Программа элективного курса "Уравнения и неравенства в целых числах. Опорные задачи"

Программа элективного курса «Уравнения и неравенства в целых числах. Опорные задачи».

Выполнила: Сафаргулова Э. Я., учитель математики,  МБОУ СШ №12, г. Сургута

Пояснительная записка.

Предлагаемый элективный курс в соответствии с ФГОС нового поколения способствует развитию ученика  как субъекта познавательной деятельности (воспитание гражданина современного общества, человека, который будет учиться всю жизнь). Поставленная задача требует перехода к новой системно-деятельностной образовательной парадигме, которая, в свою очередь, связана с принципиальными изменениями деятельности учителя, реализующего новый стандарт. Также изменены и технологии обучения, внедрение информационно-коммуникационных технологий открывает значительные возможности расширения образовательных рамок по предмету.

Данный элективный курс направлен на формирование у учащихся компетентностей: практических навыков, способностей применять знания, что согласуется с  Концепцией  развития системы образования Ханты-Мансийского автономного округа - Югры до 2020 года.

Курс предназначен для учащихся  9 классов, которые хотят продолжить обучение в  профильном 10 классе. В вариантах ЕГЭ последних лет самая сложная задача 19 связана с целыми числами. Такие задачи встречаются в вариантах различных олимпиад, проводимых для старшеклассников и дающих льготы при поступлении в вузы. В предлагаемых материалах предпринята попытка систематизировать типы уравнений и неравенств в целых числах и изложить основные методы решения. Упор делается на решение уравнений и неравенств различных типов в целых числах.

Цель курса - ознакомление учащихся с основными методами решения уравнений и неравенств в целых числах.

Другие цели:

·        Расширение и углубление знаний учащихся по математике;

·        Развитие математического мышления и способностей учащихся;

·        Подготовка к сдаче ОГЭ и продолжение успешного обучения в старших классах(профильных).

Учебно-тематический план:

№ п/п	Тема	Количество часов
1	Уравнения первого порядка с двумя неизвестными в целых числах.	3
2	Уравнения второго порядка с двумя неизвестными в целых числах.	4
3	Основные методы решения в целых числах нелинейных уравнений.	4
4	Уравнения в целых числах, используемых при решении текстовых задач.	3
5	Неравенства в целых числах. Графические иллюстрации.	4

Содержание:

1)    Уравнения первого порядка с двумя неизвестными в целых числах:

Определение уравнения. Два способа решения уравнения первого порядка с двумя неизвестными в целых числах.

Деление с остатком.

2)    Уравнения второго порядка в целых числах:

3)    Основные методы решения в целых числах нелинейных уравнений:

Разложение на множители и перебор вариантов;

Выражение одной переменной через другую, выделение целой части дроби; нахождение целых делителей числителя.

4)    Уравнения в целых числах, используемые при решении текстовых задач:

Определение данного уравнения;

Разложение на множители;

Перебор конечного числа вариантов;

Рассмотрение уравнения как квадратного уравнения относительно какой-то переменной.

5)    Неравенства в целых числах:

·        Графические иллюстрации;

·        Графическое решение неравенств;

·        Выделение из множества решений на координатной плоскости множества точек с целочисленными координатами.

Необходимым условием решения таких задач является правильная формализация задачи, т.е. введение нужных переменных и составление уравнений или систем.

Планируемые результаты:

В результате изучения данного элективного курса учащийся должен знать:

·        Основные виды уравнений в целых числах;

·        Основные методы и приемы решения уравнений, задач, неравенств в целых числах;

Должен уметь:

·        Применять изученные методы и приемы при решении уравнений, задач, неравенств  в целых числах.

Опорные задачи.

1. Уравнения в целых числах - это алгебраические уравнения с двумя и большим количеством переменных и целыми коэффициентами. Древнегреческий математик Диофант Александрийский исследовал некоторые типы уравнений в целых числах, поэтому такие уравнения называются диофантовыми.

Уравнениями первого порядка в целых числах с двумя переменными называются уравнения вида ax+ bx=c, где a,b,c,x,y∊Ƶ, где a и b взаимно просты.

Рассмотрим два способа  решения таких уравнений в целых числах.

Решите уравнение 3х-4y=1.

1)Первый способ:

Находим какое-то решение данного уравнения, х₀=3, у₀=2,     (9-8=1)

         3(х-х₀) – 4(у-у₀)=0,

         3(х-х₀) = 4(у-у₀),т.к. 3 не делится на 4,то

         х-х₀=4n, y-y₀=3n, n∊Ƶ,

         х=3+4n,n∊Ƶ, у=2+3n,  n∊Ƶ.

Ответ: х=3+4n,n∊Ƶ; y=2+3n,  n∊Ƶ.

2) Второй способ­­:

3x-4y=1, 3x=4y+1,т.к. (3х)3, то и (4у+1) должна делиться на 3.

Рассмотрим 3 ситуации:

А) у=3к, к∊Ƶ, 4у+1=12к+1, не делится на 3;

Б) у=3к+1, к∊Ƶ, 4у+1=12к+5=3(4к+1)+2, не делится на 3;

В) у=3к+2, к∊Ƶ, 4у+1=(12к+9)3,

Значит, 3х=12к+9, х=4к+3, к∊Ƶ.

Ответ: х=4к+3, у=3к+2, к∊Ƶ.

Решите уравнение  = -1 в целых числах.

3х-5у=-15

3х₀-5у₀= -15

3(х-х₀)-5(у-у₀)= 0

3(х-х₀)=5(у-у₀)

х-х₀=5к, к∊Ƶ, х= -5+5к, к∊Ƶ,

у-у₀=3к, к∊Ƶ, у=3к, к∊Ƶ.

Ответ: х= -5+5к, к∊Ƶ, у=3к, к∊Ƶ.

3) Решите уравнение в целых числах:

36х-25у=1,

25у =36х-1, т.к. левая часть делится на 5 то и (36х-1) должна делиться на 5.

При делении на 5 возможны пять ситуаций:

1)    х=5к+1, к∊Ƶ, 36х-1=180к+35, делится на 5;

2)    х=5к+2, к∊Ƶ, 36х-1=180к+71, не делится на 5;

3)    х=5к+3, к∊Ƶ, 36х-1=180к+107, не делится на 5;

4)    х=5к+4, к∊Ƶ, 36х-1=180к+143, не делится на 5;

5)    х=5к, к∊Ƶ, 36х-1=180к-1, не делится на 5,

значит х=5к+1, тогда

25у= 180к+35 или 5у=36к+7.

Далее аналогично, если слева делится на 5, то и справа делится на 5, т.е.

1)к=5е,е∊Ƶ,  36к +7=180е+7, не делится на 5;

2) к=5е+1,е∊Ƶ,  36к +7=180е+43, не делится на 5;

3) к=5е+2,е∊Ƶ,  36к +7=180е+79, не делится на 5;

4) к=5е+3,е∊Ƶ,  36к +7=180е+115, делится на 5;

5) к=5е+4,е∊Ƶ,  36к +7=180е+151, не делится на 5,

Значит 5у=180е+115, у=36е+23, х=25е+16, е∊Ƶ.

Ответ:х=25е+16, у=36е+23, е∊Ƶ.

Задачи для самостоятельного решения.

Решите уравнения в целых числах:

1)     =1;

2)    19х-21у=2;

3)    19m+84n=1984;

4)    20х-19у=3, найти сумму трех наименьших положительных х, являющихся корнями данного уравнения.

5)    Найти все решения уравнений в натуральных числах:

А)7х +13у=113;

Б)19х+99у=1999.

2. Уравнением в целых числах второго порядка называется уравнение вида ax²+bxy+cy²+dx+ey=m, где a,b,c,d,e,m,x,y∊Ƶ.

Основной метод решения данного уравнения - разложение на множители левой части уравнения, затем задача сводится к перебору конечного числа вариантов, второй метод- рассмотрение уравнения как квадратного относительно х или у.

Например:

Решить уравнение в целых числах:

2х²-3у²-5ху = -5, (1)

Левая часть - квадратное относительно х,

D=25у² + 24у² = 49у²

Х_1,2=, х₁=3у, х₂= -

2х²-5ху-3у²=2(х-3у)(х+)=(х-3у)(2х+у),

Уравнение (1) принимает вид

 (х-3у)(2х+у)= -5  (2),

Т.к. -5= -1∙5= -5∙1= 1∙(-5)= 5∙(-1),то уравнение (2) заменим четырьмя системами:

1)  ϵ Ƶ

2)  Ƶ

3)  ϵ Ƶ

4)  Ƶ
Ответ: (2;1) , (-2;-1).

2. Решить уравнение 5х²+5у²+8ху+2х-2у+2=0 в целых числах. Рассмотрим уравнение как квадратное

относительно х.

5х²+(8у+2)х +5у²-2у +2= 0,

D=16у²+8у+1-25у²+10у-10= -9у²+18у-9= -9(у-1)²0, чтобы были корни D=0, т.е. у=1, тогда х== -1.

Ответ:(-1;1)

3. 2х²-2ху+9х+у=2, нет выражения у².

Выразим у через х:

,

выделили целую часть.

Разность 2х-1 может принимать только значения -3, -1, 1, 3.

Перебор.

2х-1	-3	-1	1	3
х	-1	0	1	2
у	3	2	9	8

Ответ: (-1;3), (0;2), (1;9), (2;8).

         Для самостоятельного решения:

Решить уравнения в целых числах:

1)    4х²-6х-4ху+у²+3у=15;

2)    х²-ху-2х+3у=10;

3)    3х²+5ху+2у²=7;

4)    5х²+4ху+у²=121;

5)    х²-6ху+13у²=100.

3. Если уравнения не линейные и не квадратные, как они решаются в целых числах?

Рассмотрим основные методы их решения.

Решить уравнение в целых числах:

Первый способ.

1)    х +у=ху, х – ху+у=0,

х(1-у)-(1-у) +1=0, (1-у)(х-1)= -1, (у-1)(х-1)=1,

т.к. 1= 1∙1= -1∙ (-1), то 

а)               б)

                             

Ответ: (0;0), (2;2).

Второй способ.

, у=ху-х, у=х(у-1),

1)у-1=0, у=1, решений нет, т.к. 10.

2) у1, х=, х== 1+,чтобы уравнение имело целые решения, у-1 делитель единицы.

а) у-1=1, у=2, х=2;                 б) у-1= -1, у=0, х=0.

Ответ: (0;0), (2;2).

Решить уравнение в целых числах:

х³+91=у³

у³-х³=91, (у-х)(у²+ух+х²)=91,

т.к.у³=х³+91, то у и у-х0,

а х²+ху+у²0, для любых х и у.

91=1∙91=7∙13=91∙1=13∙7,тогда:

1)                     (-6; -5) (5;6)

2)                      (-4; 3) (-3;4)

3)   D , корней нет

4)   D , корней нет

Ответ: (-6;-5), (5;6), (-4;3), (-3;4).

Первое уравнение мы решили , используя:

1) простой метод-метод перебора;

2) выразили одну переменную через другую, выделили целую часть дроби, нашли целые делители числителя.

3. Решить уравнение в целых числах:

х²+ху+у²= х²у²(1).

1)Легко увидеть, что пара (0;0) – решение уравнения, т.к. 0²+0∙0+0²=0²∙0², 0=0.

2)Запишем уравнение (1) в виде:

(у²-1)х²-ух-у²=0(2)

а)у²-1=0, у=1,

если у=1, то х= -1, (-1;1),

если у= -1, то х=1, (1;-1).

б)у1, уравнение (2) – квадратное относительно х.

х= ,

т.к. х и у-целое, то 4у²-3=a², где a.

4у²-a²=3, (2у-a), (2y+a)=3,

т.к.3=1∙3= -1∙(-3)=3∙1=(-3)∙(-1),то

1)  

2)  

3)  

4)  

Но у²-1, эти решения не удовлетворяют условию, поэтому ответ: (0;0), (-1; 1), (1;-1).

4. Решить уравнение в целых числах:

х³-3у³-9z³=0?

x³=3y³+9z³, правая часть кратна 3, значит и х- кратно 3,

х=3m,

27m³=3y³+9z³,

9m³=y³+3z³, т.к. 9m³ кратно 3 и 3z³ кратно 3, то и у кратно 3, у=3е, е

9m³= 27e³+3z³, 3m³= 9e³+z³, тогда

z³=3n, n, 3m³=9e³+27n³,

m³=3e³+9n³ и т.д.

получаем, что числа, удовлетворяющие уравнение, всегда кратны 3, сколько бы их на 3 не делили.

Поэтому, единственное решение   x=y=z=0.

Ответ: (0;0;0).

5. Решите уравнение в натуральных числах:

 = 1

x²y, y,

2y+x²= x²y, y(2-x²)= - x²

y= =  = 1+

а) x²-2=2,     б) x²-2= -2      в)x²-2=1      г) x²-2= -1

x=,               x²=0                 x²=3              х²=1

               х ∉N                х ∉N              x=1

(2;2)                                                               , -1 ∉N                                                  

Ответ: (2;2).

Для самостоятельного решения.

Решить уравнение в целых числах:

1)    x+y+z= xyz-в натуральных числах;

2)    19х³-17у³=51-доказать, что нет решений в целых числах;

3)     - в натуральных числах;

4)    5х²+у²+3z²-2yz=30.

4. Если решение текстовых задач сводится к решению уравнений в целых числах, то необходимым условием их решения является правильная формализация задачи, т.е. введение нужных переменных, составляющих уравнение.

Задача №1.

Длина дороги, соединяющей пункты А и Б, равна 2 км. По этой дороге курсируют два автобуса. Достигнув пункта А или Б, каждый из автобусов немедленно разворачивается и без остановок следует к другому пункту. Первый автобус движется со скоростью 51км/ч, а второй - 42км/ч. Первый стартует из пункта А, второй - из Б. Сколько раз за 8 часов движения автобусы встретятся в пункте Б?

Решение:

Путь между А и Б, первый проезжает за   ч, второй за ч. Так как автобусы встречаются в пункте Б, то за одинаковое время первый проедет нечетное число раз, а второй - четное число раз. Имеем:

 (2n+1)= ∙2e,    n, e

   , e, n.

Из системы видно, что е кратно 7, и нечетно , е 84, е = 7; 21; 35; 49; 63; 77.

e	7	21	35	49	63	77
n	8	25	42	69	76	93

Ответ: 6 раз.

Задача №2.

Мастер делает за 1ч целое число деталей больше 5, а ученик на 2 детали меньше. Один мастер выполняет заказ за целое число часов, а два ученика вместе - на 1ч быстрее. Из какого количества деталей состоит заказ?

Решение:

Пусть, х5 делает мастер за 1 час, тогда ученик за 1 час делает (х-2) детали. Пусть, мастер выполняет заказ за t часов, где t. Составляем уравнение:

xt = 2(x-2)(t-1), где x, t,

xt = 2(xt-x-2t+2), xt = 2xt-2x-4t+4,

t =  =  2 +

т.к. t, то x-4 при х5, должны быть делителями 4, т.е.:

х-4=1, х=5, 5=5;

х-4= -1, х=3, 3;

х-4=2, х=6, удовлетворяет, т.к. x5;

х-4= -2, х=2, 2;

х-4=4, х=8, удовлетворяет, т.к. x5;

х-4= -4, х=0, 0.

1)х=6,t=4,

2) x = 8, t=3.

Заказ состоит из xt деталей, следовательно:

1) xt=6∙4=24,

2) xt=8∙3=24.

Ответ: из 24 деталей.

Для самостоятельного решения:

Например:  Мальчик купил 7 карандашей и получил сдачу с одного евро, в которую входили монеты: «двушки», «трёшки», «пятаки» и «гривенники». Количество двушек оказалось больше, чем количество пятаков, ровно на столько, на сколько центов их суммарное достоинство меньше суммарного достоинства пятаков. Количество двушек и пятаков вместе оказалось больше количества остальных монет ровно на столько, на сколько центов их суммарное достоинство больше суммарного достоинства остальных монет. Определить, сколько стоил карандаш и сколько монет было в сдаче.

5. Графическая иллюстрация часто помогает при решении уравнений, неравенств, систем, связанных с целыми числами. Иногда  достаточно несложно изобразить множество решений на координатной плоскости и выразить из этого множества точки с целочисленными координатами.

Пример 1.

Найти все пары целых чисел(х;у), удовлетворяющих систему неравенств:

;                                   Умножим 1-ое на (-1) и сложим со 2-ой строкой.

4х²-26х+40;

2х²-13х+20,

2х²-13х+20=0,

D=169-160=9,

х_1,2=

+

-

+

4

2,5

х₁=4, х₂=2,5

         ё                                    2,5, то х

т.к. х=3, то   , 

у³-4у=0, у=0, у=;

Ответ: (3;0), (3;2), (3;-2).

Пример 2.

Найти все целочисленные решения системы ,

Пусть t= x-1, тогда х²-2х=х²-2х+1-1=(х-1)²-1=t²-1,

Система примет вид:

y

, тогда

,

Изобразим решение данной системы в плоскости oty:

y=2-

2

y, (0;0)   

0

y=-

t

y

-2

2

-1  

t

-2

                           

Из этого рисунка видно, что в полученном множестве есть три точки с целочисленными  координатами (t;y).

(-1;0), (1;0), (0;1), t=x-1, x=t+1.

Решение (х;у):

(0;0), (2;0), (1;1).

Ответ: (0;0), (2;0), (1;1).

Пример 3.

Решите систему неравенств в целых числах:

,   из первого неравенства уиз второго у, значит 0.

Значит,

1)    у=0,                                        2)у=1

                                              

х=0,х=1,х=2,                                             х=1,у=1.

х=0,у=0;х=2,у=0.                                                                            Ответ: (0;0), (2;0), (1;1).

Для самостоятельного решения:

Например:   Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить вдвое число пятиэтажных домов, то общее число станет менее 27. Сколько пятиэтажных и девятиэтажных домов построено?

Контроль и система оценивания

Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися самостоятельных, практических работ.  Присутствует как качественная, так и количественная оценка деятельности. Качественная оценка базируется на анализе уровня мотивации учащихся, их общественном поведении, самостоятельности в организации учебного труда, а так же оценке уровня адаптации к предложенной жизненной ситуации (сдачи экзамена по математике в форме малого ЕГЭ). Количественная оценка предназначена для снабжения учащихся объективной информацией об овладении ими учебным материалом и производится по пятибалльной системе. Итоговый контроль реализуется в двух формах: традиционного зачёта и тестирования.

Литература:

1.            Пукас Ю.О. Похожие задачи и задачи с целыми числами. Архимед. Научно-методический сборник. М.:АНО Институт логики(Выпуск 6).

2.            Галицкий М.Л., Гольдман А.М, Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре. Москва”Просвещение”.

3.            Ю.Н.Макаров, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, И.Г.Феоктистов. Алгебра 7,8,9-учебник для классов с углубленным изучением математики.

4.            Е.В.Галкин”Нестандартные задачи по математике”.