Производная функции для
дистанционного обучения.
Производная функции, её механический
смысл.
Правила дифференцирования и таблица
производных.
Рассмотрим
функцию , дадим аргументу
приращение получим новое значение
функции В результате функция
получит приращение функции: (х).
Определение.
Производной функции в произвольной точке называется предел
отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Производная функции в точке обозначается Итак, по определению:
или (x)=
Механический
смысл производной.
Пусть
материальная точка движется по прямой по закону S=S(t):
Тогда
DS =
S(t+Dt)
– S(t)
– расстояние, пройденное за время Dt.
Тогда средняя скорость движения: Vcр
= .
Чтобы
найти скорость движения в момент времени t,
надо рассмотреть предел Vcр
при Dt ®0:
V(t)
= .
Значит,
производная от пути S(t)
равна мгновенной скорости точки в момент времени t:
.
Тогда означает мгновенную
скорость точки в любой момент времени – в этом состоит механический смысл
производной.
Правила дифференцирования:
Если
функции U=U(x)
и V=V(x)
дифференцируемы (имеют производную) в точке x,
то выполняется:
1. (U ± V)'
= U
' ±
V
',
2. (U ×
V)'
= U
'× V
+ U ×
V
'.
3. (C×U)'
= C×U'
, где С=const
(число)
4.
Таблица
производных основных элементарных функций:
1. (c)'
=0, с=const
(число)
2. (x)'
= 1
3. (x2)'
= 2×x
4. (xn)'
= n×xn-1
5. (sinx)'
=cosx
6. (cosx)'
= - sinx
7. (tgx)'
=
8. (ctgx)'
= -
9. (arcsinx)'
=
10. (arccosx)'
= -
11. (arctgx)'
=
12. (arcctgx)'
= -
13. '=
14. ()'==
-
Примеры и решения:
1.
y=x4+3x2+sinx
y'=(x4+3x2+sinx)'=(x4
)'+(3x2 )'+(sinx)'=4x3+6x+cosx
2.
(3+ -=0 --5
3. (=(
4. (sinх (x5+1))'= (sinх)
' (x5+1)+ sinх
(x5+1)'=cos x (x5+1)+ sinх 5x4
5. () ' ==
Производная сложной функции.
Если
функция f(g)
дифференцируема в точке g,
а функция g(x)
дифференцируема в точке x,
причем g =
g(x),
тогда сложная функция f(g(x))
дифференцируема в точке x
и ее производная вычисляется по формуле:
(f (g(x)))' = f '(g)
×g '
(x).
Примеры: Найдите
производные функции:
1. y=5sin5x 2. y=-cos10x
3.;
Решение: Последовательно
применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формула
дифференцирования, имеем:
1. y' =(5sin5x) '=5
cos5x×5=25 cos5x
2. y' = ( -cos10x) '=
-10(-sin10x)=10sin10x
3. 3cos 3х
Примеры
для тренировки:
1.
y=
3x-2+x-12; 2. y= tg2x ×ctg4x;
3. y=
4. y=; 5. 6.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.