Программа творческого объединения "В мире математики"

Муниципальное казенное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Новодугинский дом детского творчества»

Смоленская область, с. Новодугино,  ул. Чкалова, д. 37

                   Принято на педсовете

                                               протокол №____от________2012 года

                    Утверждено приказом

                                                         директора ДДТ №____от________2012 года

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ОБЩЕРАЗВИВАЮЩАЯ ПРОГРАММА

ТВОРЧЕСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ

 «В МИРЕ МАТЕМАТИКИ»

  Педагог дополнительного образования –

Яковская Светлана Анатольевна

Возраст детей: 16 - 17 лет

Срок реализации - 1 год

с. Новодугино

2014 -  2015 учебный год

 ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа творческого объединения «В мире математики» составлена на основе программы «Занимательная математика», составитель Данильцева Н.М.. Модификация программы состоит в расширении ее содержания темами «Планиметрические задачи», «Стереометрические задачи», соответственно изменено тематическое планирование и распределение часов по темам.

 Направленность. Программа «В мире математики» предназначена для повышения эффективности подготовки учащихся  11 класса к итоговой аттестации по математике за курс полной средней школы и предусматривает их подготовку к дальнейшему математическому образованию.

Предложенная программа поддерживает изучение основного курса математики, направлена на систематизацию и углубление знаний. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление обучающихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный. Особое место занимают задачи, требующие применения обучающимися знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.

Актуальность программы объединения дополнительного образования «В мире математики»  определяется прежде всего тем, что математика является опорным предметом, обеспечивающим изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных. Объединение дополнительного образования по математике целесообразно, так как у многих обучающихся снижен познавательный интерес к предмету. На уроках не всегда удается индивидуализировать процесс обучения, показать нестандартные способы решения заданий, рассмотреть задачи повышенного уровня сложности, вопросы, связанные с историей математики. На уроках нет возможности углубить знания по отдельным темам школьного курса. Целесообразно проведение внеклассной работы по предмету в рамках объединения дополнительного образования, где больше возможностей для рассмотрения ряда вопросов занимательного характера, не всегда связанных непосредственно с основным курсом. На занятиях объединения есть возможность вовлекать ребят в проектную деятельность. Объединение дополнительного образования по математике в 11 классе  актуально сегодня еще и потому, что по окончании средней школы каждому ученику предстоит сдача ЕГЭ по математике, где за ограниченный временной интервал необходимо справиться с не всегда стандартными заданиями. ЕГЭ - процедура серьезная, требующая специальной подготовки. Большинству обучающихся нужна хорошая оценка не только по школьной составляющей ЕГЭ, но и по всем его компонентам.  Практика показывает громадный разрыв между содержанием школьной программы по математике и теми требованиями, которые налагаются на учащихся для успешной сдачи ЕГЭ.  И в целях достижения наилучшего результата по подготовке обучающихся к экзаменам необходимо дать определённый объём знаний, готовых методов решения нестандартных задач и научить самостоятельно мыслить, творчески подходить к любой проблеме. От количества баллов за ЕГЭ по математике зависит возможность в получении дальнейшего образования.

Новизна

Данная программа составлена учителем-практиком, она не дублирует общеобразовательные программы  по математике. В ней нашли отражение требования к выпускникам средней школы по предмету, она ориентирована на подготовку учащихся к ЕГЭ с одной стороны и применению теоретических и практических навыков, умений, знаний в дальнейшем в нестандартных ситуациях, с другой стороны. 

Цель - овладение обучающимися конкретными математическими знаниями и умениями, необходимыми для  успешной сдачи ЕГЭ по математике и дальнейшему обучению в других учебных заведениях.

Задачи

Обучающие

·        создать условия для овладения обучающимися математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

·       формировать у обучающихся представления о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов.

Развивающие

·       способствовать развитию творческого и логического мышления обучающихся, алгоритмической культуры, пространственного воображения;

·       способствовать развитию математического мышления и интуиции;

·        способствовать формированию познавательного и устойчивого интереса к математике.

Воспитательные

·       формировать представление о значимости математики как части общечеловеческой культуры в развитии цивилизации и современного общества;

·         создание условий для воспитания культуры личности обучающихся средствами математики.

Отличительная особенность программы от уже существующих. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление обучающихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный. Особое место занимают задачи, требующие применения обучающимися знаний в незнакомой (нестандартной) ситуации.

Программа объединения дополнительного образования «В мире математики» рассчитана на учащихся 16-17 лет.

Сроки реализации программы:   1 год (всего 72 часов)

Режим проведения занятий – во второй половине дня (1 раз в неделю по 2 часа).

Формы проведения занятий  - практикум решения текстовых  задач, уравнений, неравенств, задач на построение графиков, исследование функций, работа над проектом, подготовка к олимпиадам и конкурсам.

Ожидаемые результаты.  В результате внеклассной работы по предмету в рамках объединения дополнительного образования у учащихся должна повыситься мотивация учения, предполагается повышение качества образования по предмету.

Обучающиеся должны знать:

свойства степеней с рациональным показателей

свойства логарифмов

свойства тригонометрических функций

общие положения решения уравнений и неравенств;

преобразование графиков;

применение производной к исследованию функций;

алгоритмы решения уравнений с параметрами

методы решения планометрических задач;

свойства касательных, вписанных и описанных в окружность многоугольников;

методы решения стереометрических задач.

Обучающиеся должны уметь:

·             проводить тождественные преобразования иррациональных, показательных, логарифмических и тригонометрических выражений;

·             решать иррациональные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства;

·             решать системы уравнений и неравенств  изученными методами;

·             строить графики элементарных функций и проводить преобразования графиков, используя изученные методы;

·             применять аппарат математического анализа к решению задач;

·             применять основные методы геометрии (проектирования, преобразований, векторный, координатный) к решению геометрических задач.

Итоги реализации программы объединения должны быть подведены в форме тестирования, в участии детей в интеллектуальных конкурсах.

Тематическое планирование

№ п/п	Тема	Количество часов
		Всего	Теория	Практика
1	Вводное занятие	1	1	-
2	Алгебраические выражения	7	2	5
3	Решение уравнений и неравенств, их систем	16	4	12
4	Использование свойств функций при решении алгебраических задач.	12	4	8
5	Алгебраические задачи с параметром	10	4	6
6	Планиметрические задачи	12	6	6
7	Стереометрические задачи	12	6	6
8	Итоговое занятие	2	-	2
	Итого	72	27	45

 

Содержание программы

1. Вводное занятие

Теория

Беседа. Знакомство обучающихся с планом работы творческого объединения. Инструктаж по технике безопасности. Значение математики в современном мире.

2. Алгебраические выражения

Теория

ñ    Корень степени n >1 и его свойства.

ñ    Степень с рациональным показателем и ее свойства.

ñ    Логарифм числа и его свойства.

ñ    Тригонометрические функции и их свойства.

Практика

ñ    Преобразование сложных выражений, содержащих радикалы.

ñ    Преобразование сложных выражений, содержащих степени с рациональным показателем.

ñ    Преобразование логарифмических выражений.

ñ    Преобразование сложных тригонометрических выражений.

Форма подведения итогов

Тестирование

3. Решение уравнений и неравенств, их систем

Теория

ñ    Общие положения решения уравнений и неравенств и их систем.

ñ    Приемы решения.

ñ    Эквивалентность уравнений и неравенств.

ñ    Равносильность иррациональных неравенств, совокупность систем для строгих и нестрогих неравенств.

Практика

ñ    Решение иррациональных уравнений и неравенств.

ñ    Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

ñ    Решение  уравнений и неравенств, содержащих модуль.

ñ    Решение уравнений, содержащих параметры.

Форма подведения итогов

Тестирование

4. Использование свойств функций при решении алгебраических задач

Теория

ñ    Трансформирование графиков функций.

ñ    Область определения и множество значений функции.

ñ    Использование производной для построения графика функции.

Практика

ñ    Построение графиков функций.

ñ    Нахождение множества значений сложных алгебраических функций.

ñ    Решение уравнений на основе свойства монотонности функций.

ñ    Решение уравнения на основе множества значений функции.

Форма подведения итогов

Практическая работа

5. Алгебраические задачи с параметром

Теория

ñ    Постановка задачи с параметром.

Алгоритм решения линейных и квадратных уравнений с параметром.

ñ    Аналитический и графический способы  решения, целесообразность применения каждого из них, комбинирование методов.

Практика

ñ    Выписывание ответов (описание множества решений) при решении линейного и квадрат­ного уравнений.

ñ    Использование графиков в решении заданий с параметром.

ñ    Применение производной при анализе и решении задачи с параметром.

ñ    Решение рациональных, иррациональных задач, содержащих модуль и параметр.

Форма подведения итогов

Самостоятельная работа

6. Планиметрические задачи

Теория

ñ    Решение треугольников

ñ    Окружности и касательные

ñ    Вписанные и описанные окружности

ñ    Комбинация фигур с окружностью

Практика

ñ    Использование тригонометрических формул в решении геометрических задач.

ñ    Решение задач на комбинацию окружности и многоугольников

Форма подведения итогов

Зачет

7. Стереометрические задачи

Теория

ñ    Многогранники

ñ    Тела вращения

ñ    Метод координат

Практика

ñ    Решение задач  на комбинацию сферы и многогранников

ñ    Использование метода координат в решении задач

ñ    Использование основных методов геометрии (проектирования, преобразований, векторный, координатный) к решению задач.

Форма подведения итогов

Зачет

8. Итоговое занятие 

Практика

Тестирование обучающихся.

Методическое обеспечение образовательной программы

Методическое обеспечение образовательной программы включает в себя следующие формы проведения занятий: лекции, практикумы, защиты проектов. Теоретические вопросы рассматриваются в ходе объяснения с элементами интерактивных технологий. Каждое занятие предполагает практикум решения текстовых задач, уравнений и неравенств, задач на построение графиков (коллективное и индивидуальное решение).

Дидактический материал.

1.                 А.Л. Семенова, И.В. Ященко «ЕГЭ 3000 задач с ответами», «Экзамен», Москва 2013г.

2.                 Справочные материалы по математике.

3. Таблицы по математике.

Материально-техническое оснащение занятий.

Компьютер.

Проектор.

Экран.

Список литературы, используемый при написании программы

1.                 Задачи с параметрами. Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы. Локоть В.В. М.: АРКТИ, 2005

2.                 Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды «Живая математика» / С.Г. Иванов, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2013. – 144с.

3.                 Сборник программ. Исследовательская и проектная деятельность. / (С.В. Третьякова, А.В. Иванов, С.Н. Чистяков и др.; авт. – сост С.В. Третьякова). – М.: Просвещение, 2013. – 96с.

4.                 Технология подготовки урока в современной информационной образовательной среде: пособие для учителя общеобразоват. учреждений / Е.В. Чернобай. – М.: Просвещение, 2013. – 56с.

Список литературы, рекомендуемый обучающимся

1.                 Контрольно-измерительные материалы, 2013-2014 гг..

2.                 Колесникова С.И.  «Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ», Айрис Пресс. 2004 год.

3.                 Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова «Математика. Подготовка к ЕГЭ -2011», Легион — М, Ростов-на-Дону, 2013.

4.                 Открытый банк задач ЕГЭ по математике 2015 год.

5.                 Сканави М.И. «Полный сборник решений задач для поступающих в ВУЗы». Москва. «Альянс – В». 1999 год.

6.                 Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену.

Приложение 1 Мониторинг образовательной работы

Тема		Критерии	Степень выраженности	Возмож-	Методы
	Оцениваемые		оцениваемого качества П	ное	диагностики
	параметры		Показатели	число
				баллов
		1. Теоретическая подготовка ребенка
Решение уравнений и неравенств, их систем	1.1. Теоретические	Соответствие теорети-	• Минимальный уровень — ребе-
	знания по основным	ческих знаний ребенка	нок овладел менее чем 1/2 объема	1	Контрольное задание
	разделам учебно-	программным требова-	знании,   предусмотренных   про-
	тематического плана	ниям	граммой
	программы		•  Средний уровень — объем усвоен-	2
			ных знаний составляет более ½
	1.Приемы решений уравнений, неравенств, их систем.		• Максимальный уровень — освоил практически весь объем знаний, предусмотренных программой за конкретный период	3
	2. Нахождение ОДЗ уравнений и неравенств.
	3. Пересечение и объединение числовых промежутков.
	4.Равносильность иррацио- нальных неравенств  совокупности систем строгих и нестрогих неравенств. 5.Решение уравнений и неравенств,содержащих модуль и параметр.
	1.2. Владение	Осмысленность и пра-	• Минимальный уровень — ребенок,
	специальной	вильность использова-	как правило, избегает употреблять		тестирование
	терминологией	ния специальной тер-	специальные термины	1
	1.Эквивалентность уравне ний и неравенств.	минологии	• Средний уровень — сочетает спе- циальную терминологию с быто вой	2
	2.Равносильность уравнений и неравенств.		• Максимальный уровень — спе- циальные термины употребляет
	3. Область допустимых значений.		осознанно и в полном соответствии	3
			с их содержанием)

1.2 Предметно-практическая подготовка
Решение уравнений и неравенств, их систем	2.1. Практические	Соответствие практи-	•  Минимальный уровень — ребенок	1	Контрольное
	умения и навыки,	ческих умений и на-	овладел менее чем 1/2 предусмот-		задание
	предусмотренные	выков  программным	ренных умений и навыков	2
	программой	требованиям	• Средний уровень — объем усвоен-
	(по основным		ных умений и навыков составляет
	разделам учебно-		более  1/2
	тематического плана		• Максимальный уровень — овладел	3
	программы)		практически всеми умениями и
	1. Решать рациональные, показательные, логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения и неравенства. 2. Дрказывать неравенства. 3. Решать уравнения и неравенства, их системы, используя графический метод. 4. Решать уравнения и неравества  с применением свойств функций, производной.		навыками, предусмотренными программой за конкретный период.
	2.2. Владение	Владение	• Минимальный уровень умений —	1	Контрольное
	специальным	калькулятором,	ребенок испытывает серьезные за-		задание
	оборудованием	таблицей	труднения при работе с оборудованием
	и оснащением	Брадиса
			• Средний уровень — работает с обо-
			рудованием с помощью педагога	2
			•  Максимальный уровень — работает
			с оборудованием самостоятельно,	3
			не испытывает особых трудностей ■
	2.3. Творческие	Способность	•  Начальный (элементарный) уровень		Контрольное
	навыки	находить	развития креативности — ребенок		задание
		различные	в состоянии выполнять лишь про-	1
	1.Изображать на плоскости	способы	стейшие   практические   задания
	множества решений	Решений.	педагога
	уравнений и неравенств	Построение	• Репродуктивный уровень — в ос- основ-	2
	с двумя переменными	И исследование	ном, выполняет задания на основе
	и их систем.	Простейших	образца	5
	2. находить приближен-	Математических	• Творческий уровень — выполняет
	ные решения уравнений	моделей	практические задания с элемен-
	и их систем		тами творчества	3

Приложение 2.

Итоговое занятия в творческом объединении

ТЕМА: «Многогранники»

Образовательная: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.

Развивающая: развивать внимание, пространственное воображение, умение анализировать и делать выводы, развивать кругозор.

Воспитательная : воспитывать дисциплинированность, самоорганизованность, умение ценить фактор времени.

Этапы занятия:

1.     Организационный этап.

2.     Этап проверки знаний с помощью видеопроектора.

·        Площадь боковой поверхности призмы.( S_б.п.)

·        Площадь полной поверхности призмы (S_п.п.)

·        Объем призмы (V)

·        Площадь боковой поверхности пирамиды .( S_б.п.)

·        Площадь полной поверхности пирамиды (S_п.п.)

·        Объем пирамиды (V) (см. приложение 2.2.)

3.                 Практическая часть.

Решение задач с использованием компьютера

3.1. решение задачи первого вида (№1):

      построить заданный многогранник.(см. приложение 3.1)

3.2 построение сечений полученных многогранников (7 вариантов) (№2)

       (см. приложение 3.2)

3.3. решение задачи второго вида (№3):

      нахождение элементов, площадей поверхностей и объемов многогранников                        (3 варианта) (см. приложение 3.3)

3.4. Самопроверка (см. приложение 3.4)

Подготовительный  этап:

В папке «Занятие» учащиеся заранее создают папки «Задачи» и «Ответ». 

Соответственно перед началом урока преподаватель в папку «Задачи» загружает условия задач №1, №2, №3 (см. приложение 3.1-3.3)

Условия задач №1, №2 набраны в текстовом редакторе “MICROSOFTWORD”

Задача № 3 создана в графическом редакторе “PAINT”

В папку «Ответ» учащиеся сохраняют решенные задачи: задача №1, задача№2, задача №3.

Этапы решения задачи первого вида (№1) (см приложение 3.1):

·                     Найти на «диске С» папку «Занятие».

·                     В папке «Занятие» выбрать папку «Задачи» и открыть ее.

·                     Выбрать задачу №1 и открыть ее.

·                     Скопировать условие задачи.

·                     Закрыть текстовый документ «Задача№1»

·                     Открыть графический редактор “Paint”

·                     В выбранном месте вставить скопированное условие задачи №1

·                     По указанному условию задачи построить геометрическое тело.

·                     Сохранить решенную задачу необходимо в папке «Ответ» под названием «Задача №1»с помощью команды ФАЙЛ→СОХРАНИТЬ КАК…

·                     Закрыть графический редактор.

Этапы решения задачи первого вида (№2) (см приложение 3.2):

·                     В папке «Задачи» выбрать задачу №2 и открыть ее.

·                     Скопировать условие задачи.

·                     Закрыть файл «Задача №2»

·                     Открыть графический редактор “Paint”

·                     В выбранном месте вставить скопированное условие задачи №2

·                     Свернуть графический редактор «PAINT» на панель задач.

·                     Открыть папку «Ответ»

·                     Выбрать файл «Задача №1» и открыть его.

·                     Скопировать построенное геометрическое тело.

·                     Закрыть файл «Задача №1»

·                     Развернуть графический редактор и вставить скопированное решение задачи №1

·                     По заданному условию задачи №2 на построенном геометрическом теле построить сечение.

·                     Сохранить решенную задачу необходимо в папке «Ответ» под названием «Задача №2»с помощью команды ФАЙЛ→СОХРАНИТЬ КАК…

·                     Закрыть графический редактор.

Этапы решения задачи второго вида (№3) (см. приложение 3.3)

·                     В папке «Задачи» выбрать задачу №3 и открыть ее.

·                     Прочитать условие задачи.

·                     Если необходимо, сделать дополнительные построения.

·                     Решить задачу в тетради.

·                     Записать ответ в открытом файле «Задача №3»

·                     Сохранить рисунок в папке «Ответ» под названием «Задача №3»

Этапы самопроверка:

·         Учащимся предлагается проверить решенные задачи:

·         Ответы находятся в папке по адресу:   «Диск С» → «Информатика»  → «Ответ» (см. приложение (см. приложение 3.4)

4.Резерв времени:

Дополнительные сведения

4.1. определение призмы и пирамиды, данные Евклидом.

4.2. вычисление объема усеченной пирамиды в Древнем Египте                           (см. приложение 4.2)

4.3. изображение икосаэдра, выполненное Леонардо Да Винчи                        (см. приложение 4.3)

4.4. Звездчатые многогранники французского механика Пуансо (XIX в.)

        (см. приложение 4.4)

5.                                                      Заключительный этап.

·                                 Подведение итогов занятия.

·                                 Мотивирование домашнего задания

·                                  Домашнее задание (см приложение 5.3)

Задачи первого вида № 1:

1)      ПОСТРОИЙТЕ ТРЕУГОЛЬНУЮ ПИРАМИДУ SABC

2)      ПОСТРОЙТЕ четырехугольную пирамиду SABCD

3)      Постройте четырехугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁

₄₎        Постройте треугольную призму ABCA₁B₁C₁

5)      Постройте параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁

6)      Постройте куб ABCDA₁B₁C₁D₁

7)      Постройте треугольную  призму ABCA₁B₁C₁

Приложение 3.2

Задачи  вида №2

1)      ПОСТРОЙТЕ СЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЬЮ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ М- СЕРЕДИНУ РЕБРА SB, ТОЧКУ К- СЕРЕДИНУ РЕБРА SC, ТОЧКУ N- РЕБРА SA

2)      Постройте осевое сечение

3)      Постройте сечение плоскостью, проходящей через точку М- середину ребра СС₁ и вершины А, С, В₁.

4)      Постройте сечение плоскостью, проходящей через вершины A, C, B₁

5)      Постройте диагональное сечение

₆₎        Постройте сечение плоскостью, проходящей через вершины D, C₁ и точки Е-середина ребра АА₁, К- середина ребра A₁B₁

7)      Постройте сечение плоскостью, проходящей через боковое ребро AA₁ и высоту основания, проведенную из вершину А

Приложение 3.3Задача №1

Задача№1

 

Задача№2

Задача №3

Приложение 3.4

Ответы к задачам второго типа.

ЗАДАЧА № 1

Порядок действий:

1.      Запишем формулы для нахождения площади полной поверхности, площади боковой поверхности, площади основания.

S_п.п.= S_б.п. +S_осн.

S_б.п=Р_осн.·Н

S_осн.=АВ²

2. Сделаем дополнительное построение:

    а) проведем SE- высоту боковой грани SDC

    б) т.к. пирамида правильная, то DE=EC

    в) соединяем т. О и т. Е

3.  Найдем отрезок ОЕ

ОЕ = АВ= 5=2,5 см., т.к. отрезок ОЕ параллелен АВ

4. Найдем площадь основания:

S_осн. = АВ² = 5² = 25 см² 

5. Найдем периметр основания:

P_осн = 4· АВ = 4 · 5 = 20 см.

6. Найдем апофему (высоту боковой грани) из ∆ SOE

SE² = SO² + OE² = 6² + 2,5² = 36+6,25 = 42,25

    SE = = 6,5 см.

7.      Подставим полученные значения в формулу для нахождения площади боковой    поверхности:

S_б.п.= = 65 см²

8. Найдем площадь полной поверхности. Для этого подставим полученные значения в формулу:

S_п.п.= 65 + 25 = 90 см²

Ответ : S_п.п.= 90 см²

Задача № 2

1. Запишем формулы для нахождения высоты и объема :

V = S_осн. · Н

S_п.п. =  S_б.п. + 2 · S_осн = P_осн. · Н + 2 ·АВ ·AD

Из последней формулы легко находится значение высоты:

Н =

2. Найдем периметр основания:

P_осн = 2 · АВ + 2 · AD = 2· 5 + 2· 4 = 18 см.

3. Найдем площадь основания:

S_осн = АВ ·AD = 5 · 4= 20 см² 

4. Подставим полученные значения в формулу для нахождения высоты:

Н = 6 см²

5. Найдем объем параллелепипеда:

V = 20 · 6 = 120 см³

Ответ : Н = 6 см²

V = 120 см³

Задача № 3

1. Напишем формулы для нахождениявысоты и объема:

V = S_осн. · Н

S_п.п. =  S_б.п. + 2 · S_осн = P_осн. · Н + 2 · S_осн

2. Выведем из последней формулы формулу для нахождения высоты:

Н =

3. Найдем периметр основания:

 Р_осн. = АВ + ВС + АС = 13 +14 +15 =42

4. Найдем площаль основания, для этого воспользуемся формулой Герона:

S_осн =

S_осн =  = 84 см²

5. Подставим полученное значение в формулу для нахождения высоты:

Н =  = 5 см

6. Найдем объем треугольной призмы:

V = 5 · 84 = 420 см³

                                                                                Ответ : Н = 5 см;

V = 420 см³

Приложение 4.1

Определение многогранника и пирамиды в древности.

Подобно тому как треугольник в понимании Евклида не является пустым, т. е. представляет собой часть плоскости, ограниченную 'тремя неконкурентными (т. е. не пересекающимися в одной точке) отрезками, так и многогранник у него не пустой, не полый, а чем-то заполненный (по-нашему — частью пространства).

В античной математике, однако, понятия отвлеченного пространства еще не было. Евклид определяет

призму как телесную фигуру, заключенную между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями — параллелограммами.

Для того чтобы это определение было вполне корректным, следовало бы, однако, доказать, что плоскости, проходящие через пары непараллельных сторон оснований, пересекаются по параллельным прямым. Евклид употребляет термин «плоскость» как в широком смысле (рассматривая ее неограниченно продолженной во все направления), так и в смыс­ле конечной, ограниченной ее части, в частности грани, аналогично применению им термина «прямая» (в широком смысле — бесконечная прямая и в узком—отрезок).

В XVIII в. Тейлор дал такое определение призмы:

Призма: многогранник, у которого все грани, кроме двух, параллельны одной прямой.

Пирамиду Евклид определяет так

Пирамида:телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся к одной точке (вершине).

Это определение подвергалось критике уже в древности, например Героном::

Пирамида-фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник.

Приложение 4.2

Вычисление объема усеченной пирмаиды в Древнем .Египте.

В древнейших египетских и вавилонских памятниках отсутствуют примеры на вычисление объема полной пирамиды, но в них встречается вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием. У вавилонян последняя рассматривается как частный случай призмы. Объемы усеченных пирамид с квадратным основанием вычисляются как объемы параллелепипедов, вместо площади основания которых берется средняя арифметическая площадей оснований усеченной пирамиды.

Самой интересной из известных задач древнего Египта является 14-я задача Московского папируса, написанного около 400 лет назад. В ней вычисляется, вероятно, впервые в истории, объем усеченной пирамиды.

Знак«идущих ног» _-/\ означает возведение в квадрат, а пирамида изображена в виде трапеции. Нижнее основание равно 4, верхнее— 2; их площади соответственно равны 16 и 4. Высота равна 6. Текст решения задачи примерно таков:

«Действия с О\.

Как скажут тебе: «усеченная пирамида» в 6, в «площади» по 4 в нижней, по 2 в верхней.

Действуй ты: сделай 4 эти _/\   ; получается теперь 16.

Действуй ты: удвой 4; получается теперь 8.

Действуй ты: сделай 2 эти _/\   ; получается теперь 4.

Действуй ты: сложи ты эти 16 вместе с этими 8, вместе с этими 4; получается теперь 28.

Действуй ты: сделай ты-^-от 6; получается теперь 2.

Действуй ты: делай ты 28 раз 2; получается теперь 56.

Смотри: она в 56.

Нашел ты хорошо».

Приложение 4.3

 

1)    тетраэдр(от греческих слов «тетра» — четыре и «эдра» грань), имеющий 4 грани, 4 вершины, 6 ребер;

2)      гексаэдр(«гекса» — шесть): 6 граней, 8 вершин, 12 pe6eр

3)      октаэдр(«окто» — восемь): 8 граней, 6 вершин, 12 ребер;

4)    додекаэдр(«додека» — двенадцать): 12 граней, 20 вершин, 30 ребер;

5)   икосаэдр   («эйкоси» — двадцать):  20 граней, 12 вершин, 30 ребер.

Приложение 5.3

1.     Повторить формулы.

2.     Повторить определения.

3.     Задачи

a)     Построить диагональное сечение куба и найти его площадь, если его ребро равно 5 см.

b)    Найти объем правильной треугольной пирамиды, если периметр ее основания равен 12 см, а высота равна 7 см.

Краткое описание документа:

Представляю разработанную мною дополнительную общеразвивающую программу творческого объединения "В мире математики".

Программа направлена на подготовку обучающихся 10 и 11 классов к итоговой аттестации. Содержит алгебраический и геометрический материал. Тематическое планирование предполагает теоритические и практические занятия, итоговые занития по темам.

В приложении программы содержатся:

• мониторинг образовательной работы в творческом объединении,
• разработка итогового занятия.

Данная разработка рекомендуется педагогам дополнительного образования и учителям математики.