Программа спецкурса по математике в 11 классе "Уравнения с параметрами"

Рабочая образовательная программа спецкурса

 «Уравнения с параметрами»

11 класс

(среднее  общее образование)

на 2014-2015 учебный год

Составила: учитель математики

Андреева ЕЕ

с.Тыргетуй, 2014г.

Пояснительная записка

Спецкурс "Уравнения  с параметрами" предназначен для учащихся 11-х классов которым предстоит сдавать ЕГЭ  и проходить дополнительные испытания в ВУЗЫ.                            Данная программа  составлена на основе программы   СВ Посысоевой, учителя СОШ № 19 г.Волгограда,  из сборника программ  курсов по выбору по математике и информатике, издательство «Глобус», 2007год.                                                                                                                  Так как данная программа рассчитана на учащихся  выпускного класса в нее внесены дополнительные темы и увеличено количество часов

     Отсутствие в действующих программах по математике разделов « с параметрами», а другие темы содержат недостаточное количество часов на формирование прочных навыков учащихся при решения данных задач, приводит к тому, что задачи такого типа вызывают серьёзные затруднения у учащихся третьей ступени и на  экзаменах в СУЗы и ВУЗы. Кроме того задачи с параметрами способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков по многим разделам школьного курса математики. Данная программа предусматривает поэтапное формирование и отработку навыков решения уравнений с параметрами, начиная с простейших

Цель курса – помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение с параметрами.

Задачи курса:

1)      Познакомить учащихся с видами уравнений с параметрами.

2)      Развивать способности учащихся к исследованию параметра

3)      Научить ребят решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности;

4)      Активизировать познавательную деятельность школьников;

5)      Помочь в подготовке к успешной сдаче ЕГЭ по математике;

6)      Работать над формированием у учащихся навыков решения заданий повышенной сложности – уравнений, содержащих параметр;

7)      Обеспечить педагогические условия для развития личности школьника, его творческого потенциала;

8)      Формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.

Административной проверки усвоения материала курса «Уравнения с параметрами» не предполагается, соответствующие задачи не будут включаться в административные и контрольные работы. В технологии проведения занятий присутствует этап  самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный курс.  В свою очередь, учитель может провести обучающие самостоятельные работы, которые позволят оценить уровень подготовки учащегося.

 Для данного курса выбрана зачетная система оценивания

Формы проведения занятий

• объяснение,
• лекция,
• беседа,
• устные и письменные упражнения,
• выполнение тренировочных заданий,
• выполнение творческих заданий.

Формой итоговой отчетности учащихся является  защита реферата (по выбору учащихся).

Примерные темы рефератов:

1.Уравнения с параметром в заданиях ЕГЭ.

2.Решение квадратичных уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ.

3.Уравнения с параметром в заданиях ГИА.

4.Решение квадратичных уравнений в заданиях ГИА.

7.Из истории возникновения параметра.

Определение динамики интереса учащихся к данному курсу выясняется через:

• анкетирование учащихся,
• тренинг,
• собеседование в процессе работы.

В результате изучения данного курса обучающиеся должны:

иметь представление:

1. О линейных уравнениях  с параметрами;

2. О квадратных уравнениях  с параметрами:;

3. О показательных, логарифмических, рациональных уравнениях  с параметрами;

4. О тригонометрических уравнениях с параметрами;

5. О выражениях с модулями и параметрами.

знать:

1. Аналитические методы решения уравнений с параметрами;
2. Графические методы решения;

уметь:

1. Решать линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения  с параметрами;
2. Пользоваться аналитическими и графическими методами решения заданий с параметрами.

владеть:

1. Алгоритмами решения уравнений  с параметрами;
2. Полным параметрическим анализом многочленов;
3. Полным параметрическим анализом соотношений с модулем;
4. Методами условного параметрического анализа.
5.  

6.   Содержание курса

 Решение линейных уравнений с параметром Понятие параметра. Что значит решить уравнение с параметром? Примеры решения линейных уравнений с параметром.

 Решение систем уравнений с параметром. Формирование умений решать системы линейных уравнений, содержащих параметр. Решение систем уравнений с параметром, где одно из уравнений квадратное. Решение систем уравнений с параметром, где одно из уравнений показательное или логарифмическое.

Квадратный трехчлен. Квадратные уравнения. Понятие квадратного трехчлена. Общие сведения. Значение квадратного трехчлена при различных значениях переменной. Корни квадратного трехчлена. Составление квадратного трехчлена по его корням. Определение квадратного уравнения. Решение уравнений выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений по формуле.

 Теорема Виета. . Знаки корней квадратного уравнения. Формулировка теоремы Виета. Примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. Определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.

 Частные случаи нахождения корней квадратного уравнения. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра. Примеры применения свойств квадратного трехчлена. Теорема о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка.

Решение тригонометрических уравнений с параметром. При решении тригонометрических уравнений с параметром необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений с параметром сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.

Иррациональные уравнения с параметром. Решение иррациональных уравнений сводится к постепенному переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения. В этом случае возможно появление посторонних корней. Поэтому, решение должно сопровождаться тщательной проверкой. При решении иррациональных уравнений с параметром необходимо учитывать область допустимых значений уравнения.

 Показательные уравнения с параметром. Многие показательные уравнения с параметром сводятся к элементарным показательным уравнениям. Областью определения показательных уравнений служит общая часть областей определения функций, стоящих в показателях.

Логарифмические уравнения с параметром. Решение логарифмических уравнений с параметром сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнения такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции. Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции. Примеры вычисления наибольшего и наименьшего значений функции

 Параметр в заданиях единого государственного экзамена. Рассмотрение заданий ЕГЭ, включающих решение уравнений  с параметром за предыдущие годы.

Календарно-тематическое планирование учебного материала
(1 ч/н., всего 34 часа).

Тема	Кол-во часов
Вводное занятие – знакомство с параметром.  Входная диагностика.	1 час
Линейные уравнения  с параметрами: а) без ветвления; б) с легко угадываемым ветвлением; в) с ограничениями  их области определения.	3 часа
Системы линейных уравнений с параметром.	2 часа
Самостоятельная работа	1 час
Квадратные уравнения с параметрами: а) Исследование знаков корней квадратного трехчлена; б) теорема Виета; в) теоремы о расположении корней квадратного  трехчлена на координатной прямой.	3 часа
Задача о расположении корней квадратного трехчлена.	2 часа
Самостоятельная работа	1 час
Система квадратных уравнений  с параметром.	3 часа
Параметры в тригонометрических уравнениях.	2 часа
Параметры в показательных уравнениях	2 часа
Параметры в логарифмических уравнениях	2 часа
Параметры в иррациональных уравнениях	3 часа
Самостоятельная работа	1 час
Область значений функции. Экстремальные свойства функций. Монотонность, четность, периодичность.	2 часа
Графический способ решения уравнений с параметрами	2 часа
Параметр в заданиях единого государственного экзамена.	2 часа
Самостоятельная работа. Выходная диагностика.	1 час
Защита рефератов	1час
Итого	34часа

ВХОДНАЯ ДИАГНОСТИКА.

Цель:  Выявить уровень подготовки учащихся к изучению программы спецкурса.

1. При каких значениях коэффициента  уравнение имеет корень равный    – 5?

2. Решить уравнение, принимая за неизвестное . При каких значениях  уравнение имеет корни? .

3. При каких значениях  уравнение не имеет корней?

4. Укажите какое-либо значение , при котором система

        имеет единственное решение.

5. При каком значении  сумма квадратов корней уравнения равна 13?

                        ПРОМЕЖУТОЧНАЯ ДИАГНОСТИКА.

Цель:  Выявить уровень ЗУН учащихся по темам.

«Линейные уравнения, содержащие параметры»

1.  Для каждого значения параметра а решить уравнения

     а) ;                   б) ;                   в) .

2.  Найти все значения параметра, при которых уравнения имеют единственное решение.

     а) ;                   б) .

3.  Найти значения параметра а, при которых корни уравнения  удовлетворяют условию .

4.  Найти значения параметра а, при которых корни уравнения  меньше, чем а.

5.  При каком значении параметра а система  имеет единственное решение?

«Квадратные уравнения»

1.  Для каждого значения параметра решить уравнение:

     а) ;              б) ;    в) .

2.  При каких значениях а система уравнений  имеет единственное решение?

3.  При каких значениях параметра p оба корня уравнения  отрицательные?

4.  В уравнении  найти значение параметра а, при котором его корни удовлетворяют условию .

5.  При каких значениях параметра а уравнения  и  имеют общий корень?

6.  При каких значениях параметра а уравнение  имеет два решения?

 «Рациональные уравнения»

1.  Для каждого значения параметра решить уравнение:

     а) ;     б) .

2.      При каких значениях параметра а система уравнений  имеет единственное решение?

ВЫХОДНАЯ ДИАГНОСТИКА.

Цель:  определить уровень сформированности умений и навыков решения уравнении  с параметрами, предусмотренных программой спецкурса.

1. Решить уравнения для каждого значения    .

2. Для каждого значения  решите систему уравнений

3. Постройте график функции  и для каждого  найдите ее наибольшее и наименьшее значения на промежутке

4. Найдите все значения параметра , при которых уравнение  имеет ровно один корень.

Содержание курса

 Решение линейных уравнений с параметром Понятие параметра. Что значит решить уравнение с параметром? Примеры решения линейных уравнений с параметром.

 Решение систем уравнений с параметром. Формирование умений решать системы линейных уравнений, содержащих параметр. Решение систем уравнений с параметром, где одно из уравнений квадратное. Решение систем уравнений с параметром, где одно из уравнений показательное или логарифмическое.

Квадратный трехчлен. Квадратные уравнения. Понятие квадратного трехчлена. Общие сведения. Значение квадратного трехчлена при различных значениях переменной. Корни квадратного трехчлена. Составление квадратного трехчлена по его корням. Определение квадратного уравнения. Решение уравнений выделением квадрата двучлена. Решение квадратных уравнений по формуле.

 Теорема Виета. . Знаки корней квадратного уравнения. Формулировка теоремы Виета. Примеры применения теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета. Определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значений параметра.

 Частные случаи нахождения корней квадратного уравнения. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра. Примеры применения свойств квадратного трехчлена. Теорема о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного числового промежутка.

Решение тригонометрических уравнений с параметром. При решении тригонометрических уравнений с параметром необходимо учитывать ограниченность тригонометрических функций. Решение тригонометрических уравнений с параметром сводится к нахождению корней одного из простейших тригонометрических уравнений.

Иррациональные уравнения с параметром. Решение иррациональных уравнений сводится к постепенному переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения. В этом случае возможно появление посторонних корней. Поэтому, решение должно сопровождаться тщательной проверкой. При решении иррациональных уравнений с параметром необходимо учитывать область допустимых значений уравнения.

 Показательные уравнения с параметром. Многие показательные уравнения с параметром сводятся к элементарным показательным уравнениям. Областью определения показательных уравнений служит общая часть областей определения функций, стоящих в показателях.

Логарифмические уравнения с параметром. Решение логарифмических уравнений с параметром сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения. Важным моментом решения уравнения такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Наименьшее и наибольшее значения квадратичной функции. Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции. Примеры вычисления наибольшего и наименьшего значений функции

 Параметр в заданиях единого государственного экзамена. Рассмотрение заданий ЕГЭ, включающих решение уравнений  с параметром за предыдущие годы.

Литература

1.  Беляева Э. С., Потапов А. С., Титоренко С. А. Уравнения и неравенства второй степени с параметром и к ним сводимые: Пособие для учителей и учащихся. Воронеж, 2000 .

2. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г.Алгебра: Доп. главы к шк. учеб.8 кл.:Учеб.пособие для учащихся шк. И классов с углубл.изуч. математики/Под ред. Г. В. Дорофеева.- М.: Просвещение, 2007г..

3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 10 класса средней школы. М., Просвещение, 2008г. ..

4.Надежкина Н.В. Задачи с параметрами. Параметры в тригонометрии. Иркутск, 2001 г.

5.Г.П. Бояркина, Г.Я. Пащенко. Задачи с параметрами. Учебное пособие. Иркутск, 2001 г. Задачи с параметрами. Москва, 2005 г. В.В.Локоть.

6.Сборник задач по математике для подготовки к вступительным экзаменам, УГНТУ, Уфа 2006 г.

7. Журнал «Математика»   до 2011года

 8. Интернет ресурсы.