Рабочая программа по алгебре 8 класс Макарычев 2015/2016 год

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 127

Октябрьского района городского округа город Уфа

Республики Башкортостан

СОГЛАСОВАНО Зам. директора по УВР _________ Л.В.Касюк «____»____________ 2015 г.

УТВЕРЖДАЮ              Директор МБОУ СОШ №127 ___________Р.М.Хайруллина       Приказ №_________ От «____»______________ 2015 г.

Рабочая программа учебного предмета

«Алгебра» 8 «Б»класс

Разработана

Бикметовой Т.Н.                                                                                     Учителем математики                                                                        

РАССМОТРЕНО

На заседании ШМО учителей  математики

Протокол №____ от «__»_______ 2015 г.

Руководитель ШМО

 ______ / М.Н. Алмаева/

Уфа – 2015

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа составлена на основе Примерной программы основного общего образо­вания по математике: Рабочая программа составлена  на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования второго поколения, утвержденного приказом Министерства Образования и Науки Российской Федерации № 373 от 06.10.2009г., в соответствии с действующими СанПин 2.4.2-2821-10 (зарег. в Минюсте России 03.03.2011г.), требованиями  основной образовательной программы  НОО  МБОУ  СОШ №127 и ориентирована на работу по учебно-методическому комплекту «Школа 2100» Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы. Авторы программы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова. 3-е изд. М.: Просвещение, 2010

Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам курса. Выполняет две основные функции.

Информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета.

Организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов, в том числе для содержательного наполнения промежуточной аттестации учащихся.

В настоящей рабочей программе на изучение алгебры предусмотрено 4 часа в неделю, всего 136 часов.

Общеучебные умения, навыки и способы деятельности.

В ходе преподавания математики в основной школе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:

·         планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;

·         решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;

·         исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;

·         ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации;

·         проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;

·         поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

В ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

·      развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;

·      овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических задач;

·      изучить свойства и графики линейных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

·      развить представления об основных фигурах на плоскости и изобразительные умения, освоить некоторые факты и методы планиметрии;

·      развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

·      сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

·                овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

·                интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;

·                формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

·                воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Основные развивающие и воспитательные цели

Развитие:

·                Ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей;

·                Математической речи;

·                Сенсорной сферы; двигательной моторики;

·                Внимания; памяти;

·                Навыков само и взаимопроверки.

Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов.

Воспитание:

·                Культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса;

·                Волевых качеств;

·                Коммуникабельности;

·                Ответственности.

Основные цели курса алгебры:

-овладение математическими знаниями, необходимыми для изучения физики, химии и для продолжения образования;

-развитие интереса к алгебре, формирование любознательности;

-развитие индивидуальных способностей, творческой активности, умения выбирать пути решения задач;

-подведение к пониманию значимости математики в развитии общества.

Задачи обучения:

-развитие и углубление вычислительных навыков и умений до уровня, позволяющего уверенно применять знания при решении задач математики, физики и химии:

-ввести понятие функции и научить правильно применять знания о функции в старших классах;

-систематизировать и обобщить сведения о преобразовании выражений, решении линейных уравнений;

-изучить формулы умножения и научить уверенно, применять эти формулы при преобразовании выражений и решении уравнений;

-научить решать системы уравнений и текстовые задачи с помощью систем;

-ввести понятие степени с натуральным показателем и научить упрощать выражения со степенями, находить значения выражений со степенями.

-изучить начальный курс статистики и теории вероятностей.

СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ (АЛГЕБРА)

1.Рациональные дроби и их свойства (23 часа).

Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Преобразования рациональных выражений. Функция у = к/х и ее график.

Основная цель - выработать умение выполнять тождественные преобразования рациональных выражений.

Знать:

- основное свойство дроби;

- знать правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми и разными знаменателями;

- знать правила умножения и деления дробей.

Уметь:

-уметь находить допустимые значения переменной;

-уметь сокращать дроби после разложения на множители числителя и знаменателя;

- выполнять действия с алгебраическими дробями;

- упрощать выражения с алгебраическими дробями;

-строить график обратно пропорциональной функции и работать с ним.

2.Квадратные корни (18 часов).

Понятие об иррациональном числе. Общие сведения о действительных числах. Квадратный корень, приближенное значение квадратного корня. Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Функция у =  , ее свойства и график.

Основная цель -  систематизировать сведения о рациональных числах и дать представление об иррациональных числах и дать представление об иррациональных числах, расширив тем самым понятие числа; выработать умение выполнять простейшие  преобразования выражений, содержащих квадратные корни.

Знать:

- определение арифметического квадратного корня;

- свойства арифметического квадратного корня.

Уметь:

- применять свойства арифметического квадратного корня к преобразованию выражений;

- вычислять значения выражений, содержащих квадратные корни;

- исследовать уравнение ;

- строить график функции  и работать с ним.

3.Квадратные уравнения (26 часов).

Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям.

Основная цель - выработать умения решать квадратные уравнения, простейшие рациональные уравнения и применять их к решению задач.

Распознавать квадратные и дробные уравнения.

Знать:

- способы решения неполных квадратных уравнений;

- формулу корней квадратного уравнения.

Уметь:

- решать квадратные уравнения, а также уравнения сводящиеся к ним;

- решать дробно-рациональные уравнения;

- исследовать квадратное уравнение по дискриминанту и коэффициентам;

- решать текстовые задачи с помощью квадратных и дробно-рациональных уравнений.

4.Неравенства (18 часов).

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Применение свойств неравенств к оценке значения выражения. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной.

Основная цель - выработать умение решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Знать:

- определение числового неравенства

- свойства числовых неравенств;

- что значит решить систему неравенств.

Уметь:

- находить пересечение и объединение множеств;

- иллюстрировать на координатной прямой числовые неравенства;

- применять свойства числовых неравенств при решении задач;

- решать линейные неравенства;

- решать системы неравенств с одной переменной.

5.Теория вероятностей и статистика (17 часов).

Знать:

а) основные  понятия  и  определения  по  теории  вероятностей  и  статистике  по  программе;

б) формулы  нахождения  вероятности  события,  сложения  и  умножения  вероятностей;

Уметь:

а) уверенно  искать  нужную  информацию  в  таблице;

б) выполнять  элементарные  вычисления  по  табличным  данным;

в) строить  столбиковые  и  круговые  диаграммы  по  имеющимся  данным;

г) объяснять  и  вычислять  медиану,  среднее  арифметическое,  размах  и  дисперсию  для  набора  чисел;

д) приводить  примеры  случайных  событий  и  случайной  изменчивости;

д) владеть  алгоритмами  решения  основных  задач;

е) пользоваться  статистическим  языком  для  описания  предметов  окружающего  мира.

6. Степень с целым показателем (16 часов).

Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный вид числа. Запись приближенных  значений. (Действия над приближенными значениями).

Основная цель - сформировать умение выполнять действия над степенями с целыми показателями, ввести понятие стандартного вида числа.

Знать:

- определение степени с целым показателем;

- свойства степени с целым показателем;

Уметь:

- выполнять вычисления с числами, записанными в стандартном виде;

- применять свойства степени с целым показателем для преобразования выражений и вычислений;

- строить гистограммы.

7.Итоговое повторение (22 часов).

Повторение основных вопросов курса. Решение  примеров и задач по основным темам.

Основная цель - обобщение и систематизация изученного материала, отработка основных навыков и умений.

В результате изучения курса алгебры восьмого класса учащиеся должны:

-правильно употреблять термины, связанные с различными видами чисел и способами их записи;

-выполнять действия со степенями с целым показателем;

- выполнять преобразования числовых выражений, содержащих квадратные корни;

-решать квадратные уравнения;

- правильно употреблять термины «уравнение», «неравенство», «система», «корень уравнения», «решение системы», понимать их в тексте и речи учителя, формулировку задачи « решить уравнение, неравенство, систему»;

-решать линейные неравенства с одной переменной и их системы;

-решать текстовые задачи с помощью составления уравнений;

-строить графики функции у  =  х²  и у =  х³;

-выполнять действия над приближенными значениями.

Основные формы, технологии, методы обучения, типы уроков

Формы организации учебного процесса:		Повторение на уроках проводится в следующих видах и формах:
·         индивидуальные, ·          групповые, ·         индивидуально-групповые, ·         фронтальные, ·         классные и внеклассные.	·      повторение и контроль теоретического материала; ·      разбор и  анализ домашнего задания; ·      устный счет; ·      математический диктант; ·      самостоятельная работа; ·      контрольные срезы.

Особое внимание уделяется повторению при проведении самостоятельных и контрольных работ.

Основной формой организации учебного процесса является классно-урочная система. В качестве дополнительных форм организации образовательного процесса по данной программе используется система консультационной поддержки, индивидуальных занятий, работа учащихся с использованием современных информационных технологий. Организация сопровождения учащихся направлена на:

           создание оптимальных условий обучения;

           исключение психотравмирующих факторов;

           сохранение психосоматического состояния здоровья учащихся;

           развитие положительной мотивации к освоению программы;

           развитие индивидуальности и одаренности каждого ребенка.

Основная форма организации образовательного процесса	Виды
предусматривает применение следующих технологий обучения	•     традиционная классно-урочная; •     игровые технологии; •     Технология проблемно обучения; •     технологии уровневой дифференциации; •     здоровьесберегающие технологии; •     ИКТ; •     технология развития критического мышления; •     исследовательская деятельность.
Среди методов обучения преобладают	•     репродуктивно-продуктивные; •     объяснительно-иллюстративные.
Занятия представляют собой преимущественно	•     комбинированный тип урока.

