систем, справляется с решением заданий второго уровня, выполняет домашние задания \ без проявления явных творческих способностей \,имеет положительные результаты при применении систем в решении задач.

Оценка «удовлетворительно»-ученик освоил наиболее простые способы решения систем без воспроизведения теории, успешно выполняет задания первого уровня.

Оценка «неудовлетворительно»-не проявил ни прилежания, ни заинтересованности, не справляется с решением заданий первого уровня.


ЛИТЕРАТУРА

Н.П.Антонов, М.Я.Выгодский, В.В.Никитин А.И.Санкин «Сборник задач по элементарной математике» «Наука», Москва,1972

Н.И.Зильберберг «Алгебра-9» Для углубленного изучения математики. Псков.1993

С.К. Росошек, Л.Б.Хают, И.Е.Малова «Системы уравнений». Издательство Томского университета Москва,1996

И.С.Фрадков «Учимся решать задачи» АО «КАРЭКО» Петрозаводск,1995

И.Ф. Шарыгин «Решение задач» Учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений-М. Просвещение,1994
































ТЕМА 1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ. ( 2ч)

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; повторить алгоритмы решения систем.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

  1. Беседа « Системы уравнений с 2 переменными и способы их решения»

Задача. Можно ли разменять сторублевую купюру пятирублевыми и однорублевыми монетами так, чтобы всех монет было 30?

Рhello_html_7fb3c877.gifешение. Х монет пятирублевых х + у = 30

У монет однорублевых 5х + 1у = 100

Данная система имеет единственное решение ( 77½ ; 12½ ). По смыслу задачи х и у должны быть натуральными числами, поэтому разменять нельзя.

Вопросы к учащимся.

1.Что такое система?

2. Что значит решить систему?

3. Что называют решением системы?

4.Какие способы существуют для решения системы?

2. Составление опорного конспекта.

Способы решения систем.

hello_html_m67432b92.gifГрафический способ

hello_html_m67432b92.gifСпособ подстановки

Способ сложения

hello_html_m67432b92.gif 2х + 3у = 5 3у = 5 – 2х

3х – у = -9 -у = -9 -3х


hello_html_m67432b92.gif У= (5 – 2х)

х

-2

4

у

3

-1

У = 9 + 3х

х

0

-3

у

9

0




hello_html_m6bfaacc5.gif у

hello_html_m28b79af4.gif

hello_html_m51523e83.gif



Ответ: ( -2; 3)

Алгоритм.

1)Выражаем из каждого урав-

нения у через х.

2) Строим график каждого

уравнения.

3) Находим координаты точ-

ки пересечения графиков.

4) Записываем ответ.


2х + 3у = 5

3х – у = -9 у = 3х + 9


hello_html_m67432b92.gif у = 3х + 9

2х + 3( 3х + 9) = 5


2х + 9х + 27 = 5

11х = -22

х = -2

у = 3х + 9 = 3·( -2) + 9=3

Ответ: ( -2; 3)

Алгоритм.

1) Выражаем 1 перемен-

ную через другую из лю-

бого уравнения.

2) Подставляем выражение

в другое уравнение и ре-

шаем его.

3) Найденное значение

переменной подставляем

в подстановку и находим

значение 2 переменной.

4) Записываем ответ.


hello_html_m67432b92.gif 2х + 3у = 5

3х – у = -9I·3


hello_html_m67432b92.gif 2х + 3у = 5

+ 9х – 3у = -27

11х = -22

х= -2

2·( -2) + 3у = 5

3у = 9

у= 3

Ответ: ( -2; 3)

Алгоритм.

1)Домножаем одно или

оба уравнения на числа так,

чтобы уравнять коэффици-

енты при одной из перемен-

ных.

2) Сложить или вычесть почленно оба уравнения.

3) Найти значение одной

переменной.

4) Подставить это значение

в любое уравнение и найти

значение 2 переменной.

5) Записать ответ.




  1. Практические упражнения.


1hello_html_m67432b92.gif уровень. Решить систему уравнений каждым из данных методов и сравнить полученные ответы. 2х + 3у = 8

– 3у = 6

2 уровень. Некто составил следующий план решения системы двух уравнений с 2 неизвестными с целыми коэффициентами методом сложения:

а) найти наименьшее общее кратное коэффициентов при одной из неизвестных;

б) умножить уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при выбранной неизвестной оказались противоположными числами;

в) сложить левые и правые части уравнений системы;

г) решить полученное уравнение относительно содержащейся в ней неизвестной;

д) подставить найденное значение неизвестной в одно из уравнений системы и найти значение второй неизвестной.

Проверьте, как работает этот алгоритм, решая следующую систему:

hello_html_m67432b92.gif 5х + 3у = 12

6х + 4у = 15

Применим ли этот алгоритм к системам, у которых хотя бы один из коэффициентов при некоторой неизвестной не является целым числом?

Как исправить алгоритм, чтобы он был применим и в этом случае?

2) Решите системы уравнений ( любым способом)


hello_html_m7f866c2f.gifhello_html_634c6843.gifх+ у + х – у = 3 2у – 3х + у = у + 1

  1. 2 4 3

х+ у - х – у = 4 у + 9 + 2 – х = 1/2 - х

2 2 6 8

hello_html_7fb3c877.gif 3 уровень. 1) Решите систему, если известно, что первое её уравнение обращается в верное равенство при х = 3 и у = -10, а второе – при х = 5 и у = -7,75.

6х + ву = 8

сх + 4у = -6 Ответ: ( 1; 5)

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif 2) Пусть даны две системы: х + 9у = 10 х + 9у = 10,1

1,1х + 10у = 11,1 1,1х + 10у = 11,1

а) чем отличаются эти системы?

б) не решая этих систем, попытайтесь оценить, будут ли эти решения значительно различаться?

в) решите системы, сравните полученные ответы с предполагаемыми в пункте б).

г) чем, по-вашему, можно объяснить полученный в пункте в) результат?

4. Срезовая работа уровня 1 – 3.

После выполнения практических упражнений, каждый получает карточку заявленного уровня и решает самостоятельную работу.

Примерные карточки.

1hello_html_7fb3c877.gif уровень 1) Решить графически х – у = 5

х+ у = 7

hello_html_7fb3c877.gif 2) Решить способом подстановки: 2х + 3у = 27

х– у = 11


hello_html_7fb3c877.gif 3) Решить способом сложения: х + у = 8

3х – 2у = 4

2hello_html_m67432b92.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_1f25d709.gif уровень. Решить наиболее удобным для вас способом следующие системы:

-7х + 3у = -32 -5х + у = 0 7х + 8у = 2

4х – 6у = -6 6х + 2у = 16 х – 3у = 4


3hello_html_m67432b92.gif уровень. Решить системы: х² + ху + 1 = 0

х+ у = 3 Ответ: ( - ; 3 )

hello_html_634c6843.gif2 + 3 = 5

х у

7 - 5 = 2

х у Ответ: ( 1; 1)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. На карточках по уровням. 1 уровень


hello_html_7fb3c877.gif Дана система х + 3у = 6 Объясните предложенное ниже решение и заполните про-

2х + у = 7 пуск

hello_html_7fb3c877.gifРешение

hello_html_7fb3c877.gifОбъяснение


1) х = 6 – 3у

Выразили х через у из 1 уравнения.

7 - у

2) Х = 2


3)


Приравняем правые части.

  1. 12 – 6у = 7 – у

-5у = -5

У = 1

.


5) х = 6 - 3· 1 = 3

Подставили найденное значение в 1 уравн. и нашли х.

6) х = 3 у = 1


Ответ: ( 3; 1)

2 уровень. То же, что и 1 уровень + задание б).

б) Можно ли решить эту систему, выражая из каждого уравнения у и приравнивая правые части выражений? Если да, то выполните такое решение. Сравните результаты.

3 уровень. Решить системы: х² + у²= 2(ху + 2) х² + у²= 65

х+ у = 6 ху = 28

Ответ: ( 2; 4) ( 4; 2) Ответ: ( 4; 7) ( -4; -7) ( 7; 4) ( -7; -4)


ТЕМА 2. ЗАМЕНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДРУГОЙ СИСТЕМОЙ.

Цель: познакомить с еще одним способом решения систем.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I. Проверка домашнего задания.

7 - у

2) Х = 2


Выразим х через у из 2 уравнения.

7 - у

3) 6 - 3у = 2


Приравняем правые части.

  1. 12 – 6у = 7 – у

-5у = -5 у = 1

Решили полученное уравнение и нашли значение у.

5) х = 6 - 3· 1 = 3


6) х = 3 у = 1

Нашли решение системы.

Ответ: ( 3; 1)


Ответ: б) Да, можно.


hello_html_5b902363.gif У = 6 – х 6 – х = 7 – 2х

3 3

У = 7 – 2х 6 – х = 21 – 6х

-х + 6х = 21 – 6

5х = 15

Х = 3 3 + 3у = 6

У = 1

Ответ: ( 3; 1)

Результаты оказались одинаковыми. Этот метод называется методом сравнения.

II. Решить методом сравнения системы:

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_1042f0a4.gif

3х + у = 0 4х + 9у = 299

2х – у = 15 8х – у = 9

( 3; -9) ( 5; 31)

Записать алгоритм решения.

  1. Выражаем одну переменную через другую из 1 уравнения, затем из 2 уравнения.

  2. Приравниваем правые части.

  3. Решаем уравнение и находим значение 1 переменной.

  4. Подставляем значение этой переменной в любое уравнение и находим значение 2 переменной.

  5. Записываем ответ.

III. Замена системы уравнений другой системой.

  1. Определение симметрической системы.

Бhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifудем называть систему с n неизвестными симметрической, если она не меняется при перестановке неизвестных. Пример: х² + у² = а у² + х² = а Эти системы

ху = в ух = в совпадают.


Если симметрическая система имеет 2 неизвестных, то решение может быть найдено с помощью переменных u = х + у, v = ху.

При этом работают такие формулы: х²+ у² = ( х + у)² - 2ху

х³ + у³ = ( х + у)³ - 3ху( х + у)

х + у = (х²+ у²)² - 2 х²у² = ( х + у) - 4( х + у)² ху + 2 х²у²

х + у = ( х + у) - 5( х + у)³ху + 5( х + у) х²у²

Они используются для того, чтобы выразить : х²+ у², х³ + у³, х + у, х + у и т.д. через u

иhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifv.

Пример: х²+ ху + у² = 3 u = х + у ( х + у)² - 2ху + ху = 3

х²- 3 ху + у² = -1 v = ху ( х + у)² - 2х – 3ху = -1


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif ( х + у)² - ху = 3 u² - v = 3

( х + у)² - 5ху = -1 u² - 5v = -1 4v = 4 v = 1 u² - 1 = 3 u = ± 2


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifИмеем: х + у = 2 х + у = -2

ху = 1 и ху = 1 Ответ: ( 1; 1) и ( -1; -1)


\/. Решение упражнений.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif х2 + у = 82 х³ + у³ = 9

х + у = 4 ху = 2


ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.


  1. Пhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifовторить теорему Виета и решение биквадратных уравнений.

  2. Решить : 1 уровень: методом сравнения 3х + 5у = 4 4х – 5у = 3

х – у = 4 6х – 7у = 5

hello_html_7fb3c877.gif методом замены системы х²+ у² = 2

ху = 1



hello_html_7fb3c877.gif2 уровень: + х²+ у² = 2( ху + 2)

х + у = 6

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif

3 уровень: х³ + у³ = 65 х²у³ + х³ у² = 12

х²у + х у² = 20 х²у³ - х³ у² = 4

Итог занятия.


ТЕМА 3. УРОК 1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ, АНАЛОГИЙ ИЛИ ЗАИМСТВОВАНИЙ.

ЦЕЛЬ: познакомить учащихся с еще несколькими способами решения систем

ХОД ЗАНЯТИЯ.

1.Повторение материала

Устно: 1.Дано уравнение: 3х² + 6х – 18 = 0. Сделайте его приведенным.

2.Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

3.Даны уравнения .Назвать сумму и произведение корней

х² - 37х + 21 = 0 у² + 41у – 375 = 0

х² - 210х = 0 у² + 19 = 0

² - 9х + 10 = 0 5х² + 15х – 25 = 0

hello_html_7fb3c877.gif 4.Решить систему уравнений: х + у = 5

ху = 6 Ответ: ( 2; 3 ) ( 3; 2 )

hello_html_7fb3c877.gif

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_1752c256.gifhello_html_7fb3c877.gif Решение 1 у = 5 - х у = 5 - х х = 2 х = 3

х( 5 – х ) = 6 5х - х² - 6 = 0 у = 3 у = 2

А теперь посмотрите внимательно: х + у =? ху = ? Да, это есть в т. Виета.

Если х + у = - р, а ху = q , то х и у – корни уравнения z² + pz +6 = 0.

Применяя к числам х и у теорему Виета, можно утверждать, что они являются корнями уравнения z² - 5z + 6 = 0 Ответ.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif Пример 2. ху ( х+1 )= 4 х²у + ху = 4 у ( х² + х) =4

х²+ у + х = 4 х² + у + х = 4 ( х² + х )+ у =4

hello_html_7fb3c877.gif Пусть х² + х = а, тогда имеем уа = 4

а +у =4 ,т.е. по т. Виета z² - 4z + 4 = 0 ( z – 2 )=0

Z = 2

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifx² + x = 2 x=1 x= -2

y = 2 y=2 y= 2 Ответ: ( 1; 2) ( -2; 2)

2. Еще одно заимствование из алгебры

hello_html_7fb3c877.gifРешить систему : у4 + ху2– 2х2 = 0

х+ у = 6

Можно выразить х или у из 2 уравнения и подставить в 1. Решить полученное уравнение. Затем найти 2 переменную. Но если посмотреть на 1 уравнение внимательно , то увидим, что оно биквадратное относительно у и квадратное относительно х. Поэтому можно решить 1 уравнение относительно у или относительно х.

Относительно у

Относительно х

у + х у² - 2х² = 0

D = x² + 8x² = 9x²

y²= - x ±9x² = -x ± 3x

  1. 2

у² = x y² = -2x


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7e2ae37a.gifПолучаем системы: х+у=6 и х+у=6

у² = х у² = -2х

Ответ: ( 4; 2) ( 9; -3)

у + ху²- 2х² =0\ умножу на -1

² - ху² - у= 0

D= у + 8у= 9у

х= у²+3у²= у²

4

х = у² - 3у² = -у²/2

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif 4

Получаем системы: х = у² и х = -у²/2

х+у=6 х+у =6

О т в е т ( 4; 2) ( 9; -3 )

3. Разложение многочлена на множители

Вhello_html_7fb3c877.gifернемся к системе: у + ху² – 2х² = 0

х+ у = 6 Разложим на множители

у + ху² – 2х²= 0

( у- х²) + ( ху²- х²) = 0

( у² - х )( у² + х ) + х(у² - х) = 0

( у²- х )( у² + х + х) = 0

( у²- х )( у²+ 2х) = 0

Пhello_html_m205270a7.gifолучим систему: ( у²- х)( у² + 2х) = 0

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif х + у = 6 или у²- х = 0 и у² + 2х = 0

х + у = 6 х + у = 6

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif х = у² х = - у²/ 2

х + у = 6 х + у = 6

Получили системы, аналогичные системам из предыдущего решения.

hello_html_7fb3c877.gif 4.Решить систему уравнений: х² + у² + z² = xy + yz +zx

2x + 3y + 5z = 10

Обратимся к первому уравнению. С чем оно ассоциируется?

  1. относительно х первое уравнение является квадратным

  2. имеются квадраты и их произведения

  3. что-то напоминает связанное с неравенствами

Каждая из таких ассоциаций приводит к решению:

х² -(у +z )x + y² - yz + z² = 0

D = y² + 2yz + z²- 4y² +4yz – 4z²= =-3( y²- 2yz + z² ) = -²3 ( yz )² 0

hello_html_7fb3c877.gify = z Тогда х = у.

Получаем систему: x = y = z

2x + 3y+5z =10

x = y = z = 1


x² + y² +z²- xyyzzx = 0/ 2

2x² +2z²+2z²-2xy-2yz-2zx = 0

( x²-2xy+y² ) +( x²-2xz+z ) + +( y²--2yz+z² ) = 0

( x-y)² + ( y-z)² + (z-x)² = 0

hello_html_7fb3c877.gifx-y = y-z = z-x = 0

x = y = z

2x + 3y +5z =10

x = y = z = 1



x² + y² 2xy

y²+ z² 2zy

z² +x² 2xz

2x² + 2y²+2z² 2xy +2zy +2xz

x² +y²+z² xy+zy+xz

Равенство в том и только в том случае, если x=y=z

hello_html_1f25d709.gifИмеем x=y=z

2x+3y+5z=10

Ответ: ( 1; 1; 1 )

Пhello_html_2ac7fd01.gifри наличии времени решить систему x² + y² +z² = 1

xy + yz +zx = 3

5х – 10у + 7z = 2

Решение: сложим 1 и 2 уравнения: x² + y² +z²+ xy + yz +zx = 4 \ умножу на 2

2x² +2z²+2z²+2xy+2yz+2zx = 8

( x²+2xy+y²) +( x²+2xz+z²) +( y² +2yz+z² ) = 8

( x+y)² + ( y+z)² + (z+x)² = 8

х+y = y+z = z+x = 2

x = y = z =1

Проверим 5 1 - 10 1 + 7 1 = 2

2 = 2 Ответ: ( 1; 1; 1 )

Дhello_html_m7f866c2f.gifомашнее задание : Решить систему

hello_html_m7f866c2f.gif х + у + х/у = 3 2) x² + y² - z = 0

х² + ху = 2 x + y + z + ½ = 0

y Ответ: ( 1; 1 ) Ответ:


ИТОГ ЗАНЯТИЯ


ТЕМА 3. УРОК 2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ, АНАЛОГИЙ ИЛИ ЗАИМСТВОВАНИЙ.

Цель: закрепить знания, полученные на предыдущем занятии, проверить качество усвоения учащимися материала.

ХОД ЗАНЯТИЯ

  1. Проверка домашнего задания.

2 ) Решение упражнений по подгруппам с разбором на доске.

1hello_html_7fb3c877.gif уровень 1.Решить методом сравнения 5х + 8у = - 19

3х + 5у = 23


hello_html_7fb3c877.gif 2.Решить любым методом х² + у² = 2

ху = 1


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif2 уровень Решить системы х + у = 82 2х² + 3ху - у² = 4

х + у = 4 3х²+ 2ху – 2у² = 3


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_2ac7fd01.gif3 уровень Решить системы х² + у = 5 х² + у² + z² = 7

х²у = 4 x + 2y + 3z = 21

1991x + 1992y + 1993z = 5

3 ) Проверочная работа с последующей проверкой ( на карточках по уровням )

1hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5b902363.gif уровень 1) 13х – 3у – 1 = 0 hello_html_m58affede.gif

х + 3у – 5 = 0 х² - у² = 8

2hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_75758ec7.gif уровень 1) х² + х + у = 6 2) hello_html_m58affede.gif 3) у + ху²- 2х² = 0

у – х = 3 х²- у² = 8 х +у = 6


3hello_html_7fb3c877.gifhello_html_75758ec7.gifhello_html_7fb3c877.gif уровень 1) mx – 2y = 3 2) x + y + 1 = 1 3) x² + xy + y²= 0

3x + my = 4 2x + 2y + 2z = 2 x + y = 3

4x + 4y + 4z = 4

Домашнее задание: 1) Найти в дополнительной литературе по математике 2 системы и решить их любым из изученных способов. Оценка будет зависеть от сложности систем и правильности их решения.

2) Одному из учеников предложить найти информацию о швейцарском математике 18 века Г.Крамере.


ТЕМА 4. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.

Цель: научить исследовать системы уравнений и находить их решение с помощью формул Крамера.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

  1. Домашнее задание не проверяем. У кого возникли вопросы – отвечаю на них во внеурочное время.

  2. Беседа.

Теперь вы уже ориентируетесь в мире систем и можете решать их разными способами. Но в некоторых задачах важно не решить систему, а узнать имеет ли система решения, и если да, то каково их количество.

Определение: получение информации о существовании решений и об их количестве называется исследованием системы уравнений.

Вы уже убедились, что система не всегда имеет решение, поэтому нет смысла тратить время на его поиск.

Прежде, чем приступить к решению системы, надо выяснить, имеет ли эта система решение и нельзя ли получить формулы, по которым сразу бы вычислялись решения системы?

Наверное, кто – нибудь уже догадался, что ответы на эти вопросы можно найти, если

решить систему в общем виде.

hello_html_7fb3c877.gif Решим систему а1 х + в1 у = с1 методом сложения:

а2 х + в2 у = с2

hello_html_7fb3c877.gif

hello_html_7fb3c877.gif а1 х + в1 у = с1 |· (-в2) - а1 в2 х – в1 в2 у = - с1 в2

а2 х + в2 у = с2 |· в1 + а2 в1 х + в1 в2 у = с2 в1

а2в1х – а1в2х = с2в1 – с1в2

х( а2в1 – а1в2 ) = с2в1 – с1в2

с2в1 – с1в2 с1в2 – в1с2

х = ———— = ————— ( 1*)

а2в1 – а1в2 а1 в2 – в1а2


Пhello_html_7fb3c877.gifроделаем аналогичную работу относительно у: а1 х + в1 у = с1 |· (-а2)

а2 х + в2 у = с2 |· а1

hello_html_7fb3c877.gif - а1 а2 х – в1 а2 у = - с1 а2 а1с2 – а2с1

+ а1 а2 х + а1 в2 у = с2 а1 у = ———— ( 2*)

а1 в2 у – в1 а2 у = а1 с2 – а2 с1 а1в2 – а2в1


Формулы ( 1*) и ( 2*) называются формулами Крамера.

III.Рассказ ученика о Г.Крамере.

Ihello_html_7fb3c877.gif\/. Решить систему: 2х – 3у = -4

3х + 4у = 11

а1в2 – а2в1 = 2· 4 – ( -3)·3 = 17

х = -4·4 – ( -3)·11 = 1

17

у = 2·11 – ( -4)·3 = 2 Ответ: ( 1; 2)

17

\/. Глядя на формулы ( 1*) ( 2*), ответьте на вопрос: всегда ли можно найти значения х и у?

Вhello_html_7fb3c877.gifЫВОД: если а1в2 – а2в1 = 0, то система не имеет решений.

3х + 2у = 2

6х + 4у = 4 Будет ли эта система иметь решения? а1в2 – а2в1 = 3·4 - 2·6 = 0

( 2; -2) – подставьте в уравнения. Что имеем? Эта пара чисел является решением системы.

Значит, чтобы система не имела решений, мало иметь а1в2 – а2в1 = 0

Посмотрите на уравнения внимательно. Что можно сказать об их коэффициентах?

Т.е. 2 уравнение получено из 1 путем умножения коэффициентов на 2, т.е. мы имеем фактически одно уравнение с 2 неизвестными, а оно имеет бесконечное множество решений.

ИТАК:

  1. Если а1в2 – а2в1 ≠ 0, то система имеет единственное решение.

  2. Если а1в2 – а2в1 = 0, то система или не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений.

  3. Если а1в2 – а2в1 = 0, то систему решаем не по формулам Крамера, а одним из ранее изученных способов.

РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ.

  1. Выясните, какие из систем можно решить с помощью формул Крамера.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif а) 3х – 4у = 5 б) 4х – 6у = -1 в) 6х – 3у = 0

-6х + 8у = -10 10х – 15у = 2 2х – у = 0


гhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif) 2х + 5у = 3 д) 2х + 3у = 3 е) х + 2у + 6 = 3( 3 – х)

3х + 7у = 2 7х + 5у = 18 2( х – у) – 4 = -3у


Ответ: г), д).

  1. Решите системы с помощью формул Крамера:

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif

х+ 5у = 7 2х – 3у = 5

3х + 2у = -5 3х + 2у = 14

Ответ: ( -3; 2) Ответ: ( 4; 1)

3. Дано одно уравнение системы. Припишите к нему другое уравнение так, чтобы полученная система: а) не имела решения, б) имела 1 решение, в) множество решений.

аhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif) х – у = 10 б) х – у = 10 в) х – у = 10

? ? ?

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

  1. Решите системы с помощью формул Крамера:


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif 4х – 6у = 26 3х + 4у = 2 2х – 7у = 1

5х + 3у = 1 х – у = 3 21у – 6х = -3 !

  1. Найти все значения параметра а, при которых система не имеет решения.

hello_html_7fb3c877.gif

- 4х + ау = а + 1 Ответ: а = - 4.

(6 + а)х + 2у = 3 + а ( При а = - 2 бесконечное множество решений.


ТЕМА 5. УРОК 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.

Цель: ввести новые понятия и термины для упрощения запоминания формул Крамера, научить вычислять определители и решать с их помощью системы уравнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

  1. Проверка домашнего задания.

1hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif.Устно сверить ответы №1.

4х – 6у = 26 3х + 4у = 2 2х – 7у =1

5х + 3у = 1 х – у = 3 21у – 6х = -3

( 2; -3) ( 2; -1) Бесконечное множество.

2.Один ученик ( из тех, кто решил) записывает решение на доске, ученики сверяют со своими записями и если нужно, задают вопросы по решению.Ученик у доски дает ответы на вопросы.

II.Изучение нового материала.

План.

1.Матрица, её обозначение, элементы, порядок. Опора для записи формул Крамера.

2. Определители, их обозначение, отличие от матрицы, вычисление определителей.


1hello_html_7fb3c877.gif). Для решения системы двух уравнений а1 х + в1 у =с1 формулы Крамера

а2 х + в2 у =с2

оказались довольно просты, но очень уж громоздкие и трудные для запоминания. Нельзя ли как-то иначе запомнить формулы Крамера? Можно, но для этого придется рассмотреть несколько новых понятий и терминов.

с1в2 – в1с2 а1с2 – с1а2

х = ────── у = ──────

а1в2 – в1а2 а1в2 – в1а2

Выпишем выражение, стоящее в знаменателях.

1hello_html_m18f84eb5.gifhello_html_41c5aecf.gif) а1в2 – а2в1 2) а1 х + в1 у =с1 3) а1 в1 --такую таблицу чисел называют

а2 х + в2 у =с2 а2 в2

матрицей,а числа, из которых она составлена, элементами матриц.

hello_html_m35b43c9.gifhello_html_m77dae311.gifhello_html_3e2e2dd9.gif а1 в1 а1в2 – в1а2

а2 в2

Теперь посмотрим на выражения, стоящие в числителях.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_5d9a14de.gifhello_html_m697b7f35.gifhello_html_m629af88f.gifhello_html_5d9a14de.gif а1 х + в1 у =с1 в1 с1

а2 х + в2 у =с2 в2 с2 в1с2 – с1в2 переставлены местами, поэтому что нужно?


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_5d9a14de.gif а1 х + в1 у =с1 а1 с1

а2 х + в2 у =с2 а2 с2 а1с2 – с1а2

Иhello_html_7fb3c877.gifтак: подсказка для знаменателя а1 х + в1 у =с1

а2 х + в2 у =с2

hello_html_me4ae141.gifhello_html_me4ae141.gifдля числителей ( х) х + в1 у = с1 ( у) а1х + у = с1

х + в2 у = с2 а2 х + у = с2


Вhello_html_3537040a.gifhello_html_7486b86b.gifhello_html_m599dc819.gif принципе, матрицы – это самостоятельные объекты, которые могут не быть связаны с системами уравнений. Например: 3 1 2 -1 15 -2 6

4 2 -3 1 ( *) 13 5 -8

4 7 17 -24 13


Для матриц принята следующая терминология:

  1. Наборы чисел, расположенных по горизонтали, называются строками, по вертикали – столбцами.

  2. Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

  3. В квадратной матрице число строк ( столбцов) называется порядком матрицы.

Если матрица не квадратная, то говорят, что она имеет размер m n, m – число строк, nстолбцов.Так, матрица ( *) имеет размер 3 2.

Матрицы принято обозначать большими буквами:



hello_html_m35b43c9.gifhello_html_5d9a14de.gif А = 3 6 В = а1 в1

8 11 а2 в2


Мhello_html_53fa55de.gifатрицы часто используют при построении математических моделей разных явлений и процессов. При этом могут потребоваться матрицы больших размеров, с десятками и даже тысячами строк и столбцов. В таких случаях для удобства записи все элементы обозначают одной и той же буквой, к которой приписаны два индекса: № строки и № столбца. Например: а11 а12 а13 а23 - это элемент 2 строки и 3 столбца

В = а21 а22 а23 а75 - 7 строки и 5 столбца

а31 а32 а33 а96 - это?

Итак, вернемся к формулам Крамера.



Тhello_html_m5d793607.gifhello_html_m5d793607.gifhello_html_m5d793607.gifри матрицы а1 в1 с1 в1 а1 с1

а2 в2 , с2 в2 , а2 с2 помогают запомнить три выражения

а1в2 – в1а2, а1с2 – с1а2, с1в2 – в1с2

Не пора ли дать имя этому выражению? И оно вам уже известно из темы занятия. Это – определитель.

Оhello_html_m18f84eb5.gifпределение: имея матрицу вида А = а11 а12 мы можем ей сопоставить число

а21 а22 ,

а11а22– а12а21 , которое называют определителем матрицы.

Так как матрица имеет порядок 2,то и определитель называют определителем 2 порядка. Обозначают определитель det А и он по определению равен det А= а11а22– а12а21. Другое обозначение | |, третье - ∆.

Уhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gifпражнение1. Решите системы с помощью определителей:

аhello_html_7fb3c877.gif) 5х + 2у =1 ∆= 5 2 = 5 ·(-2) – 2· 10 = -30 ∆ х= 1 2 = 1 ( -2) – 2 1 = -4

10х – 2у =1 10 -2 1 -2

х -4 2 ∆ у -5 1

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifу = 5 1 = 5 – 10 = -5 х = ── = ── = ── у = ── = ── = ─

10 1 - 30 15 ∆ - 30 6

Ответ: ( 2/15; 1/6 ).


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifб) - 10у = 4х + 5 в) х/3 – у/3 = 1 г) х – 3у = 5 д) х = 7 - у

2х + 5у = 2,5 х – у = 0 у = х – 4 у = 7 – х


Упражнение 2. Заполните пропуски в таблице:

Система

А

Ах

Ау

х

у

Решение

hello_html_7fb3c877.gif 2х – 3у = 5

х+ 2у = -1

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif2 -3

1 2

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif 5 -3

-1 2

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif 2 5

1 -1

7

7

-7

( 1; -1)

hello_html_7fb3c877.gif х+ 4у = -1

3х – 2у = 5

  1. hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif4

3 -2

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif -1 4

5 -2







hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif 2 -1

0 -3

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif 2 3

0 0





hello_html_7fb3c877.gif 3у – х = -1

2х – 4у = 3








hello_html_7fb3c877.gif 3 – 2х – 2 = 0

5у + х – 1,5=4у










ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: 1) Вычислить определители:

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gif 3 -2 2 3 3 -2 а -1

4 6 6 -10 -4 5 а а

hello_html_7fb3c877.gif2) Решить с помощью определителей: ах – 3у = 1

ах – 2у = 2 Ответ: х = 4/а; у = 1.




ТЕМА 5 УРОК 2. ТЕОРЕМА КРАМЕРА. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель: систематизировать полученные знания путем классификации систем уравнений; научить проводить исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными; закрепить умение решать системы с помощью теоремы Крамера.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

ı. Проверочная работа.

1) Вычислить определители для матриц:

1 вариант 2 вариант

hello_html_2a450c19.gifhello_html_2a450c19.gifhello_html_2a450c19.gifhello_html_2a450c19.gifhello_html_m2fb83a6a.gif

А = 2 14 В = 5 -3 С = -2 6 Д = 2 7

3 22 7 -12 -7 21 11 50


2hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_1042f0a4.gifhello_html_2ac7fd01.gif) Решить систему:

hello_html_2ac7fd01.gif 2х + у = 7 х = 2у + 10 3х + 2у = 7 2,5х – 1,5у = 1

х– 2у = 1 0,5х – у = 5 2х + у = 4 х + 2у = 5


ı ı. Изучение нового материала. ∆х

При решении системы линейных уравнений вы пользовались формулами Х = —— и

у

У = ───. А это и есть не что иное, чем теорема Крамера

Формулировку заучить, а доказательство мы проводить не будем из-за его сложности.

Она звучит так: Если определитель матрицы системы линейных уравнений отличен от нуля, то система совместна и определенна.При этом ее решение вычисляется по формулам


Х = х У = у

Что значит система совместна и определенна?

Определение: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного решения.

Таким образом, мы произвели классификацию систем уравнений.

hello_html_5d210a37.gifhello_html_m2051be7a.gif СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

hello_html_m232a0bb8.gifhello_html_37862b01.gifлинейные


нелинейные


определенные


совместные


несовместные


неопределенные

hello_html_37862b01.gifhello_html_723c15c.gif






Мы уже знаем, что система не имеет решения или имеет множество решений, если ∆=0

∆ = а1 в2 – в1 а2 =0 => а1 в2 = в1 а2 По свойству пропорции а1 = в1

а2 в2

При таком условии система решений не имеет или имеет множество решений.

Значит, если а1 в1 , то система имеет одно решение.

а2 в2

Тогда отсутствие решения или наоборот, множество решений будет зависеть от отношения свободных членов.

Если а1 = в1 = с1

а2 в2 с2 , то множество решений.

Если а1 = в1 с1

а2 в2 с2 , то нет решений.

УПРАЖНЕНИЯ.

  1. Уhello_html_7fb3c877.gifстно. Какие из данных систем а) имеют одно решение б) нет решений в) множество решений.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif 5х + 4у = 13 2х – 7у = 8 3х + 4у = 5

3х + 5у = 13 4х + 14у = 16 3х + 4у = 7

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif

3х + 4у = 6 6х – 2у = 1 5х – 4у = 0

х + 2у = 0 18х – 6у = 5 10х – 8у = 0

  1. Даны системы. Не решая их, определите число решений, т.е. определите по внешнему виду систем, какие из них: - совместные

- несовместные

- определенные

- неопределенные.

аhello_html_4c2fcdbe.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif) 4х – у =0 б) 5х + 2у = 1 в) -10у = 4х + 5 г) 4х – 6у = 10

х – у = -6 10х – 2у =1 2х + 5у = 2,5 2х – 3у = - 4

3) Составить следующие виды систем: совместные, несовместные, определенные,

неопределенные.

ДОМАШНЯЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Заполните таблицу исследования системы двух уравнений с двумя неизвестными.

( Напечатано на отдельных листах. Ученики заполняют пустые клетки карандашом).

Коэффициенты и

свободные члены

Соотношения между

коэффициентами и

свободными членами

Определители

Вывод

а20 в20

а1 в1

а2 в2

∆ ≠ 0

Система определенная

а20 в20 с20

а1 в1 с1

а2 в2 с2

∆ = 0 х = 0

у = 0

Система неопределенная

а10 в20

а2=0 в1 = 0


∆ ≠ 0


а1=0 в20

а2=0 в1 0

с1 с2

в1 в2



а10 в1 = 0

а20 в2 =0


∆ = 0 х = 0

у 0


а1=0 с1=0

а2=0 с2 = 0



Система неопределенная


с1 = с2

а1 а2


Система неопределенная


ТЕМА 5. УРОК 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ КРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КРАМЕРА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

Цель: закрепить полученные знания и расширить их с помощью решения систем 3 линейных уравнений с 3 переменными; познакомить с вычислением определителей третьего порядка

ХОД ЗАНЯТИЯ.

1.Изучение нового материала.

1) Запишем в общем виде систему трех линейных уравнений с 3 переменными:

hello_html_2ac7fd01.gif а11х + а12у + а13 = с1

а21х + а22у + а23 = с2

а31х + а32у + а33 = с3

Теорема Крамера справедлива и для таких систем уравнений, т.е. х = х у = у z=z

∆ ∆

Нам нужно вычислить определители. Как это сделать?

Составим квадратную матрицу порядка 3.hello_html_m599dc819.gif

а11 а12 а13 = а11 а22 а33 + а12 а23 а31 +а12 а23 а31 -а13 а22 а31 -а12 а21 а33 - а11 а23 а32

А = а21 а22 а23 Не пугайтесь, эта формула легко запоминается, если составить схемы

а31 а32 а33 шаблоны. В формуле всего 6 членов – 3 из них взяты с плюсом, 3 с

минусом

ю

а11 а22 а33 а12 а23 а31 а12 а23 а31

hello_html_639cc2a4.gifhello_html_m7f88657c.gifhello_html_m7f88657c.gifhello_html_m4e4680bd.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_mb7daa16.gifhello_html_m4ec01ee2.gifhello_html_m2934bea4.gif ·· · · · · · · · ·

hello_html_m2724433d.gifhello_html_m440aced8.gif ·· · · · · · · · ·

·· · · · · · · · ·


Главная диагональ Основания треугольников параллельны главной

матрицы. диагонали и они равнобедренные.

Заметьте, что среди взятых элементов нет двух из одной строки или из одного столбца.

Теперь рассмотрим произведения с минусом:

а13 а22 а31 а12 а21 а33 а11 а23 а32

hello_html_639cc2a4.gifhello_html_m7f88657c.gifhello_html_m7f88657c.gifhello_html_m64d875ce.gifhello_html_18c70802.gifhello_html_665600da.gifhello_html_28a44d36.gifhello_html_m3a4e4029.gif ·· · · · · · · · ·

hello_html_m48db34a0.gifhello_html_3902c93c.gif ·· · · · · · · · ·

·· · · · · · · · ·


hello_html_m78245fd.gif

Пример 1) 2 3 5 = 2· 1· (-1) + 3· 2· (-3) + 5· 4 ·7 – 5 ·1·(-3) – 3· 4· (-1) -

А = 4 1 2

-3 7 -1 - 2 ·2 ·7 = -2 -18 +140 +15 + 12 -28 = 119

2) Решить систему, используя теорему Крамера:

hello_html_b7c891a.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gif 6х + 4у + 3z = 1 6 4 3

-2х + 5z= -1 ∆ = -2 0 5 = 6·0·4 + 4· 5· (-3) + 3· (-2)·2 – 3· 0· (-3) -

-3х + 2у + 4z = 1 -3 2 4 - 4· (-2)· 4 - 6· 5· 2 = - 100


hello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gif 1 4 3 6 1 3 6 4 1

х = -1 0 5 = 20 у = -2 -1 5 = - 76 z = - 2 0 -1 = 28

1 2 4 -3 1 4 - 3 2 1


х= - 1/5 у = - 19/25 z = 7/25

  1. Самостоятельно с последующей проверкой вычислить определители матриц:

аhello_html_6552d2fa.gifhello_html_4871412a.gifhello_html_6552d2fa.gifhello_html_6552d2fa.gif) 7 -5 1 б) 6 4 3 в) 5 2 -3 г) 5 12 8

3 3 0 - 2 0 5 - 7 4 2 0 0 0

6 6 0 - 3 2 4 - 1 1 6 3 -1 6

Ответы: 0 ; - 100 ; 199 ; 0.


ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Решить системы:

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif х + у - 3 z = -1 5х – 4у + 3z = -16

2х + у - 2z = 1 3х + 2у + 5z = 10

х + у + z = 3 4х – у - 2z = - 15

( 1; 1; 1) ( -2; 3; -2)

Итог урока.


ТЕМА 5. УРОК 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КРАМЕРА.

Цель: повторить и закрепить изученный материал по данной теме; проверить уровень усвоения изученного, способствовать выработке навыка решения систем с помощью теоремы Крамера.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Проверка домашнего задания.

II Самостоятельная работа по уровням в течение 25 минут.

1 уровень

1) Вычислить определители:

hello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_m5ee0d1.gifhello_html_438e1b6b.gifhello_html_438e1b6b.gif а) 2 9 б) -3 0 в) 2 3 4

5 11 7 -6 5 -2 1

1 2 3

2) Решить систему с помощью теоремы Крамера

hello_html_b7c891a.gifhello_html_7fb3c877.gif а) 3х + 2у = 7 б) 3х – у + 2z = 0

4x – 5y = 40 2x + 3y – 5z = 0

x + y + z = 0

Ответ: ( 5; -4 ) Ответ ( 0; 0; 0 )

2 уровень

1hello_html_b7c891a.gif) Решить систему x – 2y + z = 4

2x + 3yz = 3

4xy + z = 11

2) Найти все значения параметра k, при которых система не имеет решений:

hello_html_1752c256.gifkx + 2y = k +2

( 2k – 1 )x + ( k+ 1)y = 2( k + 1) Ответ: k = 1

3) Составьте какую-нибудь систему трех уравнений с тремя переменными, которая имеет решение х=2, у=3, z=1 (x+y+z=6; x-y+2z=1; 2x+y-5z=2)

После самостоятельного решения в течение 20 мин – обсуждение решений тех заданий, где возникнут вопросы или неверное решение.

Дhello_html_7c186dbe.gifОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Повторить всю теорию, подготовиться к диктанту.

Письменно: докажите, что система не имеет решений. 2xy +3z = 0

x + 2y – 5z = 0

3x + y – 2z = 0

ИТОГ ЗАНЯТИЯ.


ТЕМА 6. УРОК 1 РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ.

Цель: обоснование разработанных методов решения. Учащиеся должны знать, какие преобразования систем не меняют множества решений, в какой последовательности выполнять преобразования, чтобы систему было легко решить.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

Повторение изученного.

Диктант

  1. Записать формулы Крамера для решения системы 2 линейных уравнений с 2 неизвестными.

  2. Какая система линейных уравнений называется совместной?

  3. Если система не имеет решения, то ее называют ….

  4. Как вычислить определитель второго порядка?

  5. В каком случае система двух уравнений имеет единственное решение?

  6. В каком случае система двух уравнений имеет множество решений?

  7. Сформулировать теорему Крамера.

 Изучение нового материала.

  1. Равносильность систем.

За прошедшие 10 занятий вы научились многому: решать системы разными методами; не решая системы, определять число ее решений; познакомились с элементами высшей алгебры ( матрица, определитель ) и т.д.

Когда вы решали систему, то в одном случае умножали уравнение на число, в другом

Складывали уравнения или выражали одну переменную через другую и подставляли полученное выражение в систему; делали замену переменных и т.д.

Уверены ли вы, что в результате всех преобразований не потеряли какое-нибудь решение или не появилось лишнее? Конечно, если система определенная, то можно проверить полученное решение подстановкой в исходную систему. Сложнее дело обстоит с неопределенной системой. Попробуем сформулировать, что бы нам хотелось выяснить?

  1. Какие преобразования систем не меняют множества решений?

  2. В какой последовательности надо выполнять преобразования, чтобы систему было легко решить?

Для ответа на эти вопросы вернемся к системам двух линейных уравнений с двумя неизвестными, но обратим особое внимание на процесс их решения.

hello_html_7fb3c877.gif х + 2у = 3 Запишем подробно каждый шаг.

2х – у = 1 ( А )

1hello_html_7fb3c877.gif) Умножаем первое уравнение на -2, получаем -2х – 4у = -6. После шага 1) получили систему -2х – 4у = -6 Куда девалось 1 уравнение исходной системы?

2х – у = 1 ( В ) Почему мы его исключили из системы?

2hello_html_7fb3c877.gif) Сложим оба уравнения системы ( В ), получим -2х – 4у = -6

-5у = - 5 ( С )

Почему исключили из системы 2 уравнение?

3) у = 1 Подставим 1 в первое уравнение системы х + 2 1 = 3, получим х = 1

Получили, что решением системы будет пара чисел ( 1; 1 )

Яhello_html_c984821.gifhello_html_c984821.gifвляется ли это решение единственным? На этот вопрос можно ответить Найдем опре -делитель системы = 1 2 = -1 – 4 = -5 0.

2 -1

Да, система имеет единственное решение. Осталось подставить значения х = 1 и у = 1 в систему и убедиться, что решение верное.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif 1 + 2× 1 = 3 3 = 3

2× 1 – 1 = 1 1 = 1

Выпишем все преобразования системы:

( ) Замена одного из уравнений системы на уравнение, полученное из данного уравнения умножением на отличное от нуля число.

(  ) Замена одного из уравнений на сумму этого уравнения с другим уравнением системы.

(  ) Замена одного из уравнений на сумму двух уравнений

Преобразования (  ) и (  ) фактически одни и те же.

Преобразования типа ( ) и (  ) не меняют множества решений не только для систем с 2 неизвестными, но и с любым числом неизвестных.

Определение: Если две системы имеют одно и то же множество решений или если две системы несовместны, то их называют равносильными.

При решении системы мы последовательно переходили от системы А к системе С, поэтому системы А, В и С равносильны, т.к.они все имеют единственное решение .

А теперь рассмотрим преобразования типа (  ). Замена одного из уравнений системы суммой двух уравнений.


Рhello_html_m19d9113b.gifешим систему: 2x + y – 3z = 2

x – 3y + z = 0 ( A )

10x + 5y – 15z = 10

Заменим второе уравнение на сумму 1 и 3.

Пhello_html_m19d9113b.gifолучим: 2x + y – 3z = 2 Сложим 1 и 3 и вычтем 2, получим

12х + 6у – 18z = 12 ( B )

hello_html_m5bc28daa.gifhello_html_m5bc28daa.gif 10x + 5y – 15z = 10

2x + y – 3z = 2 2x + y – 3z = 2

x – 3y + z = 0 ( A 1 ) / умножим на -2/ -2x + 6y – 2z = 0 ( A 2 )

0х +0у +0z = 0 0х +0у +0z = 0

А 2 А 1 А

Пhello_html_m19d9113b.gifрименим преобразование (  ), т.е. заменим 2 уравнение суммой 1 и 2.

2x + y – 3z = 2

7у – 5z = 2 ( A 3 )

0х +0у +0z = 0 Из 2 уравнения выразим у через z 7y – 5z = 2

y= 2 + 5z

7

Подставим в первое уравнение 2х + 2 + 5z – 3z = 2 , x = 8z + 6

7 7

Имеем: hello_html_m53d4ecad.gifх =hello_html_m7aaf7f43.gif ; у = hello_html_74971579.gif, z – произвольное число.

А теперь решим систему В.

Пhello_html_m7f866c2f.gifрименяя по 2 преобразования типа ( ) и (  ), получим систему 2x + y – 3z = 2

( В 1 ) 0х +0у +0z = 0

0х +0у +0z = 0

Какие преобразования выполнили? ( 12х + 6у – 18z = 12 / : 6

2x + y – 3z = 2 и вычли из 1, получили 2;

Сложили 1 и 2 и вычли из 3, получили 3 ).

Общее решение системы ( В 1), а значит и (В), имеет вид: х – любое, у = -2х + 3z + 2, z – любое. Рассмотрим следующее частное решение системы ( В ): х=1, z=1, y = -2+3+2=3

И проверим, является ли оно решением ( А).

При z=1 x=2, y=1, значит решение ( В) ( 1; 3; 1 ), решение ( А ) ( 2; 1; 1 ) - разные, значит ( А) и ( В) не равносильны.

Итак, преобразования типа (  ), которые не являются преобразованиями типа (  ), могут привести к неравносильным системам. Тогда возникает вопрос: нельзя ли придумать алгоритм, который сохраняет равносильность систем и дает возможность легко решить систему?

Такой алгоритм дает метод Гаусса, с которым вы познакомитесь на следующем занятии.

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_1f25d709.gif. Решение упражнений.

1) устно а) х + 3у = 6 3х + 9у = 6 равносильны ли системы?

2х + у = 7 4х + 2у = 14


2hello_html_7fb3c877.gif) Дана система х + 3у = 6 Составьте систему, равносильную данной,

2х + у = 7 такую, чтобы первое уравнение осталось как в

данной системе, а второе получено почленным . сложением уравнений системы

3) Найдите последовательность преобразований, сохраняющих равносильность систем и переводящих одну систему в другую:

аhello_html_1f25d709.gifhello_html_1f25d709.gif) 3х – 2у = -2 и б) 2х – у = 4 ( Из 2 вычли 1 и получили 2х – у =4

5х – 3у = 2 7х – 4у = 6 Сложили 2 из а) с 1 из б) )

 ТЕСТ ( поставить + или - )

Какие из следующих высказываний верны:

ДВЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ РАВНОСИЛЬНЫ, ЕСЛИ:

  1. решение одной системы является решением другой

  2. единственное решение одной системы является единственным решением другой

  3. обе имеют бесконечное множество решений

  4. обе имеют бесконечное множество решений и одинаковое общее решение

  5. графики соответствующих уравнений обеих систем попарно параллельны

  6. между уравнениями обеих систем можно установить такое соответствие, что коэффициенты при одноименных неизвестных соответствующих уравнений пропорциональны, а их свободные члены непропорциональны.

  7. между уравнениями обеих систем можно установить такое соответствие, что все коэффициенты ( в том числе и свободные члены ) соответствующих уравнений пропорциональны. ( + : 2; 4; 7 )

Проверьте, равносильны ли системы:

hello_html_1f25d709.gifhello_html_1f25d709.gif а) 5х + 3у = 19 2х + 4у = 14

-2х + 4у = 8 и х – 3у = 2 ( нет )


hello_html_1f25d709.gifhello_html_1f25d709.gif б) -4х + 5у = 13 2х + 3у = 21

2х – 3у = -9 3х – 2у = -1 ( да )


ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

  1. Дhello_html_1f25d709.gifhello_html_1f25d709.gifhello_html_1f25d709.gifля каждой из следующих систем составьте некоторую равносильную систему

а) 4х – 3у = 1 б) 2х + 5у = 8 в) 3х – 4у = 1

3х + 2у = 5 7х + 4у = 1 2х + 5у = 4

  1. Нhello_html_1f25d709.gifhello_html_1f25d709.gifайдите последовательность преобразований, сохраняющих равносильность систем и переводящих одну систему в другую:

4х – 7у = 1 и 6х – 23 у = - 11

3х + у = 7 - 25у = - 25

3) Одному из учеников подготовить сообщение о Гауссе.


ТЕМА 6. УРОК 2. МЕТОД ГАУССА.

Цель: научить решать системы с помощью метода Гаусса.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

  1. Историческая справка о Гауссе.

  2. Иhello_html_m248e259d.gifзучение нового материала.

hello_html_m248e259d.gif Решить системы: 2х1 + х2 + х3 + х4 = 1 х1 + х4 + 3х2 – х3 = 2

1 + 4х2 – х3 – х4 = 0 х4 + 5х2 – 3х3= 3

х1+ 3х2 – х3 + х4 = 2 х2 – 2 3 х3 = 25

1 – 3х2 + 6х3 + 3х4 = 3 - 1 3 х3= 11 5


Какую систему из этих двух вы выбрали бы для решения? Почему?

Составим матрицу коэффициентов 2 системы.

hello_html_m1667d50e.gif

1 1 3 -1 Все элементы ниже главной диагонали равны 0.

0 1 5 -3 Такие матрицы называются треугольными.

0 0 1 -2 3 Поскольку системы такого вида легко решаются,

0 0 0 -1 3 нельзя ли любую систему привести к такому виду?

Наша задача получить нули вместо коэффициентов.

  1. Найдем уравнение скоэффициентом ±1 при х и поставим его на первое место.

Если такого уравнения нет, то выполним преобразования: поменяем местами переменные ( во всех уравнениях системы! ) или делим все коэффициенты 1 урав-

Нhello_html_m248e259d.gifения на коэффициент при х .

Получим систему, равносильную данной: х1 + 3х2 – х3 + х4 = 2

hello_html_m5efd7788.gif1 + 4х2 – х3 – х4 = 0 умножу на 2

1 + х2 + х3 + х4 = 0 умножу на -3 +

hello_html_m248e259d.gif1 + 3х2 + 6х3 + 3х4 = 3

hello_html_68a715aa.gif х1 + 3х2 – х3 + х4 = 2

hello_html_m248e259d.gif -6х1 – 3х2 -3х3 – 3х4 = -3| :6 сложу -х1 - 1 2 х2 - 1 2 х3- 1 2 х4 = - 1 2 I· 5 + 4ур

2 -5х3 -5х4 = -3 5х2 – 5х3 – 5х4 = - 3

1 + 3х2 + 6х3 +3х4 = 3 5 2 – 3 2 х3 + 1 2 х4 = 3 2

1 + 3х2 + 6х3 + 3х4 = 3


hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif -5х1 – 5 2 -5 3 -5 4 = -5 2 I· (-2 5) 2х1 + х2 + х3 + х4 = 1

2 - 5х3 – 5х4 = -3 5х2 – 5х3 – 5х4 = -3

5 2 – 3 3 +1 4 = 3 2 I· 2 5х2 – 3х3 + х4 = 3 вычтем 3 ур. из 2 ур.

-11 2 + 7 3+1 4 = 1 2 I· 2 - 11х2 + 7х3 4 = 1




hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gif1 + х2 + х3 + х4 = 1 2х1 + х2+ х3 + х4 = 1

-2х3– 6х4 = -6 5х2 – 3х3 + х4 = 3

hello_html_68a715aa.gif2 – 3х3 + х4 = 3 I· 11 5 и + 4 ур. -2х3 – 6х4 = -6 сложу

-11х2 + 7х3+ х4 = 1 2х3 + 16х4 = 38


2hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_m3544cdd1.gifх1 + х2 + х3 + х4 = 1 2х1 + х2 + х3+ х4 = 1

2 – 3х3 + х4 = 3 5х2 – 3х3 + х4 = 3

-2х3 – 6х4 = -6 I· ( -2) х3 + 3х4 = 3

10х4= 32 10х4 = 32


Ответ: х = 21 5; х = - 4; х = - 33 5; х = 16 5.

  1. Решение упражнений.


1hello_html_2ac7fd01.gif) Решить систему: 3х1 –х2 + 2х3 = 4

2– х3 = 4

х3 = 2

2) Прокомментируйте решение системы:

hello_html_5b902363.gif

hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_2ac7fd01.gif1 + х2 + х3 = 2 а) х1 + х2 + 5х3 = -7 б) х1 + х2 + 5х3 = -7

х1 + х2 + 5х3 = -7 2х1+ х2 + х3 = 2 -х2 - 9х3 = 16

1 + 3х2– 3х3 = 14 2х1 + 3х2 – 3х3 = 14 х2 – 13х3 = 28


hello_html_2ac7fd01.gifhello_html_1042f0a4.gifhello_html_2ac7fd01.gif в) х1 + х2 + 5х3 = -7 г) х1 + х2 + 5х3 = -7 х1 = 1

- х2 – 9х3 = 16 -х2 – 9 (-2) = 16 х2 = 2

22х3 = 44 х3 = -2 х3= -2

  1. Решить системы:


хhello_html_1042f0a4.gifhello_html_5b902363.gifhello_html_m3544cdd1.gif1 + х2– х3 = 0 х1 + 3х2 – 2х3 + х4 = 1 3х1 + 4х2 + 2х3 + х4 = 16

х1 – х2 – х3 = 0 7х2 – 4х3 + 3х4 = 2 2х1 + х2 + 3х3 + 5х4 = 10

х1+ х2 + х3 = 0 2х3 + 3х4 = 4 х1 + 7х2 + х3 + х4 = 23

Ответ: ( 0; 0; 0) х4 = -2 4х1 – 3х2 + 4х3 + 6х4 = 1

Ответ: ( 1; 4; 5; -2) Ответ: ( 1; 3; 0; -1


ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

Доказать, что система уравнений имеет единственное решение и найти его.

hello_html_m3544cdd1.gif х2 + х3 + х4 = 1

х1 + х3 + х4 = 2

х1 + х2 + х4 = 3

х1 + х2 + х3 = 4 Ответ: х = 7 3; х = 4 3; х = 1 3; х = - 2 3.




ТЕМА 6. УРОК 3. МЕТОД ГАУССА.

Цель: закрепить умение пользоваться одним из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

Іhello_html_m1f5b16a8.gifhello_html_m1f5b16a8.gif. Решение упражнений

1) х + 2у + 3z = 5 2) х1+ 3х2 + х3 =5

4x – 3y – 5z = 10 ( устно) 2х1 + 3х2 – 3х3 = 14 ( письменно)

2x – 4y – 6z = 5 -5х1 + 2х2 – 2х3 = 3 Ответ: х1=1, х2 =2, х3 = -2

Ответ: система несовместна.

3)---письменно, самостоятельно, с последующей проверкой.

hello_html_m5e2238bb.gif - 2х1 – 4х2 + 2х3 – х4 + 12х5 = 4

2 + х3 – 3х4 – 3х5 = 0

3 – 5х4 + 6х5=0

4 + 9х5 = 2

5 = - 2 Ответ: х1 = - 17/ 3, x2 = 1/3, x3 = 2, x4 = 2, x5 = - 2/3

  1. 3hello_html_m1f5b16a8.gifx1 + x2– 2x3 + x4 – 3x5 = 2

х3 – 2x4 + x5 = 0

х4– 2x5 = 1 Ответ: х1 и х5 – любые, х2 = -3х1 -7х5 + 5х1 , х3 = 3х5 + 2,

х4 = 1 + 2х5

Іhello_html_m5e2238bb.gif І. Самостоятельная работа.

1hello_html_m58e2507.gif уровень 4х1 – х2 + 6х3 + 3х4 – 10х5 = 4 2 уровень 4х1 – 2х2 + 3х3 – х4 = 10

2 – 2х3 + 4х4 – 2х5 = 0 3х2 + х3 + 2х4 = 0

3 – х4 + 4х5 = 1 2х3 – 3х4 = 1

4 – 4х5 = 4

5 = 1

Тhello_html_m5e2238bb.gifВОРЧЕСКОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.

аhello_html_m5e2238bb.gifhello_html_m5e2238bb.gif) х1 + х2 + х3 + х4 = 1 б) 3х1 + 4х2 + 2х3 + х4 = 16 в) 5х1 + 4х2 + х3 + 3х4 = -5

х1+ х2 -2х3 – х4 =0 2х1 + х2 + 3х3 + 5х4 = 10 2х1 + х23 + 4х4 = 2

х1 + х2 - 4х3 + 3х4 = 2 х1 + 7х2 + х3 + х4 = 23 3х1 + 2х2 + х3 + х4 = - 3

х1 + х2 + 7х3 + 5х4=3 4х1 – 3х2 + 4х3 + 6х4 = 1 х1+ 3х2 -2х3 + 2х4 = - 4


hello_html_m5e2238bb.gif

г) 3х1 + 4х2 + 5х3 + 7х4 = 1 Решите системы уравнений, выберите ответы из

1 +6 х2 - 3х3 + 4х4 = 2 зашифрованной таблицы, расставляя буквы в том

1+ 2х2 + 13х3 + 10х4 =0 же порядке, что и системы уравнений.

х1 + 21х3 + 13х4 = 3


Р

В

А

Е

М

Н

х1 = -х2 - 2

х1 = ½ - х2 + ½ х3

Нет

решений

х1 = 1

х1 = -х21/3 х4 + 2/3

х1 = -х3

х2 - любое

х2 - любое

х2 = 3

х2 - любое

х2 = х3 - 2

х3 = х2 + 2

х3- любое

х3 = 0

х3 = - 2/3 х4 + 1/3

х3 - любое

х4 = 1

х4 =½ - 3/2 х3

х4 = 3

х4 - любое

х4 = 1


Ответы: а) х1 = -3х2 – х4 + 2 , х2 – любое, х3 = - 2х4 + 1 , х4 - любое

3 3

б) х1 = 1, х2 = 3, х3 = 0, х4 = -1

в)х1 = - х2– 2, х2 – любое, х3 = х2 + 2, х4 = 1

г) система несовместна.

СЛОВА: мера, мена, вера, вена.


ТЕМА 7 УРОК 1 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Цель: закрепить умение решать задачи с помощью составления систем уравнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

 Решение задач из экзаменационного сборника

1) страница 161 № 581 № 583 № 585 № 599 № 602

2) страница 130 № 228 № 252

Самостоятельно: 1 уровень стр 161 № 582, 584

2 уровень стр 136 № 254 (1) 249 (1)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Выбрать из экзаменационного сборника 3 задачи и решить их с помощью составления систем уравнений на листочках. 1 уровень с цифрой ( 1) на полях, 2 уровень – с цифрой ( 2) За эту работу – оценка в журнал.



ТЕМА 7. УРОК 2 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Цель: закрепить знания учащихся по данной теме и показать практическое применение систем.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

 РАБОТА В ГРУППАХ

Решить задачи: 1 уровень: № 257 ( 1) № 259 ( 1) № 261 ( 1) из экзаменационного сборника

2 уровень: 1) При перемножении двух чисел, из которых одно на 94 больше другого, цифра десятков по ошибке была уменьшена на 4. При делении ошибочного произведения на больший из множителей, получилось в частном 52, а в остатке 107. Какие числа перемножались?

2) В цехе проходит соревнование между двумя токарями. За определенный период времени первый и второй токари сделали в три раза больше деталей, чем третий токарь, а

первый и третий токари – в 2 раза больше деталей, чем второй. Какой из токарей победил в соревновании?


После самостоятельной работы над задачами выступают представители групп с решениями. Остальные проверяют правильность своего решения и записывают решение остальных нерешенных задач.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. Каждый ученик получает карточку с задачей. Решение должен оформить на листке. Оценка – в журнал.



ТЕМА 7 УРОК 3 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

ЦЕЛЬ: расширить и углубить умения учащихся решать задачи.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Работа с домашними задачами

1 уровень - задачи на движение -1 группа ; разные задачи - 2 группа 1 уровня

2 уровень - задачи на работу

Составить алгоритмы решения задач.

II Решение задач на проценты, смеси и сплавы.

1) Сплав меди и цинка, содержащий 32 кг меди, сплавлен с 6 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с содержанием ее в первоначальном сплаве на 8%. Сколько цинка стало содержаться в сплаве?


2) К некоторому количеству серной кислоты, содержащей 2,5 кг воды и налитой в реторту, добавили 1,5 кг 20% серной кислоты. В результате концентрация кислоты в реторте понизилась на 5%. Найти первоначальную концентрацию кислоты в реторте.


3) Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10%. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 12% меньше исходной. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов? ( задача из ЕГЭ )


4) Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба, если известно, что в течение часа их 1 трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй?

V л – объем бассейна , х и у – производительность труб.


hello_html_7fb3c877.gifhello_html_m38660f28.gif V = ( х + у ) 6 х + у = 1/ 6 V V

х = у + 0,5у V х и у искомые неизвестные.

2х = 3у Ответ: 10 час и 15 час.


ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Просмотреть все записи по элективному курсу и подготовиться к итоговой проверочной работе.


ТЕМА 8. ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА.

Цель: выявление знаний учащихся и степени усвоения ими материала курса.


ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Организация учащихся на выполнение работы

II Выполнение работы.

1 уровень:

1) Решить системы уравнений:

hello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gif 3х – 2у = 5 х + у = 20

6х + 2у = 7 ху = 96


2) Решить задачу:


В течение 8 час работы один рабочий изготовляет на 2 детали больше, чем другой. Если бы каждому из них удалось сократить время изготовления одной детали на 8 минут, то первый рабочий за 8 час работы сумел бы изготовить на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей изготовлял каждый рабочий за 8 час работы?



2 уровень

1hello_html_7fb3c877.gifhello_html_5b902363.gif) Решить системы уравнений:

3х² + у² - 4х = 40 4х1 -2х2 + 3х3 – х4 = 10

2х² + у² + 3х = 52 3х2 + х3 + 2х4 = 0

2х3– 3х4 = 1

2hello_html_m3544cdd1.gif) Доказать, что система уравнений имеет единственное решение. Найти это решение.

х2 + х3 + х4 = 1

х1 + х3 + х4 = 2

х1 + х2 + х4 = 3

х1 + х2 + х3 = 4

3) Решить задачу:

Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе,

выполняют работу за 7,5 час; первый, третий и пятый – за 5 час; первый, третий и четвертый – за 6 час; четвертый, второй и пятый – за 4 час. За какой промежуток времени

выполняют эту работу все пять человек, работая вместе?

ИТОГ ЗАНЯТИ


ТЕМА 9 УРОК КОРРЕКЦИИ.

Цель: подтягивание некомпетентных учеников до минимального уровня; дать возможность повысить оценку.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Анализ контрольной работы.

Разбор упражнений, вызвавших затруднения и решенных неверно.

II Решение упражнений по всему курсу.

Те ученики, кто написал работу на «2» и «3», получают карточки с заданиями и работают самостоятельно.

Остальные – в двух группах.

( Задания подбираются учителем в зависимости от выполненной проверочной работы, однотипные с нерешенными большинством учеников )

III Подведение итогов изучения курса. Отметить особо старательных учеников.

hello_html_3ae266fd.png



57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Автор
Дата добавления 18.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров298
Номер материала ДВ-169613
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх