Программа элективного курса "Системы уравнений" (9 класс)

Кайпинская  основная общеобразовательная школа

                                             ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС

                                    ДЛЯ УЧАЩИХСЯ  9 КЛАССА

                         ТЕМА:  «СИСТЕМЫ  УРАВНЕНИЙ»

                                                            Составила: Панкевич Людмила Анатольевна,

                                                              Учитель            математики  

                                                               стаж работы 40 лет.

                                                                      г. Суоярви

                                             СТРУКТУРА ПРОГРАММЫ

Программа является обучающей и содержит:

      пояснительную записку

      цели курса

      требования к усвоению курса

      учебно-тематический план

      содержание программы

      методические рекомендации

      список литературы

      приложения

                           Пояснительная          записка

     Данный курс «Системы уравнений» предусматривает изучение отдельных вопросов, непосредственно примыкающих к основному курсу математики и углубляющих его путем включения более сложных задач, исторических сведений, нового для учащихся метода решения систем, материала занимательного характера при расширении теоретического материала.

     Материал этого курса может использоваться как на уроках, так и на занятиях кружка или факультатива. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков решения систем уравнений и формированию интереса к предмету, но и подтолкнет к самостоятельной работе по приобретению знаний.

     В ходе решения задач развиваются творческая и прикладная стороны мышления, воображение; курс повышает общую культуру ученика путем знакомства с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку.

     Целями данного курса являются:

1.овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для продолжения образования..

2.интеллектуальное развитие учащихся и формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности, необходимых для жизни в современном обществе.

3.показать некоторые нестандартные методы решения систем уравнений.

     Для достижения поставленных целей в процессе изучения курса решаются следующие задачи

1.Приобщить учащихся к работе с математической литературой.

2.Научить решать системы уравнений методом сравнения, методом Гаусса, с помощью формулы Крамера и определителей.

3.Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и повысить уровень математической культуры.

Требования к уровню усвоения курса.

   Данный курс рассчитан на 18 часов для учащихся 9 класса; предполагает систематизацию и обобщающее повторение темы алгебры «Системы линейных уравнений», а также расширение учебного материала за счет изучения ранее не известных учащимся методов решения систем уравнений, исторического материала.

 Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, семинар, практическая работа. Уровень сложности заданий варьируется от простых до конкурсных. Все занятия направлены на развитие интереса к предмету путем расширения представлений об изучаемом материале, на изучение новых методов. При изучении курса не ставится цель выработки каких-либо специальных умений и навыков, достаточно, чтобы учащиеся знали:

1.Основные алгоритмы решения систем уравнений.

2.Определение количества решений системы.

Умели:

1.Применять алгоритмы при решении систем уравнений.

2.Понимали графическую интерпретацию решения систем уравнений.

3.Применяли полученные знания при решении текстовых задач.

                            УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

№	Наименование тем курса	Всего часов	В том числе				Форма контроля
			Беседа лекция	практика	семинар
1	Урок вводного повторения:. «Системы уравнений и способы их решения»	2	1	1		Срезовая  с\р по уровням
2	Замена системы уравнений другой системой	1		1
3	Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований	2		1	1	с\р
4	Формулы Крамера	1		1
5	Определители и матрицы. Теорема Крамера. Исследование и решение систем с помощью определителей	4	2	2		1.творческая      дом. с\р 2.с\р с послед. проверкой
6	Равносильность систем и         метод Гаусса	3	1	2		с\р
7	Решение текстовых задач с помощью составления систем уравнений	3		2	1	с\р
8	Проверочная работа	1
9	Урок коррекции знаний	1

                                           Всего:      18 час

                                       Содержание  программы.

ТЕМА 1 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ \2ч\

Система уравнений с двумя переменными. Решение систем двух линейных уравнений методом сложения и подстановки. Графический метод решения систем. Исследование количества решений системы.

Метод обучения: беседа, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: трехуровневая самостоятельная работа.

ТЕМА 2 ЗАМЕНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДРУГОЙ СИСТЕМОЙ\ 1ч\

Симметрическая система. Решение системы с помощью замены переменных Замена системы с помощью операций над уравнениями \сложение вычитание, умножение, деление\.

Форма занятий: беседа, практическая работа.

Метод обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: самостоятельная работа.

ТЕМА 3 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ, АНАЛОГИЙ ИЛИ ЗАИМСТВОВАНИЙ \2ч\

   Теорема Виета \обратная\. Решение биквадратных уравнений .Разложение многочлена на множители .Ассоциации с разными элементами уравнений.

 Метод обучения: беседа, тренировочные упражнения.

 Форма контроля: домашняя самостоятельная работа.

ТЕМА 4 ФОРМУЛЫ  КРАМЕРА \1ч\

Историческая справка о Крамере. Вывод формул Крамера. Решение и исследование систем с помощью формул Крамера.

Форма занятия: лекция

Метод обучения : тренинг.

ТЕМА 5 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. ТЕОРЕМА КРАМЕРА.ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.\4ч\

Матрица, ее элементы и принцип составления. Определитель второго порядка. Совместные и несовместные системы. Теорема Крамера и ее использование для решения систем. Исследование систем линейных уравнений.

Формы занятий: практикум, семинар .

Методы обучения: беседа, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: творческая работа.

ТЕМА 6 РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ И МЕТОД ГАУССА.\2ч\

Равносильные системы. Замена одного из уравнений системы суммой двух уравнений. Метод Гаусса.

Формы занятий: лекция, практикум .

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: самостоятельная работа.

ТЕМА 7 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.\4ч\

Решение задач методом составления систем уравнений.

Методы обучения: беседа. выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

ТЕМА 8 ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА\1ч\

Трехуровневый письменный зачет.

ТЕМА 9 УРОК КОРРЕКЦИИ.\1ч\

Форма занятия: семинар - практикум.

                                       МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Данный элективный курс «Системы уравнений» дает полный объем знаний, умений и навыков, которыми должен овладеть ученик. В этот объем входят как знания, предусмотренные программой общеобразовательной школы, так и выходящие за ее рамки. Учащиеся должны научиться решать системы более высокого уровня сложности, причем не нужно этого требовать от всех учеников. Задания предусмотрены трех видов сложности ,и их выбор зависит от желания самого ученика. Цель курса - помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.

  Не все системы уравнений легко и просто решаются методами, изучаемыми в школе, поэтому для расширения знаний по этой теме подобраны системы, которые можно решить другими способами. Кроме того, уделяется достаточно внимания на применение систем.

   Поурочные домашние задания разного уровня являются обязательными для всех. Активным учащимся предлагаются задания творческого характера, также домашние самостоятельные работы. Проверочные работы рассчитаны на часть урока \кроме итогового зачета \ Задания выбираются по усмотрению учителя в зависимости от подготовленности учеников.

 Курс является открытым: в него можно добавили какие-то вопросы не рассматривать, главное чтобы курс соответствовал возможностям слушателей.

                                       ВОЗМОЖНЫЕ КРИТЕРИИ ОЦЕНОК

Поскольку уровень подготовки и интерес к математике у всех учеников различный, то все задания предлагаются  разноуровневые .

   Оценка «отлично» ставится, если ученик освоил теоретический материал и свободно им владеет, решает задания высокого \3\уровня,выполняет задания творческого характера, умеет пользоваться теоретическим материалом, изученным самостоятельно, владеет математической культурой.

   Оценка «хорошо»-ученик освоил основные методы решения систем, справляется с решением заданий второго уровня, выполняет домашние задания \ без проявления явных творческих способностей \,имеет положительные результаты при применении систем в решении задач.

  Оценка «удовлетворительно»-ученик освоил наиболее простые способы решения систем без воспроизведения теории, успешно выполняет задания первого уровня.

  Оценка «неудовлетворительно»-не проявил ни прилежания, ни заинтересованности, не справляется с решением заданий первого уровня.

ЛИТЕРАТУРА

Н.П.Антонов, М.Я.Выгодский, В.В.Никитин А.И.Санкин «Сборник задач по элементарной математике» «Наука», Москва,1972

Н.И.Зильберберг «Алгебра-9» Для углубленного изучения математики. Псков.1993

С.К. Росошек, Л.Б.Хают, И.Е.Малова «Системы уравнений». Издательство Томского университета Москва,1996

И.С.Фрадков «Учимся решать задачи» АО «КАРЭКО» Петрозаводск,1995

И.Ф. Шарыгин «Решение задач» Учебное пособие для 10 класса общеобразовательных учреждений-М. Просвещение,1994

ТЕМА 1. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ  И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ.  ( 2ч)

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме; повторить алгоритмы  решения систем.

                                                ХОД  ЗАНЯТИЯ.

1. Беседа « Системы уравнений с 2 переменными и способы их решения»

Задача. Можно ли разменять сторублевую купюру пятирублевыми и однорублевыми монетами так, чтобы всех монет было 30?

Решение.   Х монет пятирублевых                      х + у = 30

                   У монет  однорублевых                     5х + 1у = 100

Данная система имеет единственное решение   ( 77½ ; 12½ ). По смыслу задачи х и у должны быть натуральными числами, поэтому разменять нельзя.

Вопросы к учащимся.

1.Что такое система?

2. Что значит решить систему?

3. Что называют решением системы?

4.Какие способы существуют для решения системы?

2.   Составление опорного конспекта.

                  Способы решения систем.

Графический способ	Способ подстановки	Способ сложения
2х + 3у = 5      3у = 5 – 2х      3х – у = -9        -у = -9 -3х х -2 4 у 3 -1     У= ⅓ (5 – 2х)     У = 9 + 3х х 0 -3 у 9 0                         у   Ответ: ( -2; 3) Алгоритм. 1)Выражаем из каждого урав- нения у через х. 2) Строим график каждого уравнения. 3) Находим координаты точ- ки пересечения графиков. 4) Записываем ответ.	2х + 3у = 5      3х – у = -9      у = 3х + 9    у = 3х + 9    2х + 3( 3х + 9) = 5     2х + 9х + 27 = 5              11х = -22                 х = -2     у = 3х + 9 = 3·( -2) + 9=3  Ответ: ( -2; 3) Алгоритм. 1) Выражаем  1 перемен- ную через другую из лю- бого уравнения. 2) Подставляем выражение в другое уравнение и ре- шаем его. 3) Найденное значение переменной подставляем в подстановку и находим значение 2 переменной. 4) Записываем ответ.	2х + 3у = 5      3х – у = -9I·3            2х + 3у = 5  +        9х – 3у = -27            11х       = -22                   х= -2    2·( -2) + 3у = 5                  3у = 9                    у= 3 Ответ: ( -2; 3) Алгоритм. 1)Домножаем одно или оба уравнения на числа так, чтобы уравнять коэффици- енты при одной из перемен- ных. 2) Сложить или вычесть почленно оба уравнения. 3) Найти значение одной переменной. 4) Подставить это значение в любое уравнение и найти значение 2 переменной. 5) Записать ответ.

3. Практические упражнения.

1 уровень.      Решить систему уравнений каждым из данных методов и сравнить полученные ответы.            2х + 3у = 8

                                                5х – 3у = 6

2 уровень.  Некто составил следующий план решения системы двух уравнений с 2 неизвестными с целыми коэффициентами методом сложения:

а) найти наименьшее общее кратное коэффициентов при одной из неизвестных;

б) умножить уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при выбранной неизвестной оказались противоположными числами;

в) сложить левые и правые части уравнений системы;

г) решить полученное уравнение относительно содержащейся в ней неизвестной;

д) подставить найденное значение неизвестной в одно из уравнений системы и найти значение второй неизвестной.

Проверьте, как работает этот алгоритм, решая следующую систему:

                  5х + 3у = 12

                  6х + 4у = 15

Применим ли этот алгоритм к системам, у которых хотя бы один из коэффициентов при некоторой неизвестной не является целым числом?

Как исправить алгоритм, чтобы он был применим и в этом случае?

2) Решите системы уравнений ( любым способом)

              х+ у   +   х – у    = 3                      2у – 3х   +  у   = у + 1

2                            2                                          4           3

              х+ у   -   х – у    = 4                       у + 9     +  2 – х   =  1/2 - х

2              2                                       6                8

    3 уровень. 1) Решите систему, если известно, что первое её уравнение обращается в верное равенство при х = 3 и у = -10, а второе – при х = 5 и у = -7,75.

                            6х + ву = 8

                            сх + 4у = -6     Ответ: ( 1; 5)

                      2) Пусть даны две системы:         х + 9у = 10                          х + 9у = 10,1

                                                                              1,1х + 10у = 11,1               1,1х + 10у = 11,1

а) чем отличаются эти системы?

б) не решая этих систем, попытайтесь оценить, будут ли эти решения значительно различаться?

в) решите системы, сравните полученные ответы с предполагаемыми в пункте б).

г) чем, по-вашему, можно объяснить полученный в пункте в) результат?

4. Срезовая работа уровня 1 – 3.

После выполнения практических упражнений, каждый получает карточку заявленного уровня и решает самостоятельную работу.

Примерные карточки.

1 уровень    1) Решить графически       х – у = 5

                                                                   х+ у = 7

                      2) Решить способом подстановки:    2х + 3у = 27

                                                                                     х– у = 11

                      3) Решить способом сложения:    х + у = 8

                                                                              3х – 2у = 4

2 уровень. Решить наиболее удобным для вас способом следующие системы:

             -7х + 3у = -32             -5х + у = 0                       7х + 8у = 2

               4х – 6у = -6                6х + 2у = 16                    х – 3у = 4

3 уровень. Решить системы:     х² + ху + 1 = 0           

                                                       х+ у = 3                    Ответ: ( - ⅓;  3⅓ )

                        2   +   3   = 5

                        х       у  

                        7   -   5    = 2

                         х      у                    Ответ: ( 1; 1)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ. На карточках по уровням.     1 уровень

    Дана система     х + 3у = 6    Объясните предложенное ниже решение и заполните про-

                               2х + у = 7         пуск

Решение	Объяснение
1) х = 6 – 3у	Выразили х через у из 1 уравнения.
7 - у  2)              Х   =      2
3)	Приравняем правые части.
4)              12 – 6у = 7 – у                -5у = -5                   У = 1	.
5)      х = 6 - 3· 1 = 3	Подставили найденное значение в 1 уравн. и нашли х.
6)       х = 3  у = 1

                                                                                                       Ответ: ( 3; 1)

2 уровень. То же, что и 1 уровень + задание б).

б) Можно ли решить эту систему, выражая из каждого уравнения у и приравнивая правые части выражений? Если да, то выполните такое решение. Сравните результаты.

3 уровень. Решить системы:    х² + у²= 2(ху + 2)           х² + у²= 65

                                                      х+ у = 6                               ху = 28

                                    Ответ: ( 2; 4) ( 4; 2)                  Ответ: ( 4; 7) ( -4; -7) ( 7; 4) ( -7; -4)

ТЕМА 2.  ЗАМЕНА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДРУГОЙ СИСТЕМОЙ.

Цель: познакомить с еще одним способом решения систем.

                                                        ХОД   ЗАНЯТИЯ.

I. Проверка домашнего задания.

7 - у  2)              Х   =      2	Выразим х через у из 2 уравнения.
7 - у  3)           6 -  3у  =      2	Приравняем правые части.
5)              12 – 6у = 7 – у                -5у = -5    у = 1	Решили полученное уравнение и нашли значение у.
5)      х = 6 - 3· 1 = 3
6)       х = 3  у = 1	Нашли решение системы. Ответ: ( 3; 1)

Ответ: б) Да, можно.

       У = 6 – х                                                6 – х   = 7 – 2х                                            

                 3                                                      3

        У = 7 – 2х                                            6 – х = 21 – 6х 

                                                                  -х + 6х = 21 – 6

                                                                         5х = 15

                                                                           Х = 3                 3 + 3у = 6

                                                                                                           У = 1

                                                                              Ответ: ( 3; 1)

Результаты оказались одинаковыми. Этот метод называется методом сравнения.

II. Решить методом сравнения системы:

                      

                    3х + у = 0                  4х + 9у = 299

                     2х – у = 15                8х – у = 9

                         ( 3; -9)                          ( 5; 31)

Записать алгоритм решения.

1)      Выражаем одну переменную через другую из 1 уравнения, затем из 2 уравнения.

2)       Приравниваем правые части.

3)       Решаем уравнение и находим значение 1 переменной.

4)       Подставляем значение этой переменной в любое уравнение и находим значение 2 переменной.

5)      Записываем ответ.

III. Замена системы уравнений другой системой.

1)      Определение симметрической системы.

Будем называть систему с n  неизвестными симметрической, если она не меняется при перестановке неизвестных.  Пример:     х² + у² = а           у² +  х² = а   Эти системы

                                                                      ху = в                    ух = в             совпадают.

Если симметрическая система имеет 2 неизвестных, то решение может быть найдено с помощью переменных  u = х + у,  v = ху.

При этом работают такие формулы:  х²+ у² = ( х + у)² - 2ху

                                                                х³ + у³ = ( х + у)³ - 3ху( х + у)

х  + у = (х²+ у²)² - 2 х²у² = ( х + у) - 4( х + у)² ху + 2 х²у²

х + у =  ( х + у) - 5( х + у)³ху + 5( х + у) х²у²

Они используются для того, чтобы выразить  :  х²+ у², х³ + у³, х  + у, х + у и т.д. через u

и   v.

Пример:             х²+ ху + у² = 3                  u = х + у          ( х + у)² - 2ху + ху = 3

                            х²- 3 ху + у² = -1               v = ху              ( х + у)² - 2х – 3ху = -1

      ( х + у)² - ху = 3               u² - v = 3    

      ( х + у)² - 5ху = -1               u² - 5v = -1       4v = 4      v = 1      u² - 1 = 3     u = ± 2

 Имеем:            х + у = 2                           х + у =  -2

                            ху = 1      и                         ху = 1               Ответ: ( 1; 1) и ( -1; -1)

\/. Решение  упражнений.

                     х2  + у = 82                      х³ + у³ = 9

                     х + у = 4                          ху = 2

ДОМАШНЕЕ  ЗАДАНИЕ.

1)      Повторить теорему Виета и решение биквадратных уравнений.

2)      Решить :    1 уровень: методом сравнения     3х + 5у = 4            4х – 5у = 3

                                                                                      х – у = 4            6х – 7у = 5

                                          методом замены системы    х²+ у² = 2

                                                                                                ху = 1

                              2 уровень:  +      х²+ у² = 2( ху + 2)

                                                             х + у = 6

 

                                    3 уровень:            х³ + у³ = 65                 х²у³ + х³ у²  = 12  

                                                             х²у + х у² = 20            х²у³ - х³ у²  = 4

Итог  занятия.

ТЕМА 3.   УРОК 1.  РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ, АНАЛОГИЙ ИЛИ ЗАИМСТВОВАНИЙ.

ЦЕЛЬ: познакомить учащихся с еще несколькими способами решения систем                                   

                                                    ХОД ЗАНЯТИЯ.

1.Повторение материала

Устно:   1.Дано уравнение:   3х² + 6х – 18 = 0.  Сделайте его приведенным.

               2.Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

               3.Даны уравнения .Назвать сумму и произведение корней

                                                       х² - 37х + 21 = 0            у² + 41у – 375 = 0

                                                      х² - 210х = 0                     у² + 19 = 0

                                                      2х² - 9х + 10 = 0            5х² + 15х – 25 = 0

              4.Решить систему уравнений:     х + у = 5

                                                                     ху = 6          Ответ:  ( 2; 3 )     ( 3; 2 )

                                                                                      

                Решение 1   у = 5 - х                       у = 5 - х                   х = 2             х = 3 

                                    х( 5 – х ) = 6             5х - х² - 6 = 0                у = 3            у = 2                

             А теперь посмотрите внимательно:  х + у =?  ху = ?        Да, это есть в т. Виета.

             Если х + у = - р, а ху = q , то х и у – корни уравнения  z² + pz +6 = 0.

             Применяя к числам х и у теорему Виета, можно утверждать, что они являются                                корнями уравнения  z² - 5z + 6 = 0Þ Ответ.

              Пример 2.    ху ( х+1 )= 4              х²у + ху = 4               у ( х² + х) =4                          

                                   х²+ у + х = 4                х² + у + х = 4            ( х² + х )+ у =4

              Пусть  х² + х = а, тогда имеем       уа = 4

                                                                      а +у =4 ,т.е. по т. Виета   z² - 4z + 4 = 0  Þ ( z – 2 )=0

                                                                                                                                                Z = 2

                 x² + x = 2              x=1          x= -2

                 y = 2                     y=2          y= 2              Ответ: ( 1; 2)  ( -2; 2)

2. Еще  одно заимствование из алгебры

 Решить систему :           у⁴ +  ху²– 2х² = 0

                                          х+ у = 6            

 Можно выразить х или у из 2 уравнения и подставить в 1. Решить полученное уравнение. Затем найти 2 переменную. Но если посмотреть на 1 уравнение внимательно  , то увидим, что оно биквадратное относительно у и квадратное относительно х. Поэтому можно решить 1 уравнение относительно у или относительно х.

Относительно у	Относительно х
у + х у² - 2х² = 0 D =  x² + 8x² = 9x² y²= - x  ±Ö9x²  = -x ± 3x   2                                2 у² = x     y² = -2x Получаем системы:     х+у=6 и     х+у=6                                       у² = х          у² = -2х                     Ответ: ( 4; 2) ( 9; -3)           Æ	у + ху²- 2х² =0\ умножу на -1 2х² - ху² - у= 0 D= у + 8у= 9у х= у²+3у²=  у²           4                                                                     х = у² - 3у² =  -у²/2            4 Получаем системы:   х = у² и    х = -у²/2                                      х+у=6      х+у =6             О т в е т  ( 4; 2) ( 9; -3 )         Æ

3. Разложение  многочлена на множители

Вернемся к системе:           у  +  ху² – 2х² = 0

            х+ у = 6                     Разложим на множители                       

                                                                                                    у  +  ху² – 2х²= 0 

                                               ( у- х²) + ( ху²- х²) = 0

                                               ( у² - х )( у² + х ) + х(у² - х) = 0

                                               ( у²- х )( у² + х + х) = 0

                                               ( у²- х )( у²+ 2х) = 0

Получим систему:   ( у²- х)( у² + 2х) = 0

                                  х + у = 6                     или      у²- х = 0        и           у² + 2х = 0

                                                                                  х + у = 6                    х + у = 6

                                                                                                       х = у²                          х = - у²/ 2

                                          х + у = 6                     х + у = 6

                                        Получили системы, аналогичные системам  из предыдущего решения. 

  4.Решить систему уравнений:      х² + у² + z² = xy + yz +zx

                                                          2x + 3y + 5z = 10

   Обратимся к первому уравнению. С чем оно ассоциируется?

1)      относительно х первое уравнение является квадратным

2)      имеются квадраты и их произведения

3)      что-то напоминает связанное с неравенствами

Каждая из таких ассоциаций приводит к решению:

х² -(у +z )x + y² - yz + z² = 0 D = y² + 2yz + z²- 4y² +4yz – 4z²= =-3( y²- 2yz + z² ) = -²3 ( y – z )² £ 0 Þ y = z   Тогда х = у. Получаем систему: x = y = z                                  2x + 3y+5z =10 Þ x = y = z = 1

x² + y² +z²- xy – yz – zx = 0/ × 2 2x² +2z²+2z²-2xy-2yz-2zx = 0 ( x²-2xy+y² ) +( x²-2xz+z )  +     +( y²--2yz+z² ) = 0 ( x-y)² + ( y-z)² + (z-x)² = 0 x-y = y-z = z-x = 0        x = y = z      2x + 3y +5z =10  x = y = z = 1

x² + y²³ 2xy y²+ z²³ 2zy z² +x²³ 2xz 2x² + 2y²+2z²³ 2xy +2zy +2xz x² +y²+z²³ xy+zy+xz Равенство в том и только в том случае, если x=y=z Имеем    x=y=z                 2x+3y+5z=10 Ответ:  ( 1; 1; 1 )

При наличии времени решить систему         x² + y² +z² = 1

                                                                           xy + yz +zx  = 3

                                                                           5х – 10у + 7z = 2

Решение: сложим 1 и 2 уравнения:   x² + y² +z²+ xy + yz +zx  = 4    \ умножу на 2

                                                             2x² +2z²+2z²+2xy+2yz+2zx = 8

                                                    ( x²+2xy+y²) +( x²+2xz+z²) +( y² +2yz+z² ) = 8

                                                                  ( x+y)² + ( y+z)² + (z+x)² = 8

                                                                       х+y = y+z = z+x = 2

                                                                               x = y = z =1

                                                         Проверим  5× 1 - 10× 1 + 7 × 1 = 2 

                                                                                  2  =  2                       Ответ: ( 1; 1; 1 )

Домашнее задание :  Решить систему

     х + у + х/у = 3                           2)          x² + y² - z = 0

    х² + ху   = 2                                             x + y + z + ½ = 0

        y                   Ответ: ( 1; 1 )                                                    Ответ: Æ

ИТОГ ЗАНЯТИЯ

ТЕМА 3.   УРОК 2.  РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ АССОЦИАЦИЙ, АНАЛОГИЙ ИЛИ ЗАИМСТВОВАНИЙ.

Цель: закрепить знания, полученные на предыдущем занятии, проверить качество усвоения учащимися материала.

                                          ХОД ЗАНЯТИЯ

1)      Проверка домашнего задания.

2 )  Решение упражнений по подгруппам с разбором на доске.

1 уровень    1.Решить методом сравнения            5х +  8у = - 19

                                                                                   3х + 5у = 23

                    2.Решить любым методом               х² + у² = 2

                                                                                ху = 1

    2 уровень   Решить системы       х + у = 82                     2х² + 3ху - у² = 4

                                                          х + у = 4                        3х²+ 2ху – 2у² = 3

   3 уровень   Решить системы       х² + у = 5                         х² + у² + z² = 7

                                                          х²у = 4                              x + 2y + 3z = 21

                                                                                                   1991x + 1992y + 1993z = 5

3 ) Проверочная работа с последующей проверкой ( на карточках по уровням )

1 уровень  1)    13х – 3у – 1 = 0         

                          х + 3у – 5 = 0             х² - у² = 8

2 уровень  1)      х² + х + у = 6                              2)                3)      у + ху²- 2х² = 0

                            у – х = 3                                             х²- у² = 8                          х +у = 6

3 уровень  1)        mx – 2y = 3             2)    x + y + 1 = 1                   3)    x² + xy + y²= 0

                              3x + my = 4                    2x + 2y + 2z = 2                      x + y = 3

                                                                      4x + 4y + 4z = 4

Домашнее задание: 1) Найти в дополнительной литературе по математике 2 системы и решить их  любым из изученных способов. Оценка будет зависеть от сложности систем и правильности их решения.

                                    2) Одному из учеников предложить найти информацию о швейцарском математике 18 века Г.Крамере.                                                 

ТЕМА 4. ФОРМУЛЫ КРАМЕРА ДЛЯ СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ.

Цель: научить исследовать системы уравнений и находить их решение с помощью формул Крамера.

                                                    ХОД  ЗАНЯТИЯ.

I.                     Домашнее задание не проверяем. У кого возникли вопросы – отвечаю на них во внеурочное время.

II.                   Беседа.

     Теперь вы уже ориентируетесь в мире систем и можете решать их разными способами.          Но в некоторых задачах важно не решить систему, а узнать имеет ли система решения, и если да, то каково их количество.

  Определение: получение информации о существовании решений и об их количестве называется исследованием системы уравнений.

  Вы уже убедились, что система не всегда имеет решение, поэтому нет смысла тратить время на его поиск.

  Прежде, чем приступить к решению системы, надо выяснить, имеет ли эта система решение и нельзя ли получить формулы, по которым сразу бы вычислялись решения системы?

  Наверное, кто – нибудь уже догадался, что ответы на эти вопросы можно найти, если

решить систему в общем виде.

  Решим систему       а₁ х + в₁ у = с₁    методом сложения:

                                    а₂ х + в₂ у = с₂  

 

   а₁ х + в₁ у = с₁    |· (-в₂)           - а₁ в₂ х – в₁ в₂ у = - с₁ в₂

   а₂ х + в₂ у = с₂    |·  в₁      +        а₂ в₁ х + в₁ в₂ у = с₂ в₁

                                                    а₂в₁х – а₁в₂х = с₂в₁ – с₁в₂ 

                                                х( а₂в₁ – а₁в₂ ) = с₂в₁ – с₁в₂ 

                                                    с₂в₁ – с₁в₂      с₁в₂ – в₁с₂

                                                х = ———— = —————     ( 1*)

                                                    а₂в₁ – а₁в₂       а₁ в₂ – в₁а₂

Проделаем аналогичную работу относительно у:            а₁ х + в₁ у = с₁ |· (-а₂)   

                                                                                               а₂ х + в₂ у = с₂ |·  а₁  

            - а₁ а₂ х – в₁ а₂ у = - с₁ а₂                        а₁с₂ – а₂с₁

     +       а₁ а₂ х + а₁ в₂ у = с₂ а₁                   у =    ————     ( 2*)

              а₁ в₂ у – в₁ а₂ у = а₁ с₂ – а₂ с₁                 а₁в₂ – а₂в₁ 

Формулы ( 1*) и ( 2*) называются формулами Крамера.          

III.Рассказ ученика о Г.Крамере.

I\/. Решить систему:            2х – 3у = -4

                                               3х + 4у = 11     

                       а₁в₂ – а₂в₁ = 2· 4 – ( -3)·3 = 17

                            х = -4·4 – ( -3)·11   =  1

                                            17

                           у = 2·11 – ( -4)·3     = 2         Ответ: ( 1; 2)

                                             17

\/. Глядя на формулы ( 1*) ( 2*), ответьте на вопрос: всегда ли можно найти значения х и у?

ВЫВОД: если а₁в₂ – а₂в₁ = 0, то система не имеет решений.

     3х + 2у = 2

     6х + 4у = 4    Будет ли эта система иметь решения?   а₁в₂ – а₂в₁ = 3·4 - 2·6 = 0

( 2; -2) – подставьте в уравнения. Что имеем? Эта пара чисел является решением системы.

Значит, чтобы система не имела решений, мало иметь   а₁в₂ – а₂в₁ = 0

Посмотрите на уравнения внимательно. Что можно сказать об их коэффициентах?

Т.е. 2 уравнение получено из 1 путем умножения коэффициентов на 2, т.е. мы имеем фактически одно уравнение с 2 неизвестными, а оно имеет бесконечное множество решений.

ИТАК:

1)      Если а₁в₂ – а₂в₁ ≠ 0, то система имеет единственное решение.

2)      Если а₁в₂ – а₂в₁ = 0, то система или не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений.

3)      Если а₁в₂ – а₂в₁ = 0, то систему решаем не по формулам Крамера, а одним из ранее изученных способов.

РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ.

1. Выясните, какие из систем можно решить с помощью формул Крамера.

  а)      3х – 4у = 5               б)     4х – 6у = -1        в)      6х – 3у = 0

           -6х + 8у = -10                   10х – 15у = 2               2х – у = 0

г)        2х + 5у = 3               д)       2х + 3у = 3       е)      х + 2у + 6 = 3( 3 – х)

           3х + 7у = 2                         7х + 5у = 18              2( х – у) – 4 = -3у

                                                                                     Ответ: г), д).

2. Решите системы с помощью формул Крамера:

 

          х+ 5у = 7                 2х – 3у = 5

          3х + 2у = -5             3х + 2у = 14

Ответ: ( -3; 2)                      Ответ: ( 4; 1)

3. Дано одно уравнение системы. Припишите к нему другое уравнение так, чтобы полученная система: а) не имела решения, б) имела 1 решение, в) множество решений.

а)       х – у = 10                 б)      х – у = 10                  в)          х – у = 10

             ?                                          ?                                             ?

 ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:

1. Решите системы с помощью формул Крамера:

          4х – 6у = 26                 3х + 4у = 2                     2х – 7у = 1

          5х + 3у = 1                   х – у = 3                        21у – 6х = -3  !         

2. Найти все значения параметра  а, при которых система не имеет решения.

            

                - 4х + ау = а + 1                     Ответ: а = - 4.

                 (6 + а)х + 2у = 3 + а                  ( При а = - 2 бесконечное множество решений.

ТЕМА 5. УРОК 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.

Цель: ввести новые понятия и термины для упрощения запоминания формул Крамера, научить вычислять определители и решать с их помощью системы уравнений.

ХОД ЗАНЯТИЯ.

I.                     Проверка домашнего задания.

1.Устно сверить ответы №1.

    4х – 6у = 26             3х + 4у = 2             2х – 7у =1

    5х + 3у = 1               х – у = 3                  21у – 6х = -3

         ( 2; -3)                       ( 2; -1)               Бесконечное множество.

2.Один ученик ( из тех, кто решил) записывает решение на доске, ученики сверяют со своими записями и если нужно, задают вопросы по решению.Ученик у доски дает ответы на вопросы.

II.Изучение нового материала.

План.

1.Матрица, её обозначение, элементы, порядок. Опора для записи формул Крамера.

2.  Определители, их обозначение, отличие от матрицы, вычисление определителей.

1). Для решения системы двух уравнений     а₁ х + в₁ у =с₁       формулы Крамера 

                                                                            а₂ х + в₂ у =с₂

оказались довольно просты, но очень уж громоздкие и трудные для запоминания. Нельзя ли как-то иначе запомнить  формулы Крамера? Можно, но для этого придется рассмотреть несколько новых понятий и терминов.

                      с₁в₂ – в₁с₂                         а₁с₂ – с₁а₂

               х = ──────               у =     ──────

                      а₁в₂ – в₁а₂                         а₁в₂ – в₁а₂

Выпишем выражение, стоящее в знаменателях.

1) а₁в₂ – а₂в₁ 2)       а₁ х + в₁ у =с₁           3)      а₁     в₁     --такую таблицу чисел называют

                                  а₂ х + в₂ у =с₂                   а₂    в₂

матрицей,а числа, из которых она составлена, элементами матриц.

              а₁     в₁           а₁в₂ – в₁а₂

                    а₂     в₂        

Теперь посмотрим на выражения, стоящие в числителях.

      а₁ х + в₁ у =с₁         в₁    с₁         

      а₂ х + в₂ у =с₂         в₂   с₂      в₁с₂ – с₁в₂  переставлены местами, поэтому что нужно?

     а₁ х + в₁ у =с₁            а₁   с₁

     а₂ х + в₂ у =с₂            а₂   с₂      а₁с₂ – с₁а₂

Итак:  подсказка для знаменателя            а₁ х + в₁ у =с₁      

                                                                          а₂ х + в₂ у =с₂ 

           для числителей   ( х)           х + в₁ у = с₁             ( у)      а₁х +    у = с₁

                                                           х + в₂ у = с₂                         а₂ х +   у = с₂

В принципе, матрицы – это самостоятельные объекты, которые могут не быть связаны с системами уравнений. Например:    3   1               2  -1                    15   -2   6

                                                              4   2              -3   1   ( *)            13    5  -8  

                                                                                    4   7                     17  -24  13

Для матриц принята следующая терминология:

1)      Наборы чисел, расположенных по горизонтали, называются строками, по вертикали – столбцами.

2)     Матрица, в которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

3)     В квадратной матрице число строк ( столбцов) называется порядком матрицы.

 Если матрица не квадратная, то говорят, что она имеет размер  m  n,  m – число строк, n – столбцов.Так, матрица ( *) имеет размер  3  2.

Матрицы принято обозначать большими буквами:

                         А =   3   6                  В =    а₁    в₁

                                   8  11                           а₂   в₂

Матрицы часто используют при построении математических моделей разных явлений и процессов. При этом могут потребоваться матрицы больших размеров, с десятками и даже тысячами строк и столбцов. В таких случаях для удобства записи все элементы обозначают одной и той же буквой, к которой приписаны два индекса: № строки и № столбца. Например:           а₁₁   а₁₂   а₁₃              а₂₃   - это элемент 2 строки и 3 столбца

                                  В =     а₂₁  а₂₂   а₂₃               а₇₅  -                       7 строки и 5 столбца

                                             а₃₁  а₃₂   а₃₃               а₉₆         - это?

Итак, вернемся к формулам Крамера.

Три матрицы            а₁  в₁            с₁ в₁           а₁ с₁

                                   а₂ в₂     ,       с₂ в₂   ,       а₂ с₂         помогают запомнить три выражения

а₁в₂ – в₁а_2,         а₁с₂ – с₁а_2,        с₁в₂ –  в₁с₂

Не пора ли дать имя этому выражению? И оно вам уже известно из темы занятия. Это – определитель.                                        

Определение: имея матрицу вида А =    а₁₁   а₁₂             мы можем ей сопоставить число

                                                                     а₂₁  а_{22        ,}

а₁₁а₂₂– а₁₂а₂₁  , которое называют определителем матрицы.

Так как матрица имеет порядок 2,то и определитель называют определителем 2 порядка.  Обозначают определитель det А и он по определению равен det А= а₁₁а₂₂– а₁₂а_21.  Другое обозначение  |     |, третье  - ∆.

Упражнение1. Решите системы с помощью определителей:

а)       5х + 2у =1     ∆=   5  2    = 5 ·(-2) – 2· 10 = -30     ∆ _х=  1   2  = 1 ( -2) – 2 1 = -4

         10х – 2у =1           10 -2                                                    1 -2

                                                    ∆ _х         -4           2                        ∆ _у        -5         1

∆ _у =  5  1   = 5 – 10 = -5       х = ──  = ──  = ──              у = ── = ──  = ─

         10 1                                     ∆       - 30      15                          ∆     - 30       6

                                                                    Ответ: ( 2/15; 1/6 ).

 б) - 10у = 4х + 5   в)     х/3 – у/3 = 1     г)       х – 3у = 5         д)        х = 7 - у

       2х + 5у = 2,5             х – у = 0                     у = х – 4                     у = 7 – х

Упражнение 2. Заполните пропуски в таблице:

Система	А	Ах	Ау	∆	∆ х	∆ у	Решение
2х – 3у = 5   х+ 2у = -1	2   -3 1   2	5   -3   -1   2	2   5   1  -1	7	7	-7	( 1; -1)
х+ 4у = -1    3х – 2у = 5	1        4 3   -2	-1   4    5  -2
		2   -1  0   -3	2  3   0  0
3у – х = -1     2х – 4у = 3
3 – 2х – 2 = 0   5у + х – 1,5=4у

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: 1) Вычислить определители: 

  3   -2           2  3                3   -2                √ а  -1

  4    6           6  -10             -4  5                   а  √ а 

 2) Решить с помощью определителей:               ах – 3у = 1

                                                                                 ах – 2у = 2    Ответ: х = 4/а; у = 1.

ТЕМА 5  УРОК 2.      ТЕОРЕМА КРАМЕРА. ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Цель: систематизировать полученные знания путем классификации систем уравнений; научить проводить исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными; закрепить умение решать системы с помощью теоремы Крамера.

                                                        ХОД  ЗАНЯТИЯ.

ı. Проверочная работа.

1) Вычислить определители для матриц:

           1 вариант                                                          2 вариант

 

    А =   2   14            В =    5  -3                     С  =   -2   6                     Д  =   2    7

              3   22                     7  -12                              -7   21                             11  50

2) Решить систему:

   2х + у = 7                   х = 2у + 10                        3х + 2у = 7                 2,5х – 1,5у = 1

    х– 2у = 1                   0,5х – у = 5                        2х + у = 4                     х + 2у = 5

ı ı. Изучение нового материала.                                                                                  ∆_х

При решении системы линейных уравнений вы пользовались формулами  Х = —— и

                ∆_у                                                                                                                      ∆

       У = ───. А это и есть не что иное, чем теорема Крамера

               ∆

Формулировку заучить, а доказательство мы проводить не будем из-за его сложности.

Она звучит так: Если определитель матрицы системы линейных уравнений отличен от нуля, то система совместна и определенна.При этом ее решение вычисляется по формулам

 Х = ∆_х        У = ∆_у

         ∆               ∆

Что значит система совместна и определенна?

Определение: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

 Совместная система линейных уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного решения.

Таким образом, мы произвели классификацию систем уравнений.

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

линейные

нелинейные

определенные

совместные

несовместные

неопределенные

                          

Мы уже знаем, что система не имеет решения или имеет множество решений, если ∆=0

∆ = а₁ в₂ – в₁ а₂ =0 => а₁ в₂ = в₁ а₂  По свойству пропорции  а_{1   =}     в₁

                                                                                                                                                       а₂           в₂

При таком условии система решений не имеет или имеет множество решений.

Значит, если а_{1   ≠}  в_{1  ,} то система имеет одно решение.

                                 а₂           в₂

Тогда отсутствие решения или наоборот, множество решений будет зависеть от отношения свободных членов.

  Если        а_{1   =}     в_{1  =}   с₁

                           а₂           в₂       с_{2 ,}        то множество решений.

  Если        а_{1   =}     в_{1  ≠}   с₁

                           а₂           в₂          с_{2 ,}   то нет решений.

УПРАЖНЕНИЯ.

1)      Устно. Какие из данных систем  а) имеют одно решение  б) нет решений в) множество решений.

  5х + 4у = 13             2х – 7у = 8              3х + 4у = 5

   3х + 5у = 13            4х + 14у = 16           3х + 4у = 7

 

   3х + 4у = 6                6х – 2у = 1              5х – 4у = 0

   х + 2у = 0                  18х – 6у = 5           10х – 8у = 0

2)      Даны системы. Не решая их, определите число решений, т.е. определите по внешнему виду систем, какие из них: - совместные

                                                                        - несовместные

                                                                        - определенные

                                                                         - неопределенные.

а)      4х – у =0      б)   5х + 2у = 1    в)      -10у = 4х + 5   г)   4х – 6у = 10

         х – у = -6            10х – 2у =1            2х + 5у = 2,5          2х – 3у = - 4

3) Составить следующие виды систем: совместные, несовместные, определенные,

    неопределенные.

 ДОМАШНЯЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Заполните таблицу исследования системы двух уравнений с двумя неизвестными.

( Напечатано на отдельных листах. Ученики заполняют пустые клетки карандашом).

Коэффициенты и свободные члены	Соотношения между коэффициентами и свободными членами	Определители	Вывод
а2≠0  в2 ≠0	а1 ≠в1 а2    в2	∆ ≠ 0	Система определенная
а2≠0  в2 ≠0  с2 ≠0	а1 ≠ в1   ≠ с1 а2    в2         с2	∆ = 0  ∆х = 0  ∆у = 0	Система неопределенная
а1≠0  в2 ≠0 а2=0    в1 = 0		∆ ≠ 0
а1=0      в2 ≠0 а2=0      в1 ≠ 0	с1   ≠ с2 в1      в2
а1≠0           в1 = 0 а2 ≠0          в2 =0		∆ = 0  ∆х = 0  ∆у ≠ 0
а1=0       с1= 0 а2=0        с2 = 0			Система неопределенная
	с1   = с2 а1     а2		Система неопределенная

ТЕМА 5. УРОК 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ КРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КРАМЕРА. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

 Цель: закрепить полученные знания и расширить их с помощью решения систем 3 линейных уравнений с 3 переменными; познакомить с вычислением определителей третьего порядка

                                               ХОД  ЗАНЯТИЯ.

1.Изучение нового материала.

1) Запишем в общем виде систему трех линейных уравнений с 3 переменными:

           а₁₁х + а₁₂у + а₁₃  = с₁

           а₂₁х + а₂₂у + а₂₃   = с₂

           а₃₁х + а₃₂у + а₃₃   = с₃

Теорема Крамера справедлива и для таких систем уравнений, т.е. х = ∆_х      у = ∆_у   z=∆_z

                                                                                                                         ∆           ∆        ∆

Нам нужно вычислить определители. Как это сделать?

Составим квадратную матрицу порядка 3.

             а₁₁  а₁₂  а₁₃        ∆  = а₁₁ а₂₂ а₃₃ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ + а₁₂ а₂₃ а₃₁ - а₁₃ а₂₂ а₃₁ - а₁₂ а₂₁ а₃₃  - а₁₁ а₂₃ а₃₂

   А =    а₂₁  а₂₂  а₂₃      Не пугайтесь, эта формула легко запоминается, если составить схемы

              а₃₁  а₃₂ а₃₃       шаблоны. В формуле всего 6 членов – 3 из них взяты с плюсом, 3 с

                                     минусом

ю

     а₁₁ а₂₂ а₃₃                                     а₁₂ а₂₃ а₃₁                                        а₁₂ а₂₃ а₃₁

       _{··      ·        ·                                  ·      ·       ·                                       ·        ·       ·}

      _{··      ·        ·                                  ·      ·       ·                                       ·        ·       ·}

      _{··      ·        ·                                  ·      ·       ·                                       ·        ·       ·}

Главная диагональ               Основания треугольников параллельны главной

матрицы.                                 диагонали и они равнобедренные.

Заметьте, что среди взятых элементов нет двух из одной строки или из одного столбца.

Теперь рассмотрим произведения с минусом:

а₁₃ а₂₂ а₃₁                                           а₁₂ а₂₁ а₃₃                              а₁₁ а₂₃ а₃₂

       _{··      ·        ·                                  ·      ·       ·                                       ·        ·       ·}

      _{··      ·        ·                                  ·      ·       ·                                       ·        ·       ·}

      _{··      ·        ·                                  ·      ·       ·                                       ·        ·       ·}

 

Пример      1)                2   3    5         ∆ = 2· 1· (-1) + 3· 2· (-3) + 5· 4 ·7 – 5 ·1·(-3) – 3· 4· (-1) -

                   А =      4   1    2                 

                                     -3  7  -1           - 2 ·2 ·7 = -2 -18 +140 +15 + 12 -28 = 119

2) Решить систему, используя теорему Крамера:

       6х + 4у + 3z = 1                      6   4  3

       -2х + 5z= -1                   ∆ =   -2   0  5      = 6·0·4 + 4· 5· (-3) + 3· (-2)·2 – 3· 0· (-3) -

       -3х + 2у + 4z = 1                     -3  2  4        - 4· (-2)· 4  - 6· 5· 2 = - 100

           1  4  3                                   6    1  3                               6   4  1

∆_х =    -1 0  5    = 20            ∆_у =    -2  -1  5  = - 76        ∆_z =   - 2  0 -1  = 28

            1  2  4                                  -3   1  4                              - 3  2  1

х= - 1/5    у = - 19/25     z = 7/25

3)      Самостоятельно с последующей проверкой вычислить определители матриц:

а)      7  -5  1                 б)    6  4  3          в)     5  2  -3            г)   5  12  8

         3  3  0                        - 2  0  5                 - 7  4  2                  0   0   0

         6  6  0                        - 3  2  4                 - 1  1  6                  3  -1  6

 Ответы:  0 ;   - 100 ;   199 ;   0.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ:   Решить системы:

               х + у - 3 z = -1                     5х – 4у + 3z = -16

               2х + у - 2z = 1                      3х + 2у + 5z = 10

               х + у + z = 3                         4х – у - 2z = - 15

                  ( 1; 1; 1)                                ( -2; 3; -2)

Итог урока.

ТЕМА 5. УРОК 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КРАМЕРА.

Цель: повторить и закрепить изученный материал по данной теме; проверить уровень усвоения изученного, способствовать выработке навыка решения систем с помощью теоремы Крамера.

                                    ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Проверка домашнего задания.

II Самостоятельная работа по уровням в течение 25 минут.

1 уровень

1) Вычислить определители:

   а)   2  9                 б)   -3    0                     в)       2   3   4

         5  11                      7    -6                               5  -2  1

                                                                               1   2   3

2) Решить систему с помощью теоремы Крамера

  а)     3х + 2у = 7                    б)         3х – у + 2z = 0

          4x – 5y = 40                               2x + 3y – 5z = 0

                                                              x + y + z = 0

Ответ: ( 5; -4 )                                                     Ответ ( 0; 0; 0 )

2  уровень

1) Решить систему        x – 2y + z = 4

                                        2x + 3y – z = 3

                                        4x – y + z = 11

2) Найти все значения параметра  k, при которых система не имеет решений:

         kx + 2y = k +2

         ( 2k – 1 )x + ( k+ 1)y = 2( k + 1)      Ответ: k = 1

3) Составьте какую-нибудь систему трех уравнений с тремя переменными, которая имеет решение х=2, у=3, z=1  (x+y+z=6; x-y+2z=1; 2x+y-5z=2)

После самостоятельного решения в течение 20 мин – обсуждение решений тех заданий, где возникнут вопросы или неверное решение.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Повторить всю теорию, подготовиться к диктанту.

Письменно: докажите,  что система не имеет решений.    2x – y +3z = 0

                                                                                                  x + 2y – 5z = 0

                                                                                                  3x + y – 2z = 0

ИТОГ ЗАНЯТИЯ.

ТЕМА 6.  УРОК 1        РАВНОСИЛЬНОСТЬ СИСТЕМ.

Цель: обоснование разработанных методов решения. Учащиеся должны знать, какие преобразования систем не меняют множества решений, в какой последовательности выполнять преобразования, чтобы систему было легко решить.

                                              ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Повторение изученного.

                                     Диктант

1)      Записать формулы Крамера для решения системы 2 линейных уравнений с 2 неизвестными.

2)      Какая система линейных уравнений называется совместной?

3)      Если система не имеет решения, то ее называют ….

4)      Как вычислить определитель второго порядка?

5)      В каком случае система двух уравнений имеет единственное решение?

6)      В каком случае система двух уравнений имеет множество решений?

7)      Сформулировать теорему Крамера.

II Изучение нового материала.

1)      Равносильность систем.

   За прошедшие 10 занятий вы научились многому: решать системы разными методами; не решая системы, определять число ее решений; познакомились с элементами высшей алгебры ( матрица, определитель ) и т.д.

   Когда вы решали систему, то в одном случае умножали уравнение на число, в другом

Складывали уравнения или выражали одну переменную через другую и подставляли полученное выражение в систему; делали замену переменных и т.д.

   Уверены ли вы, что в результате всех преобразований не потеряли какое-нибудь решение или не появилось лишнее? Конечно, если система определенная, то можно проверить полученное решение подстановкой в исходную систему. Сложнее дело обстоит с неопределенной системой. Попробуем сформулировать, что бы нам хотелось выяснить?

1)      Какие преобразования систем не меняют множества решений?

2)      В какой последовательности надо выполнять преобразования, чтобы систему было легко решить?

Для ответа на эти вопросы вернемся к системам двух линейных уравнений с двумя неизвестными, но обратим особое внимание на процесс их решения.

      х + 2у = 3              Запишем подробно каждый шаг.

      2х – у = 1  ( А )

1) Умножаем первое уравнение на -2,  получаем   -2х – 4у = -6. После шага 1) получили систему    -2х – 4у = -6                    Куда девалось 1 уравнение исходной системы?

                   2х – у  = 1        ( В )        Почему мы его исключили из системы?

2)  Сложим оба уравнения системы ( В ), получим     -2х – 4у = -6

                                                                                            -5у = - 5      ( С )

Почему исключили из системы  2 уравнение?

3)   у = 1  Подставим 1 в первое уравнение системы   х + 2× 1 = 3, получим  х = 1

Получили, что решением системы будет пара чисел ( 1; 1 )

Является ли это решение единственным? На этот вопрос можно ответить Найдем опре -делитель системы ∆  =    1     2    =  -1 – 4 = -5 ≠ 0.

                                            2    -1

Да, система имеет единственное решение. Осталось подставить значения х = 1 и у = 1 в систему и убедиться, что решение верное.

                1 + 2× 1 = 3                3 = 3 

                2× 1 – 1 = 1                 1 = 1

Выпишем все преобразования системы:                                  

 ( I ) Замена одного из уравнений системы на уравнение, полученное из данного уравнения умножением на отличное от нуля число.

( II ) Замена одного из уравнений на сумму этого уравнения с другим уравнением системы.

( III ) Замена одного из уравнений на сумму двух уравнений

 Преобразования ( II ) и ( III ) фактически одни и те же.

Преобразования типа ( I ) и ( II ) не меняют множества решений не только для систем с 2 неизвестными, но и с любым числом неизвестных.

Определение:  Если две системы имеют одно и то же множество решений или если две системы несовместны, то их называют равносильными.

 При решении системы мы последовательно переходили от системы А к системе С, поэтому системы А, В и С равносильны, т.к.они все имеют единственное решение .

 А теперь рассмотрим преобразования типа  ( III ). Замена одного из уравнений системы суммой двух уравнений.

Решим систему:       2x + y – 3z = 2

                                   x – 3y + z = 0                  ( A )

                                   10x + 5y – 15z = 10

                                                                                                                                                               Заменим второе уравнение на сумму  1 и 3.

Получим:                2x + y – 3z = 2                           Сложим 1 и 3 и вычтем 2, получим                                                         

                                12х + 6у – 18z = 12        ( B )

                                10x + 5y – 15z = 10

       2x + y – 3z = 2                                                                2x + y – 3z = 2

         x – 3y + z = 0   ( A 1 )  / умножим на -2/                 -2x + 6y – 2z = 0   ( A 2 )

        0х +0у +0z = 0                                                               0х +0у +0z = 0

                                               А 2 Û А 1 Û А

Применим преобразование ( II ), т.е. заменим 2 уравнение суммой 1 и 2.

          2x + y – 3z = 2

          7у – 5z = 2                ( A 3 )

          0х +0у +0z = 0                               Из 2 уравнения выразим у через z    7y – 5z = 2                                                                                                                              

                                                                                                                                 y= 2 + 5z

                                                                                                                                         7

Подставим в первое уравнение     2х + 2 + 5z – 3z = 2 ,  x = 8z + 6

                                                                      7                                  7

Имеем:   х = ;      у = , z – произвольное число.

 А теперь решим систему В.

Применяя по 2 преобразования типа  ( I ) и ( II ), получим систему        2x + y – 3z = 2

                                                                                              ( В 1 )                 0х +0у +0z = 0

                                                                                                                         0х +0у +0z = 0

Какие преобразования выполнили? ( 12х + 6у – 18z = 12 / : 6

                                                                2x + y – 3z = 2 и вычли из 1, получили 2;

Сложили 1 и 2 и вычли из 3, получили 3 ).

Общее решение системы ( В 1), а значит и (В), имеет вид: х – любое, у = -2х + 3z + 2, z – любое.   Рассмотрим следующее частное  решение системы ( В ): х=1, z=1,                         y = -2+3+2=3

И проверим, является ли оно решением ( А).

При z=1 x=2, y=1, значит решение ( В)  ( 1; 3; 1 ), решение ( А )  ( 2; 1; 1 )  - разные, значит ( А) и ( В) не равносильны.

     Итак, преобразования типа ( III ), которые не являются преобразованиями типа ( II ), могут привести к неравносильным системам. Тогда возникает вопрос: нельзя ли придумать алгоритм, который сохраняет равносильность систем и дает возможность легко решить систему?

Такой алгоритм дает метод Гаусса, с которым вы познакомитесь на следующем занятии.

III. Решение упражнений.

1) устно   а)       х + 3у = 6                  3х + 9у = 6       равносильны ли системы?

                           2х + у = 7                   4х + 2у = 14

2)  Дана система              х + 3у = 6          Составьте систему, равносильную данной,

                                           2х + у = 7     такую,  чтобы первое уравнение осталось как в

                                                                   данной  системе, а второе получено почленным                                                                                                         .                                                                               сложением уравнений  системы

3) Найдите последовательность преобразований, сохраняющих равносильность систем и переводящих одну систему в другую:

а)         3х – 2у = -2     и     б)         2х – у = 4     ( Из 2 вычли 1 и получили 2х – у =4

            5х – 3у = 2                         7х – 4у = 6       Сложили 2 из а) с 1 из б)   )

       IÑ ТЕСТ      ( поставить + или - )

Какие из следующих высказываний  верны:

ДВЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ РАВНОСИЛЬНЫ, ЕСЛИ:

1)      решение одной системы является решением другой

2)      единственное решение одной системы является единственным решением другой

3)      обе имеют бесконечное множество решений

4)      обе имеют бесконечное множество решений и одинаковое общее решение

5)      графики соответствующих уравнений обеих систем попарно параллельны

6)      между уравнениями обеих систем можно установить такое соответствие, что коэффициенты при одноименных неизвестных соответствующих уравнений пропорциональны, а их свободные члены непропорциональны.

7)      между уравнениями обеих систем можно установить такое соответствие, что все коэффициенты ( в том числе и свободные члены ) соответствующих уравнений пропорциональны.                                          ( + :  2; 4; 7 )

Ñ  Проверьте, равносильны ли системы:

      а)       5х + 3у = 19                                2х + 4у = 14

                 -2х + 4у = 8            и                   х – 3у = 2                    ( нет )

       б)           -4х + 5у = 13                          2х + 3у = 21

                      2х – 3у = -9                            3х – 2у = -1                    ( да )

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1)      Для каждой из следующих систем составьте некоторую равносильную систему

  а)      4х – 3у = 1             б)        2х + 5у = 8            в)          3х – 4у = 1

            3х + 2у = 5                       7х + 4у = 1                           2х + 5у = 4

2)      Найдите последовательность преобразований, сохраняющих  равносильность систем и переводящих одну систему в другую:

                 4х – 7у = 1       и                    6х – 23 у = - 11

                  3х + у = 7                                 - 25у = - 25

3) Одному из учеников подготовить сообщение о Гауссе.

ТЕМА 6. УРОК 2.    МЕТОД     ГАУССА.

Цель: научить решать системы с помощью метода Гаусса.

                                     ХОД  ЗАНЯТИЯ.

I.                    Историческая справка о Гауссе.

II.                 Изучение нового материала.

    Решить системы:     2х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 1                   х₁ + х₄ + 3х₂ – х₃ = 2

                                      3х₁ + 4х₂ – х₃ – х₄ = 0                        х₄ + 5х₂ – 3х₃= 3

                                       х₁+ 3х₂ – х₃ + х₄ = 2                            х₂ – 2 ⁄ 3 х₃ = 2⁄5

                                       5х₁ – 3х₂ + 6х₃ + 3х₄ = 3                            - 1 ⁄3 х₃= 11 ⁄5

Какую систему из этих двух вы выбрали бы для решения? Почему?

Составим матрицу коэффициентов 2 системы.

 

1   1  3  -1              Все элементы ниже главной диагонали равны 0.

0   1  5  -3               Такие матрицы называются треугольными.

0   0  1  -2 ⁄3            Поскольку системы такого вида легко решаются,

0   0  0  -1 ⁄ 3           нельзя ли любую систему привести к такому виду?

                                Наша задача получить нули вместо коэффициентов.

1)      Найдем уравнение скоэффициентом  ±1 при х и поставим его на первое место.

Если такого уравнения нет, то выполним преобразования: поменяем местами переменные ( во всех уравнениях системы! ) или делим все коэффициенты 1 урав-

Нения на коэффициент при х .

Получим  систему, равносильную данной:  х₁ + 3х₂ – х₃ + х₄ = 2

                                                                          3х₁ + 4х₂ – х₃ – х₄ = 0  умножу на 2                                                       

                                                                          2х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 0   умножу  на -3   +      

                                                                          5х₁ + 3х₂ + 6х₃ + 3х₄ = 3

          х₁ + 3х₂ – х₃ + х₄ = 2

     -6х₁ – 3х₂ -3х₃ – 3х₄ = -3| :6       сложу            -х₁ - 1⁄ 2 х₂ - 1⁄ 2 х₃- 1⁄ 2 х₄ = - 1⁄ 2 I· 5 + 4ур

     5х₂ -5х₃ -5х₄ = -3                                                     5х₂ – 5х₃ – 5х₄ = - 3

      5х₁ + 3х₂ + 6х₃ +3х₄ = 3                                        5 ⁄ 2х₂ – 3 ⁄2 х₃ + 1 ⁄2 х₄ = 3 ⁄ 2

                                                                                         5х₁  + 3х₂ + 6х₃ + 3х₄ = 3

       -5х₁ – 5 ⁄ 2х₂ -5 ⁄ 2х₃ -5 ⁄ 2х₄ = -5 ⁄ 2    I· (-2⁄ 5)       2х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 1

               5х₂ - 5х₃  – 5х₄ = -3                              5х₂ – 5х₃ – 5х₄ = -3

5 ⁄ 2х₂ – 3  ⁄ 2х₃ +1 ⁄ 2х₄  = 3 ⁄ 2   I· 2                      5х₂ – 3х₃ + х₄ = 3 вычтем 3 ур. из 2 ур.

            -11 ⁄ 2х₂ + 7 ⁄ 2х₃+1 ⁄ 2х₄  = 1 ⁄ 2   I· 2                  - 11х₂ + 7х₃ +х₄ = 1

   2х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 1                                         2х₁ + х₂+ х₃ + х₄ = 1                                               

                -2х₃– 6х₄ = -6                                            5х₂ – 3х₃ + х₄ = 3

         5х₂ – 3х₃ + х₄ = 3 I· 11⁄ 5  и + 4 ур.                       -2х₃ – 6х₄ = -6    сложу

       -11х₂ + 7х₃+ х₄ = 1                                                 2х₃ + 16х₄ = 38      

2х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 1                                       2х₁ + х₂ + х₃+ х₄ = 1 

                    5х₂ – 3х₃ + х₄ = 3                                           5х₂ – 3х₃ + х₄ = 3

                         -2х₃ – 6х₄ = -6 I· ( -2)                                         х₃ + 3х₄ = 3

                                   10х₄= 32                                                         10х₄ = 32  

               Ответ: х = 21 ⁄ 5; х = - 4;  х = - 33 ⁄ 5;  х = 16 ⁄ 5.

III.          Решение упражнений.

1) Решить систему:      3х₁ –х₂ + 2х₃ = 4

                                                 2х₂– х₃ = 4

                                                         х₃ = 2

2) Прокомментируйте решение системы:

          

             2х₁ + х₂ + х₃ = 2             а)   х₁ + х₂ + 5х₃ = -7        б)   х₁ + х₂ + 5х₃ = -7       

             х₁ + х₂ + 5х₃ = -7                 2х₁+ х₂ + х₃ = 2                      -х₂ - 9х₃ = 16

            2х₁ + 3х₂– 3х₃ = 14              2х₁ + 3х₂ – 3х₃ = 14               х₂ – 13х₃  = 28 

          в)         х₁ + х₂ + 5х₃ = -7      г)       х₁ + х₂ + 5х₃ = -7           х₁ = 1

                          - х₂ – 9х₃ = 16                 -х₂ – 9 (-2) = 16             х₂ = 2

                                 22х₃ = 44                             х₃ = -2                х₃= -2

2)      Решить системы:

х₁ + х₂– х₃ = 0               х₁ + 3х₂ – 2х₃ + х₄ = 1     3х₁ + 4х₂ + 2х₃ + х₄ = 16          

х₁ – х₂ – х₃ = 0                    7х₂ – 4х₃ + 3х₄ = 2     2х₁ + х₂ + 3х₃ + 5х₄ = 10

х₁+ х₂ + х₃ = 0                              2х₃ + 3х₄ = 4       х₁ + 7х₂ + х₃ + х₄ = 23

Ответ: ( 0; 0; 0)                                       х₄ = -2    4х₁ – 3х₂ + 4х₃ + 6х₄ = 1

                                        Ответ: ( 1; 4; 5; -2)            Ответ: ( 1; 3; 0; -1

ДОМАШНЕЕ  ЗАДАНИЕ.

Доказать, что система уравнений имеет единственное решение и найти его.

                          х₂ + х₃ + х₄ = 1

                          х₁ + х₃ + х₄ = 2

                          х₁ + х₂ + х₄ = 3

                          х₁ + х₂ + х₃ = 4            Ответ: х = 7 ⁄ 3; х = 4 ⁄ 3; х = 1 ⁄ 3; х = - 2 ⁄ 3.

ТЕМА 6. УРОК 3.   МЕТОД   ГАУССА.

Цель: закрепить умение пользоваться одним из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений.

                                 ХОД  ЗАНЯТИЯ.

І. Решение упражнений 

1)       х + 2у + 3z = 5                         2)      х₁+ 3х₂ + х₃ =5

          4x – 3y – 5z = 10   ( устно)              2х₁ + 3х₂ – 3х₃ = 14       ( письменно)

          2x – 4y – 6z = 5                                -5х₁ + 2х₂ – 2х₃ = 3        Ответ: х₁=1, х₂ =2, х₃ = -2

  Ответ:  система несовместна.

3)---письменно, самостоятельно, с последующей проверкой.

             - 2х₁ – 4х₂ + 2х₃ – х₄ + 12х₅ = 4

                           6х₂ + х₃ – 3х₄ – 3х₅ = 0

                                   7х₃ – 5х₄ + 6х₅=0

                                           4х₄ + 9х₅ = 2

                                                   3х₅ = - 2   Ответ:  х₁ = - 17/ 3, x₂ = 1/3, x₃ = 2, x₄ = 2, x₅ = - 2/3

4)                            3x₁ + x₂– 2x₃ + x₄ – 3x₅ = 2

                                 х₃ – 2x₄ + x₅ = 0

                                         х₄– 2x₅ = 1      Ответ: х₁ и х₅ – любые, х₂ = -3х₁ -7х₅ + 5х₁ , х₃ = 3х₅ + 2,

                                                                                       х₄ = 1 + 2х₅

І І. Самостоятельная работа.

1 уровень    4х₁ – х₂ + 6х₃ + 3х₄ – 10х₅ = 4         2 уровень    4х₁ – 2х₂ + 3х₃ – х₄ = 10

                           3х₂ – 2х₃ + 4х₄ – 2х₅ = 0                                           3х₂ + х₃ + 2х₄ = 0

                                     2х₃ – х₄ + 4х₅ = 1                                                    2х₃ – 3х₄ = 1

                                           3х₄ – 4х₅ = 4

                                                   2х₅ = 1

ТВОРЧЕСКОЕ ДОМАШНЕЕ  ЗАДАНИЕ.

а)    х₁ + х₂ + х₃ + х₄ = 1      б)   3х₁ + 4х₂ + 2х₃ + х₄ = 16          в)   5х₁ + 4х₂ + х₃ + 3х₄ = -5

   х₁+ х₂ -2х₃ – х₄ =0             2х₁ + х₂ + 3х₃ + 5х₄ = 10                2х₁ + х₂  +х₃ + 4х₄ = 2                  

     х₁ + х₂ - 4х₃ + 3х₄ = 2              х₁ + 7х₂ + х₃ + х₄ = 23                 3х₁ + 2х₂ + х₃ + х₄ = - 3            

      х₁ + х₂ + 7х₃ + 5х₄=3            4х₁ – 3х₂ + 4х₃ + 6х₄ = 1                 х₁+ 3х₂ -2х₃ + 2х₄ = - 4 

 

г)   3х₁ + 4х₂ + 5х₃ + 7х₄ = 1               Решите системы уравнений, выберите ответы из

      2х₁ +6 х₂  - 3х₃ + 4х₄ = 2                зашифрованной таблицы, расставляя буквы в том

      4х₁+ 2х₂ + 13х₃ + 10х₄ =0             же порядке, что и системы уравнений.

       х₁ +         21х₃ + 13х₄ = 3

Р	В	А	Е	М	Н
х1 = -х2  - 2	х1 = ½ - х2 + ½ х3	Нет решений	х1 = 1	х1 = -х2 – 1/3 х4 + 2/3	х1 = -х3
х2 - любое	х2 - любое		х2 = 3	х2 - любое	х2 = х3  - 2
х3 = х2 + 2	х3- любое		х3 = 0	х3 = - 2/3 х4 + 1/3	х3 - любое
х4 = 1	х4 =½ -  3/2 х3		х4 = 3	х4 - любое	х4 = 1

Ответы: а) х₁ =  -3х₂ – х₄ + 2  , х₂ – любое,  х₃ = - 2х₄ + 1  , х₄  - любое

                                  3                                            3

                б) х₁ = 1, х₂ = 3, х₃ = 0, х₄ = -1

                 в)х₁ = - х₂– 2, х₂ – любое, х₃ = х₂ + 2, х₄ = 1

                 г) система несовместна.

СЛОВА: мера, мена, вера, вена.

ТЕМА 7  УРОК 1 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Цель: закрепить умение решать задачи с помощью составления систем уравнений.

                                                                           ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Решение задач из экзаменационного сборника

      1) страница 161       № 581    № 583    № 585      № 599    № 602

      2) страница  130      № 228     № 252

Самостоятельно: 1 уровень     стр 161     № 582, 584

                              2 уровень     стр  136     № 254 (1)    249 (1)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ  Выбрать из экзаменационного сборника 3 задачи и решить их с помощью составления систем уравнений на листочках. 1 уровень с цифрой ( 1) на полях, 2 уровень – с  цифрой ( 2)  За эту работу – оценка в журнал.

ТЕМА 7.  УРОК 2 РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Цель: закрепить знания учащихся по данной теме и показать практическое применение систем.

                                                                    ХОД ЗАНЯТИЯ.

I РАБОТА В ГРУППАХ

Решить задачи:         1 уровень:   № 257 ( 1)   № 259 ( 1)   № 261 ( 1)  из  экзаменационного сборника

2 уровень: 1) При перемножении двух чисел, из которых одно на 94 больше другого, цифра десятков по ошибке была уменьшена на 4. При делении ошибочного произведения на больший из множителей, получилось в частном 52, а в остатке 107. Какие числа перемножались?

2) В цехе проходит соревнование между двумя токарями. За определенный период времени первый и второй токари сделали в три раза больше деталей, чем третий токарь, а

первый и  третий токари – в 2 раза больше деталей, чем второй. Какой из токарей победил в соревновании?

После самостоятельной работы над задачами выступают представители групп с решениями. Остальные проверяют правильность своего решения и записывают решение остальных нерешенных задач.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ.  Каждый ученик получает карточку с задачей. Решение должен оформить на листке. Оценка – в журнал.

ТЕМА 7  УРОК 3  РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ СОСТАВЛЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.

 ЦЕЛЬ: расширить и углубить умения учащихся  решать задачи.

                                                   ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Работа с домашними задачами

 1 уровень   -   задачи на движение  -1 группа ;  разные задачи  - 2 группа 1 уровня

 2 уровень   -  задачи на работу

Составить алгоритмы решения задач.

II Решение задач на проценты, смеси и сплавы.

 1) Сплав меди и цинка, содержащий 32 кг  меди, сплавлен с 6 кг цинка. В результате содержание меди в сплаве понизилось по сравнению с содержанием ее в первоначальном сплаве на 8%. Сколько цинка стало содержаться в сплаве?

 2) К некоторому количеству серной кислоты, содержащей 2,5 кг воды и налитой в реторту, добавили 1,5 кг 20% серной кислоты. В результате концентрация кислоты в реторте понизилась на 5%. Найти первоначальную концентрацию кислоты в реторте.

 3) Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10%. После начисления процентов некоторую сумму он изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного начисления процентов оказалось, что образовавшаяся на счету сумма на 12% меньше исходной. Сколько процентов от исходной суммы было изъято вкладчиком после первого начисления процентов? ( задача из ЕГЭ )

 4) Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн  за 6 часов. За какое время наполняет бассейн каждая труба, если известно, что в течение часа их 1 трубы вытекает на 50% больше воды, чем из второй?

   V л – объем бассейна , х и у – производительность труб.

    V = ( х + у ) 6     х + у   = 1/ 6       V          V

     х =  у + 0,5у          V                      х    и    у      искомые неизвестные.

                                 2х = 3у                                              Ответ: 10 час и 15 час.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: Просмотреть все записи по элективному курсу и подготовиться к итоговой проверочной работе.

ТЕМА 8. ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА.

Цель: выявление знаний учащихся и степени усвоения ими материала курса.

                                           ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Организация учащихся на выполнение работы

II Выполнение работы.

1 уровень:

1) Решить системы уравнений:

                     3х – 2у = 5                             х + у = 20

                     6х + 2у = 7                              ху = 96

2) Решить задачу:

  В течение 8 час работы один рабочий изготовляет на 2 детали больше, чем другой. Если бы каждому из них удалось сократить время изготовления одной детали на 8 минут, то первый рабочий за 8 час работы сумел бы изготовить на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей изготовлял каждый рабочий за 8 час работы?

2 уровень

1) Решить системы уравнений:

                    3х² + у² - 4х = 40                  4х1 -2х2 + 3х3 – х4 = 10

                    2х² + у² + 3х = 52                         3х2 + х3 + 2х4 = 0

                                                                                    2х3– 3х4 = 1

2) Доказать, что система уравнений имеет единственное решение. Найти это решение.

                  х₂  + х₃  + х₄  = 1

                  х₁  + х₃  + х₄  = 2

                  х₁  + х₂  + х₄  = 3

                  х₁ + х₂  + х₃ = 4

3) Решить задачу:

Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе,

выполняют работу за 7,5 час; первый, третий и пятый – за 5 час; первый, третий и четвертый – за 6 час; четвертый, второй и пятый – за 4 час. За какой промежуток времени

выполняют эту работу все пять человек, работая вместе?

  ИТОГ  ЗАНЯТИ

ТЕМА 9  УРОК КОРРЕКЦИИ.

Цель: подтягивание некомпетентных учеников до минимального уровня; дать возможность повысить оценку.

                                 ХОД ЗАНЯТИЯ.

I Анализ контрольной работы.

Разбор упражнений, вызвавших  затруднения и решенных неверно.

II Решение упражнений по всему курсу.

 Те ученики, кто написал работу на «2» и «3», получают карточки с заданиями и работают самостоятельно.

 Остальные – в  двух группах.

( Задания подбираются учителем  в зависимости от выполненной проверочной работы, однотипные с нерешенными большинством учеников )

III Подведение итогов изучения курса. Отметить особо старательных учеников.