Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Программа курса по выбору «Конечные цепные дроби»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Программа курса по выбору «Конечные цепные дроби»

Выбранный для просмотра документ Приложение 2.docx

библиотека
материалов

Приложение 2

Представление рациональных чисел цепными дробями

Определение. Целое число, являющееся делителем каждого целого числа, a1, a2, …, an , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.

Пусть hello_html_m651e9556.gif – рациональное число, причем b > 0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств:

hello_html_m3b614b15.gif (1)

где неполным частным последовательных делений q0, q1, …, qn-1 соответствуют остаткам r1, r2,…, rn с условием b > r2 > r3 > … > rn > 0, aсоответствует остаток 0. Системе равенств (1) соответствует равносильная система (2):

hello_html_m5e1757c3.gif

из которой последовательной заменой каждой из дробей hello_html_29ddf357.gif и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби hello_html_m651e9556.gif в виде:

hello_html_1ec427d2.gif

Полученное выражение называется конечной цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что q0 – целое число, а q1, …, qn – натуральные числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

hello_html_m46c5a8a5.gif.

hello_html_m21248054.gif.

Согласно последнему обозначению имеем

hello_html_m239f15e2.gif.

Числа hello_html_m2cecba61.gif называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа.

Разложение рационального числа hello_html_m651e9556.gif имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было qn > 1.

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, при условии, что qn > 1.

Доказательство:

  1. Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при qn > 1:

hello_html_m644a9a73.gif

так что представление можно удлинить:

hello_html_58ff18a2.gif

например, (2, 3, 1, 4, 2) = (2, 3, 1, 4, 1, 1).

  1. Принимая условие qn > 1, можно утверждать, что целая часть цепной дроби hello_html_m625a4157.gif равна ее первому неполному частному q0. В самом деле:

  1. если n = 1, то (q0) = q0

  2. если n = 2, то hello_html_mf3c9f17.gif, q1 > 1; поэтому hello_html_m62493889.gif.

  3. если n > 2, то

hello_html_1ed185d9.gif

где hello_html_78457f13.gif > 1, т.к. q1 ≥ 1.

Поэтому и здесь hello_html_m71ccaa6a.gif. Докажем то, что рациональное число hello_html_m651e9556.gif однозначно представляется цепной дробью hello_html_m625a4157.gif, если
qn > 1.

Пусть hello_html_183f9259.gifс условием qn > 1, hello_html_1d517d4e.gif> 1. Тогда hello_html_m112eb015.gif= hello_html_b28beab.gif, так что hello_html_6c8c0460.gif = hello_html_375bdafa.gif. Повторным сравнением целых частей получаем hello_html_m3ed7e26c.gif, а следовательно, hello_html_e9f7130.gif и так далее. Если hello_html_m452954a9.gif, то в продолжении указанного процесса получим также hello_html_m502987ad.gif. Если же hello_html_6a5ebd1a.gif, например hello_html_mda4223e.gif, то получим
0 =
hello_html_7b7c58d6.gif , что невозможно.

Теорема доказана.

Вместе с тем мы установили, что при соблюдении условия qn > 1 между рациональными числами и конечными цепными дробями существует взаимно однозначное соответствие.

Замечания:

  1. В случае разложения правильной положительной дроби первый элемент hello_html_m632e041f.gif, например, hello_html_82a07cd.gif.

  2. При разложении отрицательной дроби (отрицательный знак дроби всегда относится к числителю) первый элемент будет отрицательным, остальные положительными, так как целая часть отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а ее дробная часть, как всегда, положительна.

Пример: hello_html_mc477064.gif , так как hello_html_77ba44d1.gif = (3, 1, 4, 2), то hello_html_m29eadfd6.gif(-2; 3, 1, 4, 2).

  1. Всякое целое число можно рассматривать как непрерывную дробь, состоящую из одного элемента.

Пример: 5 = (5); 17 = (17).



Выбранный для просмотра документ Приложение 1.docx

библиотека
материалов

Приложение 1

Книга VII «Начал» Евклида дает метод нахождения наибольшего общего делителя двух чисел последовательным делением (алгоритм Евклида), идея которого исходит от пифагорейской школы. Чисто арифметическим путем этот метод приводит к цепной дроби, но нет данных, что Евклид понимал этот путь; он впервые появляется у Бхаскары.

Обращение корня hello_html_m2c85803d.gif в цепную дробь дает:

hello_html_m234342b.gif

и подходящие дроби hello_html_ef2b7fa.gif, hello_html_5210ef4c.gif, hello_html_m51c8861d.gif, hello_html_4c96cdb2.gif, hello_html_696c5e54.gif, hello_html_1571cc44.gif, …

Эти значения известны Теону Смирнскому(II в. н. э.). Уже у Платона (429- 348) имеется приближенное равенствоhello_html_m2c85803d.gif hello_html_m51c8861d.gif, а у Герона (I или II в. н. э.), кроме того, соотношение

hello_html_m2c85803d.gifhello_html_4c96cdb2.gif.

Греки знали известное и вавилонянам приближенное равенство:

hello_html_m18f33150.gifhello_html_76a947d3.gif,

в которое Герон внес дальнейшие уточнения. Загадочным является появление у Архимеда числа hello_html_m660eba23.gif, являющегося 12-й подходящей дробью hello_html_54e6294d.gif:

hello_html_269b5298.gif

Приближенное извлечение квадратного корня по способу Герона известно арабам, Пачоли (1494) и др. Катальди (1613) впервые записывает цепную дробь в современной форме и знает, что значения подходящих дробей приближаются к истинной величине корня, нечетные - возрастая, четные - убывая. Швентер (XVI- XVII вв.), ссылаясь на «логистов и учителей счета», ставит задачу о нахождении возможно простых и притом возможно близких значений дроби hello_html_m1b7d678.gif и применяет современный способ обращения этой дроби в цепную и нахождения ее подходящих дробей. Он знает уже наш способ составления подходящей дроби по двум предшествующим (для цепных с числителями, равными единице). Броункер и Валлис в XVII в. изучают цепные дроби общего вида: первый дает разложение

hello_html_m53eb47a9.gif;

а второй - правило составления подходящих дробей общего вида, когда числители отдельных звеньев не равны единице. У Валлиса появляется впервые термин «непрерывные дроби».

Элементарную теорию цепных дробей закончил Гюйгенс (1629 - 1695). Он сверх сведений, имевшихся у его предшественников, знает, что подходящие дроби есть дроби несократимые, что пары числителей, как и пары знаменателей смежных подходящих дробей, есть числа взаимно простые.

Немало мемуаров посвятил теории цепных дробей Эйлер в «Комментариях» Петербургской Академии наук, начиная с 1737г., не зная о работах Гюйгенса. Его результаты, с частью которых можно познакомиться по книге Эйлера «Ведение в анализ бесконечно малых», значительно выходят за пределы элементарной математики. Эйлер впервые доказывает, что всякая рациональная дробь обращается в конечную цепную дробь, всякое иррациональное число - в бесконечную. Лагранж (1736 - 1813) систематически применял цепные дроби к решению неопределенных уравнений и для приближенного вычисления корней уравнений высших степеней. Он доказывает теорему, утверждающую, что иррациональный корень всякого квадратного уравнения общего вида может быть представлен чистой периодической цепной дробью. Школьное изложение цепных дробей дал впервые Грунерт (1832). Термин «цепная дробь» появляется в конце XVIII в.

Особым видом восходящих цепных дробей, образуемых алгоритмом, похожим на алгоритм цепных дробей, широко пользовался Ламберт (1728 - 1777). Они сходятся быстрее нисходящих цепных дробей:

hello_html_68ea2be6.gifhello_html_6e20f8c7.gif.

Нисходящая цепная дробь для hello_html_117965de.gif имеет, как легко проверить, 7 дробных звеньев. Третье приближение восходящей дроби равно седьмой подходящей дроби нисходящей.

Такими восходящими цепными дробями занимались Лагранж и Г. Кантор (1869); впервые они встречаются у арабов, от которых их перенял Леонардо Пизанский [15].

Начиная с работ выдающегося русского математика П. Л. Чебышева (1821 - 1894), активно развивается теория, имеющая дело с функциональными цепными дробями.



Выбранный для просмотра документ Приложение 3.docx

библиотека
материалов

Приложение 3

Подходящие дроби и их свойства

Задаче разложения обыкновенной дроби противостоит обратная задача – обращения или свертывания цепной дроби hello_html_m7cd6bce1.gif в простую дробь hello_html_m651e9556.gif.

При этом основную роль играют дроби вида:

hello_html_39d565cd.gif

hello_html_m2e0dfa9d.gif

которые называются подходящими дробями данной непрерывной дроби или соответствующего ей числа hello_html_m651e9556.gif.

Заметим, что hello_html_53704dbd.gif. Считается, что подходящая дробь hello_html_54d2a221.gif имеет порядок hello_html_43d6953c.gif

Прежде чем приступить к вычислению подходящих дробей заметим, что hello_html_54d2a221.gif переходит в hello_html_m20f8d5fd.gif, если в первой заменить hello_html_54d2a221.gifвыражением hello_html_218913ca.gif .

Имеем hello_html_79daa3c4.gif

hello_html_m46f62ac9.gif

hello_html_134a0b2f.gif

Закономерность, которую мы замечаем в построении формулы дляhello_html_71fec542.gif (ее числителя hello_html_6e0474c0.gif и знаменателя hello_html_m4c7bd917.gif), сохраняется при переходе к hello_html_m63651cc.gif и сохранится также при переходе от hello_html_m417594b3.gif к hello_html_m5c0aaa91.gif.

Поэтому, на основании принципа математической индукции, для любого hello_html_m417594b3.gif, где hello_html_42af7439.gif, имеем:

hello_html_m11d81b39.gif

причем hello_html_7f5c73fa.gif(4)

hello_html_m50d96325.gif(5).

Далее, говоря о подходящих дробях hello_html_54d2a221.gif (в свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму hello_html_1829f8af.gif.

Соотношения (3) являются рекуррентными формулами для вычисления подходящих дробей, а также их числителей и знаменателей. Из формул для числителя и знаменателя сразу видно, что при увеличении hello_html_m417594b3.gif они возрастают. Последовательное вычисление числителей hello_html_7202fe7e.gif и знаменателей hello_html_mc235383.gif подходящих дробей по формулам (4) и (5) удобно располагать по схеме:



hello_html_14056207.gif

hello_html_m1213a6ab.gif

hello_html_2488c2aa.gif

hello_html_3cb05a38.gif

hello_html_m4f79d4d2.gif

hello_html_36e8d125.gif

hello_html_7202fe7e.gif

hello_html_m78b015e8.gif

hello_html_1cce1915.gif

hello_html_12999556.gif

hello_html_m7e294ed.gif

hello_html_m1fda0c7f.gif

hello_html_7202fe7e.gif

hello_html_m70e2aaa4.gif

hello_html_mc235383.gif

hello_html_66dffbe2.gif

hello_html_6b0d962e.gif

hello_html_m4db1b916.gif

hello_html_m7e00119.gif

hello_html_6023a714.gif

hello_html_mc235383.gif

hello_html_m70e2aaa4.gif

Пример: Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).



2

2

1

3

1

1

4

3

hello_html_7202fe7e.gif

1

2

5

7

26

33

59

269

866

hello_html_mc235383.gif

0

1

2

3

11

14

25

114

367



Подходящие дроби hello_html_357e745.gif (hello_html_5427f80a.gif равны соответственно

hello_html_4aa82176.gif

Практически нахождение неполных частных и подходящих дробей удобно объединить в одну краткую схему, которую приведем для
hello_html_m23b6c387.gif = (2,3,1,4,2):

hello_html_m4f79d4d2.gif

hello_html_m4a9fb5b2.gif

2

hello_html_b2ecb61.gif

3

hello_html_me6df997.gif

1

hello_html_40ab8414.gif

4

hello_html_67a9672b.gif

2

hello_html_54d2a221.gif

hello_html_613ce997.gif

hello_html_222842c7.gif

hello_html_m20ed8655.gif

hello_html_3e997fd2.gif

hello_html_m23b6c387.gif

Рассмотрим ряд свойств подходящих дробей.

  1. Теорема. Числители и знаменатели подходящих дробей – целые числа; знаменатели, кроме того, числа натуральные и образуют возрастающую последовательность.

Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как hello_html_m7d583a52.gif – числа целые.

Докажем второе. Действительно, hello_html_7ae17537.gif, а при hello_html_3a3683ad.gif

hello_html_212d74c9.gif, где hello_html_19b200d3.gif, hello_html_m764fe521.gif, hello_html_m1a1ccfe.gif. (1)

Значит, hello_html_m1c7aaa1d.gif.

  1. Теорема. Числители и знаменатели двух соседних подходящих дробей связаны соотношением:

hello_html_m72ca0b05.gif (2)

Доказательство. Используем метод математической индукции.

  1. При hello_html_m417594b3.gif=1 имеем:

hello_html_1cce1915.gif, hello_html_6b0d962e.gif,

hello_html_2dde3c44.gif, hello_html_m6ff398ca.gif

и hello_html_7405d870.gif,

т.е. при hello_html_m417594b3.gif=1 соотношение (2) имеет место.

hello_html_m31ab7bb3.gif.

  1. Пусть это равенство верно при некотором hello_html_m6133c91a.gif:

hello_html_33fca3bc.gif

и докажем верность ее для hello_html_m43ede5fb.gif
hello_html_m5b5b7bc2.gif

Итак, hello_html_m1399b654.gif hello_html_23d12fd2.gif.

Тогда согласно принципу математической индукции формула (2) верна для любого натурального hello_html_m417594b3.gif.

  1. Теорема. Подходящие дроби hello_html_1829f8af.gif несократимы, т.е. hello_html_11e8a126.gif

Доказательство. Действительно, согласно свойству 2 подходящих дробей имеем:

hello_html_m72ca0b05.gif.

Если допустить, что hello_html_m23a3a3c2.gif, т.е. что hello_html_m45d1337d.gif, то из равенства (1) п. 2 следует, что hello_html_18208df1.gif делится на hello_html_59214d6d.gif, что невозможно. Следовательно, hello_html_11e8a126.gif

  1. Теорема. Подходящие дроби четного порядка образует возрастающую, а нечетного – убывающую последовательность.

Доказательство. Пользуясь формулами (1) и (2), получим:

hello_html_m44cf866f.gif

Итак, hello_html_4fd8990e.gif.

Если n – четное, то hello_html_m797623e6.gif, или hello_html_77a3ebed.gif,

т.е. подходящие дроби четного порядка образуют возрастающую последовательность.

Если n – нечетное, то hello_html_m7a7ed542.gif, или hello_html_m1096387c.gif,

т.е. подходящие дроби нечетного порядка образуют убывающую последовательность.

  1. Теорема. Каждая подходящая дробь hello_html_357e745.gif четного порядка меньше подходящих дробей hello_html_m7fb9fcd.gif и hello_html_631ba9a8.gif.

Доказательство. Используя свойство 2 подходящих дробей, находим:

hello_html_3ae62415.gif

Заменяя n на n + 1, получим:

hello_html_m53597eb2.gif

Если n – четно, то hello_html_m21ee456e.gif, а hello_html_4331005c.gif. Значит, при четном n

hello_html_7aaccdde.gif

Это и показывает, что

hello_html_m258a2015.gif

Следствие. Каждая подходящая дробь hello_html_357e745.gif нечетного порядка больше подходящих дробей hello_html_m7fb9fcd.gif и hello_html_631ba9a8.gif.

  1. Теорема. Любая подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка.

Доказательство. На основании четвертого и пятого свойства при hello_html_254a42e.gif получаем:

hello_html_12cea662.gif

При hello_html_m22aee767.gif получаем:

hello_html_528d2e88.gif

Следовательно, при любых соотношениях между hello_html_m3682883.gif выполняется неравенство:

hello_html_5dc2dcb3.gif

которое доказывает свойство 6.

  1. Теорема. Если t – положительное рациональное число, то при его разложении в цепную дробь четные подходящие дроби - приближения по недостатку, а нечетные – по избытку (за исключением последней дроби, совпадает с t).

Доказательство. Если последняя подходящая дробь, совпадающая с числом t , четного порядка, то она (по свойству 4) больше остальных подходящих дробей четного порядка, которые дают, таким образом, приближения t по недостатку. Вместе с тем число t как подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка (по свойству 6), а потому подходящие дроби нечетного порядка дают для t приближение с избытком. Аналогично рассматривается случай, когда последняя подходящая дробь, совпадающая с t, является дробью нечетного порядка.

  1. Теорема. Если t – положительное рациональное число и hello_html_357e745.gif - подходящая дробь n-ого порядка в разложении t в непрерывную дробь, то

hello_html_m574019ec.gif

Доказательство. Так как на основании свойства 7 число t заключено между любыми двумя своими соседними подходящими дробями, то

hello_html_m5ba622c7.gif



Но

hello_html_m7611c815.gif

(см. доказательство свойства 5).

Тогда из (3) и (5) следует:

hello_html_m39157dfb.gif

Так как hello_html_mb034a90.gif то hello_html_394153a1.gif, а потому hello_html_44afdedf.gif

Следовательно,

hello_html_3ec7f43.gif[11].



Выбранный для просмотра документ Приложение 4.docx

библиотека
материалов

Приложение 4

Задача Христиана Гюйгенса о построении модели
солнечной системы с помощью набора зубчатых колес

Пусть требуется, чтобы отношение угловых скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I было равно hello_html_m5843dfe2.gif.

Так как угловые скорости колес обратно пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов колес I и II должно быть равно hello_html_m5843dfe2.gif. Если hello_html_m5843dfe2.gif - несократимая дробь hello_html_m4a505953.gif с большим числителем и знаменателем, например, hello_html_77e0c3c8.gif, то для точного решения задачи возникает техническая трудность изготовления колес с большим количеством зубцов.

Задачу можно технически упростить при помощи колес с меньшим количеством зубцов. При этом важно, чтобы отношение этих чисел было ближе к заданному отношению. Хорошего удовлетворения поставленных требований можно добиться, если воспользоваться непрерывными дробями.

Пусть, например, поставлено требование заменить hello_html_58ab8c8e.gif и hello_html_m2caeef83.gif меньшими числами hello_html_m30686d7f.gif и hello_html_m36fc6d61.gif так, чтобы hello_html_14083cd.gif и чтобы отношение hello_html_m733d7de9.gif было, по возможности, ближе к hello_html_m4a505953.gif [30].

Применяя аппарат цепных дробей, можем дать следующее решение этой задачи: разлагаем hello_html_77e0c3c8.gif в непрерывную дробь и берем ее подходящую дробь с наибольшим знаменателем, не превышающим hello_html_4337563f.gif.

Получаем, hello_html_m227232e2.gif.

Составляя схему, находим:



1

2

3

7

8

2

hello_html_7202fe7e.gif

1

1

3

10

73

594

1261

hello_html_mc235383.gif

0

1

2

7

51

415

881

Поставленному условию удовлетворяет подходящая дробь hello_html_m30f4fe8f.gif. При этом допущенная погрешность hello_html_m33d8c25a.gif, то есть весьма незначительна.

Ответ: hello_html_5b028b57.gif.



Выбранный для просмотра документ Приложение 5.docx

библиотека
материалов

Приложение 5

Диофантовы уравнения

Из алгоритма Евклида можно вывести одно замечательное свойство НОД, вовсе не очевидное из его построения с помощью разложения на простые. Это свойство таково: наибольший общий делитель d двух натуральных чисел a и b представляется как разность между некоторыми кратными b, т.е.

d = axby,

где x и y – натуральные числа.

Так как a и b кратны d, любое число вида axby также кратно d; мы утверждаем, что найдутся такие значения x и y, для которых axby в точности равно d.

Прежде чем давать доказательство, отметим некоторые свойства чисел, представимых в виде axby. Во-первых, число, представимое образом, может быть также представлено как hello_html_m578b6063.gif, где hello_html_m61321b49.gif и hello_html_m6f0ddd99.gif – натуральные числа. Действительно, эти два выражения равны, если

hello_html_m1eeac7a2.gif,

а этого можно достичь, взяв произвольное число m и определив hello_html_m61321b49.gif и hello_html_m6f0ddd99.gif с помощью равенств

hello_html_2179f4d9.gif, hello_html_1f93b89c.gif.

Числа hello_html_m61321b49.gif и hello_html_m6f0ddd99.gif будут натуральными числами, если m взять настолько большим, чтобы было hello_html_m584d06b3.gif и hello_html_36cc66dd.gif. Если hello_html_m61321b49.gif и hello_html_m6f0ddd99.gif определены таким образом, то

hello_html_m16fa1f96.gif.

Будем говорить, что число линейно зависит от a и b, если оно представляется в виде axby. Только что установленный результат показывает, что линейная зависимость a и b не нарушается, если a и b поменять местами.

Имеют место следующие два простых факта о линейной зависимости. Если какое-нибудь число линейно зависит от a и b, то тем же свойством обладает и любое кратное этого числа; действительно,

hello_html_m464b1104.gif.

Суммах двух чисел, линейно зависящих от a и b, также линейно зависит от a и b, ибо

hello_html_2b1b659a.gif.

То же применимо и к разности двух чисел; чтобы доказать это, запишем второе число в виде hello_html_m706a6af2.gif (это возможно благодаря сделанному ранее замечанию) и вычтем его ил первого. Тогда

hello_html_5303159a.gif.

Таким образом, свойство линейной зависимости от a и b сохраняется при сложении, вычитании и умножении на любое число.

Исследуем теперь в свете этого понятия алгоритм Евклида. Сами числа a и b, конечно, линейно зависит от a и b, так как

hello_html_m7c688695.gif, hello_html_10249fd3.gif.

Первым уравнение алгоритма

hello_html_m3b614b15.gif

hello_html_29121aa4.gif, где hello_html_50b2fd0.gif.

Так как b линейно зависит от a и b, то и bq0 линейно зависит от a и b, а так как a также линейно зависит от a и b, то этим свойством обладает и abq0, т.е. hello_html_m180ff8a1.gif. Из уравнения

hello_html_m2f74acb9.gif, где hello_html_m64d36206.gif,

тем же способом можно вывести, что hello_html_m19c598a4.gif линейно зависит от a и b и так далее до тех пор, пока мы не дойдем до последнего остатка, равного d. Этим доказано, что d линейно зависит от a и b, а это и утверждалось.

В качестве иллюстрации рассмотрим пример. Положим a = 7200 и
b = 3132. Используем равенства алгоритма Евклида для того, чтобы выразить каждый из остатков через a и b. Первое равенство

hello_html_11dc77d6.gif

показывает, что

hello_html_69a82707.gif.

Второе равенство

hello_html_2425f4af.gif

дает

hello_html_m406c8a90.gif.

Из третьего равенства

hello_html_m528b7772.gif

получаем

hello_html_me85a9f6.gif.

Четвертое равенство

hello_html_667ffe87.gif

дает

hello_html_m6774cee.gif.

Это и есть искомое выражение наибольшего общего делителя 36 в виде разности двух кратных чисел a и b. Если мы хотим получить выражение, в котором a является первым слагаемым, достаточно положить

hello_html_mb3c2997.gif, где hello_html_26b4f5a7.gif.

Так как общий делитель a и b равен 36, то (после сокращения на него) условия, связывающие M и N, принимают вид

hello_html_14c55fa0.gif.

Простейший выбор M и N (M = 87, N =200) после подстановки дает

hello_html_m40bc5ca7.gif.

Возвращаясь к общей теории, выразим полученный результат в другой форме. Пусть a, b, n – данные натуральные числа; требуется найти натуральные числа x и y так, чтобы выполнялось равенство

hello_html_m67aead0f.gif.

Такое уравнение называется неопределенным (ибо оно однозначно не определяет x и y), или диофантовым, уравнением в честь Диофанта из Александрии (третий век нашей эры), написавшего знаменитый трактат по арифметике. Уравнение hello_html_m67aead0f.gif не имеет решений, если n не кратно d – наибольшему общему делителю a и b, так как этот наибольший общий делитель делит axby при любых x и y. Предположим теперь, что n кратно d, скажем, n = md. Тогда мы можем решить это уравнение; прежде всего решим уравнение

hello_html_m5f5c0572.gif.

После чего, умножив hello_html_570f113e.gif и hello_html_32a10105.gif на m, получим hello_html_65c20c7.gif,hello_html_bdd8f10.gif уравнения hello_html_m67aead0f.gif. Таким образом, линейное неопределенное уравнение разрешимо в натуральных числах x и y тогда и только тогда, когда n кратно h. В частности, если a и b взаимно просты, так что d = 1, то уравнение разрешимо для любого n.

Решение диофантовых уравнений первой степени

В предыдущем пункте было доказано, что если a и b – произвольные взаимно простые натуральные числа, то можно найти натуральные числа x и y, удовлетворяющие уравнение axby = 1. Процесс разложения hello_html_m651e9556.gif в непрерывную дробь дает точную конструкцию для чисел x и y. Предположим, что имеется непрерывная дробь

hello_html_7d083de8.gif

Последняя подходящая дробь hello_html_357e745.gif равна самой дроби hello_html_m651e9556.gif. Предшествующая ей подходящая дробь hello_html_m7fb9fcd.gif удовлетворяет равенству hello_html_4f319ff7.gif или hello_html_3607f662.gif. Следовательно, если взять hello_html_m406a0870.gif,
hello_html_m26608878.gif, мы получим решение в натуральных числах уравнения hello_html_58b12d66.gif. Если n нечетно, то это – рассматриваемое уравнение. Если n четно, так что hello_html_m4c4a236e.gif, мы все же можем решить уравнение с +1 одним из следующих способов. Один способ – взять hello_html_m4d603f74.gif и hello_html_mbd11939.gif, тогда

hello_html_m3e62797.gif.

Другой способ – изменить непрерывную дробь, представив последний элемент hello_html_36e8d125.gif в виде hello_html_18669a15.gif . Новая непрерывная дробь имеет один член больше, чем старая, и ее предпоследняя подходящая дробь является решением уравнения, в котором справа стоит +1. На самом деле, здесь получается то же решение, что и в первом случае.

В качестве простого числового примера найдем натуральные числа x и y, удовлетворяющие уравнению

hello_html_1930bc2a.gif.

Непрерывная дробь для hello_html_7211c005.gif такова:

hello_html_f6d33e0.gif

Подходящими дробями для нее будут hello_html_m597d7219.gif Так как в этом случае n равно 4, числа hello_html_m49dcaa14.gif и hello_html_m195e7bf3.gif удовлетворяют уравнению hello_html_m1397cea1.gif. Чтобы решить нужное уравнение, возьмем

hello_html_5a914ee.gif, hello_html_70ca64c5.gif.

Или видоизменим непрерывную дробь:

hello_html_m42dfad9c.gif

Теперь подходящими дробями служат

hello_html_m1f01e78c.gif

Предпоследняя подходящая дробь hello_html_6f9483a8.gif, дает решение.

Легко заметить, что эта конструкция дает наименьшее решение уравнения: так получается решение, для которого x меньше b и y меньше a. Если обозначить это решение через hello_html_28200f31.gif, то общее решение будет задаваться формулой hello_html_m20f3a69e.gif, hello_html_44dbe599.gif, где t – любое положительное целое число или нуль. Если t не равно нулю, то x больше b, а y больше а [15].


Выбранный для просмотра документ Программа курса по выбору «Конечные цепные дроби».docx

библиотека
материалов

КУРС ПО ВЫБОРУ «КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ»

Общие положения и организация предпрофильной подготовки в образовательных учреждениях

«Реализация идеи профильности старшей ступени ставит выпускника основной ступени перед необходимостью совершения ответственного выбора – предварительного самоопределения в отношении профилирующего направления собственной деятельности» [27].

Вся идеология и Концепция профильного обучения представляет значительную степень вариативности в реализации. Соответственно, возрастает роль предпрофильной подготовки учащихся выпускных классов основной школы. Суть предпрофильной подготовки - создать образовательное пространство, способствующее самоопределению учащегося основной ступени через организацию курсов по выбору, информационную работу и профильную ориентацию. Основной задачей предпрофильной подготовки является комплексная работа с учащимися по обоснованному и жизненно важному выбору дальнейшего пути обучения.

Ученик и его родители в основной школе должны получить информацию о возможных путях продолжения образования, причем в территориально доступных образовательных учреждениях, наименее затратных по времени, соответствующих интересу и выбираемому профилю дальнейшего обучения.

Оптимальная продолжительность курсов находится в пределах 8 – 16 часов.

Система предпрофильного обучения в учреждениях образования

Предпрофильное обучение в основной школе это активно развивающаяся для Российской школы педагогическая система, которой отводится особое место в целостном учебном процессе. Предпрофильное обучение - это несамостоятельная система. Оно является подсистемной профильного образования старшей школы и выполняет подготовительную функцию. Оно нужно для того, чтобы учащиеся могли определиться в выборе будущего профиля обучения. Цели определяют принципы, в соответствии с которыми строится процесс обучения.

Прежде всего, это вариативность и свобода выбора учащимися курсов по выбору. Благодаря этим принципам должно состояться самоопределение учащихся, формирование их личной ответственности за сделанный выбор. Предполагается, что система обучения обеспечит школьникам возможность попробовать себя в различных направлениях. В течение учебного года, посещая предпрофильные курсы, каждый ученик сможет познакомиться с тем, что ожидает его на старшей ступени образования. По своему желанию он сможет пройти курсы, соответствующие разным профилям.

Предпрофильное обучение строится на основе индивидуализации учебного процесса, что обеспечивается с помощью обучения в малых группах и по индивидуальным учебным планам.

Основная функция курсов – профориентационная. В этой связи число таких курсов должно быть по возможности значительным. Они должны носить краткосрочный и чередующийся характер, являться своего рода учебными модулями. Курсы по выбору необходимо вводить постепенно. Единовременное введение целого спектра разнообразных курсов по выбору может поставить ученика (семью) перед трудноразрешимой задачей. Необходима целенаправленная, опережающая работа по освоению учеником самого механизма принятия решения, освоения «поля возможностей и ответственности».

При разработке и организации курсов по выбору в составе предпрофильной подготовки следует с самого начала иметь в виду следующее:

  • Набор предполагаемых курсов должен носить вариативный характер, их количество должно быть «избыточным» (т.е. у ученика должна быть возможность реального выбора).

  • Набор курсов по выбору в школе желательно наметить конце 7-го класса на основе анкетирования и опросов учащихся, собеседований с ними и т.п.

  • Необходимо создать такие условия в организации учебного процесса, которые позволяли бы ученику менять наполнение индивидуального учебного плана курсами по выбору как минимум два раза за учебный год.

  • Содержание курсов предпрофильной подготовки должно включать не только информацию, расширяющую сведения по учебным предметам, но и знакомить учеников со способами деятельности, необходимыми для успешного освоения программы того или иного профиля.

В целях формирования интереса и положительной мотивации к тому или иному профилю через освоение новых аспектов содержания и более сложных способов деятельности содержание курсов предпрофильной подготовки может включать оригинальный материал, выходящий за рамки школьной программы.

Программа курса по выбору «Конечные цепные дроби»

Пояснительная записка

Математика как наука и как область деятельности человеческого разума по своей природе двойственна. С одной стороны, ее объекты, понятия, построения, строго говоря, идеальные и существуют лишь в человеческом воображении (например, прямая линия, не имеющая толщины, так что ее невозможно увидеть). С этой точки зрения математику можно рассматривать как некоторую игру, как, например, игру в шахматы, с определенным набором фигур (понятий) и правил игры. С другой стороны, рассматриваемые математические объекты и понятия являются идеальными воплощениями реальных физических объектов и логические построения в той или иной степени отражают реальные физические законы. Поэтому математические конструкции во многих случаях имеют ту или иную интерпретацию в областях, на первый взгляд далеких от математики.

Проводя аналогию с философией Платона, можно сказать, что математика имеет дело не с вещами, а с идеями вещей. Кстати, сам Платон, как и в целом древнегреческие ученые, очень высоко оценивал занятия математикой: «С помощью математики очищается орган души и, как в очищающем огне, пробуждается к новым жизненным силам, в то время как другие занятия его уничтожаются и лишают зрения; он же заслуживает быть сохраненным более, чем тысяча телесных глаз, ибо только он видит истину».

Насколько же теперь отличается понимание значения математики от вышеизложенного? Зачастую на уроках слышны вопросы типа «а зачем нам это надо?» или «а где это может пригодиться?». В целом по вопросу об отношении к математике можно выделить три категории учащихся. Первая – это те, у кого мотивация к изучению математики основана на интересе к самому предмету, другими словами, им нравится играть в эту игру. Вторая включает в себя тех, кто в целом имеет интерес к познавательной деятельности, но круг их интересов сконцентрирован в других областях (типичная ситуация в классах с гуманитарным уклоном). И, наконец, третья категория состоит из учащихся с низкой мотивацией к образовательной деятельности и не имеющих интереса к учебе. И если первой категории при проведении уроков и занятий можно делать упор на углубленное изучение тех или иных разделов математики, то для второй категории обучаемых более целесообразно делать акцент на общекультурный, межпредметный и прикладной аспекты математики, ее роль инструмента познания мира. Поэтому целесообразно в рамках предпрофильной подготовки более широко использовать темы, выходящие за рамки обязательного содержательного минимума государственного стандарта образования [22].

Данный курс может быть полезен и интересен учащимся с различным уровнем подготовки. Работа с учащимися может проводиться как индивидуально, так и в группах.

Цель - формирование способностей школьников к самообразованию, потребности и умений в их самосовершенствовании.

Курс предназначен для учащихся 8 классов на 8 часов по 1 часу в неделю. Одна из целей – дать учащимся, проявившим интерес к математике, возможность углублённого изучения основного курса путём рассмотрения заданий, требующих нестандартного подхода при своём решении. Другой важной целью является формирование мировоззрения учащихся, развитие их логического мышления. Достижению этих целей служат специально подобранные задания, решение которых требует дополнительных знаний, полученных в данном курсе, что развивает сообразительность, логическое мышление и стремление к самосовершенствованию.

В данном курсе рассматриваются задачи по теме «Конечные цепные дроби».

Основные задачи курса:

- формирование устойчивого интереса к изучению математики;

- развитие умения самостоятельно приобретать и применять знания;

-развитие творческих способностей, умения работать в группе, вести дискуссию, отстаивать свою точку зрения;

- повышение уровня математического и логического мышления.

В процессе изучения курса по выбору учащиеся знакомятся с именами таких ученых, как Архимед, Евклид и другие. Результатом обучения должно стать не количество сообщаемой информации, а качество ее усвоения; умение уверенно применять ее к решению новых, ранее не встречавшихся заданий.

Тематическое планирование курса по выбору «Конечные цепные дроби»

занятия


Тема занятий

Кол-во часов

Форма проведения

Занятия

1

Вводное занятие

1

Вводная лекция

2

Представление рациональных чисел цепными дробями

1

Лекция + практикум

3

Подходящие дроби

1

Лекция + практикум

4

Задача Христиана Гюйгенса

1

Лекция

5-6

Решение диофантовых уравнений

2

Решение задач

7

Античные математики

1

Выполнение проекта

8

Итоговое занятие

1

Творческий отчет


Всего

8



Темы проектов для творческой работы

1. Античные математики.

2. Трактат по арифметике.

3. Мультимедийное приложение к задачам по теме «Конечные цепные дроби».

Учащиеся могут предложить свою тему для выполнения проекта.

Проекты могут быть как индивидуальные, так и групповые. Работы должны иметь электронный вариант.

Литература для учащихся

  1. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989. –С. 86-88, С. 292-294.

  2. Михелович Ш. Х. Теория чисел: кн. для учащихся / Ш. Х. Михелович. – М.: Высшая школа, 1967. – 335с.

  3. Нестеренко Ю. В., Никишин Е. М. Очерк о цепных дробях / Ю. В. Нестеренко, Е. М. Никишин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». 1983. – №6. – С. 26 – 30.

  4. Перельман Я.И. Занимательная астрономия / Я.И. Перельман. – Екатеринбург: Тезис. 1994.

  5. Платон Государство. Собрание сочинений. Т. 3 / Платон. – М.: Мысль, 1994.

Можно использовать электронные сайты и другие источники.

Литература для учителя

  1. Андронов И. К., Окунев А. К. Арифметика рациональных чисел: пособие для учителей / И. К. Андронов, А. К. Окунев. – М.: Просвещение, 1971. – 399с., с илл.

  2. 2. Балк М. Б. и Балк Г. Д. Математика после уроков: пособие для учителей / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. – М.: Просвещение, 1971. – 462с.

  3. Бескин Н. М Бесконечные цепные дроби / Н. М. Бескин // Научно – популярный физико-математический журнал «Квант». 1970. - №8. – С. 10 – 20.

  4. Бескин Н. М Цепные дроби / Н. М. Бескин // Научно популярный физико-математический журнал «Квант». 1970. – №1. – С. 16 – 26.

  5. Глейзер Г. И. История математики в школе: IXX классы. пособие для учителей / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.

  6. Депман И. Я. История арифметики: пособие для учителей / И. Я Депман. – М.: Просвещение, 1959. – 422с.

  7. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел./ Г. Дэвенпорт. – М.: Наука, 1965. – 176с. с илл.

  8. Ермаков Д., / Элективные курсы для предпрофильного обучения / Д. Ермаков, Г. Петрова. – М.: Народное образование, 2004, – №4. – С. 27-35.

  9. Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Ч. III. Для студентов-заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение, 1984. – 41с. – Моск. гос. заоч. пед. ин-т.

  10. Методическое письмо о проведении элективных курсов // Профильная школа, 2003. – № 3. – С. 5-10.

Содержание курса по выбору «Конечные цепные дроби»


Урок 1

Тема: Вводное занятие

Цели и задачи

Образовательные: познакомить учащихся с историей развития цепных дробей.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся; развивать кругозор и способность к обобщению.

Воспитательные: прививать учащимся интерес к предмету посредством применения исторических фактов.

Ход урока

На первом занятии учащимся сообщается цель и значение курса по выбору.

I. Вступительная речь учителя

Учитель знакомит учащихся с понятием цепных дробей, обращаясь к истории развития цепных дробей.

Историческую справку для вступительного слова учителя см. в приложении 1.

II. Словарик «Математики, занимающиеся цепными дробя»

Учитель предлагает учащимся завести словарь, в котором будут записаны имена математиков, которые в то или иное время занимались темой «Цепные дроби». В дальнейшем словарь может пригодиться учащимся при выполнении творческих проектов.

III. Итог. Домашнее задание

Заполнить словарь, дописав года жизни ученых.



Урок 2

Тема: Представление рациональных чисел цепными дробями

Цели и задачи

Образовательные: формировать представления учащихся о цепных дробях.

Развивающие: развивать способность к восприятию нестандартного материала, формировать навыки самостоятельной работы.

Воспитательные: воспитать эмоционально- положительную направленность на практическую деятельность.

Ход урока

I. Вступительное слово учителя

II.Основная часть:

Представление рациональных чисел цепными дробями. Для изложения теоретического материала учитель может использовать приложение 2.

