Рабочая программа элективного курса "В мире уравнений"

Обсуждена и согласована на методическом совете Протокол № .. от «..» августа 2017г. Принята на педагогическом совете Протокол № 1 от « » августа 2017г.

УТВЕРЖДАЮ Приказ № от «  » августа 2017г. ______________________ Емельянова Т.В.

МКОУ Сортавальского МР РК СОШ№1

Рабочая программа элективного курса

по математике

основной общеобразовательной программы среднего общего образования

 10 класс

Разработчики:  Монахова Е.Ю. – учитель математики

Сортавала

2017

Пояснительная записка

          Элективный курс «В мире уравнений» позволяет осуществлять задачи профильной подготовки старшеклассников. Курс рассчитан на 20 часов и ориентирован на учащихся 10 классов.
        Данный элективный курс направлен на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приёмах решения уравнений. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу базового  изучения алгебры. При изучении данного элективного курса у старшеклассников появится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы  в математическом образовании. Элективный курс «В мире уравнений»  может научить  учащихся применять свои умения в нестандартных ситуациях, дать возможность  для реализации  последующих жизненных планов.
         Целесообразность введения данного элективного курса состоит и в том, что содержание курса и форма его организации помогут ученику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей. Элективный  курс «В мире уравнений» позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла.
         Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности прогнозирования результатов деятельности.
         Материал курса «В мире уравнений» состоит из 5 блоков, каждый из которых посвящен специальному виду  уравнений и неравенств.

        Цель курса : углубление знаний учащихся о различных методах решения     уравнений ,  базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения; формирование у школьников   компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

                                      Задачи курса:

–      классифицировать способы решения  уравнений,

–      углубить  теоретические основы школьной математики для решения каждого вида уравнений;

–      познакомить учащихся с разными типами уравнений; их особенностями и различными способами их решения;

–      приобщить учащихся к работе с математической литературой;

–      создать условия для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности; повысить уровень математической подготовки выпускника основной школы.

 

 

 

Учебно-тематический планирование:

№	Тема	Количество часов
1	Алгебраические уравнения	6
2	Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля	4
3	Дробно-рациональные уравнения	2
4	Иррациональные уравнения	4
5	Тригонометрические уравнения	4

                                                       Содержание курса

Тема 1. «Алгебраические уравнения»

Основные понятия, относящиеся к уравнениям. Разложение многочлена на множители. Вынесение общего множителя, применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата. Группировка. Метод неопределенных коэффициентов. Подбор корня по его старшему и свободному коэффициентам. Метод введения новой переменной. Симметрические и возвратные уравнения. Применение свойств функций

Тема 2. «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля»

Понятие  модуля действительного числа. Равносильные преобразования. Метод промежутков. Применение геометрического смысла модуля.

Тема 3. «Дробно-рациональные уравнения»

Алгебраические преобразования. Замена переменной. Применение свойств функции.

Тема 4 «Иррациональные уравнения»

Алгебраические преобразования. Замена переменной. Применение свойств функций.

Тема 5. «Тригонометрические уравнения»

Преобразования тригонометрических уравнений. Отбор корней в тригонометрических уравнениях. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

ЛИТЕРАТУРА:

1.       С.Н Олехник, П.И. Пасиченко, М.К. Потапов Задачи по математике. Уравнения и неравенства. Москва, «Экзамен»,1998.

2.      М.К. Потапов и др. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Москва, изд. МГУ, 1991.

3.      С.А.Шестаков, П.И.Захаров  «Уравнения и системы уравнений». Москва изд. МЦНМО, 2017

Методические рекомендации по содержанию

и       проведению занятий.

                    ТЕМА 1. Алгебраические уравнения.

Определение 1. Уравнение  f(x) = g(x), где функции f(x)  и g(x) заданы целыми рациональными выражениями, называют целым рациональным уравнением.

     О.Д.З. этого уравнения – множество всех действительных чисел.Т.к. любое целое рациональное выражение с помощью тождественных преобразований можно представить в виде многочлена , то данное уравнение равносильно уравнению Р(х) = Q(X), где  Р(х) и Q(x)– некоторые многочлены с одной переменной х.Перенося  Q(x)  в левую часть, получим равносильное уравнение Р(х) – Q(x) = 0.

 Степень многочлена, стоящего в левой части уравнения, называют степенью целого рационального уравнения .Решение целого рационального уравнения сводится к нахождению корней многочлена, стоящего в левой части уравнения. Многочлен степени  n  не может иметь более, чем n  различных корней, поэтому всякое целое рациональное уравнение степени  n  имеет не более  n  корней.

    Нам известны формулы нахождения корней линейных и квадратных уравнений. Процесс решения других уравнений заключается в сведении данного уравнения к вышеназванным уравнениям. Для этого применяют два основных метода : 1) разложение на множители, 2) введение новой переменной.

1). Метод разложения на множители.

 Теорема 1. Уравнение   f(x) × g(x) = 0 определенное на всей числовой оси, равносильно совокупности уравнений  f(x) = 0  и g(x) = 0.

    Согласно теореме 1 решение уравнений тесно связано с разложением его левой части на множители. Этот метод позволяет свести решение целого уравнения степени n  к решению целых уравнений меньшей степени.

ПРИМЕР 1. Решить уравнение  2х³ – 3х² – 8х + 12 =0

Решение: Разложим многочлен, стоящий в левой части, на множители методом группировки:

 2х³ – 3х² – 8х + 12 = х²( 2х-3)- 4(2х – 3) = ( 2х – 3)( х² -4).

Тогда исходное уравнение равносильно уравнению (2х–3)(х²-4) =0, которое по теореме1 равносильно совокупности уравнений 2х – 3 =0  и х² – 4 =0. Решая их, получим : х₁= 1,5, х₂ = 2, х₃ = - 2.

Ответ : -2 ; 1,5 ; 2.

ТЕОРЕМА 2. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена этого уравнения.

Теорема 3. Если  х=a - решение уравнения   f(x) = 0,

 то f(x)=( x-a)× f₁(x).

Данное  уравнение равносильно совокупности х=a и f₁(x)=0, где f₁(x)=0 – уравнение степени n-1, т.е. более низкой степени.

ПРИМЕР 2. Решить уравнение х⁵ – 4х⁴ – 3х² + 25х – 6 =0.

Решение. Старший коэффициент равен 1. Следовательно, все рациональные корни являются целыми числами и делителями свободного члена. Итак, только среди чисел -1; 1; -2; 2; -3; 3; -6; 6 могут быть рациональные корни уравнения. Проверку на достаточность будем проводить по схеме Горнера.

a	1	-4	0	-3	25	-6	Вывод
1	1	-3	-3	-6	19	13	F(1)=13≠0, a=1 – не корень
2	1	-2	-4	-11	3	0	F(1)=0, a=2 – корень

Следовательно,   F(x)=(x-2)F₁(x),    где F₁(x)= x⁴ – 2x³ – 4x² – 11x + 3

 Теперь найдем  целые корни  многочлена F₁(x).

 Делителями свободного члена являются -1; 1; -3; 3. Число  a = 1 не может быть корнем

 F₁ (x)=0, так как  a=1  не является корнем F(x)=0. Поэтому осталось проверить, являются ли корнями уравнения числа  -1; -3; 3 по схеме Горнера.

a	1	-2	-4	-11	3		Вывод
- 1	1	-3	-1	-10	13		F(-1)=13≠0, a=-1 – не корень
3	1	1	-1	-14	-39		F(3)=-39 ≠0, a=3 – не корень
-3	1	-5	11	-44	¹0	F(-3) ≠0, a= -3 – не корень

Ответ: уравнение имеет единственный  рациональный корень х = 2.

ПРИМЕР 3. Решить уравнение х⁴ – 4х³ – 13х² + 28х +12 =0.

Решение. Делителями свободного члена являются

                  - 1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -6, 6, -12, 12.

По схеме Горнера проверим, нет ли среди этих чисел корней данного уравнения.

a	1	-4	-13	28	12	Вывод
1	1	-3	-16	12	24≠0	Х=1 – не корень
2	1	-2	- 17	-6	0	Х=2 – корень
3	1	-1	-16	-20	≠0	Х=3 – не корень
-3	1	-5	-2	0		Х=-3 – корень

 Данное уравнение представим в виде : (х-1)(х+3)( х² - 5х -2 ) =0.

Отсюда следует, что х₁=2, х₂=-3, х_з=, х₄= .

ОТВЕТ:  х₁=2, х₂=-3, х_з=, х₄= .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

 Решить следующие уравнения :

1.                       х⁴ – 8х – 57 =0                             4. х³ – х² -8х + 12 =0

2.                       х³ + 2х² + 3х =6                           5. х³ –9 х² + 27х - 27 =0

3.                       х⁴ + 2х³ – 25 х² – 26х = -120         6. х⁴ + 2х³ – 16х² - 2х + 15 =0.

2). МЕТОД ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ.

Метод введения новой переменной заключается в том, что для решения уравнения f(x)=0 вводят новую переменную у= q(x) и выражают f(x)  через у, получая новое уравнение, решив которое, возвращаются к исходной переменной.

ПРИМЕР 4.  Решить уравнение  ( 3х +2)⁴ – 13(3х+2)² +36 = 0.

Решение. Полагая у= (3х+2)² , получим уравнение

                  У² – 13у +36 =0

Находим его корни: у₁= 4, у₂= 9, и решаем уравнения

                                      ( 3х +2)² = 4    и   ( 3х +2)² = 9

получаем ответ : х_{1 =} 0, х₂ = -, х₃ = , х₄ = - .

ПРИМЕР 5. Решить уравнение   ( х+1)(х+2)(х+3)(х+4) = 24

   Решение. Раскроем скобки, группируя первый множитель с последним, а второй с третьим: ( х² + 5х + 4)(  х² + 5х + 6) = 24.

Полагая    х² + 5х  = у, получим уравнение второй степени ( у+4)(у+96)=24,решая которое, получим уравнение у² +10у =0, откуда у=0 или у= -10. Возвращаясь к исходной переменной х , получим два уравнения :

 х² + 5х = 0         и      х² + 5х = -10.

Первое уравнение имеет корни 0 и -5, второе – корней не имеет, так как его дискриминант D<0.

  ОТВЕТ: -5 ; 0. 

    Рассмотренный прием применим в общем случае к решению уравнений вида

     ( х+а)(х+в)(х+с)(х+d)= A, если   а+d = в+с или имеется равенство сумм других пар этих чисел.

     При решении многих уравнений трудно угадать, какую новую переменную нужно ввести, чтобы упростить уравнение. Поэтому рассматривают различные  виды целых рациональных уравнений, для упрощения которых известна подстановка.

К таким уравнениям относятся возвратные уравнения, симметрические уравнения, однородные уравнения.

Возвратные уравнения четвертой степени имеют вид:   

   ах⁴ + вх³ + сх² +вх + а =0.

Введением новой переменной  у= х +  это уравнение приводится к квадратному.

Аналогично, вводя новую переменную   у = х +  , можно упрощать уравнения вида

ах⁴ + вх³ + сх² +kвх + k²а =0. Такие уравнения называют обобщенными возвратными уравнениями четвертой степени.

ПРИМЕР 6.  Решить урвнение    3х⁴ -2х³ + 4х² -4х + 12 =0

Решение. Это  обобщенное возвратное уравнение четвертой степени  при к=2, т.к.3х⁴  -  2х³ + 4х² - 2∙2х + 3∙2²  =0.

 Так как х=0 не является корнем этого уравнения, то разделим обе части уравнения на х² ≠0  и сгруппируем равноотстоящие от концов члены уравнения

                                 ( 3х² + ) – ( 2х + ) + 4 =0,

                                  3(х² + ) – 2 (х + ) + 4 =0,

Положим   (х + ) =у, тогда (х + )² =у², а потому          х² + = у² – 4, подставим в уравнение, получим квадратное уравнение : 3(у²-4) – 2у + 4 =0, откуда находим корни

 у₁ = 2, у₂ =-.

 Теперь задача свелась к совокупности уравнений : 

                 х +  = 2,  х +  =- .

 Эти уравнения не имеют действительных корней, а , значит, и заданное уравнение не имеет корней.

  ОТВЕТ : корней нет.

Возвратное уравнение пятой степени имеет вид : ах⁵ + вх⁴ +сх³ + сх² + вх + а =0,

Шестой степени : ах⁶ + вх⁵ + сх⁴ + dx³ +cx² +вх + а =0 и т.д.

Леонард Эйлер ( 1707-1783) доказал, что любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень  -1  и после деления такого уравнения на  х+1  получается уравнение четной степени, которое тоже будет возвратным. Им же доказано, что каждое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем  х=a содержит и корень  х = . 

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ.  Уравнение вида Р (u,v )=0  называется однородным уравнением степени  k  относительно  u  и v , если  Р(u,v) –однородный многочлен степени  k. Однородные уравнение степени  k  относительно u  и v Обладает тем свойством, что если разделить все члены уравнения на k-ю степень одной из переменных, то оно превращается в уравнение степени  k  с одной переменной.

ПРИМЕР 7. Решить уравнение 

                  ( х² + х + 1)³ + 2х⁴ ( х² + х +1) – 3х⁶ =0

Решение. Введем новые переменные u= х² + х + 1, v= х² , получим однородное уравнение u³ + 2uv² 3v³ =0. Проверив, что х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим полученное уравнение на   v³=x⁶.

Получим уравнение  (  )³   + 2 () -3 =0.

Положим у=, решим уравнение  у³ +2у – 3 =0.

Легко видеть, что у=1 – корень , поэтому, разделив многочлен

 у³ +2у – 3  на  (у-1), перейдем к равносильному уравнению

(у-1)(у²+у +3 ) =0, которое имеет единственный действительный корень у=1.

Значит , осталось решить уравнение    =1.

Решая это уравнение, находим единственный корень х=1.

ОТВЕТ: 1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

  Решить уравнения:

1.х³ -3х² – 3х +1=0                        2.  ( х +1)(х +3)(х +5)(х +7) =-15

3.х⁴ – 3х² +2 =0                             4. 2( х² +х +1)² – 7 (х -1)² = 13(х³ – 1)

5.х⁴ +4х³ – х² -16х – 12 =0     

6. х⁴ -5х³ + 10х² – 10х + 4 =0

7. ( х²  + х)² + 4(х² +х) -12 =0

8. ( х +5)⁴ – 13 х²(х + 5)² + 36 х⁴ =0

ТЕМА 2 УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ.

1.      1.      2.      3.

4.                  5.                  6.

           ТЕМА 3. ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Уравнение с одной переменной  f(x)=g(x), где  f(x) и  g(x) – рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь, называется дробно-рациональным.

Всякое дробно-рациональное  уравнение можно представить в виде =0.

Если  для всех действительных х  многочлен  Q(x) ¹0, то,  учитывая, что дробь равна 0 лишь в том случае , когда ее числитель равен 0, переходим к равносильному целому рациональному уравнению  Р(х)=0, найдя все корни которого, мы найдем и корни исходного уравнения.

Если же при некоторых значениях  х  Q(x)=0 , то уравнение Р(х)=0 является лишь следствием данного уравнения, поэтому все его корни надо подставить в многочлен Q(x) и отбросить те корни, для которых Q(x)=0.

Итак, всякое дробно-рациональное уравнение можно свести к целому рациональному уравнению. Однако не всегда это нужно делать сразу. В некоторых случаях целесообразно вначале применить метод разложения на множители или замены переменной.

ПРИМЕР 9. Решить уравнение:  

РЕШЕНИЕ. В обеих частях уравнения неправильные рациональные дроби. Выделим вначале целые части в каждой из дробей и затем перенесем все члены в левую часть:

        х²+х -1 + ;             = х²+х – 5 +

Следовательно, исходное уравнение равносильно уравнению:

                     х²+х -1 + = х²+х – 5 + .

Перенося все члены в левую часть, получим равносильное уравнение

                                4 + =0,

решая которое находим корни  х₁=-1, х₂=0,25. Так как при этих значениях  знаменатель дроби не обращается в ноль, то эти значения х являются корнями исходного уравнения.

ОТВЕТ: -1 ; 0,25.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.

Решите уравнения:

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

ТЕМА 4. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Домашняя контрольная работа:

1.      2.      3.      4.      5.

6.      7.