Открытый урок по теме
"Производная и ее применение"
Разработала : преподаватель математики Жукова Е.А.
Урок обобщающего
повторения (90
мин.)
Цели:
1. Повторить, систематизировать и закрепить знания по изучаемой
теме.
2. Воспитывать такие качества личности как самостоятельность,
внимательность, способствовать развитию творческих способностей путем
составления самостоятельной работы.
3. Побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу
своей деятельности.
Оборудование: экран, проектор, магнитная доска, набор плакатов.
У учащихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки с
заданиями, карточки с вопросами по теории, копировальная бумага.
Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным
листом.
Оценочный лист учащегося.
Фамилия________________________________________________
Имя____________________________________________________
Урок
|
Этапы
|
Задания
|
Кол-во
баллов
|
I
|
I
II
III
IV
|
Теоретическая
разминка
Устная
работа
Упражнения
на нахождении производной
Решение
задач на применении производной
|
|
II
|
IV
V
|
Решение
задач на применении производной (продолжение)
Самостоятельная
работа
|
|
Итоговое
количество баллов
|
|
Оценка
|
|
Во всех этапах урока за каждый правильный ответ ученик
зарабатывает по 1 баллу.
Критерии оценок:
“5” -с 43 до 47 баллов;
“4” - с38 до 42 баллов;
“3” - с 22 до 37 баллов;
“2” -меньше 22 баллов.
За самостоятельную работу выставляется отдельная оценка.
Предварительное домашнее задание: повторить вопросы и задачи на
повторение, которые заданы в конце главы II. “Производная и ее применения” на
стр. 166-168.
Ход урока
Вводная
беседа (1 мин.)
Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему
изученные формулы, определения и правила вычисления производных и их
применения.
I этап. Теоретическая разминка (25 мин.)
Начало урока посвящается повторению узловых вопросов темы.
Три человека выходят к доске. Класс задает им три вопроса из
подготовленных по всему повторяемому материалу.
Вызванные отвечают по очереди. Затем выходят следующая тройка и
продолжают отвечать на следующие вопросы, задаваемые учащимися и так продолжают
до тех пор, пока не ответят на все вопросы. За каждый правильный ответ ученик
проставляет по 1 баллу в свой оценочный лист.
После того как ученик ответил на заданный вопрос на магнитной
доске вывешивается плакат с текстом данного определения или правила.
Вопросы
теории:
·
Сформулируйте определение производной функции в точке.
·
В чем состоит геометрический смысл производной?
·
В чем состоит физический смысл производной?
·
Показать правила дифференцирования.
·
Показать формулы дифференцирования.
·
Написать уравнения касательной.
·
Исследование на экстремум.
·
Какие точки называются критическими?
·
В чем состоит необходимое условие экстремума?
·
В чем состоит достаточный признак существования экстремума?
·
Сформулируйте т. Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях
функции на отрезке.
·
Дать алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции
y=f(x), непрерывной на отрезке [a;b].
·
Дать схему применения метода поиска наибольших и наименьших
значений функции к решению прикладных задач.
·
Дать схему исследования и построения графика функции.
Плакаты.
1 плакат. Определение. Производной
функции в точке Х0 называется
число, к которому стремится разностное отношение f’(X0) = = при Х, стремящемся к нулю.
2 плакат. Определение.
Производная с геометрической точки зрения это угловой коэффициент касательной k
= tg= = f’(x0).
3 плакат. Определение. Производная с физической точки зрения
– это мгновенная скорость V(t)= x’(t).
4 плакат. Правила дифференцирования:
(u + v)’= u’+v’
(u v)’= u’v + uv’
()’=
(Cu)’= Сu’, где с-const.
5 плакат. Формулы дифференцирования
С’=0 5. (cos x)’=-Sin x
(xn)’=nxn-1 6. (t g x)’=
(’= 7.
(ctg x)’= -
(sin
x)’=cos x 8. h(x)=g(f(x))
h’(x)=g’(f(x)) f’(x).
6 плакат. Уравнение касательной Y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)
7 плакат. Определение.
Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна
нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.
8 плакат. Необходимое условие экстремума.
Если точка х0 является
точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она
равна нулю:
f’(x)=0
9 плакат. Достаточный признак существования
экстремума.
Признак максимума. Если
функция f непрерывна в точке х0, a f’(x)0 на интервале (а; х0) и f’(x)0 на интервале (хо; в), то точка
хо является точкой
максимума функции f. (Если в точке хо производная меняет знак с плюса на
минус, то хо есть
точка максимума функции f).
Признак минимума функции. Если
функция f непрерывна в точке хо, а f’(x)<0 на
интервале
(а; хо) и f’(x)>0 на интервале (х0; в), то точка
х0 является точкой
минимума функции f. (Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на
плюс, то х0 есть точка
минимума функции f).
10 плакат. Теорема Вейерштрасса о наименьшем
и наибольшем значениях функции на отрезке.
Т. Вейерштрасса утверждает, что непрерывная на отрезке [ a; b]
функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т.е.
существуют точки отрезка [a; b], в которых f принимает наибольшее и наименьшее
на [a; b] значения.
11 плакат. Алгоритм отыскания наибольшего и
наименьшего значений функции у= f(x), непрерывной на отрезке [a; b].
Найти f’(x).
Найти критические точки, т.е. где f’(x)=0 и f’(x)
не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a; b].
Вычислить значения функции y=f(x) в критических точках и на концах
отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно
наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке [a;b], которые
обозначают так: max[a;b] y(x)
и m in[a;b]y(x).
12 плакат. Схема применения метода поиска
наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.
Задача “переводится” на язык функций. Для этого выбирают удобный
параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x);
Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой
функции на некотором промежутке;
Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной
задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.
13 плакат. Алгоритм исследования функции и
построения графика.
- Находят ее область определения;
- выясняют, является ли функция f четной или нечетной, является ли
периодической;
- находят точки пересечения графика с осями координат;
- находят промежутки знакопостоянства;
- промежутки возрастания и убывания;
- точки экстремума и значения f в этих точках;
- исследуют поведение функции в окрестности “ особых” точек и при
больших по модулю х;
- на основании такого исследования строится график функции.
Итак, мы повторили все узловые вопросы по изученной теме. А теперь
поупражняемся на применении этих правил.
II этап. Устная работа.
(4 мин.)
Задания отразить диапроектором на экран, после ответов учащихся
демонстрировать ответы на экран. Учащиеся заработанное количество баллов
выставляют в оценочные листы.
g(x)= 2x-3 b) g(x)=3x4-7x3+2x2+ в) g(x)=+1
г) f(x)=(x-3)4 д)
f(x)=(3-4x)3 e) f(x)=
cos5x
Ответы: a) 2; b) 12x3-21x2+4x; в) -; г) 4(x-3)3; д)
-12(3-4 x)2; е) -5sin5x.
III этап. Выполнение упражнений на
нахождение производной.(10 мин.)
Отразить задания диапроектором на экран. Как закончат,
обмениваются тетрадями. Учитель включает проектор, демонстрирует ответы на
экране. Происходит быстрая проверка и комментарий заданий. Учащиеся заработанное
количество баллов выставляют в оценочные листы.
Задание. Найти значение производной при заданном значении
аргумента.
f(x)=4x3+6x+3;
x0=1
f(x)=x2-
4; x0=4
f(x)= ; x0=0
f(x)=x
sinx; x0=
f(x)=sin2x;
x0=
f(x)= 2x+cos2x; x0 =
Ответы: 1. 18; 2. 7; 3. 1; 4. 1; 5. –2; 6. 1.
Оценка – 6 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).
IV этап. Решение задач на применении
производной. (Работа на доске) (20 мин.)
У всех имеются карточки с условиями задач. Учащиеся по вызову
выходят к доске, показывают решение, а в это время все остальные выполняют эту
работу в тетрадях, после проверяют и сверяют правильность выполнения,
заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.
Содержание карточки.
Задачи о касательной.
1. Определить
угол, который составляет с осью ох касательная к графику функции у=2х2 в точках с абсциссами х0=и х0=1.
2. Найти
точки, в которых касательные к кривой у=х3+х-2 параллельны прямой
у=4х-1.
3. Найти
координаты точки, в которой касательная к параболе у=х2-х-12
образует с осью ох угол 45.
Задачи о скорости.
4. Закон
прямолинейного движения материальной точки задан зависимостью S(t)=5t3-8t+2,
где s и t измеряются соответственно в метрах и секундах. Найти скорость и
ускорение в момент времени t=2с.
Исследование на экстремум.
5. Найти
точки экстремума функции у = х3- 3 х2 + 18
6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции у=2х3 + 3х2 – 12х на отрезке [-4;2].
7. Исследовать функцию у=3х - х3 и построить ее график.
Ответы:
1. = 45
=artg4.
2. (-1;
-4), (1; 0)
3. А(1;
-12)
4. 52
м/с; 60 м/с2
5. х =
0 - точка максимума, уmax =
y(0) = 18
X = 2 – точка минимума, ymin = y(2) = 14
6. унаим. = -32 при х = -4
Унаим. = 20 при х = - 2.
7. У =
3х -х3
D(y)=R
f(-x)= -(3x - x3) = - f(x),
следовательно, функция нечетная и ее график симметричен относительно начала
координат.
Ось Оу график пересекает в точке (0;0)
Ось Ох график пересекает при х1 = - 3 ;
x2 = 0; x3 = 3
f’(x) = 3 - x2 ; D(f’) = R, f’(x)
= 0 при х1 = - 3; х2 = 3.
Х
|
(- ; -3)
|
- 3
|
(-
3; 3)
|
3
|
(3; )
|
f’(x)
|
-
|
0
|
+
|
0
|
-
|
f(x)
|
|
- 6
|
|
6
|
|
V этап. Самостоятельная работа (28 мин.)
В конце проводиться самостоятельная работа (под копированную
бумагу) в двух вариантах. Листок на котором лежала “копирка” учащиеся
подписывают и сдают учителю, а по записям в тетрадях учащиеся осуществляют самопроверку
по готовым решениям на экране, получают разъяснения по возникающим при этом
вопросам. Учитель после проверки листков выставляет оценки за самостоятельную
работу.
1. Исследуйте
функцию y=6x5-10x3 [y=5x3 -3x2 ] на монотонность и экстремумы и
постройте ее график.
2. Найдите
наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=sin 2x-2x на отрезке [ - ; ].
[ 2. Найдите точки экстремума функции у = х + ].
3. Составьте
уравнения касательной к графику функции f(x)=x2-x3, проходящей
через точку графика с абсциссой x0=-1.
[3 составьте уравнения касательных к графику функции y=2x-x2 в точках графика ординатой y0=
-3 ].
Ответы:
1. Функция на (-;-1] [1;), на [-1;1];
Х=- 1- точка максимума, х=1- точка минимума;
4-максимум; -4-минимум функции.
График изображен на рис.1.
2. Наименьшее значение равно –;
наибольшее значение равно .
3. Y=-5x-3
[1. Функция на (-;-1][1;) и на [-1;1];
Х=-1-точка минимума; Х=1-точка максимума;
-2-минимум; 2-максимум функции
График изображен на рис. 2.
2. х=0,75 (точка максимума)
3. y=4х+1 и y=-4х+9]
Подведение итогов (2 мин.).
Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока,
оценивает работу учащихся, выставляет оценки за I часть и за самостоятельную
работу, ориентирует учащихся в домашнем задании.
Тем, кто допустил ошибок, дается решать дома самостоятельную работу
другого варианта, а остальным дается задание на составление самостоятельной
работы на данную тему.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.