Виды и формы контроля:

Виды и формы контроля	•         промежуточный; •         предупредительный; •         контрольные работы.
Оценивание достижений обучающихся происходит при помощи	•         отметок (5-ти балльная шкала); •         Портфолио достижений.

УС	Устный счёт
ФР	Фронтальная работа	В течение учебного года на уроках будет проводится мониторинг:
СР	Самостоятельная работа	- входной контроль (сентябрь)
ИР	Индивидуальная работа	- промежуточный контроль (конец полугодия)
МД	Математический диктант	- итоговый контроль (май)
КР	Контрольная работа

Оценка планируемых результатов

Система оценки достижения планируемых результатов освоения основной образователь­ной программы основного общего образования предполагает комплексный подход к оценке результатов образования.

Система оценки предусматривает уровневый подход к содержанию оценки и инструмента­рию для оценки достижения планируемых результатов, а также к представле­нию и интерпретации результатов измерений.

Одним из проявлений уровневого подхода является оценка индивидуальных образователь­ных достижений на основе «метода сложения», при котором фиксируется дости­жение уровня, необходимого для успешного продолжения образования и реально достигаемого большинством учащихся, и его превышение, что позволяет выстраивать индиви­дуальные траектории движения с учётом зоны ближайшего развития, формировать положительную учебную и социальную мотивацию.

Особенности оценки предметных результатов

Оценка предметных результатов представляет собой оценку достижения обучаю­щимся планируемых результатов по отдельным предметам.

Формирование этих результатов обеспечивается за счёт основных компонентов образова­тельного процесса — учебных предметов.

Основным объектом оценки предметных результатов в соответствии с требованиями Стандарта является способность к решению учебно-познавательных и учебно-практиче­ских задач, основанных на изучаемом учебном материале, с использованием способов дейст­вий, релевантных содержанию учебных предметов, в том числе метапредметных (познава­тельных, регулятивных, коммуникативных) действий.

Система оценки предметных результатов освоения учебных программ с учётом уровне­вого подхода, принятого в Стандарте, предполагает выделение базового уровня достижений как точки отсчёта при построении всей системы оценки и организации индиви­дуальной работы с обучающимися.

Реальные достижения обучающихся могут соответствовать базовому уровню, а могут от­личаться от него как в сторону превышения, так и в сторону недостижения.

Практика показывает, что для описания достижений обучающихся целесообразно устано­вить следующие пять уровней.

Базовый уровень достижений — уровень, который демонстрирует освоение учеб­ных действий с опорной системой знаний в рамках диапазона (круга) выделенных задач. Овладение базовым уровнем является достаточным для продолжения обучения на следую­щей ступени образования, но не по профильному направлению. Достижению базового уровня соответствует отметка «удовлетворительно» (или отметка «3», отметка «зачтено»).

Превышение базового уровня свидетельствует об усвоении опорной системы знаний на уровне осознанного произвольного овладения учебными действиями, а также о круго­зоре, широте (или избирательности) интересов. Целесообразно выделить следующие два уровня, превышающие базовый:

• повышенный уровень достижения планируемых результатов, оценка «хорошо» (от­метка «4»);

• высокий уровень достижения планируемых результатов, оценка «отлично» (от­метка «5»).

Повышенный и высокий уровни достижения отличаются по полноте освоения планируе­мых результатов, уровню овладения учебными действиями и сформированно­стью интересов к данной предметной области.

Индивидуальные траектории обучения обучающихся, демонстрирующих повышен­ный и высокий уровни достижений, целесообразно формировать с учётом интересов этих обучающихся и их планов на будущее. При наличии устойчивых интересов к учебному предмету и основательной подготовки по нему такие обучающиеся могут быть вовлечены в проектную деятельность по предмету и сориентированы на продолжение обучения в стар­ших классах по данному профилю.

Для описания подготовки учащихся, уровень достижений которых ниже базового, целесо­образно выделить также два уровня:

• пониженный уровень достижений, оценка «неудовлетворительно» (отметка «2»);

• низкий уровень достижений, оценка «плохо» (отметка «1»).

Недостижение базового уровня (пониженный и низкий уровни достижений) фиксиру­ется в зависимости от объёма и уровня освоенного и неосвоенного содержания предмета.

Как правило, пониженный уровень достижений свидетельствует об отсутствии система­тической базовой подготовки, о том, что обучающимся не освоено даже и поло­вины планируемых результатов, которые осваивает большинство обучающихся, о том, что имеются значительные пробелы в знаниях, дальнейшее обучение затруднено. При этом обучающийся может выполнять отдельные задания повышенного уровня. Данная группа обучающихся (в среднем в ходе обучения составляющая около 10%) требует специальной диагностики затруднений в обучении, пробелов в системе знаний и оказании целенаправлен­ной помощи в достижении базового уровня.

Низкий уровень освоения планируемых результатов свидетельствует о наличии только отдельных фрагментарных знаний по предмету, дальнейшее обучение практически невозможно. Обучающимся, которые демонстрируют низкий уровень достижений, требу­ется специальная помощь не только по учебному предмету, но и по формированию мотива­ции к обучению, развитию интереса к изучаемой предметной области, пониманию значимости предмета для жизни и др. Только наличие положительной мотивации может стать основой ликвидации пробелов в обучении для данной группы обучающихся.

Описанный выше подход целесообразно применять в ходе различных процедур оценива­ния: текущего, промежуточного и итогового.

Для формирования норм оценки в соответствии с выделенными уровнями необхо­димо описать достижения обучающегося базового уровня (в терминах знаний и умений, которые он должен продемонстрировать), за которые обучающийся обоснованно получает оценку «удовлетворительно». После этого определяются и содержательно описываются более высокие или низкие уровни достижений. Важно акцентировать внимание не на ошиб­ках, которые сделал обучающийся, а на учебных достижениях, которые обеспечи­вают продвижение вперёд в освоении содержания образования.

Для оценки динамики формирования предметных результатов в системе внутришколь­ного мониторинга образовательных достижений целесообразно фиксировать и анализировать данные о сформированности умений и навыков, способствующих освое­нию систематических знаний, в том числе:

• первичному ознакомлению, отработке и осознанию теоретических моделей и поня­тий (общенаучных и базовых для данной области знания), стандартных алгоритмов и процедур;

• выявлению и осознанию сущности и особенностей изучаемых объектов, процессов и яв­лений действительности (природных, социальных, культурных, технических и др.) в соответ­ствии с содержанием конкретного учебного предмета, созданию и использованию моделей изучаемых объектов и процессов, схем;

• выявлению и анализу существенных и устойчивых связей и отношений между объек­тами и процессами.

При этом обязательными составляющими системы накопленной оценки являются мате­риалы:

• стартовой диагностики;

• тематических и итоговых проверочных работ по всем учебным предметам;

•  творческих работ, включая учебные исследования и учебные проекты.

Решение о достижении или недостижении планируемых результатов или об освоении или неосвоении учебного материала принимается на основе результатов выполнения зада­ний базового уровня. В период введения Стандарта критерий достижения/освоения учеб­ного материала задаётся как выполнение не менее 50% заданий базового уровня или получе­ние 50% от максимального балла за выполнение заданий базового уровня.

Уровни подготовки учащихся и критерии успешности обучения

Уровни	Оценка	Теория	Практика
1  Узнавание Алгоритмическая   дея­тельность с  под­сказкой	«3»	Распознавать объект, находить нужную фор­мулу, признак, свой­ство и т.д.	Уметь выполнять зада­ния по образцу, на непо­средственное примене­ние формул, правил, инст­рукций и т.д.
2. Воспроизведение Алгоритмическая дея­тельность без под­сказки	«4»	Знать формулировки всех понятий, их свой­ства, признаки, фор­мулы. Уметь воспроизвести доказательства, вы­воды, устанавливать взаимосвязь, выбирать нужное для выполне­ния данного задания	Уметь работать с учеб­ной и справочной литера­турой, выполнять задания, требующие не­сложных преобразова­ний с применением изу­чаемого материала
3  Понимание Деятельность при от­сутствии явно выражен­ного алго­ритма	«5»	Делать логические за­ключения, составлять алгоритм, модель не­сложных ситуаций	Уметь применять полу­ченные знания в различ­ных ситуациях. Выпол­нять задания комбиниро­ванного харак­тера, содержащих несколько понятий.
4 Овладение умствен­ной самостоятельно­стью Творческая исследова­тельская деятельность	«5»	В совершенстве знать изученный материал, свободно ориентиро­ваться в нем. Иметь знания из дополнитель­ных источников. Вла­деть операциями логиче­ского мышле­ния. Составлять мо­дель любой ситуации.	Уметь применять знания в любой нестандартной ситуации. Самостоя­тельно выполнять твор­ческие исследовательские задания. Выполнять функции консультанта.

Особенности контроля и оценки  учебных достижений

Текущий контроль можно осуществлять как в письменной, так и в устной форме. Письменные работы для текущего контроля рекомендуется проводить в форме самостоятельной работы, теста или математического диктанта. Желательно, чтобы работы для текущего контроля состояли из нескольких однотипных заданий, с помощью которых осуществляется всесторонняя проверка только одного определенного умения (например, умения сравнивать числа, умения находить значение функции и др.).

      Тематический контроль проводится в основном в письменной форме. Для тематических проверок выбираются узловые вопросы программы; приемы вычислений, действия с числами, измерение величин и др.

Для обеспечения самостоятельности учащихся подбираются несколько вариантов работы. На выполнение такой работы отводится  15-20 минут урока.

      Итоговый контроль проводится в форме контрольных работ комбинированного характера. В этих работах сначала отдельно оценивается выполнение задач, примеров, а затем выводится итоговая отметка за всю работу. При этом итоговая отметка не выставляется как средний балл, а определяется с учетом тех видов заданий, которые для данной работы являются основными.

В основе оценивания письменных работ лежат следующие показатели: правильность выполнения и объем выполненного задания.

Оценка письменных контрольных работ учащихся.

Отметка «5»  ставится в следующих случаях:

·         работа выполнена полностью.

·         в логических рассуждениях и обоснованиях нет пробелов и ошибок;

·         в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала);

Отметка «4» ставится, если:

·         работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умения обосновывать рассуждения не являлись специальным объектом проверки);

·         допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки);

Отметка «3» ставится, если:  допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графика, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными знаниями по данной теме в полной мере.

Требования к проведению контрольных работ.

При планировании контрольных работ в каждом классе необходимо предусмотреть равномерное их распределение в течение четверти, не допуская скопления письменных контрольных работ к концу четверти, полугодия. Не желательно проводить контрольные работы в первый день четверти, в первый день после праздника, в понедельник.

Исключение травмирующих учеников факторов при организации   работы:

·         работу в присутствии ассистента (проверяющего) проводит учитель, постоянно работающий с детьми, а не посторонний или малознакомый ученикам человек;

·         учитель во время проведения  работы имеет право свободно общаться с учениками;

·         ассистент (проверяющий) фиксирует все случаи обращения детей к учителю, степень помощи, которая оказывается ученикам со стороны учителя, и при подведении итогов работы может учитывать эти наблюдения.

Каждая работа завершается самопроверкой. Самостоятельно найденные и аккуратно исправленные ошибки не должны служить причиной снижения отметки, выставляемой за работу. Только небрежное их исправление может привести к снижению балла при условии, что в классе проводилась специальная работа по формированию умения вносить исправления.

Оценка устных ответов учащихся.

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

·          полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;

·         изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

·         правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

·         показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

·         продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость использованных при ответе умений и навыков;

·         отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя.

Возможны одна – две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если он удовлетворен в основном требованиям на отметку «5», но при этом имеет один из недостатков:

·         в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математического содержания ответа, исправленные по замечанию учителя.

·         допущены ошибки или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Отметка «3»  ставится в следующих случаях:

·          неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»).

·         имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий и, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

·         ученик не справился  с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

·         при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность умений и навыков.

Отметка «2»  ставится в следующих случаях:

·         не раскрыто основное содержание учебного материала;

·         обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

·         допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Планирование учебного материала по алгебре 8 класс.

4 ч в неделю,всего 136 ч. в год.

№ урока	Содержание учебного материала	Использование ИКТ	Дата	Коррекция
	Рациональные дроби и их свойства (23 урока)
1-3	Вводный инструктаж по ТБ. Рациональные выражения, п. 1
4-6	Основное свойство дроби. Сокращение дробей, п. 2
7-8	Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, п. 3
9-11	Сложение и вычитание дробей с разными  знаменателями, п. 4	презентация
12	Контрольная работа № 1 по теме «Рациональные дроби и их свойства»
13-14	Умножение дробей. Возведение дроби в степень, п. 5
15-16	Деление дробей, п.6	презентация
17-20	Преобразование рациональных выражений, п. 7
21-22	Функция у=к/х и ее график, п. 8	Математический конструктор
23	Контрольная работа № 2 по теме «Умножение дробей. Возведение дроби в степень»
	Квадратные корни (18 уроков)
24-25	Рациональные и иррациональные числа, п.9, 10	презентация
26-27	Квадратные корни. Арифметический квадратный корень, п. 11
28	Уравнение  х2= а, п. 12	Математический конструктор
29	Нахождение приближенных значений квадратного корня, п. 13
30-31	Функция у=     и ее график, п. 14	Математический конструктор
32-34	Квадратный корень из произведения, дроби, степени, п. 15,16
35	Контрольная работа № 3 по теме « Арифметический квадратный корень и его свойства»
36	Итоговый урок по материалу 1 четверти
37-38	Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня, п. 17
39-40	Преобразование выражений, содержащих квадратные корни, п.18
41	Контрольная работа № 4 по теме «Применение свойств арифметического квадратного корня»
	Квадратные уравнения ( 26 уроков)
42-44	Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения, п. 19
45-46	Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена, п. 20
47-50	Решение квадратных уравнений по формуле, п. 21	презентация
51-53	Решение задач с помощью квадратных уравнений, п. 22
54-55	Теорема Виета, п.23	презентация
56	Контрольная работа № 5 по теме «Квадратные уравнения»
57-60	Решение дробных рациональных уравнений, п. 24
61-64	Решение задач с помощью рациональных уравнений, п. 25
65-66	Графический способ решения уравнений, п. 26	Математический конструктор
67	Контрольная работа № 6 по теме «Квадратные уравнения»
	Неравенства ( 18 уроков)
68-71	Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств, п. 27, 28	презентация
72-74	Сложение и умножение числовых неравенств, п. 29
75	Контрольная работа № 7 по теме «Числовые неравенства и их свойства»
76-77	Числовые промежутки, п. 30	презентация
78-81	Решение неравенств  с одной переменной, п. 31
82-84	Решение систем неравенств с одной переменной, п. 32
85	Контрольная работа № 8 по теме «Неравенства и системы неравенств с одной переменной»
	Теория вероятностей и статистика ( 17уроков)
86-88	Представление данных (таблицы, диаграммы)
89-92	Описательная статистика и случайная изменчивость
93-94	Введение в теорию вероятностей	презентация
95-98	События и вероятности	презентация
99-100	Элементы комбинаторики
101-102	Элементы комбинаторики
	Степень с целым показателем ( 16 уроков)
103-104	Определение степени с целым отрицательным показателем, п. 33	презентация
105-106	Свойства степени с целым показателем, п. 34
107-108	Стандартный вид числа, п. 35
109-112	Запись приближенных значений , п. 36
113-115	Действия над приближенными значениями, п. 37
116-117	Вычисления с приближенными данными на микрокалькуляторе, п.38
118	Контрольная работа № 9 по теме «Степень с целым показателем»
	Итоговое повторение курса алгебры 8 класса. Решение задач.(22 урока)
119-123	Квадратные уравнения.
124-128	Дробные рациональные уравнения.
129-130	Функция у=k/x и ее график.
131-132	Решение текстовых задач
133-134	Неравенства и системы неравенств.
135-136	Степень с целым показателем.
137	Решение задач. Подготовка к контрольной работе
138	Контрольная работа №10 Итоговая работа.
139	Анализ ошибок, допущенных в контрольной работе.
140	Итоговое занятие.

Алгебра

№	тема
	Контрольная работа № 1  по теме «Рациональные дроби и их свойства»
	Контрольная работа № 2  по теме «Умножение дробей. Возведение дроби в степень»
	Контрольная работа № 3  по теме « Арифметический квадратный корень и его свойства»
	Контрольная работа № 4  по теме «Применение свойств арифметического квадратного корня»
	Контрольная работа № 5  по теме «Квадратные уравнения»
	Контрольная работа № 6  по теме «Квадратные уравнения»
	Контрольная работа №7   по теме «Числовые неравенства и их свойства»
	Контрольная работа №8   по теме «Неравенства и системы неравенств с одной переменной»
	Контрольная работа № 9 по теме «Степень с целым показателем»
	Итоговая контрольная работа

Контрольная работа № 1  по теме «Рациональные дроби и их свойства»

В а р и а н т  1

1. Сократить дробь:

а) ;                    б) ;                          в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;          в) .

3. Найти значение выражения:

  при а = 0,2; b = –5.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях а является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  2

1. Сократить дробь:

а) ;                   б) ;                         в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;      б) ;          в) .

3. Найти значение выражения:

  при х = –8, у = 0,1.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  3

1. Сократить дробь:

а) ;                   б) ;                          в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;    б) ;          в) .

3. Найти значение выражения:

  при b = 0,5; c = –14.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях р является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  4

1. Сократить дробь:

а) ;                    б) ;                          в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;      б) ;         в) .

3. Найти значение выражения:

  при р = –0,35, q = 28.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях х является целым числом значение выражения ?

Решение вариантов контрольной работы №1

В а р и а н т  1

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а) ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при а = 0,2, b = –5:  = 25.

4.

.

5. .

Чтобы исходное выражение принимало целые значения, нужно, чтобы  было целым числом.

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т  2

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

      ;

    б) ;

     в) .

3. ,

при х = –8, у = 0,1:  = –40.

4.

.

5. .

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т  3

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

      ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при b = 0,5; c = –14:  = 4.

4.

.

5.

.

О т в е т: ±1; ±3.

В а р и а н т  4

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

      ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при р = –0,35, q = 28:  = 20.

4.

.

5. .

О т в е т: ±1; ±7.

Контрольная работа № 2  по теме «Умножение дробей. Возведение дроби в степень»

В а р и а н т  1

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                                 б) ;

в) ;                            г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях b ≠ ±1 значение выражения не зависит от b.

4. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  2

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                             б) ;

в) ;                          г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?

3. Докажите, что при всех значениях х ≠ ±2 значение выражения  не зависит от х.

4. При каких значениях b имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  3

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                                 б) ;

в) ;                             г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?

3. Докажите, что при всех значениях y ≠ ±3 значение выражения  не зависит от у.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  4

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                               б) ;

в) ;                             г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях a ≠ ±5 значение выражения  не зависит от а.

4. При каких значениях у имеет смысл выражение ?

Решение вариантов контрольной работы №2

В а р и а н т  1

1. а) ;   б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

х	1	2	3	6	–1	–2	–3	–6
у	6	3	2	1	–6	–3	–2	–1

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение: .

1)

    ;

2) ;

3)  = 2.

Таким образом, при любом значении b данное выражение равно 2, то есть не зависти от b.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 4а – 6 ≠ 0	2) 3 +  ≠ 0
4а ≠ 6     а ≠ 1,5	12а – 18 + 21 ≠ 0     12а ≠ –3     а ≠

О т в е т: а ≠ 1,5; а ≠ .

В а р и а н т  2

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

х	1	2	3	6	–1	–2	–3	–6
у	–6	–3	–2	–1	6	3	2	1

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение:

.

1)

    ;

2) ;

3)  = 0.

Таким образом, при любом значении х данное выражение равно нулю, то есть не зависит от х.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 3 – 2b ≠ 0	2) 2 –  ≠ 0
2b ≠ 3     b ≠ 1,5	6 – 4b – 4 ≠ 0     4b ≠ 2     b ≠ 0,5

О т в е т: b ≠ 0,5; b ≠ 1,5.

В а р и а н т  3

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

х	1	2	4	–1	–2	–4
у	4	2	1	–4	–2	–1

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х (0; +∞).

3. Упростим выражение:

.

1)

    ;

2) ;

3)  = 3.

Таким образом, при любом значении у данное выражение равно 3, то есть не зависит от у.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 10 – 5х ≠ 0	2) 1 –  ≠ 0
5х ≠ 10     х ≠ 2	10 – 5х – 6 ≠ 0     5х ≠ 4     х ≠

О т в е т: х ≠ 2; х ≠ .

В а р и а н т  4

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

х	1	2	4	–1	–2	–4
у	–4	–2	–1	4	2	1

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х (0; +∞).

3. Упростим данное выражение:

.

1)

.

2) .

3)  = 2.

Таким образом, при любом значении а данное выражение равно 2, то есть не зависит от a.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

1) 6 + 2у ≠ 0	2) 2 –  ≠ 0
2у ≠ –6     у ≠ –3	12 + 4у – 7 ≠ 0     4у ≠ –5     у ≠

О т в е т: у ≠ –3; у ≠ .

Контрольная работа № 3  по теме « Арифметический квадратный корень и его свойства»

В а р и а н т  1

1. Вычислите:

а) ;         б)  – 1;         в) .

2. Найдите значение выражения:

а) ;         б) ;         в) ;         г) .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,49;         б) х² = 10.

4. Упростите выражение:

а) , где х ≥ 0;         б) , где b < 0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. При  каких  значениях  переменной  а  имеет  смысл  выражение ?

В а р и а н т  2

1. Вычислите:

а) ;         б) ;         в) .

2. Найдите значение выражения:

а) ;         б) ;         в) ;         г) .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,64;         б) х² = 17.

4. Упростите выражение:

а) , где у ≥ 0;         б) , где а < 0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. При  каких  значениях  переменной  х  имеет  смысл  выражение ?

В а р и а н т  3

1. Вычислите:

а) ;         б) ;         в) .

2. Найдите значение выражения:

а) ;         б) ;         в) ;         г) .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,81;         б) х² = 46.

4. Упростите выражение:

а) , где b ≤ 0;         б) , где х > 0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. При  каких  значениях  переменной  х  имеет  смысл  выражение ?

В а р и а н т  4

1. Вычислите:

а) ;         б) ;         в) .

2. Найдите значение выражения:

а) ;         б) ;         в) ;         г) .

3. Решите уравнение: а) х² = 0,09;         б) х² = 92.

4. Упростите выражение:

а) , где х ≥ 0;         б) , где у < 0.

5. Укажите две последовательные десятичные дроби с одним знаком после запятой, между которыми заключено число .

6. При  каких  значениях  переменной  у  имеет  смысл  выражение ?

Решение вариантов контрольной работы №3

В а р и а н т  1

1. а)  = 0,1 + 2 = 2,1;

    б)  – 1 = 1,5;

    в)  = 2.

2. а)  = 4;

    б)  = 28;

    в)  = 2;

    г)  = 72.

3. а) х2 = 0,49         х = ±0,7;

б) х2 = 10     х = ±.

4. а) .

Так как х ≥ 0, то | x | = x. Получим:

.

б) .

Так как b < 0, то | b | = –b. Получим:

.

5. 4,1 <  < 4,2.

6. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

1) а ≥ 0;	2) – 4 ≠ 0
	≠ 4      a ≠ 16.

О т в е т: а ≥ 0 и a ≠ 16.

В а р и а н т  2

1. а)  = 7 + 0,9 = 7,9;

    б)  = 1,5 – 5 = –3,5;

    в)  = 6.

2. а)  = 3;

    б)  = 12;

    в)  = 3;

    г)  = 20.

3. а) х2 = 0,64         х = ±0,8;

б) х2 = 17     х = ±.

4. а) .

Так как у ≥ 0, то | y | = y. Получим:

.

б) .

Так как а < 0, то | a | = –a. Получим:

 = –28.

5. 6,1 <  < 6,2.

6. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

1) х ≥ 0;	2) – 5 ≠ 0
	≠ 5      х ≠ 25.

О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 25.

В а р и а н т  3

1. а)  = 12 – 0,55 = 11,45;

    б)  = –0,5;

    в)  = 5.

2. а)  = 3,6;

    б)  = 60;

    в)  = 5;

    г)  = 54.

3. а) х2 = 0,81         х = ±0,9;

б) х2 = 46     х = ±.

4. а) .

Так как b ≤ 0, то | b | = –b. Получим:

.

б) .

Так как х > 0, то | x | = x. Получим:

 = 14x.

5. 5,2 <  < 5,3.

6. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

1) х ≥ 0;	2) – 2 ≠ 0
	≠ 2      х ≠ 4.

О т в е т: х ≥ 0 и х ≠ 4.

В а р и а н т  4

1. а)  = 2 + 0,3 = 2,3;

    б)  = 2,1 + 0,9 = 3;

    в)  = 0,8.

2. а)  = 3;

    б)  = 42;

    в)  = 4;

    г)  = 56.

3. а) х2 = 0,09         х = ±0,3;

б) х2 = 92     х = ±.

4. а) .

Так как х ≥ 0, то . Получим:

.

б) .

Так как у < 0, то . Получим:

.

5. 7,4 <  < 7,5.   6. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

Контрольная работа № 4  по теме «Применение свойств арифметического квадратного корня»

В а р и а н т  1

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;               б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                         б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях а дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  2

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;               б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                          б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  3

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;               б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                        б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  4

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                  б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                       б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях р дробь  принимает наибольшее значение?

Решение вариантов контрольной работы №4

В а р и а н т  1

1. а)

        ;

    б)

         = 10 – 6 = 4;

    в) .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

         .

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: при а = 0.

В а р и а н т  2

1. а)

        = 0;

    б)

        = 15 – 10 = 5;

    в)

        .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) + 2.

4. а) ;

    б)

         – 6.

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т  3

1. а)

        ;

    б)

          = 10 – 4 = 6;

    в) .

2. ,

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

         .

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т  4

1. а)

         ;

    б)

         = 12 + 9 = 21;

    в)

         .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

        .

5.

       = –1.

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях р.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при р = 0. О т в е т: при р = 0.

Контрольная работа № 5  по теме «Квадратные уравнения»

В а р и а н т  1

1. Решите уравнение:

а) 2х² + 7х – 9 = 0;                                 в) 100х² – 16 = 0;

б) 3х² = 18х;                                           г) х² – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см².

3. В уравнении х² + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т  2

1. Решите уравнение:

а) 3х² + 13х – 10 = 0;                             в) 16х² = 49;

б) 2х² – 3х = 0;                                       г) х² – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см².

3. Один из корней уравнения х² + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т  3

1. Решите уравнение:

а) 7х² – 9х + 2 = 0;                                 в) 7х² – 28 = 0;

б) 5х² = 12х;                                           г) х² + 20х + 91 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х² + рх + 56 = 0 один из его корней равен –4. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т  4

1. Решите уравнение:

а) 9х² – 7х – 2 = 0;                                 в) 5х² = 45;

б) 4х² – х = 0;                                         г) х² + 18х – 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см². Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х² – 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение вариантов контрольной работы №5

В а р и а н т  1

1. а) 2х² + 7х – 9 = 0.

1-й  с п о с о б. D = 7² – 4 · 2 · (–9) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

x₁ =  = 1;

x₂ =  = –4,5.

2-й  с п о с о б.  a + b + c = 0,  значит, х₁ = 1, х₂ = ,  то есть  х₁ = 1,

 х₂ =  = –4,5.

б) 3х² = 18х;

    3х² – 18х = 0;

    3х (х – 6) = 0;

    х = 0      или      х = 6.

в) 100х² – 16 = 0;

    100х² = 16;

    х² = ;

    х² = ;

    х = ;

    х = ;

    х = ±0,4.

г) х² – 16х + 63 = 0.

1-й  с п о с о б. D₁ = (–8)² – 63 = 64 – 63 = 1, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = 8 +  = 9;   x₂ = 8 –  = 7.

2-й  с п о с о б. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

х₁ + х₂ = 16,   х₁ · х₂ = 63. Подбором получаем: х₁ = 9, х₂ = 7.

О т в е т: а) –4,5; 1; б) 0; 6; в) ±0,4; г) 7; 9.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (10 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см², составим уравнение:

х (10 – х) = 24;

10х – х² – 24 = 0;

х² – 10х + 24 = 0;

D₁ = (–5)² – 1 · 24 = 25 – 24 = 1, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = 5 +  = 6;   x₂ = 5 –  = 4.  Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 6 см.

3. Пусть х₁ = –9 и х₂ – корни уравнения х² + рх – 18 = 0, тогда по теореме Виета: –9 + х₂ = –р и –9 · х₂ = –18.

Имеем: х₂ = ; х₂ = 2 и –9 + х₂ = –р, отсюда р = 7.

О т в е т: х₂ = 2; р = 7.

В а р и а н т  2

1. а) 3х² + 13х – 10 = 0.

D = 13² – 4 · 3 · (–10) = 169 + 120 = 289, D > 0, 2 корня.

х₁ = ;

х₂ =  = –5.

б) 2х² – 3х = 0;

     х (2х – 3) = 0;

     х = 0         или           2х – 3 = 0;

                                         х = ;

                                         х = 1,5.

в) 16х² = 49.

    х² = ;

    х = ±;

    х = ±;

    х = ±1,75.

г) х² – 2х – 35 = 0.

D₁ = (–1)² – 1 · (–35) = 1 + 35 = 36, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = 1 +  = 1 + 6 = 7;

x₂ = 1 –  = 1 – 6 = –5.

О т в е т: а) –5; ; б) 0; 1,5; в) ±1,75; г) –5; 7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (15 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 56 см², составим уравнение:

х (15 – х) = 56;

15х – х² – 56 = 0;

х² – 15х + 56 = 0;

D = (–15)² – 4 · 1 · 56 = 225 – 224 = 1, D > 0, 2 корня.

x₁ =  = 8;     x₂ =  = 7.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 7 см; 8 см.

3. Пусть х₁ = –7 и х₂ – корни уравнения х² + 11х + q = 0, тогда по теореме Виета: –7 + х₂ = –11 и –7 · х₂ = q.

Имеем: х₂ = –11 + 7, х₂ = –4   и   –7 · (–4) = q, отсюда q = 28.

О т в е т: х₂ = –4; q = 28.

В а р и а н т  3

1. а) 7х² – 9х + 2 = 0.

1-й  с п о с о б. D = (–9)² – 4 · 7 · 2 = 81 – 56 = 25, D > 0, 2 корня.

х₁ =  = 1;

х₂ = .

2-й  с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х₁ = 1, х₂ = , то есть х₁ = 1,

х₂ = .

б) 5х² = 12х.

    5х² – 12х = 0;

    х (5х – 12) = 0;

    х = 0        или  5х – 12 = 0;

                                         5х = 12;

                                         х = ;

                                         х = 2,4.

в) 7х² – 28 = 0.

    7х² = 28;

    х² = 4;

    х = ±;

    х = ±2.

г) х² + 20х + 91 = 0.

D₁ = 10² – 1 · 91 = 100 – 91 = 9, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = –10 +  = –10 + 3 = –7;

x₂ = –10 –  = –10 – 3 = –13.

О т в е т: а) 1; ; б) 0; 2,4; в) ±2; г) –13; –7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (13 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 36 см², составим уравнение:

х (13 – х) = 36;

13х – х² – 36 = 0;

х² – 13х + 36 = 0;

D = (–13)² – 4 · 1 · 36 = 169 – 144 = 25, D > 0, 2 корня.

х₁ =  = 9;     х₂ =  = 4.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 9 см.

3. Пусть х₁ = –4 и х₂ – корни уравнения х² + рх + 56 = 0, тогда по теореме Виета: –4 + х₂ = –р и –4 · х₂ = 56.

Имеем: х₂ = ;   х₂ = –14  и  –4 + (–14) = –р,  отсюда р = 18.

О т в е т: х₂ = –14; р = 18.

В а р и а н т  4

1. а) 9х² – 7х – 2 = 0.

1-й  с п о с о б. D = (–7)² – 4 · 9 · (–2) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

х₁ =  = 1;

х₂ = .

2-й  с п о с о б.  a + b + c = 0,  значит,  х₁ = 1,  х₂ = ,  то есть  х₁ = 1,
х₂ = .

б) 4х² – х = 0.

    х (4х – 1) = 0;

    х = 0         или 5х – 12 = 0;

                                         4х – 1 = 0;

                                         4х = 1;

                                         х = ;

                                         х = 0,25.

в) 5х² = 45.

    х² = ;

    х² = 9;

    х = ± ;

    х = ±3.

г) х² + 18х – 63 = 0.

D₁ = 9² – 1 · (–63) = 81 + 63 = 144, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = –9 +  = –9 + 12 = 3;

x₂ = –9 –  = –9 – 12 = –21.

О т в е т: а) ; 1; б) 0; 0,25; в) ±3; г) –21; 3.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (11 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см², составим уравнение:

х (11 – х) = 24;

11х – х² – 24 = 0;

х² – 11х + 24 = 0;

D = (–11)² – 4 · 1 · 24 = 121 – 96 = 25, D > 0, 2 корня.

х₁ =  = 8;     х₂ =  = 3.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 3 см; 8 см.

3. Пусть х₁ = 13 и х₂ – корни уравнения х² – 7х + q = 0, тогда по теореме Виета: 13 + х₂ = 7 и 13 · х₂ = q.

Имеем: х₂ = 7 – 13, х₂ = –6 и 13 · (–6) = q, отсюда q = –78.

О т в е т: х₂ = –6; q = –78.

Контрольная работа № 6  по теме «Квадратные уравнения»

В а р и а н т  1

1. Решите уравнение:

а) ;                 б)  = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

В а р и а н т  2

1. Решите уравнение:

а) ;             б)  = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

В а р и а н т  3

1. Решите уравнение:

а) ;                 б)  = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

В а р и а н т  4

1. Решите уравнение:

а) ;               б)  = 2.

2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение вариантов контрольной работы №6

В а р и а н т  1

1. а) . Общий знаменатель х² – 9.

        х² = 12 – х;

        х² + х – 12 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 3; х₂ = –4.

Если х = 3, то х² – 9 = 0.

Если х = –4, то х² – 9 ≠ 0.

б)  = 3. Общий знаменатель х (х – 2).

    6х + 5(х – 2) = 3х(х – 2);

    6х + 5х – 10 – 3х² + 6х = 0;

    –3х² + 17х – 10 = 0;

    3х² – 17х + 10 = 0.

D = (–17)² – 4 · 3 · 10 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.

x₁ =  = 5;

x₂ = .

Если х = 5, то х (х – 2) ≠ 0.

Если х = , то х (х – 2) ≠ 0.

О т в е т: а) –4; б) ; 5.

2. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, с которой он ехал из А в В, тогда (х – 3) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил  ч, а обратно  ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 10 мин ( часа) меньше, составим уравнение:

 –  = . Общий знаменатель 6х (х – 3).

162(х – 3) – 120х – х(х – 3) = 0;

162х – 486 – 120х – х² + 3х = 0;

х² – 45х + 486 = 0.

D = (–45)² – 4 · 486 = 81, D > 0, 2 корня.

x₁ =  = 27;

x₂ =  = 18.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая скорость для велосипедиста).

О т в е т: 18 км/ч.

В а р и а н т  2

1. а) . Общий знаменатель х² – 16.

        3х + 4 = х²;

        х² – 3х – 4 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета х₁ = 4; х₂ = –1.

Если х = 4, то х² – 16 = 0.

Если х = – 1, то х² – 16 ≠ 0.

б)  = 2. Общий знаменатель х (х – 5).

    3х + 8(х – 5) = 2х(х – 5);

    3х + 8х – 40 – 2х² + 10х = 0;

    –2х² + 21х – 40 = 0;

    2х² – 21х + 40 = 0.

D = (–21)² – 4 · 2 · 40 = 441 – 320 = 121, D > 0, 2 корня.

x₁ =  = 8;

x₂ =  = 2,5.

Если х = 8, то х (х – 5) ≠ 0.

Если х = 2,5, то х (х – 5) ≠ 0.

О т в е т: а) –1; б) 2,5; 8.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл  со  скоростью  (х – 3) км/ч,  по  течению – (х + 3) км/ч  и  по  озеру – х км/ч. Против течения он шёл  ч, по течению  ч, а по озеру он шёл бы  ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

 +  = . Общий знаменатель х (х – 3)(х + 3).

12х(х + 3) + 5х(х – 3) = 18(х – 3)(х + 3);

12х² + 36х + 5х² – 15х – 18х² + 162 = 0;

х² – 21х – 162 = 0.

D = (–21)² – 4 · 162 = 441 + 648 = 1089, D > 0, 2 корня.

x₁ =  = 27;

x₂ =  = –6.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = –6 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 27 км/ч.

В а р и а н т  3

1. а) . Общий знаменатель х² – 1.

        х² = 4х + 5;

        х² – 4х – 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 5; х₂ = –1.

Если х = 5, то х² – 1 ≠ 0.

Если х = –1, то х² – 1 = 0.

б)  = 3. Общий знаменатель х (х – 3).

    5х – 8(х – 3) = 3х(х – 3);

    5х – 8х + 24 – 3х² + 9х = 0;

    3х² – 6х – 24 = 0;

    х² – 2х – 8 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 4; х₂ = –2.

Если х = 4, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –2, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 5; б) –2; 4.

2. Пусть х км/ч – скорость, с которой велосипедист ехал из А в В, тогда (х + 4) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил  ч, а обратно  ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 1 ч меньше, составим уравнение:

 –  = 1. Общий знаменатель х (х + 4).

48(х + 4) – 40х – х(х + 4) = 0;

48х + 192 – 40х – х² – 4х = 0;

х² – 4х – 192 = 0.

D₁ = (–2)² + 192 = 196, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = 2 +  = 2 + 14 = 16;

x₂ = 2 –  = 2 – 14 = –12.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 16 км/ч.

В а р и а н т  4

1. а) . Общий знаменатель х² – 4.

        5х + 14 = х²;

        х² – 5х – 14 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 7; х₂ = –2.

Если х = 7, то х² – 4 ≠ 0.

Если х = –2, то х² – 4 = 0.

б)  = 2. Общий знаменатель х (х – 3).

     8х – 10(х – 3) – 2х(х – 3) = 0;

     8х – 10х + 30 – 2х² + 6х = 0;

     2х² – 4х – 30 = 0;

     х² – 2х – 15 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х₁ = 5; х₂ = –3.

Если х = 5, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –3, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 7; б) –3; 5.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл  со  скоростью (х – 2)  км/ч,  по  течению – (х + 2)  км/ч  и  по  озеру – х км/ч. Против течения он шёл  ч, по течению  ч, а по озеру он шёл бы  ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

 +  = . Общий знаменатель х (х – 2)(х + 2).

15х(х + 2) + 6х(х – 2) – 22(х – 2)(х + 2) = 0;

15х² + 30х + 6х² – 12х – 22х² + 88 = 0;

х² – 18х – 8 = 0.

D₁ = (–9)² + 88 = 169, D₁ > 0, 2 корня.

x₁ = 9 +  = 9 + 13 = 22;

x₂ = 9 –  = 9 – 13 = –4.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –4 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 22 км/ч.

Контрольная работа №7   по теме «Числовые неравенства и их свойства»

Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить первые два задания. Для получения отметки «5» необходимо выполнить любые четыре задания. Если выполнены все пять заданий, учащийся может получить дополнительную оценку.

В а р и а н т  1

1. Докажите неравенство:

а) (x – 2)² > x(x – 4);            б) a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что а < b. Сравните:

а) 21а и 21b;            б) –3,2а и –3,2b;            в) 1,5b и 1,5а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 2,6 << 2,7. Оцените:

а) 2;            б) –.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 2,6 < а < 2,7,   1,2 < b < 1,3.

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

В а р и а н т  2

1. Докажите неравенство:

а) (x + 7)² > x(x + 14);            б) b² + 5 ≥ 10(b – 2).

2. Известно, что а > b. Сравните:

а) 18а и 18b;            б) –6,7а и –6,7b;            в) –3,7b и –3,7а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,1 << 3,2. Оцените:

а) 3;            б) –.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6,   3,2 < b < 3,3.

5. Даны  четыре  последовательных  натуральных  числа.  Сравните  произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.

В а р и а н т  3

1. Докажите неравенство:

а) (x – 3)² > x(x – 6);            б) у² + 1 ≥ 2(5у – 12).

2. Известно, что х < у. Сравните:

а) 8х и 8у;            б) –1,4х и –1,4у;            в) –5,6у и –5,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,6 << 3,7. Оцените:

а) 3;            б) –2.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 < х< 1,2,   1,5 < у < 1,6.

5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

В а р и а н т  4

1. Докажите неравенство:

а) (x + 1)² > x(x + 2);            б) a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что х > у. Сравните:

а) 13х и 13у;            б) –5,1х и –5,1у;            в) 2,6у и 2,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,3 << 3,4. Оцените:

а) 5;            б) –2.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами с см и b см, если известно, что 4,6 < с < 4,7,   6,1 < b < 6,2.

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число т. Сравните произведение средних членов получившейся последовательности с произведением крайних членов.

Решение вариантов контрольной работы №7

В а р и а н т  1

1. а) (x – 2)² – x(x – 4) = x² – 4x + 4 – x² + 4x = 4 > 0, значит,

        (x – 2)² > x(x – 4).

б) a² + 1 – 2(3a – 4) = a² + 1 – 6a + 8 = a² – 6a + 9 = (a – 3)² ≥ 0,

    значит, a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. а) а < b;         21а < 21b;

б) а < b;     –3,2а > –3,2b;

в) а < b;     b > a;     1,5b > 1,5а.

О т в е т: а) 21а < 21b; б) –3,2а > –3,2b; в) 1,5b > 1,5а.

3. а) 2,6 << 2,7;                               б) 2,6 << 2,7

         5,2 < 2< 5,4;                               –2,7 < –< –2,6.

О т в е т: а) 5,2 < 2< 5,4; б) –2,7 < –< –2,6.

4.      S = a ∙  b см²;                                       P = 2(a + b) см;

          2,6 < а < 2,7                                           2,6 < а < 2,7

          1,2 < b < 1,3                                           1,2 < b < 1,3               

2,6 · 1,2 < a · b < 2,7 · 1,3                  2,6 + 1,2 < a + b < 2,7 + 1,3

       3,12 < ab < 3,51                                2 · 3,8 < 2(a + b) < 2 · 4

       3,12 < S < 3,51                                    7,6 < 2(a + b) < 8,0

                                                                             7,6 < Р < 8,0

О т в е т: 3,12 < S < 3,51; 7,6 < Р < 8,0.

5. Пусть 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а – полученная последовательность.

(2 + а)(5 + а) – (3 + а)(4 + а) = 10 + 2а + 5а + а² – 12 – 3а – 4а – а² =
= –2 < 0, значит, произведение крайних членов последовательности меньше произведения её средних членов.

В а р и а н т  2

1. а) (x + 7)² – x(x + 14) = x² + 14x + 49 – x² – 14x = 49 > 0,

        значит, (x + 7)² > x(x + 14).

б) b² + 5 – 10(b – 2) = b² + 5 – 10b + 20 = b² – 10b + 25 = (b – 5)² ≥ 0,

    значит, b² + 5 ≥ 10(b – 2).

2. а) а > b;         18а > 18b;

б) а > b;     –6,7а < –6,7b;

в) а > b;     b < a;     –3,7b > –3,7а.

О т в е т: а) 18а > 18b; б) –6,7а < –6,7b; в) –3,7b > –3,7а.

3. а) 3,1 << 3,2                              б) 3,1 << 3,2

         9,3 << 9,6;                                –3,2 < –< –3,1.

О т в е т: а) 9,3 << 9,6; б) –3,2 < –< –3,1.

4.      S = a ∙  b см²                                 P = 2(a + b) см.

          1,5 < а < 1,6                                   1,5 < а < 1,6

          3,2 < b < 3,3                                 3,2 < b < 3,3           

     4,80 < ab < 5,28                    1,5 + 3,2 < a + b < 1,6 + 3,3

      4,80 < S < 5,28.                   2 · 4,7 < 2(a + b) < 2 · 4,9

                                                           9,4 < 2(a + b) < 9,8

                                                                 9,4 < Р < 9,8.

О т в е т: 4,80 < S < 5,28; 9,4 < Р < 9,8.

5. п, п + 1, п + 2, п + 3 – последовательные натуральные числа.

п (п + 3) – (п + 1) (п + 2) = п² + 3п – п² – 2п – п –2 = –2 < 0, значит, произведение первого и последнего числа меньше произведения двух средних чисел.

В а р и а н т  3

1. а) (x – 3)² – x(x – 6) = x² – 6x + 9 – x² + 6x = 9 > 0,

        значит, (x – 3)² > x(x – 6).

б) у² + 1 – 2(5у – 12) = у² + 1 – 10у + 24 = у² – 10у + 25 = (у – 5)² ≥ 0,

    значит, у² + 1 ≥ 2(5у – 12).

2. а) х < у;        8х < 8у;

б) х < у;     –1,4х > –1,4у;

в) х < у;     y > x;     –5,6у < –5,6х.

О т в е т: а) 8х < 8у; б) –1,4х > –1,4у; в) –5,6у < –5,6х.

3. а) 3,6 << 3,7                              б) 3,6 << 3,7

         10,8 < 3< 11,1.                          7,2 < 2< 7,4

                                                                      –7,4 < –2< –7,2.

О т в е т: а) 10,8 < 3< 11,1; б) –7,4 < –2< –7,2.

4.      S = х ∙  у см²                                       P = (х + у) см.

         1,1 < х < 1,2                                         1,1 < х < 1,2

         1,5 < у < 1,6                                       1,5 < у < 1,6              

 1,1 · 1,5 < ху < 1,2 · 1,6                   1,1 + 1,5 < х + у < 1,2 + 1,6

        1,65 < ху < 1,92                             2 · 2,6 < 2(х + у) < 2 · 2,8

        1,65 < S < 1,92.                                5,2 < 2(х + у) < 5,6.

                                                                        5,2 < Р < 5,6.

О т в е т: 1,65 < S < 1,92; 5,2 < Р < 5,6.

5. п, п + 1, п + 2 – последовательные натуральные числа.

(п + 1)² – п (п + 2) = п² + 2п + 1 – п² – 2п = 1 > 0, значит, квадрат среднего числа больше произведения двух других чисел.

В а р и а н т  4

1. а) (x + 1)² – x(x + 2) = x² + 2x + 1 – x² – 2x = 1 > 0,

        значит, (x + 1)² > x(x + 2).

б) a² + 1 – 2(3a – 4) = a² + 1 – 6a + 8 = a² – 6a + 9 = (a – 3)² ≥ 0,

    значит, a² + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. а) х > у;        13х > 13у;

б) х > у;     –5,1х < –5,1у;

в) х > у;     y > x;     2,6у < 2,6х.

О т в е т: а) 13х > 13у; б) –5,1х < –5,1у; в) 2,6у < 2,6х.

3. а) 3,3 << 3,4                              б) 3,3 << 3,4

         16,5 < 5< 17,0;                         –6,6 > –2> –6,8;

                                                                     –6,8 < –2< –6,6.

О т в е т: а) 16,5 < 5< 17,0; б) –6,8 < –2< –6,6.

4.      S = с ∙  b см²                                        P = 2(с + b) см

         4,6 < с < 4,7                                            4,6 < с < 4,7

         6,1 < b < 6,2                                           6,1 < b < 6,2             

4,6 · 6,1 < с · b < 4,7 · 6,2                   4,6 + 6,1 < с + b < 4,7 + 6,2

     28,06 < сb < 29,14                           2 · 10,7 < 2(с + b) < 2 · 10,9

     28,06 < S < 29,14.                                 21,4 < 2(с + b) < 21,8

                                                                             21,4 < Р < 21,8.

О т в е т: 28,06 < S < 29,14; 21,4 < Р < 21,8.

5. 6 + т, 5 + т, 4 + т, 3 + т – полученная последовательность.

(5 + т)( 4 + т) – (6 + т)(3 + т) = 20 + 5т + 4т + т² – 18 – 6т – 3т –
– т² = 2 > 0, значит, произведение средних членов последовательности больше произведения её крайних членов.

Контрольная работа №8   по теме «Неравенства и системы неравенств с одной переменной»

В а р и а н т  1

1. Решите неравенство:

а) x < 5;           б) 1 – 3х ≤ 0;           в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1.

2. При каких а значение дроби  меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях х имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 3x – 7 < является числовой промежуток (–∞; 4)?

В а р и а н т  2

1. Решите неравенство:

а) х ≥ 2;           б) 2 – 7х > 0;           в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4.

2. При каких b значение дроби  больше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 4х + 6 > является числовой промежуток (3; +∞)?

В а р и а н т  3

1. Решите неравенство:

а) х > 1;           б) 1 – 6х ≥ 0;           в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5.

2. При каких т значение дроби  меньше соответствующего значения выражения т – 6?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 5х – 1 < является числовой промежуток (–∞; 2)?

В а р и а н т  4

1. Решите неравенство:

а) х ≤ 2;           б) 2 – 5х < 0;           в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5.

2. При каких а значение выражения а + 6 меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях т имеет смысл выражение +
+?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 6х + 11 >
>  является числовой промежуток (1; +∞)?

Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю.

Задания 1 и 3 соответствуют уровню обязательной подготовки. Для получения отметки «3» достаточно решить любые 2 задания. Для получения оценки «5» необходимо решить любые 5 заданий.

Решение вариантов контрольной работы №8

В а р и а н т  1

1. а) x < 5;

        х < 30;        (–∞; 30).

б) 1 – 3х ≤ 0;

    – 3х ≤ 1;

    х ≥ ;        .

в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1;

    5y – 6 – 4,6 > 3y + 1;

    5y – 3y > 1 + 6 + 4,6;

    2y > 11,6;

    y > 5,8;        (5,8; +∞).

О т в е т: а) (–∞; 30); б) ; в) (5,8; +∞).

2. < ;

    2(7 + a) < 3(12 – a);

    14 + 2a < 36 – 3a;

    2a + 3a < 36 – 14;

    5a < 22;

      a < 4,4.

О т в е т: при a < 4,4.

3. а)

         (1,5; +∞).

б)

         (1; 1,3).

О т в е т: а) (1,5; +∞); б) (1; 1,3).

4.

О т в е т: 2; 3; 4.

5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:

 ≤ x ≤ 6.

О т в е т: при  ≤ x ≤ 6.

6. 3x – 7 <;

    9х – 21 < a;

    9x < a + 21;

    x < ;        .

Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 4), если:

 = 4;

а + 21 = 36;

а = 15.

О т в е т: при а = 15.

В а р и а н т  2

1. а) х ≥ 2;

        х ≥ 6;        [6; +∞).

б) 2 – 7х > 0;

    –7x > –2;

    x < ;        .

в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4;

    6y – 9 – 3,4 > 4y – 2,4;

    6y – 4y > 9 + 3,4 – 2,4;

    2y > 10;

    y > 5;        (5; +∞).

О т в е т: а) [6; +∞); б) ; в) (5; +∞).

2.  > ;

    3(b + 4) >2(5 – 2b);

    3b + 12 > 10 – 4b;

    3b + 4b > 10 – 12;

    7b > –2;

    b > .

О т в е т: при b > .

3. а)

         (5; +∞).

б)

         (1,1; 1,5).

О т в е т: а) (5; +∞); б) (1,1; 1,5).

4.

О т в е т: 3; 4; 5; 6; 7.

5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:

–8 ≤ а ≤ 5.

О т в е т: при –8 ≤ а ≤ 5.

6. 4х + 6 >;

    20x + 30 > b;

    20x > b – 30;

    x > ;         .

Множеством решений является числовой промежуток (3; +∞), если:

 = 3;

b – 30 = 60;

b = 90.

О т в е т: при b = 90.

В а р и а н т  3

1. а) х > 1;

        х > 4;         (4; +∞).

б) 1 – 6х ≥ 0;

    – 6х ≥ –1;

    х ≤ ;         .

в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5;

    5y – 7 – 6 < 4y – 1,5;

    5y – 4y < 7 + 6 – 1,5;

    y < 11,5;         (–∞; 11,5).

О т в е т: а) (4; +∞); б) ; в) (–∞; 11,5).

2.  < т – 6;

    m + 1 < 3(m – 6);

    m + 1 < 3m – 18;

    m – 3m < –1 – 18;

    –2т < –19;

    т > 9,5.

О т в е т: при т > 9,5.

3. а)

         (–0,4; 3).

б)

         (1; +∞).

О т в е т: а) (–0,4; 3); б) (1; +∞).

4.

О т в е т: 1; 2; 3; 4; 5.

5. Выражение имеет смысл при a, удовлетворяющих системе:

–2 ≤ а ≤ 4.

О т в е т: при –2 ≤ а ≤ 4.

6. 5х – 1 <;

    20x – 4 < a;

    20x < a + 4;

    x < ;         .

Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 2), если:

 = 2;

а + 4 = 40;

а = 36.

О т в е т: при а = 36.

В а р и а н т  4

1. а) х ≤ 2;

         х  16;         (–∞; 16].

б) 2 – 5х < 0;

    –5х < –2;

    х > 0,4;         (0,4; +∞).

в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5;

    3x – 4,5 – 4 < 4x + 1,5;

    3x – 4x < 4,5 + 4 + 1,5;

    –x < 10;

    х > –10;         (–10; +∞).

О т в е т: а) (–∞; 16]; б) (0,4; +∞); в) (–10; +∞).

2. а + 6 < ;

    4(а + 6) < а + 2;

    4а + 24 < а + 2;

    4а – а < 2 – 24;

    3а < –22;

    а < –7.

О т в е т: при а < –7.

3. а)

         (2; +∞).

б)

         (1; 3).

О т в е т: а) (2; +∞); б) (1; 3).

4.

О т в е т: –2; –1; 0; 1; 2.

5. Выражение имеет смысл при m, удовлетворяющих системе:

–4 ≤ т ≤ 3.

О т в е т: при –4 ≤ т ≤ 3.

6. 6х + 11 >;

    24х + 44 > b;

    24x > b – 44;

    x > ;         .

Множеством решений является числовой промежуток (1; +∞), если:

 = 1;

b – 44 = 24;

b = 68.

О т в е т: при b = 68.

Контрольная работа № 9 по теме «Степень с целым показателем»

В а р и а н т  1

1. Найдите значение выражения:

а) 4¹¹ · 4^–9;            б) 6^–5 : 6^–3;            в) (2^–2)³.

2. Упростите выражение:

а) ;                           б) .

3. Преобразуйте выражение:

а) ;            б) .

4. Вычислите: .

5. Представьте произведение (4,6 · 10⁴) · (2,5 · 10^–6) в стандартном виде числа.

6. Представьте  выражение  (a^–1 + b^–1)(a + b)^–1  в  виде  рациональной дроби.

В а р и а н т  2

1. Найдите значение выражения:

а) 5^–4 · 5²;            б) 12^–3 : 12^–4;            в) (3^–1)^–3.

2. Упростите выражение:

а) ;                         б) .

3. Преобразуйте выражение:

а) ;            б) .

4. Вычислите: .

5. Представьте произведение (3,5 · 10^–5) · (6,4 · 10²) в стандартном виде числа.

6. Представьте  выражение    в  виде  рациональной дроби.

В а р и а н т  3

1. Найдите значение выражения:

а) 6¹⁵ · 6^–13;            б) 4^–6 : 4^–3;            в) (5^–1)³.

2. Упростите выражение:

а) ;                        б) .

3. Преобразуйте выражение:

а) ;                      б) .

4. Вычислите: .

5. Представьте произведение (6,8 · 10⁶) · (4,5 · 10^–8) в стандартном виде числа.

6. Представьте  выражение    в  виде  рациональной дроби.

В а р и а н т  4

1. Найдите значение выражения:

а) 5²¹ · 5^–23;                     б) 3^–8 : 3^–9;                 в) (2²)^–3.

2. Упростите выражение:

а) ;                          б) .

3. Преобразуйте выражение:

а) ;                      б) .

4. Вычислите: .

5. Представьте произведение (2,5 · 10⁷) · (6,2 · 10^–10) в стандартном виде числа.

6. Представьте  выражение    в  виде  рациональной дроби.

Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю:

Задания  1  и  2  соответствуют  уровню  обязательной  подготовки  учащихся.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить любые 2 задания. Для получения отметки «5» необходимо решить любые 5 заданий.

Решение вариантов контрольной работы №9

В а р и а н т  1

1. а) 4¹¹ · 4^–9 = 4^{11 – 9} = 4² = 16;

б) ;

в) .

О т в е т: а) 16; б) ; в) .

2. а) ;

б) .

О т в е т: а) х²; б) .

3. а) ;

б) .

О т в е т: а) ; б) .

4. .

О т в е т: 3.

5. (4,6 · 10⁴) · (2,5 · 10^–6) =4,6 · 2,5 · 10^{4 – 6} = 11,5 · 10^–2 =

    = 1,15 · 10 · 10^–2 = 1,15 · 10^–1.

О т в е т: 1,15 · 10^–1.

6. .

О т в е т: .

В а р и а н т  2

1. а) 5^–4 · 5² = ;

б) 12^–3 : 12^–4 = 12^{–3 + 4} = 12;

в) (3^–1)^–3 = 3^{(–1) · (–3)} = 3³ = 27.

О т в е т: а) 0,04; б) 12; в) 27.

2. а) ;

б) .

О т в е т: а) а²; б) 20ху.

3. а) ;

б)

     .

О т в е т: а) ; б) .

4. .

О т в е т: 512.

5. (3,5 · 10^–5) · (6,4 · 10²) =3,5 · 6,4 · 10^{–5 + 2} = 22,4 · 10^–3 =

    = 2,24 · 10 · 10^–3 = 2,24 · 10^–2.

О т в е т: 2,24 · 10^–2.

6. .

О т в е т: .

В а р и а н т  3

1. а) 6¹⁵ · 6^–13 = 6^{15 – 13} = 6² = 36;

б) ;

в) .

О т в е т: а) 36; б) ; в) .

2. а) ;

б) .

О т в е т: а) х; б) 6ab².

3. а) ;

б)

     .

О т в е т: а) ; б) .

4. .

О т в е т: 0,2.

5. (6,8 · 10⁶) · (4,5 · 10^–8) = (6,8 · 4,5) · 10^{6 – 8} = 30,6 · 10^–2 =

    = 3,06 · 10 · 10^–2 = 3,06 · 10^–1.

О т в е т: 3,06 · 10^–1.

6.

    .

О т в е т: .

В а р и а н т  4

1. а) 5²¹ · 5^–23 = ;

б) 3^–8 : 3^–9 = 3^{–8 + 9} = 3;

в) (2²)^–3 = .

О т в е т: а) 0,04; б) 3; в) .

2. а) ;

б) .

О т в е т: а) а³; б) .

3. а) ;

б)

     .

О т в е т: а) 16х⁴у⁶; б) .

4. .

О т в е т: 64.

5 (2,5 · 10⁷) · (6,2 · 10^–10) = (2,5 · 6,2) · 10^{7 – 10} = 15,5 · 10^–3 =

    = 1,55 · 10 · 10^–3 = 1,55 · 10^–2.

О т в е т: 1,55 · 10^–2.

6.

    .

О т в е т: .

Итоговая контрольная работа

В а р и а н т  1

1. Решите систему неравенств:

2. Упростите выражение: .

3. Упростите выражение: .

4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

5. При каких значениях х функция y =  + 1 принимает положительные значения?

В а р и а н т  2

1. Решите систему неравенств:

2. Упростите выражение: .

3. Упростите выражение: .

4. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и нагнал опоздание на перегоне в 80 км, идя со скоростью, на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Какова была скорость поезда по расписанию?

5. При каких значениях х функция y =  – 2 принимает отрицательные значения?

В а р и а н т  3

1. Решите неравенство: 4(2х – 1) – 3(3х + 2) > 1.

2. Упростите выражение: .

3. Упростите выражение: .

4. «Ракета» на подводных крыльях имеет скорость на 50 км/ч большую, чем скорость теплохода, и поэтому путь в 210 км она прошла на 7 ч 30 мин скорее, чем теплоход. Найдите скорость «Ракеты».

5. При каких значениях х функция y =  + 4 принимает отрицательные значения?

В а р и а н т  4

1. Решите неравенство: 9(х – 2) – 3(2х + 1) > 5х.

2. Упростите выражение: .

3. Упростите выражение: .

4. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за ним вышла из пункта А моторная лодка, которая догнала плот на расстоянии 20 км от А. С какой скоростью двигался плот, если известно, что моторная лодка шла быстрее его на 12 км/ч?

5. При каких значениях х функция y =  + 1 принимает положительные значения?

Решение вариантов итоговой  контрольной работы

В а р и а н т  1

1.

   

О т в е т: .

2.

    .

3. 1)

        ;

2) .

О т в е т: .

4. Пусть скорость первого автомобиля х км/ч, тогда скорость второго автомобиля (х – 10) км/ч.

Время, затраченное первым автомобилем на прохождение пути в 560 км, равно  ч, а время, затраченное вторым автомобилем на похождение этого же пути, равно  ч.

Первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Получим уравнение:

 –  = 1.

Решим это уравнение:

560х – 560 (х – 10) = х (х – 10);

560х – 560х + 5600 = х² – 10х;

х² – 10х – 5600 = 0;

х₁ = –70 (не подходит по смыслу задачи);

х₂ = 80.

Получим, что скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, а скорость второго 70 км/ч.

О т в е т: 80 км/ч и 70 км/ч.

5. Чтобы узнать все значения х, при которых функция y =  + 1 принимает положительные значения, нужно решить неравенство:

 + 1 > 0;

 > –1;

8 – х > –4;

–х > –12;

х < 12.

О т в е т: при х < 12.

В а р и а н т  2

1.

   

О т в е т: (8,5; 25).

2.

    .

3. 1)

        .

2) .

О т в е т: .

4. Пусть х км/ч – скорость поезда по расписанию, тогда (х + 10) км/ч – его скорость на перегоне в 80 км. Если бы на перегоне в 80 км поезд шёл по расписанию, то он затратил бы на это  ч. В реальности этот перегон он преодолел за  ч. Отрезок пути, равный 80 км, поезд в реальности прошёл на 16 мин (или  ч) быстрее, чем предполагал по расписанию.

Получим уравнение:

 –  = .

Решим это уравнение:

15 · 80(х + 10) – 15 · 80х = 4х(х + 10);

15 · 80х + 15 · 80 · 10 – 15 · 80х = 4х² + 40х;

4х² + 40х – 15 · 80 · 10 = 0;

х² + 10х – 3000 = 0;

х₁ = –60 (не подходит по смыслу задачи);

х₂ = 50.

О т в е т: 50 км/ч.

5.  – 2 < 0;

    6 – х – 10 < 0;

    – х < 4;

    х > –4.

О т в е т: х > –4.

В а р и а н т  3

1. 4(2х – 1) – 3(3х + 2) > 1;

    8х – 4 – 9х – 6 > 1;

    –х > 11;

    х < –11.

О т в е т: (–∞; –11).

2.

    .

3. 1)  

         ;

2) .

О т в е т: .

4. Пусть скорость «Ракеты» х км/ч, тогда скорость теплохода (х – 50) км/ч. Путь в 210 км «Ракета» проходит за  ч, а теплоход – за  ч. По условию этот путь «Ракета» проходит быстрее теплохода на 7,5 ч.

Получим уравнение:

 –  = 7,5.

Решим это уравнение:

210х – 210 (х – 50) = 7,5х(х – 50);

210х – 210х + 210 · 50 = 7,5х² – 7,5 · 50х;

7,5х² – 7,5 · 50х – 210 · 50 = 0;

15х² – 15 · 50х – 210 · 100 = 0;

х² – 50х – 1400 = 0;

х₁ = –20 (не подходит по смыслу задачи);

х₂ = 70.

О т в е т: 70 км/ч.

5.  + 4 < 0;

    х – 3 + 12 < 0;

    х < –9.

О т в е т: х < –9.

В а р и а н т  4

1. 9(х – 2) – 3(2х + 1) > 5х;

    9х – 18 – 6х – 3 > 5х;

    3х – 5х > 21;

    –2х > 21;

    х < – 10,5.

О т в е т: (–∞; –10,5).

2.

    .

3. 1)

          ;

2) .

О т в е т: .

4. Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда моторная лодка шла со скоростью (12 + х) км/ч. Расстояние в 20 км плот прошёл за  ч, а моторная лодка – за  ч. Лодка была в пути на 5 ч меньше, чем плот.

Получим уравнение:

 –  = 5.

Решим это уравнение:

;

;

60 · 12 = 16х (12 + х);

15 · 3 = х (12 + х);

х² + 12х – 45 = 0;

х₁ = –15 (не подходит по смыслу задачи);

х₂ = 3.

О т в е т: 3 км/ч.

5.  + 1 > 0;

    12 – х + 6 > 0;

    –х > –18;

    х < 18.

О т в е т: х < 18.

Список литературы

1. Учебник Алгебра 8. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова /Под редакцией С.А. Теляковского. М.: Просвещение,  2010.
2. Учебник Теория вероятностей и статистика Ю.Н.Тюрин, А.А. Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко, 2008

3.      Звавич Л.И., Кузнецова Л.В., Суворова С.Б.. Алгебра 8 класс. Дидактические материалы, М.: «Просвещение».

4.      Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы. / авт.-сост. В.Н. Студенецкая. – Волгоград: Учитель.

Интернет-ресурс

1. www. edu -  "Российское образование" Федеральный портал.

2. www. school.edu -  "Российский общеобразовательный портал".

3. www.school-collection.edu.ru/  Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

4. http://pedsovet.su/  Сообщество взаимопомощи учителей

5. www.mathvaz.ru -  docье школьного учителя математики
6. www.it-n.ru  "Сеть творческих учителей"

7. www .festival.1september.ru    Фестиваль педагогических идей "Открытый урок"

8. http://www.uroki.net/index.htm  Методическая помощь для учителей

9. http://www.uchportal.ru/load/24 Учительский портал