Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Геометрия Научные работыПубликация по геометрии на тему "Метод деления и дополнения"

Публикация по геометрии на тему "Метод деления и дополнения"

Титульный листОглавление

Сечения многогранников.

Введение.

В рамках школьного курса геометрии изучаются в основном три метода построения сечений в многогранниках: метод следов, метод вспомогательных сечений и комбинированный метод. Примеры приводятся обычно на трёх- или четырёхугольных призмах и пирамидах. Но что, если взять, например, пятиугольную призму или пирамиду и попробовать построить её сечение каким-либо другим способом, упрощающим построение сечения в данном многограннике?

В данной работе рассматривается построение сечений в многогранниках тремя методами: методом дополнения, методом деления и комбинированным методом. Методы дополнения и деления помогают построить сечения в многогранниках через точки, лежащие на рёбрах двух смежных боковых граней, и упрощают построение сечений в пятиугольных многогранниках.

Метод дополнения.

Данная призма (пирамида) достраивается до треугольной призмы (пирамиды), строится её сечение и достраивается искомое сечение, являющееся частью сечения треугольной призмы (пирамиды) (рис.1).

Рис.1 Построение сечений методом дополнения

1.Дана пятиугольная пирамида ABCDEF и три точки, принадлежащие искомому сечению данной пирамиды. Достраиваем пятиугольную пирамиду до треугольной. Проводим прямые через точки M, N и N, O. Через полученные точки пересечения NM и NO с рёбрами задней грани пирамиды GHF проводим прямую IJ и достраиваем точки пересечения этой прямой и рёбер задней грани пирамиды ABCDEF. Достраиваем искомое сечение MNOPQ.

2.Дана пятиугольная призма ABCDEA1B1C1D1E1 и три точки, принадлежащие искомому сечению данной призмы. Достраиваем пятиугольную призму до треугольной. Проводим прямые через точки M, N и N, O. Через полученные точки пересечения NM и NO с рёбрами задней грани треугольной призмы проводим прямую TU и достраиваем точки пересечения этой прямой и рёбер задней грани пятиугольной призмы. Достраиваем искомое сечение MNOPQ.

Метод деления.

Из данной призмы (пирамиды) выделяется та треугольная призма (пирамида), на боковых рёбрах которой лежат точки, принадлежащие искомому сечению; строится сечение этой треугольной призмы (пирамиды), затем строятся сечения треугольных призм (пирамид), имеющих общие части с первой треугольной призмой (пирамидой) (рис.2).


Рис.2 Построение сечений методом деления

1. Дана пятиугольная пирамида ABCDEF и три точки, принадлежащие искомому сечению данной пирамиды. Выделяем в данной пирамиде треугольную пирамиду BDCF и соединяем точки M и O, лежащие в задней грани этой треугольной пирамиды. Выделяем в пятиугольной пирамиде ещё две треугольных пирамиды ABCF и EDCF, имеющие общие части с пирамидой BCDF, и из точки F опускаем два луча на точки пересечения BD с CA и CE. Из точки N через точки пересечения MO с FG и FH проводим прямые NJ и NK и получаем точки пересечения этих прямых и рёбер задней грани пятиугольной пирамиды. Достраиваем искомое сечение MNOPQ.

2. Дана пятиугольная призма ABCDEA1B1C1D1E1 и три точки, принадлежащие искомому сечению данной призмы. Выделяем в данной призме треугольную призму BCDB1C1D1 и соединяем точки M и O, лежащие в задней грани этой треугольной призмы. Выделяем в пятиугольной призме ещё две треугольных призмы ABCA1B1C1 и EDCE1D1C1, имеющие общие части с призмой BCD B1C1D1, и через точки пересечения BD с AC и CE и B1D1 с A1C1 и С1E1 строим прямые RR1 и SS1. Из точки N через точки пересечения MO с RR1 и SS1 проводим прямые NT и NU и получаем точки пересечения этих прямых и рёбер задней грани пятиугольной призмы. Достраиваем искомое сечение MNOPQ.

Комбинированный метод.

Рассмотрев эти два метода, можно их объединить. Комбинированный метод помогает построить сечения в многогранниках, в основаниях которых лежат многоугольники с количеством углов больше пяти (рис.3).


Рис.3 Построение сечений комбинированным методом

1.Дана восьмиугольная пирамида и три точки, принадлежащие искомому сечению данной пирамиды. Выделяем в данной пирамиде пятиугольную пирамиду и в ней с помощью метода дополнения находим две точки, принадлежащие искомому сечению. Выделяем в восьмиугольной пирамиде треугольную, имеющую общие части с пятиугольной пирамидой, и с помощью метода деления находим ещё одну точку искомого сечения. Остальные две точки находим также с помощью метода деления. Достраиваем искомое сечение.

2.Дана восьмиугольная призма и три точки, принадлежащие искомому сечению данной призмы. В ней так же, как и в пирамиде, сначала находим две точки, принадлежащие искомому сечению, с помощью метода дополнения, выделив в восьмиугольной призме пятиугольную, и остальные две точки находим с помощью метода деления. Достраиваем искомое сечение.

Если сравнивать построение сечений методами, рассмотренными в данной работе, с самым простым из основных методов – методом следов, то в пирамиде при использовании методов дополнения и деления получается меньшее количество геометрических построений, чем при использовании метода следов, а в призме – большее. Если их сравнивать по площади места, занимаемого чертежом, то при использовании метода деления в пирамиде и призме, чертёж занимает меньше места, чем при построении сечений методами следов и дополнения (рис. 4,5).

Рис.4 Сравнение построения сечений методами дополнения, следов и деления в пирамиде


Рис.5 Сравнение построения сечений методами дополнения, следов и деления в призме


Заключение.

По результатам проведённого исследования можно сделать следующие выводы: если взять призму или пирамиду с тремя точками, лежащими на рёбрах двух смежных боковых граней и принадлежащими искомому сечению, то при данных заданных параметрах оптимальными методами построения искомого сечения будут являться методы дополнения и деления, так как при их использовании требуется меньшее количество геометрических построений в пирамиде, а при построении сечения методом деления и в призме, и в пирамиде чертёж занимает меньше пространства, чем при использовании самого простого метода из основных – метода следов.


Источники информации:



  • Свертков Е. «Построение сечений многогранников плоскостью» [Электронный ресурс]/ http://sc64.ucoz.ru/referat/21.pdf (дата обращения 15.03.2012)

  • Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Л. С. Киселёва, Э. Г. Позняк – Геометрия 10-11 класс, изд. «Просвещение», 2006, - 256 с.



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал
Скачать тест к материалу

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 499 769 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал
Скачать тест к материалу

Другие материалы

Методическая разработка по теме: "Перпендикулярность плоскостей.Параллелепипед."
  • Учебник: «Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
  • Тема: 23. Признак перпендикулярности двух плоскостей
«Геометрия. Учебник 10-11 класс », Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
  • 27.09.2020
  • 154

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    Скачать тест к материалу
    • 29.09.2020 108
    • DOCX 561.6 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Малафеева Оксана Юрьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    Малафеева Оксана Юрьевна
    Малафеева Оксана Юрьевна
    • На сайте: 1 год и 11 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 2379
    • Всего материалов: 6