Предлагаю
вашему вниманию легкий способ разобраться, как решать задачи на проценты в 6
классе.
При решении задачи на проценты первым делом нужно определить вид
задачи. Задачи на проценты в 6 классе можно подразделить на три вида:
1) Нахождение процентов от числа.
2) Нахождение числа по его процентам.
3) Нахождение процентного отношения двух чисел.
Определить вид задачи на проценты можно по записи ее условия. Если
напротив 100% стоит число, то это — задача на нахождение процентов от числа.
Если число напротив 100% неизвестно, то это — задача на нахождение числа по его
процентам. Если же неизвестное значение стоит в колонке процентов, то это —
задача на нахождение процентного отношения двух чисел.
Рассмотрим на примерах, как научиться определять вид задачи на
проценты.
1. Из картофеля выходит 20% крахмала. Сколько крахмала выйдет из
45 т картофеля?
|
тонны
|
%
|
Картофель
|
45т
|
100%
|
Крахмал
|
?
|
20%
|
Это задача на нахождение процентов от числа (так как
напротив 100% стоит число).
2. Руда содержит 67% железа. Сколько нужно руды для получения 13,4
т железа?
|
тонны
|
%
|
Руда
|
?
|
100%
|
Железо
|
13,4т
|
67%
|
Это задача на нахождение числа по его процентам (так как
напротив 100% стоит ?)
3. Из 400 зерен пшеницы взошло 360. Определить процент всхожести
семян.
|
Зерна
|
%
|
Всего посеяли
|
400
|
100%
|
Взошло
|
360
|
?
|
Это задача на процентное отношение (так как в колонке
процентов стоит ?).
II. Решите задачу (нахождение процентов числа).
1. В
школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки. Сколько мальчиков в
школе? (Ответ: 192 мальчика)
2. Товар
стоил 5000 р. Его цена повысилась на 20%. Какова новая цена товара? (Ответ:
6000 р.)
3. Масса
сушёных груш составляет 20% массы свежих. Сколько сушёных груш получится из 350
кг свежих? Сколько процентов массы свежих груш потеряется при сушке? (Ответ: 70
кг, 80%)
4. Что
больше 30% от 40 или 40% от 30? (Ответ: равно)
5. Банк
выплачивает доход из расчёта 2% вложенной суммы в год. Сколько рублей оказалось
на счёте через год, если на него положили 70000 р.? (Ответ: 71400 р.)
6. Надо
окрасить 60 м2 поверхности стены. 75% работы уже
сделали. Какую площадь осталось окрасить? (Ответ: 15
м2)
III. Решите задачу (нахождение числа по его процентам).
1. Трава
при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн травы надо накосить, чтобы
насушить 14 тонн сена? (Ответ: 70 тонн)
2. Цена
альбома была снижена на 15%. Новая цена альбома 34 рубля. Определите его
первоначальную цену. (Ответ: 40 р.)
3. Цена
товара повысилась на 30% и составляет теперь 91 рубль. Сколько стоит товар до
повышения цены? (Ответ: 70 р.)
4. Сколько
учеников в классе, если 1 ученик составляет 4% всех учащихся класса? (Ответ: 25
человек)
5. При
продаже товара за 693 рубля получено 10% прибыли. Определите себестоимость
товара. (Ответ: 630 рублей)
6. 60%
класса пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку. Сколько учащихся в
классе? (Ответ: 30 человек)
IV. Решите задачу (нахождение процентного отношения).
1. Даша
прочитала 120 страниц, ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько
процентов всех страниц она прочитала? (Ответ: 48%)
2. В
месяце было 12 пасмурных и 18 солнечных дней. Сколько процентов месяца
составляют солнечные дни? Пасмурные дни? (Ответ: 60%, 40%)
3. На
сколько процентов 50 больше 40? (Ответ: 25%)
4. Цена
товара снизилась с 40 рублей до 30 рублей. На сколько процентов снизилась цена?
(Ответ: 25%)
5. Для
приготовления компота купили 2 кг чернослива, 1кг изюма, 4
кг кураги, 5 кг сушёных яблок, 3 кг сушёных груш. Сколько процентов всего
компота составляют груши? (Ответ: 20%)
6. Масса
ящика с товаром 11,5 кг. Масса товара 9,2
кг. Сколько процентов масса пустого ящика составляет от массы ящика с товаром?
(Ответ: 20%)
V. Решите задачу (сложные задачи на проценты).
1. Имеется
2 раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом растворе содержится 12
г соли, а во втором – 15 г соли. Какова будет концентрация, если оба раствора
смешать? (Ответ: 13,5%)
2. В 200
г воды растворили 50 г соли. Какова концентрация полученного раствора? (Ответ:
20%)
3. Сколько
соли надо растворить в воде, чтобы получить 400
г 5% раствора соли? (Ответ: 20 г)
4. Сколько
надо взять воды, чтобы получить 200 г 10% раствора соли? (Ответ: 180
г)
5. Сколько
граммов йода содержится в 400 г 3% раствора? (Ответ: 12
г)
6. Банк
выплачивает доход из расчёта 7% вложенной суммы в год. Сколько денег окажется
на счёте через 2 года, если на него положили 10000 рублей? (Ответ: 11449 р.)
Типы задач на проценты
Раз мы уже договорились, что задачи на проценты – это задачи на
дроби, такой тактики будем придерживаться и дальше.
Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.
·
Задача. За месяц на предприятии
изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль
качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?
·
Решение. Нужно найти 20% от общего
количества изготовленных приборов (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из
общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.
Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).
·
Задача. Готовясь к экзамену, школьник
решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех
задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?
·
Решение. Мы не знаем, сколько всего
задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 25% от общего
их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам
часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого:
38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.
Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого
числа).
·
Задача. В классе 30 учеников. 14 из
них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?
·
Решение. Чтобы узнать, какой процент
составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти,
разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% =
7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.
Тип 4: Увеличиваем число на процент.
·
Задача. На прошлогоднем экзамене по
математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников
выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в
этом году?
·
Решение. Если некое число а увеличено
на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз.
Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по
условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.
Тип 5: Уменьшаем число на процент.
·
Задача. Год назад школу закончили 100
ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?
·
Решение. Если число а уменьшено
на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено
в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а
* (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 *
(1 – 25/100) = 75.
Тип 6: Задачи на простые проценты.
·
Задача. Родители взяли в банке кредит
5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку
через год?
·
Решение. Простые проценты называются
так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме.
Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается,
как S, процентную ставку как х% и количество периодов
начисления процента как у, то формулу можно записать так: S
= а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и
узнаем, сколько денег родители заплатят банку: S = 5000 * (1 +
12 * 15/100) = 14000.
Тип 7: Задачи на сложные проценты.
·
Задача. На этот раз сумма кредита
25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать,
сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.
·
Решение. Сложные проценты отличаются от
простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с
уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S –
наращиваемая сумма, а – исходная, х% - процентная
ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом
случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)у.
Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)3 =
38021,875 – искомая сумма.
Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с
помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что
выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще. Давайте решим
задачу №3 про класс и процент девочек в нем, составив пропорцию.
·
Решение. Обозначим искомый процент
девочек в классе как х, общее количество учеников примем за 100%.
Пропорция выглядит так:
30 – 100%
14 – х%
Перемножим крест накрест левую и правую части пропорции и получим,
что 30* х = 14 * 100 («30 относится к х также,
как 14 относится к 100»). Откуда найти х уже совсем
несложно: х = 14 * 100/30 = 47%.
Задачи на проценты с решением
Давайте решим несколько задач для подготовки к ЕГЭ. Как вы сами
видите, решать их совсем несложно. Сейчас просто закрепим материал.
Задача 1. После открытия торгов на
бирже в понедельник акции некой компании выросли в цене на неизвестное
количество процентов. А во вторник на то же самое количество процентов упали в
цене. В итоге они подешевели на 4% по отношению к своей первоначальной
стоимости в понедельник. На какой процент акции этой компании поднимались в
цене в понедельник?
Решение. Пускай первоначальная
стоимость акций это 1. В понедельник акции дорожают на х * 100%. Их стоимость в
это время: 1 + х * 1. Во вторник акции дешевеют на х * 100%. Их стоимость после
этого: 1 + х – х * (1 + х). После чего они стали дешевле на 4%, т.е. стали
стоить 0,96.
Отсюда 1 + х – х * (1 + х) = 0,96 ↔1 – х2 =
0,96 ↔ х2 = 0,04 ↔ х = 0,2. Т.е. в понедельник
акции компании дорожали на 20%.
Задача 2. Четыре пары брюк дешевле
одного пальто на 8%. Подсчитайте, на сколько процентов пять пар брюк стоят
дороже, чем одно пальто.
Решение. Исходя из условия задачи,
стоимость четырех пар брюк – это 92% от стоимости пальто. Легко подсчитать, что
стоимость одной пары брюк – это 23% стоимости пальто (92/4 = 23). Теперь
умножим стоимость одной пары брюк на пять и узнаем, что пять пар брюк обойдутся
в 115% стоимости пальто (23 * 5 = 115). Т.е. пять пар брюк на 15% дороже, чем
одно пальто.
Задача 3. Семья состоит из трех
человек: муж, жена и дочь-студентка. Если зарплата мужа вырастет в два раза,
общий доход семьи возрастет на 67%. Если дочери в три раза урежут стипендию,
общий доход этой семьи уменьшится на 4%. Надо вычислить, какой процент в общий
доход семьи приносит заработок жены.
Решение. Из условия следует, что общий
доход семьи находится в прямой зависимости от доходов мужа. Не так важно,
насколько ему поднимут зарплату. В любом случае общий доход семьи вырастет на
67%. Значит, зарплата мужа составляет как раз эти 67% от общего дохода. Если
стипендия дочери уменьшится в три раза (т.е. на 1/3), останется 2/3 – это и
есть 4%, на которые уменьшился бы семейных доход. Можно составить простую
пропорцию и выяснить, что раз 2/3 стипендии – это 4% дохода, то вся стипендия –
это 6%. А теперь отнимем от всего дохода вклад мужа и дочери и узнаем, какой
процент составляет заработок жены в общем доходе семьи: 100% – 67% – 6% =
27%.
Задача 4. В емкости находится 5
литров водного раствора с концентраций вещества, равной 12%. В емкость
добавили еще 7 литров воды. Раствор какой концентрации (с каким процентным
содержанием вещества) получился после этого?
Решение. Опишем концентрацию вещества
в растворе такой формулой: С = Vвещества/ Vраствора * 100%. Изначально в
растворе содержится 0,12 * 5 = 0,6 литра вещества. Когда были добавлены 7
литров воды, объем раствора в емкости увеличился. Но концентрация вещества
понизилась (его объем остался неизменным). Подставим все известные нам цифры в
формулу и получим ответ: 0,6/5 + 7 *100% = 0,6 /12 * 100% = 5%.
Задача 5. В свежих абрикосах 90% влаги,
а в кураге, которая из них получается, только 5%. Сколько килограммов абрикосов
нужно, чтобы получить 20 килограммов кураги?
Решение. Исходя из условия, в
абрикосах 10% питательного вещества, а в кураге оно содержится в
концентрированном виде – 95%. Поэтому в 20 килограммах кураги 20 * 0,95 = 19
кг питательного вещества. На вопрос задачи мы ответим, если разделим
одинаковое количество питательного вещества, которое содержится в разных
объемах свежих абрикосов и кураги, на его процентное содержание в абрикосах.
Чтобы получить 20 килограммов кураги, нужно взять 19/0,1 = 190
килограммов свежих абрикосов.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.