Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Производная функции для дистанционного обучения.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Производная функции для дистанционного обучения.

библиотека
материалов

Производная функции для дистанционного обучения.


Производная функции, её механический смысл.

Правила дифференцирования и таблица производных.

Рассмотрим функцию hello_html_5a44a6b1.gif, дадим аргументу приращение hello_html_m757cfebc.gif получим новое значение функции hello_html_m5bdd9673.gif В результате функция получит приращение функции: hello_html_m4163f16f.gif(х).

Определение. Производной функции в произвольной точке hello_html_m4f3a936b.gif называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при hello_html_m35dbb6a7.gif Производная функции hello_html_m7eced531.gif в точке hello_html_m4f3a936b.gif обозначается hello_html_m430947f2.gifИтак, по определению:

hello_html_m23283889.gifили hello_html_47825cf7.gif (x)=hello_html_med3f1a4.gif

Механический смысл производной.

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S=S(t):

hello_html_1de2f266.png

Тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt. Тогда средняя скорость движения: Vcр = hello_html_7892746.gif.

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел Vcр при Dt 0: V(t) = hello_html_45930d98.gif.

Значит, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t: hello_html_m1aa01c28.gif.

Тогда hello_html_57196034.gif означает мгновенную скорость точки в любой момент времени – в этом состоит механический смысл производной.




Правила дифференцирования:

Если функции U=U(x) и V=V(x) дифференцируемы (имеют производную) в точке x, то выполняется:

1. (U V)' = U ' V ',

2. (UV)' = U ' V + UV '.

3. (U)' = U' , где С=const (число)

4. hello_html_7102838.gif

Таблица производных основных элементарных функций:

  1. (c)' =0, с=const (число)

  2. (x)' = 1

  3. (x2)' = 2x

  4. (xn)' = nxn-1

  5. (sinx)' =cosx

  6. (cosx)' = - sinx

  7. (tgx)' = hello_html_1d2ee5d2.gif

  8. (ctgx)' = - hello_html_30f03e20.gif

  9. (arcsinx)' = hello_html_60d11e25.gif

  10. (arccosx)' = -hello_html_54525d5f.gif

  11. (arctgx)' = hello_html_m263bc609.gif

  12. (arcctgx)' = - hello_html_m2f4dfe0a.gif

  13. hello_html_m4306d00.gif'=hello_html_m6d2b0021.gif

  14. (hello_html_m5cdff76c.gif)'== - hello_html_m71b2fd39.gif


Примеры и решения:

  1. y=x4+3x2+sinx

y'=(x4+3x2+sinx)'=(x4 )'+(3x2 )'+(sinx)'=4x3+6x+cosx

  1. (3+hello_html_56ac21ea.gif -hello_html_m5ee8aba5.gif=0 -hello_html_4afae2a6.gif-5hello_html_710b5339.gif

  2. (hello_html_5285d50.gif=(hello_html_2a02fa57.gif

  3. (sinхhello_html_79c0f69b.gif (x5+1))'= (sinх) hello_html_79c0f69b.gif' (x5+1)+ sinх hello_html_79c0f69b.gif (x5+1)'=cos xhello_html_79c0f69b.gif (x5+1)+ sinхhello_html_79c0f69b.gif 5x4

  4. (hello_html_m6c3dd470.gif) ' =hello_html_m21a4a8b0.gif=hello_html_76f7a4c9.gif



Производная сложной функции.

Если функция f(g) дифференцируема в точке g, а функция g(x) дифференцируема в точке x, причем g = g(x), тогда сложная функция f(g(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:

(f (g(x)))' = f '(g) ×g ' (x).


Примеры: Найдите производные функции:

1. y=5sin5x 2. y=-cos10x 3.hello_html_54b64b85.gif;

hello_html_m557ef345.gif

Решение: Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, правила и формула дифференцирования, имеем:


1. y' =(5sin5x) '=5 cos5x×5=25 cos5x

2. y' = ( -cos10x) '= -10(-sin10x)=10sin10x

hello_html_m557ef345.gif3. hello_html_12392b9b.gif3cos 3х


Примеры для тренировки:

  1. y= 3x-2+x-12; 2. y= tg2x ×ctg4x; 3. y=hello_html_2539dd10.gif

4. y=hello_html_688c3fe7.gif; 5.hello_html_76116582.gif 6.hello_html_6927f487.gif



Автор
Дата добавления 24.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров109
Номер материала ДВ-373751
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх