Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Производная и ее приложения в ШКМ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Производная и ее приложения в ШКМ

библиотека
материалов

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Стерлитамакская государственная педагогическая академия



Физико-математический факультет



Кафедра теории и методики обучения математики







Контрольная работа

по теме:

Производная и ее приложения в средней школе

(учебно – методический комплекс)


Выполнила: студентка 4 курса ОЗО

ФМФ Галикеева И.З.

Проверила:

Преподаватель Ибатуллина Э.Ф.










Стерлитамак 2008

Содержание

Введение………………………………………………………………………..3

ГЛАВА 1. ОСОБЕННОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИГР В МЛАДШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ

    1. Исторические предпосылки возникновения игры…………………5

    2. Классификация детских игр…………………………………………. .8

    3. Психолого-педагогический потенциал детской игры…………………14

ГЛАВА 2. ПОДВИЖНЫЕ ИГРЫ КАК СРЕДСТВО ОЗДОРОВИТЕЛЬНОГО ЭФФЕКТА, ПРЕПЯТСТВУЮЩЕЕ РАЗВИТИЮ ПЕРЕУТОМЛЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

    1. Игра – важный инструмент оптимизации двигательной активности младших школьников………………………………….23

    2. Использование подвижных игр на занятиях……………………….41

Заключение…………………………………………………………………….54

Список использованной литературы………………………………………55

Приложение






















ЗНАЧЕНИЕ ТЕМЫ

В СВЯЗИ С РЕШЕНИЕМ ОБЩИХ ЗАДАЧ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.


О месте темы «Применение производной к исследованию свойств функций» в курсе математики средней школы.

Такие свойства функции, как монотонность (возрастание и убывание), а позднее экстремум (максимум и минимум), наибольшее и наименьшее значение функции, неоднократно рассматриваются учащимися в курсе математики средней школы, например, при изучении линейной функции, квадратной и кубической парабол, при исследовании квадратного трехчлена, при рассмотрении свойств тригонометрической, показательной и логарифмической функций. Внимание к изучению именно этих свойств вполне естественно, т.к. они характеризуют важнейшие стороны явлений действительности, описываемых теми или иными функциями. Однако до введения понятия производной в нашем распоряжении нет инструмента, с помощью которого можно было бы исследовать разнообразные функции единым методом.

Задачи на наибольшие и наименьшие значения могут решаться не только при изучении соответствующей темы курса алгебры и начал анализа, но и при изучении последующих тем этого курса и курса геометрии. В практике большое значение имеют так называемые задачи на экстремум: раскрой материала м минимумом отходов, обеспечение максимума дальности полета ракеты при минимуме расхода топлива, максимум прибыли при минимуме затрат и т.д.

Следовательно, для того чтобы рассматривать приложения производной к исследованию свойств функций, должен быть, во-первых, накоплен некоторый запас функций, исследованных так называемыми элементарными методами, причем опыт анализа должен подвести обучаемых к пониманию необходимости обобщения и, во-вторых, учащиеся должны в основном овладеть самим инструментом исследования, т.е. достаточно отчетливо представлять, что такое производная.

По современной программе этим требованиям соответствует X класс, в котором и предусмотрена специальная тема «Применение производной». Разумеется, что применение производной к исследованию функций не ограничивается рамками этой темы, а продолжается в процессе изучения всего курса начал анализа, в особенности при изучении показательной, логарифмической и тригонометрической функций, изучаемых несколько позднее.







ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ТЕМЫ.

О происхождении терминов и обозначений. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Приращения вида Δf, представляющие собой разности, играют заметную роль при работе с производными. Естественно поэтому появление латинского корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового исчисления, которое переводится как исчисление разностей; это название появилось уже в конце XVII в., т.е. при рождении нового метода.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derivee, которое ввел в 1797 г. Ж.Лагранж (1736-1813); он же ввел современные обозначения y´, f´. Такое название отражает смысл понятия: функция f´(x) происходит из f(x), является производным от f(x). И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой. Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как hello_html_m3bf97cc1.gif Это обозначение также часто встречается в современной литературе.

Символ df Лейбниц выбрал для обозначения дифференциала функции f. Дифференциал df функции f – это произведение производной f´(x0) на приращение hello_html_a2aade.gif, т.е. df= f´(x0) hello_html_a2aade.gif ; заменяя обозначение hello_html_a2aade.gif на dх, это же можно записать так: df= f´(x0)dх, откуда hello_html_16e10c0d.gifГеометрический смысл дифференциала ясен из рассмотрения рисунка: здесь df=АВ, прямая l – касательная к графику.

Рассказ о происхождении терминологии, принятой в дифференциальном исчислении, был бы не полон без понятия предела и бесконечно малой. Подробнее о пределе говорится ниже, а пока заметим, что, например, производная определяется во всех руководствах именно как предел. Пишут hello_html_m93a4176.gif вместо принятого выше обозначения hello_html_6a39dd64.gif при hello_html_7b11e4c5.gif

Обозначение lim – сокращение латинского слова limes (межа, граница); уменьшая, например, hello_html_a2aade.gif, мы устремляем значения hello_html_2b52dcf0.gif к «границе» hello_html_708cc53.gif. Термин «предел» ввел Ньютон.

Примером бесконечно малой может служить функция hello_html_m6eb7175a.gif от hello_html_a2aade.gif, поскольку hello_html_524d1d62.gif при hello_html_m1a2a1150.gif Вообще, если hello_html_7678e8c0.gif говорят, что hello_html_152175e3.gif – бесконечно малая. Бесконечно малые играют важную роль в математическом анализе, который поэтому часто называют также анализом бесконечно малых.

Заметим наконец, что слово «экстремум» происходит от латинского extremum (крайний). Maximum переводится как наибольший, а minimum – наименьший.



Понятие производной функции является одним из важнейших понятий курса математического анализа, так как это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит исходной базой при построении интегрального исчисления. Учащиеся знакомятся с этим понятием в курсе «Алгебра и начала анализа»(X класс) в теме «Предел функции и производная». Тогда же изучаются производные суммы, произведения, частного, многочлена, дробно-рациональной и сложной функций. В XI классе учащиеся знакомятся с производными тригонометрических показательной и логарифмической функций.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение задач, которые показывают важность предела некоторого вида и тем самым необходимость его изучения. Такими задачами являются, например, задачи о мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о мгновенной величине тока, о теплоемкости тела в точке, о линейной плотности в точке, о проведении касательной к графику функции и др. Задачи о нахождении мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о проведении касательной к графику функции, о линейной плотности в точке изложены в учебном пособии «Алгебра и начала анализа» для IX класса средней школы, поэтому мы на них не будем останавливаться, а подробно разберем задачи о мгновенной величине тока, о теплоемкости тела, о скорости химической реакции.

Задача о мгновенной величине тока.

Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через hello_html_c3f053e.gif количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Количество электричества есть функция времени, так как каждому значению времени t соответствует определенное значение количества электричества. Пусть t – некоторый промежуток времени, hello_html_m53d4ecad.gifq = q (t + ∆t) – g (t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + ∆t. Тогда отношение q / ∆t. называют средней силой тока за промежуток времени t и обозначают Iср. Иначе говоря, средней силой тока называется количество электричества, протекающее по проводнику в единицу времени. В случае постоянного тока Iср будет постоянной. Если в цепи переменный ток, то Iср будет различна для различных промежутков времени. Поэтому для цепи переменного тока вводят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени.

Мгновенной силой тока в момент времени t н6азывается предел отношения приращения количества электричества ∆q ко времени ∆t, за которое произошло это приращение, при условии, что ∆t –>0. Он обозначается:

hello_html_me0777e5.gif.

Задача о теплоемкости тела.

Если температура тела с массой в 1г повышается от hello_html_m79c9619.gif до hello_html_55b886cf.gif, то это происходит за счет того, что телу сообщается определенное количество тепла Q; значит, Q есть функция температуры hello_html_m1ffc4960.gif, до которой тело нагревается: hello_html_7ae5bed8.gif.

Пусть температура тела повысилась с hello_html_m1ffc4960.gif до hello_html_m1ffc4960.gif+hello_html_m16332ffb.gif. Количество тепла Q, затраченное для этого нагревания, равно:

hello_html_m49fbf903.gif.

Отношение hello_html_m55db5d7.gif есть количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на I0 при изменении температуры от hello_html_6abde7ce.gif до hello_html_352f7d8b.gif. Это отношение называется средней теплоемкостью данного тела в температурном интервале | hello_html_m1ffc4960.gif, hello_html_m1ffc4960.gif+hello_html_m16332ffb.gif| и обозначается сср.

Так как средняя температура не дает представления о теплоемкости для любого значения температуры hello_html_m1ffc4960.gif, то вводится понятие теплоемкости при данной температуре hello_html_m1ffc4960.gif (в данной точке hello_html_m1ffc4960.gif).

Теплоемкостью при температуре hello_html_m1ffc4960.gif (в данной точке hello_html_m1ffc4960.gif) называется предел отношения приращения количества тепла Q к приращению температуры hello_html_m16332ffb.gif при условии, что hello_html_m16332ffb.gifhello_html_m4ca7ed50.gif. Он обозначается:

hello_html_76d71c0c.gif.

Задачи о скорости химической реакции.

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества, вступившее уже в реакцию к моменту времени t, обозначим через y(t). Таким образом, y есть функция времени, т.е. переменной t. Если hello_html_m4529a12f.gif – некоторый промежуток времени от момента t до момента hello_html_19f94f76.gif вступит в реакцию еще некоторое количество вещества hello_html_m340269a1.gif. Следовательно, отношение hello_html_b138b8.gif выразит среднюю скорость химической реакции за промежуток времени hello_html_m4529a12f.gif. Для характеристики скорости химической реакции в данный момент t следует рассмотреть предел этого отношения при hello_html_m2e631ac5.gif т.е. hello_html_5923a6dc.gif.

Итак, подводя итог, следует обратить внимание учащихся на то, что в рассмотренных задачах речь шла о понятии мгновенной силы тока как величине, характеризующей скорость изменения количества электричества с течением времени; о понятии теплоемкости тела при данной температуре как скорости изменения количества тепла при изменении температуры; о скорости химической реакции в момент времени как скорости изменения количества вещества, участвующего в этой реакции, с течением времени. Отмечается, что введение всех рассмотренных выше понятий проводилось с помощью предела особого вида, а именно предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Можно привести много задач, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения некоторой функции, например: нахождение концентрации раствора в определенный момент, нахождение расхода жидкости, угловой скорости вращающегося тела, линейной плотности в точке и т.п.

В результате рассмотрения задач такого рода учащиеся должны прийти к выводу о том, что понятие скорости изменения функции необходимо при решении большого числа задач, важных в практическом отношении.

Понятию производной должно предшествовать рассмотрение двух-трех задач; начать следует с задач о мгновенной скорости, о касательной линии, а затем перейти к задачам на скорость изменения функции. Рассмотрев с учащимися задачи, решение которых приводит к необходимости вычисления предела отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение функции стремится к нулю, следует отметить целесообразность изучения предела такого вида для произвольной функции.

Рассматривается функция hello_html_278687bc.gif, определенная на некотором интервале [a, b]. Берется некоторая точка х – фиксированная точка интервала [a, b] и точка hello_html_mfbff5ab.gif – произвольная точка интервала [a, b] (hello_html_632023b4.gif– приращение аргумента, которое может быть как положительным, так и отрицательным), т.е. hello_html_m734afb91.gif< х < b, a < x+∆ x< b.

Рассматривается приращение функции, соответствующее приращению аргумента hello_html_632023b4.gif: hello_html_13d95ebb.gif, и затем отношение приращения функции hello_html_7ad6d59d.gif к вызвавшему его приращению аргумента hello_html_632023b4.gif:

hello_html_m603447e8.gif.

Данное отношение есть функция переменной hello_html_632023b4.gif, определенная для всех значений hello_html_632023b4.gif из интервала [ax, bx], кроме hello_html_632023b4.gif= 0. Ищется предел функции F(x) при hello_html_632023b4.gifhello_html_m4ca7ed50.gif, и, если он существует, то его называют производной функции hello_html_278687bc.gif в данной точке х.

Таким образом, естественно возникает следующее определение: производной функции hello_html_278687bc.gif в точке х называется предел отношения приращения данной функции в точке х к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует.

Возвращаясь к рассмотренным ранее конкретным задачам, важно подчеркнуть следующее:

а) мгновенная сила тока I(t) в момент времени t есть производная от количества электричества q(t) по времени, т.е.

hello_html_m3c45d722.gif

б) теплоемкость hello_html_m6b0f0ece.gifпри температуре hello_html_m1ffc4960.gif есть производна от количества тепла hello_html_m6f245736.gif получаемого телом, по температуре hello_html_m1ffc4960.gif, т.е.

hello_html_613184fb.gif

в)скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества y(t), участвующего в реакции, по времени t, т.е.

hello_html_2155e649.gif

Другим важным моментом, на который нужно обратить внимание учащихся, является следующий.

Из определения производной следует, что производная функции y=f(x) в точке х есть число, которое зависит от выбора точки х, но не зависит от выбора hello_html_m72ff0152.gif Если рассматривать производную функции f(x) в различных точках х, то мы будем получать различные значения. Таким образом, производная hello_html_63086ecb.gif есть функция переменной х, определенная на множестве, совпадающем с областью определения данной функции y=f(x) либо с некоторой ее частью (последнее имеет место в том случае, если функция y=f(x) имеет производную не во всех точках своей области определения).

Важно, чтобы учащиеся понимали, что определение производной функции алгоритмично, т.е. операция нахождения производной функции распадается на более простые операции – шаги, а именно можно указать некоторое правило-схему, состоящую из 4 шагов (иногда предлагается схема из 3 или 5 шагов) для нахождения производной функции hello_html_278687bc.gif в точке х:

  1. Дать аргументу х приращение hello_html_2a7e7df6.gif и рассмотреть функцию для значения аргумента hello_html_5aadc315.gif, т.е. hello_html_764e8f25.gif

  2. Вычислить приращение hello_html_33888bdf.gif функции, вызываемое приращением hello_html_m43018f38.gif аргумента: hello_html_7da6f39b.gif

  3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента: hello_html_218173c6.gif

  4. Вычислить предел этого отношения при hello_html_111ecdc4.gif

hello_html_6d1ed589.gif

Это правила нахождения производной необходимо детально разобрать на примерах. Рассмотрим один из таких примеров.

Дано: hello_html_1d98d2e4.gif Найти производную hello_html_m682b7e0d.gif

  1. Даем аргументу х приращение hello_html_m43018f38.gif и рассматриваем значение функции для аргумента hello_html_5aadc315.gif, т.е. hello_html_2381d791.gif

  2. Вычисляем hello_html_33888bdf.gif: hello_html_76f34fe5.gif

  3. Находим отношение hello_html_41aae0a7.gif

hello_html_m11b85a04.gif

  1. Вычисляем предел отношения hello_html_m41e253ce.gif при hello_html_111ecdc4.gif

hello_html_m57fbd96b.gif

т.е.

hello_html_m6bf2151.gif

Важно выработать у учащихся представление о том, что не всякая функция (даже непрерывная) имеет производную в каждой точке области определения. Для этого следует рассмотреть с учащимися некоторые примеры, например, найти производную функции:

hello_html_50a91b79.gifhello_html_6e71bf76.gif

При изучение темы производной необходимо рассмотреть геометрический и механический смысл производной.

Геометрическое истолкование производной:

Если функция имеет производную в точке, то в этой точке существует касательная к графику, причем значение производной в точке совпадает с угловым коэффициентом касательной, проведенной к графику функции в этой же точке.

Механический смысл производной: «производная от координаты по времени есть скорость», а «производная от скорости по времени есть ускорение»



Методика изучения применения производной к исследованию функций.

1.Методические трудности данной темы. Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших – важнейший раздел темы «Производная и ее применения». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и других. Он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей (в особенности с курсом физики).

Заметим, что изучение применения производной к исследованию функций вызывает большие методические трудности, чем введение производной. Они возникают в связи с тем, что здесь сложнее логическая структура материала; в конечном счете основной факт для построения всей необходимой части теории ­– теорема о том, что непрерывная на отрезке функция принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, – не входит в рамки школьного курса математики в силу большой своей сложности.

Возникает методическая задача отбора необходимого минимума учебного материала, нахождения вариантов доказательств теорем, которые были бы доступны для учащихся, или сообщения идеи доказательства, мотивировок теорем, выбора подкрепляющих примеров и задач. Сообщаемые учащимися сведения не должны быть в процессе продолжения образования отброшены. Эта необходимость сочетания доступности и краткости изложения с отсутствием вульгаризации его и создает значительные методические трудности. Отсюда большое разнообразие подходов к изложению материала.

2.Различные варианты изложения темы.

Рассмотрим некоторые особенности изложения данной темы в различных учебных пособиях и учебниках. Остановимся сначала на исследовании функции на возрастание и убывание.

В ряде пособий признаки возрастания и убывания функций даются без доказательства. Интересный прием для иллюстрации содержания как необходимых, так и достаточных условий возрастания и убывания функций используется в [118]: рассматривается координата точки, движущейся по оси в положительном направлении (функция возрастает) и в отрицательном направлении (функция убывает); скорость истолковывается как производная от координаты по времени; рассматривается связь между знаком производной (скорости) и изменением координаты точки.

В ряде пособий доказательство заменяется геометрической иллюстрацией, использующей связь между углом наклона касательной и значением производной.

В основном, однако, заметно стремление найти приемы изложения, которые сводили бы недосказанные факты к минимуму. Из этих приемов отметим те, которые основаны на использовании теоремы Лагранжа, принимаемой без доказательства (в ее геометрической интерпретации). Напомним формулировку теоремы Лагранжа: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, то в интервале (a; b) найдется точка с такая, что

f(b) ­– f(a) = f`/(c)(ba).

Именно в этой (негеометрической) формулировке теорему удобно применять для доказательства признаков возрастания и убывания функции. На геометрический язык теорема Лагранжа переводится так: если функция f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b), то на соответствующей дуге кривой y=f(x) найдется точка, в которой касательная к кривой будет параллельна секущей, проведенной через концы дуги.

В пособиях, предназначенных для учителей и учащихся, иногда доказывают эту теорему. Но чаще она не доказывается, а поясняется из наглядно-геометрических соображений; например, в учебнике [24] принят именно такой подход, причем за счет более сильного условия формулировка становится менее громоздкой по сравнению с приведенной выше. Вот эта формулировка: «Пусть функция f дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Тогда между любыми двумя точками a и b этого промежутка найдется такая точка с, что f(b) ­– f(a) = f`/(c)(ba)». Также с термином «промежуток» формулируется и признаки возрастания и убывания функции: «Если функция имеет положительную производную в каждой точке промежутка I, то f возрастает на этом промежутке» и аналогично для убывания. Доказательство дается на основании теоремы Лагранжа.

Остановимся теперь на исследовании функций на максимум и минимум. Во всех пособиях, которые упоминались ранее, понятия максимума и минимума вводятся, но по-разному; в одних пособиях фигурирует строгое неравенство, в других – нестрогое. Сравним определения в учебных пособиях [24] и [25], ограничиваясь определением точки максимума.

Определение. Точка х0 из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если найдется такая δ-окрестность (х0 – δ; х0 + δ) точки х0, что для всех hello_html_m75ecf5e0.gif из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0) [25].

Определение. Точка х0 называется точкой максимума f, если найдется такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности hello_html_m4c25c495.gif[24].

hello_html_m739cb445.gifhello_html_m739cb445.gify y

hello_html_m50115a93.gif


hello_html_787395f9.gifhello_html_26ffb451.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif

hello_html_m262ea49d.gif



hello_html_m785da55e.gifhello_html_m785da55e.gif0 х0х hello_html_m785da55e.gifhello_html_m785da55e.gif 0 х0х

а) б)

Как видим, различие проявляется в случаях, вроде изображенных на рисунке 59; следует учесть также, что точка х0 на рисунке 59 б является одновременно и точкой минимума, и точкой максимума в смысле второго определения. По этой причине первое определение геометрически представляется более наглядным.

Точки минимума и максимума объединяются общим понятием точек экстремума.

Изложение вопросов, связанных с исследованием функции на экстремум, обычно начинается с доказательства теоремы Ферма. Чаще ее формулируют для случая, когда производная в точке экстремума существует, реже – когда это ограничение снимается. Доказательство этой теоремы, по существу, проводится единым способом во всех пособиях. Однако если в них содержатся определения возрастания и убывания функций в точке (например, в [25]), то на них производится ссылка; в противном случае соответствующие рассуждения фактически просто развертываются в доказательстве теоремы Ферма (например, в [24]).

Теорема Ферма дает необходимое условие существования экстремума функции; полезно разобрать с учащимися контрпример ( y=x3 на любом промежутке, содержащем 0). Достаточное условие представляет собой тот или иной вариант использования изменения знака производной при переходе через данную точку.

Заслуживает внимания различение максимума и минимума функции с помощью второй производной.


Методика изучения исследования функций на возрастание

(убывание ) с помощью производной.

Прежде всего определим, какие теоремы будем формулировать и какие способы доказательства применять.

Наиболее рациональным представляется сформулировать теорему Лагранжа, начав с ее геометрической интерпретации.

В формулировку теоремы Ферма включим предположение о дифференцируемости в экстремальной точке: «Если точка х0 – точка экстремума функции f и в ней существует производная, то она равна 0». Необходимо отметить, что функция может иметь экстремум и в точках, где производная не существует.

Достаточное условие существования экстремума формулируется с требованием непрерывности функции в точке х0, но при переходе к рассмотрению примеров будет отмечено, что в точках, где производная равна нулю, функция непрерывна, т.е. теорема применима. После этого будут рассмотрены примеры, иллюстрирующие применение теоремы.

Изучение темы «Применение производной к исследованию функций» требует знания некоторых определений и теорем, которые изучались ранее. Эти сведения надо повторить до изучения темы: понятия возрастания и убывания функции на множестве, определение производной, ее геометрический смысл, в связи с этим – понятия касательной, углового коэффициента прямой, условие параллельности прямых. Кроме того, ученики должны иметь представление о непрерывных функциях: при определении знака производной удобно пользоваться тем, что непрерывная на интервале (a; b) функция, не принимающая нулевых значений в этом интервале, сохраняет на нем знак. В ходе решения задач ученикам понадобится находить производные функций, пользоваться известными графиками для построения графиков других функций. Повторить надо и метод интервалов. Наконец, для усвоения понятия экстремума функции и доказательства соответствующих теорем надо вспомнить определение предела функции. Поскольку все время будет идти речь о необходимых и достаточных условиях, и эти понятия должны быть усвоены учащимися.

Конечно, важно, чтобы повторение было естественно связано с изучаемым на каждом уроке материалом. Например, перед изучением теоремы Лагранжа можно повторить определения производной и касательной, вспомнить, какова связь между этими понятиями. Затем предложить учащимся провести на глаз касательные к заранее заготовленным графикам и показать в каждом случае на чертеже угол, тангенс которого выражает значение производной в соответствующей точке (и указать в какой). Целесообразно так подобрать эти углы, чтобы легко было вычислить значение производной (взять углы hello_html_m7f97ca29.gif и т.п., см. рис.60). Затем предложить по готовому чертежу записать и, если можно, вычислить угловой коэффициент секущей (рис.61). После этого повторить связь между угловыми коэффициентами параллельных прямых и предложить задачу, непосредственно связанную с геометрической интерпретацией теоремы Лагранжа:




Применение производной к решению задач на исследование функции на монотонность.

Рассмотрев содержание теоремы о достаточном условии монотонности функции на интервале и проиллюстрировав ее смысл на чертеже, полезно подчеркнуть, что теперь мы получили возможность исследовать функции на монотонность вообще без обращения к чертежу. Эту возможность необходимо продемонстрировать на таких, например, упражнениях.

Пример 1. Найти интервалы монотонности функции

hello_html_f951375.gif

Решение. Данная функция определена на всей числовой прямой, т.е. для hello_html_m26487343.gif< x <hello_html_34d3e50a.gif. Найдем производную: hello_html_4de605af.gif Она определена для hello_html_m26487343.gif< x <hello_html_34d3e50a.gif. Так как hello_html_63086ecb.gif> 0 для |x| > 2, то данная функция возрастает в интервалах hello_html_m588164e.gif и hello_html_m71f482d0.gif. Так как hello_html_63086ecb.gif< 0 при |x| < 2, то данная функция убывает в интервале hello_html_m1b8847cc.gif< x <hello_html_3b031e5e.gif.

Потом вместе с учащимися формулируется правило нахождения интервалов монотонности функции:

1. Вычисляем производную hello_html_63086ecb.gif данной функции hello_html_278687bc.gif, а затем находим точки из области определения данной функции, в которых hello_html_63086ecb.gif равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции hello_html_278687bc.gif (по первой производной).

2. Критическими точками разбиваем область определения функции hello_html_278687bc.gif на интервалы, на каждом из которых производная hello_html_63086ecb.gif сохраняет свой знак, т.е. находим интервалы знакопостоянства hello_html_63086ecb.gif.

3.Исследуем знак hello_html_63086ecb.gif на каждом из интервалов знакопостоянства. Если на рассматриваемом интервале hello_html_63086ecb.gif> 0, то на этом интервале данная функция hello_html_278687bc.gif возрастает; если же hello_html_63086ecb.gif< 0, то на этом интервале hello_html_278687bc.gif убывает.

Это правило целесообразно закрепить с учащимися на примерах.


Применение производной к решению задач на нахождение локального экстремума.

Для нахождения локального экстремума функции надо:

1.Найти критические точки функции hello_html_278687bc.gif (по первой производной), принадлежащие интервалу [a; b], т.е. точки, в которых выполняется одно из условий:

а) hello_html_63086ecb.gif=0, б) hello_html_63086ecb.gif не существует.

2.Исследовать знак производной hello_html_63086ecb.gif в некоторой окрестности каждой критической точки. При этом, если hello_html_63086ecb.gif меняет знак при переходе через такую точку, то функция hello_html_278687bc.gif в этой точке имеет локальный экстремум, именно6 если знак меняется с минуса на плюс, то в этой точке локальный минимум; если с плюса на минус, то в этой точке локальный максимум. Если же знак производной hello_html_63086ecb.gif при переходе через рассматриваемую точку не меняется, то функция не имеет локального экстремума в этой точке.

Следует рассмотреть несколько примеров на закрепление сформулированного выше правила. Например, пусть hello_html_m1ee3dc9c.gif, данная функция определена на всей числовой прямой.

  1. Вычислим производную данной функции:

hello_html_m37c743f8.gif


Таким образом, конечная производная hello_html_63086ecb.gif данной функции существует на всей числовой прямой, кроме точки х = 0.

Найдем критические точки функции hello_html_278687bc.gif (по первой производной):

а) пусть hello_html_63086ecb.gif=0; тогда hello_html_m4a648bb4.gif

б) hello_html_63086ecb.gif не существует в точке х = 0, так как hello_html_2725da1e.gif

Итак, критические точки: hello_html_6790bba6.gifи hello_html_m44dffe75.gif

2) Исследуем знак производной hello_html_63086ecb.gif в некоторой окрестности каждой критической точки. Результат исследования записываем в таблицу:



x


hello_html_m5cffcdc4.gif


0


hello_html_m479b8001.gif


hello_html_m6a973c00.gif


hello_html_2a528770.gif


hello_html_63086ecb.gif


+

Не

существует



0


+

Точки локального

экстремума


Локальный

максимум


Локальный

минимум


Значение локального

экстремума



hello_html_m362bc30.gif



hello_html_7490f032.gif



Применение производной к решению задач

на построение графиков функций.

Способ построения графика функции «по точкам», наиболее употребительный в младших классах средней школы, не является совершенным. Использование аппарата производной при построении графика функции значительно облегчает эту задачу.

При построении графиков функций можно использовать следующую схему:

  1. Найти область определения функции hello_html_1e4a3c3d.gif если она заранее не

указана.

  1. Проверить функцию на четность и нечетность.

  2. Исследовать функцию на периодичность.

  3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

  4. Найдя критические точки функции (т.е. точки, в которых hello_html_3b327d43.gif или

имеет разрыв), надо исследовать знак функции в интервалах, на которые разбивается область определения функции критическими точками, т.е. найти интервалы знакопостоянства функции hello_html_564aa758.gif

  1. Исследовать функцию на монотонность.

  2. Найти точки локального экстремума функции.

  3. Начертить график.

Обращается внимание учащихся на то, что при построении графика

функции не всегда нужно точно следовать данной схеме. Например, пункт 2 в какой-то степени определяется пунктом 1; пункт 6 используется не всегда. Иногда для построения графика функции достаточно пунктов 1 – 5.

Приведем образец построения графика функции.

Пример. Построить график функции hello_html_m6b93ea8e.gif

Решение.

1) Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки х = 0, т.е. hello_html_m13ca40d7.gif

  1. Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

hello_html_ma9b5035.gif

  1. Функция непериодическая.

  2. Найдем нули функции: hello_html_746f65a0.gif Решив уравнение hello_html_210eb35a.gif получим:

х = 2. Таким образом, график функции пересекает ось абсцисс в точке х = 2. Так как х = 0 не входит в область определения функции, то делаем вывод о том, что график функции ось ординат не пересекает.

5) Используя результаты исследований шагов 1 и 4, найдем критические точки функции и установим интервалы знакопостоянства функции; hello_html_6790bba6.gifи hello_html_5a6d3469.gif – критические точки функции, они разбивают числовую ось на три интервала: hello_html_3da7ad64.gifи hello_html_m71f482d0.gif, в каждом из которых функции имеют постоянные знаки, а именно:


х

hello_html_m26487343.gif< x < 0

0 < x < 2

2 < x < hello_html_34d3e50a.gif

f(x)

-

-

+

6 – 7) Найдем производную hello_html_m613f06c6.gifона существует и конечна в области определения данной функции, поэтому критические точки функции f(x) (по первой производной) будут иметь вид: hello_html_m5904b298.gifи hello_html_m5b2b1b86.gif

Изучим поведение hello_html_63086ecb.gif на промежутках hello_html_m1870ea5b.gif и hello_html_62a2c846.gif Результаты исследования запишем в таблицу:



x


hello_html_m5cffcdc4.gif


0


hello_html_m1139aac9.gif


hello_html_5dc602bf.gif


hello_html_m17319e2f.gif


hello_html_63086ecb.gif


Не

существует


+


0


Интервалы

монотонности и

точки локального

экстремума

Убывает

Локального

экстремума

нет

Возрастает

Локальный

максимум

Убывает

Значение

локального

экстремума






hello_html_m1da16a14.gif


В точке hello_html_m5904b298.gif функция не имеет экстремума, так как эта точка не принадлежит области определения данной функции.

8) По полученным данным исследования функции строим график этой функции.

hello_html_m31cdcb11.gifу




hello_html_m34a57224.gif


hello_html_5ec49747.gif

hello_html_3ca724fd.gif0 х





hello_html_3fa4289a.gifhello_html_m3835ca71.gifИногда вместо составления двух таблиц результаты исследований свойств функции сводят в одну таблицу, где знаками « » и « » обозначают соответственно возрастание и убывание функции.

Например, для только что рассмотренной функции такая таблица будет имеет следующий вид:


x


hello_html_m5cffcdc4.gif


0


hello_html_282a06e0.gif


2


hello_html_5c18adb0.gif


4


hello_html_m29cf2448.gif


6


hello_html_m29975154.gif


hello_html_278687bc.gif


Не

определена



0


+


+


+


+


+

hello_html_63086ecb.gif


Не существует


+


+


+


0




Интервалы

монотонности и

точки локального

экстремума

hello_html_m3835ca71.gif

hello_html_m53d4ecad.gifЛокального экстремума нет

hello_html_461c6cfa.gif


hello_html_461c6cfa.gif

Локальный

максимум

hello_html_2c30bff9.gif


hello_html_2c30bff9.gif








А затем, используя эту таблицу, строят график функции.


Применение производной к решению задач на наибольшее и наименьшее значения.

Одним из важных приложений производной является использование ее при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Такие задачи возникают там, где необходимо выяснить, как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п. Умение решать такие задачи приобретает особую значимость в связи решением проблемы повышения эффективности и качества во всех сферах народного хозяйства.

На использовании производной основан достаточно универсальный метод решения таких задач. Программа по математике предусматривает знакомство старшеклассников с этим методом и формирование у них умений применять его к решению задач.

Задачи этого типа имеют четкую прикладную направленность если не по фабуле, то в любом случае по подходу к решению – в них все фазы построения и использования математической модели – формализация, решение формализованной задачи, интерпретация – получают соответствующую реализацию: составление функции, описывающей условие задачи, в результате чего осуществляется переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на некотором промежутке; решение этой математической задачи с использованием производной; придание полученному результату соответствующего содержательного смысла.

В письменный экзамен по математике за курс средней школы ежегодно (с 1977 г.) включается задача такого характера; это достаточно красноречиво свидетельствует о том, что формирование умений решать такие задачи является в настоящее время одной из важных целей изучения математики в средней школе.

Какую же работу следует проводить учителю в плане обучения старшеклассников указанному методу решения задач? Прежде всего следует познакомить их с тем, как с помощью производной можно находить наибольшее и наименьшее значения функции на различных промежутках.

Заметим, что использование производной позволяет найти такие значения либо сделать вывод об их отсутствии для любой непрерывной на рассматриваемом промежутке функции, имеющей на этом промежутке лишь конечное число точек, в которых производная либо не существует, либо равна нулю (т.е. конечное число критических точек). Такое исследование для любых промежутков можно осуществить на основе предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы на соответствующем промежутке, которое проводится с помощью производной. Без предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы нельзя обойтись в тех случаях, когда отыскивается наибольшее или наименьшее значение функции на бесконечном промежутке; в других случаях (отрезок, интервал, полуинтервал) можно обойтись и без него, если пользоваться правилом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, что нередко приводит к более простому решению.

Работа может быть начата с постановки задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и обоснования соответствующего правила.

Подчеркнем, что только для функции, непрерывной на отрезке и отличной от постоянной, гарантировано (теоремой Вейерштрасса) существование наибольшего и существование наименьшего среди всех ее значений, принимаемых на этом отрезке. Для других видов промежутков такой гарантии нет.

Опираясь на знания учащихся, а также на наглядные представления, развиваемые с помощью рассмотрения нескольких графиков функций, можно подвести учащихся к установлению и обоснованию правила для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Остановимся на описании подхода, при котором это правило формулируется для функций, непрерывных на отрезке и имеющих на нем лишь конечное число критических точек [24]. При другом подходе это правило формулируется для более узкого класса функций – для функций, непрерывных на отрезке и дифференцируемых внутри него [23].

Если класс не отличается достаточно хорошей математической подготовкой, то сначала следует обратить внимание на тот факт, что функция, монотонная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения на его концах. Для этого можно использовать графики монотонных функций.

Дhello_html_3f6b6771.gifhello_html_m26d8f160.gifалее перед учащимися целесообразно поставить задачу отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, заданной графиком на рисунке 68.

hello_html_m6d11b4ae.gifhello_html_4a32b23d.gifhello_html_m2fb83a6a.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_4a499f33.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_m382af1a0.gifу y=f(x) х3

х

а х1 0 х2b




Эта функция не является монотонной на отрезке [a; b], но легко заметить, что рассматриваемый отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция f монотонна. Из этого следует, что наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [a; b] содержатся среди ее значений на концах указанных отрезков, т.е. в данном случае среди чисел: f(a), f(x1), f(x2), f(x3), f(b). Поскольку f(x1), f(x2), f(x3) являются экстремумами функции f, то отыскание ее наибольшего и наименьшего значений на отрезке [a; b] можно свести к отысканию наибольшего и наименьшего значений среди принимаемых этой функцией на концах отрезка [a; b] и в точках экстремума.

Подчеркнув, что учащимся уже известно, как с помощью производной могут быть найдены точки экстремума функции, и то, что все эти точки содержатся среди критических точек функции, учитель должен указать, что пи отыскании наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке часто бывает более целесообразным (по затрачиваемому времени) не выяснять, какие из критических точек функции являются точками экстремума, а рассмотреть значения, принимаемые функцией на концах этого отрезка и в критических точках, лежащих внутри него, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

После формулировки соответствующего правила следует выделить основные этапы решения математической задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f на отрезке [a; b]:

  1. Найти производную данной функции.

  2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю либо не существует.

  3. Выбрать из полученных критических точек те, которые заключены между числами a и b, и внести их наряду с a и b в верхнюю строку следующей таблицы:


x

a

x1

b

f(x)






  1. Заполнить нижнюю строку таблицы и выбрать из чисел этой строки наибольшее число и наименьшее число.

Найденные таким образом числа и будут являться наибольшим и наименьшим значениями функции f на отрезке [a; b].

Для закрепления правила целесообразно выполнить несколько упражнений, например такие:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) hello_html_5a3fc31b.gif на отрезке: а) [-1; 1]; б) [0; 3]; в) [3; 4];

2) hello_html_m37204a4b.gif на отрезке hello_html_70a5bbae.gif;

3) hello_html_73e92f5f.gif на отрезке [0; 4];

4) hello_html_2a09db75.gif на отрезке: а) hello_html_73f244a4.gif; б) hello_html_34c51346.gif.

5) hello_html_1fdc600f.gif на отрезке: а) hello_html_73f244a4.gif; б) hello_html_2dcd51b.gif.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_a21af1.gif на отрезке [0; 3].

Решение. Найдем производную данной функции:

hello_html_m73c75f9a.gifНайдем критические точки: х1=1, х2=2.

Рассмотрим теперь значения данной функции в точках х1=0, х2=1, х3=2 и

х4=3: f(0) = – 3, f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 6. Далее из конечного множества чисел { – 3, 1, 2, 6} следует выбрать наименьшее, т.е. – 3, оно и будет наименьшим значение значением данной функции f наим = f(0) = – 3; взяв наибольшее из чисел, т.е. 6, мы найдем наибольшее значение функции: f наиб = f(3) = 6.

Следует отметить, что в рамках школьного курса математики круг

непрерывных функций, не имеющих производной в отдельных внутренних точках области определения, не широк. Указать формулу, которая задавала бы такую функцию, можно, например, включая выражение |x|. Учащимся в этой связи можно предложить найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_55e75b04.gif на отрезке [-3; 1]; более сильным ученикам – hello_html_m785658a7.gif на отрезке [-0,25; 2].

Иногда стой же целью включают в рассмотрение функцию, содержащую hello_html_m3876db9f.gif, например функцию hello_html_6ef2d95.gif, которая непрерывна на всей числовой прямой, имеет две критические точки 0 и hello_html_m428174fb.gif , причем в точке 0 производная этой функции не существует. Как показывает опыт, нахождение производной функции hello_html_m4a4914e8.gifпредставляет для учащихся значительную трудность; многие неправомерно заменяют эту функцию функцией hello_html_mebac95c.gif, которая в соответствии с определением, принятым в школьном курсе математики, определена лишь на множестве неотрицательных чисел, а не на всей числовой прямой, как рассматриваемая функция. Производную функции hello_html_m4a4914e8.gifможно найти либо воспользовавшись определением производной, либо применив правило дифференцирования сложной функции.

После усвоения учащимися правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно перейти к решению текстовых задач, опирающихся на использование этого правила.

Заметим, что многие практические задачи приводят к необходимости отыскания наибольшего и наименьшего значения функции не на отрезке, а на интервале или полуинтервале. Фактически к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке могут привести лишь те задачи, в условии которых содержатся дополнительные ограничения.

Поясним сказанное примером.

Задача 1. Из квадратного листа жести со стороной 6 дм требуется изготовить открытый сверху резервуар для хранения жидкости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого вырезают по углам листа равные квадраты и загибают образовавшиеся края. Какой наибольшей вместимости можно изготовить резервуар?

Если обозначить через х высоту резервуара, выраженную в дециметрах, то решение задачи можно свести к нахождению наибольшего значения функции V(x)=4x(3-x)2 на интервале (0; 3).

Включение дополнительных ограничений в условие задачи, например требования, чтобы высота резервуара была не менее 5 см и не более 20 см, приводит к отысканию наибольшего значения той же функции на отрезке [0,5; 2].

С такой (дополненной) задачи и следует начать рассмотрение, а затем включить в рассмотрение задачи, приводящие к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции на интервале и полуинтервале. В ходе решения таких задач учащимся следует пояснить, что если функция непрерывна на концах соответствующего отрезка, то по известному правилу можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке, и потом сделать вывод для решаемой задачи. Для абсолютного большинства таких задач искомое наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри рассматриваемого отрезка, а следовательно, и внутри соответствующего интервала или полуинтервала.

При решении текстовых задач наиболее трудным для учащихся является этап формализации, т.е. переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на промежутке. Здесь, исходя из условия задачи, производится: 1) выбор аргумента, т.е. выбор и фиксация одной из переменных величин как независимой переменной; 2) выражение величины, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь в задаче, как некоторой функции выбранного аргумента; 3) нахождение промежутка изменения аргумента.

На первых порах не следует включать в рассмотрение текстовые задачи, приводящие к составлению функции, содержащей параметры (это встречается во многих примерах, разобранных в учебниках [23], [24], [27]), так как могут возникнуть дополнительные трудности, ведь учащиеся ранее не сталкивались с отысканием наибольшего и наименьшего значений функций, содержащих параметры, на отрезке, координаты концов которого также содержат параметры.

Вызывают у учащихся затруднения и те задачи, пи решении которых приходится вводить несколько переменных величин. Следует пояснить, что в этих случаях конечная цель та же самая – выразить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой говорится, как функцию только одной из введенных переменных.

Учащихся целесообразно познакомить с одним из приемов, позволяющим упростить выкладки при решении ряда задач. Речь идет о задачах, связанных с вычислениями, в которых используется теорема Пифагора, а тогда в результирующих выражениях появляются квадратные корни. Нахождение производных от выражений, содержащих квадратные корни, технически сложнее, чем нахождение производных от многочленов. Чтобы свести вычисление к этому последнему случаю, можно воспользоваться утверждением: «Если функция f(x) неотрицательна на некотором промежутке, то функции f(x) и f2(x) принимают наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке в одной и той же точке», т.е. отыскание точек, в которых функция hello_html_m66b619d3.gif достигает наибольшего (наименьшего) значения, может быть сведено к отысканию аналогичных точек для функции hello_html_m16ebe577.gif.

Задачи, сводящиеся к нахождению наибольшего или наименьшего значений функции на бесконечном промежутке, не могут быть решены с помощью правила, справедливого для отрезка. В этом случае поиск может опираться на результаты исследования функции на монотонность и экстремумы на соответствующем промежутке, из которых и могут быть сделаны выводы. Если ориентировать учащихся на такой путь, то следует дать им образец записи решения.

Во многих случаях такое решение, вернее обоснование, можно упростить, если опираться на утверждение: «Для функции, непрерывной на промежутке и имеющей на нем единственный экстремум, в случае максимума это и будет ее наибольшее значение, а в случае минимума – наименьшее». Доказательство этой теоремы вполне посильно для учащихся.

Иногда опора на этот факт дает более простое решение и в случае исследования функции на наибольшее или наименьшее значение на отрезке; так бывает в тех ситуациях, когда трудно сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках.

В учебниках отсутствуют текстовые задачи, в которых искомое наибольшее (наименьшее) значение достигалось бы на конце рассматриваемого промежутка; как правило, внутри промежутка имеется лишь одна критическая точка, в ней и достигается искомое значение. Для формирования у учащихся правильного представления о диапазоне возможных случаев необходимо включать в рассмотрение соответствующие задачи.

Задачи на наибольшие и наименьшие значения могут решаться не только при изучении соответствующей темы курса алгебры и начал анализа, но и при изучении последующих тем этого курса и курса геометрии. При итоговом повторении курса также имеется возможность решать такие задачи, предполагающие широкое использование внутрипредметных и межпредметных связей. Некоторые задачи наряду с применением производной могут быть решены и элементарными методами. Рассмотрение различных способов решения одной и той же практической задачи поможет учащимся осознать возможность использования в одних и тех же условиях различных математических средств и методов, позволит сравнивать их, выявлять сильные и слабые стороны, что будет способствовать воспитанию правильного понимания роли математики в жизни и практике, готовить к активному участию в практической деятельности.



АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ И СОДЕРЖАНИЯ ТЕМЫ В ДЕЙСТВУЮЩИХ УЧЕБНИКАХ.


Алгебра и начала анализа,XXI классы.

Авторы: А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.

X класс (Ι полугодие – 2 ч в неделю, ΙΙ полугодие – 3 ч в неделю, всего 85 ч)


Производная (18 ч)

Производная. Производные суммы, произведения и частного. Производная степенной функции с целым показателем. Производные синуса и косинуса.

Основная цель – ввести понятие производной; научить находить производные функций в случаях, не требующих трудоемких выкладок.

При введении понятия производной и изучении её свойств следует опираться на наглядно – интуитивные представления учащихся о приближении значений функции к некоторому числу, о приближении участка кривой к прямой линии и т.п.

Формирование понятия предела функции, а также умение воспроизводить доказательства каких – либо теорем в данном разделе не предусматриваются. В качестве примера вывода правил нахождения производных в классе рассматривается только теорема о производной суммы, все остальные теоремы раздела принимаются без доказательства. Важно отработать достаточно свободное умение применять эти теоремы в несложных случаях.

В ходе решения задач на применение формулы производной сложной функции можно ограничиться случаем f(kx+b): именно этот случай необходим далее.


Применения производной (24 ч).

Геометрический и механический смысл производной. Применение производной к построению графиков функций и решению задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений.

Основная цель – познакомить учащихся с простейшими методами дифференциального исчисления и выработать умения применять их для исследования функций и построения графиков.

Опора на геометрический и механический смысл производной делает интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума и минимума.

Основное внимание должно быть уделено разнообразным задачам, связанным с использованием производной для исследования функций. Остальной материал (применение производной к приближенным вычислениям, производная в физике и технике) дается в ознакомительном плане.


Показательная, логарифмическая и степенная функции (28 ч).?

Производная показательной функции. Число е и натуральный логарифм. Производная степенной функции.


Алгебра и начала анализа,XXI классы.

Авторы: Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.

XI класс (2 ч в неделю, всего 68 ч)


Производная и ее применение (15 ч).

Производная. Производная степенной функции. Правила дифференцирования. Производные некоторых элементарных функций. Геометрический смысл производной.

Основная цель – ввести понятие производной; научить находить производные, используя формулы дифференцирования.

Введение понятия производной предваряется знакомством со средней и мгновенной скоростями движения, что приводит к понятию разностного отношения.

Предел отношения рассматривается на интуитивном уровне и используется для формирования понятия производной.

Формулы производных выводятся для простейших случаев. Таблица производных заполняется формулами, не доказанными ранее.

Производная сложной функции не выводится (нет и самого понятия сложной функции). В ряде случаев сложная функция представляется в виде конкретной формулы, производная которой известна (например, (kx+b)).

Правила дифференцирования не доказываются, например формулы производных произведения и частного.

В заключение вводится геометрический смысл производной, выводится уравнение касательной, показывается практическое применение касательной на примере построения фокуса параболы.

Применение производной к исследованию функций.

Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции. Применение производной к построению графиков функций. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Основная цель – сформировать умение решать простейшие практические задачи методом дифференциального исчисления.

В связи с тем, что с геометрической интерпретацией понятия производной учащиеся уже знакомы, изучение главы начинается с краткого повторения уравнения касательной и зависимости ее положения в системе координат от знака значения ее углового коэффициента.

Вывод о возрастании или убывании функции на промежутке в соответствии со знаком значения ее производной делается с опорой на геометрический смысл производной и интуицию учащихся. Строгое доказательство выходит за рамки средней школы.

При введении понятия Экстремума не фиксируется внимание учащихся на формирование понятия окрестности точки. А на теореме Ферма и ее наглядной геометрической интерпретации следует остановиться подробнее, так же как и на достаточном условии того, что стационарная точка является точкой экстремума.

Прежде чем перейти к построению графиков функций с помощью производной, учащиеся знакомятся с понятием непрерывной функции как функции, график которой можно изобразить, не отрывая карандаша от листа бумаги. Понятие это важно для осознанного восприятия изучаемого материала, но более подробное его изучение (чем на наглядном уровне) не предполагается.

При изучении графиков важно показать и построение графиков функций, которые не являются непрерывными на всей области определения, и особенности построения графиков четных и нечетных функций.

Применение методов дифференциального исчисления для решения практических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений на отрезке и интервале иллюстрируется на геометрических и физических примерах.

Интеграл (19 ч).?

Применение производной и интеграла к решению практических задач.


Алгебра и начала анализа,XXI классы.

Авторы: М.И.Башмаков.

X класс (Ι полугодие – 2 ч в неделю, ΙΙ полугодие – 3 ч в неделю, всего 85 ч)


Производная и ее применение (30ч).


Производная. Механический и геометрический смысл производной. Производные суммы, произведения и частного. Исследование функций с помощью производной. Приложения производной.

Основная цель – познакомить учащихся с понятием производной, ее механическим и геометрическим смыслом; научить применять производную к исследованию функций и решению задач.

Понятие производной вводится на основе неформального (с опорой на интуицию и наглядные соображения) рассмотрения задачи о нахождении мгновенной скорости движения. Появляется первоначальное представление о производной как мгновенной скорости.

Далее скорость прямолинейного движения связывается с крутизной графика функции y=s(t), которую удобно «мерить» угловым коэффициентом касательной к этому графику. Таким образом учащиеся подготовятся к мотивировке введения понятия производной, а также знакомятся с механическим и геометрическим смыслом производной.

Хотя в учебнике используются термин «предел» и его символическая запись, но формирование этого понятия не предусматривается, поэтому пункт 4 «Предельные переходы» из вводной беседы рассматривается в ознакомительном плане.

Не предполагается отрабатывать с учащимися умение воспроизводить доказательства теорем, связанных с правилами вычисления производных. Основное внимание нужно уделить выработке умения свободно применять эти теоремы для нахождения производных.

В основе вывода теорем о признаке монотонности функции, достаточном условии ее экстремума лежит механическое истолкование производной как скорости движения материальной точки. Сознательное восприятие доказательств обеспечит понимание учащимися наглядной интерпретации основных свойств функций.

При изучении приложений производной основное внимание должно быть уделено задачам, связанным с использованием производной для исследования функций.



СВЯЗЬ ТЕМЫ С ДРУГИМИ ТЕМАМИ,

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ ТЕМЫ.

Задачи на наибольшие и наименьшие значения могут решаться не только при изучении соответствующей темы курса алгебры и начал анализа, но и при изучении последующих тем этого курса и курса геометрии. При итоговом повторении курса также имеется возможность решать такие задачи, предполагающие широкое использование внутрипредметных и межпредметных связей. Некоторые задачи наряду с применением производной могут быть решены и элементарными методами. Рассмотрение различных способов решения одной и той же практической задачи поможет учащимся осознать возможность использования в одних и тех же условиях различных

  1. Производная в математике необходима для:

    • вычисления углового коэффициента касательной к графику функции в точке с абсциссой х0и написания уравнения касательной, если нужно провести касательную в этой точке;

    • выяснения непрерывности некоторой функции в точке х0;

    • исследования функции на возрастание, убывание и экстремумы;

    • для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке.

  2. Производная в физике и технике:

    • производная в механике необходима для вычисления мгновенной скорости v(t0) материальной точки в момент времени t0 и ускорения движения а(t0), т.к. по механическому смыслу производной «производная от координаты по времени есть скорость», а «производная от скорости по времени есть ускорение»;

    • производная помогает решать задачу о мгновенной величине тока;

    • с помощью производной функции решают задачу о теплоемкости тела;

    • с помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Например, мощность (по определению) есть производная работы по времени. Также с помощью производной можно найти характеристику распределения плотности стержня в зависимости от длины, т.е. ее линейную плотность, как производную от массы; вывести свойство параболы, имеющее применение в оптике и технике (параболические зеркала и параболические телескопы, параболические антенны).

3. Производная в геометрии:

  • позволяет решать задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значений площади фигуры, размеров участка и объема тел;

4. Производная в химии:

  • помогает решить задачу о скорости химической реакции.


РЕАЛИЗАЦИЯ ОСНОВНЫХ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ.









Примеры прикладных задач, приводящих к понятию производной.

Теперь, когда учащиеся имеют представление о производной в ее наиболее обобщенном виде, необходимо рассмотреть ряд частных задач из различных областей науки.

Задача 1. Скорость свободного падания тела.

Задача 2. Скорость химической реакции.

Пусть P(t) – количество вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. За промежуток времени от t до t+∆t вступит в реакцию еще некоторое количество вещества P=P(t+∆t) – P(t). Следовательно, отношение hello_html_7109919c.gif выражает среднюю скорость химической реакции за промежуток времени t. Для характеристики скорости химической реакции в момент t следует рассмотреть предел этого отношения при hello_html_m717eba36.gif, т.е. hello_html_2927c2c2.gif

Задача 3. Мгновенная сила тока.

Пусть Q=Q(t) – количество электричества, протекшего через поперечное сечение проводника за время t. Пусть t – некоторое «приращение» времени, тогда ему соответствует приращение Q=Q(t+∆t) – Q(t). Естественно отношение hello_html_13b6ba73.gif назвать средней силой тока за промежуток t, а hello_html_m5f8afb1e.gif– мгновенной силой тока в момент t, т.е. hello_html_m7ae0afef.gif

Задача 5. Линейная плотность тела.

Стержень – это тело, имеющее форму цилиндра, причем площадь сечения которого мала по сравнению с его высотой; говоря о стержне, будем использовать термин «длина» вместо «высота». Пусть имеется неоднородный стержень, масса которого от начала стержня на отрезке длины l равна m. Тогда отношение hello_html_2ad20ebe.gif называется средней (линейной) плотностью стержня на участке l, а hello_html_m295e2d37.gif т.е. предел средней линейной плотности участка стержня с концами l, l+∆l при условии, что длина участка стремится к нулю, называется линейной плотностью стержня в этой точке.


Понятие производной функции является одним из важнейших понятий курса математического анализа, так как это понятие является основным в дифференциальном исчислении и служит

Исходной базой при построении интегрального исчисления. Учащиеся знакомятся с этим понятием в курсе «Алгебра и начала анализа»(IX класс) в теме «Предел функции и производная». Тогда же изучаются производные суммы, произведения, частного, многочлена, дробно-рациональной и сложной функций. В X классе учащиеся знакомятся с производными тригонометрических показательной и логарифмической функций.

Введению понятия производной функции предшествует рассмотрение задач, которые показывают важность предела некоторого вида и тем самым необходимость его изучения. Такими задачами являются, например, задачи о мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о мгновенной величине тока, о теплоемкости тела в точке, о линейной плотности в точке, о проведении касательной к графику функции и др. Задачи о нахождении мгновенной скорости прямолинейного движения тела, о проведении касательной к графику функции, о линейной плотности в точке изложены в учебном пособии «Алгебра и начала анализа» для IX класса средней школы, поэтому мы на них не будем останавливаться, а подробно разберем задачи о мгновенной величине тока, о теплоемкости тела, о скорости химической реакции.

Задачи о мгновенной величине тока.

Представим себе электрическую цепь с некоторым источником тока. Обозначим через hello_html_c3f053e.gif количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Количество электричества есть функция времени, так как каждому значению времени t соответствует определенное значение количества электричества. Пусть ∆t – некоторый промежуток времени, hello_html_m53d4ecad.gif∆q = q (t + ∆t) – g (t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + ∆t. Тогда отношение ∆q / ∆t. называют средней силой тока за промежуток времени ∆t и обозначают Iср. Иначе говоря, средней силой тока называется количество электричества, протекающее по проводнику в единицу времени. В случае постоянного тока Iср будет постоянной. Если в цепи переменный ток, то Iср будет различна для различных промежутков времени. Поэтому для цепи переменного тока вводят понятие мгновенной силы тока, или силы тока в данный момент времени.

Мгновенной силой тока в момент времени t н6азывается предел отношения приращения количества электричества ∆q ко времени ∆t, за которое произошло это приращение, при условии, что ∆t –>0. Он обозначается:

hello_html_me0777e5.gif.

Задача о теплоемкости тела.

Если температура тела с массой в 1г повышается от hello_html_m79c9619.gif до hello_html_55b886cf.gif, то это происходит за счет того, что телу сообщается определенное количество тепла Q; значит, Q есть функция температуры hello_html_m1ffc4960.gif, до которой тело нагревается: hello_html_7ae5bed8.gif.

Пусть температура тела повысилась с hello_html_m1ffc4960.gif до hello_html_m1ffc4960.gif+hello_html_m16332ffb.gif. Количество тепла Q, затраченное для этого нагревания, равно:

hello_html_m49fbf903.gif.

Отношение hello_html_m55db5d7.gif есть количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на I0 при изменении температуры от hello_html_6abde7ce.gif до hello_html_352f7d8b.gif. Это отношение называется средней теплоемкостью данного тела в температурном интервале | hello_html_m1ffc4960.gif, hello_html_m1ffc4960.gif+hello_html_m16332ffb.gif| и обозначается сср.

Так как средняя температура не дает представления о теплоемкости для любого значения температуры hello_html_m1ffc4960.gif, то вводится понятие теплоемкости при данной температуре hello_html_m1ffc4960.gif (в данной точке hello_html_m1ffc4960.gif).

Теплоемкостью при температуре hello_html_m1ffc4960.gif (в данной точке hello_html_m1ffc4960.gif) называется предел отношения приращения количества тепла Q к приращению температуры hello_html_m16332ffb.gif при условии, что hello_html_m16332ffb.gifhello_html_m4ca7ed50.gif. Он обозначается: hello_html_76d71c0c.gif.

Задачи о скорости химической реакции.

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества, вступившее уже в реакцию к моменту времени t, обозначим через y(t). Таким образом, y есть функция времени, т.е. переменной t. Если hello_html_m4529a12f.gif – некоторый промежуток времени от момента t до момента hello_html_19f94f76.gif вступит в реакцию еще некоторое количество вещества hello_html_m340269a1.gif. Следовательно, отношение hello_html_b138b8.gif выразит среднюю скорость химической реакции за промежуток времени hello_html_m4529a12f.gif. Для характеристики скорости химической реакции в данный момент t следует рассмотреть предел этого отношения при hello_html_m2e631ac5.gif т.е. hello_html_5923a6dc.gif.

Итак, подводя итог, следует обратить внимание учащихся на то, что в рассмотренных задачах речь шла о понятии мгновенной силы тока как величине, характеризующей скорость изменения количества электричества с течением времени; о понятии теплоемкости тела при данной температуре как скорости изменения количества тепла при изменении температуры; о скорости химической реакции в момент времени как скорости изменения количества вещества, участвующего в этой реакции, с течением времени. Отмечается, что введение всех рассмотренных выше понятий проводилось с помощью предела особого вида, а именно предела отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Можно привести много задач, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения некоторой функции, например: нахождение концентрации раствора в определенный момент, нахождение расхода жидкости, угловой скорости вращающегося тела, линейной плотности в точке и т.п.

В результате рассмотрения задач такого рода учащиеся должны прийти к выводу о том, что понятие скорости изменения функции необходимо при решении большого числа задач, важных в практическом отношении.

Понятию производной должно предшествовать рассмотрение двух-трех задач; начать следует с задач о мгновенной скорости, о касательной линии, а затем перейти к задачам на скорость изменения функции. Рассмотрев с учащимися задачи, решение которых приводит к необходимости вычисления предела отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение функции стремится к нулю, следует отметить целесообразность изучения предела такого вида для произвольной функции.

Рассматривается функция hello_html_278687bc.gif, определенная на некотором интервале ]a, b[

Берется некоторая точка х – фиксированная точка интервала ]a, b[ и точка hello_html_mfbff5ab.gif – произвольная точка интервала ]a, b[ (hello_html_632023b4.gif– приращение аргумента, которое может быть как положительным, так и отрицательным), т.е. hello_html_m734afb91.gif< х < b, a < x+∆ x< b.

Рассматривается приращение функции, соответствующее приращению аргумента hello_html_632023b4.gif: hello_html_13d95ebb.gif, и затем отношение приращения функции hello_html_7ad6d59d.gif к вызвавшему его приращению аргумента hello_html_632023b4.gif:

hello_html_m603447e8.gif.

Данное отношение есть функция переменной hello_html_632023b4.gif, определенная для всех значений hello_html_632023b4.gif из интервала ]a–x, b–x[, кроме hello_html_632023b4.gif= 0. Ищется предел функции F(x) при hello_html_632023b4.gifhello_html_m4ca7ed50.gif, и, если он существует, то его называют производной функции hello_html_278687bc.gif в данной точке х.

Таким образом, естественно возникает следующее определение: производной функции hello_html_278687bc.gif в точке х называется предел отношения приращения данной функции в точке х к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если этот предел существует.










О месте данной темы в курсе математики средней школы.

Такие свойства функции, как монотонность (возрастание и убывание), а позднее экстремум (максимум и минимум), наибольшее и наименьшее значение функции, неоднократно рассматриваются учащимися в курсе математики средней школы, например, при изучении линейной функции, квадратной и кубической парабол, при исследовании квадратного трехчлена, при рассмотрении свойств тригонометрической, показательной и логарифмической функций. Внимание к изучению именно этих свойств вполне естественно, т.к. они характеризуют важнейшие стороны явлений действительности, описываемых теми или иными функциями. Однако до введения понятия производной в нашем распоряжении нет инструмента, с помощью которого можно было бы исследовать разнообразные функции единым методом.

Следовательно, для того чтобы рассматривать приложения производной к исследованию свойств функций, должен быть, во-первых, накоплен некоторый запас функций, исследованных так называемыми элементарными методами, причем опыт анализа должен подвести обучаемых к пониманию необходимости обобщения и, во-вторых, учащиеся должны в основном овладеть самим инструментом исследования, т.е. достаточно отчетливо представлять, что такое производная.

По современной программе этим требованиям соответствует XI класс, в котором и предусмотрена специальная тема «Применение производной». Разумеется, что применение производной к исследованию функций не ограничивается рамками этой темы, а продолжается в процессе изучения всего курса начал анализа, в особенности при изучении показательной, логарифмической и тригонометрической функций, изучаемых несколько позднее.


















Методика изучения применения производной к исследованию функций.

1.Методические трудности данной темы. Применение производной к исследованию функций, построению графиков, решению задач на нахождение наибольших и наименьших – важнейший раздел темы «Производная и ее применения». Материал этой темы используется при изучении многих классов функций: тригонометрических, показательной, логарифмической и других. Он имеет также очень большое прикладное значение и играет большую роль в установлении межпредметных связей (в особенности с курсом физики).

Заметим, что изучение применения производной к исследованию функций вызывает большие методические трудности, чем введение производной. Они возникают в связи с тем, что здесь сложнее логическая структура материала; в конечном счете основной факт для построения всей необходимой части теории ­– теорема о том, что непрерывная на отрезке функция принимает на нем наибольшее и наименьшее значения, – не входит в рамки школьного курса математики в силу большой своей сложности.

Возникает методическая задача отбора необходимого минимума учебного материала, нахождения вариантов доказательств теорем, которые были бы доступны для учащихся, или сообщения идеи доказательства, мотивировок теорем, выбора подкрепляющих примеров и задач. Сообщаемые учащимися сведения не должны быть в процессе продолжения образования отброшены. Эта необходимость сочетания доступности и краткости изложения с отсутствием вульгаризации его и создает значительные методические трудности. Отсюда большое разнообразие подходов к изложению материала.

2.Различные варианты изложения темы.

Рассмотрим некоторые особенности изложения данной темы в различных учебных пособиях и учебниках. Остановимся сначала на исследовании функции на возрастание и убывание.

В ряде пособий признаки возрастания и убывания функций даются без доказательства. Интересный прием для иллюстрации содержания как необходимых, так и достаточных условий возрастания и убывания функций используется в [118]: рассматривается координата точки, движущейся по оси в положительном направлении (функция возрастает) и в отрицательном направлении (функция убывает); скорость истолковывается как производная от координаты по времени; рассматривается связь между знаком производной (скорости) и изменением координаты точки.

В ряде пособий доказательство заменяется геометрической иллюстрацией, использующей связь между углом наклона касательной и значением производной.

В основном, однако, заметно стремление найти приемы изложения, которые сводили бы недосказанные факты к минимуму. Из этих приемов отметим те, которые основаны на использовании теоремы Лагранжа, принимаемой без доказательства (в ее геометрической интерпретации). Напомним формулировку теоремы Лагранжа: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема во всех внутренних точках отрезка, то в интервале (a; b) найдется точка с такая, что

f(b) ­– f(a) = f`/(c)(ba).

Именно в этой (негеометрической) формулировке теорему удобно применять для доказательства признаков возрастания и убывания функции. На геометрический язык теорема Лагранжа переводится так: если функция f(x) непрерывна на [a; b] и дифференцируема на (a; b), то на соответствующей дуге кривой y=f(x) найдется точка, в которой касательная к кривой будет параллельна секущей, проведенной через концы дуги.

В пособиях, предназначенных для учителей и учащихся, иногда доказывают эту теорему. Но чаще она не доказывается, а поясняется из наглядно-геометрических соображений; например, в учебнике [24] принят именно такой подход, причем за счет более сильного условия формулировка становится менее громоздкой по сравнению с приведенной выше. Вот эта формулировка: «Пусть функция f дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Тогда между любыми двумя точками a и b этого промежутка найдется такая точка с, что f(b) ­– f(a) = f`/(c)(ba)». Также с термином «промежуток» формулируется и признаки возрастания и убывания функции: «Если функция имеет положительную производную в каждой точке промежутка I, то f возрастает на этом промежутке» и аналогично для убывания. Доказательство дается на основании теоремы Лагранжа.

Остановимся теперь на исследовании функций на максимум и минимум. Во всех пособиях, которые упоминались ранее, понятия максимума и минимума вводятся, но по-разному; в одних пособиях фигурирует строгое неравенство, в других – нестрогое. Сравним определения в учебных пособиях [24] и [25], ограничиваясь определением точки максимума.

Определение. Точка х0 из области определения функции f называется точкой максимума этой функции, если найдется такая δ-окрестность (х0 – δ; х0 + δ) точки х0, что для всех hello_html_m75ecf5e0.gifиз этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0) [25].

Определение. Точка х0 называется точкой максимума f, если найдется такая окрестность точки х0, что для всех х из этой окрестности hello_html_m4c25c495.gif[24].

hello_html_m739cb445.gifhello_html_m739cb445.gify y

hello_html_m50115a93.gif


hello_html_787395f9.gifhello_html_26ffb451.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_7b2dcded.gif

hello_html_m262ea49d.gif



hello_html_m785da55e.gifhello_html_m785da55e.gif0 х0х hello_html_m785da55e.gifhello_html_m785da55e.gif 0 х0х

а) б)

Как видим, различие проявляется в случаях, вроде изображенных на рисунке 59; следует учесть также, что точка х0 на рисунке 59 б является одновременно и точкой минимума, и точкой максимума в смысле второго определения. По этой причине первое определение геометрически представляется более наглядным.

Точки минимума и максимума объединяются общим понятием точек экстремума.

Изложение вопросов, связанных с исследованием функции на экстремум, обычно начинается с доказательства теоремы Ферма. Чаще ее формулируют для случая, когда производная в точке экстремума существует, реже – когда это ограничение снимается. Доказательство этой теоремы, по существу, проводится единым способом во всех пособиях. Однако если в них содержатся определения возрастания и убывания функций в точке (например, в [25]), то на них производится ссылка; в противном случае соответствующие рассуждения фактически просто развертываются в доказательстве теоремы Ферма (например, в [24]).

Теорема Ферма дает необходимое условие существования экстремума функции; полезно разобрать с учащимися контрпример ( y=x3 на любом промежутке, содержащем 0). Достаточное условие представляет собой тот или иной вариант использования изменения знака производной при переходе через данную точку.

Заслуживает внимания различение максимума и минимума функции с помощью второй производной.


Применение производной к решению задач на наибольшее и наименьшее значения.

Одним из важных приложений производной является использование ее при решении задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений. Такие задачи возникают там, где необходимо выяснить, как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить нужный результат с наименьшей затратой средств, материалов, времени, труда и т.п. Умение решать такие задачи приобретает особую значимость в связи решением проблемы повышения эффективности и качества во всех сферах народного хозяйства.

На использовании производной основан достаточно универсальный метод решения таких задач. Программа по математике предусматривает знакомство старшеклассников с этим методом и формирование у них умений применять его к решению задач.

Задачи этого типа имеют четкую прикладную направленность если не по фабуле, то в любом случае по подходу к решению – в них все фазы построения и использования математической модели – формализация, решение формализованной задачи, интерпретация – получают соответствующую реализацию: составление функции, описывающей условие задачи, в результате чего осуществляется переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на некотором промежутке; решение этой математической задачи с использованием производной; придание полученному результату соответствующего содержательного смысла.

В письменный экзамен по математике за курс средней школы ежегодно (с 1977 г.) включается задача такого характера; это достаточно красноречиво свидетельствует о том, что формирование умений решать такие задачи является в настоящее время одной из важных целей изучения математики в средней школе.

Какую же работу следует проводить учителю в плане обучения старшеклассников указанному методу решения задач? Прежде всего следует познакомить их с тем, как с помощью производной можно находить наибольшее и наименьшее значения функции на различных промежутках.

Заметим, что использование производной позволяет найти такие значения либо сделать вывод об их отсутствии для любой непрерывной на рассматриваемом промежутке функции, имеющей на этом промежутке лишь конечное число точек, в которых производная либо не существует, либо равна нулю (т.е. конечное число критических точек). Такое исследование для любых промежутков можно осуществить на основе предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы на соответствующем промежутке, которое проводится с помощью производной. Без предварительного исследования функции на монотонность и экстремумы нельзя обойтись в тех случаях, когда отыскивается наибольшее или наименьшее значение функции на бесконечном промежутке; в других случаях (отрезок, интервал, полуинтервал) можно обойтись и без него, если пользоваться правилом нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, что нередко приводит к более простому решению.

Работа может быть начата с постановки задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке и обоснования соответствующего правила.

Подчеркнем, что только для функции, непрерывной на отрезке и отличной от постоянной, гарантировано (теоремой Вейерштрасса) существование наибольшего и существование наименьшего среди всех ее значений, принимаемых на этом отрезке. Для других видов промежутков такой гарантии нет.

Опираясь на знания учащихся, а также на наглядные представления, развиваемые с помощью рассмотрения нескольких графиков функций, можно подвести учащихся к установлению и обоснованию правила для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Остановимся на описании подхода, при котором это правило формулируется для функций, непрерывных на отрезке и имеющих на нем лишь конечное число критических точек [24]. При другом подходе это правило формулируется для более узкого класса функций – для функций, непрерывных на отрезке и дифференцируемых внутри него [23].

Если класс не отличается достаточно хорошей математической подготовкой, то сначала следует обратить внимание на тот факт, что функция, монотонная на отрезке, принимает наибольшее и наименьшее значения на его концах. Для этого можно использовать графики монотонных функций.

Дhello_html_3f6b6771.gifhello_html_m26d8f160.gifалее перед учащимися целесообразно поставить задачу отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, заданной графиком на рисунке 68.

hello_html_m6d11b4ae.gifhello_html_4a32b23d.gifhello_html_m2fb83a6a.gifhello_html_7b2dcded.gifhello_html_4a499f33.gifhello_html_m262ea49d.gifhello_html_m382af1a0.gifу y=f(x) х3

х

а х1 0 х2b




Эта функция не является монотонной на отрезке [a; b], но легко заметить, что рассматриваемый отрезок можно разбить на конечное число отрезков, на каждом из которых функция f монотонна. Из этого следует, что наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [a; b] содержатся среди ее значений на концах указанных отрезков, т.е. в данном случае среди чисел: f(a), f(x1), f(x2), f(x3), f(b). Поскольку f(x1), f(x2), f(x3) являются экстремумами функции f, то отыскание ее наибольшего и наименьшего значений на отрезке [a; b] можно свести к отысканию наибольшего и наименьшего значений среди принимаемых этой функцией на концах отрезка [a; b] и в точках экстремума.

Подчеркнув, что учащимся уже известно, как с помощью производной могут быть найдены точки экстремума функции, и то, что все эти точки содержатся среди критических точек функции, учитель должен указать, что пи отыскании наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке часто бывает более целесообразным (по затрачиваемому времени) не выяснять, какие из критических точек функции являются точками экстремума, а рассмотреть значения, принимаемые функцией на концах этого отрезка и в критических точках, лежащих внутри него, и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

После формулировки соответствующего правила следует выделить основные этапы решения математической задачи нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f на отрезке [a; b]:

  1. Найти производную данной функции.

  2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю либо не существует.

  3. Выбрать из полученных критических точек те, которые заключены между числами a и b, и внести их наряду с a и b в верхнюю строку следующей таблицы:


x

a

x1

b

f(x)






  1. Заполнить нижнюю строку таблицы и выбрать из чисел этой строки наибольшее число и наименьшее число.

Найденные таким образом числа и будут являться наибольшим и наименьшим значениями функции f на отрезке [a; b].

Для закрепления правила целесообразно выполнить несколько упражнений, например такие:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1) hello_html_5a3fc31b.gif на отрезке: а) [-1; 1]; б) [0; 3]; в) [3; 4];

2) hello_html_m37204a4b.gif на отрезке hello_html_70a5bbae.gif;

3) hello_html_73e92f5f.gif на отрезке [0; 4];

4) hello_html_2a09db75.gif на отрезке: а) hello_html_73f244a4.gif; б) hello_html_34c51346.gif.

5) hello_html_1fdc600f.gif на отрезке: а) hello_html_73f244a4.gif; б) hello_html_2dcd51b.gif.

Следует отметить, что в рамках школьного курса математики круг

непрерывных функций, не имеющих производной в отдельных внутренних точках области определения, не широк. Указать формулу, которая задавала бы такую функцию, можно, например, включая выражение |x|. Учащимся в этой связи можно предложить найти наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_55e75b04.gif на отрезке [-3; 1]; более сильным ученикам – hello_html_m785658a7.gif на отрезке [-0,25; 2].

Иногда стой же целью включают в рассмотрение функцию, содержащую hello_html_m3876db9f.gif, например функцию hello_html_6ef2d95.gif, которая непрерывна на всей числовой прямой, имеет две критические точки 0 и hello_html_m428174fb.gif , причем в точке 0 производная этой функции не существует. Как показывает опыт, нахождение производной функции hello_html_m4a4914e8.gifпредставляет для учащихся значительную трудность; многие неправомерно заменяют эту функцию функцией hello_html_mebac95c.gif, которая в соответствии с определением, принятым в школьном курсе математики, определена лишь на множестве неотрицательных чисел, а не на всей числовой прямой, как рассматриваемая функция. Производную функции hello_html_m4a4914e8.gifможно найти либо воспользовавшись определением производной, либо применив правило дифференцирования сложной функции.

После усвоения учащимися правила нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке можно перейти к решению текстовых задач, опирающихся на использование этого правила.

Заметим, что многие практические задачи приводят к необходимости отыскания наибольшего и наименьшего значения функции не на отрезке, а на интервале или полуинтервале. Фактически к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке могут привести лишь те задачи, в условии которых содержатся дополнительные ограничения.

Поясним сказанное примером.

Задача 1. Из квадратного листа жести со стороной 6 дм требуется изготовить открытый сверху резервуар для хранения жидкости, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда. Для этого вырезают по углам листа равные квадраты и загибают образовавшиеся края. Какой наибольшей вместимости можно изготовить резервуар?

Если обозначить через х высоту резервуара, выраженную в дециметрах, то решение задачи можно свести к нахождению наибольшего значения функции V(x)=4x(3-x)2 на интервале (0; 3).

Включение дополнительных ограничений в условие задачи, например требования, чтобы высота резервуара была не менее 5 см и не более 20 см, приводит к отысканию наибольшего значения той же функции на отрезке [0,5; 2].

С такой (дополненной) задачи и следует начать рассмотрение, а затем включить в рассмотрение задачи, приводящие к нахождению наибольшего или наименьшего значения функции на интервале и полуинтервале. В ходе решения таких задач учащимся следует пояснить, что если функция непрерывна на концах соответствующего отрезка, то по известному правилу можно найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом отрезке, и потом сделать вывод для решаемой задачи. Для абсолютного большинства таких задач искомое наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри рассматриваемого отрезка, а следовательно, и внутри соответствующего интервала или полуинтервала.

При решении текстовых задач наиболее трудным для учащихся является этап формализации, т.е. переход от содержательной задачи к математической задаче нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на промежутке. Здесь, исходя из условия задачи, производится: 1) выбор аргумента, т.е. выбор и фиксация одной из переменных величин как независимой переменной; 2) выражение величины, о наибольшем или наименьшем значении которой идет речь в задаче, как некоторой функции выбранного аргумента; 3) нахождение промежутка изменения аргумента.

На первых порах не следует включать в рассмотрение текстовые задачи, приводящие к составлению функции, содержащей параметры (это встречается во многих примерах, разобранных в учебниках [23], [24], [27]), так как могут возникнуть дополнительные трудности, ведь учащиеся ранее не сталкивались с отысканием наибольшего и наименьшего значений функций, содержащих параметры, на отрезке, координаты концов которого также содержат параметры.

Вызывают у учащихся затруднения и те задачи, пи решении которых приходится вводить несколько переменных величин. Следует пояснить, что в этих случаях конечная цель та же самая – выразить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой говорится, как функцию только одной из введенных переменных.

Учащихся целесообразно познакомить с одним из приемов, позволяющим упростить выкладки при решении ряда задач. Речь идет о задачах, связанных с вычислениями, в которых используется теорема Пифагора, а тогда в результирующих выражениях появляются квадратные корни. Нахождение производных от выражений, содержащих квадратные корни, технически сложнее, чем нахождение производных от многочленов. Чтобы свести вычисление к этому последнему случаю, можно воспользоваться утверждением: «Если функция f(x) неотрицательна на некотором промежутке, то функции f(x) и f2(x) принимают наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке в одной и той же точке», т.е. отыскание точек, в которых функция hello_html_m66b619d3.gif достигает наибольшего (наименьшего) значения, может быть сведено к отысканию аналогичных точек для функции hello_html_m16ebe577.gif.

Задачи, сводящиеся к нахождению наибольшего или наименьшего значений функции на бесконечном промежутке, не могут быть решены с помощью правила, справедливого для отрезка. В этом случае поиск может опираться на результаты исследования функции на монотонность и экстремумы на соответствующем промежутке, из которых и могут быть сделаны выводы. Если ориентировать учащихся на такой путь, то следует дать им образец записи решения.

Во многих случаях такое решение, вернее обоснование, можно упростить, если опираться на утверждение: «Для функции, непрерывной на промежутке и имеющей на нем единственный экстремум, в случае максимума это и будет ее наибольшее значение, а в случае минимума – наименьшее». Доказательство этой теоремы вполне посильно для учащихся.

Иногда опора на этот факт дает более простое решение и в случае исследования функции на наибольшее или наименьшее значение на отрезке; так бывает в тех ситуациях, когда трудно сравнить значения функции на концах отрезка и в критических точках.

В учебниках отсутствуют текстовые задачи, в которых искомое наибольшее (наименьшее) значение достигалось бы на конце рассматриваемого промежутка; как правило, внутри промежутка имеется лишь одна критическая точка, в ней и достигается искомое значение. Для формирования у учащихся правильного представления о диапазоне возможных случаев необходимо включать в рассмотрение соответствующие задачи. Приведем примеры таких задач.

Задача 3. Имеется 40 м проволочной сетки. Требуется оградить три стороны прямоугольного участка земли, примыкающего четвертой стороной к стене здания. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей, если длина стены здания равна: а) 30м; б) 10м?

Если обозначить через х м длину стороны участка, прилегающей к стене здания, то задача сведется к отысканию наибольшего значения функции hello_html_me97da2f.gif в промежутке: а) (0; 30]; б) (0; 10]. В первом случае функция достигает наибольшего значения в критической точке х=20, во втором – на конце промежутка, при х=10.

Задача 4. Через диагональ основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, пересекающая оба основания. Высота призмы равна 4 см, а длина диагонали основания в k раз болше этой высоты. Найти наибольшее значение площади сечения при условии: а) k = 3; б) k = 4,5.

Если обозначить В1К=х см (рис.69), то задача сведется к отысканию наибольшего значения функции hello_html_m2c3217b6.gif на отрезке [0; 2k]/ Учитывая, что эта функция положительна на рассматриваемом отрезке, отыскание ее критических точек можно свести к отысканию критических точек функции hello_html_m3f5e5969.gif В результате получаем, что в заданном промежутке содержатся две критические точки, причем при k = 3 наибольшее значение достигается на конце отрезка, в точке х=6 (т.е. наибольшую площадь имеет диагональное сечение), а при k = 4,5 – в критической точке х=1.




В1 F C1

hello_html_m323c984d.gifhello_html_bd1e11b.gifhello_html_m19ce912e.gifhello_html_m197e212a.gifhello_html_m79b35df5.gifhello_html_44ce8e45.gifhello_html_m197e212a.gif K

hello_html_m4c5d746.gif





hello_html_82ef7d8.gifhello_html_28a02d4c.gifhello_html_mdb61f5.gifhello_html_15200e7f.gif





Задачи на наибольшие и наименьшие значения могут решаться не только при изучении соответствующей темы курса алгебры и начал анализа, но и при изучении последующих тем этого курса и курса геометрии. При итоговом повторении курса также имеется возможность решать такие задачи, предполагающие широкое использование внутрипредметных и межпредметных связей. Некоторые задачи наряду с применением производной могут быть решены и элементарными методами. Рассмотрение различных способов решения одной и той же практической задачи поможет учащимся осознать возможность использования в одних и тех же условиях различных математических средств и методов, позволит сравнивать их, выявлять сильные и слабые стороны, что будет способствовать воспитанию правильного понимания роли математики в жизни и практике, готовить к активному участию в практической деятельности.

Приведем примеры таких задач.

Задача 3. Имеется 40 м проволочной сетки. Требуется оградить три стороны прямоугольного участка земли, примыкающего четвертой стороной к стене здания. Каковы должны быть размеры участка, чтобы его площадь была наибольшей, если длина стены здания равна: а) 30м; б) 10м?

Если обозначить через х м длину стороны участка, прилегающей к стене здания, то задача сведется к отысканию наибольшего значения функции hello_html_me97da2f.gif в промежутке: а) (0; 30]; б) (0; 10]. В первом случае функция достигает наибольшего значения в критической точке х=20, во втором – на конце промежутка, при х=10.

Задача 4. Через диагональ основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, пересекающая оба основания. Высота призмы равна 4 см, а длина диагонали основания в k раз болше этой высоты. Найти наибольшее значение площади сечения при условии: а) k = 3; б) k = 4,5.

Если обозначить В1К=х см (рис.69), то задача сведется к отысканию наибольшего значения функции hello_html_m2c3217b6.gif на отрезке [0; 2k]/ Учитывая, что эта функция положительна на рассматриваемом отрезке, отыскание ее критических точек можно свести к отысканию критических точек функции hello_html_m3f5e5969.gif В результате получаем, что в заданном промежутке содержатся две критические точки, причем при k = 3 наибольшее значение достигается на конце отрезка, в точке х=6 (т.е. наибольшую площадь имеет диагональное сечение), а при k = 4,5 – в критической точке х=1.




В1 F C1

hello_html_m323c984d.gifhello_html_bd1e11b.gifhello_html_m19ce912e.gifhello_html_m197e212a.gifhello_html_m79b35df5.gifhello_html_44ce8e45.gifhello_html_m197e212a.gif K

hello_html_m4c5d746.gif





hello_html_82ef7d8.gifhello_html_28a02d4c.gifhello_html_mdb61f5.gifhello_html_15200e7f.gif









Автор
Дата добавления 29.03.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров1432
Номер материала ДВ-566458
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх