Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Рабочие программы / Программа элективного курса по математике
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Программа элективного курса по математике

библиотека
материалов


Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11 с углубленным изучением отдельных предметов» Нижнекамского муниципального района Республики Татарстан













Авторская программа элективного курса по математике

для учащихся 11 класса

«Некоторые способы решения геометрических задач»







учителя математики

высшей квалификационной категории

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 11 с углубленным

изучением отдельных предметов»

Морозовой Татьяны Николаевны











Нижнекамск

2011 год.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Элективный курс “Некоторые методы решения геометрических задач” раз­работан в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Госу­дарственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элек­тивный курс как компонент образования должен быть направ­лен на удовлетворение познавательных потребностей и инте­ресов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не ха­рактерны для традиционных учебных курсов.

Одной из самых важных целей преподавания геометрии является формирование и развитие у учащихся пространственных представлений, а также способности и умения производить операции над пространственными объектами. Достижение этой цели важно не только для тех учащихся, которые в дальнейшем посвятят себя техническим профессиям, но и для тех, кто выберет специальности архитектора, художника, дизайнера, модельера, конструктора, астронома и других.

Решение геометрических задач вызывает трудности у многих учащихся. Это объясняется прежде всего тем, что редко какая либо задача по геометрии может быть решена с использованием определённой теоремы или формулы. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, применение различных формул. Приобрести навык в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приёмами и подходами.

Знакомство учащихся с методами решения геометрических задач стимулирует анализ учащихся своей деятельности по решению задач, выделению в них общих подходов и методов, их теоретическое осмысление и обоснование, решение заданий несколькими способами. Знание методов решения геометрических задач позволяет решать, казалось бы, сложные математические задачи просто, понятно и красиво. Особая роль отводится рисунку, помогающему «развернуть» задачу, сделать ее наглядной.

Кроме того, предлагаемый курс позволяет создать целостное представление о теме и значительно расширить спектр задач, благодаря пониманию методов, приёмов решения задач.

Содержание курса «Некоторые методы решения геометрических задач» представляет собой расширенный, углубленный вариант базового курса стереометрии 10-11 классов, программа курса рассчитана на 34 часа (2 часа в неделю) для учащихся 11-го класса. Программа опробирована для классов с социально-гуманитарным и информационно-технологическим профилем.

Конструирование программного содержания на занятиях по курсу может быть проведено по алгоритму:

1. Обобщение первоначальных знаний;

2. Систематизация, конкретизация и углубление теоретических знаний;

3. Проектирование и организация практической деятельности учащихся по применению базисных знаний.

Такая конструкция программного материала, законченность блоков содержания, помогает ученику достигать поставленных перед ним дидактических задач и позволяет осуществлять интеграцию разных видов и форм обучения.

Технологии, используемые в системе курса, ориентированы на то, чтобы ученик получил такую практику, которая поможет ему лучше овладеть профильными умениями, успешно сдать экзамены по математике.



Цели курса:

- углубить теоретическое и практическое содержание курса стереометрии;

- развивать пространственные представления и логическое мышление;

- развивать умение применять знания на практике, приводить аргументированное решение, анализировать условие задачи и выбирать наиболее рациональный способ решения.

Задачи курса:

- расширить и углубить представления учащихся о приемах и методах решения стереометрических задач;

- создать условия для выдвижения различных гипотез при поиске решения задачи и доказательства истинности или ложности этих гипотез;

- применять знания алгебры и тригонометрии при решении задач;

- развивать интерес и положительную мотивацию изучения геометрии, создавать условия для подготовки учащихся к успешной сдаче ЕГЭ по математике.

Структура курса представляет собой шесть логически закон­ченных и содержательно взаимосвязанных тем, изучение кото­рых обеспечит системность и практическую направленность знаний и умений учеников. Разнообразный дидактический ма­териал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся различной степени подготовки. Все занятия направ­лены на расширение и углубление базового курса. Содержание курса можно варьировать с учетом склонностей, интересов и уровня подготовленности учеников.

Основной тип занятий - практикум. Для наиболее успеш­ного усвоения материала планируются различные формы ра­боты с учащимися: лекционные и практические занятия, с использованием презентаций, группо­вые, индивидуальные формы работы. Для текущего контро­ля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия зада­ний, часть которых выполняется в классе, а часть - дома са­мостоятельно. Изучение данного курса заканчивается прове­дением итоговой контрольной работы.







В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- выполнять чертежи по тексту задачи; строить сечения многогранников; выделять проекции;

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения задач;

- применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;

- уметь анализировать задачу и выбирать наиболее рациональный способ ее решения.

Возможные критерии оценок.

Критерии при выставлении оценок могут быть следующими.

Оценка «отлично». Учащийся освоил теоретический мате­риал курса, получил навыки его применения при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать са­мостоятельно.

Оценка «хорошо». Учащийся освоил идеи и методы дан­ного курса в такой степени, что может справиться со стан­дартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свиде­тельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании об­щих умений учащегося.

Оценка «удовлетворительно». Учащийся освоил наибо­лее простые идеи и методы решений, что позволяет ему дос­таточно успешно решать простые задачи.















УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

п/п

Наименование тем курса

Всего часов

В том числе

Форма контроля

лекция

практика

1

Изображение пространственных фигур

3

1

2


2

Модели пространственных фигур. Позиционные построения

6

2

4

Самостоятельная работа

3

Координатный метод решения задач

6

1

5

Самостоятельная работа

4

Векторно-координатный метод решения задач

6

1

5

Самостоятельная работа

5

Метод ортогонального проектирования

6

1

5

Самостоятельная работа

6

Решение разнообразных задач по всему курсу. Итоговый контроль

5

2


5

2

Семинар, контрольная работа


Всего

34

6

28










СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ КУРСА

Тема 1. Изображение пространственных фигур (3 часа).

Пропедевтический материал. Введение в тему. Повторение свойств параллельного проектирования. Правила изображения пространственных фигур. Выполнение чертежа. Взаимное расположение фигур и их элементов с использованием наглядности и готовых чертежей.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: опрос, проверка самостоятельно выполненных упражнений.

Тема 2. Модели пространственных фигур. Позиционные построения (6 часов).

Склеивание моделей из разверток. Построение сечений многогранников (аксиоматический метод). Построение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой. Построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости. Построение сечения, проходящего через заданную прямую, параллельно другой заданной прямой. Построение сечения, проходящего через заданную точку, параллельно двум заданным скрещивающимся прямым. Построение линии пересечения заданных плоскостей.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение моделей, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: опрос, проверка самостоятельно выполненных упражнений и моделей. Самостоятельная работа.

Тема 3. Координатный метод решения задач (6 часов).

Прямоугольная система координат в пространстве. Применение метода координат к решению задач на нахождение расстояния между точками, расстояния от точки до прямой, площади треугольника.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельно выполненных упражнений. Самостоятельная работа.

Тема 4. Векторно-координатный метод решения задач (6 часов).

Векторы в пространстве. Координаты векторов. Применение векторно-координатного метода решения задач на вычисление расстояния между точками, расстояния от точки до плоскости, угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельно выполненных упражнений. Самостоятельная работа.

Тема 5. Метод ортогонального проектирования (6 часов).

Свойства ортогонального проектирования. Нахождение расстояний и углов между скрещивающимися прямыми методом ортогонального проектирования. Применение свойств прямого трехгранного угла в задачах на многогранники.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельно выполненных упражнений. Самостоятельная работа.

Тема 6. Решение разнообразных задач по всему курсу (5 часов).

Итоговый контроль (2 часа).















Методическое обеспечение:

Курс «Некоторые способы решения геометрических задач» является открытым, в него можно добавлять новые фрагменты. Программа мобильна, то есть дает возможность уменьшать количество задач по данной теме (так как многие задания предназначены для отработки навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов.

В курсе заложена возможность вести дифференцированное обучение. Ученику нужно давать время на размышление, учить рассуждать, выдвигать гипотезы и версии.

Учащиеся могут самостоятельно выбирать темы для групповой работы, задачи для презентации темы, задачи, методы решения для самостоятельного проведения занятий как в групповой, так и в индивидуальной форме. На занятиях круглого стола каждая группа «защищает» свой метод решения задачи.

В кабинете имеется электронное пособие, которое содержит готовые чертежи к задачам и презентации; литература:

-учебники за 7, 8,9, 10-11 классы;

- справочники для поступающих в вузы;

- сборники вариантов ЕГЭ за последние годы;

-периодические издания «Квант», «1сентября» и другие.

Внешние условия:

Работа по программе предполагает сотрудничество педагогов и учащихся:

- со школами и высшими учебными заведениями;

- родителями учащихся

Теоретические и практические занятия проводятся в оборудованном кабинете математики. Для проведения занятий в кабинете имеется ноутбук и компьютер, проектор, интерактивная доска.

Задания для самостоятельной работы учащихся.

Работа с рекомендованной литературой.

Самостоятельное решение предложенных задач с последующим обсуждением вариантов решения.

Самостоятельный подбор задач по теме элективного курса с использованием дополнительной математической литературы.

Самостоятельное конструирование задач по изучаемому курсу и их презентация.





































Рекомендуемая литература

Литература для учителя

  1. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. – М.: АСТ: Астрель, 2010.

  2. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. – М.: АСТ: Астрель, 2011.

  3. Куканов М.А. Математика.9-11 классы: решение заданий ЕГЭ высокой степени сложности. Основные методы и приемы – Волгоград: Учитель, 2009.

  4. Кочагин В.В., Кочагина М.Н. ЕГЭ2010.Сборник заданий. – М.: Эксмо,2009.

  5. Литвиненко В.Н. Сборник задач по стереометрии с методами решений: Пособие для учащихся. – М.: Просвещение, 1998.

  6. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010 – Ростов-на-Дону: Легион-М,2009.

  7. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011 – Ростов-на-Дону: Легион-М,2010.

  8. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012 – Ростов-на-Дону: Легион-М,2011.

  9. Сагателова Л.С., Студенецкая В.Н. Практическая геометрия. Комбинации геометрических тел. 10-11 классы : методическое пособие с электронным приложением – М.: Планета, 2011.

  10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве: учебно-методическое пособие. – М.: Экзамен, 2009.

  11. Шарыгин И.Ф. Математика для поступающих в вузы: учебное пособие. – М.: Дрофа, 2006.





Литература для учащихся

  1. Высоцкий И.Р., Гущин Д.Д., Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ. – М.: АСТ: Астрель, 2011.

  2. Под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2012 – Ростов-на-Дону: Легион-М,2011.

  3. Математика. Большой энциклопедический словарь. – М.: Большая Российская энциклопедия, 2000.



































Приложение

Модели пространственных фигур.

Перерисуйте развертки пространственных фигур, подобных заданным на рисунках (с коэффициентом подобия k=3-5), на плотную бумагу и вырежьте их. Сделайте сгибы по штриховым линиям, нанесите клей на имеющиеся выступы и склейте модели этих фигур.

hello_html_m410ba426.jpghello_html_m4a7de96e.png























Рисунок 1



















Рисунок 2





hello_html_784fdb15.jpghello_html_m7f453cf6.jpg



























Рисунок 3

















Рисунок 4











hello_html_4fe19494.jpghello_html_m55601816.jpg































Рисунок 5



















Рисунок 6







hello_html_6a9e3527.jpg









































Рисунок 7















hello_html_3a52bebd.png

















































Рисунок 8







hello_html_m8780857.jpg

Рисунок 9























































Нахождение расстояний и углов между скрещивающимися прямыми методом ортогонального проектирования.

Использование этого метода основано на следующем утверждении: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки, являющейся проекцией одной из данных прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же плоскость. Угол между второй прямой и указанной ее проекцией дополняет до 90º угол между данными скрещивающимися прямыми.

hello_html_270abcdd.jpg

Рассмотрим скрещивающиеся прямые a и b. Пусть плоскость α перпендикулярна прямой a и пересекает ее в точке A. Тогда A - hello_html_m70e549d6.gif (рис. 1). Построим hello_html_m34a06653.gif - проекцию прямой b на a: hello_html_m23a79f0f.gif. В плоскости a расстояние от точки A до прямой hello_html_m34a06653.gif является искомым. Пусть AHhello_html_m684ca93c.gif. Докажем, что длина AH равна длине общего перпендикуляра данных скрещивающихся прямых. Так как H hello_html_m35d7ad9e.gif, то H – проекция некоторой точки P прямой b: HP hello_html_m6441d95e.gif. P hello_html_60df95bf.gif. В плоскости AHP проведем PQ hello_html_m6a20d9b7.gif hello_html_319464c0.gif PQhello_html_7a3210da.gifAH, то PQhello_html_7a3210da.gifa, PQhello_html_7a3210da.gifb, т.е. PQобщий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых. Так как угол HPB является углом между скрещивающимися прямыми a и b, то угол между b и hello_html_m34a06653.gif дополняет hello_html_fceb2ce.gif HPB до 90º. Таким образом утверждение полностью доказано.

Свойства ортогонального проектирования, предполагая, что рассматриваемые в них отрезки и прямые не перпендикуляры плоскости проекции:

  1. Проекцией фигуры, лежащей на плоскости проекции, является сама эта фигура.

  2. Проекцией прямой (отрезка) является прямая (отрезок).

  3. Отношение длин параллельных отрезков равно отношению длин их проекций.

  4. Площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади этого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции: hello_html_6aa55f8c.gif.

Задача 1

Дан куб ABCDhello_html_m3a372fc6.gif с ребром a. Точка K – середина BC. Найдите расстояние между прямыми AC и hello_html_20b8e85a.gif.

hello_html_m7ed40770.jpg

Решение.

Построим плоскость, перпендикулярную прямой AC – плоскость BDhello_html_m7ce6ee5f.gif. Пусть O – точка пересечения BD и AC, hello_html_me8b84bf.gif- точка пересечения hello_html_1a5bd5ec.gif- точка на прямой BD такая, что Khello_html_3c2ea3d7.gif. Тогда O – ортогональная проекция прямой AC, hello_html_49a90fd1.gif- ортогональная проекция hello_html_20b8e85a.gif на плоскость hello_html_8f62ae1.gif Следовательно, расстояние от точки O до hello_html_49a90fd1.gif, то есть высота треугольника Ohello_html_49a90fd1.gif, опущенная на сторону hello_html_m1eeab9f3.gif будет искомым расстоянием h.

hello_html_336407ca.gif

hello_html_m3115ed38.gif

Ответ: hello_html_m1387ca7e.gif

Задача 2

К диагонали hello_html_m566d7fce.gif куба ABCDhello_html_m3a372fc6.gif провели перпендикуляры из вершин A и B. Найдите угол между этими перпендикулярами.


hello_html_m653e53a2.jpgРешение.

Проведем плоскость α, αhello_html_m23c5ec18.gif. Проекция куба на плоскость α – правильный шестиугольник hello_html_m374ae087.gif Перпендикуляры к hello_html_m3edcae76.gif параллельны плоскости α, поэтому угол между их проекциями равен искомому углу hello_html_m4ca4ae0e.gif

Ответ: 60 hello_html_m3ef71629.gif

Задача 3

Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями соседних граней куба с ребром 1.

hello_html_m6021701c.jpg

Решение.

Рассмотрим куб hello_html_m6f094916.gif. Будем искать расстояние между прямыми hello_html_m11c5c817.gif. Спроектируем куб на плоскость, проходящую через точку B и перпендикулярно диагонали hello_html_m761f8984.gif (проекции куба на этом рисунке обозначены также, как и его соответствующие вершины, но с добавлением «штриха»). Задача сводится к нахождению расстояния от точки hello_html_3dd416f.gif. Поскольку плоскость hello_html_m3325907c.gif перпендикулярна прямой hello_html_m761f8984.gif, то прямоугольник hello_html_m7c083354.gif равен прямоугольнику hello_html_m3325907c.gif. Но hello_html_m38878cfe.gif - середина отрезка hello_html_65f6b94c.gif, следовательно, в прямоугольном треугольнике hello_html_3dd4b5fa.gif равны соответственно hello_html_47b620a8.gif и 1, hello_html_7ab2cba9.gif Если hello_html_acebe28.gif– высота, проведенная к гипотенузе hello_html_m3c22a7ff.gif, то hello_html_18aefb85.gif.

Ответ: hello_html_365aa9d9.gif

Задачи для самостоятельного решения

1)В правильной шестиугольной призме hello_html_m47155035.gif с высотой H и стороной основания a найти расстояние и угол между прямыми: a)hello_html_28ea03ee.gif

Ответ: hello_html_71786c6b.gif

2)Точка E – середина hello_html_m341a44f4.gifкуба hello_html_m6f094916.gif. Найти угол между прямыми hello_html_m38036b6c.gif

Ответ: hello_html_m76baa833.gif

3)В кубе hello_html_m6f094916.gif найти угол:

а)между диагональю основания BD и диагональю куба hello_html_5332d5cd.gif

б)между hello_html_7626e773.gifгде M – середина ребра hello_html_28e5c106.gif

Ответ: а)90º; б)acrcoshello_html_3df78cba.gif

4)В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания a и боковым ребром hello_html_m27c2132c.gifa найти расстояние и угол между апофемой и диагональю основания.

Ответ: hello_html_m1cef65f1.gif

5)Сторона основания ABCD правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна a, высота SA равна h. Найти расстояние между BD и SA.

Ответ: hello_html_m26a3e39b.gif



6)Основание прямого параллелепипеда ABCDhello_html_m3a372fc6.gif - квадрат со стороной a, боковое ребро равно b. Найти расстояние между прямыми hello_html_b44055a.gif.

Ответ: hello_html_3b450f4c.gif

7)Ребро куба равно a. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а) диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба.

Ответ: а)hello_html_m11822b9a.gif, б)hello_html_64d15ca7.gif

8)К диагонали hello_html_6be07ac8.gif провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.

Ответ: 60º

9)Найти расстояние между диагональю hello_html_39517032.gif куба hello_html_m6f094916.gif и диагональю hello_html_5cccfc54.gif грани, если ребро куба равно a.

Ответ: hello_html_18396fe0.gif

10)В пирамиде DABC известны длины ребер: BC=DA=12. AB=AC=DB=DC=10. Найдите расстояние между прямыми DA и BC.

Ответ: 2hello_html_4566ed86.gif



















Векторно-координатный метод решения задач.

Угол между скрещивающимися прямыми

Применяя векторно-координатный метод, следует иметь ввиду, что если hello_html_76b6e066.gif - угол между скрещивающимися прямыми, то hello_html_m135d3494.gif, где hello_html_m2df035e0.gif - векторы, коллинеарные заданным скрещивающимся прямым.

Задача 1.

Все боковые грани призмы hello_html_5bb5cc4b.gif – квадраты. На ее ребрах AB, hello_html_m566d7fce.gif, hello_html_51831f35.gif и hello_html_1bdc60ec.gif взяты соответственно точки P, Q, R и hello_html_m557b2c48.gif- середины этих ребер. Найдем угол между прямыми PQ и Rhello_html_m63e006ba.gif

hello_html_179f908.jpg

Решение.

Введем в пространстве прямоугольную призму координат. Точка P – начало, hello_html_m4fd01687.gif В этой системе координат P(0;0;0), A(1;0;0), C(0;hello_html_m7665a5a9.gif;0), R(0;0;2).

Находим координаты точек Q, hello_html_542c7ab.gif и вектора hello_html_2162f98b.gif и hello_html_481e84d6.gif. Получаем:

hello_html_551bee1c.gif-1).

Тогда hello_html_m6da2fbf4.gif

Ответ: hello_html_25c64c14.gif



Задачи для самостоятельного решения

1)В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Ребро MA перпендикулярно плоскости основания, и MA=AC=BC. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки D, E и F – середины этих ребер. Найдите углы между следующими прямыми: a) BD и CE; б) BD и AF; в) CE и AF.

Ответ: а) arccoshello_html_726f877d.gif; б) arccoshello_html_m121bb4ff.gif; в) 90º

2)В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник ABC. Ребро MC перпендикулярно плоскости основания, и MC=AC=BC. На ребрах MC, MB и MA взяты соответственно точки D, E и F – середины этих ребер. Точка O – центр тяжести треугольника ABC. Найдите углы между следующими прямыми: a) MO и AE; б) AE и CF; в) OD и CF.

Ответ: а) arccoshello_html_m16880619.gif; б) arccoshello_html_726f877d.gif; в) arccoshello_html_m234e62f9.gif.

3)В основании пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и MB=AB. На ребре MC взята точка P – середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая DP со следующими прямыми: a) AC; б) MA; в)MO, где точка O – центроид основания.

Ответ: а) arccoshello_html_m3253e4d8.gif; б) arccoshello_html_6b4b8c87.gif; в) arccoshello_html_m7d37e921.gif.



4)В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Высота MO пирамиды равна диагонали основания и проектируется в точку пересечения диагоналей. На ребрах MC и MB пирамиды взяты соответственно точки K и L – середины этих ребер. Найдите углы между следующими прямыми: a) DL и AC; б) BK и DL; в) DK и MA.

Ответ: а) arccoshello_html_m18145c16.gif; б) arccoshello_html_1ea04856.gif; в) arccoshello_html_m10267a22.gif.



5) 4)В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Высота MO пирамиды проектируется в точку O – середину ребра BC, и MO=AB, на ребре MA взята точка P – середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая DP со следующими прямыми: a) MO; б) AC; в) MC.

Ответ: а) arccoshello_html_4cc2a98a.gif; б) arccoshello_html_m55b37380.gif; в) arccoshello_html_67d36be0.gif.



6)На диагонали hello_html_4fd4a8bd.gif куба hello_html_m6f094916.gif взяты точки P и Q, такие, что DP=PQ=Qhello_html_m426c88ed.gif. Найдите углы, которые образует прямая hello_html_m448a4440.gif со следующими прямыми: a) hello_html_104c76c8.gif; б) BQ; в)CQ.

Ответ: а) arccoshello_html_593cfa40.gif; б) arccoshello_html_593cfa40.gif; в) 90º.



7)Боковое ребро правильной призмы hello_html_m6f094916.gif в два раза больше стороны ее основания. В гранях ABCD и hello_html_ma15b331.gif взяты соответственно точки O и P – центры этих граней. Найдите углы, которые образует прямая OP со следующими прямыми: a) Bhello_html_73684a50.gif; б) hello_html_4fd4a8bd.gif; в) hello_html_m3edcae76.gif.

Ответ: а) arccoshello_html_67345375.gif; б) arccoshello_html_m65289403.gif; в) arccoshello_html_m65289403.gif.

8)На ребрах AB, AC, MB и MC правильной пирамиды MABC, все плоские углы при вершине M которой прямые, взяты соответственно точки D, E, F, K – середины этих ребер. Точка O – точка пересечения медиан основания пирамиды. Найдите углы между следующими прямыми: a) BE и MD; б) BE и AF; в) AF и OK.

Ответ: а) arccoshello_html_726f877d.gif; б) arccoshello_html_m106eb422.gif; в) arccoshello_html_m2104ef7c.gif.

9)В основании пирамиды MABC лежит правильный треугольник ABC, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, и MB=AB. На ребрах MC и AC взяты соответственно точки D и E – середины этих ребер, а точка O – точка пересечения медиан треугольника ABC. Найдите углы, которые образует прямая BD со следующими прямыми: a) MA; б) ME; в) MO.

Ответ: а) arccoshello_html_m392f2b8.gif; б) arccoshello_html_7cc41502.gif; в) arccoshello_html_m5c29a53a.gif.

10)Прямоугольник ABCD с отношением сторон AB:BC=3:1 согнут по прямой PQ, параллельной прямой BC, так, что прямая AP перпендикулярна прямой PB и AP:PB=2:1. Найдите углы между следующими прямыми: a) BD и AQ; б) BQ и DP; в) BD и AR, где точка R – середина отрезка DQ.

Ответ: а) arccoshello_html_m65289403.gif; б) arccoshello_html_m6b7d40da.gif; в) arccoshello_html_726f877d.gif.

Контрольная работа

Вариант 1

1

В правильном тетраэдре MABC на ребре AC взята точка P – его середина, а на апофеме MD грани MAB – точка K – середина апофемы. Считая ребро тетраэдра равным 2, найдите расстояния до KP от следующих точек: а) A; б) B; в) M.

Ответ: а) hello_html_5db614f9.gif; б) hello_html_f9eeba3.gif; в) hello_html_m527e0b92.gif.

2

Высота MO правильной пирамиды MABCравна стороне ее основания. На отрезке OB взята точка P – середина этого отрезка. Найдите угол, который образует с плоскостью MAB прямая MO.

Ответ: hello_html_60a2abe2.gif

3

Основанием прямой треугольной призмы hello_html_5bb5cc4b.gif является равнобедренный треугольник ABC, в котором AB=BC=20, AC=32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка P принадлежит ребру hello_html_m419ea97.gif причем BP:hello_html_m54c6ca2b.gif. Найдите тангенс угла между плоскостями hello_html_7f171d2.gif и ACP.

Ответ: 0,5

4

Точка O лежит на ребре hello_html_m395bd542.gif куба hello_html_m6f094916.gif, точка P является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO:Dhello_html_73684a50.gif=1:5. Найдите косинус угла между прямой OP и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины C.

Ответ: hello_html_5fa0cbb1.gif

Вариант 2

1

Основанием прямой призмы hello_html_m6f094916.gif является трапеция, основание AD которой равно боковой стороне AB и боковому ребру призмы, а основание BC равно 2. На сторонах AD и CD взяты соответственно точки P и Q – середины этих сторон. Считая AD=1, найдите расстояния от точки hello_html_m3fdb0b9d.gif до следующих прямых: а) Ahello_html_4fd4a8bd.gif; б) hello_html_m5c9365f9.gif; в) hello_html_m46cfb76e.gif.

Ответ: а) hello_html_786d4ff7.gif; б) hello_html_200e401a.gif; в) hello_html_773ea138.gif.

2

Высота MO правильной пирамиды MABCравна стороне ее основания. На отрезке OB взята точка P – середина этого отрезка. Найдите угол, который образует с плоскостью MAB прямая MP.

Ответ: 30º

3

Основание прямой треугольной призмы hello_html_5bb5cc4b.gif - треугольник ABC, в котором AB=AC=8, а один из углов равен 60º. На ребре hello_html_m4920c01d.gifотмечена точка P так, что AP:hello_html_277a501e.gif=2:1. Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и CPB, если расстоянии между прямыми AB и hello_html_m1034b5e3.gif равно 18hello_html_m7665a5a9.gif.

Ответ: 3

4

В кубе hello_html_m6f094916.gif точка K лежит на ребре hello_html_m4920c01d.gif, точка M лежит на ребре hello_html_m7593dcf7.gif, длина ребра BC=10. Найдите косинус угла между прямой KM и диагональю куба, которая выходит из вершины B, если AK:Khello_html_2ed96a51.gif, hello_html_m39f371b.gif

Ответ: hello_html_m5adb1dc5.gif





































Угол между прямой и плоскостью.

Решение задач векторно-координатным методом состоит в следующем. Используя особенности заданной фигуры, задают в пространстве прямоугольную систему координат. В этой системе находят координаты какого-нибудь вектора hello_html_11a9a1eb.gif, коллинеарного заданной прямой, и вектора hello_html_m3ab18840.gif - нормального вектора заданной плоскости. Далее находят косинус угла между векторами hello_html_11a9a1eb.gif и hello_html_m3ab18840.gif.

Угол между прямой и плоскостью находят по формуле hello_html_m95f5547.gif.

Задача 1.

На ребрах hello_html_51831f35.gif и hello_html_m395bd542.gif куба hello_html_m6f094916.gif взяты соответственно точки P и Q- середины этих ребер. Найдем угол, который образует прямая hello_html_4fd4a8bd.gif с плоскостью hello_html_m32766303.gifпроходящей через вершину hello_html_m3fdb0b9d.gif перпендикулярно прямой PQ.

hello_html_59b65a5f.png

Решение.

Воспользовавшись тем, что ребра BA, BC и hello_html_m14ef40b1.gif попарно перпендикулярны и равны, зададим в пространстве прямоугольную систему координат hello_html_49c2c9a9.gif.

В этой системе координат B(0;0;0), A(1;0;0), C(0;1;0), hello_html_m426c88ed.gif(0;0;1).

Найдем координаты точек D, P, Q и векторов hello_html_m4f59f4de.gif коллинеарного заданной прямой hello_html_4fd4a8bd.gif, и hello_html_2162f98b.gif - нормального вектора плоскости α. Получаем: D(1;1;0), P(hello_html_5b2be360.gif;0;1), Q(1;1;hello_html_5b2be360.gif), hello_html_m4f59f4de.gif(1;1;-1), hello_html_2162f98b.gif(hello_html_5b2be360.gif;1;-hello_html_5b2be360.gif).

Пусть hello_html_mf099089.gif – это искомый угол. Тогда hello_html_440b31d6.gif

Ответ: угол между прямой hello_html_4fd4a8bd.gif и заданной плоскостью hello_html_2cdb75aa.gif равен hello_html_d17356d.gif



1)В основании пирамиды лежит квадрат ABCD, а ее вершина M проектируется в точку B, и MB=AB. На ребре MD взяты точки hello_html_m3d0d6668.gif такие, что hello_html_m1a7240cf.gifНайдите углы, которые образуют с плоскостью MAD следующие прямые: а) Chello_html_m18b2cdd1.gif б) Chello_html_fc862b8.gif; в) hello_html_4ddcd658.gif

Ответ: а) hello_html_m19e4b46d.gif; б) hello_html_707ec97b.gif; в) hello_html_43177dae.gif



2)В основании пирамиды MABCD лежит квадрат, а ее боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания и равно стороне основания. На ребре MC взяты точки hello_html_m65bc66a2.gif, hello_html_m669ad4f4.gif, и hello_html_58f0cfef.gif, такие, что Chello_html_m65bc66a2.gif=hello_html_6c710e97.gif=hello_html_m766520bb.gif=hello_html_15f0bbfa.gif Найдите углы, которые образуют с плоскостью MAB следующие прямые: а) Dhello_html_5d00356a.gif б) Dhello_html_m669ad4f4.gif; в) hello_html_m6bf170f4.gif.

Ответ: а) hello_html_mf2b9c17.gif; б) hello_html_m71910bcc.gif; в) hello_html_m3d8c47b0.gif

3)Диагональ hello_html_m3edcae76.gif правильной призмы hello_html_m6f094916.gif образует с плоскостью ее основания угол, равный 45°. Найдите углы, которые образует прямая hello_html_m3edcae76.gif со следующими плоскостями: а) hello_html_m3508ebcb.gif; б)hello_html_49d4c950.gif; в) hello_html_m5b326468.gif, где M – середина ребра hello_html_1bdc60ec.gif.

Ответ: а) hello_html_mb9504be.gif; б) hello_html_c4b4ff4.gif; в) hello_html_mb9504be.gif

4)Отношение высоты MO правильной пирамиды MABCD к стороне ее основания равно hello_html_b62d5d.gif. Через диагональ BD основания и точку K – середину ребра MC проведена плоскость. Найдите углы, которые образуют с плоскостью BDK следующие прямые: а) MO; б)MC; в)MB.

Ответ: а) hello_html_75b43dac.gif; б) hello_html_m39df97ad.gif; в) hello_html_m617cff3f.gif

5)На ребрах hello_html_m14ef40b1.gif, hello_html_m395bd542.gif и AD куба hello_html_m6f094916.gif взяты соответственно точки P, Q и R – середины этих ребер. Найдите углы, которые образуют с плоскостью PQR следующие прямые: а) hello_html_m2f457dee.gif; б) hello_html_104c76c8.gif; в) hello_html_m3edcae76.gif.

Ответ: а) hello_html_m19e4b46d.gif; б) hello_html_707ec97b.gif; в) hello_html_43177dae.gif

6)В основании пирамиды MABC лежит прямоугольный треугольник, у которого AC=BC. Боковое ребро MB перпендикулярно плоскости основания, а угол между прямыми MC и MB равен 60°. На ребре MB взяты точки hello_html_5b45989a.gif, hello_html_fc862b8.gif и hello_html_m58d72de3.gif, такие, что Bhello_html_5b45989a.gif=hello_html_m62b3362a.gif=hello_html_36d2ee08.gif. Найдите углы, которые образуют с плоскостью MAB следующие прямые: а) Chello_html_m18b2cdd1.gif б) Chello_html_fc862b8.gif; в) hello_html_4ddcd658.gif.

Ответ: а) hello_html_m3912d759.gif; б) hello_html_m470f4304.gif; в) hello_html_m50f3ae55.gif



7)Основанием пирамиды является правильный треугольник ABC, а ее вершина M проектируется в точку O, симметричную точке C относительно прямой AB. На ребре MC, образующем с плоскостью основания угол, равный 45°, взята точка K – середина этого ребра. Найдите углы, которые образует прямая AL со следующими плоскостями: а) MOC; б)MBC; в) MAB.

Ответ: а) hello_html_mb9504be.gif; б) hello_html_5953659a.gif; в) hello_html_m1082f45d.gif

8)В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом, равным 60°. На ребрах MA, MB и MC взяты соответственно точки P, Q и R – середины этих ребер. Найдите углы, которые образуют с плоскостью MAC следующие прямые: а) DP; б)DQ; в) DR

Ответ: а) hello_html_m21442882.gif; б) hello_html_m11a7d270.gif; в) hello_html_1bfb6426.gif

9) В основании пирамиды MABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=1:2. Каждое боковое ребро образует с плоскостью основания угол, равный 30°. На высоте MO пирамиды взята точка P – середина высоты. Найдите углы, которые образует прямая DP со следующими плоскостями: а) MAC; в) MAD; б) MCD.

Ответ: а) hello_html_280804de.gif; б) hello_html_65c8f05a.gif; в) hello_html_4b8e0557.gif

10)В правильной пирамиде MABCD боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°. На высоте MO пирамиды взята точка K – середина MO. Найдите углы, которые образует прямая DK со следующими плоскостями: а)MAD; б) MBC; в) ACP, где точка P – точка пересечения прямых DK и MB.

Ответ: а) hello_html_m41dae468.gif; б) hello_html_5953659a.gif; в) hello_html_m62ccb13a.gif







Координатный метод решения задач.

  1. В пространстве введена прямоугольная система координат, за начало которой принята вершина В прямоугольного параллелепипеда hello_html_m6f094916.gif с отношением ребер АВ:АD:AA1=1:3:1. За единицу измерения принят отрезок, равный ВА, а за координатные оси приняты соответственно прямые ВА, ВС и ВВ1 с направлениями на них от точки В к точкам А, В, С1. Какие из шести точек Р1(4;4;1), Р2(-2;3;3), Р3(1;3;-2),Р4(4;1;-3), Р5(-3;-9;1), Р6(-1;-1;7) лежат: а) в плоскости АDC1; б) в плоскости ВВ1Р, где точка Р на ребре АD, такая, что АР:АD=1:3; в) в плоскости ВВ1D?

Ответ: а) Р2 и Р4, б)Р1 и Р6, в)Р3 и Р5.

  1. Высота правильной пирамиды МАВСD равна диагонали ее основания. Отрезки АD, МС и ВО (точка О- точка пересечения диагоналей основания) разделены каждый на 4 равные части таким образом, что АК11К22К33D, СС11С22С33М и ВВ11В22В33о. Считая АВ= 2а, найдите расстояние, наибольшее из следующих пар расстояний: а) К1С1 и К3С3; б) В1С1 и В3С3; в) К2С2 и ВС2.

Ответ: а) К1С1=hello_html_5842e0f2.gif, б) В3С3=hello_html_21b24b38.gif, в)К2С2=ВС2=hello_html_21b24b38.gif.

  1. Боковое ребро правильной призмы АВСА1В1С1 в два раза меньше стороны ее основания и равно 1. На ребре АС взята точка Р – середина этого ребра, а в грани АВВ1А1 взята точка О – центр этой грани. Найдите расстояния до прямой РО от следующих точек: а) А1, б) С, в) В1.

Ответ: а) hello_html_3f35d2b6.gif, б) hello_html_3f35d2b6.gif, в) hello_html_3f35d2b6.gif.

  1. Все плоские углы при вершине М правильной пирамиды МАВС прямые. На стороне ВС основания взяты точки Р1, Р2, Р3, такие, что ВР11Р22Р33С, а на боковом ребре МС взяты точки О1, О2, О3, такие, что МО11О22О3 3С. Считая боковое ребро равным 1, найдите площади следующих треугольников: а) АР3О1; б) АР1О2; в) АР2О3.

Ответ: а )hello_html_m3696c3a4.gif , б)hello_html_3679f239.gif, в)hello_html_m52cfc18a.gif.

  1. В основании призмы hello_html_m6f094916.gifлежит квадрат АВСD, от вершин которого одинаково удалена вершина А1.Боковое ребро призмы наклонено под углом600 к плоскости ее основания. На ребре АА1 взята точка Р – середина этого ребра, а на диагонали А1С взята точка О – середина диагонали. Считая АВ = 2, найдите площади следующих треугольников: а) СDР; б) СРО; в) В1РО.

Ответ: а)hello_html_ma773148.gif, б)hello_html_1678b33b.gif, в)hello_html_m346b050a.gif.





























Решение разнообразных задач по всему курсу.

  1. В кубе hello_html_m6f094916.gifточка М – середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АМ и ВD1.

Ответ: hello_html_67f4313c.gif.

  1. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 , все ребра которой равны 1, точка D – середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АD и ВС1.

Ответ:hello_html_533a1003.gif.

  1. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точка G- середина ребра А1В1. Найдите косинус угла между прямыми АG и ВD1.

Ответ: hello_html_1c929092.gif.

  1. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точка G- середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АG и плоскостью ВСС1.

Ответ: hello_html_m1082f45d.gif.

  1. В правильной шестиугольной призме АВСDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, точка G- середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АG и плоскостью ВDD1.

Ответ: hello_html_1c929092.gif.

  1. В кубе hello_html_m6f094916.gif точки Е, F – середины ребер соответственно А1В1 и А1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями АЕF и ВСС1.

Ответ:hello_html_4418c6f9.gif.

  1. В кубе hello_html_m6f094916.gif точки Е, F – середины ребер соответственно А1В1 и А1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями АЕF и ВDD1.

Ответ: hello_html_m32efad3d.gif.

  1. Найдите отношение расстояния между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра к радиусу описанного вокруг него шара.

Ответ: hello_html_7668576d.gif.

  1. Найдите отношение расстояния между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра к радиусу вписанного в него шара.

Ответ: hello_html_m52801b92.gif.

  1. В прямоугольном параллелепипеде hello_html_m6f094916.gif АВ=5, АD=3, АА1=4. Точка N лежит на отрезке ВD , точка М лежит на отрезке ВС1. Прямые А1N и АМ пересекаются. Определите тангенс угла наклона прямой АМ к плоскости АDD1, если известно, что ВN : ND = 2:5.

Ответ : hello_html_m1b8215cc.gif.





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Программа элективного курса по математике "Некоторые способы решения задач". Раз­работан в рамках реализации концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования и соответствует Госу­дарственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элек­тивный курс как компонент образования должен быть направ­лен на удовлетворение познавательных потребностей и инте­ресов старшеклассников, на формирование у них новых видов познавательной и практической деятельности, которые не ха­рактерны для традиционных учебных курсов.

 

 Содержание курса «Некоторые методы решения геометрических задач» представляет собой расширенный, углубленный вариант базового курса стереометрии 10-11 классов, программа курса рассчитана на 34 часа  для учащихся 11-го класса.

 Можно использовать для подготовки к ЕГЭ ( для задания № 17 - математика 2015)

Автор
Дата добавления 24.10.2014
Раздел Математика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров554
Номер материала 102468
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх