РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 11 КЛАССА «ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА, ИХ ОБОСНОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ»

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа №12 с углубленным изучением отдельных предметов» города Губкин Белгородской области

«Согласовано» Руководитель ШМО МАОУ «СОШ №12 с УИОП» ___________/Фёдорова Т. А./ Протокол №  5  от «  20  »     июня         2014г.

«Согласовано» Заместитель директора школы по НМР МАОУ «СОШ №12 с УИОП» ____________/Лазарева О.Н./ «  26  »   августа    2014г.

«Утверждаю» Директор МАОУ «СОШ №12 с УИОП» _____________/Псарёва Л.В./ Приказ №   145    от «  01  »   сентября     2014г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА 

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

 11  КЛАССА

«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА,

 ИХ ОБОСНОВАНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ»

учитель: Зуева Татьяна Николаевна

.

                                         2014- 2015 учебный год

                                                Пояснительная записка

Данная программа составлена на основе авторской программы Гомонова С.А. Элективные курсы по математике. Образовательная область «Математика». Министерство образовании РФ.

Предлагаемый курс предусматривает намеченные, но совершенно не проработанные в основном курсе школьной математике, вопросы. Он дополняет базовую программу по математике, позволяя учащимся пройти путь от способов доказательств несложных числовых неравенств,  до обоснования «замечательных» неравенств Коши – Буняковского, Чебышева и др.

            Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует межпредметные связи.

Материал предлагаемого курса даст возможность показать учащимся как красоту и совершенство, так и сложность и изощренность математических методов, порожденных не только алгеброй и математическим анализом, но и геометрией, и даже физикой.

Материал курса делится на два блока. В первом блоке излагаются наиболее распространенные приемы сравнения действительных чисел и установления истинности неравенств с переменной, а второй блок дает учащимся представление о применении неравенств при решении оптимизационных задач. Работа учащихся по этой программе предполагает их выход либо на первый уровень – ознакомление с основными методами и приемами получения и применения замечательных неравенств, либо на второй уровень, предполагающий усиление самостоятельной работы (в том числе и с дополнительными источниками) под руководством учителя, решение более сложных задач. Таким образом, материал может применяться для различных групп учащихся.

Программа рассчитана на 34 часа. При проведении занятий на первое место должны выйти такие организационные формы работы, как дискуссия («Какое доказательство лучше», «Многообразие метода подстановки» и т. д.), выступления с докладами (в частности, с отчетными докладами по результатам индивидуального домашнего задания, по результатам написания рефератов и др) или содокладами, дополняющими выступление учителя или ученика. Возможны и разные формы индивидуальной или групповой деятельности учащихся, например отчетные доклады по результатам самостоятельных «поисков» изучаемых вопросов на страницах сайтов в Интернете, книг, журналов.

Формой итогового контроля в зависимости от уровня усвоения изучаемого материала от уровня усвоения изучаемого материала может стать: решение учеником индивидуального домашнего задания, требовавшего проведения небольшого самостоятельного математического исследования; написание реферата на предложенные учителем темы.

Цель курса: изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование ( в той степени строгости, которая соответствует уровню школьной математики) методов их получения, а так же выход на приложения изученного теоретического материала.

Задачи курса:

- рассмотреть примеры на установление истинности числовых неравенств, встречающихся на экзаменах

- познакомить с основными методами решения задач на установление истинности неравенств с переменными;

- рассмотреть метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств;

- рассмотреть неравенство Коши для произвольного числа переменных и неравенство Коши – Буняковского и их применение к решению задач;

- дать представление о математике как общекультурной ценности на примерах применения неравенства в математической статистике, экономике, задач на оптимизацию;

- развивать навыки организации умственного труда и самообразования.

   Требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

- понятие «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства;

- основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их отношений с единицей, сравнение их степеней, сравнение их с промежуточным числом, метод использования «замечательных неравенств»;

- основные методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод использования тождеств, метод подстановки (введение новых переменных), метод оценивания (усиление и ослабления);

- схему применения метода математической индукции;

- неравенство Коши для произвольного числа переменных;

- соотношение Коши- Буняковского;

-средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- применять основные методы сравнения двух чисел;

-применять основные способы доказательства истинности неравенств с переменными;

- применять метод математической индукции для доказательства неравенств;

- применять неравенство Коши - Буняковского при n = 2 и n = 3;

-применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию.

                                 Календарно - тематическое планирование

№ п/п	Наименование разделов и тем	Кол-во часов	Формы учебной деятельности	Примерная дата
Часть I . Замечательные неравенства
1	Числовые неравенства и их свойства. Основные методы установления истинности числовых неравенств.	3	Самостоятельная работа с литературой, работа в группах, сообщения о выполнении инд. заданий.
2	Неравенства с переменными. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши.	3	Лекция учителя, работа в парах (группах) по отработке основных методов, сообщения в защиту одного из вариантов обоснования конкретного неравенства с переменной, доклады по работе над рефератами или инд. домашними заданиями.
3	Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.	4	Анализ математического текста (с применением мультимедиа), разбор и анализ решений, дискуссия «Какое из доказательств лучше и почему?» (различные доказательства неравенства Коши).
4	Неравенство Коши – Буняковского и его применение к решению задач. Неравенства подсказывают методы их обоснования.	2 1	Лекция учителя, разбор и анализ решений, доклады о применении неравенства Коши - Буняковского при решении уравнений; при нахождении наибольшего и наименьшего  значений функций; при доказательстве неравенств.
Часть II . Средние величины, их свойства и применение
5	Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношения между ними.	3	Самостоятельная работа с литературой, работа в группах, дискуссия по теме: «Сохранится ли соотношение между средними величинами, если входящие в них переменные будут принимать произвольные действительные значения?»
6	Применение неравенств. Геометрические интерпретации, круговые неравенства Неравенство Чебышева Неравенство Иенсона (выпуклые фигуры и функции) Исследование функции на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа Неравенства Коши-Гельдера и Минковского Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оптимизацию.	4 2 2 3        2 2 2	Поисковая деятельность, сообщения о решении задач на оптимизацию, работа над рефератами.
	Итоговый контроль по курсу	1	По выбору учителя.
	Итого	34

Содержание курса

Часть I. Замечательные неравенства.

Тема I. Числовые неравенства и их свойства. Основные методы установления истинности числовых неравенств.

            Понятие положительного, отрицательного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше», его геометрическая интерпретация. Понятие «меньше», « не больше» и  «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства. Сравнение двух чисел по «определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами, метод введения вспомогательной функции.

Тема II. Неравенства с переменными. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенство Коши.

            Неравенства с переменными. Неравенство – следствие, равносильное неравенство. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод подстановки, метод оценивания ( усиление или ослабление), метод использования тождества.

Тема III. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

            Индукция вообще и в математике в частности. Схема применения метода математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции, примеры. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

Тема IV. Неравенство Коши - Буняковского и его применение к решению задач.

            Теорема, устанавливающая соотношение Коши – Буняковского, геометрическая интерпретация этого неравенства. Векторный вариант  его записи для n = 2.

Часть II. Средние величины, их свойства и применение.

Тема V. Средние величины: в школьном курсе математике, физике. Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношения между ними в случае двух и более параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

Тема VI. Применение неравенств.

            Неравенства  в финансовой математике. Задачи на оптимизацию. Поиск наибольших и наименьших значений функций с помощью замечательных неравенств.

      Литература для учащихся.

1. Гомонов С.А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. М.: Дрофа, 2005.
2.  Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. М.: МЦНМО, 2002.
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по решению математических задач. М.: Просвещение, 1984.
4. Дорофеев Г.В. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1976.
5. Математика: Большой справочник для школьников. М.: Дрофа, 1998.

Литература для учителя.

1. Седракян Н.М., Авоян А.М. Неравенства. Методы доказательства. М.: Физматлит, 2002.
2. Петров В.А.. Прикладные задачи на уроках математике. Смоленск: Изд-во СГПУ, 2001.
3. Монахов В.М. и др. Методы оптимизации. Применение математических методов в экономике: Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978.

 Статьи журнала «Математика в школе».

4. Петров В.А. Элементы финансовой математики на уроке. № 8, 2002.
5. Вороной А.Н. Пять способов доказательства одного неравенства. № 4, 2000
6. Ярский. А.С. Как научить доказывать неравенства. № 1, 1997
7. Курляндчик Л.Д. Неравенство Коши. № 5, 1987.
8. Гальперин И.М., Габович И.Г. Использование векторного неравенства Коши- Буняковского при решении задач по алгебре. № 2, 1991.
9. Далингер В.А. Как сделать теорему о среднем арифметическом и средним геометрическом средством познания. № 9, 2003
10. Фирстова Н.И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств. № 1, 2002
11. Дорофеев Г.В. и др. Геометрические доказательства теоремы о средних: Курс по выбору «Избранные вопросы математики». № 10, 2003

 Статьи в приложении к газете «Первое сентября». «Математика»

12. Клостер Г. Метод математической индукции. № 23, 2003
13. Винокуровы Е. и Н. Экономика в задачах. № 34, 1998
14. Башарин Г.П. Элементы финансовой математики. № 16, 1996
15. Антонова Н, Солодовников С. Неравенство Коши о средних арифметическом и геометрическом. № 20, 1999.                          

Краткое описание документа:

Данная программа составлена на основе авторской программы Гомонова С.А. Элективные курсы по математике. Образовательная область «Математика». Министерство образовании РФ.

Предлагаемый курс предусматривает намеченные, но совершенно не проработанные в основном курсе школьной математике, вопросы. Он дополняет базовую программу по математике, позволяя учащимся пройти путь от способов доказательств несложных числовых неравенств,  до обоснования «замечательных» неравенств Коши – Буняковского, Чебышева и др.

            Неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни математическая статистика, ни экономика.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует межпредметные связи.

Материал предлагаемого курса даст возможность показать учащимся как красоту и совершенство, так и сложность и изощренность математических методов, порожденных не только алгеброй и математическим анализом, но и геометрией, и даже физикой.