Программа элективного курса "Теорема Пифагора"

• 1 слайд

   “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.
  Иоганн Кеплер
  1
  

• 2 слайд

  История теоремы
  Пифагора
  2
  

• 3 слайд

  Хронология развития теоремы
  до Пифагора:
  3
  

• 4 слайд

  Исторический обзор начнём с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5:
  "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".
  
  4
  

• 5 слайд

  Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство
  3 ² + 4 ² = 5² было известно уже египтянам ещё около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея).
  По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.
  5
  

• 6 слайд

  Очень легко можно воспроизвести способ построения. Возьмём верёвку длиною в 12 м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 и 4 м от одного конца. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.
  6
  

• 7 слайд

  Ван-дер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод:
  "Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но её систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку."
  
  7
  

• 8 слайд

  В самом древнем индийском геометрическом сборнике «Сульвасутра» («Правила верёвки», 600 год до н.э.), представляющем собой своеобразную инструкцию по сооружению алтарей в храмах, даются правила построения прямых углов при помощи верёвки с узлами, расстояния между которыми равны 15, 36 и 39 падас (мера длины).
  
  8
  

• 9 слайд

  В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал её полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих "Начал".
  9
  

• 10 слайд

  Насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря такому количеству доказательств теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.
   
  
  10
  

• 11 слайд

  Приведём различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков.
  
  11
  

• 12 слайд

  У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
  "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол".
  
  Евклид. Гравюра на меди. Примерно XVIII в.
  12
  

• 13 слайд

  Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит:
  "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол".
  
  13
  

• 14 слайд

  В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) теорема читается так: Also, wird das vierecke Feld, gemessen an der langen Wand, so also gross ist als bei beide Vierecke, bei zwei werden gemessen von den zwei Wanden des deren, bei zwei gemeinde, tretten in dem rechten Winkel.
  В переводе это означает:
  "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу".
  
  14
  

• 15 слайд

  В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так:
  "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".
  
  Чертёж к теореме Пифагора в средневековой арабской рукописи
  15
  

• 16 слайд

  Существует три формулировки теоремы Пифагора:
  1. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
  2. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
  3. Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равносоставлен с квадратами, построенными на катетах.
   
   
  
  16
  

• 17 слайд

  
  и способы её
  доказательства
  17
  

• 18 слайд

  
  Теорема Пифагора – важнейшее утверждение геометрии. Даже те, кто в своей жизни навсегда «распрощался» с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора объясняется её простотой, красотой, значимостью.
  
  18
  

• 19 слайд

  ГИПОТЕНУЗА
  КАТЕТ
  КАТЕТ
  Это прямоугольный треугольник
  19
  

• 20 слайд

  На этом свойстве прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора. Она показывает зависимость между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
  Если дан нам треугольник
  И притом с прямым углом,
  То квадрат гипотенузы
  Мы всегда легко найдем:
  Катеты в квадрат возводим,
  Сумму степеней находим —
  И таким простым путем
  К результату мы придём.
  20
  

• 21 слайд

  1. Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.
  Здесь вы можете увидеть доказательство теоремы Пифагора, которое основано на равновеликости фигур, из которых они состоят. Это доказательство считается одними из самых простых из-за своей наглядности.
  
  21
  

• 22 слайд

  Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
  Доказательство Пифагора
  22
  

• 23 слайд

  
  
  
  Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
  
  Почтовая марка по случаю переименования острова Самос в остров Пифагорейон. На марке надпись: « т.Пифагора. Эллас. 350 драхи».
  23
  

• 24 слайд

  2. Аддитивные доказательства.
  
  Аддитивные доказательства - это доказательства, которые основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.
   
  
  24
  

• 25 слайд

  Доказательство Эпштейна
   Дано: ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом С; С∈EF; PO||EF; MN||EF; CD⊥EF.
  Доказать: квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах
  Доказательство.
  Треугольники 1 совпадают при повороте друг друга на 90° ⇒ они равны.
  Треугольники 2 совпадают при осевом отображении относительно оси EF и параллельном переносе, т.е. они тоже равны.
  При параллельных переносах и поворотах совпадают и все остальные треугольники, т.е. они тоже равны между собой.
  Из всего этого следует, что квадрат на гипотенузе равен сумме квадратов, построенных на катетах.
  Теорема доказана.
  
  25
  

• 26 слайд

  3. Доказательства методом
  построения
  
  Здесь вы найдете доказательства, для осуществления которых использовались дополнительные построения.
  
  26
  

• 27 слайд

  1. Построим треугольник ABC с прямым углом С.
  Доказательство Гофмана
  A
  B
  C
  a
  b
  c
  F
  D
  E
  2. Построим BF=CB, BFCB
  
  3. Построим BE=AB, BEAB
  
  4. Построим AD=AC, ADAC
  
  5. Точки F, C, D принадлежат одной прямой.
  
  
  27
  

• 28 слайд

  Что и требовалось доказать!
  
  6. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.
  7. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим:
  1/2а2+1/2b 2=1/2с 2
  8. Соответственно:
  а2+ b 2 =с 2
  A
  B
  C
  D
  F
  E
  b
  c
  
  
  
  
  
  Доказательство Гофмана
  a
  28
  

• 29 слайд

  4. Алгебраический метод доказательства
  
  Эти доказательства, основанные на применении в геометрии алгебраических формул. Это достаточно легкие доказательства, не требующие никаких дополнительных построений.
  
  
  29
  

• 30 слайд

  Доказательство Мёльманна
  1. Площадь данного треугольника с одной стороны равна 0,5ab,
  с другой 0,5pr, где
  p – полупериметр треугольника,
  r – радиус вписанной в него окружности (r=0,5(a+b-c)).
  A
  C
  B
  a
  b
  c
  30
  

• 31 слайд

  Что и требовалось доказать!
  
  2. Имеем: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)
  0,5ab=0,5(a+b+c)·0,5(a+b-c)
  аb=0,5(а2 + ab – ac + ab + b2 – bc + ca + cb - с2)
  аb=0,5(а2 + b2- с2 +2ab)/·2
  2аb=а2 + b2- с2 +2ab
  а2 + b2- с2 =0
  
  3. Отсюда следует, что с2= а2+b2
  Доказательство Мёльманна
  A
  C
  B
  a
  b
  c
  31
  

• 32 слайд

  5. Доказательства методом разложения
  Простейшие доказательства теоремы, для понимания которых достаточно одного взгляда на чертёж. Мы предлагаем несколько доказательств, которые не требуют пояснений. Это доказательства способом разложения квадратов на катетах и гипотенузе на отдельные фигуры.
  
  32
  

• 33 слайд

  Доказательство Перигаля
  Доказательство Перигаля очень легкое. Два квадрата, построенные на катетах, расположены рядом. Надо разделить эту фигуру всего на 3(!) части, чтобы сложить из них квадрат на гипотенузе. На иллюстрации наглядно дано это разрезание.
  
  33
  

• 34 слайд

  
  
  
  
  6. Доказательство методом вычитания
  Наряду с доказательствами методом сложения можно привести примеры доказательств при помощи вычитания, называемых также доказательствами методом дополнения. Общая идея таких доказательств заключается в следующем. Доказательства методом вычитания - доказательства при помощи вырезания определенных фигур из равных по площади частей.
  
  34
  

• 35 слайд

  На рисунке к обычной пифагоровой фигуре приставлены сверху и снизу треугольники 2 и 3, равные исходному треугольнику 1.
  
  Прямая DG обязательно пройдет через C. Заметим теперь, что шестиугольники DABGFE и CAJKHB равновелики. Если мы от первого из них отнимем треугольники 1 и 2, то останутся квадраты, построенные на катетах, а если от второго шестиугольника отнимем равные треугольники 1 и 3, то останется квадрат, построенный на гипотенузе. Отсюда вытекает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
  35
  

• 36 слайд

  7. Другие доказательства.
  Доказательство с помощью косинуса угла.
  
  Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла cosA=AD/AC=AC/AB.
  Отсюда АВ*AD=AC*АС.
   Аналогично cos B=BD/BC=BC/AB. Отсюда АВ*BD=BC*BC.
  Складывая полученные результаты почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:
  AC*AC + BC*BC = AB*AB. Теорема доказана.
  
  36
  

• 37 слайд

  Занимательные задачи по теме: "Теорема Пифагора".
  37
  

• 38 слайд

  Над озером тихим
  С полфута размером
  Высился лотоса цвет.
  Он рос одиноко,
  И ветер порывом
  Отнёс его в сторону. Нет
  Боле цветка над водой.
  Нашёл же рыбак его
  Ранней весною
  В двух футах от места, где рос.
  Итак, предложу я вопрос:
  “Как озера вода здесь глубока?”
  Древнеиндийская задача
  38
  

• 39 слайд

  Какова глубина в современных единицах
  длины (1 фут приближённо
  равен 0,3 м) ?
   
  Решение.
  Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .
  Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,
  (Х + 0,5)2 – Х2 = 22 ,
  Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4,
  Х = 3,75.
  Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.
  3, 75 • 0,3 = 1,125 (м)
  Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.
  
  39
  

• 40 слайд

  
  На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
  
  Задача индийского
  математика XII в. Бхаскары
   
  40
  

• 41 слайд

  Задача Бхаскары
  Решение.
   
  Пусть CD – высота ствола.
  BD = АВ
  По теореме Пифагора имеем АВ = 5 .
  CD = CB + BD,
  CD = 3 + 5 =8.
  Ответ: 8 футов.
  41
  

• 42 слайд

  На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
  
  Задача арабского математика XI в
  42
  

• 43 слайд

  Решение
   
  Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2
  АВ2=302 +Х2
  АВ2=900+Х2;
  в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2
  АС2=202+(50 – Х)2
  АС2=400+2500 – 100Х+Х2
  АС2=2900 – 100Х+Х2.
  Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.
  Поэтому АВ2 =АС2 ,
  900+Х2 =2900 – 100Х+Х2,
  100Х=2000,
  Х=20,
  АD=20.
  Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.
  
  Ответ: 20 локтей.
  
  43
  

• 44 слайд

  "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."
   
  
  Задача из учебника
  "Арифметика" Леонтия Магницкого
  44
  

• 45 слайд

   "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.
  Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "
  
  Задача из китайской
  "Математики в девяти книгах"
  45
  

• 46 слайд

  Практическое применение
  теоремы Пифагора
  46
  

• 47 слайд

  Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом:
  d2=2a², d= a.
  
  47
  

• 48 слайд

  Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем d²=a²+b² .
  d=
  48
  

• 49 слайд

  На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d2 = a2+( а)2, d2=3a2, d= a.
  
  49
  

• 50 слайд

  Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение
  d =
  
  50
  

• 51 слайд

  Считать приложения теоремы Пифагора только теоретическими - большая ошибка. Заметим, что расчёт площади кровли можно заметно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: "Чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-нибудь стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь."
  
  51
  

• 52 слайд

  В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и
  r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром p=b/6.
  52
  

• 53 слайд

  В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли.
  Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все ещё ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора.
  Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора, имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.
   
  
  53
  

• 54 слайд

  Пифагоровы тройки
  54
  

• 55 слайд

  Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение
  а2+b2=c2.
  
  55
  

• 56 слайд

  Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а2+b2=c2)— называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c.
  56
  

• 57 слайд

  Эти тройки можно найти по формулам:
  b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2.
  
  Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств:
  Один из «катетов» должен быть кратным трём.
  Один из «катетов» должен быть кратным четырём.
  Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.
  57
  

• 58 слайд

  Древневавилонский клинописный текст, содержащий 15 наборов пифагоровых троек, среди которых (четвёртая строка) есть тройка 12709, 13500, 18541:
  12709 + 13500 = 18541.
  
  
  
  
  
  
  
  
  Нью-Йорк. Плимптоновский фонд библиотеки
  Колумбийского университета.
  58
  

• 59 слайд

  И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (а2+b2=c2) в натуральных числах был поставлен и решён только пифагорейцами. Общая постановка, какой бы то ни было математической задачи, была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (а2+b2=c2) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона.
  
  59
  

• 60 слайд

  Теорема Пифагора
  В литературе
  60
  

• 61 слайд

  Многие при имени Пифагор вспоминают его теорему. Но неужели мы можем встречать эту теорему только в геометрии? Нет, конечно, нет! Теорема Пифагора встречается в разных областях наук. Например: в физике, астрономии, архитектуре и в других. Но так же Пифагор и его теорема воспеты в литературе.
  Существуют много легенд, мифов, рассказов, песен, притчей, небылиц об этой теореме и его авторе.
  
  61
  

• 62 слайд

  Родился Пифагор где-то между 600 и 590 гг. до Рождества Христова и жил около ста лет. Много странных легенд дошло до наших дней о его рождении. Некоторые из них утверждают, что он не был обычным смертным человеком, а был одним из богов, принявших человеческий облик для того, чтобы войти в мир и учить человечество.
  
  Бог-Творец
  как геометр
  Легенда о рождении Пифагора
  62
  

• 63 слайд

  За 1000 лет античной традиции реальные и вызывающие глубокое уважение к личности Пифагора сведения были перемешаны со множеством легенд, сказок и небылиц. Легенды наперебой объявляли Пифагора чудотворцем; сообщали, что у него было золотое бедро, что люди видели его одновременно в двух разных городах говорящим со своими учениками, что однажды, когда он с многочисленными спутниками переходил реку и заговорил с ней, река вышла из берегов и громким сверхчеловеческим голосом воскликнула: «Да здравствует Пифагор!», что в Тиррении он умертвил своим укусом ядовитую змею, унесшую жизни многих тирренцев, что он предсказывал землетрясения, останавливал повальные болезни, отвращал ураганы, укрощал морские волны.
  
  Легенда о Пифагоре
  63
  

• 64 слайд

  Порфирий рассказывает о Пифагоре такую историю: в «Таренте он увидел быка на разнотравье, жевавшего зеленые бобы, подошел к пастуху и посоветовал сказать быку, чтобы тот этого не делал. Пастух стал смеяться и сказал, что не умеет говорить по-бычьи; тогда Пифагор сам подошел к быку и прошептал ему что-то на ухо, после чего тот не только тут же пошел прочь от бобовника, но и более никогда не касался бобов, а жил с тех пор и умер в глубокой старости в Таренте при храме Геры, где слыл священным быком и кормился хлебом, который давали ему прохожие».
  64
  

• 65 слайд

  Диоген Лаэртский, например, рассказывает так: «Появившись в Италии, Пифагор устроил себе жилье под землей, а матери велел записывать на дощечках всё, что происходит и когда, а дощечки спускать к нему, пока он не выйдет. Мать так и делала; а Пифагор, выждав время, вышел, иссохший, как скелет, предстал перед народным собранием и заявил, будто пришел из Аида, а при этом прочитал им обо всём, что с ними случилось. Все были потрясены прочитанным, плакали и рыдали, а Пифагора почли Богом. И тем не менее основной тон всех преданий о Пифагоре был один:
  «Ни о ком не говорят так много и так необычайно» (Порфирий).
  65
  

• 66 слайд

  Много ещё различных чудес можно было бы рассказать о Пифагоре. Но главное «чудо», прославившее в веках имя великого эллина, было в другом. Это чудо Пифагора состояло в том, что он вывел человечество из лабиринтов мифотворчества и богоискательства к берегам океана точного знания. Утренние купания пифагорейцев в волнах Ионического моря были и ежедневной прелюдией к плаванию по океану знания. Только целью плавания на сей раз были не поиски золотого руна, а поиски сокровища, куда более ценного. То были поиски истины.
   
  66
  

• 67 слайд

  Пифагор- это не только великий математик, но и великий мыслитель своего времени. Познакомимся с некоторыми его философскими высказываниями…
  67
  Пифагор. Гравюра из старинной книги.
  

• 68 слайд

  Мысль — превыше всего между людьми на земле.
  Не садись на хлебную меру (т. е. не живи праздно).
  По торной дороге не ходи (т. е. следуй не мнениям толпы, а мнениям немногих понимающих).
  Ласточек в доме не держи (т. е. не принимай гостей болтливых и не сдержанных на язык).
  Будь с тем, кто ношу взваливает, не будь с тем, кто ношу сваливает (т. е. поощряй людей не к праздности, а к добродетели, к труду).
  В перстне изображений не носи (т. е. не выставляй напоказ перед людьми, как ты судишь и думаешь о богах).
  
  68
  

• 69 слайд

  
  Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение I книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принёс в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя ещё Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики.
  
  Легенды об открытии
  теоремы Пифагора
  69
  

• 70 слайд

  О теореме Пифагора
   
  Уделом истины не может быть забвенье,
  Как только мир её увидит взор,
  И теорема та, что дал нам Пифагор,
  Верна теперь, как в день её рожденья.
  За светлый луч с небес вознес благодаренье
  Мудрец богам не так, как было до тех пор.
  Ведь целых сто быков послал он под топор,
  Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.
  Быки с тех пор, как только весть услышат,
  Что новой истины уже следы видны,
  Отчаянно мычат и ужаса полны:
  Им Пифагор навек внушил тревогу.
  Не в силах преградить той истине дорогу,
  Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
  Суть истины вся в том, что нам она-навечно,
  Когда хоть раз в прозрений её увидим свет,
  И теорема Пифагора через столько лет
  Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
  На радостях богам был Пифагором дан обет:
  За то, что мудрости коснулся бесконечной,
  Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
  Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
  С тех пор быки, когда, учуют, тужась,
  Что к новой истине людей опять подводит след,
  Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,
  Такой в них Пифагор вселил навеки ужас,
  Быкам, бессильным новой правде противостоять,
  Что остается? - Лишь, глаза закрыв, реветь, дрожать.
  70
  

• 71 слайд

  Так, оптимист Михайло Ломоносов (1711-1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевесу принёс в жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось».
  
  71
  

• 72 слайд

  А вот ироничный Генрих Гейне (1797-1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не может доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принёс в жертву бессмертным богам».
  
  72
  

• 73 слайд

  Когда был подожжён дом Милона, где собрались пифагорейцы, когда стали рушиться подпорки и перекрытия, державшие крышу, Пифагор в задумчивости сидел в центре большой залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики Пифагора бросились в огонь и проложили в нем дорогу учителю, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой—ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. Жизнь без продолжателей учения была для Пифагора лишена смысла.
  Легенды
  о смерти Пифагора
  73
  

• 74 слайд

  
  
  Фрагмент фильма «Приключения Электроника»
  Ералаш
  74
  

• 75 слайд

  Эпилог.
  Вечный кладезь
  мудрости.
  75
  

• 76 слайд

  Учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — прообраза средневековых монашеских орденов, богослова и реформатора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающейся науки и пышно цветущей мифологии.
  
  76
  

• 77 слайд

  И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Всё есть число». Если снять с этого тезиса мистическую паутину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифагорейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы.
  
  77
  

• 78 слайд

  Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный американский математик и историк науки М. Клайн: «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило всё последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы».
  
  78
  

• 79 слайд

  В Абдерах в 430—420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью. Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа, но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести!
  
  79
  

• 80 слайд

  Самосская монета с изображением Пифагора. II-III вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщённый образ учёного.
  
  80
  

• 81 слайд

  Но для учёного важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его идей. И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в истории человечества. Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и математик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан,— все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплатоников питали Аврелия Августина (354—430) и Иоанна Скота Эриугену (810—877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 —1576), Томмазо Кампанеллу (1568—1639) и Джордано Бруно (1548—1600), Фридриха Шеллинга (1775— 1854) и Георга Гегеля (1770—1831), Владимира Соловьева (1853—1900) и Сергея Булгакова (1871 —1944), Павла Флоренского (1882—1937?) и Алексея Лосева (1893—1988).
  
  81
  

• 82 слайд

  Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность её законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 —1630) до Альберта Эйнштейна (1879—1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.
  
  82
  

• 83 слайд

   “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.
  Иоганн Кеплер
  83
  

МОУ "Зимстанская средняя общеобразовательная школа"

"Утверждаю"

директор школы

_______Г.А.Кичун

"__"________2015г

Рабочая программа элективного курса

по математике в 9 классе

«ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ: обобщения и применения теоремы Пифагора»

2015-2016 учебный год

     Составила учитель математики    Юдина Е.В.

Содержание:

            I.      Программа элективного курса для предпрофильной подготовки учащихся по математике, 9- кл. «ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРИИ: обобщения и применения теоремы Пифагора»

1.1. Аннотация программы

1.2. Пояснительная записка

1.3. Учебно-тематический план

1.4. Содержание программы

1.5. Общие методические рекомендации

Приложение № 1

Банк заданий для использования на занятиях элективного курса

Приложение № 2

Учебно-методическое обеспечение курса

Аннотация программы

Элективный курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» является составной частью предпрофильной подго­товки и  выполняет  функции:

·        расширения и углубления содержания базисного курса, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне,что позволяет получить дополнительную подготовку для сдачи экзамена по математике;

·         способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Основной целью курса - является предоставление возможности ученику оценить свой по­тенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в клас­сах технологического и естественнонаучного профиля и повысить уровень его общей математической культуры.

Курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» по­может учащимся:

·        в решении широкого класса задач, в которых используется теорема Пифагора и ее обобщения;

·        в применении полученных знаний (тех профессий, в которых пригодится практическая направленность задач по геометрии);

·        в формировании общекультурной компетентности.

Программа курса по выбору «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» будет интересна и полезна не только учащимся, которые планируют свое дальнейшее обучение в профильном классе, но и тем, которые не проявляют специального интереса к занятиям математикой, но хотят расширить свой кругозор  знаниями о практическом применении математики, научиться анализировать жизненную ситуацию. Этот курс, безусловно, заинтересует учителей математики, поможет им при выборе тематики занятий математического кружка, факультатива, при подготовке учащихся к экзамену по геометрии.

Этот элективный курс станет дополнительным фактором фор­мирования положительной мотивации в изучении математики, а также понимания учащимися философского постулата о единстве мира и осознании положения об универсальности математических знаний.

Пояснительная записка

Содержание курса имеет определенное отличие от базового курса математики, которое состоит в том, что такой раздел геометрии как «Метрические соотношения в треугольнике» представлен односторонне, не отражены другие точки зрения на доказательство теоремы Пифагора и ее обобщений, а об  общекультурном аспекте упоминается вскользь. Мало задач на практическое применение, не рассматриваются решения задач имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин.

Элек­тивный курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» направлен на углубление и расширение ^[1] тем «Теорема Пифагора»  и «Обобщенная теорема Пифагора», на формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них, а также собствен­ных внутренних закономерностей.

Данный элективный курс поможет учащимся познакомиться с любопытными геометрическими и историческими фактами, оригинальными подходами к доказательству и применению теоремы Пифагора, с решением задач имеющих широкий круг применения в курсах смежных дисциплин и практической деятельности человека.

Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Теоретиче­ский материал сопровождается: разбором задач, приведе­ны упражнения для самостоятельной работы, вопросы самопровер­ки, задания для практической работы в среде «Живая геометрия»^[2], темы творческих работ для самостоятельной работы учащихся.

Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Постоянное обращение к наглядности, использование чертежей развивает геометрическую интуицию. Наряду с основной задачей обучения математике - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование ус­тойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математиче­ских способностей, ориентацию на профессии, выбор профиля дальнейшего обу­чения

Цели курса:

·         помочь повысить уровень понимания и практической подго­товки в таких вопросах, как решение геометрических задач;

·        помочь осознать степень своего интереса к предмету и оце­нить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей пер­спективы, показать возможности применения полученных знаний в своей будущей профессии;

·        создать в совокупности с основными разделами курса базы для развития способностей учащихся;

Задачи  курса:

·        Убедить в практической необходимости применения геометрического аппарата к решению задач;

·         расширить представления учащихся о сферах применения геометрии (не только в естественных науках, но и в технике, производстве, в гуманитарной сфере)

·        помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

·        помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на 10 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение задач, само­стоятельную работу. В программе приводится примерное распре­деление учебного времени, включающее план занятий.

Предпочтительны такие формы проведения занятий, как:

·        Лекция-беседа

·        Лекция с мультимедиа демонстрациями

·        Семинар

·        Практическая работа в среде «Живая геометрия»

·        Итоговая конференция с выставкой  творческих работ учащихся.

Разнообразный дидактический материал дает воз­можность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучае­мом материале, на решение новых и интересных задач практической направленности.предлагаемая структура занятия

Материал данного курса, безус­ловно, может использоваться учителем, как на уроках геометрии, так и на занятиях факультатива и кружка в 9 классах с любой степенью подготовленности, способствовать развитию по­знавательных интересов, мышления учащихся, предоставит воз­можность подготовиться к сознательному выбору профиля обуче­ния и дальнейшей специализации.

В состав учебно-методического комплекта входят:

1. Учебное пособие для школьников, включающее задачи и уп­ражнения для закрепления знаний и отработки практических навы­ков, упражнения для самостоятельной работы, тесты, темы творческих работ для самостоятельной работы учащихся.

2. Методическое пособие для учителя с методическими реко­мендациями по проведению занятий, решению задач, организации промежуточного и итогового контроля знаний учащихся.

3. Приложения, содержащие дополнительную информацию по данному курсу.

Учебно-тематический план

№ п/п	Наименование тем курса	Всего  часов	В том числе			Формируемые виды деятельности
			лекция	практика	семинар
I.	Теорема Пифагора. Различные  способы доказательства теоремы Пифагора Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. Алгебраический метод доказательства теоремы Пифагора.	2	0,5 0,5	0,5 0,5		Самостоятельно работать с большими объёмами учебной литературы; Понимать схемы, чертежи; Использовать альтернативные пути в поисках информации: Умение контролировать; Владеть техническими средствами; Ставить и решать проблемы; Обращаться за помощью к товарищам и старшим, воспользоваться ею
II.	Применения теоремы Пифагора. 3. Обратная теорема Пифагора.  Пифагоровы числа. 4. Формула Герона. 5.Решение задач на применение теоремы Пифагора	3	1 1		1	Делать выводы, интегрировать и синтезировать информацию; Участвовать в решение сложных проблем; Применять идеи на практике; Рассуждать, строить гипотезы; Способность рисковать; Работать в команде; Развивать инженерные способности и стремление к ноу-хау.
III.	Обобщения теоремы Пифагора 6.Теорема Пифагора, доказанная Евклидом. Теорема косинусов. 7.Доказательство теоремы Пифагора  через отношение подобных фигур. 8.Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов.	3	0,5 0,5 0,5	0,5 0,5 0,5		Самостоятельно организовать свою деятельность и принимать максимально полную ответственность за неё; работать с большими объёмами информации; Быстро принимать решения в сложных ситуациях; Искать правильный путь в самых запутанных условиях. Способность к преобразованию; Оценивать процесс, его результат, предвидеть его последствия;
IY.	Итоговое занятие	2			2	Ставить и решать проблемы; Общаться с разными людьми; Рассуждать, строить гипотезы; Выполнять творческие работы и проекты; Защищать творческие работы и проекты.

Всего: 10 часов

Содержание программы

Тема 1. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора (2 ч.)

Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Историческая справка. Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. Алгебраические доказательства.

Занятие 1. Введение. Доказательства теоремы Пифагора, основанные на понятии площади. (1ч).

Доказательство теоремы Пифагора, основанные на использовании равновеликости фигур, аддитивные доказательства, доказательство методом разложения квадратов на равные части; доказательство методом достроения.

Методыобучения:лекция-беседа с использованием приема активного слушания; практическая работа в «Живой геометрии»,обсуждение тем сообщений и рефера­тов; исследовательский метод обучения, обеспечивающий творческое применение знаний.

Формыконтроля:проверка задач самостоятельного решения, творческих заданий.

Занятие 2. Алгебраический метод доказательства теоремы Пифагора.(1 ч).

Методыобучения:лекция, учебная беседа с использованием приема активного слушания; обсуждение тем сообщений и рефера­тов; выступления, практическая работа в «Живой геометрии»,  проектирование собственных задач.

Формыконтроля:Выступление учащихся с докладами,

проверка рефератов,  творческих заданий.

Тема 2. Применения теоремы Пифагора.(3 ч.)

Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа. Формула Герона. Решение задач.

Занятие 3. Обратная теорема Пифагора. Пифагоровы числа. Решение задач. (1 ч).

Методыобучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений, обсуждение тем сообщений и рефера­тов; выступления,

Формыконтроля:Защита проектов решений задач,

самостоятельная работа.

Занятие 4. Формула Герона.

 Вывод формулы Герона разными способами. Формула Герона для иррациональных чисел. Решение  задач на применение формулы Герона. (1 ч).

Методыобучения: семинар, работа в группах, обсуждение тем сообщений и рефера­тов; выступления, выполнение тре­нировочных упражнений.

Формыконтроля: проверка рефератов, докладов, проекты  решения задач, проверка задач самостоятельного реше­ния.

Занятие 5. Решение задач на применение теоремы Пифагора при геометрических вычислениях; в смежных предметах; в практической деятельности человека.(1 ч).

Методыобучения: объяснение, беседа с активным участием учащихся; проектирование собственных задач,выполнение тре­нировочных упражнений.

Формыконтроля:проверка задач самостоятельного реше­ния, проекты решений задач.

Тема 3. Обобщения теоремы Пифагора.(3 ч.)

Теорема Пифагора, доказанная Евклидом в «Началах». Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема косинусов). Доказательство теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур. Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, на двух сторонах которого построены параллелограммы (Теорема Паппа).  Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов.

Занятие 6. Теорема Пифагора, доказанная Евклидом в «Началах», обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника (теорема косинусов). Применение теоремы косинусов для решения задач.(1 ч).

Методыобучения: Лекция с мультимедиа демонстрациями объяснение, выполнение тре­нировочных упражнений, практическая работа в «Живой геометрии».

Формы  контроля: самостоятельная работа, самоконтроль.

Занятие 7. Доказательство теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур.(1 ч.)

Рассматриваются доказательства теоремы Пифагора через отношение площадей подобных фигур. Луночки Гиппократа. Обобщение теоремы Пифагора на случай произвольного треугольника, на двух сторонах которого построены параллелограммы (Теорема Паппа). 

Методыобучения:Лекция с мультимедиа демонстрациями,объяснение, выполнение тре­нировочных упражнений, практическая работа в «Живой геометрии».

Формыконтроля:проверка задач самостоятельного реше­ния, творческих заданий.

Занятие 8. Стереометрические обобщения теоремы Пифагора для тетраэдров и трехгранных углов. Решение задач. (1 ч).

Методыобучения: лекция-беседа,выполнение тре­нировочных упражнений.

Формыконтроля:проверка задач самостоятельного реше­ния.

Занятие 9-10. Подведение итогов. (2 ч).

Формы контроля: Защита проектов, творческих работ.

Общие методические рекомендации

Данный элективный курс «Избранные вопросы геометрии: обобщения и применения теоремы Пифагора» задает примерный объем знаний, умений и навыков, которыми и должны овладеть школьники.

Учащиеся в ходе освоения данного элективного курса имеют возможность:

§  научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности;

§  овла­деть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования;

§  провести самостоятельный поиск информации, необходи­мой для подтверждения или опровержения фактов;

§  получить до­полнительную информацию из материалов, которые либо входят в учебное пособие к курсу, либо могут рассматриваться как сопро­вождающие курс (видеоматериалы, ин­формация Интернета); 

§   провести небольшое самостоятельное ис­следование (индивидуально или в группе).

Средствами для осуще­ствления этой работы являются задания, которые предлагаются в дидактических материалах, а также темы докладов и сообщений на выбор учащихся.

В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному освоению предлагаемого курса.

Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путем определения способа действий и называния ответа. Проверочные работы рассчитаны на часть урока, задания выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности. Данный курс содержит дидактический материал, как для учителя, так и для учащихся.

Для передачи теоретического материала наиболее эффективна школьная лекция, сопровождающаяся беседой с учащимися, де­монстрацией видеоматериалов, инфор­мацией Интернет-сети.

Помимо традиционного изложения могут быть использованы и такие пути реализации содержания курса, как историко-математический семинар.

Формы занятий предусматривают исследовательскую и проектную деятельность учеников. Например:

·        написание сообщений и рефератов на задан­ную тему,

·        проектирование собственных задач по теме,

·        создание сценариев для слайд-фильмов о выбранном объек­те изучения и т. п.

Роль учителя в осуществлении учебной и проектно-исследова-тельской деятельности учащихся состоит в консультационной ра­боте, а также организации и координации действий, учащихся при выполнении заданий. Ученикам предоставляется возможность са­мостоятельного выбора объекта изучения, вида отчётных работ, литературы, по которой они будут готовить собственные работы.

Предполагается, что резуль­татами освоения учащимися 9 классов данного курса по выбору, могут стать следующие умения:

1)    Уверенно решать задачи на вычисление, доказательство, исследование;

2)    использовать математические знания, гео­метрический и алгебраический материал для описания и решения задач будущей профессиональной деятельности;

3)    применять приобретённые геометрические представления и алгебраические преобразования для описания и анализа законо­мерностей, существующих в окружающем мире;

4)          проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа частных примеров, эксперимента, выдвигать гипотезы и делать необходимые проверки.

5)    уметь соотносить свою точку зрения с мнением авторитет­ных источников, находить информацию в разнообразных источни­ках, обобщать и систематизировать ее;

6)    уметь ясно и точно выражать свои мысли в устной и пись­менной речи.

Приложение № 1

Банк заданий для использования на занятиях элективного курса.

Тема 1. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Вопросы для устной работы:

1)          В чем заключается теорема Пифагора? Какое ей можно дать истолкование, используя понятие площади?

2)    Что вы знаете о Пифагоре?

3)    Знаете ли вы другие доказательства теоремы Пифагора?

Задания для самостоятельной работы учащихся.

1.                         Поручить нескольким учащимся подготовить выступления-содоклады к лекции учителя (Различные способы доказательства теоремы Пифагора)

2.                         Практическая работа в среде «Живая геометрия» (интерактивные чертежи)

·        «Смотри!»-Ответить на вопросы и объяснить доказательства: Какая теорема доказана и как? Объясните алгебраическое доказательство?

·        «Доказательство Леонардо»-Попробуйте восстановить доказательство;

·        «Шарнирное доказательство»- Дайте полное доказательство.

·        «Пифагоров паркет»-Восстановите доказательство по рисунку, построение нарушается когда зеленый квадрат становится большим, но все равно рисунок дает доказательство для всех возможных случаев .Почему?;

·        «Теорема Пифагора и квадрат суммы»-Восстановите заключенное здесь доказательство теоремы Пифагора. Попутно здесь выводится формула квадрата суммы. Как?;

·         «теорема Пифагора по Евклиду»-Докажите, что при всех преобразованиях треугольника его площадь не меняется. Объясните,  как отсюда выводится теорема Пифагора?

3.                         Творческое задание: самостоятельное открытие доказательства теоремы Пифагора. Для учащихся, которым это задание окажется сложным предлагается доказать теорему по рисункам иллюстрирующих 8 способов на которые имеются ссылки в «Началах».

4.                         Написать рефераты по темам: «Пифагор, философ, математик», «Магический квадрат Пифагора», «Пифагор и его союз», «Философские начала пифагорейцев», «Значение пифагореизма», т.п..

5.                         Тема для дискуссии: Какое из доказательств теоремы лучше и почему? (Учащиеся отстаивают свою точку зрения. Критикуют другие способы доказательства.)

Тема 2. Применения теоремы Пифагора.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

1.Вопросы:

§  Для каких треугольников она применяется?

§  Какие задачи позволяет решать теорема Пифагора?

^§    Какие данные надо иметь в прямоугольном треугольнике и какие действия с ними произвести, чтобы найдите по теореме Пифагора: а) гипотенузу?; б) катет? Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника обозначены соответственно с, а, в. Площадь каких фигур выражают: с² , а² ,в^{2 ?}

§  Сформулируйте теорему Пифагора, используя понятие площади квадрата.

§  Какие треугольники называют Пифагоровыми?

§  Что можно сказать о сравнительной длине: а) гипотенузы и катета; б) наклонной к прямой, проведенных из одной точки, и их проекций?

2. Задачи на применение прямой и обратной теоремы Пифагора

(задачи располагаются по нарастающей трудности):

Задача № 1:

В параллелограмме АВСD ВD =2Ö41   см, АС = 26 см, АD = 16 см. Через точку О – точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая, перпендикулярная стороне ВС. Найдите отрезки, на которые эта прямая разделила сторону АD.

Ответ: 4 см;.9 см.

Задача № 2:

В треугольнике АВС АВ = ВС .

Высота АК делит сторону ВС на отрезки ВК = 24 см и КС = 1 см.

 Найдите площадь треугольника и сторону АС.

Ответ:АС=5Ö 2 см; S= 87,5 см² 

Задача № 3:

 Две окружности радиусами 13 и 15 см пересекаются. Расстояние между их центрами О₁ и О₂ равно 14 см. Общая хорда этих окружностей АВ пересекает отрезок О₁О₂ в точке К. Найдите О₁К и КО₂ ( О₁ –центр окружности радиусом 13 см).

Ответ: О₁К=5см,      КО₂=9 см.

Задача №4:

В треугольнике АВС АВ = АС. Высота ВМ равна 9 см и делит сторону АС на два отрезка так, что АМ = 12 см. Найдите площадь и периметр треугольника.

Ответ: Р=30 + 3 Ö10 см., S = 67,5 см²

Задача№ 5:

На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4 см, ЕD = 5 см, ВЕ = 12 см, ВD = 13 см. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ:108 см²

Задача № 6:

В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СЕ, СЕ = 12 см, ВЕ = 9 см, АК = 10 см. Найдите АС.

Ответ:АС=12,5 см.

Задача № 7:

В равнобедренной трапеции АВСD  АD║ВС,<А = 30⁰, высота ВК = 1 см, ВС = 2      3 см. Найдите площадь треугольника КМD, если М – середина отрезка ВD.

Ответ: 3 Ö3 / 4 см²

Задача № 8*:

В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD, АСD, ВСD равны. Докажите, что данный четырехугольник является параллелограммом.

Задача № 9*:

В выпуклом четырехугольнике АВСD проведены диагонали. Известно, что площади треугольников АВD и АСD равны, а площади треугольников АСD и ВСD не равны. Докажите, что данный четырехугольник является трапецией.

Задача № 10.

Где ошибка? «Новое доказательство»  теоремы Пифагора. Возьмем прямоугольный треугольник с катетами а иb, гипотенузой с и острым углом a, противолежащим катету а. Имеем: а =csina, b=ccosa, откуда  а² = с²sin²ab²=c²cos²a. Просуммировав по частям эти равенства, получаем: а ² +  Ь ²=с ² (sin²a+cos²a). Но sin²a+cos²a = 1, и поэтому

а ² +  Ь ²=с ²Подвергните критике это -доказательство».

Ответ: формула sin²a+cos²a = 1 выводится на основании теоремы Пифагора, и поэтому в рассуждении получается порочный круг.

Пифагоровы числа

Темы докладов по теме Пифагоровы числа

·        Пифагорейское учение о числе.

·        Пифагоровы числа и их свойства.

Тема для сочинения:

«Магический квадрат Пифагора»

Задача: Докажите, что катеты а, в и  гипо­тенуза с таких треугольников выражаются формулами: а = 2тп, в = т² - п², с = т²+ п², где т  и п — любые натуральные числа, такие, что т > п.

Темы для докладов к теме формула Герона:

·        Историческая справка о Героне Александрийском.

·        Выводы формулы Герона разными способами.

·        Преобразование формулы Герона, для работы с иррациональными числами.

·        задачи, на применение формулы Герона.

Тема для дискуссии:

§  Какой вывод формулы Герона лучше?

(каждый из участников защищает «свой» способ и критикует «чужой»)

Задачи на применение формулы Герона:

Задача № 1:Найти S_ABC;

Задача № 2:Найдите площадь четырехугольникаABCD  ,

в котором  АВ=5 см, ВС=13 см, CD=9см, DA=15 см, АС=12см.

Ответ:84 см²

Задача № 3:Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ =13см,     ВС = 14 см, АС = 15 см.

Ответ:4“ см.

Задача №4:Вычислите площадь треугольника, если длины сторонÖ2; 3Ö7; Ö17.

Исследовать:

 Задача № 5: Какую форму нужно придать треугольнику, чтобы при данной сумме его сторон он имел наибольшую площадь?

Ответ: Треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны равны между собой. (равносторонний треугольник)

Применение теоремы Пифагора при изучении смежных дисциплин и практической деятельности человека.

o   Задача № 1:С аэродрома вылетели одновременно два самолёта: один - на запад, другой - на юг. Через два часа расстояние между ними было 2000 км. Найдите скорости самолётов, если скорость одного составляла 75% скорости другого.

Ответ: 800 км/ч.; 600 км/ч.

o   Задача № 2:Как следовало бы поступить юному математику, чтобы надёжным образом  получить прямой угол?

Ответ: Проще всего взять для этого планки длиной в 3, 4 и 5

 каких-либо произвольно выбранных равных отрезков.

o   Задача №3:Найдите равнодействующую трёх сил по 200 Н каждая, если угол между первой и второй силами и между второй и третьей силами равен 60°.

Ответ: R=400 Н.

o   Задача № 4:Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

Ответ: h≥(a²+b²)^1/2.

o   Задача № 5:Какую наибольшую высоту должна иметь телевизионная вышка, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)

Ответ: 2,3 км.

o   Задача № 6:При измерительных работах в полеводстве широко используется так называемая сажень (полевой циркуль) – инструмент в виде буквы А высотой 1,37 м ишириной 2 м.Какой длины заготовки требуются для изготовления сажени?

Ответ:

o   Задача № 7:Телевизионные радиосигналы распространяются на 15 % дальше пределов прямой видимости антенны. При каком наибольшем расстоянии S от передающей антенны высотой H можно принять телепередачу с помощью приемной антенны высотой h ? Определите, при каком максимальном расстоянии можно принять передачу с помощью антенны высотой 20 м с Останкинской башни (её высота 538 м).

Ответ:S= 4,1 ^. 10³( Ö H + Ö h)м.

o   Задача № 8:Выпрямление окружности. .Если нужно выпрямить окружность О радиуса r то проводят диаметр АВ, а в точке В – перпендикулярную  к ней прямую СД. Из центра о под углом 30 к АВ проводят прямую ОС. Затем на прямой СД от точки С откладывают три радиуса данной длиной окружности и соединяют полученную точку Д с А: длина отрезка АД равна длине полуокружности. Если отрезок АД удлинить вдвое, то приближенно получится выпрямленная окружность О, ошибка менее 0,0002r. На чем основано это построение?

Ответ:3,14153 r.

Тема 3. Обобщения теоремы Пифагора.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

Вопросы:

1.В чем заключается обобщенная теорема Пифагора?

2.Докажите ОТП.

3.Почему ОТП имеет такое название?

4.Какие задачи по решению треугольников вы можете решить с помощью ОТП?

5.Как определить вид углов треугольника с помощью ОТП?

6.Какие практические задачи вы можете решить с помощью ОТП?

1.Практическая  работа в среде «Живая геометрия» (интерактивные чертежи)

·        «Теорема косинусов без косинусов. Рассуждения Евклида»-Покажите тем или иным способом, что розовые прямоугольники равновелики и выведите утверждение Евклида. Как их него получается теорема косинусов?

·        «теорема Паппа»-восстановите доказательство.

2.     Творческое задание: самостоятельно доказать теорему через отношение площадей подобных фигур предварительно выбрав правильную фигуру. Например:«Площадь правильного треугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей правильных треугольников, построенных на катетах».

3.     Задачи:

o   Задача № 1.Дан куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании. Найдите диагональ d?

Ответ: d=√ 3*a

o   Задача № 2 .Исследуем пирамиду, например, такую в основании которой лежит квадрат, и высота которой проходит через центр квадрата. Пусть сторона квадрата a, а высота пирамиды h. Чему равна длина S боковых рёбер пирамиды?

Ответ: S²=h²+1/2*a².

o   Задача № 3 Докажите, что квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений.

Ответ: d² = AB² = AC² + CB² = (AD² + DC²) + CB² = a² + b² + c².

o   Задача № 4

Найди ошибку!

а²=b²+c²+2bc cosa.;

b²= а²+c²-2bc cosa;

а²= а²+c²-2ac sina;

a+b+g=90^0; AB²=AC²+BC²-2 sin<ABC; a+b= g.

o   Задача № 5

Найди ошибку!

Задача № 6Определить вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см. Выбрать и подчеркнуть верный ответ

а) остроугольный'   б) равнобедренный;

в) тупоугольный;     г) прямоугольный.

Ответ: а)

Задача № 7 В треугольнике АВС угол А равен 120°, АВ=АС=2 см.

Найти длину стороны ВС.

Выбрать и  подчеркнуть верный ответ:

Ответ:в)

Задача № 8 В параллелограмме острый угол равен 60°_Н а стороны 6 см н 8 см. Найти меньшую диагональ. (3 балла)

Выбрать и подчеркнуть верный ответ:

Ответ: б)

Задача № 9:Угол при основании равнобедренного треугольника 30°, а боковая сторона равна 14 см. Найти меди­ану, проведенную к боковой стороне. .

(4 балла)

Выбрать и подчеркнуть верный ответ:

Ответ: в)

Задача № 10:Найти углы треугольника, если а=12, Ь=8; с=10.

.(6 баллов)

Верный ответ: a = 82⁰49’; b = 41⁰ 24’; g = 55⁰ 47’.

Задача № 11:Найти диагональ ВD параллелограмма АВСD, если она в 2 раза меньше стороны АВ угол АBD равен 60", АC=34 см. .(5 баллов)

Верный ответ: 34 / Ö15 см.

Задача № 12:В ромбе со стороной 10 см высота, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба на отрезки 3 см и 7 см. Найти меньшую диагональ ромба. .(5 баллов)

Верный ответ: 2 Ö15 см.

Задача № 13: У треугольника длины сторон, а=6, b=8 и площадь S=3Ö15. Третья его сторона меньше удвоенной медианы, проведенной к ней. Найти радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Ответ: r= Ö15/3

Приложение № 2

Учебно-методическое обеспечение курса

1.     Александров А.Д. Геометрия 7-9. -  М.: Просвещение, 2000.

2.     Атанасян Л.С.,и др.  Геометрия 7-9. -  М.: Просвещение, 2004

3.     Атанасян Л.С,и др.  Методические рекомендации к учебнику геометрии в 7, 8, 9 классах: Кн. Для учителя - М.: Просвещение, 2004

4.     Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии/в помощь школьному учителю/, дифференцированный подход, 8 класс. – М.: «ВАСКО»,2006

5.     Глейзер Г. Поговорим о теореме Пифагора. -  Математика № 13, Еженедельное приложение к газете Первое сентября.1996

6.     Козырицкая Т. Кроссворд. Теорема Пифагора, преобразование фигур.-  Математика № 12, Еженедельное приложение к газете. Первое сентября.1996

7.     Попов В.А. Иррациональные уравнения, неравенства и теорема косинусов. -  Журнал Математика в школе № 6, 1998

8.     Руденко В.Н., Бахурин Г.А. Геометрия 7-9. - М.: Просвещение, 2000

9.     Тернопол А.Н.Методическое обеспечение профильного обучения. Математика: Методические рекомендации. - М.: АПКиПРО, 2004.

10. Теорема Пифагора .Три разных урока. Я иду на урок. – Математика № 17, Еженедельное приложение к газете Первое сентября.1996

11. Шведовская Л.П. Египетский треугольник. – Школа - Пресс.: Журнал Математика в школе № 1.1997

---

[1] Элективные курсы в профильном обучении/Министерство образования РФ-Национальный фонд подготовки кадров-М.:Вита-Пресс,2004 г.

[2]Учебное электронное издание «Математика 5-11 классы. Практикум»,2002 г.