Рабочая программа элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лянторская средняя общеобразовательная школа №7»

РАССМОТРЕНО: СОГЛАСОВАНО: УТВЕРЖДАЮ:

на заседании МО Зам.директора МАОУ Директор МАОУ

протокол № _____ «Лянторская СОШ №7» «Лянторская СОШ №7»

от « » 2015г. __________ С.Н. Головчанская _________ Е. С. Шерстюк

______________ от «_ _» _2015 г. Приказ №______

от « » 2015г

Рабочая программа

ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА: СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ»

11 класс

Автор составитель: Ковтюх М.К., учитель математики

2015-2016 учебный год

1. Пояснительная записка

Рабочая программа элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения» разработана в соответствии с Федеральным компонентом государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования, утверждѐнным приказом Минобразования РФ от 05.03.2004 г. № 1089 «Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»; Примерной программой среднего (полного) общего образования по математике (профильный уровень), допущенная Департаментом общего образования Министерства образования и науки Российской Федерации, Положением о порядке разработки, утверждения и структуре рабочих программ учебных предметов в МАОУ «Лянторская СОШ № 7», основной образовательной программой среднего общего образования МАОУ «Лянторская СОШ№7» на 2015 – 2017 года, методическими рекомендациями к элективному курсу С.А. Гомонова «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения». 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Москва. Дрофа 2006 г.

Актуальность программы заключается в том, что она создает условия для развития познавательных способностей обучающихся через освоение основных приёмов решения уравнений и неравенств: линейных, квадратных, тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных. Обучение методам решения уравнений и неравенств традиционно является важнейшей частью школьного курса математики. При решении уравнений и неравенств помимо технических приходится преодолевать и логические трудности и в частности отвечать на вопрос, почему выполненные преобразования не приводят к потере корней или приобретению посторонних корней.

Новизной программы является то, что данный курс помимо теоретических сведений, необходимых для решения уравнений и неравенств, содержит интересные и красивые задачи, освещает методы и способы решения уравнений и неравенств, выходящих за рамки Примерной программы среднего (полного) общего образования по математике (профильный уровень), обеспечивающей реализацию федерального компонента государственного образовательного стандарта по математике.

1. Общая характеристика элективного курса.

Основная цель данного курса: изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование (в той степени строгости, которая соответствует уровню базового уровня математики) методов их получения, а также выход на практические приложения изученного материала. Такими вначале будут решения примеров на установление истинности простейших числовых неравенств, а к завершению усвоения курса – рассуждения, требующие уметь находить неравенства, помогающие справиться с данным конкретным заданием.

Данная цель курса реализуется посредством решения следующих задач:

• расширить знания учащихся по теме «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»;

• формировать умение планировать свою деятельность;

• развить навыки анализа и самоанализа;

• содействовать формированию у учащихся математической грамотности;

• расширить представления о профессиональных областях человеческой деятельности.

Поставленные задачи в рамках развития познавательной деятельности учащихся и создании условий для повышения качества образования через предмет «математика» соответствуют принципам образовательной политики в Российской Федерации, концептуальным основам стратегии развития образования в России и в ХМАО-Югре, п.2 национальной образовательной инициативы «Наша новая школа».

3. Описание места элективного курса в учебном плане.

В соответствии с учебным планом МАОУ «Лянторская СОШ № 7» на 2015-2016 учебный год на изучение элективного курса отводится 1 недельный час, 35 часов за год.

Рабочая программа составлена с учётом контингента класса и в соответствии с принципом минимакса. Принцип минимакса заключается в следующем: школа должна предложить учащемуся возможность освоения содержания образования на максимальном для него уровне (определяемом зоной ближайшего развития возрастной группы) и обеспечить при этом его усвоение на уровне социально безопасного минимума (федерального компонента государственного образовательного стандарта). Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до заданий повышенной сложности. Разнообразный дидактический материал даёт возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия направлены на развитие познавательного интереса учащихся к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

4. Общеучебные умения и навыки, предметные результаты

освоения элективного курса.

Педагогическим инструментом реализации поставленных целей в данном курсе является системно - деятельностный подход.

Основные результаты освоения данного элективного курса.

Общеучебные умения и навыки:

• сформированная мотивация учащихся к изучению математики;

• сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;

• сформированность основ саморазвития и самовоспитания в соответствии с общечеловеческими нравственными ценностями и идеалами российского гражданского общества; готовность и способность к самостоятельной, творческой и ответственной деятельности (образовательной, учебно-исследовательской, проектной, коммуникативной, иной);

• готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности;

• осознанный выбор будущей профессии на основе понимания еѐ ценностного содержания и возможностей реализации собственных жизненных планов.

Предметные результаты

Учащиеся должны знать:

- понятие «больше», «меньше», «не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства;

- основные методы сравнения двух чисел: «по определению», сравнение их отношений с единицей, сравнение их степеней, сравнение их с промежуточным числом, метод использования «замечательных неравенств»;

- основные методы установления истинности неравенств с переменными: метод анализа, метод синтеза, метод «от противного», метод использования тождеств, метод подстановки (введение новых переменных), метод оценивания (усиление и ослабления);

- схему применения метода математической индукции;

- неравенство Коши для произвольного числа переменных;

- соотношение Коши-Буняковского;

-средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое двух положительных чисел, их геометрическое интерпретация.

В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- применять основные методы сравнения двух чисел;

-применять основные способы доказательства истинности неравенств с переменными;

-применять метод математической индукции для доказательства неравенств;

- применять неравенство Коши - Буняковского при n = 2 и n = 3;

-применять замечательные неравенства для нахождения наибольшего и наименьшего значений функций, решения несложных задач на оптимизацию.

5. Используемые типы уроков, технологии, методы и средства обучения, современные оценочные средства.

Разбиение учебного процесса на уроки разных типов в соответствии с ведущими целями не должно разрушать его непрерывности, а значит, необходимо обеспечить инвариантность технологии обучения. Поэтому при построении технологии организации уроков разных типов должен сохраняться деятельностный метод обучения и обеспечиваться соответствующая ему система дидактических принципов как основа для построения структуры и условий взаимодействия между учителем и учеником.

Типология уроков.

Уроки деятельностной направленности по целеполаганию можно распределить на четыре группы.

Уроки «открытия» нового знания. Цель: решение учебной задачи (устная задача) и обсуждение проекта её решения. Уроки рефлексии.  Основные цели: формирование способностей к коррекции собственных затруднений на основе алгоритма рефлексивного мышления, повторение и закрепление учебного материала. Уроки общеметодологической направленности. Цель: способность структурировать и систематизировать изучаемое предметное содержание, обобщение и выявление теоретических основ линий курсов. Уроки развивающего контроля. Предполагают организацию деятельности учащихся в соответствии со следующей структурой: написание учащимися варианта контрольной работы, сопоставление с объективно обоснованным эталоном выполнения этой работы, оценка учащимися результата сопоставления в соответствии с ранее установленными критериями.

Основные формы обучения:

проблемная лекция (учащиеся получают теоретических сведения, необходимые для решения уравнений и неравенств);

практикум (способствует приобретению практических навыков решения уравнений и неравенств, обеспечивает умение анализировать, выделять сущности и отношения, описывать планы действий и делать логические выводы);

самостоятельная работа (способствует развитию навыков познавательной деятельности, анализа и самоанализа).

Педагогические технологии: технология деятельностного метода, метод исследования. Применяются технологии индивидуального, индивидуально-группового, группового и коллективного способа обучения, технологии уровневой дифференциации, развивающего обучения и воспитания. Усвоение учебного материала реализуется с применением основных групп методов обучения и их сочетания:

- методами организации и осуществления учебно-познавательной деятельности: словесных (рассказ, учебная лекция, беседа), наглядных (иллюстрационных и демонстративных), практических, проблемно-поисковых под руководством преподавателя и самостоятельной работой учащихся;

- методами стимулирования и мотивации учебной деятельности: познавательных игр, деловых игр;

- методами контроля и самоконтроля за эффективностью учебной деятельности: индивидуального опроса, фронтального опроса, выборочного контроля, письменных работ.

Применяются онлайн-тестирование для обучающихся в системе Статград, на сайтах Решу ЕГЭ, Алекс Ларин.

Система оценивания учебных достижений учащихся по результатам выполнения практических и самостоятельных работ производится в следующих формах:

текущий рефлексивный самоанализ, контроль и самооценка учащимися выполняемых заданий;

взаимооценка учащимися работ друг друга или работ, выполненных в группах;

текущая диагностика и оценка учителем деятельности учащихся;

итоговая оценка индивидуальной деятельности учащегося, выполняемая в форме зачета или незачета, проект.

Формами проведения промежуточной аттестации по итогам учебного года являются зачетная работа, защита проекта (на выбор учащегося).

6. Содержание элективного курса «Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения»

     1. Числовые неравенства и их свойства

     Понятие положительного и отрицательного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и  свойства. Понятия «меньше», « не больше», «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

     2. Основные методы установления истинности числовых неравенств с переменными.

     Сравнение двух чисел – значений числовых выражений « по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств.

     3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

     Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применение. Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Равносильные задачи на доказательство или опровержение неравенств. Методы установление истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод усиления и ослабления, метод подстановки, метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод понижения степеней выражений, образующих левую и правую части неравенств.

     4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных.

    Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом  Дж. Пеано. Схема применения принципа математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения  разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью  или отношением двух членов другой последовательности. Примеры. Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Некоторые неравенства, эквивалентные неравенству Коши.

     5. Неравенство Коши - Буняковского и его применение для решения задач.

     Формулировка и обоснование теоремы, устанавливающей соотношение Коши - Буняковского  и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Геометрическая интерпретация неравенства Коши - Буняковского.  Векторный  вариант записи этого неравенства.

     6. Неравенства подсказывают методы их обоснования.

     Метод Штурма. Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенств. Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

     7. Средние степенные величины.

     Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних». Среднее арифметическое, среднее геометрическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

     8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

     Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной  последовательности. Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского.

     9. Генераторы замечательных неравенств.

     Свойства квадратичной функции – источник простейших неравенств. Неравенство треугольника. Свойства одномонотонных последовательностей – источник замечательных неравенств. Неравенство Иенсона.

     10. Применение неравенств.

     Задача Дидоны (упрощенный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств.

7. Примерное учебно-тематическое планирование.

/35 часов/

№

Тема

Учебное время

Лекция

Семинар, практическое занятие

Часть I.Замечательные неравенства (10+6)

1.

Числовые неравенства

2

1

2.

Основные методы установления истинности числовых неравенств.

1

1

3.

Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенств Коши, их обоснование и применение.

2

1

4.

Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств. Неравенства Коши для произвольного числа переменных.

2

1

5.

Неравенства Коши-Буняковского и его применение к решению задач.

2

1

6.

Неравенства подсказывают методы их обоснования.

1

1

Часть II. Средние величины: их свойства и применение (14+5)

7.

Средние степенные величины, соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств.

1. Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое в случае двух параметров.

2. Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.

3. Симметрические средние. Круговые неравенства.

4. Среднее арифметическое взвешенное и его свойства.

5. Средние степенные и средние взвешенные степенные.

1

1

1

1

1

1

1

1

8.

Неравенство Чебышева.Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности;

1. Неравества, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши-Буняковского

1

1

-

-

9.

Генераторы замечательных неравенств.

1. Мы с ними уже встречались: свойства квадратичной функции; геометрические модели.

2. Свойства одномонотонных последовательностей – источник замечательных неравенств.

3. Неравенство Иенсона( выпуклые фигуры и выпуклые функции, свойства центра масс конечной системы материальных точек).

4. Исследование функции на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа. Неравенства Коши-Гельдера и Минковского.

1

1

1

1

1

-

-

1

10.

Применение неравенств.

1. Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оптимизацию.

2. Поиск наибольших и наименьших значений функций с помощью замечательных неравенств. Итоговая контрольная работа.

1

1

-

1

ИТОГО:

24

11

8. Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательного процесса.

1. Гомонов С. А. Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Учебное пособие: Москва. Дрофа 2006.

2. Гомонов С. А. Методические рекомендации к элективному курсу Замечательные неравенства: способы получения и примеры применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы. Москва. Дрофа 2006.

3. Ким Н. А. Неравенства: через тернии к успеху. Элективный курс. Алгебра 10 – 11 классы./ Волгоград: ИТД «Корифей». 2007г.

4. Каспржак А.Г.Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика». Министерство образования РФ.- Национальный фонд подготовки кадров.- М.: Вита-Пресс, 2004

5. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1991.

6. Сканави М.И., Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование, Альянс-В, 2001.

7. Чеботарева Л.А. Задачи с параметрами / Л.А. Чеботарева // Профильная школа. – 2007. – №2.

Интернет-ресурсы:

- Федеральный институт педагогических измерений (ФИПИ) www.fipi.ru - Сайт газеты «Математика» http://mat.1september.ru

- Единая коллекция образовательных ресурсов http://school-collection.edu.ru - Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов ФЦИОР http://fcior.edu.ru/ - МО и Н РФ www.edu.ru

- http://alexlarin.net/ - Сайт Ларина Александра

Цифровые образовательные ресурсы учителя (презентации, иллюстрации и др.)

Технические средства обучения: экспозиционный экран, персональный компьютер, мультимедийный проектор, компьютер.

Использование современных педагогических технологий и реализации современных образовательных программ позволит развивать базовые способности учащихся. Поступательная модернизация региональной системы образования позволит целенаправленно формировать человеческий капитал округа, исходя из необходимости обеспечения инновационного развития экономики Югры и её конкурентоспособности.