III. Практическое задание:

  1. Представьте в виде цепных дробей:

а) hello_html_m66f577fc.gif; б) hello_html_m76eb7be2.gif; в) hello_html_ebf3d55.gif.

Решение:

а) hello_html_m66f577fc.gif

hello_html_58319137.gif

б) hello_html_m76eb7be2.gif

hello_html_m591960de.gif

в) hello_html_ebf3d55.gif

hello_html_788f28b3.gif

  1. Разложить обыкновенную дробь hello_html_m43818bbf.gif в цепную дробь.

Решение:

hello_html_848b7cb.gif

IV. Итог. Домашнее задание:

Разложить в цепную дробь: hello_html_39210f10.gif.



Урок 3

Тема: Подходящие дроби

Цели и задачи

Образовательные: формировать представления учащихся о цепных дробях.

Развивающие: развивать способность к восприятию нестандартного материала, формировать навыки самостоятельной работы.

Воспитательные: воспитать эмоционально- положительную направленность на практическую деятельность.

Ход урока

  1. Вступительное слово учителя

  2. Проверка домашнего задания

  3. Основная часть:

Подходящие дроби. Для изложения теоретического материала учитель может использовать приложение 3.

  1. Практическое задание:

Найти подходящие дроби к цепной дроби (2, 2, 1, 3, 1, 1, 4, 3).



2

2

1

3

1

1

4

3

hello_html_7202fe7e.gif

1

2

5

7

26

33

59

269

866

hello_html_mc235383.gif

0

1

2

3

11

14

25

114

367



Подходящие дроби:

hello_html_4aa82176.gif

  1. Итог. Домашнее задание:

Найдите действительные числа, которые обращаются в данные цепные дроби:


  1. (2; 1, 3, 4, 1, 2);

  2. (2; 1, 1, 6, 8);

  3. (0; 1, 4, 3, 2);

  4. (- 3; 1, 1, 2).







Урок 4

Тема: Задача Христиана Гюйгенса

Цели и задачи

Образовательные: формировать представления учащихся о цепных дробях в различных сферах деятельности;

Развивающие: развивать логическое мышление и способности к восприятию нестандартного материала и ориентации в неё.

Воспитательные: прививать интерес к изучаемому предмету.

Ход урока

  1. Вступительное слово учителя

  2. Проверка домашнего задания

  3. Основная часть:

Задача Христиана Гюйгенса. Для изложения теоретического материала учитель может использовать приложение 4.

  1. Практическое задание:

Решить задачу Гюйгенса, изменив количество зубцов.

  1. Итог. Домашнее задание:

Изготовить карточки с заданиями для одноклассников. (Задание на разложение в цепную дробь).



Урок 5-6

Тема: Решение диофантовых уравнений

Цели и задачи

Образовательные:

  • формировать навыки решения диофантовых уравнений;

  • формировать представление учащихся о диофантовых уравнениях;

Развивающие: развивать логическое мышление и способности к восприятию нестандартного материала и ориентации в неё.

Воспитательные: прививать интерес к изучаемому предмету.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания

Дети обмениваются карточками, которые изготовили дома и выполняют задания.

II. Вступительное слово учителя:

Диофантовы уравнения. Для изложения теоретического материала учитель может использовать приложение 5.

III. Выполнение заданий:

  1. Решить уравнения в целых числах:

  1. 142x + 82y = 6

  2. 70x + 33y = 1

  3. 143x + 169y = 5

  4. 35x – 37y = 12

  5. 4x – 14y = 7





Решение:

  1. 142x + 82y = 6

Данное уравнение равносильно уравнению 71x + 41y = 3.

Разложим hello_html_m7c64a16b.gif в цепную дробь:

hello_html_2914d1a0.gif

Составим все подходящие дроби:

hello_html_6296fbef.gif

На основании свойства подходящих дробей

hello_html_243a956f.gif

получим:

hello_html_m6356eccf.gifили hello_html_2685174f.gif

Умножив обе части равенства на 3, находим:

hello_html_55b6dff4.gif

т.е. hello_html_205861ea.gif, hello_html_m7ed2bf1c.gif – частное решение данного уравнения.

Все решения могут быть найдены по формулам:

hello_html_m6dfb7edc.gif

где t принимает любые целые значения.

Остальные задания предлагается учащимся решить самостоятельно, работая в группах.

  1. Решить задачи:

    1. Для перевозки зерна имеются мешки по 60 и 80 кг. Сколько нужно тех и других мешков для перевозки 440 кг зерна?

    2. Туристическое бюро, имеющее в своем распоряжении двадцатитрехместные автобусы и шестиместные легковые автомобили, организует экскурсионную поездку для 310 туристов. Сколько машин того и другого типа следует выделить для экскурсантов?

    3. Сколько потребуется сосудов емкостью по 0,5 и по 0,8 л для разлива 12 л жидкости так, чтобы все взятые сосуды были наполнены?

  1. Итог. Домашнее задание:

Решить уравнения в целых числах:


  1. 275x + 145y = 10

  2. 12x – 7y = 29

  3. 1256x + 847y = 119

  4. 60x – 91y = 2

Урок 7

Тема: Античные математики

Цели и задачи

Образовательные: сформировать умения по составлению и выполнению проекта.

Развивающие: развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке, развивать внимательность и память.

Воспитательные: воспитывать самостоятельность, прививать интерес учащихся к предмету посредствам решения задач нестандартного вида.

Ход урока

Занятие ориентировано на самостоятельную работу учащихся с литературой, электронными энциклопедиями и ресурсами сети Интернет для создания проекта.

Учитель выступает в роли консультанта.

Домашнее задание

Подготовить творческие проекты к итоговому занятию.



Урок 8

Тема: Итоговое занятие

Цели и задачи

Образовательные: Определить уровень знаний, обобщить знания учащихся.

Развивающие: Развивать логическое мышление и речь учащихся, умение оценивать свои знания.

Воспитательные: воспитывать уверенность в себе, воспитывать потребность к самоконтролю.

Ход урока

  1. Организационное начало урока

  2. Творческие проекты учащихся по темам проектов

Дети выступают со своими творческими проектами как индивидуальными, так и групповыми.


































СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Александров В. А., Горшенин С. М. Задачник – практикум по теории чисел: для студентов заочников физ. – мат. фак. пед. ин – тов / В. А. Александров, С. М. Горшенин. – М.: Просвещение, 1972. – 80с.

  2. Андронов И. К., Окунев А. К. Арифметика рациональных чисел: пособие для учителей / И. К. Андронов, А. К. Окунев. – М.: Просвещение, 1971. – 399с., с илл.

  3. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для студентов заочников II курса физ.- мат. фак. пед. ин – тов / Н. А. Казачек, Г. Н. Перлатов, Н. Я. Виленкин, А. И. Бородин; под. ред. Н. Я. Виленкина.- 2 - е изд. - М.: Просвещение, 1984. - 192с.

  4. Балк М. Б. и Балк Г. Д. Математика после уроков: пособие для учителей / М. Б. Балк, Г. Д. Балк. – М.: Просвещение, 1971. – 462с.

  5. Бескин Н.М. Бесконечные цепные дроби / Н. М. Бескин // Научно – популярный физико-математический журнал «Квант». 1970. - №8. – С. 10 – 20.

  6. Бескин Н.М. Цепные дроби / Н. М. Бескин // Научно популярный физико-математический журнал «Квант». 1970. – №1. – С. 16 – 26.

  7. Болгарский Б. В. Очерки по истории математики / Б. В. Болгарский. – 2-е изд., испр. и доп. – Мн.: Высшая школа, 1979. – 291с.

  8. Бохер М. Введение в высшую алгебру / М. Бохер; под ред. А. Г. Курош; пер. с нем.. – М. – Л.: Гостехиздат, 1933. – 291с.

  9. Бухштаб А. А. Теория чисел: учпедгиз / А. А. Бухштаб. – М.: Просвещение, 1960. – 375с.

  10. Варпаховский Ф. Л. , Гальперин Г. А., Гисин В. Б. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для студентов IIV курсов заочного отделения физ. – мат. фак. педвузов / Ф. Л. Варпаховский, Г. А. Гальперин, В. Б, Гисин. – М.: Альфа, 1994. – 223с.

  11. Виленкин Н.Я., Бородин А.И., Перлатов Г.Н., Казачек Н.А. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для студентов-заочников II курса физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Н.Я. Виленкин. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1984. – 192с.

  12. Виноградов И. М. Основы теории чисел: учеб. пособие для студентов заочников физ. – мат. фак. пед. ин – тов / И. М. Виноградов. – М.: Наука. 1972. – 180с.

  13. Глейзер Г. И. История математики в школе: IXX классы. пособие для учителей / Г. И. Глейзер. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.

  14. Глухов М. М, Солодовников А. С. Задачник – практикум по высшей алгебре: для студентов – заочников физ. – мат. фак. пед. ин – тов / М. М. Глухов, А. С. Солодовников. – 2 – е изд. , доп. – М.: Просвещение, 1969. – 278с.

  15. Депман И. Я. История арифметики: пособие для учителей / И. Я Депман. – М.: Просвещение, 1959. – 422с.

  16. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел./ Г. Дэвенпорт. – М.: Наука, 1965. – 176с. с илл.

  17. Ермаков Д., / Элективные курсы для предпрофильного обучения / Д. Ермаков, Г. Петрова. – М.: Народное образование, 2004, – №4. – С. 27-35.

  18. Завало М. М., Костарчук В. Н., Хацет Б. И. Алгебра и теория чисел / М. М. Завало, В. Н. Костарчук, Б. И. Хацет. – Ч. 2. – Киев: Вища школа. Головное издательство, 1980. – 408с.

  19. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей / Ф. Клейн. – Т. I: Арифметика. Алгебра. Анализ. – М.: Наука, 1987. – 432с.

  20. Кочева А. А. Задачник – практикум по алгебре и теории чисел: для студентов – заочников II курса физ. – мат. фак. пед. ин – тов / А. А. Кочева. – М.: Просвещение, 1984. – 41с.

  21. Кудреватов Г. А Сборник задач по теории чисел: кн. для студентов пед. ин – та / Г. А. Кудреватов. – М.: Просвещение, 1970. – 128с.

  22. Кузнецов Д.Ю., Трошина Т.Л. Использование темы «Цепные дроби» на уроках математики / Д.Ю. Кузнецов, Т.Л. Трошина // Ярославский педагогический вестник. 1998. № 3(15). – с. 91 – 95.

  23. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для пед. ин – тов / Л. Я. Куликов.- М.: Высш. Школа, 1979. – 559с., ил.

  24. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел: учеб. пособие для студентов физ. – мат. фак. пед. ин – тов / Е. С. Ляпин, А. Е. Евсеев. – Ч. 1 Числа. – М.: Просвещение, 1974. – 383с.

  25. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин – тов по спец. «Математика» / А. Я. Блох, Е. С. Канин, Н. Г. Килина и др. ; сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. – М.: Просвещение. 1985. – 336с.

  26. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов физ. – мат. фак. пед. ин – тов / сост. Ю. М. Колягин, В. А. Оганесян. В. Я. Саннинский, Г. Л. Луканкин. - М.: Просвещение, 1975. – 462с.

  27. Методическое письмо о проведении элективных курсов // Профильная школа, 2003. – № 3. – С. 5-10.

  28. Михелович Ш. Х. Теория чисел: кн. для учащихся / Ш. Х. Михелович. – М.: Высшая школа, 1967. – 335с.

  29. Нестеренко Ю. В., Никишин Е. М. Очерк о цепных дробях / Ю. В. Нестеренко, Е. М. Никишин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». 1983. – №5. – С. 16 – 20.

  30. Нестеренко Ю. В., Никишин Е. М. Очерк о цепных дробях / Ю. В. Нестеренко, Е. М. Никишин // Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». 1983. – №6. – С. 26 – 30.

  31. Перельман Я.И. Занимательная астрономия / Я.И. Перельман. – Екатеринбург: Тезис. 1994.

  32. Платон Государство. Собрание сочинений. Т. 3 / Платон. – М.: Мысль, 1994.

  33. Солнцев Ю. К., Соркин Ю. И., Нечаев В. А. Арифметика рациональных чисел: кн. для студентов заочников / Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, В. А. Нечаев. – М.: Просвещение, 1971. – 159с.

  34. Хинчин А.Я. Цепные дроби / А.Я. Хинчин. – М.: Наука, 1978.


Краткое описание документа:

Курс предназначен для учащихся 8 классов на 8 часов по 1 часу в неделю. Одна из целей – дать учащимся, проявившим интерес к математике, возможность углублённого изучения основного курса путём рассмотрения заданий, требующих нестандартного подхода при своём решении. Другой важной целью является формирование мировоззрения учащихся, развитие их логического мышления. Достижению этих целей служат специально подобранные задания, решение которых требует дополнительных знаний, полученных в данном курсе, что развивает сообразительность, логическое мышление и стремление к самосовершенствованию.

 

В данном курсе рассматриваются задачи по теме «Конечные цепные дроби». 

Автор
Дата добавления 17.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров944
Номер материала 122281
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх