Департамент
общего и профессионального образования
Брянской
области
Государственное
бюджетное образовательное учреждение
среднего
профессионального образования
«Дятьковский
индустриальный техникум»
Программа
элективного курса по математике
«Решение
задач с параметрами»
1
курс
Рекомендовано
к использованию студентам первого и второго курсов всех специальностей
подготовки
|
составитель:
Манихина Т.А.
преподаватель
математики
ГБОУ
СПО « ДИТ»
|
Дятьково
2015
год
Пояснительная
записка
На первый курс техникума приходят выпускники 9-х
классов общеобразовательных школ с базовой математической подготовкой. И, хотя
они уже встречались с параметрами при решении линейных и квадратных уравнений,
этот материал требует дополнительной отработки.
Программа по математике для наших студентов не
предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры,
всеми обучающимися, и поэтому их изучение возможно только на внеклассных
занятиях. Для обучающихся, которые пока не проявляют заметной склонности к
математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету.
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании
логического мышления и математической культуры обучающихся. Уравнение
(неравенство) с параметром представляет собой не одно уравнение (неравенство),
а целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено
решение. Решение таких задач связано с исследовательской деятельностью, а для
этого необходимо иметь определённый уровень сформированности компетенций.
Данный элективный курс построен как расширенное
изучение темы «Задачи с параметрами». На первых занятиях с целью повторения и
систематизации знаний повторяются те темы, в которых присутствует сама идея
параметра. Затем обучающимся предлагаются простые задачи, которые решаются по
алгоритму, с последующим их усложнением, чтобы развивать умения решать задачи,
требующие более высокой математической культуры.
Материал курса способствует формированию и
функциональной грамотности: умению воспринимать и анализировать информацию,
представленную в различных формах, и универсальных учебных действий: наблюдать,
сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные
результаты.
Они учатся разбираться в условиях задачи, понимать,
насколько эти условия достаточны для её решения, переходить от аналитической
постановки задачи к её наглядной интерпретации и наоборот, отыскивать примеры и
контрпримеры для подтверждения или опровержения некоего утверждения, и также видеть
применение рассматриваемых задач в будущей профессии.
Одна из задач изучения курса – помочь обучающимся
увидеть внутренние связи, соотношение компонентов изучаемого, сходство и
различие между известным и вновь усваиваемым.
В процессе овладения курсом студенты получают
первоначальные навыки исследовательской работы, подготавливая себя к
последующей научно-исследовательской работе на старших курсах.
Исследовательский подход позволяет применять конкретные знания к различным
вариантам ситуаций, одновременно вооружая обучающихся общими методами
исследования на доступном им уровне.
Место курса в учебном плане: данный
курс рассчитан на 34 часа и предназначен для изучения на 1 курсе студентами,
обучающимися по всем специальностям.
Цели курса:
- формирование компетентной личности, способной к
жизнедеятельности и самоопределению в информационном обществе, ясно представляющей
свои потенциальные возможности, ресурсы и способы реализации выбранного
жизненного пути;
- формирование представлений о математике как
универсальном языке науки, средства моделирования явлений и процессов, об идеях
и методах математики;
- формирование учебных умений: наблюдать, сравнивать,
анализировать, обобщать и делать выводы;
- развитие навыков исследовательской работы;
-развитие логического мышления, алгоритмической
культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной
деятельности;
- овладение различными приёмами и методами решения
задач с параметрами.
Результаты освоения курса:
личностные:
обучающиеся:
- способны к жизнедеятельности и самоопределению,
представляют свои возможности и готовы к изучению выбранной профессии;
- умеют увидеть внутренние связи, соотношение
компонентов изучаемого, сходство и различие между известным и вновь усваиваемым;
- умеют работать с учебной и справочной литературой,
интернет ресурсами.
метапредметные:
- умеют определить необходимые теоретические сведения
и грамотно их применить;
- умеют выполнить необходимые обоснования и
вычисления;
- имеют опыт коллективного сотрудничества с
преподавателем и сверстниками;
- владеют необходимыми умениями организовать учебно –
познавательную деятельность и деятельность по выполнению творческих заданий;
предметные:
обучающиеся должны уметь:
- решать уравнения, неравенства с параметрами и их
системы, используя аналитический и графический методы;
- строить графики функций;
- выполнять необходимые обоснования и вычисления;
обучающиеся должны знать:
- понятие параметра;
-различные методы решения задач с параметром
(аналитический, графический);
- зависимость количества решений от значений
параметра;
- свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
- свойства функций в задачах с параметрами.
СОДЕРЖАНИЕ
элективного курса по математике «Решение
задач с параметрами»
для студентов 1 курса техникума
34 часа
Тема 1. Повторение. (4часа)
Введение. Повторение свойств линейной и квадратичной
функций и их графиков. Решение линейных уравнений и сводящихся к ним. Решение
линейных неравенств. Решение квадратных уравнений и неравенств.
Результаты обучения:
- знают определение линейной функции и её свойства,
умеют строить график, знают расположение графика в зависимости от углового
коэффициента;
- знают определение квадратичной функции, её свойства,
умеют строить график, знают расположение графика в зависимости от
коэффициентов;
-умеют решать линейные уравнения и неравенства;
- умеют решать квадратные уравнения, различными
методами;
- умеют решать квадратичные неравенства различными
методами.
Тема 2. Первоначальные
сведения о параметрах. (2час)
Понятия: уравнение, неравенство, переменные величины,
корни уравнения и решения неравенства, область определения уравнения
(неравенства), соотношение, равносильность, ограничения к значениям переменной,
семейство функций.
Параметр, решение соотношений с параметром, примеры
решения уравнений с параметром.
Результаты обучения:
- знают основные понятия, связанные с уравнениями и
неравенствами с параметрами.
Тема 3. Решение линейных уравнений и
неравенств, содержащих параметр (7часов)
Линейные уравнения и неравенства, уравнения и
неравенства приводимые к ним. Дробно- линейные уравнения и неравенства. Системы
линейных уравнений и неравенств. Аналитические и графические способы решения
линейных уравнений и неравенств. Определение числа корней уравнения в
зависимости от параметра.
Результаты обучения:
- знают методы решения линейных уравнений, неравенств.
- умеют решать линейные уравнения и неравенства,
дробно- рациональные уравнения и неравенства;
Тема 4. Решение квадратных уравнений и
неравенств, содержащих параметр (7часов)
Квадратные уравнения. Взаимное расположение корней
уравнения. Квадратичные неравенства. Задачи на нахождение наибольших и
наименьших значений. Системы уравнений и неравенств. Уравнения, приводимые к
квадратным. Аналитические и графические способы решения квадратных уравнений и
неравенств. Определение числа корней уравнения в зависимости от параметра.
Результаты обучения:
- знают взаимное расположение корней квадратного
уравнения,
- умеют решать квадратные и биквадратные уравнения и
неравенства;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из
которых задача имеет решение, с заданными свойствами;
Тема 5. Решение
уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр (4часов)
Понятие модуля. Методы решения уравнений с модулем. Графический
и аналитические методы решения уравнений и неравенств с модулем.
Результаты обучения:
- знают понятие модуля;
- знают методы решения уравнений и неравенств с
модулем;
- умеют решать уравнения и неравенства с модулем,
содержащие параметр;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из
которых уравнение или неравенство имеет решение, с заданными свойствами.
Тема 6. Решение
иррациональных уравнений и неравенств с параметром (2 часа)
Различные методы решения иррациональных уравнений и
неравенств в зависимости от условия.
Результаты обучения:
- знают определения иррациональных уравнений и
неравенств;
- знают методы решения иррациональных уравнений и
неравенств;
- умеют решать иррациональные уравнения и неравенства;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из
которых иррациональное уравнение или неравенство имеет решение, с заданными
свойствами.
Тема 7. Решение
показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром (4 часа)
Методы решения. Нестандартные приёмы решения.
Использование свойств показательной и логарифмической функций.
Результаты обучения:
- знают определения показательного и логарифмического
уравнения и неравенства;
- знают методы решения показательных и
логарифмических уравнений и неравенств;
- умеют решать показательные и логарифмические
уравнения и неравенства;
- умеют найти все значения параметра, при каждом из
которых данное уравнение или неравенство имеет решение, с заданными свойствами.
Тема 8. «Решение задач с параметром из ЕГЭ
(С5)»
Итоговая контрольная работа (2часа)
ТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПЛАНИРОВАНИЕ
№
|
Тема занятия
|
Количество
часов
|
Учебная деятельность обучающихся
|
1.
|
Введение.
|
1
|
Осмысливают
и формулируют цели элективного курса, уточняют критерии оценивания
|
2.
|
Линейные
уравнения и неравенства
|
1
|
Участвуют
в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
|
3.
|
Квадратные
уравнения
|
1
|
Участвуют
в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
|
4.
|
Квадратичные
неравенства
|
1
|
Участвуют
в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
|
5.
|
Уравнения
и неравенства с параметром. Основные понятия
|
2
|
Слушают
преподавателя, работают с учебником, составляют конспект, исследуют условие
учебной задачи, формируют новые понятия
|
6.
|
Решение
линейных уравнений с параметром
|
2
|
Исследуют
условие учебной задачи, решают уравнения разными способами, сравнивают методы
решения, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку зрения
|
7.
|
Решение
линейных неравенств с параметром
|
2
|
Проводят
коллективное исследование, конструируют новый способ действий, решают неравенства
разными способами, сравнивают методы решения
|
8.
|
Дробно-рациональные
уравнения с параметром
|
1
|
Слушают
преподавателя, исследуют условие учебной задачи, формируют новые понятия
|
9.
|
Системы
уравнений и неравенств с параметром
|
1
|
Слушают
преподавателя, исследуют условие учебной задачи, формируют новые понятия
|
10.
|
Самостоятельная
работа №1по теме «Решение линейных уравнений и неравенств с параметрами»
|
1
|
Выполняют
индивидуальную самостоятельную работу с последующей самопроверкой, анализируют
допущенные ошибки
|
11.
|
Решение
квадратных уравнений с параметром
|
2
|
Проводят
коллективное исследование, конструируют новый способ действий, анализируют,
доказывают, аргументируют свою точку зрения, решают уравнения разными
способами, сравнивают методы решения
|
12.
|
Решение
уравнений, содержащих параметр, сводящихся к квадратным
|
1
|
Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
|
13.
|
Решение
систем уравнений с параметром
|
1
|
Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
|
14.
|
Решение
квадратичных неравенств с параметром
|
2
|
Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, решают неравенства
разными способами, сравнивают методы решения, делают выводы
|
15.
|
Самостоятельная
работа №2 по теме «Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром»
|
1
|
Выполняют
индивидуальную самостоятельную работу с последующей взаимопроверкой,
анализируют допущенные ошибки
|
16.
|
Решение
уравнений с модулем, содержащих параметр
|
2
|
Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
|
17.
|
Решение
неравенств с модулем, содержащих параметр
|
1
|
Проводят
коллективное исследование, конструируют новый способ действий.
|
18.
|
Самостоятельная
работа №2 по теме
«
Решение уравнений и неравенств с модулем».
|
1
|
Выполняют
самостоятельную работу в паре, анализируют, доказывают, аргументируют свою
точку зрения
|
19.
|
Иррациональные
уравнения и неравенства с параметром
|
1
|
Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы.
|
20.
|
Самостоятельная
работа №2 по теме «Иррациональные уравнения и неравенства с параметром»
|
1
|
Выполняют
самостоятельную работу в паре, анализируют, доказывают, аргументируют свою
точку зрения
|
21.
|
Показательные
уравнения и неравенства с параметром
|
2
|
Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы
|
22.
|
Логарифмические
уравнения и неравенства с параметром
|
1
|
Участвуют
в беседе с преподавателем, отвечают на вопросы, приводят примеры, Решают
упражнения с комментированием, повторяют основные понятия, делают выводы.
|
23.
|
Самостоятельная
работа №2 по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»
|
1
|
Выполняют
самостоятельную работу в паре, с последующей проверкой. Анализируют,
доказывают, аргументируют свою точку зрения
|
24.
|
Решение
задач С5 из ЕГЭ
|
2
|
Проводят
коллективное исследование, анализируют, доказывают, аргументируют свою точку
зрения,
|
25.
|
Итоговая
контрольная работа
|
2
|
Выполняют
индивидуальную контрольную работу. Проводят самоанализ достигнутых
результатов.
|
|
Итого
|
34 часа
|
|
Учебно-методическое
и материально- техническое обеспечение
Литература для преподавателя:
1. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами. – Брянск:
Издательство БГПУ, 1999.
2. Горнштейн
П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами.- М.: Илекса, Харьков:
Гимназия, 2005,- 328 с.
3. Дятлов В.И. Материалы курса «Как научить решать
задачи с параметрами»: лекции 1-4.- М.: Педагогический университет «Первое
сентября», 2014.- 80 с.
4. Дятлов В.И. Материалы курса «Как научить
решать задачи с параметрами»: лекции 5-8.- М.: Педагогический университет
«Первое сентября», 2014.- 72 с.
Литература для обучающихся:
1. Мордкович
А.Г., Смирнова И.М. и др. Математика. 11 класс: учебник для учащихся
общеобразовательных учреждений (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2011. – 416
с.
2. Рыжик
В.И., Черкасова Т.Х.Дидактические материалы по алгебре и математическому
анализу с ответами и решениями для 10-11 классов. Учебное пособие для
профильной школы. – СПб: СМИО Пресс, 2008. – 428 с.
3. Башмаков
М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. : учебник для общеобразовательных
учреждений. – М.: Дрофа, 205. – 395 с.
Материально- техническое обеспечение:
1. Персональный
компьютер.
2. Интерактивная
доска.
3. Проектор.
4. Справочные
таблицы.
Самостоятельные
работы
Самостоятельная
работа №1
по теме «Решение
линейных уравнений и неравенств с параметрами»
1.Решите уравнение (относительно х): а2
х- 4х = а-2.
2. При каких значениях параметра а
уравнение ах – х +1 = а2:
а) не имеет
корней;
б) имеет ровно
один корень;
в) имеет более
одного корня?
3.Решите неравенство (относительно х): в2х
– вх ≥в2 +в -2.
4. Решите систему уравнений
Самостоятельная
работа №2
по теме «
Решение квадратных уравнений и неравенств с параметрами»
1. При каких
значениях параметра а уравнение ах2 +4х – а + 5 =0 :
- имеет
два различных корня;
- имеет
ровно один корень;
- не имеет
действительных корней?
2.
При каком значении а прямая у = 4х имеет только одну общую точку с графиком
функции у = х2 +а?
3.
При каких значениях а неравенство ах2 + 4х – 3 + а > 0:
-
выполняется при любых х;
-
не имеет решений?
4. Найдите все
значения параметра а, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение?
Самостоятельная
работа №3
по теме «Решение
уравнений и неравенств с модулем».
1. Решите уравнение
2. Решите неравенство
< х.
3. Решите неравенство
4. Найдите
все значения параметра а, при которых уравнение
= 2 + имеет единственное решение.
Самостоятельная
работа №4
по теме «
Иррациональные уравнения и неравенства»
1. Решите уравнение
относительно х:(х – а) = 0.
2. Решите уравнение
относительно х: = а – х.
3. Решите
неравенство относительно х: 0.
Самостоятельная
работа №5
по теме « Показательные
и логарифмические уравнения и неравенства»
1. Найдите
все значения параметра а, при которых уравнение
2. Решите неравенство
< а.
Итоговая
контрольная работа
1. Решите
неравенство ах – 1 0.
а) При
каких значениях а решением неравенства является х = 2?
б) При
каких значениях а любое решение данного неравенства меньше 1?
в) При
каких значениях а любое число, модуль которого меньше 1, является решением
данного неравенства?
2.
Определите значения а, при которых график функции у = 2х2 + х + а
лежит выше оси абсцисс.
3. При
каких значениях параметра а корни уравнения ах2 + х + 1 = 0
удовлетворяют условию
4. При каких
значениях параметра а имеет единственное решение уравнение – = ах ?
5. При
каких значениях а не имеет решений неравенство
?
6.При
каких значениях в система уравнений имеет: единственное решение, бесконечное
множество решений, не имеет решений
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.