Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа спецкурса по математике " Задачи на параметры" (10 -11 классы)

Программа спецкурса по математике " Задачи на параметры" (10 -11 классы)



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:











Программа элективного курса по математике:

«ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ».

11 класс.

Состовитель: Айзатуллова Анися

Арифулловна учитель математики

первой квалификационной категории

МОУ « Средняя общеобразовательная

школа №24 с углубленным изучением

предметов»

города Набережные Челны

Республики Татарстан










Набережные Челны 2010

ояснительная записка

Данный курс «Задачи с параметрами» предназначен для учащихся старшей школы и позволяет организовать систематическое изучение вопросов, связанных с параметрами.

В процессе изучения данного элективного курса учащиеся познакомится с различными методами решения задач с параметрами. Элективный курс предусматривает не только овладение различными умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике данная тема изучается поверхностно и нет достаточных заданий . Практика итоговых экзаменов в школе и приемных экзаменов в высшие учебные заведения показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любое высшее учебное заведение. Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации в форме ЕГЭ. Освоив методы и приемы решения задач с параметрами, школьники успешно справятся с олимпиадными задачами.

Ценность задач данного элективного курса – демонстрация их общности с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики. Значительное место в курсе уделено практической направленности материала, его приложений, мотивации процесса познания.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы занятий: лекции, практикумы по решению задач, семинары. Основной формой учения должна стать исследовательская деятельность ученика, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы учащихся. Все занятия должны носить проблемный характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика. Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса. На реализацию курса отводится 34 часа. Формой итогового контроля зачетная работа или защита собственного проекта по теме курса.










Цель курса: развитие целостной математической составляющей картины мира через углубление и расширение знаний учащихся по теме «Задачи с параметрами»

Задачи курса:

- систематизация и углубление знаний по теме «Задачи с параметрами»;

- создание условий для формирования и развития практических умений

учащихся решать задачи с параметрами, используя различные методы и

приемы;

- развитие логического и творческого мышления;

- развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

- повышение математической культуры ученика.

В результате изучения курса учащиеся должны:

- знать основных алгоритмов решения задач с параметрами, различных

методов и приёмов решения задач;

- уметь работать с различными источниками информации; анализировать результаты, делать умозаключения; представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссии; решать различными методами задачи с параметрами; выбирать рациональный способ решения; графически представлять результаты.


























Учебно–тематический план





Наименование темы

Количество часов

Всего

Теория

Практика

Форма контроля

1

Введение

1

1

-


2

Линейные уравнения с параметрами

2

0,5

1,5


3

Линейные неравенства с параметрами

2

0,5

1

С.р.

0,5

4

Квадратные уравнения с параметрами

2

0,5

1,5


5

Уравнения, сводящиеся к квадратным с параметрами

2

0,5

1

С.р.

0,5


6

Квадратные неравенства с параметрами

3

1

2


7

Исследование корней квадратного трехчлена.

3

1

2


8

Графическое решение

уравнений и неравенств

3

1

1

П.р.

1

9

Тригонометрические уравнения с параметрами

2

0,5

1,5


10

Тригонометрические неравенства

2

0.5

1,5


11

Показательные уравнения с параметрами

2

0,5

1,5


12

Показательные уравнения с параметрами

2

0,5

1,5


13

Неравенства с параметром

как математические модели

3

1

1

К.р.

1

14

Решение разнообразных задач по всему курсу

3

-

3


15

Зачётная работа или защита проектных работ

2

-


2

16

Итого

34

9

20

5





СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

  1. Введение

Теоретические сведения о задачах с параметрами, классификация, основные методы и приемы решения.

Первое занятие предполагает актуализацию известных фактов. Здесь, помимо знакомства с основными теоретическими положениями, ведётся разговор о возможностях применения знаний из данной темы. Прогнозируется форма отчёта по изучению курса, намечаются темы будущих проектов.


2. Линейные уравнения с параметрами.

Систематизация различных типов уравнений, различных методов решения. Решение задач. Алгоритмы решения линейных уравнений с параметрами .

3 Линейные неравенства с параметрами и их способы решения.

4 Квадратные уравнения с параметрами.

Квадратный трехчлен. Теорема Виета. Обратная теорема Виета.

Задачи с параметрами.

5.Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Метод введение нового переменного. Задачи с параметрами.

6.Квадратные неравенства с параметрами.

7. Исследование корней квадратного трехчлена.

Примеры применение квадратного трехчлена при решения задач.

Квадратный трехчлен и параметр.

8. Графическое решение уравнений и неравенств

Графические приемы. Координатная плоскость (х; у).

Координатная плоскость (х; а). Решение задач с параметрами, используя графическое представление результатов.

9. Тригонометрические уравнения и неравенства.

10.Показательные уравнения и неравенства.

11.Решение разнообразных задач по всему курсу.

Решение задач с использованием необходимых условий. Решение задач с физическим содержанием, задачи на объемные доли и на концентрацию вещества.

Этот модуль позволяет продемонстрировать учащимся прикладной характер темы. Решение задач с параметрами значительно расширяет круг уже известных учащимся задач межпредметного характера, показывает их общность с точки зрения исследования и анализа реальных процессов средствами математики.

12.Итоговое занятие курса (зачетное)

Презентация и защита проекта, зачетная работа.

Формой итогового контроля зачётная работа, включающая задачи, рассмотренные на занятиях, самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов решения.

Учащимся, ориентированным на выполнение заданий более высокого уровня сложности, предлагается выполнить какие-либо из следующих заданий:

1) После работы с рекомендованной литературой самостоятельно изучить тему с последующей презентацией:

«Нестандартные» задачи с параметрами

Квадратный трёхчлен, расположение корней квадратного трёхчлена

Решение уравнений и неравенств с помощью методов: интервалов, неопределённых коэффициентов, оценок (по выбору)

Параметр как неизвестная величина

Абсолютная величина и параметр

Неравенство с параметром как математическая модель

Уравнение с параметром как математическая модель

(Учащиеся могут предложить и свою тему)

2) Построение проекта выхода из поставленной проблемы занятия.

3) Построение метода, позволяющего решить предложенную задачу.

4) Конструирование задач на изучаемую тему курса.































Приложение


Линейные уравнения и неравенства с параметрами.

Прежде чем ввести понятия «параметр», учащимся необходимо напомнить роль букв в алгебре. Обратить внимание на то, что за буквой скрывается число.

Повторить на простых примерах, что такое уравнение, что значит решить уравнение. При решении уравнений типа 2х – 2 = -1, 14х = - 4,

3 – 3х = 1 обратить внимание на то, что выразили неизвестное, которое надо найти через числа. Запишем все рассмотренные нами уравнения в общем виде. В уравнение помимо неизвестного могут быть введены и другие буквы (параметры). Например, ах = а – 1; (в+2)х = (в+2)-1; к²х = к² - 1. При этом параметр может принимать любые числовые значения. Задавая произвольно значения а, для уравнения ах = а -1, получим

2х = 2 -1 при а = 2;

3х = 3 -1 при а = 3;

0х = - 1 при а = 0;

- 4х = - 4 -1 при а = - 4.

Пример 1. Решить уравнение х + 2 = а + 7 , где х – неизвестное, а - параметр.

Решение: х + 2 = а +7;

х = а + 7 – 2;

х = а + 5 .

Решить уравнение с параметром – это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению. Значит, если а = 3, то х = 8; а = 0, то х = 5 и т.д. Заметим а – любое число, а значение х находим по формуле х = а + 5.

Ответ: при любом значении параметра а х = а + 5.

Пример 2. При каком значении параметра а х = 2,5 является корнем уравнения х + 2 = а + 7 ?

Решение: Т.к. х = 2,5 – корень уравнения х + 2 = а + 7, то при подставке х = 2,5 в уравнение получим верное равенство 2,5 + 2 = а + 7, а = - 2,5.

Ответ: а = - 2,5.

Пример 3. Решить уравнение ах + 8 = а при всех значениях параметра а.

Основа правильного решения задач с параметрами состоит в грамотном различении области значения параметра, к этому надо приучить путем подробного описания хода решения.

Итак, коэффициент при х равен а:

  1. а = 0, тогда 0х = - 8, полученное уравнение не имеет корней;

2) а не равен 0, тогда ах = а – 8, х = а – 8 .

8


Ответ: при а = 0 нет корней; при а не равном 0 х = а – 8 .

8

Линейное уравнение с двумя параметрами ах = в, где а, в – параметры.

hello_html_7d4c14e0.gif

х – любое нет корней один корень


В процессе решения задач с параметрами возникает «ветвление» решения в зависимости от значений параметра.

Пример 4. При каких значениях к уравнение (к² - 1)х = к +1 не имеет решения?

hello_html_75758ec7.gifhello_html_75758ec7.gifДанное уравнение не имеет решения в том случае, если к² - 1 = 0, при этом к + 1 не равно 0.

к² - 1 = 0, к = 1 или к = - 1 к = 1

к + 1 = 0 к = - 1

Ответ: 1

Далее можно привести примеры уравнений, при решении которых требуется дополнительная проверка, связанная с ограничениями ОДЗ как на переменную, так и на параметр.

Пример 5. Решите уравнение, где а – параметр.

х – 5 _ а - х

х + 7 ¬ х + 7

Т.к. знаменатель не должен быть равен 0, то х + 7 = 0, х = - 7.

Знаменатели равны, следовательно числители тоже равны х – 5 = а – х,

2х = а + 5, х = (а + 5)/2.

Мы выразили х через параметр а, но х = - 7, т.е. (а + 5)/2 = -7, а + 5 = - 14,

а = -19.

При а = -19 уравнение не имеет решения, т.к. знаменатель при этом будет равен 0, что недопустимо.

Ответ : при а = -19, х = (а + 5)/2;

при а = -19, нет корней.

Пример 6. Решить уравнение, где а – параметр.

х/а +3 = 5 - х

ОДЗ параметра а: а = 0, т.к. х/0 не имеет смысла

Решение: х/а + х = 2

х (1/а + 1) = 2

Рассмотрим два случая:

  1. 1/а + 1 = 0

а + 1 = 0

а = -1, тогда получим –х + 3 = 5 – х, 0х = 2 – нет корней.

2) 1/а + 1 = 0

а = 0

а = -1

х = 2 : (1/а + 1), х = 2 : [(а + 1) : а)], х = 2а/ (а +1).

Ответ: при а = -1 нет корней;

при а = -1, а = 0, х = 2а/ (а +1).

Работу с учащимися можно разнообразить, поставив задачу, исследовать количество корней уравнения в зависимости от значения параметра и других дополнительных условий.

Примеры:

  1. При каком значении параметра в корень уравнения х = 3 = 2х – в

будет отрицательным числом?

  1. При каком натуральном значении параметра k корень уравнения kх – 6 = 0 является натуральным числом?

Пример 7. . Решить уравнение hello_html_256627b9.gif.


  1. Знаменатель дроби не равен нулю. Значит при а hello_html_3750bfcb.gif 0 и при а hello_html_3750bfcb.gif 2 уравнение не имеет корней.

  2. аhello_html_3750bfcb.gif 0, а hello_html_3750bfcb.gif2

hello_html_m4cd9f867.gif,


hello_html_m5308a84f.gif,


хhello_html_m690526fe.gif,hello_html_m5689e1e3.gif


hello_html_m33c73e8a.gif.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_148da787.gif

I. аhello_html_3750bfcb.gif 0, аhello_html_3750bfcb.gif 2 и hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_2e21bfd8.gif, а = -3, тогда 0 х = hello_html_53dc5478.gif, нет корней.

II. . аhello_html_3750bfcb.gif 0, аhello_html_3750bfcb.gif 2 и hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_113216ac.gif, а hello_html_3750bfcb.gif-3 , тогда х = hello_html_m718305df.gif,

х = hello_html_m27123200.gif.


Ответ: При а = 0, а = 2, а = -3 нет решений.

При а = 0, а = 2, а = -3 х = (6 – а)/ (3 + а).


Линейные неравенства.

f (а)*х >g (а)

I случай: f (а) = 0 {а1, а2,…аn}

а = а1, то 0х > g (а1)

а = а2, то 0х > g (а2) и т.д.

II случай: f (а) > 0, а є М1, при таких значениях а, делим на f (а) (знак неравенства сохраняется).

х > hello_html_6c1d9c7c.gif

III случай: f (а) < 0, а є М2, при данных а делим на f (а) (знак неравенства меняется)

х < hello_html_6c1d9c7c.gif


Пример 1. а2 + ах < 1 – х

ах + х < 1 – а2

(а + 1)х < 1 – а2

I случай: а + 1 = 0 , а = -1, тогда 0х < 0- ложное, нет решения;

II случай: а + 1 > 0, а > -1, тогда х < hello_html_m770b84f6.gif, х < 1 – а;

III случай: : а + 1 < 0, а < -1, тогда х > 1 – а.

Ответ: при а = -1, нет решения;

при а > -1, х < 1 – а;

при а < -1, х > 1 – а.

Пример 2.

hello_html_1c3acf00.gif> hello_html_m14f97168.gif

I случай: условие для параметра при а = 1, а = 0 нет решения;

II случай: условие для параметра при а hello_html_3750bfcb.gif 1, а hello_html_3750bfcb.gif 0

hello_html_m48260e14.gif+ hello_html_m484e4254.gif > hello_html_7d6f0ad3.gif - hello_html_m62c8f832.gif;

hello_html_m48260e14.gif- hello_html_7d6f0ad3.gif > - hello_html_52a705dc.gif + hello_html_25f3c639.gif;

hello_html_6d16c538.gif;

hello_html_1841a31d.gif;

hello_html_m2a7ffc0f.gif;

hello_html_4ab4ba1b.gifhello_html_765c046a.gif;

1) hello_html_m484e4254.gifhello_html_3750bfcb.gif0

2) hello_html_m484e4254.gif > 0, а – 1> 0, а > 1, тогда х > hello_html_4577e46e.gif , х > hello_html_m176c353.gif;

3hello_html_2e5e1974.gif) hello_html_m484e4254.gif < 0, а – 1 < 0, а < 1.

х > hello_html_m176c353.gif


0 1 а


Ответ: при а = 0, а = 1 нет решения;

при аhello_html_m289d78ff.gif (1; +hello_html_m74e6612e.gif), х > hello_html_m176c353.gif;

при аhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; 0)hello_html_m1892df5d.gif(0; 1), х < hello_html_m176c353.gif.


Квадратные уравнения с параметрами.

А (а)х2 + В(а)х + С(а) = 0

[f(a2 + g(а)х + t(а) = 0]

I случай: Если А(аi) = 0, то получаем линейное уравнение.

а1…..аn А(аi) = 0

а = а1, В(а1)х + С(а1) = 0 hello_html_1b730b13.gif х1;

а = а2, В(а2)х + С(а2) = 0 hello_html_1b730b13.gif х2 и т.д.

II случай: А(а)hello_html_3750bfcb.gif0, а hello_html_3750bfcb.gifа1hello_html_3750bfcb.gifа2hello_html_3750bfcb.gifаnРешение зависит от Д – дискриминанта.

Д = В2(а) – 4А (а)* С(а) = …

1hello_html_m6a363f1d.gif) Д hello_html_m78774d40.gif 0, тогда для аhello_html_m289d78ff.gif М1,

Находим х1, 2 = hello_html_8906e32.gif;

2) Д < 0 для а hello_html_m289d78ff.gif М2, то нет действительных корней.

Ответ: …

Пример 1.

(2 - а)х2 – 3ах + 2а = 0

I случай: 2 - а = 0, а = 2, тогда уравнение примет вид -6х + 4 = 0, х = 2/3.

II случай: 2 - а hello_html_3750bfcb.gif0, тогда уравнение остается квадратным

Д = 9а2 – 8а(2 -а) = 9а2 – 16а + 8а2 = 17а2 – 16а

1) Д hello_html_m78774d40.gif 0, т.е. 17а2 – 16а hello_html_m78774d40.gif 0

а(17а – 16) hello_html_m78774d40.gif 0


+ - +

0 hello_html_6f52e5b7.gif 2


При а hello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; 0]hello_html_m1892df5d.gif[ hello_html_6f52e5b7.gif; 2) hello_html_m1892df5d.gif (2; +hello_html_m74e6612e.gif) х1,2 = hello_html_m71281c97.gif

2) Д < 0, т.е. а hello_html_m289d78ff.gif(0; hello_html_6f52e5b7.gif) – нет решения.

Ответ: при а = 2 х = 2/3;

при аhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; 0]hello_html_m1892df5d.gif[ hello_html_6f52e5b7.gif; 2) hello_html_m1892df5d.gif (2; +hello_html_m74e6612e.gif) х1,2 = hello_html_m71281c97.gif;

при а hello_html_m289d78ff.gif (0; hello_html_6f52e5b7.gif) – нет решения.

Пример 2. (а - 3)х2 – 2(3а - 4)х + 7а – 6 = 0


Квадратные неравенства.

А(а)х2 + В(а)х + С(а) > 0

I случай: Если А(аi) = 0, то получаем линейное неравенство

Ihello_html_m4918f269.gifI случай: А(а)hello_html_3750bfcb.gif0, а hello_html_3750bfcb.gifа1hello_html_3750bfcb.gifа2hello_html_3750bfcb.gifаn

А (а)х2 + В(а)х + С(а) = 0

Найдем Д = В2(а) – 4А (а) С(а)

1) Д hello_html_m78774d40.gif 0 найдем х1, и х2, все для а hello_html_m289d78ff.gif М2 удовлетворяют условию;

2) Д < 0 для а hello_html_m289d78ff.gifМ2 нет пересечения с осью ох..

а) hello_html_78093b1a.gifhello_html_m3346df1e.gifhello_html_1b730b13.gif а hello_html_m289d78ff.gif М4

х1 = hello_html_m37ce084e.gif х2 = hello_html_25db6e24.gif

Сравнить корни:

х1 - х2 > 0, тох1 > х2;

х1 - х2 < 0, то х1 < х2.

При а hello_html_m289d78ff.gif М4 хhello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif; х1) hello_html_m1892df5d.gif2; +hello_html_m74e6612e.gif)

б) hello_html_m37e1e31d.gifhello_html_e2ee314.gifhello_html_1b730b13.gif а hello_html_m289d78ff.gif М6

х1 - х2 = hello_html_m79bcc366.gif < 0 х1< х2

Дhello_html_m2bfd89c1.gif = 0 – нет решений.



х1х2

При а hello_html_m289d78ff.gif М5 хhello_html_m289d78ff.gif1; х2)


в) hello_html_m1636dc45.gifhello_html_m1ad550f1.gifhello_html_1b730b13.gif а hello_html_m289d78ff.gif М7 х hello_html_m289d78ff.gif R

hello_html_5a912146.gif

у


х

г) hello_html_59de0442.gifhello_html_717e8225.gifhello_html_1b730b13.gif а hello_html_m289d78ff.gif М8 нет решений.

уhello_html_m7ef11036.gif х








Уhello_html_m6d937717.gifточнить отдельно случай

у

hello_html_m6fca82cf.gifхhello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif; х1) hello_html_m1892df5d.gif2; +hello_html_m74e6612e.gif)

х1 х

hello_html_2035ce5a.gif

х1

hello_html_20225ac8.gifhello_html_6ac59c09.gifнет решений





Ответ.

Пример 1. Решить неравенство ах2 – 2х + 4 > 0

I случай: а = 0, то получим -2х + 4 > 0, х < 2

II случай: а hello_html_3750bfcb.gif0, ах2 – 2х + 4 = 0, Д = 4 – 16а

а) hello_html_m7586eaad.gifhello_html_m2a787861.gifhello_html_b5c9571.gif 0 < а hello_html_m392341f2.gif

х1 = hello_html_m69e5784.gif х2 = hello_html_188d8b51.gif

х1 - х2 =hello_html_m3a56ec6f.gif = 0, значит х1 > х2

hello_html_1f989173.gifhello_html_1f989173.gif

у



х2 х1 х


хhello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif; х1) hello_html_m1892df5d.gif2; +hello_html_m74e6612e.gif)

Пhello_html_m458cd0b0.gifри а hello_html_3dac76f7.gif, Д = 0 , х = 4 у

хhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; 4) hello_html_m1892df5d.gif (4; +hello_html_m74e6612e.gif)

  1. х


б) hello_html_1eecce4b.gifhello_html_m15e7c53c.gifhello_html_1b730b13.gif а < 0, х1 - х2 < 0

hello_html_m3f718802.gif


хє (х1; х2)

х1 х2



вhello_html_1befad72.gif) hello_html_527c09bc.gifhello_html_369e33fa.gifhello_html_1b730b13.gif а hello_html_m3127da78.gif

у


хhello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif; +hello_html_m74e6612e.gif)

х

гhello_html_6c390f37.gif) hello_html_m4cc759f7.gifhello_html_m282563b1.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_m64cf85da.gif

Ответ: при а = 0, х < 0;

при 0 < а hello_html_m392341f2.gif, хhello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif; hello_html_188d8b51.gif) hello_html_m1892df5d.gif (hello_html_m69e5784.gif; +hello_html_m74e6612e.gif) ;

при а hello_html_3dac76f7.gif,хhello_html_m289d78ff.gif(-hello_html_m74e6612e.gif; 4) hello_html_m1892df5d.gif (4; +hello_html_m74e6612e.gif);

при а hello_html_m3127da78.gif, хhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; +hello_html_m74e6612e.gif);

при а < 0, хhello_html_m289d78ff.gif (hello_html_m69e5784.gif; hello_html_188d8b51.gif ).


II подход к решению.

Особые точки, влияющие на решения


0 ¼ а

А(а) = 0 и Д = 0 – особые точки.

1hello_html_2eb91938.gif) а < 0

Д > 0 у

+ х

х1 х2


Поставить правильно на координатной плоскости х1 и х21 - х2 >0, х1 > х2; х1 - х2 <0, х1 < х2)

хhello_html_m289d78ff.gif1; х2)

2hello_html_2a0dbe9.gif) а = 0, подставим в решение х < 2.

3) 0 < а< hello_html_m51515a19.gif, Д > 0

Сравнить корни: х1 - х2 >0, х1 > х2. + +

хhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; х1) hello_html_m1892df5d.gif2; +hello_html_m74e6612e.gif) х1 х2

4) х = hello_html_m51515a19.gif, hello_html_m51515a19.gifх2 – 2х + 4> 0, (hello_html_m4bf21f14.gifх – 2)2 > 0, х hello_html_3750bfcb.gif 4

хhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; 4) hello_html_m1892df5d.gif (4; +hello_html_m74e6612e.gif)

hello_html_m458cd0b0.gif

у



  1. х


5hello_html_1befad72.gif) х hello_html_m3127da78.gif, Д < 0. у

хhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; +hello_html_m74e6612e.gif)


х



Свойства квадратного трехчлена.


Свойства квадратного трехчлена – мощный инструмент при решении задач с параметрами. Во многих так называемых задачах повышенной трудности «торчат уши квадратного трехчлена».

Квадратным трехчленом называется выражение ах2 + вх + с = 0, а hello_html_3750bfcb.gif0.

Графиком соответствующей квадратной функции является парабола. При а < 0 ветви этой параболы направлены вниз, а при а > 0 – вверх.

Выражение х2 + pх + q называется приведенным квадратным трехчленом. В зависимости от величины дискриминанта Д = в2 – 4ас имеют место различные случаи расположения параболы относительно оси абцисс ох:

- при Д > 0 (существует два различных корня трехчлена) существует две различные точки пересечения параболы с осью ох;

- при Д = 0 эти две точки сливаются в одну, т.е. парабола касается оси ох.

- при Д < 0 точек пересечения с осью ох нет

а) при а < 0 и Д < 0 парабола целиком лежит ниже оси ох (квадратный трехчлен принимает только отрицательные значения при любых значениях переменной);

б) при а > 0 и Д < 0 парабола выше оси ох (квадратный трехчлен принимает только положительные значения).

Пример 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение ах2 + 13х + 1 = 0 имеет два различных решения.

Решение:

Квадратный трехчлен имеет два различных корня, если а hello_html_3750bfcb.gif0 и Д > 0.

Д = 169 – 4а, 169 – 4а > 0, а < hello_html_m291b3313.gif и а hello_html_3750bfcb.gif0.

аhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; 0) hello_html_m1892df5d.gif(0; hello_html_m291b3313.gif).

Ответ: аhello_html_m289d78ff.gif (-hello_html_m74e6612e.gif; 0) hello_html_m1892df5d.gif(0; hello_html_m291b3313.gif).

Важнейшей теоремой о корнях квадратного трехчлена является теорема Виета.

Тhello_html_4bc13f0.gifеорема Виета: Между корнями х1 и х2 квадратного трехчлена ах2 + вх + с и коэффициентами этого трехчлена существует соотношение

х1 + х2 = -в/а

х1 * х2 = с/а

Теорема Виета может успешно применяться при решении задач на исследование корней квадратного трехчлена и является мощным инструментом при решении задач с параметрами для квадратичной функции.

Теорема 1. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:

Д = в2 – 4ас hello_html_m78774d40.gif 0, х1 * х2 = с/а > 0,

при этом х1 > 0 и х2 > 0, если дополнительно выполняется условие:

х1 + х2 = -в/а > 0


hello_html_3fc9c97d.gifД hello_html_m78774d40.gif 0

с/а > 0 hello_html_1b730b13.gif х1 > 0, х2 > 0

-в/а > 0

И оба корня отрицательны, если

hello_html_m71eadfad.gifД hello_html_m78774d40.gif 0

с/а > 0 hello_html_1b730b13.gif х1 < 0, х2 < 0.

-в/а < 0


Теорема 2. Для того чтобы корни квадратного трехчлена имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующего соотношения:

х1 * х2 = с/а< 0.

Пример 2. Найти значение параметра m, при каждом из которых уравнение 2х2 + 3х + m = 0 имеет два различных отрицательных корня.

Решение:

Кhello_html_m71eadfad.gifhello_html_m71eadfad.gifhello_html_m3544cdd1.gifвадратное уравнение имеет 2 различных отрицательных корня при условии:

Д > 0, 9 – 8m > 0, m < 9/8

х1 * х2 = m /2 > 0, m /2 > 0, m < 0

х1 + х2 = -3/2 < 0. -3/2 < 0.


Ответ: mhello_html_m289d78ff.gif (0; 9/8).


Исследование корней квадратного трехчлена.

Решение задач о расположении корней квадратного трехчлена опирается на следующие утверждения.

Теорема: Пусть х1 и х2 - корни квадратного трехчлена (х1 < х2 ),

f(х) = ах2 + вх + с, у которого Д = в2 – 4ас > 0, а hello_html_3750bfcb.gif0 и даны А и В – некоторые числа на оси ох. Тогда истиной являются следующие утверждения.

  1. Оба корня меньше числа А, т.е. х1 < А и х2 < А только в том случае, когда:

аhello_html_m689aab71.gifhello_html_m689aab71.gif > 0 а < 0

х0 = -hello_html_m6f913205.gif < А или х0 = -hello_html_m6f913205.gif < А

f(А) > 0 f(А) > 0

hello_html_19dd981e.gifhello_html_m58046788.gif

у у


f(А) > 0

х1 х2 х1 х2 А х

А х х0 f(А) < 0

х0


  1. Корни лежат по разные стороны от числа А, т.е. х1 < А < х2 только в случае , когда

аhello_html_m7f866c2f.gifhello_html_m7f866c2f.gif > 0 а < 0

f(А) < 0 или f(А) > 0


hello_html_65b6f580.gifhello_html_108e278b.gif

А

hello_html_1f989173.gifх1 х2 хх1 А х2 х


  1. Оба корня больше числа А, т.е. х1 > А и х2 > А только тогда, когда

аhello_html_m689aab71.gifhello_html_m689aab71.gif > 0 а < 0

хв > А или А хв > А

fhello_html_27ed4990.gif(А) > 0 f(А) < 0

hello_html_m54c57509.gifу у

А х0 х

х0 х1 х2

А х1 х2 х

4hello_html_m90a63cd.gif. Оба корня лежат между точками А и В, т.е. х1 < А < В< х2 только тогда, когда

аhello_html_60c10828.gif > 0 а < 0

f(А) < 0 или f(А) > 0

f(В) < 0 f(В) > 0

hello_html_7bbe1dfb.gif

hello_html_58acbe52.gif

А В

х1 х2 х х1 А В х2 х



Пример: При каких значениях параметра а число 2 находится между корнями квадратного уравнения х2 + (4а + 5)х + 3 – 2а = 0 ?

Решение: Пусть х1 и х2 – корни квадратного уравнения ,причем х1 < х2,, тогда

аhello_html_5b902363.gifhello_html_5b902363.gif = 1 > 0 17 + 6а < 0

fhello_html_46aea4ab.gif(2) < 0 а < - hello_html_35ba36cc.gif


2

х1 х2 х

f(2) < 0


Ответ: а < - hello_html_35ba36cc.gif.







Упражнения.

1 - № 10 решить уравнение при всех значениях параметра а.

1. ( а +2) x + 2 = а.

2. (а² - 1) x = а² - 4 а + 3.

3. а х +а +3 =2 а – 5.

4. (а – 2) х = а + х..

5. 3 – а х = а + х.

6. а х – а =2 х – 17.

7. (6 - а) х = 5 а – 2 х..

8. hello_html_1440b558.gif = hello_html_699983bd.gif.

9. hello_html_m69f1b71e.gif= hello_html_m42a2bc09.gif.

10.hello_html_m3e4dd198.gif= hello_html_m1fd40038.gif.


11. При каких значениях параметра с корень уравнения х + с = 3х – 5

является неотрицательным числом?


12. Решить уравнение при всех значениях параметра а:

а ) hello_html_m406a1fb8.gif - hello_html_45443a93.gif = 1.

б) hello_html_52c3a13b.gifhello_html_m3c29e8d6.gif + х – 1= 0.


13. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

(а + 1 ) х² - 2 а х + а – 2 =0 имеет два различных положительных корня.


14. Каким условиям должны удовлетворять коэффициенты а, в и с

уравнения ах4 + вх2 +с = 0, чтобы это уравнение имело четыре различных действительных корня?


15.Найти все значения параметра а, при которых уравнение

х2 + (а + 2)х + 1 – а = 0 имеет два действительных корня х1 и х2 такие, что

х1 х2 < 0, -4 < х1 < 4 и -4 < х2 < 4.

16. Найти все значения параметра а, при которых ровно один корень х1

уравнения х2 + 2ах + 3а – 2 = 0 удовлетворяет условию х1 < -1.


17. . Найти все значения параметра а, при которых уравнение

х2 – 6 х + а = 0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1; 7).


18.При каких значениях параметра k уравнение х2 + 6х + k = 0

не имеет положительных корней?


19. При каких значениях параметра k уравнение х2 + 4х + k = 0

имеет два различных отрицательных корня?


20. Найти все значения параметра р , для которых неравенство

рх2 – 4х +3р + 1>0 выполняется при всех положительных значениях х.


21. При каких значениях параметра, а оба корня уравнения

х2 – 3 (а + 1)х + а (2а + 3) = 0 по модулю меньше 2?


22. При каких значениях параметра в, оба корня уравнения

х2 + 3 (в - 2)х + 2в2 – 7в + 5 = 0 больше -2?


23. . Найти все значения параметра а, при которых неравенство

(х – 3а) (х – а – 3)< 0 выполняется при всех значениях х таких, что

1hello_html_m7ceebba.gif х hello_html_m7ceebba.gif 3.hello_html_m53d4ecad.gif




Тест

Часть1

1.Дано:hello_html_7ec27db1.gif. Найдите а и b и запишите их произведение.

а)-6; б) -4; в)-2 г)8.

2.Один из корней уравнения х3 +2х2- х +а =0 равен 1. Найдите другие корни этого уравнения.

а) -2;-1; б) 2;1; в) -1; г) -2.

3. Графики функцийу=ах2 и у = 5 - х пересекаются в точке с координатами (2;3). Найдите координаты другой точки пересечения графиков.

а)hello_html_61c51ff8.gif б)(4;1) в) (-3;8) г) (-1,5; 6,5)

4.Даны функции у = (2 – а)х + а и у =hello_html_35d19e0b.gif. Укажите произведение всех целых значений параметра а, при которых обе функции будут убывать на множестве R+.

а)12 б) 60 в) 10 г) 120.

5.При каких значениях параметра t корнем квадратного трехчлена

2003х2 – 2004х +t2 -9t +9 является 1?

а) 1;8 б) 2; -6 в) -1 г) 8.

6. Найдите наименьшее целое значение параметра p, при котором парабола у =2х2 -8х +5 и прямая у =4х +р имеют наибольшее число общих точек.

а) 7 б) -12 в) -10 г) 16.

Часть 2.

7.Графики функции у = ах2 +вх +с пересекает ось абсцисс в точках (-3;0) и (1;0), а ось ординат – в точке (0; -9). Найдите квадрат суммы коэффициентов а и в.

Ответ:_________________________

8.При каких целых значениях р неравенство (х - р)(х -6)<0 имеет

четыре натуральных решения?

Ответ:_________________________

9.При каком значении параметра а система уравнений

х2=а – у

х2= 16 – у2 имеет три решения.

Ответ:____________________________

Часть 3.

10.Найдите все значения параметра р, при которых уравнение (2р+3)х2+ (р+3)х +1=0 имеет хотя бы один корень и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения

hello_html_79e4d25a.gif





Тест

Часть1

1.Дано:hello_html_7ec27db1.gif. Найдите а и b и запишите их произведение.

а)-6; б) -4; в)-2 г)8.

2.Один из корней уравнения х3 +2х2- х +а =0 равен 1. Найдите другие корни этого уравнения.

а) -2;-1; б) 2;1; в) -1; г) -2.

3. Графики функцийу=ах2 и у = 5 - х пересекаются в точке с координатами (2;3). Найдите координаты другой точки пересечения графиков.

а)hello_html_61c51ff8.gif б)(4;1) в) (-3;8) г) (-1,5; 6,5)

4.Даны функции у = (2 – а)х + а и у =hello_html_35d19e0b.gif. Укажите произведение всех целых значений параметра а, при которых обе функции будут убывать на множестве R+.

а)12 б) 60 в) 10 г) 120.

5.При каких значениях параметра t корнем квадратного трехчлена

2003х2 – 2004х +t2 -9t +9 является 1?

а) 1;8 б) 2; -6 в) -1 г) 8.

6. Найдите наименьшее целое значение параметра p, при котором парабола у =2х2 -8х +5 и прямая у =4х +р имеют наибольшее число общих точек.

а) 7 б) -12 в) -10 г) 16.

Часть 2.

7.Графики функции у = ах2 +вх +с пересекает ось абсцисс в точках (-3;0) и (1;0), а ось ординат – в точке (0; -9). Найдите квадрат суммы коэффициентов а и в.

Ответ:_________________________

8.При каких целых значениях р неравенство (х - р)(х -6)<0 имеет

четыре натуральных решения?

Ответ:_________________________

9.При каком значении параметра а система уравнений

х2=а – у

х2= 16 – у2 имеет три решения.

Ответ:____________________________

Часть 3.

10.Найдите все значения параметра р, при которых уравнение (2р+3)х2+ (р+3)х +1=0 имеет хотя бы один корень и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения

hello_html_79e4d25a.gif.





Литература



1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами. – Мн.: ООО «Асар», 1996.

2. Белошистая А.В. Математика: Тематическое планирование уроков подготовки к экзамену.-М.: «Экзамен»,2005.

3. Сборник программ элективных курсов по математике для предпрофильного и профильного обучения учащихся. – Тюмень: ТОГИРРО, 2004.

4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.

5. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике за курс средней школы. – М.: Дрофа, 2005

6. Статьи в еженедельном приложении к газете «Первое сентября». – «Математика»:

Задачи с параметром, № 3, 16, 18, 2004; № 12, 1994.

7. Ткачук В.В. Математика – абитуриенту. – М.: МЦНМО, 2005.

8.Черкасов О.Ю., Якушев А.Г.- Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену.- М.: Рольф, 2001


 













57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 23.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров262
Номер материала ДВ-371151
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх