Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Производная и ее применение

Производная и ее применение



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Открытый урок по теме "Производная и ее применение"

Разработала : преподаватель математики Жукова Е.А.



Урок обобщающего повторения (90 мин.)

Цели:

1. Повторить, систематизировать и закрепить знания по изучаемой теме.

2. Воспитывать такие качества личности как самостоятельность, внимательность, способствовать развитию творческих способностей путем составления самостоятельной работы.

3. Побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование: экран, проектор, магнитная доска, набор плакатов.

У учащихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки с заданиями, карточки с вопросами по теории, копировальная бумага.

Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным листом.

Оценочный лист учащегося.

Фамилия________________________________________________

Имя____________________________________________________

Урок

Этапы

Задания

Кол-во баллов

I

I

II

III

IV

Теоретическая разминка

Устная работа

Упражнения на нахождении производной

Решение задач на применении производной

 

II

IV

V

Решение задач на применении производной (продолжение)

Самостоятельная работа

 

Итоговое количество баллов

 

Оценка

 

Во всех этапах урока за каждый правильный ответ ученик зарабатывает по 1 баллу.

Критерии оценок:

5” -с 43 до 47 баллов;

4” - с38 до 42 баллов;

3” - с 22 до 37 баллов;

2” -меньше 22 баллов.

За самостоятельную работу выставляется отдельная оценка.

Предварительное домашнее задание: повторить вопросы и задачи на повторение, которые заданы в конце главы II. “Производная и ее применения” на стр. 166-168.

Ход урока

Вводная беседа (1 мин.)

Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные формулы, определения и правила вычисления производных и их применения.

I этап. Теоретическая разминка (25 мин.)

Начало урока посвящается повторению узловых вопросов темы.

Три человека выходят к доске. Класс задает им три вопроса из подготовленных по всему повторяемому материалу.

Вызванные отвечают по очереди. Затем выходят следующая тройка и продолжают отвечать на следующие вопросы, задаваемые учащимися и так продолжают до тех пор, пока не ответят на все вопросы. За каждый правильный ответ ученик проставляет по 1 баллу в свой оценочный лист.

После того как ученик ответил на заданный вопрос на магнитной доске вывешивается плакат с текстом данного определения или правила.

Вопросы теории:

  • Сформулируйте определение производной функции в точке.

  • В чем состоит геометрический смысл производной?

  • В чем состоит физический смысл производной?

  • Показать правила дифференцирования.

  • Показать формулы дифференцирования.

  • Написать уравнения касательной.

  • Исследование на экстремум.

  • Какие точки называются критическими?

  • В чем состоит необходимое условие экстремума?

  • В чем состоит достаточный признак существования экстремума?

  • Сформулируйте т. Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях функции на отрезке.

  • Дать алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции y=f(x), непрерывной на отрезке [a;b].

  • Дать схему применения метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.

  • Дать схему исследования и построения графика функции.

Плакаты.

1 плакат. Определение. Производной функции в точке Х0 называется число, к которому стремится разностное отношение f(X0) = hello_html_200490b5.png=hello_html_m35b6dc6d.png при hello_html_me110c.pngХ, стремящемся к нулю.

2 плакат. Определение. Производная с геометрической точки зрения это угловой коэффициент касательной k = tghello_html_m33067ffb.png= hello_html_5e9e4652.png= f(x0).

3 плакатОпределение. Производная с физической точки зрения – это мгновенная скорость V(t)= x(t).

4 плакат. Правила дифференцирования:

(u + v)= u+v

(u v)= uv + uv

(hello_html_m6b8d538.png)=hello_html_m3002f3ef.png

(Cu)= Сu, где с-const.

5 плакат. Формулы дифференцирования

С’=0     5. (cos x)’=-Sin x

(xn)’=nxn-1     6. (t g x)’=hello_html_m7a3647ce.png

(hello_html_m71218943.png’=hello_html_m4130ec73.pnghello_html_m52a9c0d5.png     7. (ctg x)’= -hello_html_7e3dfc38.png

(sin x)’=cos x      8. h(x)=g(f(x))

h’(x)=g’(f(x))hello_html_40555606.png f’(x).

6 плакат. Уравнение касательной Y=f(x0)+f’(x0)(x-x0)

7 плакат. Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

8 плакат. Необходимое условие экстремума.

Если точка х0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:

f’(x)=0

9 плакат. Достаточный признак существования экстремума.

Признак максимума. Если функция f непрерывна в точке х0, a f’(x)hello_html_m5aaf292d.png0 на интервале (а; х0) и f’(x)hello_html_842634a.png0 на интервале (хо; в), то точка хо является точкой максимума функции f. (Если в точке хо производная меняет знак с плюса на минус, то хо есть точка максимума функции f).

Признак минимума функции. Если функция f непрерывна в точке хо, а f(x)<0 на интервале

(а; хо) и f(x)>0 на интервале (х0; в), то точка х0 является точкой минимума функции f. (Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума функции f).

10 плакат. Теорема Вейерштрасса о наименьшем и наибольшем значениях функции на отрезке.

Т. Вейерштрасса утверждает, что непрерывная на отрезке [ a; b] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т.е. существуют точки отрезка [a; b], в которых f принимает наибольшее и наименьшее на [a; b] значения.

11 плакат. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений функции у= f(x), непрерывной на отрезке [a; b].

Найти f(x).

Найти критические точки, т.е. где f(x)=0 и f(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [a; b].

Вычислить значения функции y=f(x) в критических точках и на концах отрезка, и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции y=f(x) на отрезке [a;b], которые обозначают так: max[a;b] y(x) и m in[a;b]y(x).

12 плакат. Схема применения метода поиска наибольших и наименьших значений функции к решению прикладных задач.

Задача “переводится” на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x);

Средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке;

Выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный (на языке функций) результат.

13 плакат. Алгоритм исследования функции и построения графика.

- Находят ее область определения;

- выясняют, является ли функция f четной или нечетной, является ли периодической;

- находят точки пересечения графика с осями координат;

- находят промежутки знакопостоянства;

- промежутки возрастания и убывания;

- точки экстремума и значения f в этих точках;

- исследуют поведение функции в окрестности “ особых” точек и при больших по модулю х;

- на основании такого исследования строится график функции.

Итак, мы повторили все узловые вопросы по изученной теме. А теперь поупражняемся на применении этих правил.

II этап. Устная работа. (4 мин.)

Задания отразить диапроектором на экран, после ответов учащихся демонстрировать ответы на экран. Учащиеся заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

g(x)= 2x-3 b) g(x)=3x4-7x3+2x2+hello_html_1193bae6.png в) g(x)=hello_html_m7c6f0d3.png+1

г) f(x)=(x-3)4 д) f(x)=(3-4x)3 e) f(x)= cos5x

Ответы: a) 2; b) 12x3-21x2+4x; в) -hello_html_m739a6621.png; г) 4(x-3)3; д) -12(3-4 x)2; е) -5sin5x.

III этап. Выполнение упражнений на нахождение производной.(10 мин.)

Отразить задания диапроектором на экран. Как закончат, обмениваются тетрадями. Учитель включает проектор, демонстрирует ответы на экране. Происходит быстрая проверка и комментарий заданий. Учащиеся заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

Задание. Найти значение производной при заданном значении аргумента.

f(x)=4x3+6x+3; x0=1

f(x)=x2- 4hello_html_m62250dde.png; x0=4

f(x)= hello_html_10e52361.png; x0=0

f(x)=x sinx; x0=hello_html_6cbce859.png

f(x)=sin2x; x0=hello_html_6cbce859.png

f(x)= 2x+cos2x; x0 = hello_html_m50cc8c52.png

Ответы: 1. 18; 2. 7; 3. 1; 4. 1; 5. –2; 6. 1.

Оценка – 6 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).

IV этап. Решение задач на применении производной. (Работа на доске) (20 мин.)

У всех имеются карточки с условиями задач. Учащиеся по вызову выходят к доске, показывают решение, а в это время все остальные выполняют эту работу в тетрадях, после проверяют и сверяют правильность выполнения, заработанное количество баллов выставляют в оценочные листы.

Содержание карточки.

Задачи о касательной.

  1. Определить угол, который составляет с осью ох касательная к графику функции у=2х2 в точках с абсциссами х0=hello_html_m1bf04f3a.pngи х0=1.

  2. Найти точки, в которых касательные к кривой у=х3+х-2 параллельны прямой у=4х-1.

  3. Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у=х2-х-12 образует с осью ох угол 45hello_html_44eaa89e.png.

Задачи о скорости.

  1. Закон прямолинейного движения материальной точки задан зависимостью S(t)=5t3-8t+2, где s и t измеряются соответственно в метрах и секундах. Найти скорость и ускорение в момент времени t=2с.

Исследование на экстремум.

  1. Найти точки экстремума функции у = х3- 3 х2 + 18

6. Найти наименьшее и наибольшее значение функции у=2х3 + 3х2 – 12х на отрезке [-4;2].

7. Исследовать функцию у=3х - hello_html_6d72dfe8.pngх3 и построить ее график.

Ответы:

  1. hello_html_18a77fe2.png= 45hello_html_44eaa89e.png

hello_html_mc1b559e.png=artg4.

  1. (-1; -4), (1; 0)

  2. А(1; -12)

  3. 52 м/с; 60 м/с2

  4. х = 0 - точка максимума, уmax = y(0) = 18

X = 2 – точка минимума, ymin = y(2) = 14

  1. унаим. = -32 при х = -4

Унаим. = 20 при х = - 2.

  1. У = 3х -hello_html_6d72dfe8.pngх3

D(y)=R

f(-x)= -(3x - hello_html_6d72dfe8.png x3) = - f(x), следовательно, функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.

Ось Оу график пересекает в точке (0;0)

Ось Ох график пересекает при х1 = - 3hello_html_5829526d.png ; x2 = 0; x3 = 3hello_html_5829526d.png

f(x) = 3 - hello_html_m1da1468e.png x2 ; D(f) = R, f(x) = 0 при х1 = - 3; х2 = 3.

Х

(- hello_html_fcec6ad.jpg; -3)

- 3

(- 3; 3)

3

(3; hello_html_fcec6ad.jpg)

f(x)

-

0

+

0

-

f(x)

hello_html_2fe853eb.jpg

- 6

hello_html_m53ee1a79.jpg

6

hello_html_5522122c.jpg

V этап. Самостоятельная работа (28 мин.)

В конце проводиться самостоятельная работа (под копированную бумагу) в двух вариантах. Листок на котором лежала “копирка” учащиеся подписывают и сдают учителю, а по записям в тетрадях учащиеся осуществляют самопроверку по готовым решениям на экране, получают разъяснения по возникающим при этом вопросам. Учитель после проверки листков выставляет оценки за самостоятельную работу.

  1. Исследуйте функцию y=6x5-10x3 [y=5x3 -3x2 ] на монотонность и экстремумы и постройте ее график.

  2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=sin 2x-2x на отрезке [ - hello_html_m57fe6a8a.png;hello_html_m57fe6a8a.png ].

[ 2. Найдите точки экстремума функции у = х + hello_html_1262af44.png].

  1. Составьте уравнения касательной к графику функции f(x)=x2-x3, проходящей через точку графика с абсциссой x0=-1.

[3 составьте уравнения касательных к графику функции y=2x-x2 в точках графика ординатой y0= -3 ].

Ответы:

1. Функция hello_html_m181dbbd7.png на (-hello_html_366cf1b6.png;-1] hello_html_m7bb65910.png [1;hello_html_366cf1b6.png), hello_html_4a48a05a.png на [-1;1];

Х=- 1- точка максимума, х=1- точка минимума;

4-максимум; -4-минимум функции.

График изображен на рис.1.

2. Наименьшее значение равно –hello_html_6e1c11e4.png;

наибольшее значение равно hello_html_1193bae6.png.

3. Y=-5x-3

[1. Функция hello_html_4a48a05a.png на (-hello_html_366cf1b6.png;-1]hello_html_m7bb65910.png[1;hello_html_366cf1b6.png) и hello_html_m181dbbd7.png на [-1;1];

Х=-1-точка минимума; Х=1-точка максимума;

-2-минимум; 2-максимум функции

График изображен на рис. 2.

2. х=0,75 (точка максимума)

3. y=4х+1 и y=-4х+9]

Подведение итогов (2 мин.).

Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока, оценивает работу учащихся, выставляет оценки за I часть и за самостоятельную работу, ориентирует учащихся в домашнем задании.

Тем, кто допустил ошибок, дается решать дома самостоятельную работу другого варианта, а остальным дается задание на составление самостоятельной работы на данную тему.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Краткое описание документа:

1. Повторить, систематизировать и закрепить знания по изучаемой теме.

2. Воспитывать такие качества личности как самостоятельность, внимательность, способствовать развитию творческих способностей путем составления самостоятельной работы.

3. Побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Автор
Дата добавления 09.07.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров684
Номер материала 316171
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх