Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Доп. образование / Рабочие программы / Программа кружка "Занимательный счёт" для начальных классов

Программа кружка "Занимательный счёт" для начальных классов

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Доп. образование

Поделитесь материалом с коллегами:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №12 с углубленным изучением отдельных предметов»

Нижнекамского муниципального района Республики Татарстан









ПРОГРАММА ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ


математический кружок

для учащихся начальных классов




Название: Кружок «Занимательная математика»

Автор: Астафьева Лариса Васильевна

учитель высшей квалификационной категории

Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения

«Средняя общеобразовательная школа №12

с углубленным изучением отдельных предметов»

Нижнекамского муниципального района Республики Татарстан

















Нижнекамск

2015 г.








Программа внеурочной деятельности по курсу

«Занимательная математика»

для начальной школы


Программа разработана для развития математического и логического мышления младших школьников и поддержания их интереса к математике.



Пояснительная записка

Рабочая программа составлена на основе:

  • Закона Российской Федерации «Об образовании» (№273-ФЗ от 29.12.2012 год.);

  • Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования (приказ МОиН РФ № 373 от 06.10.2009 " Об утверждении и введение в действие федерального государственного образовательного стандарта начального образования ");

  • Федеральных требований к образовательным учреждениям в части минимальной оснащенности учебного процесса и оборудования учебных помещений (утверждены приказом МОиН РФ от 4 октября 2010 г. № 986);

  • СанПиН 2.4.2. 2821 – 10 «Санитарно-эпидемиологические требования к условиям и организации обучения в общеобразовательных учреждениях» (утверждены постановлением Главного государственного санитарного врача РФ от 29 декабря 2010 г. № 189);

  • Федеральных требований к образовательным учреждениям в части охраны здоровья обучающихся, воспитанников (утверждены приказом МОиН РФ от 28 декабря 2010 г. № 2106, зарегистрированы в Минюсте России 2 февраля 2011 г.);

  • Письма МОиН РФ «Об организации внеурочной деятельности при введении федерального государственного образовательного стандарта общего образования» от 12 мая 2011 г. № 03-2960;

  • Письма МОиН РФ, департамент государственной политики в сфере воспитания детей и молодежи от 14 декабря 2015 г. N 09-3564 «О внеурочной деятельности и реализации дополнительных образовательных программ»;

Цель программы: развитие познавательных и математических способностей учащихся на основе системы развивающих занятий.

Задачи занятий кружка:

  • развитие мышления ученика, которое определяется степенью сложности умственных действий и операций (анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстракция, классификация, конкретизация и т.п.), которые он способен воспроизводить в процессе учебно-познавательной деятельности;

  • помочь овладеть обобщёнными приёмами познавательной деятельности;

  • учить приёмам поисковой и творческой деятельности;

  • развитие языковой культуры и формирование речевых умений: чётко и ясно излагать свои мысли, давать определения понятиям, строить умозаключения, аргументировано доказывать свою точку зрения;

  • формирование навыков творческого мышления и развитие умения решать нестандартные задачи;

  • формирование и развитие коммуникативных умений: умение общаться и взаимодействовать в коллективе, работать в парах, группах, уважать мнение других, объективно оценивать свою работу и деятельность одноклассников.

Общая характеристика программы

Младшим школьникам свойственна неудержимая любознательность, которую следует поддерживать и направлять. Организация внеклассной работы по учебным предметам (кружок) способствует удовлетворению детской любознательности.

Участие детей в работе кружка воспитывает у них общественную активность, которая выражается в помощи учителю в организации и проведении математических утренников, в организации и оформлении математической газеты или уголка в газете, в создании математического уголка в классе и т.п. Занятия в кружке оказывают серьёзное влияние на повышение интереса к математике не только кружковцев, но и остальных учащихся в классе.

Математический кружок в процессе своей работы помогает расширению кругозора учащихся в различных областях элементарной математики. Кружковая работа содействует развитию у детей математического образа мышления: краткости речи, умелому использованию символики, правильному применению математической терминологии, умению отвлекаться от всех качественных сторон, сосредоточивая внимание на количественных, умению делать доступные выводы и обобщения, обосновывать свои мысли.

Предлагаемая программа внеклассных занятий по математике характеризуется ярко выраженной целевой направленностью на развитие и совершенствование познавательных процессов с постепенным переносом акцента с внимания и восприятия на воображение, память и мышление ребёнка.

Таким образом, принципиальной задачей предлагаемой программы является именно развитие познавательных способностей и общеучебных умений и навыков, а не усвоение каких-то конкретных знаний и умений.

Актуальность программы определяется рядом факторов практического характера, под которыми понимается общение учителя и ученика, ориентирование на творческую самореализацию развивающейся личности в учебном процессе, на занятость учащихся во внеурочное время.

Практическая значимость данной программы обуславливается обучением рациональным приёмам применения знаний на практике, переносу своих знаний и умений как в аналогичные, так и в изменённые условия.

Особую значимость приобретают занятия потому, что дети получают живое общение не только друг с другом, но и с учителем. В зависимости от учебной задачи, используются индивидуальные, групповые, фронтальные способы её решения или сочетание этих способов. На занятиях обучающую роль играют и слово учителя, и высказывания детей, и информация, добытая ими.


Количество часов:


в неделю – 1 час

за учебный год – 33 часа

продолжительность занятия – 30-45 минут (в зависимости от характера и содержания)


Формы проведения:


  • решение занимательных задач;

  • работа с информацией, добываемой детьми;

  • участие в математических олимпиадах разного уровня;

  • конкурсы знатоков, КВНы, игровые занятия, знакомство с научно-популярной литературой, знакомство с великими математиками, экскурсии и т.д.;

  • выпуски математических газет, сборников занимательных задач, ребусов для всеобщего обозрения.

Для отслеживания результатов предусматриваются следующие формы контроля:

  • текущий:

- прогностический, то есть проигрывание всех операций учебного действия до начала его реального выполнения;

- пооперационный, то есть контроль за правильностью, полнотой и последовательностью выполнения операций, входящих в состав действия;

- рефлексивный, контроль, обращённый на ориентировочную основу, «план» действия и опирающийся на понимание принципов его построения;

- контроль по результату, который проводится после учебного действия методом сравнения фактических результатов или выполнения операций с образцом;

  • итоговый контроль в формах:

- тестирование;

- практические работы;

- творческие работы учащихся;

- контрольные задания;

  • самооценка и самоконтроль:

- определение учеником границ своего «знания-незнания», своих потенциальных возможностей;

- осознание тех проблем, которые ещё предстоит решить в ходе осуществления деятельности.

Результаты проверки фиксируются в зачётном листе учителя.

Для оценки эффективности занятий можно использовать следующие показатели:

- степень помощи, которую оказывает учитель при выполнении заданий: чем помощь учителя меньше, тем выше самостоятельность учеников и, следовательно, выше развивающий эффект занятий;

- поведение учащихся на занятиях: живость, активность, заинтересованность школьников обеспечивают положительные результаты занятий;

- результаты математических олимпиад и конкурсов, при выполнении которых выявляется, справляются ли ученики с заданиями повышенной трудности самостоятельно;

- косвенным показателем эффективности данных занятий может быть повышение успеваемости по разным школьным дисциплинам, работа учащихся на уроках (повышение активности, работоспособности, внимательности, улучшение мыслительной деятельности).


Планируемые результаты


Личностные (1 уровень):

- научиться определять и высказывать самые простые общие для всех людей правила поведения при сотрудничестве (этические нормы);

- в предложенных учителем ситуациях общения и сотрудничества, опираясь на общие для всех простые правила поведения, делать выбор, при поддержке других участников группы, как поступить.


Коммуникативные (2 уровень):

- научиться проговаривать последовательность действий при решении задач разной сложности;

- высказывать свою версию предполагаемого решения;

- работать по предложенному учителем плану;

- отличать верно выполненное задание от неверного;

- совместно с учителем и другими учениками давать эмоциональную оценку деятельности товарищей;

- ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного;

- добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя специальную литературу, свой жизненный опыт, информацию, полученную от учителя и товарищей;

- перерабатывать полученную информацию: делать выводы в результате самостоятельной или совместной работы, сравнивать и группировать математические объекты;

- находить и формулировать решение задачи с помощью простейших моделей (чертежей, рисунков, схем);

- донести свою позицию до других: правильно оформлять свою мысль в устной и письменной форме;

- слушать и понимать речь других;

Предметные (3 уровень):

- научиться сравнивать между собой предметы, явления;

- обобщать, делать несложные выводы;

- классифицировать явления, предметы;

- определять последовательность событий;

- судить о противоположных явлениях;

- выявлять закономерности и проводить аналогии.


Содержание работы кружка


1. Как люди научились считать (7 ч.)

Задачи раздела: Раздел посвящён истории математики. Материал раздела позволяет возбуждать математическую любознательность детей, знакомит с математикой допетровской Руси, учит рассуждать, слушать и запоминать, воспитывает усидчивость, умение доводить начатое дело до конца.

2. Занимательные задачи, игры (12 ч.)

Задачи раздела: Материал раздела учит мыслить последовательно, доказательно, развивает процесс математического мышления, воспитывает у детей познавательный интерес к математике.

3. Магия геометрии. Величины (6 ч.)

Задачи раздела: Раздел посвящён работе с геометрическими понятиями. Материал раздела позволяет на базе геометрических понятий и величин воспитывать у детей гибкость математического мышления, развивать инициативу и сообразительность, учить логически мыслить.

4. История вычислительной техники (5 ч.)

Задачи раздела: Раздел детально открывает перед учащимися историю развития вычислительной техники, знакомит с новейшими вычислительными приборами.

5. «Знакомство» с великими математиками (3 ч.)

Задачи раздела: Раздел знакомит учащихся с великими математиками разных времён, их основными достижениями.


Календарно-тематический план занятий

кружка для учащихся начальных классов

«Занимательная математика»


Номер занятия

Тема занятия

Месяц

Номер недели

1

Вводное занятие. Как мы считаем?

сентябрь

1

2

Десять цифр. Решение задач.

сентябрь

2

3

Ноль. Квадрат. Треугольник.

сентябрь

3

4

Математика допетровской Руси. Подумай и реши!

сентябрь

4

5

Старинная народная нумерация. Считай, смекай!

октябрь

1

6

Трудное деление.

октябрь

2

7

«Магические» квадраты.

октябрь

3

8

Календарь. Занимательные задачи. Игры.

октябрь

4

9

Календарь. Считай, смекай!

ноябрь

2

10

Простые числа.

ноябрь

3

11

«Финансовые пирамиды».

ноябрь

4

12

Длина.

декабрь

1

13

Площадь.

декабрь

2

14

Объём.

декабрь

3

15

Точка.

декабрь

4

16

Про квадрат.

январь

2

17

Логика.

январь

3

18

Русские счёты.

январь

4

19

Отголоски старины.

февраль

1

20

Задача о колпаках (один из простейших вариантов логической задачи).

февраль

2

21

Три девятки.

февраль

3

22

Магия числа 3.

февраль

4

23

Число Шахерезады.

март

1

24

Крестики-нолики.

март

2

25

Шифр.

март

3

26

История вычислительной техники.

апрель

1

27

Первый компьютер.

апрель

2

28

Магия числа.

апрель

3

29

Полосковый код.

апрель

4

30

«Знакомство» с Архимедом. Решение задач с многовариантными решениями.

май

1

31

Детство талантливой женщины-математика С.В.Ковалевской. Игра «Задумай число».

май

2

32

«Знакомство» с математиком Пифагором. Задачи с многовариантными решениями.

май

3

33

Итоговое занятие.

май

4

Использованная литература:

  • Н.Н.Аменецкий. Забавная арифметика. – М:, 1998.

  • П.У.Байрумукова. Внеклассная работа по математике в начальных классах.– М.:Издат-школа «Райл», 1997.

  • М.Б.Баяк. Организация и содержание внеклассных занятий по математике. – М.:Просвещение, 1976.

  • О.И.Белякова. Занятия математического кружка. – Волгоград: Издательство «Учитель», 2007.

  • В.П.Волина. Праздник числа. Занимательная математика для детей. – М.: Знание, 1993.

  • Е.М.Гельфман. Арифметические игры и упражнения. – М.: Просвещение, 1968.

  • И.Дефман. Рассказы о математике. – Л.,1954.

  • Г.Т.Дьячкова. Внеклассные занятия по математике. - Волгоград:Издательство «Учитель – АСТ»,2005.

  • В.А.Игнатьев. Внеклассная работа по арифметике в начальной школе. – М.: Просвещение, 1965.

  • Е.И. Игнатьев. В царстве смекалки. – М., 1994.

  • Н.В.Ксилова. Организация и проведение предметных олимпиад в начальной школе. //Нач. школа. – 1992. - №1

  • Г.Остер. Для тебя и всей семьи. – М., 1998.

  • Я.И.Перельман. Занимательная математика. – М., 1994.

  • В.Н.Русанов. Математические олимпиады младших школьников. – М., 1997.

  • А.П.Савин, В.В.Станцо. Я познаю мир. - М., 2004.

  • Е.И.Сорокин. Занимательные задачи по математике. - Горький: Издательство «Горьковская правда», 1967.

  • О.В.Субботина. Начальная школа. Олимпиадные задания. Математика. – Волгоград: Издательство «Учитель», 2008.

  • В.П.Трутнев. Внеклассная работа по математике в начальной школе. – М.: Просвещение, 1975.

  • Е.П.Трутнев. Смекай, считай, отгадывай. – М., 2004.

  • Л.Чилингирова. Учимся, играя математике. – М., 1994.

  • Ф.Шустер. Материал для внеклассной работы по математике. – М., 1967.











































Данные по апробации программы занятий

кружка «Занимательная математика»


Программа апробирована в Муниципальном бюджетном общеобразовательном учреждении «Средняя общеобразовательная школа №12 с углубленным изучением отдельных предметов» Нижнекамского муниципального района Республики Татарстан. Апробация проводилась с 2010 по 2014 год. Необходимость создания программы возникла в связи с желанием учащихся дополнительно изучать математику, выполнять задания повышенной трудности, которых нет в программном учебном материале; желание участвовать в математических олимпиадах различного уровня. Таким образом, для учащихся появилась возможность углубить свои знания по математике.

Жизнь диктует современному человеку свои законы. Вопросы, с которыми сталкиваются люди, ставят их порой в ситуацию сложного выбора. Научиться школьнику находить оптимальные пути решения нестандартных задач, а педагогу развить у ребёнка гибкость и пытливость ума, научить рациональным способам решения нестандартных ситуаций – сложная задача как для учителя, так и в большей степени и для ученика.

Математика является тем самым предметным курсом, который аккумулирует в себе очень важные в учебной деятельности процессы – анализ, синтез, сравнение, обобщение, классификацию. Вместе с тем математика – одна из самых сложных учебных дисциплин, особенно для учащихся начальных классов, так как мыслительные процессы у детей младшего школьного возраста недостаточно развиты.

Внеклассная работа по математике с учащимися младшего возраста проводится с первого класса. Увлечённые игрой, дети незаметно для себя приобретают новые вычислительные навыки или совершенствуются в применении полученных на уроке знаний к решению практических задач. С учащимися третьих и четвёртых классов возможна более углубленная и систематическая работа.

Так, в 2010 году на базе одного первого класса под моим руководством организовался кружок по подготовке учащихся к олимпиадам по математике. Затем всё больше детей заинтересовались занятиями кружка, и теперь это разновозрастный кружок «Занимательная математика» не только готовит к олимпиадам, а и обогащает детей знаниями, которых нет в учебнике.


Результаты апробации программы


Уровень

Год участия

Название конкурса, семинара, форума

Фамилии участников

Результат

Республиканский

2010

III дистанционный Турнир первоклассников школ развивающего обучения

Кузнецова Вероника 1А Романчук Никита 1А

лауреат


лауреат

Школьный

2011

Олимпиада по математике


Романчук Никита 2А

Кузнецова Вероника 2А

Шайдуллин Дима 2А

Победитель


Призёр


призёр

Республиканский


2011

IV дистанционный Турнир первоклассников школ развивающего обучения

Яббаров Айнур 1А

Смирнов Артём 1А


Лауреат


лауреат

Муниципальный

2012

Олимпиада по математике

Кузнецова Вероника 3А

Призёр


Всероссийский


2012

открытый заочный конкурс «ИНТЕЛЛЕКТ-ЭКСПРЕСС» номинация «В мире математики»

Смирнова Алёна 2А

Сапаров Артём 2А


3 место


1 место

Международный

2012

дистанционный Турнир первоклассников

Ермолаева Ксения 1А

Нагимова Эвелина 1А

Лауреат


лауреат

Школьный

2013

Олимпиада по математике

Бикмуллин Роман 4А

Искакова Яна 3А

Победитель


Призёр


Муниципальный

2013

Олимпиада по математике

Кузнецова Вероника 3А

Призёр


Межрегиональный

2013

Олимпиада по математике

Кузнецова Вероника 3А

Гордиенко Дарья 3А

5 место


6 место

Международный

2013

дистанционный Турнир учащихся 1-2 классов по русскому языку и математике


Савинова Валерия 2А

Нагимова Эвелина 2А

Комиссарова Ксения 1А

Сабодаш Богдан 1А

Шишкина Настя 1А

Лауреат


Лауреат


Лауреат


Лауреат


Лауреат


Школьный

2014

Олимпиада по математике

Бикмуллин Роман 4А

Победитель


Муниципальный

2014

Олимпиада по математике

Бикмуллин Роман 4А

10 место

Межрегиональный

2014

Олимпиада по математике

Бикмуллин Роман 4А

Медведева Арина 4А

7 место


10 место

Международный

2014

Дистанционный Турнир учащихся 1-3 классов по русскому языку и математике

Шишкина Настя 2А

Сабодаш Богдан 2А

Шарипова Эльвира 3А

Гибадуллина Зарина 3А

Лауреат


Лауреат


Лауреат


Лауреат


Всероссийский


2015

III дистанционный конкурс “Умка» среди учащихся начальных классов общеобразовательных учреждений по предмету математика

Обронов Кирилл 3А

Федосеев Руслан 3А

Антропова Катя 3А

Вязов Дамир 3А

Ихсанов Вильдан 3А

Сабодаш Богдан 3А

2 место


5 место


8 место


9 место


10 место


10 место



Из таблицы видно, что программа имеет практическую направленность и даёт конкретные результаты. Программа одобрена школьным методическим объединением в 2010 году.



Учитель начальных классов Астафьева Л.В.









































Приложение


Разработки занятий кружка «Занимательная математика»


Занятие №1


Тема: Вводное занятие. Как мы считаем?

Цели:

  • познакомить с задачами и целями внеклассной работы;

  • выполнять счёт предметов;

  • учить разгадывать задачи-шутки;

  • учить мыслить, разбирать необычные задачи.


Ход занятия


  • Вступительное слово учителя


Наши занятия мы постараемся сделать интересными и полезными для вас, ребята. Мы не только будем выполнять счёт предметов, но узнаем об истории математики; о великих учёных; о различных логических задачах (научимся их разбирать и решать); о задачах занимательного характера, имеющих различную степень трудности; мы будем разбирать задачи разных видов, встречающихся на уроках математики, вызывающие у вас трудности и т.д.


  • Беседа «Как мы считаем?» («Я познаю мир» И.Л. 15)

Искусство счёта развивалось с развитием человечества. В те времена, когда человек собирал в лесу плоды и охотился, ему для счёта хватало четырёх слов: один, два, три и много. Именно так считают и сейчас некоторые племена, живущие в джунглях Южной Америки.

Однако, когда люди начали заниматься животноводством и земледелием, то им уже стало необходимо пересчитывать коз в стаде или количество корзин с выращенными плодами (которых было больше трёх), заготовленными на зиму.

Способов счёта было придумано немало: делались зарубки на палке по числу предметов, завязывались узлы на верёвке, складывались в кучу камешки. Но палку с зарубками с собой не возьмёшь, да и камни носить не очень приятно, а пастуху нужно знать, не отбилась ли какая коза от стада. И тут на помощь приходят пальцы рук – отличный счётный материал, им до сих пор пользуются не только первоклассники. А если предметов больше десяти? Конечно, можно использовать и пальцы на ногах, а дальше?

Тут уже ничего не оставалось делать, как придумать десятичную систему, которой мы пользуемся и сейчас: считаем десятки; когда наберётся десять десятков, называем их сотней; потом десять сотен – тысячей. В Древней Руси десять тысяч называли «тьмой». Отсюда выражение «тьма народу».

«Пальцевое» происхождение десятичной системы подтверждается формой латинских цифр: римская цифра пять (У) – ладонь с оттопыренным большим пальцем, а римская цифра десять (Х) – две скрещенные руки.

Но не все народы пошли по этому пути, хотя использовали все те же пальцы. Индейцы племени майя в Америке считали пятёрками: одна пятёрка – единица следующего разряда, пять пятёрок – новый разряд и т. д. Ясно, что они пользовались пальцами только одной руки.

Некоторые племена использовали только четыре пальца одной руки, однако при этом учитывали, что каждый палец состоит из трёх фаланг, т.е. имели в распоряжении двенадцать объектов счёта. Так возникла дюжина, которая сто лет назад была широко распространена и в Европе, и в России, но постепенно уступила своё место десятку. До сих пор в Европе дюжинами считают пуговицы, носовые платки, куриные яйца и многое другое, что продаётся поштучно. Существует и следующий разряд в этой системе счёта: двенадцать дюжин называются гроссом (это 144 единицы).

А сколько единиц содержит следующий разряд?

Все знают, что тысяча тысяч – это миллион. Но мало кто знает, как называются следующие разряды. Для их названий приняты латинские наименования чисел. Тысяча миллионов называется биллионом или миллиардом («би» по латыни – два). Тысяча миллиардов, т.е. 1000000000000 – триллион, (по латыни – три), дальше 1000000000000000 – квадриллион («квадра» - четыре), дальше квинтиллион, секстиллион, септиллион, октиллион, нониллион, дециллион. Каждая следующая единица содержит тысячу предыдущих.

Все числа пересчитать невозможно, поскольку за каждым числом следует на единицу больше, однако очень большие числа в обыденной жизни не нужны. Большие числа возникают в астрономии, часто говорят об «астрономических числах», поскольку массы звёзд и расстояния между ними выражаются действительно большими числами. Однако физики подсчитали, что количество атомов – мельчайших частиц вещества – во всей вселенной не превосходит числа, выражаемого единицей со ста нулями. Это число получило специальное название – гугол.

Конечно, все, что вы прослушали, трудно запомнить. И всё-таки давайте попробуем ответить на вопросы. Представим, что мы с вами – исследователи, да и интересно будет поделиться услышанным с товарищами, а может, и родителям будет интересно?

Какие способы счёта придумали наши предки?

Какой счётный материал приходит на помощь при счёте?

Какой системой мы пользуемся до сих пор?

Откуда появилось выражение «тьма народу»?

Как считали индейцы племени майя в Америке?

Как возникла дюжина? Как называется следующий разряд в этой системе счёта?

И сколько в нём единиц?

Что это за «астрономические числа»?

  • Практическая работа


Задачи-шутки.


Давайте чуть-чуть отдохнём от очень серьёзной работы. Я думаю, эти задачи вы решите очень легко и быстро.


Делёж.

Разделите 5 яблок между пятью друзьями так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.

Решение: один человек берёт яблоко вместе с корзиной.


Портной.

Портной имеет кусок сукна в 16м, от которого он отрезает ежедневно по 2м. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?

Решение: Если этот вопрос задан быстро, и отвечающий не имеет времени на размышление, то часто можно услышать неправильный ответ: по истечении 8 дней. На самом деле последний кусок будет отрезан по истечении 7 дней.


Сравни, чем отличаются эти произведения?


А с этим заданием вы встречались на уроке математики, я думаю, оно не затруднит вас.

Сравните между собой произведения, чем они отличаются, чем похожи?

33х2

37х2

31х3

39х2

36х2

32х2

38х2

33х2

Расположите их в порядке возрастания. Вычислите значения произведений и проверьте, действительно ли они расположены в порядке возрастания.

На сколько увеличивается значение произведений в каждой следующей строке по сравнению с предыдущей?

От чего зависит это изменение?

Везде ли изменение одинаково? Если нет, то почему? Можно ли сделать так, чтобы изменение везде было одинаково? Если можно, сделайте.

Сравните способы нахождения значений произведений. Подчеркните наименьшее произведение, в котором при вычислении произошёл переход через десяток.

Почему это произошло?

Будет ли среди больших произведений такое, в котором не будет перехода через десяток? Если нет, то почему?


Загадка:


Нас трое в треугольнике любом.

Предпочитая золотые середины,

Мы центр тяжести встречаем на пути,

Ведущем прямо из вершины.

Как называют нас?


У реки

Два человека подошли к реке. У пустынного берега стояла лодка, в которой мог поместиться только один человек. Все же оба туриста без всякой помощи переправились на этой лодке через реку и продолжали свой путь. Как они это сделали?

Решение:»Невозможно» или «неправдоподобно», или «тут что-то не договорено» - такие ответы свидетельствуют лишь о том, что отвечающий размышляет по ранее сложившемуся шаблону. Подумайте ещё. Ещё раз и ещё раз прочитайте наш рассказ…

Ну вот, надеемся, и вам стало ясно, что есть ещё и такая возможность… Впрочем, проверьте совпадение вашего ответа с нашим.

Ответ: Двое подошли к разным берегам реки. Поэтому сначала переправился один, а затем в той же лодке другой.


Необычная задача

На сколько больше наименьшее двузначное число, чем наибольшее однозначное число?

Решение: 10-9=1


Удивительное сложение

Мальчик написал на бумажке число 86 и говорит своему товарищу: «Не проведя никакой записи, увеличь это число на 12 и покажи мне ответ.» Недолго думая, товарищ показал ответ.

А вы, ребята, это сделать сумеете?

Решение: Нужно перевернуть бумажку, и получится число 98.


  • Итог занятия


Что интересного вы узнали? Чем можете заинтриговать своего друга?

  • Задание на дом.


К следующему занятию найдите, придумайте свою загадку-шутку, интересную задачу.



Занятие №2


Тема: Десять цифр. Решение задач.

Цели:

  • учить использовать знания состава числа;

  • вычислять значение числового выражения;

  • воспитывать интерес к математике.


Ход занятия.


  • Беседа «Десять цифр».


Грамотность начинается с умения писать и считать. Уже в 3-4 года, поднимаясь по лестнице, малыш уверенно считает ступеньки: «Раз, два, три, четыре, пять…». А в первом классе в тетради пишут цифры, выводя их, высунув язычок от усердия.

Эти цифры называются арабскими, хотя арабы лишь передали в Европу способ записи чисел, разработанный индусами. Об этом пишет один из первых математиков эпохи Возрождения Леонардо Пизанский, получивший прозвище «Фибоначчи» - «заика», в «Книге об абаке», написанной в 1202 году:

«Девять индусских знаков следующие: 9,8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число».

Любопытно, что у Фибоначчи цифры идут не в том порядке, к которому мы привыкли. Это объясняется тем, что арабы пишут не слева направо, как мы, а справа налево.

Наверное, вы уже поняли, что слово «цифра» произошло от названия нуля у арабов. В России слово «цифра» ещё долго означало ноль. Вот что говорится в первом российском учебнике математики Леонтия Магницкого, изданном в 1703 году:

«Нумерация есть счёт или способ представлять совершенно все числа с помощью десяти знаков, которые изображаются так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Девять из них значащие, а последний же ноль (который цифрой или ничем именуется) сам по себе ничего не значит».

Обратите внимание, что буквы в старинном тексте сильно отличаются от современных, а цифры – те же, что и в ваших учебниках. Но конечно же, они не сразу стали такими. В 200 году в Индии они выглядели совершенно иначе.

Тогда не было ещё нуля и привычной нам записи чисел, но со временем написание цифр совершенствовалось, причём по-разному в разных местностях Индии. Появился ноль – возникла позиционная система записи чисел, которой мы пользуемся по сей день. Арабы выбрали из этих различных видов цифр наиболее удачные. От них цифры продолжили свой путь по Земле.

А вы, дети, со скольки лет начали считать? А сейчас до скольки можете продолжить счёт?

Какие цифры называются арабскими? Почему они получили название «Фибоначчи»? В каком году была написана «Книга об абаке»?

От какого слова произошло название «цифра»?

Кто написал первый российский учебник математики?

Какие из десяти знаков – значащие?

Какой знак сам по себе ничего не значит?

Молодцы, вы хорошо запомнили «Десять цифр».О числах вы можете многое узнать, если почитаете книги серии «Я познаю мир». «Математика» - очередной том популярной энциклопедии для детей.


  • Практическая работа.


Задачи-шутки:


Число 666 увеличить в полтора раза, не производя над ним никаких математических действий.

Решение: Написать это число, а затем перевернуть бумажку «вверх ногами» (на 1800). Получится 999.


Что сказал старик?

Два молодых казака, оба лихие наездники, часто бились между собою об заклад, кто кого перегонит. Не раз то тот, то другой был победителем, наконец, это им надоело.

«Вот что», - сказал Григорий, - давай спорить наоборот. Пусть заклад достанется тому, чей конь придёт в назначенное место вторым, а не первым».

«Ладно!» - ответил Михаил.

Казаки выехали на своих конях в степь. Зрителей собралось множество: всем хотелось посмотреть на такую диковинку. Один старый казак начал считать, хлопая в ладоши: «Раз!...Два!...Три!...»

Спорщики, конечно, ни с места. Зрители стали смеяться, судить да рядить и порешили, что такой спор невозможен, и что спорщики простоят на месте, как говорится, до скончания века. Тут к толпе подошёл седой старик, видавший на своём веку многое.

«В чём дело?» - спрашивает он. Ему сказали.

«Эге ж!» - говорит старик, - «вот я им сейчас шепну такое слово, что поскачут, как ошпаренные…»

И действительно…подошёл старик к казакам, сказал им что-то, и через полминуты казаки уже неслись по степи во всю прыть, стараясь непременно обогнать друг друга, но заклад всё же выиграл тот, чья лошадь шла второй.

Что сказал старик?

И почему казаки не двигались с места, пока старик им не шепнул «что-то»?

Какие у вас будут предположения? Обоснуйте их.

Решение: Старик шепнул казакам: «Пересядьте». Те поняли, мигом пересели на лошадь своего противника, и каждый погнал теперь во всю прыть чужую лошадь, на которой он сидел, чтобы собственная его лошадь пришла второй.


Расставь числа:


5




2

8


Расставить числа 1, 3, 4, 6, 7, 9 в свободных кружках так, чтобы значение суммы чисел на каждой стороне треугольника было равно 20.

Решение: Задание выполняется подбором, однако желательно, чтобы дети использовали элементы анализа и рассуждения.

Так, например, прежде чем приступить к расстановке чисел, дети анализируют исходный чертёж и устанавливают, что в горизонтальную строку нужно добавить два числа, дающие в сумме 10, т.к. 8+2 =10 и

20-10=10.

Таких пар несколько: 1+9, 3+7, 4+6. В левую сторону треугольника нужно вставить два числа, сумма которых равна 13, т.к. 5+2=7 и 20-7=13. Таких пар две: 6+7 и 9+4.

В правую сторону треугольника нужно вставить два числа, дающие в сумме 7, т.е. 8+5=13 и 20-13=7. Таких пар тоже две: 1+6 и 3+4.

После этого дети начинают подбирать пары.

Если в горизонтальную сторону вставить числа 1 и 9, то в левую сторону можно поставить только пару 6 и 7, т.к. число 9 использовано. Тогда в правую сторону остаётся пара 3 и 4.

Аналогично разбираются случаи, начиная с подстановки чисел 3 и 7 и 4 и 6.

В результате получаются два различных решения:


5 5

7 3 4 1

6 4 9 6




2 9 1 8 2 3 7 8



Загадки:


Почему три ноги?

Почему штативы к фотографическим аппаратам, землемерным инструментам и рояль имеют три ноги, а не четыре, например, как у стульчиков?

Решение: Из геометрии знаем, что три точки определяют единственную плоскость. Значит, трёхногие аппараты или инструменты, поставленные даже на неровное место, не качаются… Попробуйте, и вы убедитесь в этом.


Сказочная семья.

У мальчика-с-пальчик из сказки Ш.Перро было шесть братьев. Автор сказки почему-то не пожелал сообщить нам, что в действительности в этой семье дровосека у каждого из семи братьев было по семь сестриц. Сколько же всего сестёр и братьев в этой сказочной семье?

Решение: У каждого из семи братьев одни и те же семь сестёр. Значит, всего братьев и сестёр в этой семье – 14 человек. Чтобы развеять сомнения, надо к доске вызвать семь мальчиков и семь девочек – и тут уж всё будет понятно.


Занимательный вопрос.


По какому правилу?

Число 74 напишите в виде суммы разрядных слагаемых. Переставьте полученные слагаемые местами. Не вычисляя, поставьте между суммами нужный знак или =. По какому правилу вы смогли сразу поставить этот знак?

Решение: Надо поставить знак равенства, так как от перемены мест слагаемых сумма не изменится.


Сколько лет отцу?

«Сколько лет твоему отцу?» - спросил Колю товарищ.

«А ты посчитай сам: число его лет на 39 больше, чем наименьшее из однозначных чисел», - ответил Коля. Сколько же лет его отцу?

Решение: 1+39=40


Сколько осталось ножниц?

В двух ящиках для уроков труда хранились ножницы, по 20 штук в каждом ящике. Перед уроком труда учительница взяла несколько ножниц из одного ящика, а затем из второго взяла столько, сколько осталось в первом ящике. Сколько ножниц осталось в обоих ящиках?

Решение: Сколько бы ни взяла, осталось всего 20.


Какова длина забора?

При постройке забора плотники поставили по прямой 10 столбов, расстояние между которыми было по 2м. Какова длина забора?

Решение: 9х2=18(м)


  • Итог занятия.


Чем понравилось занятие, чем не понравилось? Что бы вы хотели узнать на следующем занятии? Какие вы сегодня принесли задачи, которые мы с вами разберём?











































Занятие №3


Тема: Ноль. Квадрат. Треугольник.

Цели:

  • развивать пространственное мышление;

  • возбуждать математическую любознательность детей.


Ход занятия


  • Рассказ о нуле.


Достижения математиков Древней Греции поистине великолепны и вызывают восхищение. Но одного открытия они не сделали. Они не придумали нуля.

Нам легко с высоты многовекового опыта человечества пожимать плечами: подумаешь, нуль! Что же греки, а за ними и римляне, так оплошали? До такой простой вещи не додумались!

А это было совсем не просто. Что такое «ничего»? Пустое место! Если ничего нет, кому придёт в голову что-то писать, когда можно не писать ничего!

Кто первым догадался обозначить цифрой «ничто»? Мы никогда не узнаем. Можем только утверждать, что таких гениев было несколько. Кто-то придумал знак для нуля в Древнем Вавилоне. Кто-то из индейцев майя – в Америке. Кто-то – в Китае. И кто-то из мудрецов Индостана обозначил пустое место тем самым кружком, которым весь мир пользуется до сих пор.

Нуль дал возможность не выдумывать новых знаков для больших чисел. Теперь любое число можно было записать, используя одни и те же цифры, и уже не спутаешь 12 со 120 или 102. Если в каком-то числе есть сотни и единицы, но нет десятков, в отведённом для десятков месте достаточно написать, что их – нуль. Появилась позиционная система счисления, в которой значение цифры зависит от её места в числе – позиции. А пользоваться ею куда удобнее…

Нуль – число, он сам по себе весьма примечателен. К какому числу его ни прибавь, оно не изменится (ведь мы прибавили «ничего»). На какое число его ни умножь, будет снова нуль (мы взяли число нуль раз, т.е. ни разу). Сам он делится на любое число (пустое место как ни дели, всё равно ничего не будет). Зато делить на него самого нельзя: разве можно что-то разделить на нуль частей? Если бы это удалось, как из нуля частей сложить вновь то, что мы разделили? Чтобы избежать этой неприятности, деление на нуль пришлось запретить.

Нуль – удобное обозначение начала пути. Если вы едете по шоссе, мимо вас мелькают километровые столбы: 10км, 11км, 12км… от чего? От главного почтамта того города, откуда вы выехали. Расстояние от почтамта до него самого же рано нулю – ни идти, ни ехать не надо… По железным дорогам России все расстояния считают от Москвы (кроме Октябрьской железной дороги, где отсчёт идёт от Санкт-Петербурга). Так что Москва – это нуль на карте железных дорог, точка, из которой всё начинается.

А точка, от которой отсчитывают расстояния в Венгрии, отмечена особо. В этом месте (оно находится в центре Будапешта) поставлен ни много ни мало - памятник нулю. Ни одна другая цифра не удостоилась таких почестей!

Нуль – и начало всех времён… Только где это начало? Может быть, это момент возникновения Вселенной? Но если такой момент и был, то очень давно, и точно сказать, сколько лет прошло с тех пор, никто не сможет – разве что примерно, с точностью до миллиардов лет. А считать годы нужно. Но разве неизвестно, когда состоялось «сотворение мира», почему не поступить так же, как и с расстояниями?

Выберем какое-нибудь знаменательное событие, скажем, что оно произошло в нулевой момент времени, и от него пойдёт первый год. Так мы и делаем: говорим, что первый год нашей эры начался с Рождества Христова, а всё, что было до того, было до нашей эры.

Между прочим, если бы мы считали годы только слева направо (ведь на самом деле до Рождества Христова мы считаем справа налево: первый, второй, сотый – всё дальше от нуля), «нулевым» оказался бы последний год до нашей эры – от «минус первого» года до нуля. Так что круглым числом 0 заканчивается предыдущий век (до н.э.), а не начинается новый. И 2000 год – это последний год ХХ века, а вовсе не первый год третьего тысячелетия. Но круглые числа так красивы, что убедить человечество отложить на год торжества по поводу наступления ХХI века, видимо, не удастся.

Впрочем, так ли это важно?


  • Беседа.


Вы внимательно меня прослушали. А сейчас давайте побеседуем.

Что такое «ничего»?

Кто первым догадался обозначить цифрой «ничто»?

Как сейчас можно записать любое число, используя одни и те же цифры?

Чем же нуль-число примечателен? От чего отсчитывается начало пути и почему?

В каком городе точка отсчёта пути отмечена особо?

Каким числом заканчивается предыдущий век?

Расскажите на уроке о нуле, расскажите своим родителям, им это будет очень интересно. Прочитайте ещё раз об этом в энциклопедии «Я познаю мир» (стр.28).


  • Гимнастика для ума.


А сейчас немного отвлечёмся и поупражняем свой ум упражнениями со спичками.


Три квадрата.

Построена фигура:







Переложите в ней три спички так, чтобы получилось три квадрата.

Решение:










Пять квадратов.

Спички разложены:








Переложите две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.

Решение:









  • Практическая работа


Решение задач


Деревни Ивановка, Марьино и Марфино расположены на одной дороге. От деревни Ивановка до Марьино 7км, а от Марьино до Мафино – в 5 раз дальше, чем от Ивановки до Марьино. Сколько километров от Ивановки до Марфино?

Сделайте чертёж и решите задачу.

Решение: Прежде чем приступить к решению задачи, нужно выяснить, какие меры длины дети изучали. (Сантиметр, дециметр, метр, миллиметр, километр). Какие отрезки измеряются ими? Рассмотреть миллиметр на линейке. Удобно ли этой меркой измерять большие отрезки? А какой мерой измеряют расстояния между городами? Большая ли это мера? Почему? Можно отрезок длиной в 1км начертить на классной доске?

Знаете ли вы сколько метров в километре?

1 вариант чертежа:


Ивановка Марьино Марфино


2 вариант чертежа:


Марфино Ивановка Марьино



Желательно, чтобы дети нашли оба варианта.


Брат задал сестре задачу: «Длина бревна 6м. В одну минуту пильщики отпиливали по 1м. За сколько минут они распилят бревно?»

Сестра ответила: «Всё бревно распилят за 6 минут».

Решение: Сестра решила задачу неверно. Всё бревно распилят за 5 минут. Это легко проиллюстрировать на чертеже:




Мозаика из треугольников.

Сосчитайте, сколько треугольников в фигуре:








Решение: В фигуре 32 треугольника.


Розы.

Начертите в своей тетради квадрат с буквами и наметьте линии разреза квадрата на 4 части, одинаковые по форме и размерам, так, чтобы в каждой части оказались Р, О, З, Ы. Решение:


ы








р




ы




ы








з


о


з


о




о




з


з






р


ы


р














р


р








ы






ы




ы




о


з


о


з






о


з


з






р


ы














р










р



о












о















Подумай и ответь

  • В каком случае сумма двух чисел равна первому слагаемому? Второму слагаемому? (Когда второе слагаемое – нуль. Когда первое слагаемое – нуль.)

  • Какие два числа сложили, если известно, что их сумма больше одного из них на 24, и эта же сумма больше другого на 16? (24 и 16)

  • Чему равно вычитаемое, если разность меньше уменьшаемого на 48? (48)

  • Чтобы найти уменьшаемое, разность увеличили на 37. Чему равно вычитаемое? (37).


Интересные вопросы.

  • Когда произведение двух чисел равно множителю? (Если множитель равен единице).

  • Когда частное равно делимому? ( Если делитель равен единице).

  • Каким действием можно заменить умножение какого-либо числа на 7? (Сложением).

  • Произведение в 14 раз больше множителя. Чему равен множитель? (14).

  • Частное в 17 раз меньше делимого. Чему равен делитель? (17).


  • Итог занятия


Что интересного вы сегодня узнали? Вам интересно было на занятии?


  • Домашнее задание.


Найдите интересную задачу, интересные вопросы. Прочитайте в энциклопедии статью «Математика в допетровской Руси».






Занятие №4


Тема: Математика допетровской Руси. Подумай и реши!

Цели:

  • познакомить с математикой допетровской Руси;

  • учить мыслить, рассуждать;

  • воспитывать интерес к математике.


Ход занятия


  • Выступления детей «Математика допетровской Руси»


Древнейшая математическая рукопись, сохранившаяся до наших дней, датируется 1136 годом – временем, когда единая Киевская Русь стала неудержимо разваливаться на мелкие, враждующие княжества. Автором этой рукописи был новгородский дьякон и «числолюбец» по имени Кирик.

Благодаря запискам Кирика, мы можем судить, что уровень математических знаний в ХII веке был на Руси не ниже, чем в Западной Европе. Записки содержат значки на суммирование прогрессий, связанные с приплодом коров и овец, исчисление количества месяцев, недель и дней, прошедших со дня сотворения мира; вычисление размеров Солнца и лун по астрономическим данным. А самой сложной задачей было вычисление дат празднования Пасхи.


По православным канонам, этот праздник приходится на первое воскресенье после первого весеннего полнолуния. Таковым считается полнолуние, наступавшее между 21 марта и 18 апреля (по старому стилю). Последовательность дат зацикливается только через 532 года. Чтобы вычислить даты Пасхи на много лет вперёд, надо сопоставить периодичность солнечных и лунных движений, обладать основательными знаниями и навыками в астрономии и математике.


Монголо-татарское и ливонское нашествия надолго прервали развитие математики на Руси. Торговый путь «из варяг в греки» перестал существовать, с ним прекратился и обмен информацией. Новые способы счёта могли быть получены разве что от татарских сборщиков дани.


В конце ХV века татарское иго было свергнуто. На Руси, хотя и с отставанием, развивалась торговля, строительство, оружейное дело. В ХVI –XVII веках появились многочисленные руководства, которые содержали необходимые для практических нужд математические сведения. Однако Россия, лишённая выходов к морям, не имела того мощнейшего стимула развития математики, каким в странах Западной Европы стало мореплавание. Математическое отставание России усугублялось вплоть до начала ХVIII века – до реформ Петра Великого.


  • Беседа.


Давайте побеседуем:

Каким годом датируется русская математическая рукопись?

Кто был автором этой рукописи?

Каков был уровень математических знаний на Руси в ХII веке?

Какие значки содержат записи?

Какая самая сложная задача стояла перед математиками того времени?

Какими знаниями надо было обладать, чтобы вычислить даты Пасхи?

Какие события прервали развитие математики на Руси?

В каком веке было свергнуто татарское иго?

Что сдерживало развитие математики до реформ Петра Великого?

Скажите, а что вам дали эти знания? Появился ли у вас интерес к математической науке?


  • Практическая работа.


А сейчас мы с вами будем мыслить и рассуждать.


Продажа яблок.

Крестьянка принесла на рынок корзину яблок. Первому покупателю она продала половину всех своих яблок и ещё пол-яблока, второму – половину остатка и ещё пол-яблока и т.д. Когда пришёл шестой покупатель и купил у неё половину оставшихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у него, как и у остальных покупателей, все яблоки целые и что крестьянка продала все свои яблоки. Сколько яблок она принесла на рынок?

Решение: задача сразу решается, если сообразить, что последнему (шестому) покупателю досталось два яблока, четвёртому – 4, третьему – 8 и т.д. Всего же яблок было 1+2+4+8+16+32=63, т.е. крестьянка принесла на рынок 63 яблока.


Гусеница

В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала вползать на дерево. В течение дня, т.е. до 18 часов, она вползала на высоту 5м, а в течение ночи спускалась на 2м. В какой день и час она вползёт на высоту 9м?

Решение: часто при решении подобных задач рассуждают так: гусеница за сутки, т.е. за 24 часа, вползает на 5м без 2м. Значит, всего за сутки она вползёт на 3м. Следовательно, высоты 9м она достигнет по истечению трёх суток, т.е. она будет на этой высоте в среду в 6 часов утра.


У кого живёт сорока?

На одной из улиц дачного посёлка только пять домов. Они окрашены в разные цвета, и занимают их семьи поэта, писателя, критика, журналиста и редактора. В доме каждой семьи живёт любимая птичка. Глава семьи получает на завтрак любимый им напиток, после чего отправляется в город, пользуясь любимым способом передвижения.

Поэт пользуется велосипедом. Редактор живёт в красном доме. Критик живёт в крайнем доме слева, рядом расположен голубой дом. Тот, кто ездит на мотоцикле, живёт в среднем доме. Тот, кто живёт в зелёном доме, расположенном рядом с белым, справа от него, всегда отправляется в город пешком.

В доме, где живёт снегирь, на завтрак всегда бывает молоко.

Тот, кто на завтрак получает какао, живёт в доме, соседнем с тем домом, где живёт синица. В жёлтом доме на завтрак подают чай. Живущий рядом с любителем канареек утром пьёт чай. Писатель пьёт только кофе. Тот, кто ездит на своём автомобиле, любит пить томатный сок. В доме журналиста живёт попугайчик.

А у кого живёт сорока?

Решение: Логический анализ условия приводит к единственному возможному соответствию:


Цвет дома


жёлтый

голубой

красный

белый

зелёный

В доме живёт

критик

поэт

редактор

журналист

писатель

На завтрак пьёт

чай

какао

молоко

сок

кофе

Способы передвижения


велосипед

мотоцикл

авто

пешком

Птица

синица

канарейка

снегирь

попугай

сорока


Сорока живёт у писателя в крайнем справа зелёном доме.


Сколько ступенек?

Коля и Петя живут в одном доме: Коля – на шестом этаже, а Петя – на третьем. Возвращаясь из школы домой, Коля проходит 60 ступенек.

Сколько ступенек проходит Петя, поднимаясь по лестнице на свой этаж?

Решение: Всего 11 лестничных пролётов. 60:11=5(ост.5). Значит один пролёт – 10 ступенек. 10 +5х 4=30. Ответ: 30 ступенек.


Какова длина забора?

При постройке забора плотники поставили 10 столбов, расстояние между которыми было по 4м. Какова длина забора?

Решение: 9х4=36(м)


  • Итог занятия.


Что вам было трудно решать? А какие задачи вы решили легко? Чему вы научились?












































Занятие №5


Тема: Старинная народная нумерация. Считай, смекай!

Цели:

  • учить рассуждать;

  • учить слушать и запоминать;

  • воспитывать усидчивость, умение доводить начатое дело до конца.


Ход занятия


  • Рассказ учителя.


В старину в нашей стране была в довольно широком употреблении народная система нумерации, которая строилась по принципу древнеегипетской, но отличалась от неё изображением числовых знаков.

Любопытно, что эта народная нумерация была некогда у нас даже узаконена: по такой именно системе, только более развитой, должны были вестись сборщиками подати записи в податной тетради.

«Сборщик, - читаем мы в старом «Своде законов», - принимая от кого-либо из домохозяев вносимые ему деньги, должен сам, или через писаря, записать в податной тетради против имени того домохозяина, которого числа сколько получено денег, выставляя количество принятой суммы цифрами и знаками. Знаки сии для сведения всех и каждого внести повсеместно одинаковые, а именно:

десять рублей означать знаком……………….

рубль……………………………………………. 0

десять копеек…………………………………….Х

копейку…………………………………………... !

четверть………………………………………….. »

Например, двадцать восемь рублей пятьдесят семь копеек три четверти:

00000000 !!!!!!!

В другом месте того же тома «Свода законов» находим ещё раз упоминание об обязательном употреблении народных числовых обозначений. Приводятся особые знаки для тысячи рублей – в виде шестиконечной звезды с крестом в ней, и для ста рублей – в виде колеса с восемью спицами. Но обозначения для рубля и десяти копеек здесь устанавливаются иные, чем в предыдущем законе.

Вот текст закона об этих так называемых «ясачных знаках». Старинная запись на квитанции об уплате подати («ясака»). Эта запись означает сумму 1232 руб.24коп.

«Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от которого внесён будет ясак, кроме изложения словами, было показано особыми знаками число внесённых рублей и копеек так, чтобы сдающие простым счётом сего числа могли быть уверены в справедливости показания. (Это показывает, что описанные знаки были в широком употреблении среди населения). Употребляемые в квитанции знаки означают:

звезда – тысяча рублей,

колесо – сто рублей,

- десять рублей,

!!!!!!!!!! – десять копеек,

Х – один рубль,

- одна копейка.

Дабы не можно было сделать здесь никаких прибавлений, все таковые знаки очерчивать кругом прямыми линиями».

Например, 1232руб.24коп. изображают так:




Х Х

!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!


Как видите, дети, такая система нумерации была узаконена. Что существовало для этого?

  • Практическая работа.


Много неприятностей нам доставляет таблица умножения, которую обязательно надо знать на память. Одни дети её запоминают легко, а другим… ох, как трудно приходится! Давайте я научу вас, как запомнить самый трудный столбик из таблицы – умножение на девять. Сами научитесь и другим покажите!

Один малыш жаловался, что ему трудно запомнить таблицу умножения первых десяти чисел на 9. Отец его нашёл очень лёгкий способ помочь памяти с помощью пальцев рук. Вот этот способ.

Положите обе руки рядом на стол и вытяните пальцы. Пусть каждый палец по порядку означает соответствующее число: первый слева 1, второй за ним – 2, третий – 3, четвёртый – 4 ит.д. до десятого, который означает 10. Требуется теперь умножить любое из первых десяти чисел на девять. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который обозначает множитель. Тогда остальные пальцы, лежащие налево от поднятого пальца, дадут в сумме число десятков, а пальцы направо – число единиц.

Пример: Умножить 7 на 9. Кладёте обе руки на стол и поднимаете седьмой палец, налево от поднятого пальца лежит 6 пальцев, а направо – 3. Значит, результат умножения 7 на 9 равен 63.

Решение: Это удивительное, на первый взгляд, механическое умножение тотчас же станет понятным, если рассмотреть таблицу умножения первых десяти последовательных чисел на 9:

1х9=9 6х9=54

2х9=18 7х9=63

3х9=27 8х9=72

4х9=36 9х9=81

5х9=45 10х9=90

Здесь цифры десятков в произведениях идут, последовательно увеличиваясь на единицу: 0, 1, 2, 3, 4, …8, 9; а цифры единиц идут, наоборот, уменьшаясь на единицу: 9, 8, 7, …, 1, 0. Сумма же цифр единиц и десятков всюду равна 9. Простым поднятием соответствующего пальца мы отмечаем это и… умножаем.

Человеческая рука есть одна из первых счётных машин!


Вычисли.

359+621 263+135

275+417 454+431

527+243 618+312

Разделить получившиеся равенства на две группы так, чтобы в каждую группу входили равенства, имеющие общий признак.

Решение: Дети могут произвести деление на группы, опираясь на разные признаки. Например, в одну группу могут быть отнесены суммы, при вычислении которых происходит переход через десяток, а в другую – суммы, в которых нет перехода через десяток. Или в одну группу дети отнесут суммы, значения которых оканчиваются нулём, а в другую – значения которых оканчиваются другими цифрами и т.д. Все варианты классификации обсуждаются.

После выполнения задания можно предложить изменить суммы одной группы так, чтобы их можно было отнести в другую группу.

Каждый ученик преобразует суммы в соответствии с использованным признаком классификации.


Перетягивание каната.

Борис взялся за один конец каната, а Аркадий и Николай вместе – за другой конец. Перетянул Борис, хотя и с большим трудом. Когда с одной стороны встали Борис и Аркадий, а с другой – Владимир с Николаем, то ни та, ни другая пара не смогли перетянуть канат на свою сторону. Но стоило только Николаю и Аркадию поменяться местами, как победу одержала пара Владимир и Аркадий.

При помощи точных рассуждений докажите, что Владимир – самый сильный из этих четырёх друзей, и определите, кто по силе на втором, третьем и последнем местах.

Решение: Пусть буквы А, Б, В, Н условно являются количественным выражением силы Аркадия, Бориса, Владимира и Николая.

Тогда в соответствии с рассказом БА+Н(1), Б+А=В+Н(2), В+АБ+Н(3).

Из (1) следует: Б>A. Складывая (2) и (3), получаем А>H, a вычитая (2) из (3), получаем: В>Б. Окончательно, В>Б>A>H.


Занимательный вопрос. Сколько стоят открытки?

Катя купила две красочные открытки. Подруга спросила, сколько стоит каждая открытка.

«За одну открытку», - ответила Катя, - «я заплатила три такие монеты, какие за другую открытку заплатила 2. За обе открытки заплатила 10 руб. Сколько стоит каждая открытка?»

Решение: 2+2+2=6(руб.), 2+2=4(руб.)


  • Итог занятия.


Что интересного вы узнали сегодня? В чём вы встретили трудность?


  • Домашнее задание.


Прочитайте в энциклопедии про деление и умножение. Вам это будет интересно, надеюсь! С этого мы и начнём следующее занятие.


























Занятие №6


Тема: Трудное дело – деление.

Цель:

  • учить мыслить последовательно, доказательно.


Ход занятия


  • Рассказ учителя и детей.


Немного истории (учитель)


Зажигая привычным движением спичку, мы иной раз ещё задумываемся над тем, сколько трудов стоило добывание огня нашим предкам, даже не очень отдалённым. Но мало кто подозревает, что нынешние способы выполнения арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату.


Трудное дело – деление (дети)


Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приёмами. И если бы я, школьник ХХI века, мог перенестись за четыре, за три века назад, я поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок. Молва обо мне облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счётчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счётного дела.

Особенно были сложны в старину действия умножения и деления – последнее всего больше. «Умноженье – моё мученье, а с делением – беда», говорили в старину. Тогда не существовало ещё, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была чуть не дюжина различных способов умножения и деления – приёмы, один другого запутаннее, твёрдо запомнить которые не в силах человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.


В книге В.Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914 г.) изложено 27 способов умножения, причём автор замечает: «Весьма возможно, что есть и ещё способы, скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». И все эти приёмы умножения: «шахматные или органчиком», «загибанием», «по частям или в разрыв», «крестиком», «решёткой», «задом наперёд», «ромбом», «треугольником», «кубком или чашей», «алмазом», - а так же все способы деления, носившие не менее затейливые наименования, соперничали друг с другом в громоздкости и сложности. Усваивались они с большим трудом и лишь после большой практики. Признавалось даже, что для овладения искусством быстрого и безошибочного умножения и деления многозначных чисел нужно особое природное дарование, исключительные способности; рядовым людям премудрость эта недоступна. «Трудное дело – деление», - гласила старинная итальянская поговорка; оно и в самом деле было трудно, если принять во внимание утомительные методы, какими выполнялось тогда это действие.

(учитель)


Многие школьники, что греха таить, и сейчас плохо справляются с этими премудростями, но, я думаю, мы к ним не относимся, мы бы, если бы очутились в тех временах, были бы магистрами способов деления и умножения.

Вот сейчас мы это и проверим!


  • Практическая работа.


Бой часов.

Сколько ударов в сутки делают часы с боем?

Решение: Наибольшее количество ударов, отбиваемых обыкновенными часами, - 12. Задача сводится к тому, чтобы узнать сумму всех чисел от 1 до 12. А это, мы уже знаем, будет половина двенадцать раз взятых тринадцати. Но в сутках два раза по 12 часов, или 24 часа. Значит, часы сделают ровно 12 раз по 13 ударов, т.е.156 ударов (12х13=156).

Если же часы отбивают также и получасы, то сколько всего ударов они делают в сутки? Полагаю, что вы без труда ответите на этот вопрос. (156х2=312).


Посчитай-ка!

Дедушке 60 лет. Отец моложе дедушки на 20 лет, но старше сына на 30 лет. Сколько лет сыну?

Решение: 60-20-30=10


Реши задачу.

Два брата поровну разделили между собой 6 яблок. Сколько досталось каждому брату?

Решение: Какие числа вы знаете? Какие операции с ним можете производить? Есть ещё и другие числа, с которыми вы не знакомы. Какие числа даны в задаче? (натуральные). Каким действием решали задачу? (делением). Почему выбрали такое действие?

А как вы будете решать такую задачу: «Два брата поровну разделили между собой одно яблоко. Сколько досталось каждому брату?»

Решение: Сравните между собой эти задачи. В чём их сходство? В чём различие? Каким действием надо решать эту задачу? Почему? Можно ли ответить на вопрос второй задачи, пользуясь натуральными числами? (Нет. Каждый брат получил половину яблока.) Вместо слова «половина» можно сказать одна вторая часть. Одна вторая – это дробное число, дробь.


Обыкновенные дроби.

Дениска, герой рассказов В.Драгунского, задал однажды приятелю Мишке задачу: как разделить два яблока на троих? И когда Мишка, наконец, сдался, торжествующе объявил ответ: «Сварить компот!». Мишка с Дениской ещё не проходили дробей и твёрдо знали, что 2 на 3 не делится.

Собственно говоря, «сварить компот» - это действие с дробями. Порежем яблоки на кусочки и будем количество этих кусочков складывать и вычитать, умножать и делить – кто нам мешает? Нам важно только помнить, сколько мелких кусочков составляют целое яблоко…

Дроби появились в глубокой древности. Египтяне уже знали, как поделить два яблока на троих, для этого числа – 2/3 – у них был даже специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица, - все остальные употреблявшиеся ими дроби непременно имели в числителе 1 (так называемые основные дроби): ½, 1/15, 1/76…

Что означают дроби? Это очень просто – часть предмета.

Женственные и мужественные.

Интересно!?

В очень древнем китайском манускрипте (более 4000 лет до н.э.) чётные числа назывались женственными, а нечётные – мужественными. Так вот, употребляя все однозначные числа от 1 до 9 по одному разу и применяя только действия сложения, вычитания, умножения и деления, составьте такое равенство, в котором все женственные числа оказались бы по одну сторону знака равенства, а все мужественные – по другую.

Решение: 3+5-7+9:1=2х4+8-6 или 3+5+7-9:1=8:2-4+6.


Одними и теми же цифрами.

Применяя знаки действий, напиши:

  • число 1 теми «двойками»;

  • число 2 тремя «двойками»;

  • число 2 четырьмя «двойками»;

  • число 3 тремя «двойками»;

  • число 3 четырьмя «двойками»;

  • число 5 четырьмя «двойками»;

  • число 100 пятью «единицами».

Решение:

  • 2-2:2;

  • 2х2:2;

  • 2:2+2:2;

  • 2+2:2;

  • 2х2-2:2;

  • 2х2+2:2;

  • 111-11.


  • Итог занятия.


Что интересного вы узнали? А что уже знали? О чём бы вы хотели узнать?


  • Домашнее задание.


А я хотела бы, чтобы вы прочитали бы о каком-нибудь выдающемся математике, жившем в далёкие-далёкие времена! А где? Вы знаете. Конечно, в энциклопедии.































Занятие №7


Тема: «Магические» квадраты.

Цели:

  • развивать процесс математического мышления


Ход занятия


  • Знакомство с принципом построения «магического» квадрата.


Числа настолько вошли в жизнь человека, что им стали приписывать всякие магические свойства. Так, до сих пор многие не любят число 13; число 666 называют «звериным числом», приносящим несчастье; счастливым считают, например, совершенные числа, о которых так же рассказано в книге «Я познаю мир».

При археологических раскопках в Китае и Индии были найдены квадратные амулеты. Квадрат разделён на девять маленьких квадратиков, в каждом из которых написано по одному числу от 1 до 9. Замечательно, что суммы чисел в каждой строке, в каждом столбце и по каждой из двух диагоналей были равны одному и тому же числу – 15.


2


9


4





5


3


7



8


1


6





В средние века «магические» квадраты были очень популярны. Один из «магических» квадратов изображён на гравюре знаменитого немецкого художника Альбрехта Дюрера, «Меланхолия». Любопытно, что два числа в середине нижней строки указывают год создания картины – 1514 г. 4


15


14


1


12


7


6


9


5


10


11


8


13


2


3


16













Получение «магических» было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты, например, 43х43, содержащие числа от 1 до 1849, причём обладающие, помимо указанных свойств «магических» квадратов, ещё и многими дополнительными свойствами. Были придуманы способы построения магических квадратов любого размера, однако до сих пор не найдена формула, по которой можно было бы найти количество «магических» квадратов данного размера. Известно, и это вы можете легко доказать, что «магических» квадратов 2х2 не существует.

«Магических» квадратов 3х3 – один; остальные такие квадраты получаются из него поворотами и симметриями. «Магических» квадратов 4х4 уже 800, а количество «магических» квадратов 5х5 близко к четверти миллиона.

Я знаю, вы любите работать с «магическими» квадратами, несложные составляете сами. У И,И,Аргинской в «Математике» часто встречаются такие задания. А сейчас вы знаете и историю «магических» квадратов.

Где были найдены квадратные амулеты? И что такое амулет? Не знаете, загляните в «Толковый словарь».

Чем примечательны «магические» квадраты?

На гравюре какого художника есть изображение «магического» квадрата?

Какого размера самый большой «магический» квадрат?

Количество каких «магических» квадратов близко к четверти миллиона?

А сейчас возьмите лист в клеточку и составьте свой «магический» квадрат.


  • Практическая работа.


Через ров.

Четырёхугольное поле окружено рвом, ширина которого всюду одинакова. Даны две доски, длина каждой из которых равна точно ширине рва. Требуется с помощью этих досок устроить переход через ров.

Решение: стоит взглянуть на рисунок, чтобы понять, как решается задача:










Работа на пришкольном участке заняла 3 часа и закончилась в 16 часов. Когда приступили к работе?

Решение: 16-3=13


К чаю на стол поставили торт, разрезанный на 10 равных кусков. Брат съел два куска, а сестра – один кусок. Какую часть торта съел брат и какую – сестра?

Решение: 10:2=5, 10:1=10.


В двух корзинах лежало по одинаковому количеству яблок. Из первой переложили во вторую корзину 10 яблок. На сколько яблок стало во второй корзине больше, чем в первой?

Решение: Если в первой корзине стало на 10 меньше, то соответственно во второй корзине стало на 10 яблок больше.


Памятные даты.

Определите даты жизни человека, если известно, что:

а) цифры года его рождения и года смерти одинаковы;

б) сумма цифр года рождения равна 14;

в) цифра единиц года рождения в 4 раза больше единиц года смерти.

Решение: 1814 – 1841 – годы жизни М.Ю.Лермонтова.


Можно ли расплатиться?

Ты должен заплатить за купленную вещь 19 руб. У тебя одни лишь трёхрублёвки, а у кассира только пятирублёвки. Можешь ли ты, имея такие деньги, расплатиться, и как именно?

Решение: Можно. Дать кассиру 8 трёхрублёвок и получить на сдачу одну пятирублёвку.


Орехи.

«Ты поверишь, Маша,» - сказал Петя сестре, - «я сейчас с одного куста сорвал 64 ореха!»

«Дай мне хотя бы четверть твоей четверти орехов,» - попросила сестра, - «тогда поверю».

«Думаешь, мне жалко? На, возьми половину моей половины орехов,» - ответил брат и отсчитал ей орехи. Сколько орехов попросила сестра? Сколько орехов дал ей Петя?

Решение: 64:4= 16 16:4=4 – попросила сестра. 64:2=32 32:2=16 – дал Петя


Можно ли?

Можно ли заплатить за купленный предмет 16 коп., используя пять монет достоинством в 1 коп.. 3 коп., 5 коп.? А если использовать 6 таких же монет?

Решение: 16 коп. – число чётное. Монеты 1, 3, 5 коп. содержат нечётные числа копеек. Пятью такими монетами заплатить за предмет нельзя; шестью такими монетами – можно.


  • Итог занятия.


Что вы узнали о «магических» квадратах?


  • Домашнее задание.

Придумайте сами задачи и занимательные вопросы.













































Занятие №8


Тема: Календарь. Занимательные задачи. Игры.

Цели:

  • учить доказывать, отстаивать свою точку зрения;

  • воспитывать у детей познавательный интерес к математике.


Ход занятия


  • Вступительное слово учителя.


Знаете ли вы, дети, почему в году 365 дней? 366? Откуда взялась семидневная неделя? Вот и я думаю, что у вас, любознательных, много вопросов по этому поводу.

Давайте вместе прочтём статью из энциклопедии «Я познаю мир», благодаря которой мы уже многое узнали. А ведь у некоторых ребят она давно пылится на книжной полке!


  • Чтение статьи с комментариями учителя.


Календарь.


Счисление времени, казалось, не содержит в себе проблем – день следует за днём, год за годом. Но почему одни года содержат по 365 дней, а другие – по 366? Откуда взялись семидневные недели? Почему их не целое число в году? Вопросов много. Постараемся на них ответить.

Сначала точно определим, что такое год. Год – это время полного оборота Земли вокруг Солнца. Он составляет 365 суток 5 часов 48 минут и 46 секунд или 365, 242199 суток. А кто заставляет нас именно так определять год? Давайте считать годом 365 суток, и дело с концом! Но не тут-то было. В таком случае, например, весеннее равноденствие наступало бы всё позже и позже – на 6 часов каждый год. Для одного поколения людей это было бы не очень заметно, а на протяжении нескольких поколений такое отставание было бы уже очень заметно. Что же делать?

Жрецы Древнего Рима произвольно удлиняли годы, чтобы согласовать их счисление с временами года и астрономическими наблюдениями. Сначала в римском календаре было десять месяцев. Первым был март, названный в честь бога войны Марса, вторым – апрель, пригреваемый солнцем, дальше май, в честь богини Майи, четвёртым был июнь – в честь богини Юноны. Названия следующих шести месяцев произошли от числительных. Пятый месяц назывался квинталием, шестой – секстилисом, седьмой – септембером (сентябрь), восьмой – октобером (октябрь), девятый – новембером (ноябрь) и десятый – децембером (декабрь). Первый день месяца назывался календой, отсюда и произошло название «календарь».

Через некоторое время количество месяцев увеличили до двенадцати. Одиннадцатый был назван януариусом (январём) в честь двуликого бога Януса, а двенадцатый стал месяцем очищения – фебруариусом (февралём).

Счислением времени ведали жрецы по своему усмотрению. Такие порядки не устраивали Юлия Цезаря. Он постановил считать одни годы по 365 дней, а другие – по 366 дней, чередуя их: три коротких года, четвёртый – длинный. В этой реформе календаря были учтены знания и опыт египетских жрецов и астрономов, в частности, к работе был привлечён александрийский астроном Созиген.

Заодно начало года было перенесено с марта на январь. В результате шесть месяцев потеряли смысл своих названий. А месяц квинталис, который стал уже не пятым, а седьмым, был переименован в июль в честь Юлия Цезаря. Все нечётные месяцы имели по 31 дню, а чётные – по 30 дней, кроме февраля, который имел 29 дней, а 30 – только в високосные годы. Почему эта доля досталась именно февралю? Да потому, что до этого он был последним месяцем года.

Преемником Цезаря был первый римский император Октавиан Август. В его честь месяц секстелис имел 30 дней, в то время, как июль, посвященный Юлию Цезарю, имел 31 день, и было решено добавить к августу ещё один день, отняв его у уже обиженного февраля.

Продолжительность года в юлианском календаре (так он называется в честь Юлия Цезаря) составляет 365 суток и 6 часов, что превышает астрономический год на 11 минут и 14 секунд. Казалось бы, такой ошибкой можно было бы пренебречь, но ведь она накапливается из года в год. К 325 году она составила уже 3 суток, и день весеннего равноденствия оказался не 24 марта, как это было при Юлии Цезаре, а 21 марта. По этому поводу собрался Никейский собор, который перенёс в календаре день весеннего равноденствия с 24 марта на 21 марта. Но ошибка продолжала накапливаться, к концу ХVI века она достигла 10 суток, и день весеннего равноденствия сместился на 11 марта.

Вот сейчас вы хоть немного, но имеете представление, как появился календарь. На следующем занятии мы продолжим эту тему. А сейчас давайте попробуем разобрать всё , как говорится, по полочкам.

Что такое год? Сколько суток в году?

А кто заставляет нас именно так определять год?

Кто произвольно удлинял год?

Сколько месяцев в году было сначала?

Какой месяц был первым? И в какой последовательности они шли?

Как назывался первый день месяца? Откуда пошло название «календарь»?

Какие порядки не устраивали Юлия Цезаря?

Как постановил Юлий Цезарь считать годы? Какой астроном был привлечён к работе c календарём?

Какой месяц был назван в честь Юлия Цезаря?

Кто был приемником Юлия Цезаря? Какой месяц носит его имя?

Какова продолжительность года в Юлианском календаре?

Почему нельзя пренебречь ошибкой Юлианского календаря? На какой бы день сместился день весеннего равноденствия?


  • Практическая работа.


А сейчас давай те отвлечёмся от календаря и порешаем задачи.


Отряд солдат

Отряд солдат подходит к реке, через которую необходимо переправиться. Но мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг командир замечает двух мальчиков, которые катаются на лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков – не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?

Давайте поразмышляем. Посоображаем!

Учтите одно обстоятельство, что лодка вмещала двух мальчиков. Это вам подсказка, а дальше, я думаю, вы сами догадаетесь, как переправились все солдаты.

Решение: Дети переехали реку. Один из мальчиков остался на берегу, а другой пригнал лодку к солдатам и вылез из неё. Один солдат переправился на другой берег. Мальчик, оставшийся там, пригнал лодку обратно к солдатам, взял своего товарища, отвёз на другой берег и снова доставил лодку обратно, после этого вылез, а в неё сел другой солдат и переправился. Таким образом, после каждых двух перегонов через реку и обратно переправлялся один солдат. Так повторялось столько раз, сколько было солдат.


Запишите число 5 с помощью трёх «пятёрок» и знаков действий. Найди два решения этой задачи.

Решение: 5х5:5=5; 5+5-5=5


Сколько треугольников изображено на чертеже?







Решение: 6.


Дано выражение: 691+237.

Не произведя сложения, написать два выражения таких, чтобы значение суммы в каждом из них было больше значения суммы данного выражения; два выражения таких, чтобы значения сумм были равны значению суммы данного выражения; два таких, чтобы значения сумм были меньше значения суммы данного выражения.

Решение: записи могут быть разные. Но обязательно вычислением проверить правильность выполнения задания.


Сколько деталей?

В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки получается одна деталь. При выделке деталей получаются стружки, которые переплавляются в новые заготовки. Из стружек, полученных при изготовлении четырёх деталей, выплавляется одна новая заготовка. Сколько деталей можно сделать таким образом из 16 свинцовых заготовок?

Решение: ИЗ 16 заготовок получается, кроме 16 деталей, ещё 4 детали. При изготовлении последних четырёх деталей образуются стружки, которые переплавляются в заготовку. Таким образом, получается всего 21 деталь.


Подобную задачу вы можете составить сами. Попробуйте!


  • Итог занятия.


Как вы думаете, пригодятся ли вам в будущем знания о календаре? Если вы расскажете своим родителям, друзьям, им будет это интересно? Интересно вам узнать, что днём весеннего равноденствия стало 21 марта? На следующем занятии мы продолжим разговор о календаре.



















Занятие №9


Тема: Календарь. Считай, смекай!

Цели:

  • приучать детей сознательно мыслить;

  • воспитывать гибкость математического мышления.



Ход занятия


  • Беседа о календаре (продолжение).


Итак, ошибка продолжала накапливаться, к концу ХVI века она достигла 10 суток, и день весеннего равноденствия сместился на 11 марта.

Было решено провести реформу календаря, закрепив за днём весеннего равноденствия 21 марта. Инициатором реформы был римский папа Григорий ХIII, а разработал её итальянский врач, математик и астроном Алиозий Лилио. Решение комиссии по разработке нового календаря было очень простым: сдвинуть числа на 10 дней, оставить чередование простых и високосных лет, но если год оканчивается двумя нулями, а число его сотен не делится на 4, то такой год будет простым, а не високосным. Так 1900 год – простой, а 2000 – високосный.

По новому календарю, который в честь папы Григория ХIII назвали григорианским, продолжительность года составила 365 целых и 97/400 суток или 365,2425 суток. Это лишь на 26 секунд больше астрономического года.

Интересная система календаря была предложена среднеазиатским математиком Омаром Хайямом, который известен как поэт. Он предложил считать високосными 8 лет из каждых 33. В этом случае продолжительность года составит 365 целых и 8/33 года, что даёт погрешность всего 19 секунд за год. Русский астроном И.Медлер в 2864 году предложил с ХХ века ввести в России следующую поправку к календарю: через каждые 128 лет пропускать один високосный год из 32 високосных лет, приходящихся на этот период. Такой календарь давал бы погрешность всего 1 секунду в год.

Кроме смены времён года и времени суток, на Земле наблюдается ещё один периодический процесс – смена фаз Луны. За год происходит 12 таких чередований, поэтому в году 12 месяцев. Продолжительность лунного месяца составляет 29, 530588 суток, а лунного года – в 12 раз больше, приблизительно 354, 367056 суток, что почти на 11 суток меньше астрономического года. Лунный год стал основой для мусульманского календаря, который появился в 622 году нашей эры, и с этого года по нему ведётся летоисчисление в мусульманском мире. В настоящее время мусульманский лунный календарь распространён наряду с григорианским в тех странах, где исповедуется ислам.

С фазами Луны связано и возникновение недели как четверти полной смены фаз Луны. Число 7, помимо количества дней в неделе, обозначало для древних число известных им планет (включая Солнце и Луну), число известных им металлов. Да и мы сейчас говорим: «Семь раз отмерь, один отрежь» или «семеро одного не ждут».

Вот как много нового вы узнали, хотя частично мы с этим материалом мы встречались на уроках окружающего мира. Давайте побеседуем.

Кто был инициатором реформы календаря? Какие на то были причины?

Кто разработал проект этой реформы?

Каково было решение по разработке нового календаря?

Как назвали новый календарь?

На сколько секунд больше составила продолжительность астрономического года?

Какая система календаря была предложена среднеазиатским математиком Омаром Хайямом?

А что предлагал русский астроном И.Медлер?

Что такое смена фаз Луны? ( Мы с вами говорили об этом на уроке окружающего мира).

Какой календарь распространён в странах, где исповедуется ислам?

С чем связано возникновение недели?


  • Практическая работа.


Во сколько раз быстрее?

Самолёт расстояние от Москвы до Хабаровска пролетит за 9 часов. А скорому поезду удаётся преодолеть это расстояние лишь за 9 суток. Во сколько раз быстрее можно добраться от Москвы до Хабаровска на самолёте, чем на скором поезде?

Решение: 9 сут.=216 час. 216:9=24


На лошадях, на поезде, на самолёте.

В начале прошлого века путешествие на лошадях из Петербурга в Москву продолжалось 14 суток. Теперь поездом это расстояние проезжают за 8 часов, и всего 1 час требуется пассажиру самолёта, чтобы добраться из Петербурга в Москву.

Во сколько раз меньше стали затрачивать времени для проезда из Петербурга в Москву поездом, чем раньше на лошадях?

Во сколько раз потребуется меньше времени, чтобы добраться от Петербурга до Москвы самолётом, чем на поезде? На самолёте, чем на лошадях?

Решение: 14сут.=336ч. 336:8=42

8:1=8

336:1=336


Автомобиль при скорости 36 км/ч проезжает свой путь за 4 ч. При какой скорости он проедет тот же путь за 6ч.?

Решение: 36х4=144(км) 144:6=24(км/ч)


Расставить числа 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в свободные кружки так, чтобы сумма чисел на каждой стороне была равна 17.

Подобное задание мы выполняли на предыдущих занятиях. Поэтому, я думаю. Вам будет легко его сделать, если чуть-чуть подумать.

1








3

Задание имеет два решения:

  • 1

8 9 9 6


6 4 и 5 7



2 7 5 3 2 8 4 3




По стеблю растения, высота которого 1м, от земли ползёт гусеница. Днём она поднимается на 3дм, а ночью опускается на 2дм.

Через сколько суток гусеница доползёт до верхушки растения?

Решение: 1м=10дм

7 день






6 день

5 день


4 день

3 день


2 день

1день


Хитрый счёт

Возьмите 15 шашек (или пуговиц, палочек, монет) и положите их в ряд. Предложите любому из товарищей с вами поиграть.

Игра заключается в том, что вы с товарищем по очереди берёте шашки с одного конца ряда подряд. За один раз можно брать одну или две, или три шашки. Важно, чтобы не взять самую последнюю шашку. Проигрывает тот, кто берёт последнюю шашку. Если вы будете знать, какие шашки брать, то всегда будете выигрывать.

Решение: Чтобы последняя шашка досталась твоему товарищу, нужно обязательно взять шестую и десятую шашку, тогда сколько бы ни взял товарищ, последняя останется ему.


Угадывание числа, которое получилось после вычислений

Задумайте число, прибавьте к нему 6, из суммы вычтите 2, затем ещё вычтите задуманное число, к результату прибавьте 1. Получится 5.

Решение: Секрет отгадывания заключается в том, что задуманное число вычитается, а вычисления производятся над остальными числами, а именно: 6-2+1=5. Для разнообразия можно предложить пример с другими числами: задумайте число, прибавьте к нему 10, из суммы вычтите 6, затем вычтите задуманное число, к результату прибавьте 11. Получится 15.



  • Итог занятия


Что интересного было на занятии?


  • Домашнее задание


Научите угадывать числа своих друзей. Это заставит и их подумать над решениями заданий.
















Занятие №10


Тема: Простые числа.

Цели:

  • возбуждать математическую любознательность и инициативу;

  • воспитывать гибкость математического мышления у детей.


Ход занятия


  • Вступительная беседа


Простые числа.


Вспомните, какое любопытство было у вас, когда вам покупали игрушку, заводили ключиком, и она вдруг начинала двигаться. А как удивлены были девочки, когда кукла говорила: «Мама». Сколько игрушек было переломано, чтобы узнать, как они устроены, что у них внутри!

Люди, сохранившие на всю жизнь это детское любопытство, - учёные. Они установили, что все вещества состоят из молекул, молекулы – из атомов, атомы – из элементарных частиц: электронов, позитронов, нейтронов. Сейчас учёные пытаются понять, из чего состоят элементарные частицы. Придуманы для этой цели частицы «кварки».

А из чего составлены целые числа? Конечно же, из единиц. Число 12 есть сумма двенадцати единиц. Но в то же время 12=3х4=2х6. В свою очередь, число 4=2х2, 6=2х3. Числа 2 и 3, так же, как и числа 5, 7, 11, 13, дальше не раскладываются, поэтому их назвали простыми. Эти числа имеют лишь два множителя – единицу и себя самого. Число 1 не считают простым, поскольку оно раскладывается на два одинаковых множителя? 1=1х1.

Все вы знаете, что такое решето, с помощью которого отделяют мелкие частицы от более крупных. Так, после помола зерна отделяют муку от отрубей, очищают песок от камней и т.д.


  • Практическая работа


Древнегреческий математик Эратосфен придумал решето для нахождения простых чисел. Пусть мы хотим разыскать все простые числа, меньшие 100.

Возьмите лист бумаги в клеточку. Запишем числа в виде таблички, зачеркнём единицу, которую условились не считать простым числом, и первое из оставшихся чисел обведём кружком, оно будет простым. Это число 2. Теперь вычеркнем все числа, делящиеся на 2, кроме самой двойки. Это можно сделать просто вычёркиванием половины столбцов таблицы. Первым из оставшихся чисел будет число 3. Обводим его кружком, это будет второе по величине простое число. Дальше вычёркиваем все числа, делящиеся на 3, при этом уже вычеркнутые числа можно не вычёркивать. Из оставшихся первым будет число 5, которое вновь обводим кружком, а затем вычёркиваем все остальные числа, делящиеся на 5, для чего достаточно вычеркнуть столбец, в котором стоит число 5. Обводим кружком первое из оставшихся чисел – 7, вычёркиваем все числа, делящиеся на 7. Теперь замечаем, что все оставшиеся не вычеркнутыми числа – простые.

Действительно, числа 8, 9 и 10 уже вычеркнуты; если число, больше 10, но меньше 100, раскладывается на два множителя, то хотя бы один из них меньше 10, а все такие числа мы уже вычеркнули. Осталось обвести кружками все оставшиеся числа.

Вот они: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 97.

Много ли среди целых чисел простых? Оказывается, что бесконечно много. Это доказал ещё Евклид три тысячи лет назад.

Простые числа – простой математический объект, но загадок они доставили математикам немало, и многие из них ещё не разгаданы.

Если присмотреться к ряду простых чисел, то можно отметить, что все они, кроме 2, нечётные. Любопытны пары: 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73. Эти числа отличаются на 2. Их называют близнецами.

Сейчас с помощью компьютеров вычислены миллиарды простых чисел и, конечно, бесконечно количество пар-близнецов.

Трудно? Нет, конечно. Трудно тогда, когда не хочешь мыслить, ждёшь всё готовое и не дающее пищу нашему мышлению! А сейчас давайте посмотрим, кто может нам объяснить, что такое простые числа.

Из чего составлены простые числа?

Какое число не считают простым, потому что оно раскладывается на два одинаковых множителя?

Кто придумал «решето»?

Расскажите, как мы разыскивали все простые числа меньше 100. (Шпаргалкой вам будет лист, на котором мы с вами работали, и у вас это очень хорошо получилось).

Какие же любопытные для нас получились пары? Как их называют?

А вот ещё интересное для вас сообщение. Российский академик Х.Гольдбах заметил, что любое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел, а любое нечётное число, больше 5, - как сумму трёх простых чисел. Полностью это утверждение не доказано и не опровергнуто до сих пор.


  • Решение задач.


Волк, коза и капуста.

Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевёз свой груз крестьянин?

Решение: Ясно, что приходится начать с козы. Крестьянин, перевозя козу, возвращается и берёт волка, которого перевозит на другой берег, где его и оставляет, но зато берёт и везёт обратно на первый берег козу. Здесь он оставляет её и перевозит волку капусту. Вслед за тем, возвратившись, он перевозит козу, и переправа заканчивается благополучно.


В каком году это было?

  • В каком году впервые появилась керосиновая лампа, если от начала летоисчисления до этого года прошло полных 1844 года?

Решение: 1844+1=1845

  • В каком году была изобретена первая электрическая лампочка накаливания Ладыгина, если от начала летоисчисления до этого года прошло 1872 года?

Решение: 1872+1=1873

  • Какого числа, месяца и года был запущен первый советский искусственный спутник Земли, если до этого дня от начала летоисчисления прошло полных 1956 лет, девять месяцев и три дня?

Решение: 4 октября 1957 года

  • Какого числа, месяца и года была запущена пкрвая советская космическая ракета, если от начала ХХ века прошло полных 58 лет и один день?

Решение: 2 января 1959 года.


  • Математическая игра.


У кого какая цифра?

Пришёл Миша на утренник, было ещё рано, и он решил развлечь ребят.

«У меня на карточках написаны две цифры: на одной – цифра 2, на другой – цифра 3. Двое из вас могут взять по карточке с этими цифрами, и я сумею узнать, у кого из них какая находиться цифра».

«А ну, попробуй», - ответили с сомнением ребята.

Костя и Вася взяли по карточке, показали друг другу изображённые на них цифры. Когда ребята брали карточки, Миша отвернулся.

«Спрятали карточки?» - спросил через минуту Миша.

«Спрятали», - ответили хором ребята.

Тогда Миша говорит: «Костя, умнож число, изображённое на твоей карточке, на 3, а Вася пусть умножит своё число на 2. Теперь полученные от умноження числа сложите.»

Все остальные ребята внимательно следили за действиями Миши, слушали его задания и тоже считали.

« Скажите, сколько получилось от сложения, и я узнаю, у кого какая цифра на карточке» - смело сказал Миша.

«Тринадцать», - ответил Костя.

«Тринадцать», - повторил Вася.

«Правильно, тринадцять», - подтвердили дети.

«Теперь я знаю, что у Кости на карточке цифра 3, а у Васи – цифра 2» - суверенно сказал Миша.

И действительно, Костя показал цифру 3, а Вася – цифру 2. Ребята удивились.

«Как же ты узнал?» - спросили они.

«Мне в этом помогло знание математики», - с гордостью ответи Миша. Попробуйте и вы, ребята, провести такую же игру в классе.

Решение: Для проведения игры надо взять следующее. Числа, изображённые на карточках, должны бать не какими угодно, а одно – чётное, другое – нечётное. В процес се игры надо одного из ребят, имеющего карточку, заставить умножить своё число на чётное число, а другого – на нечётное. Отгадывающий должен сам предположить, например, что у первого находится карточка с цифрой 3, а у второго – с цифрой 2, и мысленно тоже призводить вычисления.

Если результаты вычисления у отгадывающего и у ребят с карточками совпадут, значит, предположение оказалось верным. И действительно, у первого – цифра 3, а у второго – цифра 2. Если же результаты вичислений не совпадут, то это означает, что предположение не оправдалось и потому у первого на карточке не цифра 3, а 2, а у второго – не 2, а 3.


  • Итог занятия


Какие числа вы узнали? Вам понятно, какие это числа? А как вы думаете, важно это знать тем, кто занимается серьёзно математикой? Вам інтересно было на занятии?


  • Домашнее задание


Поиграйте с родителями, с друзями в игру «У кого какая цифра?» Принесите на следующее занятие свою математическую игру.

















Занятие №11


Тема: “Финансовые пирамиды»

Цели:

  • учить мыслить последовательно, доказательно;

  • уметь доказывать, отстаивать свою точку зрения.


Ход занятия


  • Вступительное слово учителя.


Не раз вы слышали по радио, телевидению, да и от родителей выражение «финансовые пирамиды». А может быть, ваши родители или знакомые попадались на эту «удочку». Горько сожалели, что пропали вложенные деньги, а нечестные люди наживались на безграмотности доверчивых людей. Давайте попробуем с вами разобраться в этом весьма интересном математическом «занятии». Вы не против? Да к тому же, надеюсь, вы не попадёте после этого впросак.


  • Беседа «Финансовые пирамиды»


Такие операции проводили компании «МММ», «Хопер», «Тибет», «РДС», «Телемаркет» и многие другие. Давайте в доступной для нас форме разберёмся в механике таких операций.

До появления в нашей стране подобных акционерных обществ время от времени затевались денежные «игры по почте». Скажем, вы получаете письмо, в котором говорится, что если выслать по заказанным пяти адресам по одному рублю, а затем разослать ещё пятерым такие же письма, вычеркнув первый адрес и дописав свой адрес последним, то через некоторое время вы получите уйму денег.

В письме обосновывался и способ быстрого обогащения. От первых пяти адресатов вы получаете 5 руб., возвращая затраченные деньги. Они посылают письма уже в 25 адресов, откуда вы получаете 25 рублей. От игроков третьего круга вы получаете ещё 125 руб., от игроков четвёртого круга в 5 раз больше – 625 руб., а от участников пятого круга – 3125 руб. Итого 3900 руб. В то время это были большие деньги, соответствующие 10 миллионам рублей.

Хотя желающих разбогатеть «по щучьему велению» немало, но в выигрыше оказывались только устроители такой игры. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей разошлёт, скажем, 120 писем со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, а в третьем – 300, в четвёртом – 15000 и т.д.

Но включившиеся в игру в восьмом или девятом круге уже не получат ничего.

Итак, с этой игрой всё ясно – первые получают деньги за счёт последующих, а тем, в конце концов, не от кого будет их получать. Перейдём теперь к акционерным компаниям, которые обещают богатство за счёт быстрого повышения курса своих акций.

Здесь вроде бы всё в ажуре. Акционеры и хозяева компаний получают прибыль из «воздуха». Действительно, месяц назад вы купили акцию за 1000 руб., а сейчас можете её продать за 1500 руб.; правда, и купить её можно за 1700 руб., но ведь через месяц их можно продать за 2000 руб.

И компания имеет прибыль, покупая акцию за 155 и тут же продавая её за 1700 руб. Все довольны.

Но вот стоимость акции превысила 10000 руб., и уже не всякий может её купить, как это случилось с «МММ». Количество сдающих акций начало превышать количество покупающих, и прибыль в компанию перестала поступать. Тут-то эта компания лопается, поскольку полученные ранее деньги тратились лишь на выкуп акций всем акционерам по последнему курсу. А ведь огромные деньги были уплачены за рекламу! Реклама необходима, чтобы привлечь как можно больше простаков в ряды акционеров.

Вот так, когда люди не знают, что такое «финансовые пирамиды», они лишаются всех своих сбережений!

А вы слышали о «денежных играх по почте» от родителей или сами были свидетелями таких игр?

Как же можно было разбогатеть, и можно ли было? А как вы думаете, хорошо, или плохо богатеть за счёт других? Ведь как вы сейчас понимаете, в выигрыше бывают только те, кто начинает игру.

Как вы понимаете выражение «получать прибыль из воздуха»?

  • Практическая работа


Расставьте в пустые клетки квадрата числа:

11, 15, 19, 25, 29, 33, 39, 43 так, чтобы значения сумм во всех вертикальных и горизонтальных строчках были равны 87.



47







Решение: Задание выполняется подбором, однако, как и во всех случаях, когда применяется этот способ решения, особенно ценными являются элементы анализа, позволяющие целенаправленно осуществлять поиск решения. Анализ в данном случае рациональнее начать с разбора вопроса, с какого столбца или строки начать поиски решения. Очевидно, это или средний столбец, или средняя строка, т.к. в них есть одно число, стоящее на месте.

Далее разбирается вопрос о том, каким количеством единиц нужно дополнить выбранные строку или столбец, чтобы получилась нужная сумма 87-47=40. Значит, нужно среди данных чисел найти такие, которые в сумме дают 40.

Таких пар две: 11+29=40 и 15+25=40.

Таким образом, получается два исходных варианта решения:


29




25


47


15


33


11


43




29




25


47


15


43


11


33




25




11


47


29




15






29




25


47


15




11












Следующий этап – заполнение любой из оставшихся строк или любого из оставшихся столбцов.

Например, в верхней строке стоит число 11. Чтобы получить значение суммы 87, нужно найти среди данных чисел два числа, дающие в сумме 87-11=76.

Из оставшихся чисел 19, 33, 39, 43 только 33+43=76. Как же поставить эти числа в строке?









Осталось заполнить ещё две клеточки числами 19 и 39. Получаем: 19, 29, 39. Первый случай расположения чисел не годится. Аналогично проводятся рассуждения, если взять второй исходный вариант решения.


Переправа в трёхместной лодке.

К реке подъехали четыре рыцаря с оруженосцами и обнаружили одну трёхместную лодку. Могут ли они переправиться на другой берег, соблюдая условия предыдущих задач?

Решение: Обозначим рыцарей буквами А, Б, В, Г, а их оруженосцев – а, б, в, г соответственно.


Первый берег Второй берег

АБВГ ………………

абвг ………………

  • Переправляются оруженосцы б, в, г.


АБВГ ………………

а… бвг


  • Оруженосец б возвращается, а рыцари В, Г переправляются на другую сторону.


АБ.. ВГ

а… .вг



  • Рыцарь В и его оруженосец переезжают назад. Затем рыцари А, Б, В переправляются на второй берег.


АБВГ

аб. ..г


  • Оруженосец г забирает оруженосцев б, в.


. АБВГ

а… .бвг


  • Один из оруженосцев перевозит последнего оруженосца а.


. АБВГ

. Абвг


  • Итог занятия.


Что вам понравилось на занятии?


  • Домашнее задание.


Принесите на следующее занятие математические загадки.















Занятие №12


Тема: Длина

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • развивать процесс математического мышления.


Ход занятия


  • Вступительная беседа


Длина – одно из первых математических понятий, введенных человеком. Первые меры длины были самыми естественными и поэтому сохранились и по сей день. Действительно, в газетах можно прочесть такие фразы: «Избушка находилась от посёлка на расстоянии двух дневных переходов», «Трещина шириной в ладонь пересекала каменную плиту».

Но насколько удобными были изначальные меры длины – локоть, вершок (ширина ладони на уровне пальцев), сажень (расстояние между концами пальцев разведённых в стороны рук) – ведь они всегда при себе, настолько они были неточными, ведь у разных людей эти единицы различны. Государствам приходилось вводить эталоны длины – образцовые единицы измерения. Но в разных странах эти единицы оказывались разными. Так, три русских локтя составляли два персидских. Персидские же получили на Руси название аршин (от «арш» - локоть в группе тюркских языков).

Естественно, что соотношения между различными единицами длины даже в одной стране были довольно причудливы. Указ Петра I, призванный упорядочить систему мер в России, вводил следующие, довольно сложные соотношения между бытовавшими в то время единицами: 1миля=7 вёрст=3500саженей=10500 аршин=168000 вершков=294000 дюймов=2940000 линий=29400000 точек.

Заметим, что в последних соотношениях прослеживается идея десятичной системы мер. Но привычные меры настолько трудно искоренимы, что для введения новых требуется революция, притом Великая, как Великая французская революция, в результате которой во Франции появились метр, километр, сантиметр, миллиметр…, и Великая Октябрьская социалистическая революция, после которой эти единицы были введены у нас. А США, Великобритания и многие другие страны обходятся ещё средневековыми мерами.

Какими были первые меры длины?

Какие фразы о длине можно было прочесть в газетах?

Какими были изначальные меры длины?

А что за образцовые единицы измерения?

Кто в России упорядочил систему мер?


  • Закрепление.

Длина Краснохолмского моста в Москве 720м. Пешеход идёт по нему со скоростью 2м/сек. За сколько секунд он пройдёт весь мост?

Решение: 720:2=360


Записать число 30 тремя «пятёрками» и знаками действий.

Решение: 5х5+5


Написать девять чисел, из которых первое число 1, а каждое следующее в 2 раза больше предыдущего.

Решение: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256


  • Математическая игра


Угадывание числа и месяца рождения.

  • Зоя спросила подруг:

« Знаете ли вы, какого числа и в каком месяце вы родились?»

«Знаем», - ответили подруги.

«Тогда я могу отгадать, кто из вас какого числа и в каком месяце родился», - сказала Зоя.

«Возьмите по листочку бумаги и карандаши. Вычисляйте на бумаге. Вспомните число, когда вы родились. Умножьте это число на 2, затем полученное произведение умножьте ещё на 5, к новому произведению прибавьте 20, сумму умножьте на 10, к полученному произведению прибавьте порядковый номер месяца рождения (январь – первый, февраль – второй и т.д.). Вы назовите числа, которые у вас получились, а я отгадаю, какого числа и в каком месяце каждая из вас родилась».

« У меня получилось 1308», - сказала Маша.

«Ты родилась 11 августа», - быстро ответила Зоя.

«А у меня получилось 2503», - промолвила Валя.

«Ты родилась, Валя, 23 марта», - ответила Зоя.

Девочки с удивлением подтвердили, что Зоя угадала верно.

  • «А теперь я угадаю число и месяц рождения у Таи и Нины», - сказала

Зина.

«Отгадай», - ответили они.

«Число, когда вы родились, умножьте на 4, к полученному произведению прибавьте порядковый номер месяца рождения. А теперь скажите числа, которые у вас получились».

«У меня получилось 1407», - сказала Тая.

«Ты родилась 12 июля», ответила Зина.

«У меня получилось 29012», - сказала Нина.

«Ты родилась 27 февраля», - ответила Зина.

И эти подруги подтвердили, что Зина правильно отгадала числа и месяцы их рождения. Как Зоя и Зина сумели отгадать числа и месяцы рождения?

Решения: Из полученных чисел (2308, 2503, 1407, 2902) надо вычесть 200. Тогда будем иметь числа: 1108, 2303, 1207, 2702. В каждом из этих четырёхзначных чисел первые две цифры, считая справа налево, обозначают порядковый номер месяца, а две следующие цифры (или одна цифра) укажут число этого месяца.

Например, число 1108 надо рассматривать так: 0, 8, или просто 8, - это восьмой месяц (август), а 11 – число этого месяца. Значит, Маша родилась 11 августа. Также отгадываются число и месяц рождения во всех остальных случаях: 23 марта, 12 июля, 27 февраля.


  • Решение задач.


Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами уснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едой на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтобы не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова уснул. Вскоре проснулся другой: ему невдомёк было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После него проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только прояснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.

Решение: Третий крестьянин оставил для товарищей 8 картофелин, т.е. каждому по 4 штуки. Значит, и сам он съел 4 картофелины. После этого легко сообразить, что второй крестьянин оставил своим товарищам 12 картофелин, по 6 на каждого, значит, и сам съел 6 штук. Отсюда следует, что первый крестьянин оставил товарищам 18 картофелин, по 9 штук на каждого, значит, и сам съел 9 штук.

Итак, хозяйка подала на стол 27 картофелин, и на долю каждого поэтому приходилось по 9 картофелин. Но первый крестьянин всю свою долю съел. Следовательно, из восьми оставшихся картофелин приходится на долю второго 3, а на долю третьего – 5 штук.


Кто какое место занял?

Это уж и совсем лёгонькая задача! В соревнованиях по гимнастике Аня, Вера, Галя и Наташа заняли первые четыре места. Определите, кто какое место занял, если известно, что Галя – вторая, Наташа, хотя и не стала победителем, но в призёры попала, а Вера проиграла Ане.

Решение:

Аня

Вера

Галя

Наташа

1

+




2



+


3




+

4


+



Аня заняла 1-е место, Галя – 2-е место, Наташа – 3-е место, Вера – 4-е место.


  • Итог занятия


Что вам понравилось на занятии? Сможете вы определить, когда родились ваши друзья?


  • Домашнее задание.


Попытайтесь определить когда родились ваши друзья.



































Занятие №13


Тема: Площадь.

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • учить мыслить последовательно, доказательно.


Ход занятия


  • Рассказ учителя


Мастер-плиточник – человек, который в процессе своей работы всё время занимается измерением площадей. Покрыв стену плитками, он может легко определить площадь стены в плитках, пересчитав количество уложенных плиток. Но на самом деле он всегда решает обратную задачу: сначала измеряет площадь стены, а потом вычисляет необходимое количество плиток. «Способ плиточника» оказывается полезным и при вычислении площадей сложных фигур.

Нанесём квадратную сетку на прозрачную бумагу и наложим её на фигуру. Тогда её площадь будет не меньше, чем количество квадратиков сетки, лежащих целиком внутри фигуры, умноженное на площадь одного квадратика, и не больше, чем количество клеток, имеющих общие точки с этой фигурой, так же умноженного на площадь одной клетки. Такая сетка называется палеткой, предложенный способ её оценки лежит в основе современного понятия площади произвольной фигуры: площадью называют предел, к которому стремятся полученные величины, если брать палетки со всё более мелкими клетками, в случае, если такой предел существует.

Конечно же, при вычислении площадей простейших геометрических фигур – многоугольников – палетка явно ни к чему. Но верные способы их наложения были придуманы далеко не сразу. Так, древние египтяне считали, что площадь четырёхугольника равна произведению полусумм противоположных сторон. Отсюда следует нелепое утверждение: если у двух ромбов равны стороны, то равны и площади. Лишь после открытия верной формулы для площади треугольника (а неверных было предостаточно) стало возможным вычислять площадь любого многоугольника, разделив его предварительно на треугольники. Конечно же, всякий многоугольник можно многими способами разрезать на треугольники. Ясно, что если два многоугольника так разрезаны на треугольники, что полученные наборы одинаковы, то площади этих многоугольников равны. Как ни удивительно, но верно и обратное утверждение: если два многоугольника равновелики, то они и равносоставлены, т.е. могут быть разрезаны на одинаковые наборы многоугольников (а значит, и треугольников).

Почему «способ плиточника» оказывается полезным при вычислении площадей сложных фигур?

С помощью палетки измерьте площадь любого нарисованного вами цветка.

  • Практическая работа.


На доске начерчены прямоугольники, длина одного 4дм, а ширина 8дм, другого – 3дм и 9дм (длины сторон не указаны).

Учитель проводит с классом беседу о том, что дети уже узнали многое об измерении различных величин. Просит назвать те величины, которые они научились измерять. Дети называют длину отрезков, вес, углы, время.

С помощью чего измеряются эти величины? (Для этого есть разные меры). Ученики называют известные им меры длины, веса, времени и т.д.

Учитель обращает внимание школьников на чертёж. Что можно измерить на этом чертеже, пользуясь известными вам мерами? (Длину сторон, периметр, величину углов).

Может быть, кто-то из ребят в процессе беседы употребит слово «площадь». В этом случае учитель привлекает внимание детей к этому слову и выясняет, как дети понимают его и изучали ли эту величину.

Если этого не произойдёт, учитель может или сам употребить этот термин, или попытаться натолкнуть детей на мысль, что можно ещё измерить, сколько места на доске занимает прямоугольник, но они ещё не знают, как это сделать.

После этого учитель возвращает мысль детей к изученным мерам. Внимание концентрируется на том, что мерой для измерения служат отрезки определённой длины, мерой для измерения углов – углы и т.п. Что же может служить мерой площади?

Возможно, кто-нибудь из учеников сообразит, что мерой площади может служить площадь определённой величины. После этого учитель показывает несколько различных по величине квадратов со сторонами в 1дм, 1м, 2дм, 3дм, 1см и спрашивает, можно ли эти квадраты использовать в качестве мерок для измерения площади?

Если никто из детей не сообразит, какой вид может иметь мерка для измерения площади, учитель предлагает использовать для этой цели те же квадраты.

Выясняется, какими из предложенных квадратов удобно воспользоваться в данном случае. Очевидно, дети без труда отвергнут квадраты со стороной в 1см как слишком маленький и квадрат со стороной в 1м как слишком большой; останутся три квадрата со сторонами в 1дм, 2дм, 3дм.

Ученики измеряют площадь первого прямоугольника, последовательно обрисовывая квадрат, при помощи всех трёх мерок, а затем переходят к измерению площади второго прямоугольника. При этом выясняется, что для измерения площади первого прямоугольника годятся первая и вторая мерки, а для второго – первая и третья.

Учитель предлагает измерить длину стороны первой мерки. Один из учеников производит измерение и устанавливает, что она равна 1дм.

Учитель сообщает, что квадрат со стороной в 1дм является общепринятой мерой площади и называется 1 квадратный дециметр.

Записывается: 1 дм2.

Дети записывают как единицу измерения площади, так и результат измерения площадей прямоугольников в квадратных дециметрах: 32дм2, 27дм2.

Возможно, что в процессе работы кто-нибудь из учеников предложит вместо того, чтобы обводить мерки, разбить прямоугольник на квадраты соответствующей величины при помощи отрезков. Это предложение необходимо подробно обсудить и выделить его положительные свойства: быстроту и большую точность.

Конечно, можно и не брать этот материал, но дети лучше поймут, что такое площадь. И на уроках будут уверенно объяснять и пользоваться мерками, давать объяснение работы с палеткой.


  • Решение задач.


Угадай их имена

Три ученицы – Валя, Галя и Катя – пришли на праздник в платьях разного цвета: одна – в сером, другая – в белом, а третья – в чёрном. Катя была не в чёрном платье, Валя не в чёрном и не в сером.

Угадай имя каждой из девочек. В каких платьях пришли на праздник Валя, Галя и Катя?

Решение:

Валя

Галя

Катя

Серое



+

Белое

+



чёрное


+



  • Итог занятия


Что полезного вы узнали? Было ли вам интересно? Или трудно? А сможете вы определить площадь вашего класса, комнаты?

















Занятие №14


Тема: Объём.

Цели:

  • воспитывать гибкость математического мышления;

  • умение рассуждать.


Ход занятия


  • Рассказ учителя


Объём.


Измерение объёмов с незапамятных времён вошло в человеческую практику. Уже в древнеегипетских папирусах содержатся правила определения вместимости житниц египетских фараонов. С тех пор прошло три с половиной тысячелетия, на протяжении которых способы вычисления объёмов непрерывно совершенствовались. Правда, математические и практические измерения объёмов частенько расходились.

Причиной такого расхождения являлись разные подходы к понятию объёма. Математики ставили своей задачей выразить объём тела через его линейные размеры, а торговцы удовлетворялись мерами, полученными из массы продукта. Любопытно, что в основу меры массы (а следовательно, и объёма) у многих народов: индусов, египтян, итальянцев, англичан и других, - была положена масса ячменного или пшеничного зерна. Следующей единицей массы был фунт.

Наиболее показательными являются английские меры. В 1266 году английский король Генрих III своим указом определил, что с согласия всего английского государства английский пенни, называемый стерлингом (самая мелкая монета), круглый и без обрезки, должен весить столько же, сколько 32 пшеничных зерна, взятых в середине колоса. 20 пенни должны составлять унцию, 12 унций – фунт. Нетрудно подсчитать, что здесь фунту соответствовало 7680 зёрен. Так мы познакомились и с происхождением загадочной денежной единицей Великобритании – фунтом стерлингов.

Стерлингом (вначале истерлингом – восточной монетой) называлась серебряная монета, которая чеканилась в восточных областях Германии. Мастера, изготовлявшие эту монету, были приглашены работать в Англию. Они и стали называть свои монеты стерлингами.

В Англии ещё долго не существовало никакого соотношения между мерами длины и ёмкости. Лишь в 1701 году Вильгельм III Оранский издал указ, по которому бушель (сосуд для измерения объёма) должен быть круглым, с плоским дном, ширина его должна быть повсюду 18 дюймов, а глубина – 8 дюймов.

В России применялись свои меры объёма: ведро – 12л, насадка – 30л, бочка – 490л.

Конечно же, изготовлялись бочки разного объёма и формы. Одна из самых замечательных математических работ, посвящённых вычислению объёмов, была написана выдающимся немецким математиком и астрономом И.Кеплером. Поводом для её написания явился случай, описываемый самим Кеплером:

«Ко мне пришёл продавец с измерительной линейкой, с помощью которой промерил подряд все мои бочки, не обращая внимания на форму, без всяких соображений и вычислений. Медная линейка просовывалась через наливное отверстие, расположенное в середине высоты бочки, до пятки деревянного круга, и продавец объявлял количество амфор, вмещаемых бочкой, заметив лишь число, поставленное на линейке в том месте, на котором оканчивалась длина. Я удивился, как это поперечная линия проведённая через объём половины бочки, может служить указателем её вместимости, и даже усомнился в правильности такого измерения. Когда же я узнал, что такое употребление поперечной линейки установлено здесь общественными властями, и измерители ручаются за его правильность, то я счёл для себя подходящим исследовать геометрические законы такого измерения и выяснить его основания, если таковые имеются».

Определение объёма аналогично определению плоской фигуры. Что значит найти площадь фигуры? Это значит найти, сколько раз в ней укладывается единичный квадратик. Соответственно. Объём тела – это количество единичных кубиков, составляющих это тело. Ясно, что площадь прямоугольника равна произведению его ширины и высоты, а объём прямоугольного параллелепипеда – произведению его измерений.

Где встречаются правила определения вместимости житниц египетских фараонов?

Что было положено в основу меры массы (и объёма) у многих народов?

Какие меры являются наиболее показательными?

Как называется английский пенни?

Как называется денежная единица Великобритании?


  • Решение задач.


Сколько воды в бочке?

ВУ одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее испытание:

«Вот тебе бочка, наполни её водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, верёвкой или чем-нибудь другим для измерения не пользуйся»

Работник справился с заданием. Как он это сделал?

Решение: Если вода в бочке налита ровно до половины, то, наклонив бочку так, чтобы уровень воды пришёлся как раз у края бочки, мы увидим, что высшая точка дна находится также на уровне воды.

Это случится потому, что плоскость, проведённая через диаметрально противоположные точки верхней и нижней окружностей бочки, делит её на две равные части.

Если воды налито менее, чем до половины, то при таком же наклонении бочки из воды должна выступить часть дна. Наконец, если воды в бочке более половины, то при наклонении дно окажется под водой.

Рассудив именно так, работник справился с заданием.


Сколько воробьёв?

На грядке сидят 7 воробьёв, к ним прилетели ещё 8. Кот подкрался и схватил одного воробья. Сколько воробьёв осталось на грядке?

Решение: Остальные воробьи улетели.


Сколько пойманных рыбок?

У мальчиков в коробке было 5 мух. На две мухи они поймали двух рыбок. Сколько рыбок поймают мальчики, используя остальных мух?

Решение: На этот вопрос ответить нельзя.


Мальчик купил две тетради для рисования за 10руб.Сколько нужно заплатить денег за 5 таких же тетрадей?

Решение: 10:2=5 5х5=25


Два мальчика нашли на дороге 10руб. Сколько денег найдут 5 таких же мальчиков?

Решение: Ответить на вопрос нельзя. У кого какое везенье!


  • Итог занятия.

Что интересного вы узнали?


  • Домашнее задание.


Попробуйте придумать интересные задачи к следующему занятию.













Занятие №15


Тема: Точка.

Цели:

  • развивать инициативу и сообразительность;

  • умение рассуждать.


Ход занятия


  • Беседа


Точка


Вот она, наша героиня. Прямо в тексте статьи появилась, и отдельный чертёж ей не нужен. Такая маленькая, такая простенькая. Проще может быть только пустое место.

Но какой-то чёртик ехидно шепчет в левое ухо: «Не то! Эта точка – типографская, а не геометрическая. Геометрическую ни в какой микроскоп не разглядеть – она нулевого размера!»

Позвольте, но почему именно нулевого, а не чуточку побольше? Да потому, что отрезок конечной длины состоит из бесконечного числа точек. Не из миллиона, не из миллиарда, а именно из бесконечного количества.

Слово «точка» в русском языке означало конец заточенного гусиного пера, которым раньше писали. Хитрюга-софист Зенон и так, и этак вертел понятием бесконечности, смущая доверчивых граждан всякими безобразиями, которые якобы никогда не могут кончиться.

Однако в том же V веке до н.э. младший современник Зенона, философ и физик Демокрит, выдвинул идею неделимого атома – первооснову всего более сложного. Его принцип: «Во всём мире существуют только атомы и пустота» - спас идею геометрической точки. А ещё полвека спустя появилось учение Платона об идеальных мирах, и уже в них-то геометрическая точка заняла приличествующее ей положение.

В своих «Началах» Евклид сформулировал чёткое и недвусмысленное определение: «Точка есть то, что не имеет частей», короче говоря, атом, как у Демокрита.

А как бы вы сформулировали, что такое точка?

Что в русском языке означало слово «точка»?

В чём состояла идея Демокрита?

Как сформулировал определение точки Евклид?


  • Решение старинных задач.


Два пастуха

Сошлись два пастуха, Иван и Пётр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Пётр ему отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!»

Сколько же было у каждого овец?

Решение: Задача старинная. Возможно, её решали и ваши мамы, папы.

Ясно, что овец больше у первого пастуха, у Ивана. Но насколько больше, чем у Петра?

Если Иван отдаст одну овцу не Петру, а кому-нибудь другому, то станет ли у обоих пастухов овец поровну? Нет, потому что поровну у них было бы только в том случае, если бы эту овцу получил Пётр. Значит, если Иван отдаст одну овцу не Петру, а третьему лицу, то у него всё-таки будет больше овец, чем у Петра, но на сколько больше? Ясно, что на одну овцу, потому что если прибавить теперь к стаду Петра одну овцу, то у обоих станет поровну. Отсюда следует, что пока Иван не отдаст никому ни одной своей овцы, то у него в стаде на две овцы больше, чем у Петра.

Теперь примемся за второго пастуха, за Петра. У него, как мы нашли, на две овцы меньше, чем у Ивана. Значит, если Пётр отдаст, скажем, одну свою овцу не Ивану, а кому-нибудь иному, то тогда у Ивана будет на три овцы больше, чем у Петра. Но пусть эту овцу получит именно Иван, а не третье лицо. Ясно, что тогда у него будет на четыре овцы больше, чем осталось у Петра.

Но задача говорит, что у Ивана в этом случае будет ровно вдвое больше овец, чем у Петра. Стало быть, четыре и есть именно то число овец, которое останется у Петра, если он отдаст одну овцу Ивану, у которого получится восемь овец. А до предлагаемой отдачи, значит, у Ивана было 7, а у Петра 5 овец.


Как работают их отцы?

Сидели как-то на берегу три друга и вели неторопливую беседу. Фамилия одного из этих ребят была Токарев, второго – Слесарев, а третьего – Плотников. Отцы их работали: один – плотником, второй – токарем, третий – слесарем.

«Интересно», - сказал мальчик, отец которого был слесарем, - «что ни один из наших отцов не работает по той специальности, от которой произошла его фамилия».

«А ты ведь прав,» - подтвердил после раздумья Токарев.

Кем работают их отцы? Сумей объяснить свой ответ.

Решение: Высказали свои мысли Токарев и мальчик, отец которого был слесарем, следовательно, Отец Токарева – не слесарь, а также сказано, что и не токарь. Следовательно, отец Токарева – плотник. Теперь известно, что отец у Слесарева – не слесарь и не плотник. Значит, отец Слесарева – токарь. У Плотникова же отец – слесарь.


  • Рассказ учителя «Магия чисел».


Какую цифру вы любите больше всего? Семёрку? Пятёрку? А может, единицу? Вас удивляет такой вопрос: как можно любить или не любить какие-то цифры, числа? Однако не все так думают. У некоторых есть числа «плохие» и «хорошие», например, число7 – хороше, а число 9 – плохое и т.д. Впервые мистическое отношение к числам возникло несколько тысяч лет назад, а в средние века широко распространилось по всей Европе. Особым почитанием окружены были числа в Древней Греции. Философ и математик Пифагор утверждал, что «числа миром правят».Он создал школу единомышленников, которые верили в магию чисел и думали, что за каждым предметом стоит какое-нибудь число. Числа, считали они, несут с собой добро и зло, счастье и несчастье. Надо только узнать, какие из них добрые, а какие злые.

Была даже целая наука – нумерология, в которой каждое имя имело своё число, получаемое при переводе букв имени в цифры. Если имя человека сочетается с его характером, это хорошо, если не сочетается или противоречит – плохо. Конечно, вера в счастливые и несчастливые числа уходит корнями в суеверие, но всё равно интересно будет узнать, что единица – это символ славы и могущества, действия и честолюбия. Как число имени, единица означает личность, полную энергии и желания действовать. С этим числом ассоциируются уверенность в своих силах и возможностях, такие понятия, как «смелость» и «храбрость». Но в то же время надо избегать непродуманных решений, рискованных мероприятий.

Имена эти – Вера, Наташа, Оксана, Толя, Костя, Илюша, Слава.

Пифагор и его единомышленники ставили единицу выше других чисел, считая, что именно она начало всех начал, что именно от неё пошёл весь мир. И вправду единица – «героиня» и «прима» всякого счёта. Та самая, о которой говорится: «Мал, да удал». Без единицы не состоялось бы самое простое исчисление.

И в жизни, и в математике не раз доказывала единица, что и «один в поле воин».


  • Итог занятия.


Вам было интересно?


  • Домашнее задание.


Дайте решить задачу про пастухов в классе, своим друзьям расскажите про магию числа. Может, их тоже заинтересуют занятия нашего кружка.








Занятие №16


Тема: Про квадрат.

Цели:

  • возбуждать математическую любознательность и инициативу.


Ход занятия


  • Рассказ учителя.


Про квадрат.


Главной заслугой квадрата стало использование его как удобной единицей площади. Действительно, квадратами очень удобно мостить плоские участки, а скажем, кругами такого не сделаешь без дыр и наложений. Часто математики вместо слов «нахождение площади» говорят «квадрирование»; так, задача о нахождении площади круга называется задачей о квадратуре круга.

Квадрат – главное действующее лицо в теореме Пифагора. Он стал олицетворением второй степени: квадратный корень (позже вы узнаете о нём), квадратное уравнение…

О различных применениях квадрата в математике можно рассказывать очень долго.

Разделить квадрат на более мелкие квадратики одинаковой площади очень просто: достаточно провести сетку равностоящих прямых, параллельным сторонам квадрата. Количество полученных квадратиков будет квадратом, да, да! Именно поэтому произведение двух одинаковых чисел назвали квадратом.

Но математики – народ дотошный, для всякого утверждения они рассматривают противоположные мнения, которых может быть несколько. Так вот, возник вопрос: а можно ли разрезать квадрат на несколько квадратиков, среди которых нет одинаковых?

Этот вопрос долго оставался нерешённым. Многие выдающиеся математики считали, что такое разбиение невозможно. Но в 1939 году было построено разбиение квадрата на 55 различных квадратов. В 1940 году были найдены два способа разбиения квадрата на 28 различных квадратов, затем на 26 квадратов, а в 1948 году было получено разбиение на 21 квадрат и было доказано, что разбиение на меньшее число различных квадратов найти уже нельзя.

Начертите в тетради квадрат и прямоугольник. Сравните их м6ежду собой. В чём сходство этих двух фигур?

В чём их различие? Можно ли квадрат назвать прямоугольником?

Почему?

Можно ли всякий прямоугольник назвать квадратом?


«Родственники» (полезная сказка)

Жила на свете важная фигура. Важность её признавалась всеми людьми, так как при изготовлении многих вещей форма её служила образцом. А имела фигура такой вид.

Кого бы ни встретила на своём пути, всем хвасталась: «Посмотрите, какой у меня красивый вид: стороны все мои равны, углы прямые. Если перегнусь я по средней вертикальной линии, то противоположные стороны мои так и сольются, и углы один на другой точь-в-точь наложатся. Коли перегнусь я по средней горизонтальной линии, опять углы мои и противоположные стороны сравняются.

Захочу перегнуться по любой линии, идущей с угла на угол, тогда и соседние стороны сольются. Красивее меня нет фигуры на свете!»

«Как же зовут тебя, брат?» - спрашивали встречные.

А зовут меня просто… (Назовите эту фигуру)

Ходил Квадрат по свету… И стало тяготить его одиночество: ни побеседовать задушевно не с кем, ни потрудиться в хорошей дружной компании не приходится. А уж какое веселье одному! Весело бывает только вместе с друзьями (Мы это знаем!). И решил Квадрат поискать родственников.

«Если встречу родственников, то я их сразу узнаю», - думал Квадрат, - «ведь они на меня должны быть чем-то похожи».

Однажды встречает он на пути фигуру. Стал Квадрат к ней приглядываться. Что-то знакомое, родное увидел он в этой фигуре.

И спросил он тогда:

«Как зовут тебя, приятель?»

Называют меня… (Как называется вторая фигура?)

«А мы не родственники с тобой?» - продолжал спрашивать Квадрат.

«Я бы тоже был рад узнать об этом. Если у нас найдутся четыре признака, по которым мы похожи, то, значит, мы с тобой родственники, и у нас тогда имеется общее название», - ответил Прямоугольник.

Стали они искать и нашли эти четыре признака сходства. (Какие четыре признака сходства имеют квадрат и прямоугольник, ребята? Какое общее название они имеют?)

Обрадовались фигуры тому, что нашли друг друга.

Стали они теперь вдвоём жить-поживать, вместе трудиться, вместе веселиться и по белу свету шагать.

Отдыхают они однажды на опушке леса и видят: выходит из-за кустарника какая-то новая фигура и направляется прямо к ним.

Поздоровалась вежливо фигура с Квадратом и Прямоугольником и с облегчением говорит:

«Долго я искала представителей нашего старинного рода. Наконец-то нашла, разыскала своих родственников».

«А как же тебя зовут?» - с удивлением спросили новую фигуру.

«Зовут меня… (Как называют эту фигуру, дети?)

«А как ты докажешь, что мы родственники?» - вновь последовал вопрос.

«Очень просто. Мы все имеем два общих признака.»

И эти два признака сходства были названы. (Назовите два признака, по которым все эти фигуры имеют сходство).

Так встретились и стали жить три родственные фигуры, которые назывались теперь одним словом - … (Каким одним словом называют эти фигуры?).


  • Практическая работа.


Сколько квадратов изображено на этом чертеже?







А сколько прямоугольников?

Какие ещё фигуры есть на этом чертеже?

Решение: На чертеже имеется 14 квадратов и 21 прямоугольник. Дети могут также указать шестиугольники, восьмиугольники и т.д.


Чем они отличаются?

Посмотрите внимательно на эти фигуры и ответьте на вопрос: какие два признака имеются у прямоугольника и отсутствуют у четырёхугольника, по которым они отличаются друг от друга?










По какому признаку квадрат отличается от прямоугольника?

Решение: У прямоугольника все углы прямые, когда как у четырёхугольника могут быть ещё и острые, у прямоугольника две противоположные стороны равны по длине, а у четырёхугольника не всегда.

У квадрата все стороны равны по длине.

«Чудесный» квадрат.

В клетках квадрата написаны числа от 1 до 16 вразбивку. Один из твоих товарищей задумывает одно из написанных чисел. Ты, ударяя указкой, показываешь числа, а твой товарищ, молча прибавляет к задуманному числу при первом ударе указкой одну единицу, при показе второго к полученной сумме прибавляет ещё одну единицу, и так до тех пор, пока не досчитает до 20. Тогда он говорит: «Стоп!». В этот момент указка остановится на задуманном числе.

Решение: Отгадывающий первые три числа показывает наугад. Четвёртое число он должен показать 16, пятое – 15, шестое – 14 и т.д., пока не услышит команды «Стоп!».


Три брата.

Три брата – Ваня, Саша и Коля – учились в разных классах одной школы. Ваня не был старше Коли, а Саша – не старше Вани. Назови имя самого старшего из братьев, среднего и младшего.

Решение:





В К С

Коля – старший, Ваня – средний, Саша – младший.


  • Итог занятия


Что было интересно вам?


  • Домашнее задание.


Посмотрите в словаре значение слова «логика».



















Занятие №17


Тема: Логика.

Цели:

  • учить логически мыслить;

  • возбуждать математическую любознательность и инициативу.


Ход занятия


  • Беседа по теме: «Логика».


Логика ведёт своё происхождение от ораторского искусства. Убедить собеседника невозможно, если оратор сам себе противоречит (уж если ты сказал, что снег белый, не следует ссылаться на его черноту…). В Древней Греции, где важнейшие вопросы решались на советах, всякий уважающий себя философ, политический деятель или литератор старался строить свою речь так, чтобы она была доходчива и разумна. В античном мире чрезвычайно ценилось умение высказываться точно, кратко и остроумно. Недаром, зачастую не имея никаких данных о выдающихся древних мудрецов, мы, тем не менее, знаем о них хотя бы по одному афоризму, некогда произнесённому ими. Как жил Евклид, чем интересовался, кроме геометрии? Неизвестно; зато все знают, как он ответил ученику, спросившему: «Какая польза будет мне от изучения математики?» Разгневанный Евклид позвал слугу и сказал: «Дай ему грош, он ищет выгоды, а не знаний!»

Любовь к точной фразе привела древнегреческих философов к логике. Что из чего следует и почему? Можно ли, например, утверждать, что Сократ смертен, если дано, что все люди смертны и Сократ – человек? Можно. А если дано, что все люди смертны и Сократ тоже смертен, верно ли, что Сократ – человек? Неверно: вдруг Сократом зовут не только греческого мудреца, но и, скажем, его собаку?

Законы логики, правила вывода верных утверждений из заданных посылок наиболее полно исследовал великий древнегреческий философ Аристотель (кстати, он был учителем Александра Македонского).

Исследование всевозможных логических цепочек привело к обнаружению знаменитых парадоксов. Вот парадокс лжеца: «Я – лжец» - говорит некто и… впадает в неразрешимое противоречие! Ведь если он действительно лжец, он солгал, говоря, что он лжец, и, следовательно, он не лжец; но если он не лжец, он сказал правду и, следовательно, он лжец… А вот не менее известный парадокс брадобрея. Брадобрей бреет тех и только тех, кто не бреется сам; бреет ли он сам себя? Если он бреется сам, то он не может себя брить, ибо бреет только тех, кто не бреется сам; если он не бреется сам, он должен брить и себя, ибо бреет всех тех, кто не бреется сам…

Пристрастия к логическим упражнениям, игре ума оказало мощное влияние на математику. Лишь в мире, где была развита наука об истинности и ложности высказываний, о правильности выводов, о том, что из чего может следовать и что из чего не может, могло появиться доказательство. В сущности, чем отличаются две такие цепочки фраз:

  • Ночью все кошки серы. Мой зверь – кот. Значит, ночью он серый.

  • Треугольник с равными сторонами правильный. У этого треугольника все стороны равны. Значит, он – правильный.

Да ничем! Если первая и вторая фразы верны, верен и вывод. Именно так и была построена геометрия Евклида: несколько фраз объявлены верными; если же они верны, то истинны и все выводы, правильно построенные (по законам логики) на основе этих нескольких фраз…

На чём основана логика?

Как строил свою речь в Древней Греции уважающий себя оратор?

Как ответил разгневанный Евклид ученику, спросившему: «Какая польза мне будет от изучения математики?»

Что привело древнегреческих философов к логике?

Кто исследовал наиболее полно законы логики, правила вывода верных утверждений из заданных посылок?

Объясните (как вы поняли) парадокс брадобрея.

На что оказало влияние пристрастие к логическим упражнениям, игре ума? На чём была построена геометрия Евклида?


  • Решение логических задач.


А вот вам и логическая задача. Попробуйте её решить с помощью логических выводов.


Которая дверь ведёт к подруге?

Приглашая к себе Таню, подруга сказала:

«Ты легко найдёшь нашу квартиру. Когда войдёшь в наш дом, то увидишь коридор, а в нём – три одинаковые двери, ведущие в квартиры Кольцовых, Огурцовых и нашу. Наша дверь не самая левая, но левее двери Огурцовых.»

Вечером Таня пришла в дом, где жила её подруга. В коридоре она остановилась перед тремя дверьми и задумалась:

«Которая же дверь ведёт к подруге? А к Кольцовым? К Огурцовым? Не ошибиться бы!»

Помогите ей, ребята!

Решение:



К н О


Какие они отметки получили?

Когда Аня, Женя и Нина спросили, какие им поставлены отметки за контрольную работу по математике, то учительница ответила:

«Попробуйте догадаться сами, если я скажу, что в вашем классе плохих отметок нет, а у вас троих отметки разные, причём у Ани – не «3», у Нины – не «3» и не «5». Какую отметку получила каждая из этих учениц?

Решение:


32 учащихся школы ездили на автобусе на экскурсию. Ане достался первый автобусный билет, номер которого 189990. Есть ли ещё среди учащихся те, в номере которого сумма трёх первых цифр тоже равна сумме трёх последних цифр?

Решение: Да, среди учащихся найдётся ещё один человек, которому достанется такой билет.

Следующий билет, в номере которого сумма трёх первых цифр равна сумме трёх последних цифр, под номером 190019, 190019 – 189990=29. Тридцатый учащийся станет обладателем этого билета.


  • Итог занятия.


Что интересного вы узнали?


  • Домашнее задание.


Принесите на следующее занятие логические задачи.


















Занятие №18


Тема: Русские счёты.

Цели:

  • воспитывать гибкость математического мышления;

  • учить сознательно мыслить.


Ход занятия


  • Рассказ учителя «Русские счёты».


Есть много полезных вещей, которые раньше нам служили, но вышли из употребления, и мы о них не вспоминаем. А ведь прежде войдёт первоклассник в класс, и первое, что он видит, - счёты. Они были атрибутом каждого урока математики. А сейчас, в век компьютеров и калькуляторов, мы о них совсем забыли. А ведь это русский народный счётный прибор, представляющий собою видоизменение знаменитого «абака», или «счётной доски» наших отдалённых предков.

Между тем, Запад почти не знает счётов, и только в начальных школах имеются огромные счёты – наглядное классное пособие при обучении нумерации.

Мы вправе гордиться нашими конторскими счётами, так как при изумительной простоте устройства они по достигаемым на них результатам могут соперничать в некоторых отношениях даже со счётными машинами. В умелых руках этот нехитрый прибор делает просто настоящие чудеса. Один специалист, работавший до революции в крупной русской фирме по продаже счётных аппаратов, рассказывал, что ему не раз приходилось изумлять русскими счётами иностранцев, привозивших образцы сложных счётных механизмов.

Он устраивал состязания между двумя счётчиками, из которых один работал на дорогой заграничной машине, другой же пользовался обыкновенными счётами. И случалось, что последний - правда, большой мастер своего дела – брал верх над обладателем заморской диковинки в быстроте и точности вычислений. Бывало и так, что иностранец, поражённый быстротой работы на счётах, сразу же сдавался и укладывал свою машину в чемодан, не надеясь продать в России ни одного экземпляра.

Правда, на русских счётах нельзя производить всех действий, которые выполнялись в то время машинами. Но во многом – например, в сложении и вычитании, - счёты могут соперничать со сложными приборами. Впрочем, в искусных руках умножение и деление также значительно ускоряются на счётах, если знать приёмы выполнения этих действий.

Что представляют собой конторские счёты?

Для чего нужны были счёты в каждом классе начальной школы?

Для чего устраивали соревнования на счётных машинах и конторских счётах?

Какие математические действия производили на счётах?

Почему мы сейчас не пользуемся этим изумительным по своей простоте устройством – конторскими счётами?


  • Решение задач.


Как гусь с аистом задачу решали.

Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» А передний старый гусь ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот если б нас было ещё столько, да ещё полстолька, да ещё четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь… Вот и рассчитай-ка, сколько нас?»

Решение: Полетел одинокий гусь и задумался. В самом деле, сколько же товарищей-гусей он встретил? Думал он, думал и с какой бы стороны ни принимался, никак не мог он этой задачи решить. Вот увидел на берегу пруда аиста: ходит длинноногий и лягушек ищет.

Аист – птица важная и пользуется среди других птиц славой математика: по целым часам иногда стоит неподвижно на одной ноге и всё думает, видно, задачи решает. Обрадовался гусь, слетел в пруд, подплыл к аисту и рассказал ему, как он стаю товарищей-гусей встретил и какую ему гусь-вожак загадку загадал, а он никак этой задачи решить не может.

«Гм!...», - откашлялся аист, - «попробуем решить. Только будь внимателен и старайся понять. Слышишь?»

«Слушаюсь и постараюсь!» - ответил гусь.

«Ну вот. Как тебе сказали? Если бы к встречным гусям прибавить ещё столько, да тебя, гуся, то было бы сто? Так?»

«Так!» - ответил гусь.

«Теперь смотри», - сказал аист. – «Вот что я тебе начерчу здесь на прибрежном песке».

Аист согнул шею и клювом провёл черту, рядом такую же черту, потом половину такой же черты, затем четверть черты, да ещё маленькую чёрточку, почти точку. Получилось вот что:

-------------- ------------- -------- ---- -.

Гусь подплыл к самому берегу, вышел, переваливаясь, на песок, смотрел, но ничего не понимал.

«Понимаешь?» - спросил аист.

«Нет ещё!» - уныло ответил гусь.

«ЭХ, ты! Ну, вот смотри: как тебе сказали, стая, да ещё стая, да половина стаи, да четверть стаи, да ты, гусь, - так я и нарисовал: черту, да ещё черту, да полчерты, да четверть этой черты, да ещё маленькую черточку, т.е. тебя. Понял?»

«Понял!» - весело проговорил гусь.

«Если к встреченной тобой стае прибавить ещё стаю, да полстаи, да четверть стаи, да тебя, гуся, то сколько получится?»

«Сто гусей!»

«А без тебя сколько, значит, будет?»

«Девяносто девять.»

«Хорошо! Откинем на нашем чертеже чёрточку, изображающую тебя, гуся, и обозначим, что останется 99 гусей.»

Аист носом изобразил на песке:

-------------- ------------- -------- ---- .

«Теперь сообрази-ка,» - продолжал аист, - «четверть стаи да полстаи – сколько это будет четвертей?»

Гусь задумался, посмотрел на линии на песке и сказал:

«Линия, изображающая полстаи, вдвое больше, чем линия четверти стаи, т.е. в половине заключается две четверти. Значит, половина да четверть стаи – это всё равно, что три четверти стаи!»

«Молодец!» - похвалил гуся аист. – «Ну, а в целой стае сколько четвертей?»

«Конечно, четыре!» - ответил гусь.

«Так! Но мы имеем здесь стаю, да ещё стаю, да полстаи, да четверть стаи, и это составит 99 гусей. Значит, если перевести всё на четверти, то всего четвертей сколько будет?»

Гусь подумал и ответил:

«Стая – это всё равно что четверти стаи, да ещё стая – ещё четверти стаи, всего 8 четвертей; да в половине стаи две четверти: всего 10 четвертей; да ещё четверть стаи: всего 11 четвертей стаи, и это составит 99 гусей.»

«ТАК!» - сказал аист. – «Теперь скажи, что же ты, в конце концов, получил?»

«Я получил,» - «ответил гусь, - «что в одиннадцати четвертях встреченной мною стаи заключается 99 гусей»

«А значит, в одной четверти стаи сколько гусей?»

Гусь поделил 99 на 11 и ответил: «В четверти стаи – 9 гусей.»

«Ну, а в целой стае сколько?»

«В целой заключается четыре четверти… Я встретил 36 гусей» - радостно воскликнул гусь.

«Вот то-то и оно!» - важно промолвил аист. – «Сам, небось, не мог дойти!... Эх, ты…гусь!»

Вот так, дети, надо последовательно рассуждать, как этот важный аист. Он рассуждал логически!

Ну, а сейчас решите задачу, каких вы немало решаете на уроках математики. Только эта будет немного потруднее.


На квадратном огороде, длина всех сторон которого 80м, посадили собаку на цепь длиной 9м70см и прикрепили цепь к столбу, торчащему в самом центре огорода. Длина собаки от ошейника до передних зубов – 30см. Остались ли на огороде места, безопасные для воров?

Решение: 1) 80:4=20 (см) – сторона квадрата;

2) 9м70см + 30см = 10 (м) – расстояние, на которое собака может дотянуться;

3) покажем на чертеже и увидим, что диаметр окружности равен 20м, радиус 20:2=10(м).

Собака может бегать по окружности, радиус которой – длина собаки с ошейником и цепью, поэтому безопасные места для воров – углы.


  • Итог занятия.


Что полезного вы узнали? Что можете рассказать на уроке в виде дополнительного материала?







































Занятие №19


Тема: Отголоски старины.

Цели:

  • возбуждать математическую любознательность и инициативу;

  • развивать процесс математического мышления.


Ход занятия


  • Вступительная беседа «Отголоски старины».


С отдалёнными предками наших конторских счёт связаны некоторые пережитки старины в языке и обычаях. Мало кто подозревает, например, что собственно мы делаем, завязывая иногда «для памяти» узелок на носовом платке или пишем на ладошке (смыв знаки, долго гадаем, что мы хотели не забыть!) Мы повторяем то, что делали некогда с большим смыслом наши предки, «записывая» таким образом итог счёта на шнурках. Ряд ремней или верёвок с завязанными на них узлами представлял некогда счётный прибор, в принципе аналогичный нашим счётам. Это – перуанский «верёвочный абак», так называемый «квипос». Однократно завязанный узел на верёвке означал 10, двукратно – 100, троекратно – 1000 и т.д.

С абаком же связаны и такие распространённые теперь слова, как «банк» и «чек». «Банк» по-немецки означает «скамья». Что же общего между финансовым учреждением – «банком» в современном смысле слова – и скамьёй? Оказывается, здесь далеко не простое совпадение названий. Абак в форме скамьи был широко распространён в торговых кругах Германии в ХV-XVI веках; каждая меняльная лавка или банковская контора прежде всего характеризовалась присутствием «счётной скамьи» - естественно, что скамья стала синонимом банка.

Более косвенное отношение к абаку имеет слово «чек». Оно английского происхождения и производится от глагола «чекер» - графить; «чекердом» (графлёной) называли разграфлённую в форме абака кожаную салфетку, которую в ХVI-XVII веках английские коммерсанты носили с собой в свёрнутом виде и, в случае надобности произвести расчёт, развёртывали на столе.

Бланки для расчётов графились по образцу этих свёртывающихся абаков, и неудивительно, что на них перенесено было в сокращённом виде самое название этих счётных приборов: от слова «чекер» произошло слово «чек».

Любопытно, откуда произошло выражение «остаться на бобах», которое мы применяем теперь к человеку, проигравшему все свои деньги. Оно также относится к тому времени, когда денежные расчёты производились на абаке, на счётном столе или на скамье с помощью бобов, заменявших косточки наших счётов. «Один считает на камешках, другой – на бобах», - читаем у Кампанеллы в «Государстве солнца» (1602). Человек, проигравший свои деньги, оставался с одними бобами, выражавшими сумму его проигрыша, - отсюда и соответствующий оборот речи.

Чтобы что-либо запомнить, что вы делаете? А как раньше делали?

Что такое «верёвочный абак»?

Что такое «счётная скамья»?

Откуда произошли слова «банк», «чек»?

Как поступали английские коммерсанты, когда им надо было произвести какие-либо расчёты?

Откуда произошло выражение «остаться на бобах»?


  • Решение задач.


Число 365

Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7, оно даёт в остатке 1: эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря.

Другая особенность числа 365 не связана с календарём:

365=10х10+11х11+12х12, т.е. 365 равно сумме квадратов трёх последовательных чисел, начиная с 10:

102+112+122 =100+121+144=365

Но и это не всё: тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел, 13 и 14: 132+142=169+196=365


В столовую привезли карпа, сазана, судака, леща. Карпа было 46кг, а судака в 3 раза больше, чем леща. Когда половину всей рыбы израсходовали, осталось ещё 90кг. Сколько килограммов судака привезли в столовую?

Решение: 1) 46+30=76(кг) – карпа и сазана;

2)90х2=180(кг) – всего было рыбы;

3) 180-76=104(кг) – судака и леща;

4) 1+3=4(части) – всего судака и леща;

5) 104:4=26(кг) – леща;

6) 26х3 =78(кг) –судака.


Загадки. Число 100.


Был ребёнок – не знал пелёнок,

Стал стариком – сто пелёнок на нём. (капуста)


В красном домике сто братьев живут,

Все друг на друга похожи. (арбуз)


Ростом мал и пузат.

А заговорит –

Сто крикливых ребят

Сразу заглушит. (барабан)


  • Итог занятия.


Что было интересного? О чём вы никогда не слышали?


  • Домашнее задание.


Подберите интересные загадки на следующее занятие.





































Занятие №20


Тема: Задача о колпаках (один из простейших вариантов логической задачи).

Цели:

  • учить детей доказывать, отстаивать свою точку зрения;

  • развивать процесс математического мышления.


Ход занятия


  • Задача о колпаках.


Три дамы едут в поезде через тоннель. Паровоз дымит, и на лицах дам оказываются пятна сажи. Поезд выбирается из туннеля, в купе снова становится светло, и леди начинают весело смеяться, глядя друг на друга. Потом одна задумывается: «Неужели миссис Джонс не понимает, что над ней смеются? О боже, они обе смеются надо мной!»

Эта маленькая история – один из простейших вариантов логической задачи, известной, как задача о колпаках. Она возникла задолго до появления паровозов. Есть несколько колпаков разных цветов. В темноте их надевают на головы нескольких человек, затем зажигают свет. Каждый «околпаченный» может видеть колпаки своих товарищей, но не может видеть тот, что надет на него самого. Требуется догадаться, какого цвета колпак на вашей собственной голове.

Если колпаков ровно столько, сколько испытуемых, тут и думать нечего. Но, если, скажем, участников эксперимента трое, а колпаков пять (например, два синих и три красных)? Зажигают свет, и вы видите на одном из товарищей красный колпак, а на другом – синий. Если бы на вас был синий колпак, тот, что сидит в красном колпаке, видел бы оба синих и сразу бы сказал, что на нём красный колпак, но он молчит. Значит, он не видит двух синих колпаков, следовательно, на вас – красный.

А теперь представьте, что на обоих ваших товарищах красные колпаки! Они мучительно думают и ничего не могут сказать. Но мы только что выяснили, что если на одном из вас синий колпак, вывод можно сделать почти сразу. Смело говорите, что на вас красный колпак, инач6е один из ваших товарищей уже догадался бы, что у него на голове.

Эта задача изучена вдоль и поперёк. Если вы подумаете немного, вы поймёте, как решить задачу, если людей в колпаках больше, синих колпаков на один меньше, чем участников эксперимента, а красных – сколько угодно. Единственный случай, когда никто не может сделать никаких выводов – если и синих, и красных колпаков не меньше, чем «околпаченных»…

В чём же состоит логика решения этой задачи?

Попробуйте «разыграть» её с друзьями с разного цвета колпаками (т.е. разным количеством синих и красных колпаков).


  • Решение других задач.


В четырёхзначном числе вторая цифра 0. Если записать цифры в обратном порядке, то получится другое четырёхзначное число, которое в 9 раз больше первого числа. Найдите первое число.

Решение: Это число 1089. Дети могут рассуждать так: данное число в 9 раз меньше некоторого четырёхзначного числа. Следовательно, первая цифра – 1, отсюда последняя цифра – 9. Подбором можно убедиться, что предпоследняя цифра – 8.


На какое однозначное число, не равное 0, надо умножить 142857, чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами?

Решение: 142857х7=999999.


  • Рассказ учителя «Магия чисел».


Хотите узнать о «двойке»?! Слушайте!

Как утверждали древние греки, число это – символ любви, непостоянства и равновесия. Число 2 – это мягкость и тактичность, стремление сгладить острые углы. Оно находится между светом и мраком, добром и злом, теплом и холодом, богатством и нищетой.

Ну-ка Иры, Саши, Лиды, Васи, Коли! Слушайте внимательно!

Как число имени, «два» символизирует изменчивый характер и даже какое-то внутреннее беспокойство. Не волнуйтесь по мелочам и всяким незначительным поводам, избегайте споров и ссор. Наибольший успех принесёт совместная работа с друзьями.

Вот и решите вместе с друзьями задачу.


  • Практическая работа.


Сумма сторон квадрата и сумма сторон прямоугольника равна 48см. Равны ли их площади?

Решение: 1) 48:4=12(см) – сторона квадрата;

2)12х12=144(см2) – площадь квадрата;

3) 48:2=24(см) сумма двух сторон прямоугольника;

4) берём подбором наибольшую длину и ширину прямоугольника: 24=10+14, 24=11+13, тогда S1=10х14=140(см2), S2=11х13=143(см2);

5) площади не равны, так как 144см2> 143cм2.


С одной и той же буквы.

В классе 34 ученика. Докажи, что в этом классе найдутся, по крайней мере, два ученика, у которых фамилии начинаются с одной и той же буквы.

Решение: в русском алфавите 33 буквы, и есть среди них такие, которые никогда не бывают в качестве начальных букв фамилий. Так как учеников в классе больше, чем букв даже во всём алфавите, то в нём обязательно встретятся несколько фамилий, начинающихся с одной и той же буквы.


  • Итог занятия.


Что нового вы узнали? Что было интересного?










































Занятие №21


Тема: Три девятки.

Цели:

  • развивать инициативу и любознательность;

  • учить решать арифметические задачи разных видов.


Ход занятия


  • Игра «Трёхзначное число 999»


Оно, без сомнения, гораздо удивительнее, чем его перевёрнутое изображение – 666 – знаменитое «звериное число» Апокалипсиса, вселявшее нелепый страх во многих суеверных людей, но по арифметическим свойствам ничем не выделяющееся среди прочих чисел.

Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа. Тогда получается шестизначное произведение: первые три цифры его есть умножаемое число, только уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) – «дополнения» первых до 9.

Например: 573х999= 572427

Стоит лишь взглянуть на следующую строку, чтобы понять происхождение этой особенности:

573х999=573х(1000-1)=573000-573=572427

Зная эту особенность, мы можем «мгновенно» умножать любое трёхзначное число на 999:

947х999=946053

509х999=508491

981ъ999=980019 и т.д.

А так как 999=9х111=3х3х3х37, то вы можете, опять-таки с молниеносной быстротой, писать целые колонны шестизначных чисел, кратных 37; незнакомый со свойствами числа 999, конечно, сделать этого не в состоянии. Короче говоря, вы можете устраивать перед непосвященными маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления».


  • Решение задач


На запасном пути стоят один за другим 7 пассажирских и 20 товарных вагонов общей длиной 217м. Пассажирский вагон на 4м длиннее товарного. Определи длину того и другого вагона. Найди два способа решения.

Решение: 1 способ

  • 20+7=27(в.) – всего в составе;

  • 7х4=28(м) – длиннее все пассажирские вагоны, чем товарные;

  • 217-28=189(м) – длина всего состава, если бы все вагоны были товарными;

  • 189:27=7(м) – длина товарного вагона;

  • 7+4=11(м) – длина пассажирского вагона.


2 способ

  • 20+7=27(в.) – всего в составе;

  • 20х4=80(м) – длиннее все пассажирские вагоны, чем товарные;

  • 217+80=297(м) – длина всего состава, если бы все вагоны были пассажирские;

  • 297:27=11(м) – длина пассажирского вагона;

  • 11-4=7(м) – длина товарного вагона.


Из книги выпало несколько листов. Первая страница выпавших листов имеет номер 213, а номер последней страницы изображается теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько листов выпало из книги?

Решение: Номер следующей страницы – 313. Следовательно, число страниц выпавшей части: 313-213=100. Выпавшая часть составляет 100:2=50 листов.


Разделить поровну.

5 пряников между 6 девочками, не разрезая ни одного пряника на 6 равных частей.

Решение: Если мы из 5 равных пряников 3 разрежем пополам, то получим 6 равных кусков, каждый из которых и отдадим девочкам. Затем 2 оставшихся пряника разрежем на 3 равных части и получим опять 6 равных кусков, которые и отдадим девочкам. Таким образом, задача решена, причём ни одного пряника не пришлось разрезать на 6 частей.


К числу 37 припишите слева и справа одну и ту же цифру, такую, чтобы полученное четырёхзначное число разделилось на 6.

Решение: надо приписать цифру 4.


  • Итог занятия.


Вам трудно было справиться с задачами?


  • Домашнее задание.


Устройте же в классе маленькие сеансы «мгновенного умножения и деления» с числом 999.








Занятие №22


Тема: Магия числа 3.

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • воспитывать гибкость математического мышления.


Ход занятия


  • Беседа «Магия числа».


В далёкие времена люди с большим трудом научились считать сначала до двух и только через много-много лет начали продвигаться в счёте. Каждый раз за «двойкой» начиналось что-то неизвестное, загадочное. Когда считали «один, два, много», то после двух было «всё». Поэтому число 3, которое при счёте должно было идти за числом 2, обозначало «всё».

Долгое время число 3 для многих народов было пределом счёта, совершенством, символом полноты, счастливым числом. Число 3 стало самым излюбленным числом и в мифах, и в сказках. Помните сказки о трёх поросятах, о трёх медведях, о трёх богатырях, о трёх братьях, которые три раза пытались достичь какой-то цели?

Стало традицией писать произведения в трёх частях (трилогии), картины (триптихи).

У древних греков это число считалось счастливым, а в Древнем Вавилоне поклонялись трём главным божествам: Солнцу, Луне и Венере.

Число 3 считалось в древности магическим, потому что оно, складывалось из суммы предыдущих чисел (3=2+1), символизировалось треугольником, который представляет прошлое, настоящее и будущее.

Ну, а что означает тройка как число имени? /Это талант, разносторонность, весёлость, указание на науку, мир искусства, на спорт, на всё, что служит отдушиной человеку. Так что, Кати, Вити, Алёши, Димы и Феди, если вы учтёте это при выборе профессии, то обязательно придёте к успеху и славе.

Действительно, почему же в названиях произведений мы так часто встречаем число три?

Каким трём божествам поклонялись в Древнем Вавилоне?

Что символизировал треугольник?

Что означает тройка как число имени?


  • Практическая работа.


Четыре треугольника

Из шести спичек составьте четыре равносторонних треугольника.

Решение: можно смело поручиться, что мало кому сразу придёт в голову решение это простой задачи. Дело в том, что в данном случае приходится строить из спичек не плоскую фигуру, а фигуру в пространстве.

Положите на стол три спички так, чтобы они составили треугольник. Затем поставьте остальные спички так, чтобы они нижними своими концами упирались в углы лежащего на столе треугольника, а верхними концами соединялись вместе над его серединою, - и вы выполните то, что требуется в задаче.












Во время цветения гречихи пчела вылетает из улья со скоростью 4м/сек. И возвращается обратно через 7 мин. со скоростью 2м/сек. На каком расстоянии от улья расположено поле, с которого пчела берёт мёд? Учесть, что на сбор мёда с поля во время одного полёта пчела затрачивает 1мин.

Решение: Время полёта составляет 7-1=6 (мин.). Если бы пчела летела со скоростью 4м/сек. (т.е. без мёда), то за это время она пролетела бы расстояние между ульем и полем и ещё два таких расстояния (так как скорость пчелы без мёда вдвое больше её скорости с мёдом) – всего три таких расстояния. Следовательно, одно такое расстояние пчела пролетит за 6:3=2(мин.)=120сек. Расстояние между ульем и полем составляет 4х120=480(м).


А ты бы смог?

Во время большой перемены Настя умножала трёхзначное число на двузначное. Как только она решила пример, отошла от доски, в это время подошёл дежурный и стёр с доски часть цифр, записанных Настей.

Настя возмутилась, она хотела сверить правильность решения, но Миша её успокоил: « Ничего нет проще – я восстановлю стёртые цифры.»

А вы бы смогли это сделать?

6*7

х 57

*3*9

****

***39

Решение: если в первом неполном произведении справа стоит цифра 9, то, очевидно, что она получилась при умножении 7 на 7. Значит, во множимом на месте единиц должна стоять цифра 7. Цифру же десятков множимого пока указать не можем. Теперь легко указать левую цифру первого неполного произведения, так как 6х7=42. В записи получается 43, значит, одна сотня добавилась в результате умножения на число 7 десятков множимого.

Итак, имеем: 6*7

х 57

43*9

****

***39

Теперь мы легко находим крайнюю правую цифру второго неполного произведения. Это цифра 5, так как 7х5=35. Только от сложения числа 5 с числом 8 может получиться в самой нижней строчке примера на месте десятков цифра 3. Значит, цифра десятков в первом неполном произведении есть 8. Теперь имеем следующую запись: 6*7

х 57

4389

***5

***39

Далее устанавливаем, что цифра 8 в первом неполном произведении могла получиться только так: 7х7-49, 9 пишем, 4 запоминаем; 2х7=14, прибавим 4 десятка, которые запоминали, получим число 18.

Следовательно, цифра десятков во множимом есть 2. Теперь, зная множимое и множитель, легко записать все цифры.

Окончательный вид примера таков: 627

х 57

4389

3135

35739


  • Итог занятия


Так смогли бы вы, ребята, помочь Насте восстановить стёртые цифры? Попробуйте! А интересно вам было сегодня на занятии? Что особенно интересного вы узнали?














Занятие №23


Тема: Число Шахерезады.

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • уметь доказывать, отстаивать свою точку зрения.


Ход занятия


  • Игра «Число Шахерезады»


Заинтересовало такое название, правда? 1001 – прославленное число Шахерезады. Помните сказки «1000 и 1 ночь»? Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается так же своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он был способен интересоваться арифметическими диковинками.

Чем же замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых «простых» чисел. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 – на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но не в том диковинка, что число 1001=7х11х13, - здесь ещё нет ничего волшебного. Замечательнее то, что при умножении на него трёхзначного числа получается результат, состоящий из самого умноженного числа, только написанного дважды, например: 873х1001=873873, 207х1001=207207 и т.д.

И хотя этого и следовало ожидать, так как 873х1001= 873х100+873=873000+873, всё же, пользуясь указанным свойством «числа Шахерезады», можно достичь результатов совсем неожиданных, кажущихся волшебными, по крайней мере, человеку неподготовленному.

Сейчас поясним, в чём дело.

Кружок товарищей, непосвященных в арифметические тайны, вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, по секрету от вас трёхзначное число, какое хочет, и затем пусть припишет к нему ещё раз то же самое число. Получается шестизначное число, состоящее из трёх повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить, по секрету от вас, это число на 7; при этом вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат передаётся новому соседу, который, по вашему предложению, делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы всё же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы направляете следующему соседу, которого просите разделить это число на 13. Деление снова выполняется без остатка, о чём вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами: «Вот число, которое вы задумали!»

Так и есть, вы угадали.

Какова разгадка фокуса?

Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвящённых впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трёхзначному числу его само – значит умножить на 1001, т.е. на произведение 7х11х13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу это же число, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13; а в результате деления последовательно на эти три числа (т.е. на их произведение – 1001) оно должно, конечно, снова дать задуманное число.

Выполнение фокуса можно при желании видоизменить так, чтобы иметь возможность объявить загадчику число, которое получается у него в итоге выкладок. Вы знаете, что шестизначное число, над которым начинают проделывать вычисления, равно произведению: (задуманное число) умножить на 7, умножить на 11, умножить на 13.

Поэтому если вы попросите разделить шестизначное число сначала на 7, потом на 11, потом на задуманное, то с уверенностью можете объявить конечный итог всех делений – 13. (Как просто, правда?)

Повторяя фокус, вы попросите производить деление в ином порядке: сначала на 11, потом на задуманное число и на 13. Последнее деление должно дать в частном 7. Или сначала на 13, потом на задуманное число и на 7; конечный результат – 11. (Прослывёте волшебником!)


  • Решение задач.


На лугу близ рощи паслись в жаркую погоду две одинаковые по своим достоинствам лошади с совершенно одинаковым аппетитом. Отличались они друг от друга только тем, что у одной из них хвост был вдвое короче, чем у другой. Какая из лошадей съела больше травы, если они начали и закончили есть одновременно?

Решение: лошадь с длинным хвостом съела больше травы, так как имела большую возможность отгонять мух и оводов, мешающих лошади утолять голод.


Какая величина «лишняя» в каждой строчке?

а) 7м5см, 750см, 75дм, 7м50см

б) 2741км, 3047дм, 7408ц, 1800м

в) 1000см, 10000см, 100дм, 1м

Решение: а) 7м5см, б) 7408ц, в) 1000см


  • Итог занятия


Вам было интересно?

  • Домашнее задание


Покажите фокус своим родителям, поиграйте с ними, с друзьями. А подобную задачу «о лошади» вы и сами можете придумать.












































Занятие №24


Тема: Крестики-нолики.

Цели:

  • развивать у детей процесс математического мышления;

  • учить мыслить последовательно, доказательно.


Ход занятия


  • Разъяснение правил игры «Крестики-нолики».


Каждый из нас играл в эту простую, но увлекательную игру: «крестики-нолики». Особенно те, кто сидит на задней парте, и им совсем неинтересно, о чём говорит учитель! В чём же заключается суть этой игры?

На маленьком поле – 3х3 – двое игроков по очереди ставят свои значки, один – крестики, другой – нолики. Тот, кто первым построит ряд из трёх значков по горизонтали, вертикали или диагонали, выиграл.

Эта игра быстро надоедает, поскольку вскоре игроки начинают понимать, как свести парию вничью. Но идея хороша, и существует множество вариаций на тему «крестиков-ноликов», куда более интересных. Даже на доске 3х3 игру можно усложнить. Например, разрешив каждому из игроков ставить любой значок, крестик или нолик. Правда, в такой игре побеждает (т.е. собирает ряд из трёх каких-нибудь одинаковых значков) тот, кто ходит первым. Как только игроки найдут выигрышную стратегию, игра теряет свою прелесть. Можно играть в своеобразную помесь «крестиков-ноликов» и шашек: каждый из игроков по очереди выставляет три своих значка на поле, а затем разрешается каждым ходом передвигать их на одну клетку по вертикали или горизонтали, безразлично, в какую сторону. Цель та же - построить три знака в ряд. К сожалению, и тут есть выигрышная стратегия для того, кто делает первый ход. Существуют варианты «крестиков-ноликов» и их помеси с шашками для досок 4х 4, 5х5, 6х6… Для досок размерами более, чем 9х9, доказано, что при правильной игре «нолики» всегда могут свести партию вничью.

Но самые интересные – «крестики-нолики» на бесконечном поле. Разумеется, поле – это обычный тетрадный листок в клетку, но его вполне хватает. Здесь нужно выстроить в ряд (по вертикали, горизонтали или диагонали) пять своих значков. Правда, и в этой игре «крестики», ходящие первыми, имеют преимущество, но оно не так очевидно, как в играх на маленьком поле.

Эта игра появилась задолго до появления клетчатой бумаги. Она чрезвычайно популярна в Японии, где вместо «крестиков» и «ноликов» на поле 15х15 выставляют чёрные и белые шашки; японское название этой игры – рэндзю – стало теперь международным, ибо во всём мире появились её поклонники. Поскольку трудно было смириться с преимуществом, которое даёт «чёрным» первый ход, появились несколько вариантов ограничений, уравнивающих шансы игроков (например, в одном из них «чёрные» имеют право делать свой второй ход лишь за пределы квадрата 2х2 вокруг центра доски). После игры она становится не менее увлекательной, чем шашки.

А вы играете в игру «крестики-нолики»? Она развивает мыслительную деятельность, заставляет игрока «пошевелить мозгами». Недаром японцы, народ очень даже сообразительный, играют и усложняют эту игру.

А когда игра теряет свою прелесть?

На каком поле самые интересные «крестики-нолики»?

А что это за игра – рэндзю?


  • Решение задач.


2кг гречневой крупы нужно развесить по 200г. имеются весы, гиря весом 500г и молоток весом 900г. Как развесить крупу с помощью гири, весов и молотка?

Решение: 1) 900-500=4009(г) – разница между массой молотка и массой гири;

2) разделим эту массу на два пакета поровну и уравновесим на

чашках весов, получим два пакета по 200г;

3)продолжим дальше: 2000-400=600(г) – развешивание до 8 раз.


Найти число, при делении которого на 12 получается в частном 265, а в остатке 11.

Решение: 265х12+11=3191


Какого разряда нет в разности чисел 384 и 104?

Решение: 384-104=280 - нет единиц.


Может ли сумма трёх чисел быть равной двух из них? Докажи.

Решение: да, если одно из слагаемых – 0.


Для очень умных детишек

В первой клетке сидят 4 цыплёнка и 2 кролика, а во второй – 5 цыплят. Где больше ног и на сколько?

Решение: У цыплят по 2 ноги, у кроликов 4 ноги. В первой клетке 16 ног, а во второй – 10. 16-10=6.


  • Итог занятия.


Вы справились с очень «хитрой» задачей. Что интересного было на уроке?


  • Домашнее задание.


Сами придумайте подобные задачи, дайте решить их своим друзьям.



Занятие №25


Тема: Шифр.

Цели:

  • развивать творчество и инициативу детей;

  • развивать процесс математического мышления.


Ход занятия


  • Рассказ учителя


Шифр


Приходилось ли вам шифровать свои записки, письма? Нет? А ведь это нужное и очень интересное занятие.

Представьте себе, что в руки противника попадает план проведения военной операции. Ясно, что в таком случае нечего рассчитывать на успех, он заранее обречён на неудачу. Поэтому такие сообщения шифруются, т.е. записываются специальным способом, который известен адресату, но неизвестен другим. Шифры бывают разными. Попробуйте, например, расшифровать следующее стихотворение:

Мяжя Дяма Хлёнгё бряцэ

Юлёмыря ф лэщгю нацыг.

Дыжэ Дямэцгя мэ бряцъ,

Мэ юдёмэд ф лэщгэ нац.

Это стихотворение легко расшифровать, если просто прочесть его вслух: «Наша Таня громко плачет, уронила в речку мячик…» и так далее. Здесь поменяли звонкие согласные на глухие и наоборот, а гласные поменяли на созвучные им: а на я, о на ё, и на ы, е на э, у на ю, твёрдый знак заменяет мягкий, а р поменялось с л.

Конечно, такой шифр никто использовать не будет, поскольку его разгадка не составляет труда. А вот почти такой же шифр использовался русскими дипломатами в ХV-XVI веках. Он назывался «тарабарской грамотой». То же самое стихотворение Агнии Барто на «тарабарской грамоте» будет выглядеть так:

Рава Капя чморто нсагек,

Умописа ш мегту рягит.

Киве Капегта не нсагь,

Пе укопек ш мегте ряг.

А шифр этот совсем не прост: все гласные буквы остались без изменения, а согласные заменились по следующему правилу:

б в г д ж з к л м н

щ ш ч ц х ф т с р п

Заметьте, что в верхней строчке буквы идут в алфавитном порядке, а в нижней – в обратном.

Конечно же, часто для шифровки использовали цифры. Например, можно заменить букву её номером в алфавите и к каждому такому числу ещё добавить некоторое (одно и тоже) число, чтобы усложнить шифр. Можно не прибавлять числа, убрать пропуски между буквами, и для расшифровки текста понадобиться значительное время.

Попробуйте найти, какое слово стоит за следующей записью: 222122111121.

Разгадыванием шифров с давних времён занимались математики. Методы нахождения секрета шифра прекрасно описаны в рассказе Эдгара По «Золотой жук».Известно, что французский король Генрих III привлекал к расшифровке его противников знаменитого Франсуа Виета, создателя алгебры, а в Англии Оливер Кромвель привлекал к дешифровке сообщений монархистов одного из лучших математиков того времени профессора Оксфордского университета Валлиса. Валлис считается основоположником науки о шифровании и дешифровке – криптографии.

Наиболее надёжным считается метод, использующий книги. Автор письма и адресат имеют у себя одинаковые книги. В начале письма указывается номер страницы этой книги, а затем буквы в тексте заменяются номерами таких букв на этой странице. В этом случае одна и та же буква может заменяться разными цифрами. Это очень важно, поскольку в противном случае можно догадаться о буквенном значении числа по частоте появления этого числа в тексте. Наибольшую частоту имеет буква о, далее идут в порядке убывания частоты буквы е, а, и, т, н, с…Наиболее редко встречается буква ф.

В последние десятилетия продолжали совершенствоваться шифры и методы их распознавания. Конечно же, можно придумать такой сложный шифр, что противник должен будет затратить огромные усилия для его распознавания, но следует иметь в виду, что расшифровка сообщения на месте его получения не должна занимать много времени, иначе сообщение просто устареет к моменту его дешифровки.

Если вы сами ещё не нашли, какое слово зашифровано числом 222122111121, то сообщаем, что это слово – фуфайка.

Для чего, для каких целей существуют шифры? И когда они появились?

Как они тогда назывались?

В каких произведениях авторы описывают шифровки?

Кого привлёк для шифровки Оливер Кромвель?

Как называется наука о шифровании?

Какой метод считается самым надёжным?


  • Практическая работа.


Расшифруй!

В этой строчке каждая буква заменена своим номером в русском алфавите. Какая фраза здесь зашифрована:

20 6 18 17 6 15 30 6 10 20 18 21 5 3 19 7 17 6 18 6 20 18 21 20?

Решение: Чтобы решить задачу, нужно понять, что означают слова «номер буквы в русском алфавите». Можно попросить детей назвать первую букву руського алфавита, тридцять третью букву. Можно спросить, какой по счёту будет буква г? После этого нужно представить такую запись:

А б в г д е ё ж з и й к л м н о п

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

А тепер надо написать данный набор цифр и аккуратно подписать под числами соответствующие буквы:

20 6 18 17 6 15 30 6 10 20 18 21 5 3 19 7 17 6 18 6 20 18 21 20

Т е р п е н ь е и т р у д в с ё п е р е т р у т.


В коробке синие, красные и зелёные ёлочные шары – всего 20 штук. Синих шаров в 6 раз больше, чем зелёных. Красных шаров меньше, чем синих. Сколько красных шаров в коробке?

Решение: Если в коробке 1 зелёный шар, то синих – 6 шаров. Тогда красных шаров: 20-(1+6)=13. Получается, что красных шаров больше, чем синих. Этот случай не соответствует условию задачи.

Если в коробке 2 зелёных шара, то синих – 2х6=12(ш.). Тогда красных шаров: 20-(2+12)=6. 6<12 – соответствует условию задачи.

Рассматривая случаи, когда 3, 4… зелёных шаров, соответственно получим 18, 24…синих шаров. Общее количество шаров в коробке превышает 20.


Как с помощью сосудов ёмкостью 5л и 7л налить из водопроводного крана 2л воды?

Решение: наполнить 7-литровый сосуд и из него наполнить 5-литровый сосуд; тогда в 7-литровом сосуде останется ровно 2л.


  • Итог занятия.


Что нового вы узнали?














Занятие №26


Тема: История вычислительной техники.

Цели:

  • развивать математическую любознательность и инициативу;

  • развивать умение рассуждать.


Ход занятия


  • Вступительная беседа


История вычислительной техники.


В некоторых языках слово «цифра» происходит, как ни странно, от слова «палец».

А ведь и счёт начинался от сгибания пальцев. Пальцы и стали первой «вычислительной машиной».По мере развития счёта развивалась и техника вычислений; на пальцах, оказалось, можно складывать, вычитать и даже умножать довольно большие числа.

Простейший пример: вы забыли таблицу умножения на 9, а вам нужно быстро сообразить, сколько будет 9х6. Нет ничего проще!

Помните: мы кладём две руки и…вспомнили? Получился правильный ответ: 54.Но можно перемножить и другие числа, правда, это сложнее.

Теперь уже эти методы никто не вспоминает, но в середине века пальцевой счёт был широко распространён. А знаменитый Фиббоначчи в ХIII веке рекомендовал всем осваивать счёт на пальцах!

Великий переворот в вычислительной технике произошёл с изобретением абака. Даже если вы не слышали этого слова, вы встречали, и не раз, русскую разновидность этого прибора – счёты. В разных странах абак выглядел по разному (доска с линиями, вдоль которых выкладывали камушки; доска с желобками; доска с прутиками, на которых нанизывались костяшки; различные таблицы), но суть его устройства была одна и та же – ряды предметов, отвечающие за разные разряды числа. Интересно, что все эти «счётные машины», кроме наших счёт, были пятеричными (по пять косточек в ряду). Вычисления на абаке производились в позиционной системе счисления, даже если использовавший его народ не знал позиционной формы записи чисел. Можно спросить, появился ли везде абак раньше позиционной системы счисления, но весьма вероятно, что именно такой прибор натолкнул древних вычислителей на мысль о знаке для нуля.

Вычисления с развитием торговли, банковского дела становилось всё более трудоёмким, и мысль поручить счёт машине оставалась всё более привлекательной. В ХVII веке появились первые счётные машины. Они умели складывать и вычитать. Механизм этот был прародителем арифмометров. Настоящий арифмометр – тот, который умел не только складывать и вычитать, но делить и умножать. Его сконструировал знаменитый математик и философ Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Особняком стоит среди машин докомпьютерной эры логарифмическая линейка. Её придумал в 20-х годах ХVII века английский математик Вильям Оутред. Кстати, это именно он придумал знак умножения – «х».

Линейка просуществовала несколько веков, и лишь недавно её вытеснил калькулятор. Наконец, в первой половине ХIX века англичанин Чарльз Бэббидж разработал конструкцию машины, по многим причинам достойной называться первым компьютером. Но эта машина так никогда и не была построена, и лишь через сто лет появились первые возможности для создания настоящих компьютеров… Но это уже совсем другая история.

В 1915 году берлинская фирма «Аскания» построила вычислительную машину для расчёта времени приливов и отливов на северном побережье Германии. Эта машина верой и правдой служила 60 лет – до 1975 года, когда уже вовсю трудились электронные вычислительные машины!

Какая часть нашего тела стала прародительницей первой «счётной машины»?

С изобретением чего произошёл великий переворот в вычислительной технике?

Назовите русскую разновидность абака.

Когда появились механические счётные машины?

Кто придумал логарифмическую линейку?

Когда же появился первый компьютер? И кто был его создателем?

Для какой цели фирма «Аскания» построила вычислительную машину?


  • Решение задач


Задачи, для которых не нужна вычислительная техника!

Из клетки взяли 3 цыплят и посадили в неё 3 кроликов. Как изменилось число ног в клетке?

Решение: увеличилось на 6. Каждый кролик взамен цыплёнка даёт лишние две ноги.


Сколько всего трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 при условии, что цифры не будут повторяться?

Решение: всего можно составить 6 трёхзначных чисел: 135, 153, 315, 351, 513, 531.


Лист согнули пополам. Полученній кусок бумаги ещё раз согнули пополам. Такое сгибание выполнили всего 6 раз. Распрямив лист бумаги, его разрезали по местам сгибов. Сколько всего получилось листочков?

Решение: 64 листочка. Проделайте это с листом бумаги.


3одинаковых арбуза надо разделить поровну между 4 детьми. Как это сделать, выполнив наименьшее число разрезов?

Решение: два арбуза разрезать пополам. Полученные половины раздать четырём детям. Далее остав шийся арбуз двумя разрезами разделить на 4 доли. Их тоже раздать. Всего понадобилось четыре разреза.


  • Рассказ учителя «Магия числа»


Знаете, чем замечательно число 6? Пифагор его ситал удивительным числом. Оно обладает замечательным свойством: получается в результате сложения или перемножения всех чисел, на которые делится. Шестёрка делится на 1, 2, 3. И если сложить или перемножить эти числа, то вновь оно получится: 6:1+2+3=1х2х3. Таким свойством не обладает ни одно другое число.

Хотите узнать, что означает 6 как число шимени?

Гали, Бори, Даши, Лизы, Игори, Юли, Тани! Слушайте и запоминайте. Как число шимени, 6 предвещает успіх в делах. Вас ожидает большая известность в обществе, благодаря вашим исключительно ценным научным и философским открытиям, но при условии, что слова будут совпадать с делами. Ведь общество ждёт от вас не слов, а дел. И ваши честные, добрые, благие поступки приведут вас к высокой цели.

Старайтесь не подвести дренюю науку и её предсказания.


  • Гимнастика для ума.


Установи (не вычисляя) порядок действий.

70000-(64000:128-3280:164х15)х70+192000:800

Решение: 7 1 4 2 3 5 8 6

70000-(64000:128-3280:164х15)х70+192000:800


  • Итог занятия.


Что понравилось вам на занятии? Что вы запомнили, и интересно ли вам было?















Занятие №27


Тема: Первый компьютер.

Цели:

  • воспитывать гибкость математического мышления;

  • развивать инициативу и сообразительность.


Ход занятия


  • Вступительная беседа (продолжение).


Первый компьютер


Вы не поверите, но первый компьютер мог бы быть изобретён ещё в конце ХIX столетия!

Чарльз Бэббидж начал работать над ним в 1834 году, в то время подобная машина могла быть только механической. Но точность изготовления деталей, которая необходима для этой машины, в середине ХIX века была непостижима. Кроме того, Бэббидж всё время совершенствовал своё изобретение и никак не мог остановиться.

Но первый компьютер всё же был – неосуществлённый «в железе», но продуманный до мельчайших деталей, тщательно вычерченный.Кроме полного комплекта чертежей, выполненных автором, нам осталось подробное словесное описание замечательной машины, составленное сотрудницей Бэббиджа Августой Адой Лавлейс, разработанная ею теория программирования и несколько первых в истории человечества программ, написанных для этой вычислительной машины.

Основные части первого компьютера были теми же, что и в каждой современной ЭВМ: устройство для ввода данных; запоминающее устройство, способное хранить исходные данные и промежуточные результаты (Бэббидж называл его «складом»); арифметическое устройство, выполнявшее все четыре действия арифметики («мельница»); устройство управления, руководившее перемещениями со «склада» на «мельницу» и работой «мельницы», обеспечивающее выполнение нужных действий в нужном порядке по заданной программе; устройство для вывода результата.

Загружалась программа при помощи комплекта карточек с пробитыми дырочками – перфокарт.

Я ещё больше вас удивлю: предок компьютера – ткацкий станок. Да-да – ткацкий станок! Его изобрёл Жозеф Мари Жаккар. Станки Жаккара сами, без участия человека, ткали сложные узоры, руководствуясь последовательностью перфокарт, где кодировались предписания – какую нить и как нужно переплести с нитями основы. Таким образом, знаменитое жаккардовое полотно делалось на первых в мире станках с программным управлением!

Современный компьютер ни внешне, ни внутренне не напоминает механического «динозавра» Бэббиджа. В нём нет ни колёс, ни шестерёнок. Но «архитектура» его та же – дисковод для ввода данных с дискеты, процессор для вычислений, программа для руководства, экран монитора и принтер – для вывода результата. А перфокарты лишь совсем недавно вышли из программистского обихода – с тех пор, как их вытеснили дискеты.

В каком году могла быть создана машина, подобная компьютеру?

В чём была причина, что она так и не появилась именно тогда?

Кто дал подробное словесное описание этой замечательной машины?

Кто разработал теорию программирования и несколько первых в мире программ?

Какие основные части были у первого компьютера? Что было общего у него с современным компьютером?

При помощи чего загружалась программа?

Назовите удивительного предка компьютера.

Кто был его изобретателем?

Какую роль здесь играли перфокарты?

Какова же «архитектура» нашего современного компьютера?

Что вытеснило перфокарты из программного обихода?


  • Практическая работа


Ты научился логически мыслить?

Проверь себя и своего друга. Какой значок был на шапочке Юли? У детей было три значка: два из них имели форму треугольника, а один – форму квадрата. Эти значки дети прикрепили к трём одинаковым шапочкам.

Когда Юля и Сёма закрыли глаза, то каждому из них на голову надели шапочку так, чтобы значок находился впереди. Третья шапочка была спрятана. После этого им предложили открыть глаза, каждому посмотреть на форму значка, находящегося на шапочке другого, и быстро установить форму значка на своей.

Сёма вскоре сообразил и сказал:

«На моей шапочке значок в форме треугольника».

«Правильно», - подтвердили окружавшие их ребята.

А теперь несколько вопросов к вам, ребята. Ответы на них вы должны объяснить.

  • Какой формы значок находился на шапочке Юли?

  • Как рассуждал Сёма, безошибочно указав форму значка на своей шапочке?

  • Как должна рассуждать Юля после ответа Сёмы, чтобы правильно указать форму своего значка?

Решение: 1) На шапочке Юли был значок квадратной формы.

2)Сёма рассуждал так: «Я вижу у Юли значок квадратной формы.

Он единственный. Остальные значки – треугольной формы.

Значит, на моей шапочке значок треугольной формы».

3)После ответа Сёмы Юля должна рассуждать так: «На моей

Шапочке значок либо квадратный, либо треугольной формы. Сёма

сразу и правильно узнал форму значка на своей шапочке после

того, как увидел значок у меня. Это возможно лишь тогда, когда на

моей шапочке значок квадратной формы. Если бы на моей шапочке

был значок треугольной формы, то он не смог бы сразу сказать, что

и у него значок треугольной формы, так как у него в этом случае мог

бы быть значок и квадратной формы».


Подумай!

В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидят дядя Фёдор, кот Матроскин, пёс Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и Фёдором, то Фёдор окажется крайним слева. Кто где сидит?

Решение: Слева направо сидят: Шарик, Фёдор, Матроскин, Печкин.


На складе находилось 7 полных бочонков масла, 7 – наполовину заполненных маслом и 7 пустых бочонков. Как распределить все бочонки между тремя магазинами так, чтобы каждый получил одинаковое количество масла и бочонков? Найди решение, при котором масло не нужно перекладывать из одного бочонка в другой.

Решение: Всего на складе 7 полных и 7 наполовину заполненных бочонков. Итого 10,5 бочонков с маслом. Значит, каждый магазин должен получить по 3,5 бочонка с маслом.

1-й магазин -

2-й магазин -

3-й магазин -

  • Итог занятия.


Какая из задач вам показалась трудной? А какая лёгкой? Почему?


  • Домашнее задание.


Найдите логическую задачу и попробуйте решить дома; если не под силу, попробуйте решить всей семьёй и принесите на следующее занятие, расскажите нам.









Занятие №28


Тема: Магия числа.

Цели:

  • развивать математическую любознательность и инициативу;

  • приучать детей самостоятельно мыслить.


Ход занятия


  • Рассказ учителя «Магия числа»


Особенно большим почётом в древности была окружена семёрка. Отголоски почитания этого числа дошли и до наших дней, когда мы употребляем в речи пословицы и поговорки типа: «Семь бед – один ответ», «На седьмом небе», «Семеро одного не ждут» и т.д.

Когда-то семёрка была предельным числом, что подтверждают пословицы: «Лук от семи недуг», «Семь раз отмерь, один раз отрежь», где семь употребляется в значении «всё».

Ещё в Древнем Вавилоне были известны семь планет, к которым причисляли тогда и Солнце, и Луну. Все непонятные явления природы приписывались богам, и постепенно представление о богах соединилось с семью планетами.

По ним стали считать и время. Так родилась семидневная неделя. Названия дней связаны с именами богов. Во многих языках эти названия остались до сих пор:

Вторник у французов – марди (день Марса).

Среда – люнди (день Луны).

Воскресенье у немцев – зонтаг (день Солнца).

Семь стало священным числом. Его считали магическим. Возможно, это объяснялось ещё и тем, что человек воспринимает окружающий мир (свет, звуки, запахи, вкус) через семь «отверстий» в голове (два глаза, два уха, две ноздри, рот).

Рим и Киев были построены на семи холмах. Согласно индийским преданиям, Будда сидел под фиговым деревом с семью плодами. Не случайно в радуге семь цветов и на свете семь чудес.

Нередко, приписывая числу 7 таинственную силу, знахари вручали больному семь разных лекарств, настоянных на семи травах, и советовали пить их семь дней.

Это волшебное число 7 широко использовалось в сказках, мифах древнего мира. У Атланта, подпиравшего плечами небесный свод, было семь дочерей – плеяд, которых Зевс превратил потом в созвездие. Одиссей семь лет был в плену у нимфы Калипсо. У вавилонян подземное царство окружено семью стенами. У мусульман небесный свод состоит из семи небес, и все, угодные Богу, попадают на седьмое небо блаженства. У индусов есть обычай дарить на счастье семь слоников. Великий пост у христиан длится семь недель. В Библии повествуется о семи светильниках, семи ангелах, о семи годах изобилия и семи – голода.

«Семиричность» мира проявлялась, как думали, и в семи возрастах человеческой жизни: 7х1=7 лет (младенчество), 7х2=14 лет (отрочество), 7х3=21 год (юношество), 7х4=28 (молодость), 7х5=35 лет (зрелость) и т.д.

Число 7 символизирует тайну, объединяет целостность 1 с идеальностью 6 и образует собственную симметрию, делающую его магическим числом.

Люди с числом имени 7 нередко становятся лидерами и учителями самого высокого класса. Но для этого они должны много и упорно трудиться.

Итак, Вани, Максимы, Люси, ваше будущее – в ваших руках!

Назовите пословицы и поговорки, где присутствует число 7.

С чем связывали число 7 в Древнем Вавилоне?

Где связывают число 7 с человеком?

Где использовали число 7 знахари?

В каких мифах древнего мира встречается число 7?

Проявлялась ли «семиричность» в возрастах человеческой жизни?

Как вы понимаете вот такие выражения, тоже связанные с «семиричностью»:

«Семи пядей во лбу» (Очень умный, мудрый, выдающийся, талантливый человек).

«Семь бед – один ответ» (Рискнём ещё раз, и если придётся отвечать, так за всё сразу, одновременно). Здесь говорится о решимости сделать ещё что-нибудь рискованное, опасное в добавление к уже сделанному.

«На седьмом небе» (Выражение, пришедшее к нам от греческого философа Аристотеля. Оно означает в настоящее время высшую степень радости, счастья).

«За семь вёрст киселя хлебать» (Далеко и попусту идти, ехать, тащиться).

«У семи нянек дитя без глазу» (Без глазу (устар.) – без присмотра, без надзора. Дело выполняется плохо, неудовлетворительно, когда за него отвечают сразу несколько человек).


  • Решение задач.


Не раскрывая портфеля.

В шкафу лежат 15 тетрадей разной разлиновки: в одну линейку, в две линейки и в клеточку. Тетрадей в одну линейку в 7 раз больше, чем тетрадей в две линейки. Не раскрывая шкафа, узнай сколько в нём лежит тетрадей разной разлиновки.

Решение: Допустим, что тетрадей в две линейки было 2. Тогда тетрадей в одну линейку было бы 14. И вместе тетрадей в одну и две линейки было бы 16. Но в шкафу всего 15 тетрадей. Значит, тетрадей в две линейки было не 2, а 1. Тогда тетрадей в одну линейку біло 7, а остальніе 7 тетрадей – в клетку.


Бюро прогнозов сообщило в 3ч. дня, что в ближайшую неделю сохранится безоблачная погода. Можно ли ожидать, что через 60ч. будет светить сонце? Докажи.

Решение: Через 60ч. будет ночь, следовательно, сонце светить не будет.


В основании великой пирамиды Хеопса лежит квадрат со стороной 233м. Чему равны периметр и площадь этого квадрата?

Решение: 233х4=932(м) – Р, 233х233=54289(м2) – S


Толя, Катя и Петя отправились на турбазу. К вечеру они вышли к реке, тихой и неглубокой. У берега был плот, выдерживающий груз менее 100кг. Масса Пети 80кг, Толи – 50кг, Кати – 40кг, рюкзака – 15кг.

Катя на противоположном берегу, прежде всего, должна набрать хворосту и приготовить место для костра, т.к. за один день они не дойдут до места назначения. Затем Толя должен почистить картошку и рыбу для ухи, Петя – поставить палатку для ночлега.

Для выполнения каждого из этих трёх дел требуется 20мин. Через реку можно переправиться за 10мин. Как менее, чем за час, всем троим переправиться через реку и выполнить все свои обязанности? Через час будет темно, и надо будет разжечь костёр.

Решение: Толя и Катя переправятся через реку (10мин.). Катя остаётся заниматься своим делом, а Толя отправляется обратно через реку (ещё 10мин.). На этом берегу он чистит картофель и рыбу для ухи.

Петя с рюкзаком перебирается на противоположный берег (10мин.). К этому времени Катя заканчивает своё дело и едет за Толей (10мин.). Петя занимается палаткой.

К моменту прибытия Кати Толя заканчивает свою работу – они переправляются к Пете (10мин.).

Всего понадобилось 50мин.


Восстановите утерянные цифры

1*75*97 63*

+ х

34*56* 87

37*50*4 **38

*727864 +

****

*****


  • Итог занятия


Что интересного было на этом занятии?


  • Домашнее задание.


Найдите пословицы, поговорки, где ярко выражена «семиричность». На эту тему поговорите с родителями, может, они что-нибудь знают о магическом числе 7?











































Занятие №29


Тема: Полосковый код.

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • учить мыслить последовательно, доказательно.


Ход занятия


  • Рассказ о полосковом коде.


Вы пришли в магазин, накупили великое множество товара. Подошли к кассе и видите, как быстро, водя по сканеру, кассир вам предъявил счёт за купленный вами товар. Вы удивлены, но, привыкая, мы не задумываемся, как всё это происходит. Давайте и в этом разберёмся, чтобы, как говорят, «не быть белыми воронами»!

Покупая газировку, конфеты, кофе, вы, разумеется, видели на упаковке наклейку с полосками и цифрами. Что бы это значило?

Полосковый код – это один из способов записи чисел, цифровая система, довольно неудобная для человеческого глаза, но чрезвычайно удобная для компьютера. Каждую тёмную полоску электронный глаз понимает как единицу, каждую белую – пустую – как ноль. Некоторые тёмные полосы шире; это значит, что подряд идут несколько единиц; широкая светлая полоса – несколько нулей подряд. Сколько именно – компьютеру ясно сразу; нам же не так-то просто даже понять, где именно начинается серия полос, соответствующая одной цифре. Попробуем всё же разобраться.

Начало и конец каждого полосатого ярлыка отмечены серией из трёх узких полос: чёрная – белая – чёрная (101). Это знаки для компьютера: «начался номер товара», «закончился номер товара». Середина кода обозначена серией из пяти полос: белая – чёрная – белая – чёрная – белая (01010). Левая и правая части кода записываются «зеркально» - там, где слева рисуется тёмная полоса, справа будет левая.

Левая часть кода Правая часть кода

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0001101

0011001

0010011

0111101

0110001

0101111

0111011

0110111

0001011

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1110010

1100110

1101100

1011100

1001110

1010000

1000100

1001000

1101000

Зачем? А дело в том, что всякое может случиться: допустим, кассирша в магазине, оборудованном суперсовременной техникой, не той стороной положила бутылку «пепси», и код прочитался задом наперёд. Чтобы не было путаницы и с вас не спросили цену, скажем, за коробку конфет, которой вы не брали, у компьютера должна быть возможность сразу обнаружить ошибку. Он и сделает это, увидев, что вместо «левых» цифр ему предъявляют «правые», прочтёт запись задом наперёд и правильно определит, с каким товаром имеет дело. Кодировка каждой цифры – семиполосная; присмотревшись к таблице, вы увидите, что «левый» код любой цифры содержит нечётное число единиц, т.е. тёмных полос, «правый» же, разумеется, наоборот – чётное число единиц. Так что перепутать лево и право для компьютера будет весьма затруднительно.

Кроме того, полосковый код содержит в себе ещё одну страховку от ошибки. Дело в том, что в любом таком коде утроенная сумма цифр, стоящих на чётных местах, сложенная с суммой цифр, занимающих нечётные места, непременно делится на 10. Если произошла ошибка, и какая-то цифра оказалась прочитанной неправильно, компьютер сразу заметит это. Лишь если сделано несколько ошибок, «компенсирующих» друг друга, эта проверка не выявит огреха; но такое событие чрезвычайно маловероятно.

Итак, огромное количество товаров – продукты, одежда, обувь, книги, лекарства и т. д. – оказались снабжёнными различными номерами, записанными в удобной для компьютера форме. В коде содержится, в частности, и информация о стране-изготовителе (например, первые две цифры кода 46 соответствуют России). В кассе достаточно показать полосатые ярлыки сканеру, и сумма покупок будет подсчитана молниеносно и без ошибок. В библиотеке компьютер сразу сообщит читателю, карточка которого помечена полосковым кодом, какие книги он брал, какие не вернул, и найдёт – по полоскам же – информацию о нужной вам книге…

Что такое полосковый код?

Что обозначает тёмная полоса? И как её понимает компьютер?

Что надо понимать, если есть широкая светлая полоска?

Что означает серия из трёх узких полос?

Как обозначена середина кода?

Как записываются левая и правая части кода? Зачем?

Какие цифры содержит «левый» код? А «правый»?

Расскажите, как же кассир узнаёт цену покупки?

А вы как считаете, удобно пользоваться полосковым кодом?


  • Решение задач.


Занимательная задача.

Рыболовы Валера и Коля ловили рыбу. Коля то и дело подсекал и выбрасывал на берег серебристых уклеек. У Валеры рыба клевала плохо.

В это время к ребятам подошла сестра Валеры и с обычной усмешкой спросила брата:

«Ну, как клёв, рыболов? Много ли с Колей рыбы наловили?»

И Валера с наигранной весёлостью ответил сестре:

«А ты угадай сама. У нас вместе на 15 рыбок больше, чем у меня, а у одного из нас на 12 рыбок меньше, чем у другого».

Но сестра быстро угадала, сколько рыбок у Валеры.

А вы сосчитали, сколько рыбок у Валеры и сколько у Коли?

Решение: Сумма больше одного из слагаемых на 15. Это означает, что второе слагаемое равно 15 (количество рыбок у Коли). А первое слагаемое: 15-12=3 (количество рыбок у Валеры).


Число груш в корзине – двузначное. Груши можно разделить поровну между 2, 3 или 5 детьми, но нельзя разделить поровну между 4 детьми. Сколько груш в корзине?

Решение: 30 делится и на 2, и на 3, и на 5, но не делится без остатка на 4.


В четырёхзначном числе вторая цифра – 0. Если записать цифры в обратном порядке, то получится другое четырёхзначное число, которое в 9 раз больше первого числа. Найти первое число.

Решение: Подбором:1089.


В феврале 2004 года 5 воскресений, а всего 29 дней. На какой день недели приходится 23 февраля 2004 года?

Решение: Если в феврале 29 дней и 5 воскресений, то первое воскресенье будет 1 февраля. Отсюда 23 февраля – понедельник.


Площадь прямоугольника 91см2. Одна из сторон – 13см. Чему равна сумма всех сторон прямоугольника?

Решение: 91:13=7(см) – другая сторона прямоугольника. Р =(7+13)х2= 40(см)


  • Итог занятия.


Что интересного было на занятии? Вам понятно, для чего ставят полосковый код?


  • Домашнее задание.


Расскажите родителям, друзьям.











Занятие №30


Тема: Знакомство с Архимедом. Задачи с многовариантными решениями.

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • учить мыслить последовательно, доказательно.


Ход занятия


  • Рассказ учителя «Архимед».


Архимед (около 287 – 212 до н.э.). Древнегреческий математик.

Город Сиракузы, расположенный на востоке Сицилии (в то время колония Греции), пал от римлян в 212 году до н.э. По этой дате потомки узнали о конце жизни великого Архимеда.

Архимед – уроженец Сиракуз. Его отец – Фидий, был математиком и астрономом и состоял в каком-то родстве с Гиероном, правителем Сиракуз. Желая, видимо, сделать сына своим преемником, Фидий дал сыну серьёзную математическую подготовку. Архимед с детства подружился с миром чисел и фигур.

Чтобы углубить свои знания по математике, Архимед совершает путешествие в Александрию, где были известные греческие учёные. Возвратившись в Сиракузы, Архимед посвятил себя математическим исследованиям, которые привели его также к открытиям в области механики и техники.

Он всецело отдавался размышлениям, поискам решения различных задач. Он мог забыть о пище и был готов рисовать математические чертежи везде: в пыли, на печке и даже на собственном намыленном теле, находясь в бане.

Однажды, когда Архимед находился в ванне, он вдруг сообразил, как найти величину выталкивающей силы, действующей на тело, погружённое в жидкость. Учёный выскочил из ванны и побежал по улице, чтобы всем сообщить о своей находке. И люди видели бегущего голого Архимеда, который кричал: «Эврика! Эврика!...», что означало в переводе с греческого: «Нашёл! Нашёл!».

Основные достижения Архимеда:

- машина для орошения полей;

- водоподъёмный механизм – архимедов винт;

- военные метательные машины;

- «О числе песчинок»;

- «Об измерении круга».

Каждая хозяйка, сама того не зная, часто пользуется «винтом Архимеда». Главную часть мясорубки – винт, который вертится внутри трубки и толкает мясо к ножам, - изобрёл Архимед две тысячи лет назад. Конечно, он придумал его не для мясорубки, а для насосов, которыми качали воду на поля.

Легенда о гибели Архимеда различными авторами передаётся по-разному. Так, историк Тцетцес сообщал, что подошедшему солдату Архимед, рисовавший чертёж на песке, строго сказал: «Отойди, не трогай моих чертежей». Рассерженный солдат его и убил. Византийский историк Зонарас утверждал, что будто Архимед этому солдату сказал: « Бей по голове, но не по чертежу!»


  • Решение задач.


Задачи с многовариантными решениями

  • В примерах на вычитание Незнайка перепутал знаки действия и числа, записав:

6х4+5=26; 42:7+3=21.

Запишите правильно примеры, используя те же числа (знаки действий можно использовать и другие).

Решение: 6х5-4=26; 42-7х3=21.

5х4+6=26; 42:3+7=21.


  • В битве с трёхглавым и трёххвостым Змеем Горынычем Иван Царевич одним ударом меча мог срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Если срубить одну голову – новая голова вырастает, если срубить один хвост – два новых вырастут, если срубить два хвоста – голова вырастет, если срубить две головы – ничего не вырастет. Посоветуйте Ивану Царевичу, как поступить, чтобы он мог срубить Змею все головы и хвосты.

Решение: 1-й удар: срубить 2 хвоста – станет 4 головы и один хвост.

2-й удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы и 2 хвоста.

3-й удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы и 3 хвоста.

4-й удар: срубить 1 хвост – станет 4 головы и 4 хвоста.

5-й удар: срубить 2 хвоста – станет 5 голов и 2 хвоста.

6-й удар: срубить 2 хвоста – станет 6 голов.

7, 8, 9-й удары: срубить по 2 головы.

Или: 1-й удар: срубить 2 головы – станет 1 голова и 3 хвоста.

2-й удар: срубить 1 хвост – станет 1 голова и 4 хвоста.

3-й удар: срубить 1 хвост – станет 1 голова и 5 хвостов.

4-й удар: срубить 1 хвост – станет 1 голова и 6 хвостов.

5, 6, 7-й удары: срубить по 2 хвоста, после чего станет 4 головы.

8, 9-й удары: срубить по 2 головы.


  • Используя каждый раз цифру 1 по 6 раз, знаки арифметических действий и, при необходимости, скобки, запишите выражения, значения которых равны числам от 1 до 10 включительно. Постарайтесь записать как можно больше выражений.

Решение: 1+1-1+(1-1)х1=1;

1х1+1-1+1-1=1;

1х1+1-1х1х1=1;

1х1+(1+1)-(1+1)=1;

1х1х1х1+1-1=1;

1х1х1х1х1х1=1;

11-11+1х1=1;

1+1+1-1-1-1=2;

1+1+1х1-1х1=2;

1+1+11-11=2;

1х1+1х1+1-1=2;

(1+1)х1+(1-1)х1=2;

(1+1)х1-1х1+1=2;

1х1х1+1+1-1=2;

1+1+1+(1-1)х1=3;

1+1+1+1х1-1=3;

(1+1)х1+1+1-1=3;

1х1+1х1+1х1=3;

(1+1+1)х1+1-1=3;

1+1+1+1+1-1=4;

(1+1)х1+(1х1)х1=4;

1х1+1х1+1+1=4;

(1+1)х(1+1)+1-1=4;

1+1+1+(1+1)х1=5;

1+(1+1+1+1)х1=5;

1+1+(1+1+1)х1=5;

(1+1+1)х(1+1)-1=5;

(1+1+1+1+1)х1=5;

1+1+1+1+1+1=6;

(1+1=1)х1(1+1)=6;

11-(1+1+1+1)=7;

11-(1+1)х(1+1)=7;

11-(1+1+1)х1=8;

11-(1+1+1):1=8;

(1+1+1)х(1+1+1)=9;

11-(1+1)х1х1=9;

11-1х1-1х1=9;

11х1-(1+1)х1=9;

11х1х1-(1+1)=9;

11-1+(1-1)х1=10;

11-1х1х1х1=10;

11+1-(1+1)х1=10;

11х1-1+1-1=10;

11х1х1-1х1=10;

11х1х1х1-1=10.



Занятие №31


Тема: Детство талантливой женщины-математика С.В.Ковалевской. Игра «Задумай число».

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • учить мыслить последовательно, доказательно.


Ход занятия


  • Рассказ учителя «Детство С.В.Ковалевской»


В прошлом веке жила выдающийся математик – Софья Васильевна Ковалевская. Академик С.В. Вавилов о ней сказал: «В истории человечества до Ковалевской не было женщины, равной ей по силе и своеобразию математического таланта».

Софья Васильевна родилась в Москве, а когда ей исполнилось 8 лет, семья переехала в Белоруссию. Уже тогда у неё проявлялся интерес к математике.

Обучаться математике Софья начала в восьмилетнем возрасте у домашнего учителя И.И.Малевича. Учитель сразу обнаружил у неё необыкновенные способности. Он был доволен её вниманием, прилежанием и восхищался изумительной лёгкостью, с которой она справлялась с задачами.

Особый интерес девочки к математике вызывало следующее. Однажды при ремонте дома не хватило обоев. И тогда решили детскую комнату оклеить простой бумагой. И вот на оклейку стен использовали листы из книги по высшей математике. Девочка заинтересовалась тем, что было изображено и написано на этих листах. Она стала часами простаивать около стен, пытаясь понять смысл чертежей, знаков, формул. И непонятные знаки стали отпечатываться в памяти девочки.

Отцу не понравилось увлечение дочери математикой. Он считал, что математика – не женское дело. Поэтому и занятия с учителем запретил. Однако страсть к математике у Софьи сохранилась. Она стала изучать математику самостоятельно, но украдкой.

Учитель Малевич, уезжая, подарил ей книгу по математике, с которой она не расставалась. Она потом писала: «Идя спать, я клала книгу под подушку и затем, когда все засыпают, я при тусклом свете лампады или ночника зачитывалась по целым ночам».

Через некоторое время отец был вынужден пригласить нового учителя к дочери, который стал знакомить Софью с высшей математикой. Тут-то и встретилась девочка вновь с теми знаками и формулами, которые у неё ранее отложились в памяти.

Получить высшее образование Софье Васильевне было невозможно, так как женщин в высшие школы в царской России принимать запрещалось. Поэтому в дальнейшем Софья Васильевна была вынуждена учиться и работать за границей. Она стала первой русской женщиной-математиком.


  • Решение задач.


  • Задача в стихах «Помощник»

7 тарелок им умыты,

8 чашек не забыты,

Ложек – дюжина одна.

Чистота кругом видна.

Вы готовы дать ответ,

Сколько всей посуды этой

Перемыл он – сын-проказник?

Дело было в мамин праздник.

Решение: 7+8+12=27(штук).


  • Как двумя отрезками разделить четырёхугольник на три части? На четыре части?

Решение:





  • Игра «Задумай число».


Задумайте число, умножьте его на 3, полученный результат разделите на задуманное число, прибавьте к полученному числу 7. У вас у всех получилось 10.



















Занятие №32


Тема: «Знакомство» с математиком Пифагором. Задачи с многовариантными решениями.

Цели:

  • учить детей рассуждать;

  • учить мыслить последовательно, доказательно.


Ход занятия


  • Рассказ учителя «Пифагор Самосский (около 580- 500 до н.э.)


Как хорошо, когда благоденствие человека основано на законах разума.

Пифагор


Для нас Пифагор – математик. Большинство людей знают теорему Пифагора и помнят её спустя многие годы после окончания школы. Для своих современников Пифагор был, прежде всего, религиозным пророком, воплощением высшей мудрости. О Пифагоре известно много легенд, одна из которых рассказывает о том, что у него было золотое бедро.

Родился он на острове Самосе, расположенном у самых берегов Малой Азии. Пифагор часто участвовал в атлетических соревнованиях. На Олимпийских играх он был увенчан лавровым венком за победу в кулачном бою. Титул Олимпийского чемпиона он завоёвывал четыре раза. Совсем юным покинул Пифагор родину. Сначала он приплыл к берегам Египта, прошёл его вдоль и поперёк. Внимательно прислушивался к жрецам. В Египте, рассказывают, он попал в плен к персидскому завоевателю, и его увезли в Вавилон.

Этот город привёл Пифагора в восторг: Вавилон не шёл в сравнение ни с одним городом Греции. Города в Греции состояли из небольших домиков, а в Вавилоне – широкие, прямые улицы, идущие перпендикулярно друг другу, трёх-четырёхэтажные дома. Там Пифагор познакомился с наукой – восточной математикой. Математика стала частью его учения, и важнейшей частью. Пифагор впервые разделил числа на чётные и нечётные, простые и составные.

После возвращения на родину Пифагор организует свою школу. Система обучения была сложной, многолетней. Желающие приобщиться к знанию должны были пройти испытательный срок от трёх до пяти лет. Всё это время ученики обязаны были хранить молчание и только слушать учителя, не задавая никаких вопросов. В это период проверялись их терпение, скромность. Пифагор учил медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому.

Многое сделал учёный в геометрии. Доказанная Пифагором знаменитая теорема носит его имя.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца.

Знаменитое его открытие – «Таблица умножения».


  • Игра «Таблицу знаю»


Все участники делятся на две команды. От каждой команды выходят по 9 человек, которые становятся в две параллельные шеренги, расположенные от 5 до 10м друг от друга. В каждой шеренге ученики рассчитываются по порядку и получают номер. Ведущий называет произведение из таблицы умножения. Из каждой команды должны выбежать ребята с этими номерами. Если ведущий назвал произведение, которое является результатом умножения двух пар чисел (36=6х6 и 36=9х4), то из каждой команды выбегают 3 человека.


  • Решение задач с многовариантным решением


Используя в каждом выражении 5 раз цифру 5, знаки арифметических действий и, при необходимости, скобки, записать выражения, значения которых равны числам от 1 до 12 включительно. Как бы вы выполнили это задание?

Решение: (5-5)х5+5:5=1;

(5+5):5+5-5=2;

(5+5+5-5):5=2;

(5+5):5+5=3;

5+5-5-5:5=4;

(5+5+5+5):5=4;

5+5+5-5-5=5;

(5х5х5):(5х5)=5;

5+5-5+5:5=6;

5+5:5+5:5=7;

(5+5+5):5+5=8;

(5х5-5):5+5=9;

55:5-5:5=10;

(5х5+5х5):5=10;

55:5+5-5=11;

(5-5)х5+5+5=10;

55:5+5:5=12.


Лесной царь отвёл для зверят под огороды участки прямоугольной формы, сумма длин каждого из которых равна 16м.Какой площади получил участок каждый из зверят, если все площади разные и длины сторон участков выражаются целыми числами? Какую форму имеет участок с наибольшей площадью?

Решение: Длины сторон участков могут быть: 1м и 7м, тогда площадь его равна 7м2; 2м и 6м, тогда площадь – 12м2; 3м и 5м, тогда площадь -15м2; 4м и 4м, тогда площадь – 16м2. Наибольшую площадь имеет квадратный участок.


Почтовый индекс каждого из районов сказочной страны Зазеркалья выражается четырёхзначным числом, в записи которого цифры не повторяются. Кроме того, сумма однозначных чисел, обозначенных двумя соседними цифрами, равна 15, а число, записанное крайней левой цифрой, в 3 раза меньше числа, записанного крайней правой. Определите все возможные различные индексы. Каково наибольшее возможное число районов?

Решение: 1963, 1693, 1873, 1783, 2876, 2786, 3876, 3689. Наибольшее возможное число районов 8.


Чтобы открыть ворота замка, Руслан должен набрать шифр, состоящий из десятизначных чисел, в записи каждого из которых крайняя левая цифра означает количество единиц в этом числе, вторая – количество двоек, третья – количество троек, а последняя цифра 5 – количество нулей. Помогите Руслану набрать шифр.

Решение: 2110300005, 2110030005, 2110003005, 2110000305, 2110000035.


























Занятие №33


Тема: Итоговое занятие.

Цели:

  • проверить знания, умения, навыки детей ;

  • совершенствовать умение работать в группах.


Ход занятия


  • Самостоятельная работа в группах.


Дети делятся на несколько групп (количество детей в группах зависит от количества участников). Дети сами выбирают «капитана» группы, название группы. Хорошо, если у каждой группы будет девиз. Каждая группа получает задание.


Карточка №1.

  • Какие способы счёта придумали наши предки?

Как считали индейцы племени майя в Америке?

Какие цифры называются арабскими?

В какой энциклопедии вы можете прочитать о числах?

Кто автор-составитель этого тома энциклопедии?

Чем примечательно число – ноль?

Что вы можете рассказать о старинной народной нумерации?

  • Составьте «магический» квадрат так, чтобы в каждом столбце и по диагонали суммы чисел были равны 15.

  • Дано выражение: 691+237.

Не производя сложения, написать два выражения таких, чтобы значение суммы каждого из них было больше значения суммы данного выражения; два таких, чтобы значения сумм были меньше значения суммы данного выражения.

  • Записать число 30 тремя «пятёрками» и знаками действий.

  • На полянке сидело 7 старых зайцев. К ним прибежали 3 молоденьких зайчика. Вдруг застрекотала сорока. Один заяц бросился в кусты. Сколько зайчат осталось на полянке?


Карточка №2.

  • Из чего составлены целые числа?

Какое число не считают простым, потому что оно раскладывается на два одинаковых множителя?

Кто придумал «решето»?

Что вы знаете о «финансовых пирамидах»?

Как и чем определяют площадь фигуры?

Кто написал самую замечательную работу, посвящённую вычислению объёма?

Что в русском языке означало слово «точка»?

Как сформулировал определение точки Евклид?

  • Начертите квадрат, проведите в нём линии, посчитайте фигуры, которые получились в результате деления.

  • Покажите, как можно с помощью пальцев очень легко запомнить умножение на 9.

  • Придумайте «магический» квадрат.

  • В клетке сидели кролики и 3 утки. Всего 15 голов. Сколько же у них было ног?

Придумайте свою задачу.


Карточка №3.

  • Кто был инициатором реформы календаря? Какие на то были причины?

Какая система календаря была предложена среднеазиатским математиком Омаром Хайямом?

А что предлагал русский астроном И.Медлер?

Какие «магические» цифры вы знаете?

На чём основана логика?

Как строил свою речь в Древней Греции уважающий себя оратор?

Как ответил разгневанный Евклид ученику, спросившему: «Какая польза мне будет от изучения математики»?

  • Чем замечательно число 365? Какой художник написал картину, где дети решают «трудную задачу» с числом 365?

  • В чём смысл задачи о колпаках?

  • На какое однозначное число, не равное 0, надо умножить 142857, чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами?

  • Помните задачу про лошадь с длинным хвостом и коротким? Составьте подобную задачу.


Карточка №4.

  • Как называется наука о шифровании?

Какой метод шифрования считается самым надёжным?

Назовите русскую разновидность абака.

Когда появился первый компьютер? И кто был его создателем?

Какие основные части были у первого компьютера?

Назовите удивительного предка компьютера.

Что такое полосковый код?

Что означает серия из трёх узких полос?

  • А что это за «звериное число»?

  • В чём особенность числа 999?

  • Чем замечательно число 1001? Как оно называется?

  • Из клетки взяли 6 уток и посадили 6 кроликов. Как изменилось число ног в клетке? Придумайте подобную задачу.


  • Ответы на вопросы.


Если дети какой-либо группы встретили затруднения, тогда учитель даёт ответить на этот вопрос учащемуся из другой группы. Но баллы снимаются и даются той группе ребят, из которой отвечал ученик.


  • Подсчёт баллов.


Победившая группа награждается, ей «присваивается» звание лучшего математика.











































Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 26.09.2016
Раздел Доп. образование
Подраздел Рабочие программы
Просмотров76
Номер материала ДБ-213648
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх