Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа элективного курса "Теорема Пифагора"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 224 курсов со скидкой 40%

Программа элективного курса "Теорема Пифагора"

Выбранный для просмотра документ История теоремы Пифагора.ppt

библиотека
материалов
 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а...
*
Хронология развития теоремы до Пифагора: * №	Историческое место	дата 1	Древни...
Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает...
Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² +...
Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в...
Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой пер...
В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила ве...
В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однак...
Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеств...
Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, лат...
У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольн...
Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделан...
В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das...
В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским,...
Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольник...
 И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА *
Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жиз...
 ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ КАТЕТ Это прямоугольный треугольник *
На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она...
1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур....
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик су...
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик с...
2. Аддитивные доказательства. Аддитивные доказательства - это доказательства,...
Доказательство Эпштейна  Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом...
3. Доказательства методом построения Здесь вы найдете доказательства, для осу...
1. Построим треугольник ABC с прямым углом С. Доказательство Гофмана 2. Постр...
Что и требовалось доказать! 6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE рав...
4. Алгебраический метод доказательства Эти доказательства, основанные на прим...
Доказательство Мёльманна 1. Площадь данного треугольника с одной стороны равн...
Что и требовалось доказать! Доказательство Мёльманна *
5. Доказательства методом разложения Простейшие доказательства теоремы, для п...
Доказательство Перигаля Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, п...
6. Доказательство методом вычитания Наряду с доказательствами методом сложен...
На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольни...
7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла. Пусть АВС –...
Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора". *
Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ве...
Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?...
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бе...
Задача Бхаскары Решение.   Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифаг...
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30...
Решение   Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2 АВ2=900+Х2; в т...
"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть...
 "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, кот...
*
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоу...
Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как в...
На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся о...
Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепип...
Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка....
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке....
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о су...
*
Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной»...
Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — тройки натурал...
Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2. Пифагоровы числа...
Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек,...
И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а2+b2=c2) в натуральных чи...
*
Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встреча...
Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около...
За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личн...
Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на...
Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор...
Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «ч...
Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего врем...
Мысль — превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (т. е....
Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комменти...
  Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теор...
Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение о...
А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации неск...
Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушить...
 Фрагмент фильма «Приключения Электроника» Ералаш *
*
Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставши...
И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее вид...
Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный аме...
В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смер...
Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, эт...
Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жи...
Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и...
 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а...
83 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а
Описание слайда:

 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер *

№ слайда 2 *
Описание слайда:

*

№ слайда 3 Хронология развития теоремы до Пифагора: * №	Историческое место	дата 1	Древни
Описание слайда:

Хронология развития теоремы до Пифагора: * № Историческое место дата 1 Древний Китай (математическая книга Чу-пей) ~2400 г. до н. э. 2 Древний Египет (гарпедонапты или "натягиватели веревок") 2300 г. до н. э. 3 Вавилон (Хаммураби ) 2000 г. до н. э. 4 Древняя Индия (сборник Сульвасутра ) 600 г. до н. э. 5 Пифагор 570 г. до н. э.

№ слайда 4 Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает
Описание слайда:

Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". *

№ слайда 5 Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² +
Описание слайда:

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. *

№ слайда 6 Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в
Описание слайда:

Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 и 4 м от одного конца. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. *

№ слайда 7 Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой пер
Описание слайда:

Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку." *

№ слайда 8 В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила ве
Описание слайда:

В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины). *

№ слайда 9 В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однак
Описание слайда:

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал". *

№ слайда 10 Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеств
Описание слайда:

Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.   *

№ слайда 11 Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, лат
Описание слайда:

Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. *

№ слайда 12 У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольн
Описание слайда:

У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в. *

№ слайда 13 Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделан
Описание слайда:

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". *

№ слайда 14 В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das
Описание слайда:

В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel. В переводе это означает: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". *

№ слайда 15 В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским,
Описание слайда:

В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол". Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи *

№ слайда 16 Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольник
Описание слайда:

Существует три формулировки теоремы Пифагора: 1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. 2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. 3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.     *

№ слайда 17  И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА *
Описание слайда:

И СПОСОБЫ ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА *

№ слайда 18 Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жиз
Описание слайда:

Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью. *

№ слайда 19  ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ КАТЕТ Это прямоугольный треугольник *
Описание слайда:

ГИПОТЕНУЗА КАТЕТ КАТЕТ Это прямоугольный треугольник *

№ слайда 20 На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она
Описание слайда:

На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника. Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придём. *

№ слайда 21 1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.
Описание слайда:

1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур. Здесь вы можете увидеть доказательство теоремы Пифагора, которое основано на равновеликости фигур, из которых они состоят. Это доказательство считается одними из самых простых из-за своей наглядности. *

№ слайда 22 Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик су
Описание слайда:

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Доказательство Пифагора *

№ слайда 23 Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик с
Описание слайда:

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи». *

№ слайда 24 2. Аддитивные доказательства. Аддитивные доказательства - это доказательства,
Описание слайда:

2. Аддитивные доказательства. Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.   *

№ слайда 25 Доказательство Эпштейна  Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом
Описание слайда:

Доказательство Эпштейна  Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF. Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах Доказательство. Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны. Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны. При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой. Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах. Теорема доказана. *

№ слайда 26 3. Доказательства методом построения Здесь вы найдете доказательства, для осу
Описание слайда:

3. Доказательства методом построения Здесь вы найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения. *

№ слайда 27 1. Построим треугольник ABC с прямым углом С. Доказательство Гофмана 2. Постр
Описание слайда:

1. Построим треугольник ABC с прямым углом С. Доказательство Гофмана 2. Построим BF=CB, BFCB 3. Построим BE=AB, BEAB 4. Построим AD=AC, ADAC 5. Точки F, C, D принадлежат одной прямой. *

№ слайда 28 Что и требовалось доказать! 6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE рав
Описание слайда:

Что и требовалось доказать! 6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. 7. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 8. Соответственно: а2+ b 2 =с 2 Доказательство Гофмана a *

№ слайда 29 4. Алгебраический метод доказательства Эти доказательства, основанные на прим
Описание слайда:

4. Алгебраический метод доказательства Эти доказательства, основанные на применении в геометрии алгебраических формул. Это достаточно легкие доказательства, не требующие никаких дополнительных построений. *

№ слайда 30 Доказательство Мёльманна 1. Площадь данного треугольника с одной стороны равн
Описание слайда:

Доказательство Мёльманна 1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab, с другой 0,5pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)). *

№ слайда 31 Что и требовалось доказать! Доказательство Мёльманна *
Описание слайда:

Что и требовалось доказать! Доказательство Мёльманна *

№ слайда 32 5. Доказательства методом разложения Простейшие доказательства теоремы, для п
Описание слайда:

5. Доказательства методом разложения Простейшие доказательства теоремы, для понимания которых достаточно одного взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько доказательств, которые не требуют пояснений. Это доказательства способом разложения квадратов на катетах и гипотенузе на отдельные фигуры. *

№ слайда 33 Доказательство Перигаля Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, п
Описание слайда:

Доказательство Перигаля Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены рядом. Надо разделить эту фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание. *

№ слайда 34 6. Доказательство методом вычитания Наряду с доказательствами методом сложен
Описание слайда:

6. Доказательство методом вычитания Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем. Доказательства методом вычитания - доказательства при помощи вырезания определенных фигур из равных по площади частей. *

№ слайда 35 На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольни
Описание слайда:

На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1. Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь, что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах. *

№ слайда 36 7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла. Пусть АВС –
Описание слайда:

7. Другие доказательства. Доказательство с помощью косинуса угла. Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда АВ*AD=AC*АС.  Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC. Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC*AC + BC*BC = AB*AB. Теорема доказана. *

№ слайда 37 Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора". *
Описание слайда:

Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора". *

№ слайда 38 Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ве
Описание слайда:

Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока?” *

№ слайда 39 Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?
Описание слайда:

Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?   Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 . Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2, (Х + 0,5)2 – Х2 = 22 , Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4, Х = 3,75. Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута. 3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м. *

№ слайда 40 На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бе
Описание слайда:

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота? *

№ слайда 41 Задача Бхаскары Решение.   Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифаг
Описание слайда:

Задача Бхаскары Решение.   Пусть CD – высота ствола. BD = АВ По теореме Пифагора имеем АВ = 5 . CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8. Ответ: 8 футов. *

№ слайда 42 На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30
Описание слайда:

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? *

№ слайда 43 Решение   Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2 АВ2=900+Х2; в т
Описание слайда:

Решение   Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2 АВ2=900+Х2; в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2 АС2=202+(50 – Х)2 АС2=400+2500 – 100Х+Х2 АС2=2900 – 100Х+Х2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время. Поэтому АВ2 =АС2 , 900+Х2 =2900 – 100Х+Х2, 100Х=2000, Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы. Ответ: 20 локтей. *

№ слайда 44 "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть
Описание слайда:

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."   *

№ слайда 45  "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, кот
Описание слайда:

 "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? " *

№ слайда 46 *
Описание слайда:

*

№ слайда 47 Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоу
Описание слайда:

Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом: d2=2a², d= a. *

№ слайда 48 Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как в
Описание слайда:

Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² . d= *

№ слайда 49 На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся о
Описание слайда:

На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d2 = a2+( а)2, d2=3a2, d= a. *

№ слайда 50 Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепип
Описание слайда:

Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d = *

№ слайда 51 Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка.
Описание слайда:

Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Заметим, что расчёт площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь." *

№ слайда 52 В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.
Описание слайда:

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром p=b/6. *

№ слайда 53 В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о су
Описание слайда:

В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все ещё ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.   *

№ слайда 54 *
Описание слайда:

*

№ слайда 55 Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной»
Описание слайда:

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а2+b2=c2. *

№ слайда 56 Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — тройки натурал
Описание слайда:

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а2+b2=c2)— называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c. *

№ слайда 57 Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2. Пифагоровы числа
Описание слайда:

Эти тройки можно найти по формулам: b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2. Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств: Один из «катетов» должен быть кратным трём. Один из «катетов» должен быть кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти. * а 3 5 6 7 9 11 13 15 17 19 21 39 b 4 12 8 24 40 60 84 112 144 180 20 80 c 5 13 10 25 41 61 85 113 145 181 29 89

№ слайда 58 Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек,
Описание слайда:

Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541: 12709 + 13500 = 18541. Нью-Йорк. Плимптоновский фонд библиотеки Колумбийского университета. *

№ слайда 59 И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а2+b2=c2) в натуральных чи
Описание слайда:

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а2+b2=c2) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а2+b2=c2) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. *

№ слайда 60 *
Описание слайда:

*

№ слайда 61 Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встреча
Описание слайда:

Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе. Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц об этой теореме и его авторе. *

№ слайда 62 Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около
Описание слайда:

Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество. *

№ слайда 63 За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личн
Описание слайда:

За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны. *

№ слайда 64 Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на
Описание слайда:

Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие». *

№ слайда 65 Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор
Описание слайда:

Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один: «Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий). *

№ слайда 66 Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «ч
Описание слайда:

Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «чудо», прославившее в веках имя великого эллина, было в другом. Это чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Утренние купания пифагорейцев в волнах Ионического моря были и ежедневной прелюдией к плаванию по океану знания. Только целью плавания на сей раз были не поиски золотого руна, а поиски сокровища, куда более ценного. То были поиски истины.   *

№ слайда 67 Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего врем
Описание слайда:

Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями… * Пифагор. Гравюра из старинной книги.

№ слайда 68 Мысль — превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (т. е.
Описание слайда:

Мысль — превыше всего между людьми на земле. Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно). По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих). Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык). Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду). В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах). *

№ слайда 69 Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комменти
Описание слайда:

Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. *

№ слайда 70   Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теор
Описание слайда:

  Уделом истины не может быть забвенье, Как только мир её увидит взор, И теорема та, что дал нам Пифагор, Верна теперь, как в день её рожденья. За светлый луч с небес вознес благодаренье Мудрец богам не так, как было до тех пор. Ведь целых сто быков послал он под топор, Чтоб их сожгли как жертвоприношенье. Быки с тех пор, как только весть услышат, Что новой истины уже следы видны, Отчаянно мычат и ужаса полны: Им Пифагор навек внушил тревогу. Не в силах преградить той истине дорогу, Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат. Суть истины вся в том, что нам она-навечно, Когда хоть раз в прозрений её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас, как для него, бесспорна, безупречна. На радостях богам был Пифагором дан обет: За то, что мудрости коснулся бесконечной, Он сто быков заклал, благодаря предвечных; Моленья и хвалы вознес он жертве вслед. С тех пор быки, когда, учуют, тужась, Что к новой истине людей опять подводит след, Ревут остервенело, так что слушать мочи нет, Такой в них Пифагор вселил навеки ужас, Быкам, бессильным новой правде противостоять, Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать. *

№ слайда 71 Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение о
Описание слайда:

Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс в жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». *

№ слайда 72 А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации неск
Описание слайда:

А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не может доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам». *

№ слайда 73 Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушить
Описание слайда:

Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой—ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла. *

№ слайда 74  Фрагмент фильма «Приключения Электроника» Ералаш *
Описание слайда:

Фрагмент фильма «Приключения Электроника» Ералаш *

№ слайда 75 *
Описание слайда:

*

№ слайда 76 Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставши
Описание слайда:

Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — прообраза средневековых монашеских орденов, богослова и реформатора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающейся науки и пышно цветущей мифологии. *

№ слайда 77 И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее вид
Описание слайда:

И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Всё есть число». Если снять с этого тезиса мистическую паутину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифагорейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы. *

№ слайда 78 Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный аме
Описание слайда:

Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный американский математик и историк науки М. Клайн: «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило всё последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы». *

№ слайда 79 В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смер
Описание слайда:

В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа, но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести! *

№ слайда 80 Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, эт
Описание слайда:

Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщённый образ учёного. *

№ слайда 81 Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жи
Описание слайда:

Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его идей. И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в истории человечества. Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и математик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан,— все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплатоников питали Аврелия Августина (354—430) и Иоанна Скота Эриугену (810—877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 —1576), Томмазо Кампанеллу (1568—1639) и Джордано Бруно (1548—1600), Фридриха Шеллинга (1775— 1854) и Георга Гегеля (1770—1831), Владимира Соловьева (1853—1900) и Сергея Булгакова (1871 —1944), Павла Флоренского (1882—1937?) и Алексея Лосева (1893—1988). *

№ слайда 82 Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и
Описание слайда:

Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор. *

№ слайда 83  “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а
Описание слайда:

 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”. Иоганн Кеплер *

Выбранный для просмотра документ элект.курс т.Пифагора.docx

библиотека
материалов

hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifМОУ "Зимстанская средняя общеобразовательная школа"


"Утверждаю"

директор школы

_______Г.А.Кичун

"__"________2015г









Рабочая программа элективного курса

по математике в 9 классе

«ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ: обобщения и применения теоремы Пифагора»




2015-2016 учебный год

                                                     

                                                       








     Составила учитель математики    Юдина Е.В.

                                                                                                                                     


Содержание:


  1. Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся по математике, 9- кл. «ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ: обобщения и применения теоремы Пифагора»




1.1. Аннотация программы


1.2. Пояснительная записка


1.3. Учебно-тематический план


1.4. Содержание программы


1.5. Общие методические рекомендации



Приложение № 1


Банк заданий для использования на занятиях элективного курса



Приложение № 2



Учебно-методическое обеспечение курса
















Аннотация программы

Элективный курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» является составной частью предпрофильной подготовки и выполняет функции:


    • расширения и углубления содержания базисного курса, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне,что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи экзамена по математике;

    • способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.


Основной целью курса - является предоставление возможности ученику оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в классах технологического и естественнонаучного профиля и повысить уровень его общей математической культуры.

Курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» поможет учащимся:


    • в решении широкого класса задач, в которых используется теорема Пифагора и ее обобщения;

    • в применении полученных знаний (тех профессий, в которых пригодится практическая направленность задач по геометрии);

    • в формировании общекультурной компетентности.


Программа курса по выбору «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» будет интересна и полезна не только учащимся, которые планируют свое дальнейшее обучение в профильном классе, но и тем, которые не проявляют специального интереса к занятиям математикой, но хотят расширить свой кругозор знаниями о практическом применении математики, научиться анализировать жизненную ситуацию. Этот курс, безусловно, заинтересует учителей математики, поможет им при выборе тематики занятий математического кружка, факультатива, при подготовке учащихся к экзамену по геометрии.

Этот элективный курс станет дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении математики, а также понимания учащимися философского постулата о единстве мира и осознании положения об универсальности математических знаний.




Пояснительная записка


Содержание курса имеет определенное отличие от базового курса математики, которое состоит в том, что такой раздел геометрии как «Метрические соотношения в треугольнике» представлен односторонне, не отражены другие точки зрения на доказательство теоремы Пифагора и ее обобщений, а об общекультурном аспекте упоминается вскользь. Мало задач на практическое применение, не рассматриваются решения задач имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин.


Элективный курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» направлен на углубление и расширение 1 тем «Теорема Пифагора» и «Обобщенная теорема Пифагора», на формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них, а также собственных внутренних закономерностей.


Данный элективный курс поможет учащимся познакомиться с любопытными геометрическими и историческими фактами, оригинальными подходами к доказательству и применению теоремы Пифагора, с решением задач имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин и практической деятельности человека.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Теоретический материал сопровождается: разбором задач, приведены упражнения для самостоятельной работы, вопросы самопроверки, задания для практической работы в среде «Живая геометрия»2, темы творческих работ для самостоятельной работы учащихся.


Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Постоянное обращение к наглядности, использование чертежей развивает геометрическую интуицию. Наряду с основной задачей обучения математике - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, выбор профиля дальнейшего обучения

Цели курса:


  • помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как решение геометрических задач;

  • помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы, показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии;

  • создать в совокупности с основными разделами курса базы для развития способностей учащихся;


Задачи курса:


  • Убедить в практической необходимости применения геометрического аппарата к решению задач;

  • расширить представления учащихся о сферах применения геометрии (не только в естественных науках, но и в технике, производстве, в гуманитарной сфере)

  • помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

  • помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.


Данный курс рассчитан на 10 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий.


Предпочтительны такие формы проведения занятий, как:

  • Лекция-беседа

  • Лекция с мультимедиа демонстрациями

  • Семинар

  • Практическая работа в среде «Живая геометрия»

  • Итоговая конференция с выставкой творческих работ учащихся.


Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач практической направленности.предлагаемая структура занятия



Материал данного курса, безусловно, может использоваться учителем, как на уроках геометрии, так и на занятиях факультатива и кружка в 9 классах с любой степенью подготовленности, способствовать развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставит возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.


В состав учебно-методического комплекта входят:


1. Учебное пособие для школьников, включающее задачи и упражнения для закрепления знаний и отработки практических навыков, упражнения для самостоятельной работы, тесты, темы творческих работ для самостоятельной работы учащихся.


2. Методическое пособие для учителя с методическими рекомендациями по проведению занятий, решению задач, организации промежуточного и итогового контроля знаний учащихся.


3. Приложения, содержащие дополнительную информацию по данному курсу.










Учебно-тематический план

п/п





Наименование тем курса


Всего часов

В том числе






Формируемые виды деятельности


лекция


практика


семинар


I.









Теорема Пифагора. Различные

способы доказательства

теоремы Пифагора


Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади.


Алгебраический метод доказательства теоремы Пифагора.


2




0,5



0,5




0,5



0,5


Самостоятельно работать с большими объёмами учебной литературы;

Понимать схемы, чертежи;

Использовать альтернативные пути в поисках информации:

Умение контролировать;

Владеть техническими средствами;

Ставить и решать проблемы;

Обращаться за помощью к товарищам и старшим, воспользоваться ею

II.



Применения

теоремы Пифагора.


3. Обратная теорема Пифагора.

Пифагоровы числа.


4. Формула Герона.


5.Решение задач на

применение теоремы Пифагора

3



1




1










1


Делать выводы, интегрировать и синтезировать информацию;

Участвовать в решение сложных проблем;

Применять идеи на практике;

Рассуждать, строить гипотезы;

Способность рисковать;

Работать в команде;

Развивать инженерные способности и стремление к ноу-хау.


III.


Обобщения

теоремы Пифагора


6.Теорема Пифагора, доказанная Евклидом. Теорема косинусов.


7.Доказательство теоремы Пифагора

через отношение подобных фигур.


8.Стереометрические обобщения

теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов.

3





0,5


0,5


0,5




0,5


0,5


0,5



Самостоятельно организовать свою деятельность и принимать максимально полную ответственность за неё;

работать с большими объёмами информации;

Быстро принимать решения в сложных ситуациях;

Искать правильный путь в самых запутанных условиях.

Способность к преобразованию;

Оценивать процесс, его результат, предвидеть его последствия;



IY.

Итоговое занятие

2



2

Ставить и решать проблемы;

Общаться с разными людьми;

Рассуждать, строить гипотезы;

Выполнять творческие работы и проекты;

Защищать творческие работы и проекты.


Всего: 10 часов


Содержание программы


Тема 1. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора (2 ч.)


Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Историческая справка. Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. Алгебраические доказательства.


Занятие 1. Введение. Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. (1ч).

Доказательство теоремы Пифагора, основанные на использовании равновеликости фигур, аддитивные доказательства, доказательство методом разложения квадратов на равные части; доказательство методом достроения.


Методыобучения:лекция-беседа с использованием приема активного слушания; практическая работа в «Живой геометрии»,обсуждение тем сообщений и рефератов; исследовательский метод обучения, обеспечивающий творческое применение знаний.


Формыконтроля:проверка задач самостоятельного решения, творческих заданий.


Занятие 2. Алгебраический метод доказательства теоремы Пифагора.(1 ч).


Методыобучения:лекция, учебная беседа с использованием приема активного слушания; обсуждение тем сообщений и рефератов; выступления, практическая работа в «Живой геометрии», проектирование собственных задач.


Формыконтроля:Выступление учащихся с докладами,

проверка рефератов, творческих заданий.

Тема 2. Применения теоремы Пифагора.(3 ч.)

Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа. Формула Герона. Решение задач.


Занятие 3. Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа. Решение задач. (1 ч).


Методыобучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений, обсуждение тем сообщений и рефератов; выступления,


Формыконтроля:Защита проектов решений задач,

самостоятельная работа.

Занятие 4. Формула Герона.

Вывод формулы Герона разными способами. Формула Герона для иррациональных чисел. Решение задач на применение формулы Герона. (1 ч).


Методыобучения: семинар, работа в группах, обсуждение тем сообщений и рефератов; выступления, выполнение тренировочных упражнений.


Формыконтроля: проверка рефератов, докладов, проекты решения задач, проверка задач самостоятельного решения.

Занятие 5. Решение задач на применение теоремы Пифагора при геометрических вычислениях; в смежных предметах; в практической деятельности человека.(1 ч).


Методыобучения: объяснение, беседа с активным участием учащихся; проектирование собственных задач,выполнение тренировочных упражнений.


Формыконтроля:проверка задач самостоятельного решения, проекты решений задач.


Тема 3. Обобщения теоремы Пифагора.(3 ч.)

Теорема Пифагора, доказанная Евклидом в «Началах». Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема косинусов). Доказательство теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур. Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, на двух сторонах которого построены параллелограммы (Теорема Паппа). Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов.


Занятие 6. Теорема Пифагора, доказанная Евклидом в «Началах», обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема косинусов). Применение теоремы косинусов для решения задач.(1 ч).


Методыобучения: Лекция с мультимедиа демонстрациями объяснение, выполнение тренировочных упражнений, практическая работа в «Живой геометрии».


Формы контроля: самостоятельная работа, самоконтроль.


Занятие 7. Доказательство теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур.(1 ч.)

Рассматриваются доказательства теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур. Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, на двух сторонах которого построены параллелограммы (Теорема Паппа).


Методыобучения:Лекция с мультимедиа демонстрациями,объяснение, выполнение тренировочных упражнений, практическая работа в «Живой геометрии».


Формыконтроля:проверка задач самостоятельного решения, творческих заданий.


Занятие 8. Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов. Решение задач. (1 ч).


Методыобучения: лекция-беседа,выполнение тренировочных упражнений.


Формыконтроля:проверка задач самостоятельного решения.


Занятие 9-10. Подведение итогов. (2 ч).


Формы контроля: Защита проектов, творческих работ.




Общие методические рекомендации


Данный элективный курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» задает примерный объем знаний, умений и навыков, которыми и должны овладеть школьники.

Учащиеся в ходе освоения данного элективного курса имеют возможность:

  • научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;

  • овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования;

  • провести самостоятельный поиск информации, необходимой для подтверждения или опровержения фактов;

  • получить дополнительную информацию из материалов, которые либо входят в учебное пособие к курсу, либо могут рассматриваться как сопровождающие курс (видеоматериалы, информация Интернета);

  • провести небольшое самостоятельное исследование (индивидуально или в группе).

Средствами для осуществления этой работы являются задания, которые предлагаются в дидактических материалах, а также темы докладов и сообщений на выбор учащихся.


В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному освоению предлагаемого курса.

Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путем определения способа действий и называния ответа. Проверочные работы рассчитаны на часть урока, задания выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности. Данный курс содержит дидактический материал, как для учителя, так и для учащихся.

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися, демонстрацией видеоматериалов, информацией Интернет-сети.

Помимо традиционного изложения могут быть использованы и такие пути реализации содержания курса, как историко-математический семинар.

Формы занятий предусматривают исследовательскую и проектную деятельность учеников. Например:

  • написание сообщений и рефератов на заданную тему,

  • проектирование собственных задач по теме,

  • создание сценариев для слайд-фильмов о выбранном объекте изучения и т. п.


Роль учителя в осуществлении учебной и проектно-исследова-тельской деятельности учащихся состоит в консультационной работе, а также организации и координации действий, учащихся при выполнении заданий. Ученикам предоставляется возможность самостоятельного выбора объекта изучения, вида отчётных работ, литературы, по которой они будут готовить собственные работы.


Предполагается, что результатами освоения учащимися 9 классов данного курса по выбору, могут стать следующие умения:


  1. Уверенно решать задачи на вычисление, доказательство, исследование;

  2. использовать математические знания, геометрический и алгебраический материал для описания и решения задач будущей профессиональной деятельности;

  3. применять приобретённые геометрические представления и алгебраические преобразования для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире;

  4. проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа частных примеров, эксперимента, выдвигать гипотезы и делать необходимые проверки.

  5. уметь соотносить свою точку зрения с мнением авторитетных источников, находить информацию в разнообразных источниках, обобщать и систематизировать ее;

  6. уметь ясно и точно выражать свои мысли в устной и письменной речи.








Приложение № 1

Банк заданий для использования на занятиях элективного курса.


Тема 1. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора


Вопросы для устной работы:

  1. В чем заключается теорема Пифагора? Какое ей можно дать истолкование, используя понятие площади?

  2. Что вы знаете о Пифагоре?

  3. Знаете ли вы другие доказательства теоремы Пифагора?


Задания для самостоятельной работы учащихся.



  1. Поручить нескольким учащимся подготовить выступления-содоклады к лекции учителя (Различные способы доказательства теоремы Пифагора)



  1. Практическая работа в среде «Живая геометрия» (интерактивные чертежи)

    • «Смотри!»-Ответить на вопросы и объяснить доказательства: Какая теорема доказана и как? Объясните алгебраическое доказательство?

    • «Доказательство Леонардо»-Попробуйте восстановить доказательство;

    • «Шарнирное доказательство»- Дайте полное доказательство.

    • «Пифагоров паркет»-Восстановите доказательство по рисунку, построение нарушается когда зеленый квадрат становится большим, но все равно рисунок дает доказательство для всех возможных случаев .Почему?;

    • «Теорема Пифагора и квадрат суммы»-Восстановите заключенное здесь доказательство теоремы Пифагора. Попутно здесь выводится формула квадрата суммы. Как?;

    • «теорема Пифагора по Евклиду»-Докажите, что при всех преобразованиях треугольника его площадь не меняется. Объясните, как отсюда выводится теорема Пифагора?

  2. Творческое задание: самостоятельное открытие доказательства теоремы Пифагора. Для учащихся, которым это задание окажется сложным предлагается доказать теорему по рисункам иллюстрирующих 8 способов на которые имеются ссылки в «Началах».

  3. Написать рефераты по темам: «Пифагор, философ, математик», «Магический квадрат Пифагора», «Пифагор и его союз», «Философские начала пифагорейцев», «Значение пифагореизма», т.п..



  1. Тема для дискуссии: Какое из доказательств теоремы лучше и почему? (Учащиеся отстаивают свою точку зрения. Критикуют другие способы доказательства.)


Тема 2. Применения теоремы Пифагора.



Задания для самостоятельной работы учащихся.

1.Вопросы:


  • Для каких треугольников она применяется?

  • Какие задачи позволяет решать теорема Пифагора?

  • Какие данные надо иметь в прямоугольном треугольнике и какие действия с ними произвести, чтобы найдите по теореме Пифагора: а) гипотенузу?; б) катет? Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника обозначены соответственно с, а, в. Площадь каких фигур выражают: с2 , а2 2 ?

  • Сформулируйте теорему Пифагора, используя понятие площади квадрата.

  • Какие треугольники называют Пифагоровыми?

  • Что можно сказать о сравнительной длине: а) гипотенузы и катета; б) наклонной к прямой, проведенных из одной точки, и их проекций?


2. Задачи на применение прямой и обратной теоремы Пифагора


(задачи располагаются по нарастающей трудности):




Задача № 1:

В параллелограмме АВСD ВD =241 см, АС = 26 см, АD = 16 см. Через точку О – точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная стороне ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону АD.

Ответ: 4 см;.9 см.


Задача № 2:

В треугольнике АВС АВ = ВС .

Высота АК делит сторону ВС на отрезки ВК = 24 см и КС = 1 см.

Найдите площадь треугольника и сторону АС.

Ответ:АС=5 2 см; S= 87,5 см2


Задача № 3:

Две окружности радиусами 13 и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О1 и О2 равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О1О2 в точке К. Найдите О1К и КО2 ( О1 –центр окружности радиусом 13 см).

Ответ: О1К=5см, КО2=9 см.


Задача №4:

В треугольнике АВС АВ = АС. Высота ВМ равна 9 см и делит сторону АС на два отрезка так, что АМ = 12 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Ответ: Р=30 + 3 10 см., S = 67,5 см2


Задача№ 5:

На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ЕD = 5 см, ВЕ = 12 см, ВD = 13 см. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ:108 см2


Задача № 6:

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ = 12 см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите АС.

Ответ:АС=12,5 см.

Задача № 7:


В равнобедренной трапеции АВСD АD║ВС,<А = 300, высота ВК = 1 см, ВС = 2 3 см. Найдите площадь треугольника КМD, если М – середина отрезка ВD.

Ответ: 3 3 / 4 см2


Задача № 8*:

В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырехугольник является параллелограммом.


Задача № 9*:

В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD и АСD равны, а площади треугольников АСD и ВСD не равны. Докажите, что данный четырехугольник является трапецией.


Задача № 10.

Где ошибка? «Новое доказательство» теоремы Пифагора. Возьмем прямоугольный треугольник с катетами а иb, гипотенузой с и острым углом , противолежащим катету а. Имеем: а =csin, b=ccos, откуда а2 = с2sin2b2=c2cos2. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: а 2 + Ь 22 (sin2+cos2). Но sin2+cos2 = 1, и поэтому

а 2 + Ь 22Подвергните критике это -доказательство».

Ответ: формула sin2+cos2 = 1 выводится на основании теоремы Пифагора, и поэтому в рассуждении получается порочный круг.


Пифагоровы числа


Темы докладов по теме Пифагоровы числа

  • Пифагорейское учение о числе.

  • Пифагоровы числа и их свойства.


Тема для сочинения:

«Магический квадрат Пифагора»


Задача: Докажите, что катеты а, в и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2тп, в = т2 - п2, с = т2+ п2, где т и п — любые натуральные числа, такие, что т > п.


Темы для докладов к теме формула Герона:


  • Историческая справка о Героне Александрийском.

  • Выводы формулы Герона разными способами.

  • Преобразование формулы Герона, для работы с иррациональными числами.

  • задачи, на применение формулы Герона.


Тема для дискуссии:


  • Какой вывод формулы Герона лучше?

(каждый из участников защищает «свой» способ и критикует «чужой»)


Задачи на применение формулы Герона:


hello_html_1e81744e.pnghello_html_m545ede08.png





Задача № 1:Найти SABC;


Задача № 2:Найдите площадь четырехугольникаABCD ,

в котором АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9см, DA=15 см, АС=12см.

Ответ:84 см2


Задача № 3:Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ =13см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

Ответ:4 см.

Задача №4:Вычислите площадь треугольника, если длины сторон2; 37; 17.


Исследовать:

Задача № 5: Какую форму нужно придать треугольнику, чтобы при данной сумме его сторон он имел наибольшую площадь?

Ответ: Треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны равны между собой. (равносторонний треугольник)



Применение теоремы Пифагора при изучении смежных дисциплин и практической деятельности человека.

  • Задача № 1:С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.


  • Задача № 2:Как следовало бы поступить юному математику, чтобы надёжным образом получить прямой угол?


Ответ: Проще всего взять для этого планки длиной в 3, 4 и 5

каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.


    • Задача №3:Найдите равнодействующую трёх сил по 200 Н каждая, если угол между первой и второй силами и между второй и третьей силами равен 60°.

Ответ: R=400 Н.



    • Задача № 4:Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Ответ: h≥(a2+b2)1/2.



    • Задача № 5:Какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Ответ: 2,3 км.



    • Задача № 6:При измерительных работах в полеводстве широко используется так называемая сажень (полевой циркуль) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м ишириной 2 м.Какой длины заготовки требуются для изготовления сажени?

Ответ:


    • Задача № 7:Телевизионные радиосигналы распространяются на 15 % дальше пределов прямой видимости антенны. При каком наибольшем расстоянии S от передающей антенны высотой H можно принять телепередачу с помощью приемной антенны высотой h ? Определите, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20 м с Останкинской башни (её высота 538 м).

Ответ:S= 4,1 . 103( H + h)м.

    • Задача № 8:Выпрямление окружности. .Если нужно выпрямить окружность О радиуса r то проводят диаметр АВ, а в точке В – перпендикулярную к ней прямую СД. Из центра о под углом 30 к АВ проводят прямую ОС. Затем на прямой СД от точки С откладывают три радиуса данной длиной окружности и соединяют полученную точку Д с А: длина отрезка АД равна длине полуокружности. Если отрезок АД удлинить вдвое, то приближенно получится выпрямленная окружность О, ошибка менее 0,0002r. На чем основано это построение?

Ответ:3,14153 r.


Тема 3. Обобщения теоремы Пифагора.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

Вопросы:

1.В чем заключается обобщенная теорема Пифагора?

2.Докажите ОТП.

3.Почему ОТП имеет такое название?

4.Какие задачи по решению треугольников вы можете решить с помощью ОТП?

5.Как определить вид углов треугольника с помощью ОТП?

6.Какие практические задачи вы можете решить с помощью ОТП?


1.Практическая работа в среде «Живая геометрия» (интерактивные чертежи)

  • «Теорема косинусов без косинусов. Рассуждения Евклида»-Покажите тем или иным способом, что розовые прямоугольники равновелики и выведите утверждение Евклида. Как их него получается теорема косинусов?

  • «теорема Паппа»-восстановите доказательство.

  1. Творческое задание: самостоятельно доказать теорему через отношение площадей подобных фигур предварительно выбрав правильную фигуру. Например:«Площадь правильного треугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей правильных треугольников, построенных на катетах».

  2. Задачи:


  • Задача № 1.Дан куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании. Найдите диагональ d?

Ответ: d=√ 3*a


  • Задача № 2 .Исследуем пирамиду, например, такую в основании которой лежит квадрат, и высота которой проходит через центр квадрата. Пусть сторона квадрата a, а высота пирамиды h. Чему равна длина S боковых рёбер пирамиды?

Ответ: S2=h2+1/2*a2.


  • Задача № 3 Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.

Ответ: d2 = AB2 = AC2 + CB2 = (AD2 + DC2) + CB2 = a2 + b2 + c2.



  • Задача № 4

Найди ошибку!

а2=b2+c2+2bc cos.;

b2= а2+c2-2bc cos;

а2= а2+c2-2ac sin;

++=900; AB2=AC2+BC2-2 sin


  • Задача № 5

Найди ошибку!


hello_html_m71c923d5.png

Задача № 6Определить вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см. Выбрать и подчеркнуть верный ответ

а) остроугольный' б) равнобедренный;

в) тупоугольный; г) прямоугольный.

Ответ: а)

Задача № 7 В треугольнике АВС угол А равен 120°, АВ=АС=2 см.

Найти длину стороны ВС.

Выбрать и подчеркнуть верный ответ:

hello_html_m2db3d5f3.png

Ответ:в)


Задача № 8 В параллелограмме острый угол равен 60°Н а стороны 6 см н 8 см. Найти меньшую диагональ. (3 балла)


Выбрать и подчеркнуть верный ответ:

hello_html_5bf51b83.png

Ответ: б)


Задача № 9:Угол при основании равнобедренного треугольника 30°, а боковая сторона равна 14 см. Найти медиану, проведенную к боковой стороне. .

(4 балла)

Выбрать и подчеркнуть верный ответ:

hello_html_me179dad.png

Ответ: в)


Задача № 10:Найти углы треугольника, если а=12, Ь=8; с=10.

.(6 баллов)

Верный ответ: = 82049’; = 410 24’; = 550 47’.


Задача № 11:Найти диагональ ВD параллелограмма АВСD, если она в 2 раза меньше стороны АВ угол АBD равен 60", АC=34 см. .(5 баллов)

Верный ответ: 34 / 15 см.


Задача № 12:В ромбе со стороной 10 см высота, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба на отрезки 3 см и 7 см. Найти меньшую диагональ ромба. .(5 баллов)

Верный ответ: 2 15 см.


Задача № 13: У треугольника длины сторон, а=6, b=8 и площадь S=315. Третья его сторона меньше удвоенной медианы, проведенной к ней. Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Ответ: r= 15/3

Приложение № 2

Учебно-методическое обеспечение курса

  1. Александров А.Д. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2000.

  2. Атанасян Л.С.,и др. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2004

  3. Атанасян Л.С,и др. Методические рекомендации к учебнику геометрии в 7, 8, 9 классах: Кн. Для учителя - М.: Просвещение, 2004

  4. Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии/в помощь школьному учителю/, дифференцированный подход, 8 класс. – М.: «ВАСКО»,2006

  5. Глейзер Г. Поговорим о теореме Пифагора. - Математика № 13, Еженедельное приложение к газете Первое сентября.1996

  6. Козырицкая Т. Кроссворд. Теорема Пифагора, преобразование фигур.- Математика № 12, Еженедельное приложение к газете. Первое сентября.1996

  7. Попов В.А. Иррациональные уравнения, неравенства и теорема косинусов. - Журнал Математика в школе № 6, 1998

  8. Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2000

  9. Тернопол А.Н.Методическое обеспечение профильного обучения. Математика: Методические рекомендации. - М.: АПКиПРО, 2004.

  10. Теорема Пифагора .Три разных урока. Я иду на урок. – Математика № 17, Еженедельное приложение к газете Первое сентября.1996

  11. Шведовская Л.П. Египетский треугольник. – Школа - Пресс.: Журнал Математика в школе № 1.1997




1 Элективные курсы в профильном обучении/Министерство образования РФ-Национальный фонд подготовки кадров-М.:Вита-Пресс,2004 г.


2Учебное электронное издание «Математика 5-11 классы. Практикум»,2002 г.


Общая информация

Номер материала: ДВ-318950

Похожие материалы