Производная и её применение

• 1 слайд

  Учебно-исследовательская работа
  «Функция и её производная
  в решении практических задач»
  Подготовили:
  учащиеся гр.№24
  Терещенко Максим,
  Беловодский Антон.
  Руководитель (консультант):преподаватель математики Ковалева В.С.
  

• 2 слайд

  БЕЛГОРОД
  

• 3 слайд

  Проблема
  Для мойки автомобилей требуется изготовить открытый цилиндрический бак объемом 300 литров, чтобы площадь его поверхности была наименьшей. Каковы должны быть его размеры?
  Н
  R
  Развертка цилиндрической поверхности с одним основанием
  

• 4 слайд

  Определение функции
  Если каждому значению х
  из некоторого множества чисел
  поставлено в соответствие число у ,
  то говорят, что на этом множестве задана функция у(х).
  f
  х
  у
  y=f(х)
  (х)
  x-область определения
  y(x)-область значений функции
  f –соответствие между множествами
  

• 5 слайд

  
  
  Вывод: до 500км выгодней заказ у второй фирмы, на более дальние расстояния – более выгоден заказ первой фирмы. Точка пересечения ( 5; 3000) говорит, что при дальности поездки в 500км расходы одинаковы.
  Пусть х- расстояние в сотнях километров, у- стоимость перевозок, получаем: у1 = 2000 + 200х, y2 = 1000 + 400х
  ООО УТЭП занимается грузоперевозками. 1 фирма предоставляет
  в аренду автомобили по договорной предоплате 2000 рублей
  и ее услуги: 200руб. за 100км пробега.
  2 фирма: договорная оплата 1000 рублей, но ее услуги оплачиваются:
  400 руб. за 100км пробега. Найти наиболее выгодный вариант.
  

• 6 слайд

  
  
  
  У
  Х
  1
  0
  а>1
  0<a<1
  а>1
  У
  Х
  1
  0
  0<a<1
  В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т. е. по закону показательной функции.
  Возрастание
  Затухание процессов
  

• 7 слайд

  Экономические расчеты
  Задача: Стоимость оборудования мастерской равна 500 тыс. р. Известно, что через 10 лет стоимость этого оборудования вследствие амортизации будет равна 200 тыс. р. Найдите процент ежегодной амортизации оборудования.
  завод
  

• 8 слайд

  Решение.
  где B = 200 тыс. рублей,
  тыс. рублей, x = 10 лет.
  
  
  
  
  Ответ:
  ежегодный процент амортизации составляет 8,76 %.
  

• 9 слайд

  Г. Лейбниц
  И. Ньютон 
  Основоположники дифференциального исчисления
  

• 10 слайд

  Ньютон.
  задача о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).
  Лейбниц
  задача о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением.
  Основоположники дифференциального исчисления
  

• 11 слайд

  Понятие производной
  Механический смысл
  производной
  

• 12 слайд

  Средняя скорость движения
  ∆t
  ∆S
  

• 13 слайд

  Мгновенная скорость движения
  90 км
  мгновенная скорость движения:
  скорость в момент времени t
  

• 14 слайд

  Мгновенная скорость движения
  Предел разностного отношения при называется
  производной функции S(t). Обозначается
  Мгновенная скорость – производная пути по времени
  

• 15 слайд

  
  Геометрический смысл производной
  Готфрид Вильгельм Лейбниц
  Решение задач на нахождение углового коэффициента касательной имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к её траектории.
  поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на её орбите сводится, к определению направления касательной к кривой.
  

• 16 слайд

  у
  х
  0
  y = f(x)
  А
  Δх
  Δу
  f(x)
  f(x+Δх)
  х+Δх
  α
  1
  х
  М
  1
  

• 17 слайд

  у
  х
  0
  y = f(x)
  А
  Δх
  Δу
  f(x)
  f(x+Δх)
  х+Δх
  α
  1
  х
  М
  1
  М
  2
  

• 18 слайд

  у
  х
  0
  y = f(x)
  А
  Δх
  Δу
  f(x)
  f(x+Δх)
  х+Δх
  х
  М
  2
  α
  3
  М
  1
  М
  3
  

• 19 слайд

  у
  х
  0
  y = f(x)
  А
  Δх
  Δу
  f(x)
  х
  М
  2
  М
  1
  М
  3
  α
  касательная
  

• 20 слайд

  Угловой коэффициент касательной-
  производная функции в данной точке
  

• 21 слайд

  производной функции у = f(x) в точке х0
  называется предел отношения
  приращения функции в точке х0
  к приращению аргумента,
  когда приращение аргумента
  стремится к нулю.
  

• 22 слайд

  Применение производной в решении экстремальных задач
  Необходимое условие экстремума.
  Теорема Ферма. Если является точкой экстремума функции и производная в этой точке существует, то она равна нулю: .
  

• 23 слайд

  а
  b
  x
  0
  y
  Возрастание функции
  y=f(x)
  Если f (x)>0 на
  промежутке, то функция
  возрастает на этом
  промежутке
  Угол наклона касательной меньше 90°, тангенс угла положительный
  

• 24 слайд

  а
  b
  x
  0
  y
  Убывание функции
  y=f(x)
  Если f (x)<0 на
  промежутке, то функция
  убывает на этом
  промежутке
  Угол наклона касательной больше 90°, тангенс угла отрицательный
  

• 25 слайд

  Экстремумы функций
  

• 26 слайд

  Максимум функции
  x
  0
  y
  х
  о
  f(х )
  о
  f(х)
  y=f(x)
  Точка х0 –точка максимума
  функции f(x), если существует
  Такая окрестность точки х0,
  что для всех х≠х0, из этой
  Окрестности выполняется
  неравенство
  Точка х0 –точка максимума
  функции f(x), если существует
  Такая окрестность точки х0,
  что для всех х≠х0, из этой
  Окрестности выполняется
  неравенство
  

• 27 слайд

  Минимум функции
  x
  0
  y
  х
  о
  f(х )
  о
  f(х)
  y=f(x)
  Точка х0 –точка минимума
  функции f(x), если существует такая окрестность точки х0,
  что для всех х≠х0, из этой
  окрестности выполняется
  неравенство
  

• 28 слайд

  Производная для исследования функции
  х
  о
  f ( ) = 0
  х
  о
  f ( ) = 0
  х
  1
  Знак
  производной
  +
  _
  +
  Точка
  максимума
  Точка
  минимума
  x
  0
  y
  y=f(x)
  х
  1
  касательная
  касательная
  касательная
  

• 29 слайд

  Наибольшим ( наименьшим)значением функции называется самое большое значение функции ( самое малое)из всех максимумов (минимумов), включая концы заданного для функции интервала
  

• 30 слайд

  Задачи на максимум и минимум
  

• 31 слайд

  Основные моменты решения нашей задачи
  с помощью производной:
  
  1.Устанавливаем функциональную зависимость
  между заданными величинами.
  2.Находим производную полученной функции.
  2. Приравниваем производную к нулю и определяем
  все критические точки из области определения функции.
  3. Устанавливают знаки производной функции
  при переходе через критические точки .
  4.Определяем точки экстремума.
  5. Вычисляют значения функции в каждой экстремальной точке.
  6. Выбираем наименьшее значение из всех минимумов,
  включая концы интервала
  

• 32 слайд

  Решение проблемы
  Задача 2.
  Требуется построить открытый цилиндрический резервуар вместимостью V0. Материал имеет толщину d. Какими должны быть размеры резервуара (радиус основания и высота), чтобы расход материала был наименьшим?
  R
  R0
  h
  

• 33 слайд

  Пусть
  - внутренний объем цилиндра, высотой h.
  V - объем внешнего цилиндра, высотой h.
  =
  =
  .
  Объем дна:
  Объем материала: Vмат. = (V-V0)+Vдна
  Получили функциональную зависимость между объемом и высотой цилиндра.
  Выразим
  

• 34 слайд

  Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует.
  Эти точки называются критическими для функции
  .
  
  ,
  Единственный положительный корень производной – это точка,
  она и дает решение задачи. Так как
  , то
  .
  Х –радиус внутреннего цилиндра. Значит, высота цилиндра
  и внутренний радиус должны быть равны!
  

• 35 слайд

  Получили: чтобы изготовить цилиндрический резервуар объемом V0 при наименьшем расходе материала высота цилиндра и радиус внутреннего цилиндра должны быть равны, от толщины материала полученное решение задачи не зависит.
  Используя решение этой задачи, получаем: чтобы изготовить открытый цилиндрический бак объемом 300 л наименьшей площади его поверхности необходимо, чтобы радиус и высота цилиндра были равны.
  

• 36 слайд

  Пусть h=R=x, тогда
  получаем:
  
  Значит, h=R=4,57дм, а площадь поверхности
  Чтобы изготовить открытый цилиндрический бак
  объемом 300 литров наименьшей площади поверхности,
  его радиус и высота должны быть h=R=4,57дм.
  ВЫВОД:
  

• 37 слайд

  Следи, чтобы автомобиль был исправным!
  Исключи утечку топлива и смазки!
  Следи за герметичностью узлов и систем агрегатов!
  Используй только качественное горючее!
  Установи нейтрализаторы на выхлоп!
  При ТО не разливай ГСМ!
  Не выбрасывай использованную ветошь!
  Отработанное масло слей и отправь на переработку!
  

• 38 слайд

  БЕЛГОРОД
  Белгород должен быть чистым!
  

• 39 слайд

  Литература и другие источники:
  Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа 10-11». М.: Просвещение, 1992.
  Беляева Э. С., Монахов В.М. «Экстремальные задачи». М.: Просвещение, 1997.
  Виленкин Н. Л. «Функции в природе и технике». – М.: Просвещение, 1978
  Возняк Г. М., Гусев В. А. Прикладные задачи на экстремумы. М.: Просвещение, 1985.
  Математика в жизни общества - http://revolution.allbest.ru/mathematics/l
  images.yandex.ru›белгород фото города