Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Путешествие по геометрическим островам.

Путешествие по геометрическим островам.


  • Математика

Название документа Пейзаж 3.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Пейзаж 3. Геометрические иллюстрации тождеств и неравенств

Язык современной алгебры – творение европейских титанов мысли, таких, как Виет, Декарт и Паскаль. Древние греки не могли записать современной алгебраической нотацией даже простое тождество, как (a + b)2 + (ab)2 – 2(a2 + b2). Тем не менее с доказательством подобных тождеств они отлично справлялись. Примерно вот так:

hello_html_m245c57b5.png

А вот «моментальный снимок» доказательства еще одного классического алгебраического тождества:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)².

Зhello_html_me56fe9a.pnghello_html_3af581b5.pngдесь показан один квадрат со стороной 1, два квадрата со стороной 2, …, восемь квадратов со стороной 8. Все они аккуратно укладываются в квадрат со стороной 1 + 2 + … + 8. При этом перекрывающиеся части некоторых квадратов в точности равны непокрытым участкам. Мне кажется, что увидев один раз эту картинку, человек уже не способен забыть ни ее саму, ни то алгебраическое тождество, которое она иллюстрирует.

Еще один «островок» - картинка к геометрическому доказательству теоремы косинусов.

Здесь в круге построен прямоугольный треугольник, один из катетов которого делит диаметр круга на отрезки а + с и а + с. Сам этот катет делится диаметром на отрезки b и cos - b. Известная геометрическая теорема гласит, что произведения длин отрезков хорд равны, т. е.

b(2acos - b) = (a + c)(a – c),

откуда 2abcos - a² + b² - c². Может быть, это доказательство и не проще стандартного школьного, однако оно, несомненно, дарит возможность увидеть математический океан с новой точки зрения.

Название документа Путешествие по геометрическим островам.docx

Поделитесь материалом с коллегами:





Путешествие по геометрическим островам

http://img-fotki.yandex.ru/get/30/nanoworld.93/0_123bb_ecdd5c6e_orig.gif














Острова сыграли важную роль в истории математики от древности до наших дней. Архимед, величайший греческий математик, прожил всю жизнь в Сиракузах на острове Сицилия и умер, защищая свою родину от врагов. Другой великий геометр, Пифагор, родился и вырос на острове Самос. Еще один выдающийся грек – астроном и геометр Гиппократ был родом с Хиоса. Наверное, в зрелище бескрайнего моря и убегающего вдаль горизонта есть что – то располагающее к занятиям геометрией …

В прогулке по геометрическим островам неоценимую помощь мне оказали замечательные лоцманы – книга Роджера Нильса «Proofs without words», изданная в 1993 году Американской математической ассоциацией, и более поздние публикации этого же автора.

«Геометрические острова» - метафора, напоминающая о том, что человечество никогда не научилось бы строить океанические корабли, если бы бесценный опыт плавания на маленьких лодочках … От одного острова до другого, там небольшая передышка, и снова в путь … И в математике многие сложные теоремы оказываются вовсе не такими страшными, если двигаться в их освоении «от острова до острова», а «доплыв», не забывать осматриваться по сторонам и запоминать открывающиеся взору пейзажи.

Пейзаж 1. Вечная теорема Пифагора

Если судить об известности математических теорем по числу придуманных для них доказательств, то самым известным математическим фактом, несомненно, является теорема Пифагора. Число известных ее доказательств исчисляется сотнями. Вот одно из них, почти идеально иллюстрирующее сразу несколько красивых геометрических идей.

Как и в любых подлинно геометрических доказательствах, для понимания достаточно призыва «Смотри!», но … не будем ему следовать. На рисунке 1 показаны квадраты, построенные на катетах и гипотенузе прямоугольного треугольника. Поставим цель доказать равновеликость большего из них сумме двух меньших. Для этого мы сначала проведем в квадратах диагонали – и перейдем к треугольникам. Площадь каждого равна половине площади своего квадрата. Основная идея доказательства – сдвиг. Если нижнюю верхушку темного треугольника сдвинуть вправо по прямой, параллельной его горизонтальному основанию, то получится равновеликий ему треугольник (так как и высота, и основание у него не изменились).

hello_html_50134e3a.png

Следующий шаг доказательства – поворот вокруг вершины (рис. 2). Он, естественно, не меняет площади фигуры. Затем из вершины прямого угла опускаем высоту на гипотенузу и продолжаем ее дальше (заметим, что она идет параллельно стороне квадрата, построенного на гипотенузе). И еще один сдвиг вершины темного треугольника – вправо – вверх по поворотной линии.

hello_html_7adb9253.png

Ровно тоже самое повторяем с серым треугольником (рис. 3). В итоге получили, что квадрат, построенный на гипотенузе, разбит штриховой линией на два прямоугольника, а закрашенные части являются их половинками. Значит, сумма их площадей равна половине площади квадрата.

hello_html_446678b4.png

Вовсе не каждое доказательство теоремы Пифагора использует «островные» рассуждения. Вот другая версия, тоже очень геометричная и очень красивая.

Снова, казалось бы, хватает одного слова «Смотри!». Однако без аккуратных рассуждений все – таки совершенно непонятно, почему, например, квадратик в центре нижнего квадрата точно такой же, как квадрат, построенный на меньшем катете (рис. 4). А также почему части, на которые разрезан квадрат на большем катете, укладываются вдоль гипотенузы без наложений и зазоров. Оба этих «почему» достаточно просты, т. е. ответы на них могут быть получены чисто геометрически, без вычислений и алгебраических преобразований.

hello_html_m145b30e8.png

И еще один островок из моря Пифагоровых доказательств.

Здесь ключевой факт состоит в том, что шестиугольники ABCDEF и AKLMNB (рис. 5) делятся пополам своими диагоналями СЕ и КN соответственно, и эти их половинки равны: CAEF = KABN. Но один из этих шестиугольников составлен из двух треугольников (равных АВС) и двух квадратов катетов, а другой – из тех же двух треугольников и квадрата гипотенузы. Отсюда сразу следует утверждение теоремы Пифагора.




Пейзаж 2. Задача об укладке калиссонов

Калиссоны – французские печенья, любимое блюдо юга Франции. При фабричном изготовлении их обычно делают в овальных формочках, а калиссоны домашнего приготовления чаще всего напоминают ромбы (рис. 6).

https://encrypted-tbn1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQU9OvJoH16bnSWLxuJF_Mu02xM8j4esFtalY6f4AYxUThbfLmkBg

рис. 6


Задача о калиссонах формулируется просто. Представьте, что все эти ромбики имеют сторону 1, углы 60 и 120 и укладываются без зазоров в коробку, умеющую форму правильного шестиугольника со стороной n, причем так, что короткие диагонали ромбиков параллельны какой – либо из сторон шестиугольника (рис. 7).

Оказывается, что если эту укладку довести до конца, то число калиссонов каждой из трех возможных ориентаций будет одинаковым (рис. 8)! Доказательство на рисунке 9.

hello_html_m70860f66.png




Краткое описание документа:

Острова сыграли важную роль в истории математики от древности до наших дней. Архимед, величайший греческий математик, прожил всю жизнь в Сиракузах на острове Сицилия и умер, защищая свою родину от врагов. Другой великий геометр, Пифагор, родился и вырос на острове Самос. Еще один выдающийся грек – астроном и геометр Гиппократ был родом с Хиоса. Наверное, в зрелище бескрайнего моря и убегающего вдаль горизонта есть что – то располагающее к занятиям геометрией …

 

В прогулке по геометрическим островам неоценимую помощь мне оказали замечательные лоцманы – книга Роджера Нильса «Proofswithoutwords», изданная в 1993 году Американской математической ассоциацией, и более поздние публикации этого же автора.

Автор
Дата добавления 30.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров261
Номер материала 504398
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх