Проверка правильности традиционного решения задач с помощью размерности

• 1 слайд

  Проверка правильности традиционного решения задач с помощью размерности
  

• 2 слайд

  Цель занятия: научиться проверять правильность традиционного решения задач с помощью размерности
  Задачи занятия:
  1.Рассмотреть задачи, описывающие различное движение, в которых применяются различные уравнения для определения пути.
  2. Сделать вывод, что в правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части.
  3. Доказать, что метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.
  
  

• 3 слайд

  Уникальность любой физической величины заключена в ее размерности: . Именно совокупность значений и определяют размерность физической величины.
  

• 4 слайд

  Зная закономерность размерности, мы можем произвести размерностную проверку любой физической формулы, сколько бы слагаемых членов она не содержала и какими бы «страшными» они не были.
  Проверьте, пожалуйста, несколько известных уравнений кинематики, используя символы МLT
  
  1. S = Vt
  
  2.
  
  3.
  
  4. V = at
  
  5. V = V0 + at
  
  
  

• 5 слайд

  Проверим
  1. S = Vt
  
  2.
  
  3.
  
  4. V = at
  
  5. V = V0 + at
  
  
  Вывод: для всех рассмотренных уравнений размерность слева равна размерности справа.
  

• 6 слайд

  Рассмотрим решение нескольких задач:
  1. Определить расстояние между Землёй и Солнцем, если луч света, двигаясь со скоростью 3 х 10 м/с , проходит это расстояние примерно за 8,5 минут ?
  
  

• 7 слайд

  2. Какое расстояние по прямой может пройти ракета за 1 минуту, двигаясь от места старта с ускорением 20 ?
  

• 8 слайд

  3. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, пошел на обгон и в течение 10 секунд двигался с ускорением 2 Какой путь прошел автомобиль за это время?
  

• 9 слайд

  4. Автомобиль, двигаясь со скоростью 54 км/ч, перед поворотом в течение 10 секунд двигался равнозамедленно с ускорением - 2
  Какой путь прошел автомобиль за это время?
  

• 10 слайд

  Проанализируем решение этих задач.
  
  1. Что общего было в этих задачах?
  ( Определялся путь S)
  2. В чём различие в этих задачах?
  ( В каждой задаче описывается различное движение, а, значит, применяются различные уравнения для определения пути)
  То есть различие в том, что одна и та же величина (путь) определяется через различные величины.
  В №1 через V и t. В №2 через а и t . В №3 и №4 через V0 ,a, t.
  
  Эти величины имеют различные размерности, но в результате произведенных действий получается во всех случаях одна и та же размерность - метр.
  

• 11 слайд

  Произведём предлагаемые действия только с размерностями, не используя модулей этих величин
  1. S = V t =
  
  2. S =
  
  3.4. S = V0t ± = ±
  
  Отсюда следует закономерность:
  в правильно составленном уравнении, размерность правой его части равна размерности его левой части.
  
  =L±L= L
  

• 12 слайд

  Эту закономерность можно применить для проверки правильности решения задач
  Допустим в задаче №3 допустили ошибку
  (она очень часто встречается), записав уравнение так
  , тогда S = 15 + 2 х 10 /2 = 65 (м).
  
  Если правильный ответ неизвестен, как проверить правильность решения и найти причину ошибки
  

• 13 слайд

  
  То ли ошибка в вычислении, то ли в преобразовании, то ли в неправильном написании, правильно выбранного уравнения?
  
  Проверяя правильность решения по наименованию можно найти причину ошибки. Как это сделать?
  Вместо модулей величин подставить размерности величин и сравнить размерности левой и правой части уравнения, то есть использовать, указанную выше, закономерность.
  
  
  
  
  
  Отсюда следует: L ≠ 1+Т. Задача решена неверно.
  
  

• 14 слайд

  Где ошибка? В правой части уравнение представляет собой двучлен.
  Одна его часть имеет размерность L , а другая L/T.
  Как из этого выражения L/T получить L?
  Умножив его на Т, получим размерность первого члена L.
  Тогда первый член и второй член правой части уравнения будут иметь размерность L и L + L = L ,
  то есть левая и правая части будут иметь одинаковую размерность.
  Значит, первый член правой части уравнения должен иметь вид не V0, а V0 t .
  
  

• 15 слайд

  Теперь предположим, что при решении задачи допущена другая ошибка:
  в уравнении
  
  вместо знака «+» поставил знак «-».
  Поможет ли здесь метод размерности указать на ошибку?
  
  Отсюда следует второй вывод: Метод размерностей может подсказать ошибочность физического направления решения, но не может подсказать ошибочность математического действия.
  

• 16 слайд

  
  Решим несколько задач по кинематике и сделаем проверку их правильности решения, применив метод размерности для проверки.
  
  Задача № 1 .
  За время равное 2 с тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.
  
  

• 17 слайд

  Решение.
  
  1 Движение равноускоренное с V0 ≠ 0.
  
  2. Его уравнения
  V = V0 + at (1)
  
  S = V0t + at /2 (2)
  
  V – V0 = 2aS (3)
  

• 18 слайд

  3. Для решения задачи воспользуемся уравнениями (1) , (2) и уравнением данным в условии задачи V = 3 V0 и решим их совместно относительно неизвестного а.
  V = 3V0 3V0 = V0 + at 2V0 = at, V0 = at/2
  V = V0 + at S = V0t + at /2
  S = V0t
  
  Тогда S = at /2 + at /2
  
  S = 2 at /2 S = at a = S/t .
  
  Тогда а = 20 /4 = 5 м/с
  
  

• 19 слайд

  Сделаем проверку решения методом размерности
  

• 20 слайд

  Задача № 1 . За время равное 2 с тело, двигаясь прямолинейно и равноускоренно, прошло путь 20 м. Его скорость при этом увеличилась в 3 раза. Определить ускорение тела.
  
  Дано:
  а - ?
  Решение.
  1 Движение равноускоренное с V0 ≠ 0
  2. Его уравнения V = V0 + at (1)
  S = V0t + at /2 (2) V – V0 = 2aS (3)
  3. Для решения задачи воспользуемся уравнениями (1) , (2), уравнением данным в условии задачи V = 3 V0 и решим их совместно относительно неизвестного а .
  V = 3V0 3V0 = V0 + at 2V0 = at
  V = V0 + at S = V0t + at /2
  S = V0t + at /2
  V0 = at/2 Тогда S = at /2 + at /2
  S = 2 at /2 S = at a = S/t .
  Тогда а = 20 /2 = 5 м/с
  Сделаем проверку решения методом размерности
  
  
  
  Размерности левой и правой части уравнения совпадают, значит, задача решена правильно.
  t = 2 c
  S = 20 м
  V = 3 V0
  

• 21 слайд

  Задача №2. Тело, двигаясь от остановки равноускоренно, за первые 5 секунд движения прошло путь 10 м. Какой путь пройдёт это тело за 10 секунд от начала движения?
  Дано :
  V0 = 0
  t 1= 5 c
  t 2= 10 c
  S1 =10 м
  S2-?
  Решение.
  В задаче описано два случая равноускоренного движения.
  Равноускоренное движение с V0 = 0 описывается следующими уравнениями: S = at /2 (1) V = at (2) V = 2aS (3)
  Начнём решение задачи «с конца». Для нахождения S2 воспользуемся уравнением (1) S2 = at2 /2. Это уравнение связывает S 2 и t 2 , неизвестно а . Так как ускорение одинаково в первом и во втором движении , то его можно определить из уравнения (1) для первого движения S1 = at1 /2 , так как величины S 1 и t 1 известны. Решая эти уравнения совместно относительно S2 , получим
  S1 = a = S2 =
  
  S2 =
  

• 22 слайд

  S2 = S1
  
  Проверим правильность решения по размерности. L = L x T x T = L т. е L = L
  Задача решена правильно. Подставим числовое значение величин и получим ответ задачи.
  
  S2 = 10 (м).
  

• 23 слайд

  Задача № 3. Тело, двигаясь равноускоренно, за 5 секунд движения прошло путь 100 м , а за 10 сек. - 300 м . Определить начальную скорость движения тела.
  Дано:
  t1 = 5 c
  S1 = 100 м
  t2 = 10 c
  S2 = 300 м
  V0 -?
  Решение.
  1. В задаче описано два случая равноускоренного движения с
  начальной скоростью не равной нулю.
  2. Уравнением, связывающим путь, начальную скорость, время и ускорение, является уравнение пути этого движения.
  Поэтому запишем его для первого и второго случая движения, описанного в задаче.
  S1= V0t1 + at2 /2 (1) S2 = V0t2 + at2 /2 (2) Начальную скорость V0 можно определить используя уравнение (1) или используя уравнение (2) , но и в том и в другом для нахождения V0 надо знать ещё и ускорение а . Так как ускорение и в первом, и во втором движении одинаково, то решим уравнения (1) и (2) совместно относительно V0.
  

• 24 слайд

  S1 = V0t1 + (1)
  S2 = V0t2 + (2)
  Эту систему уравнений можно решить по – разному.
  
  Решим её способом подстановки. Из (1) найдём а и его значение подставим в уравнение (2) из которого потом определим V0.
  Из (1) 2S1 = 2 V0 t1 + at1 2S1 – 2V0t1 = at1
  a = Подставим это значение в (2)
  
  S2 = V0t2 + S2 t1 =V0t2t1 + (S1 – V0t1)t2
  S2t1 = V0t2t1 + S1t2 – V0t1t2 S2t1 – S1t2 =V0t2t1 – V0t1t2 S2t1 –S1t2 = V0 ( t1 t2 - t2 t1)
  V0 =
  
  Мы проделали громоздкие преобразования. Не допустили ли мы ошибку?
  

• 25 слайд

  Воспользуемся знанием закономерности размерности и проверим свою работу.
  L T =
  
  
  Подставим числовое значение входящих величин и получим числовой ответ задачи.
  
  V0 =
  м/с
  ЗАДАЧИ
  

• 26 слайд

  Алгоритм решения физических задач методом размерности.
  
  Цель занятия: Сформулировать КРИТЕРИЙ правильности решения физической задачи, не содержащей числовых коэффициентов и тригонометрических функций.
  Задачи занятия:
  Критерий истинности уравнения
  Критерий истинности смысла уравнения
  Выдвижение гипотез
  Составление уравнений размерности
  Решение системы уравнений размерности
  Ошибочные гипотезы
  

• 27 слайд

  Выработаем четкий алгоритм решения задач с помощью метода размерности .
  
  
  Если для исследуемого явления установлено, с какими величинами может быть связана искомая величина, но вид этой связи неизвестен, то можно составить уравнение размерностей, в котором в левой части будет стоять символ искомой величины со своим показателем размерности, а в правой — произведение символов величин, от которых искомая величина зависит, но с неизвестными показателями размерности.
  Задача нахождения связи между физическими величинами сводится в этом случае к отысканию значений соответствующих показателей размерности.
  

• 28 слайд

  Если, например, требуется определить время t прохождения пути s телом массой М, движущимся поступательно и прямолинейно под действием постоянной силы f, то можно составить уравнение размерности, имеющее вид:
  Т = L M (LMT ) ,     (2) где х, у, z — неизвестны.
  Требование равенства показателей размерности левой и правой частей в уравнении (2) приводит к системе уравнений x + z = 0,
  y + z = 0,
  -2z = 1, откуда следует, что х = у = 1/2, z = —1/2
  .     (3)
  
  Безразмерный коэффициент С, равный, согласно законам механики, , в рамках анализа размерностей определить нельзя.
    В этом состоит своеобразие метода размерностей.
  

• 29 слайд

  Устанавливаемая с его помощью зависимость искомой величины от величин, определяющих исследуемое явление, находится с точностью до постоянного коэффициента (или коэффициента, зависящего от безразмерного параметра, например от угла).
  
  Для получения точных количественных соотношений нужны дополнительные данные.
  
  
  Поэтому метод размерностей не является универсальным методом.
  
  

• 30 слайд

  Он нашёл плодотворное применение в тех областях физики (гидравлике, аэродинамике и др.),
  где строгое решение задачи часто наталкивается на значительные трудности,
  в частности из-за большого числа параметров, определяющих физические явления.
  

• 31 слайд

  Таким образом, критерием правильности использованной при
  
  решении задачи формулой является равенство наименований, а значит и размерностей обеих частей уравнения (равенства).
  
  Можно записать: []=
  Нужно только определить значения .
  
  

• 32 слайд

  Для этого НЕОБХОДИМО научиться формулировать ГИПОТЕЗЫ и усвоить следующий алгоритм
  1.Пусть КРОКОДИЛ в квадратных скобках [] зависит от   (это не ошибка, это некие фантастические величины).
  
  2.Тогда их размерности , если записанная нами формула верна, могут быть представлены
  
  3.Пусть , а и
  4.Тогда их совокупность должна быть
  5.Упрощая к виду
  
  приравниваем показатели и получаем систему
  уравнений:
  Решив которую относительно x, y, z, получим
  необходимое нам уравнение.
  

• 33 слайд

  Главным в рассматриваемом алгоритме является последовательность шагов :
  
  Выдвигаем гипотезу.
  Выписываем размерности “аргументов”.
  Записываем “совокупность” (произведение) аргументов.
  Приравниваем произведение к .
  Составляем систему уравнений из показателей.
  Решаем систему.
  Найденные показатели распределяем по аргументам.
  Собираем из аргументов конечную формулу.