Рабочая программа по математике для 9 класса

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Верхнелуговатская средняя общеобразовательная школа»

Верхнехавского муниципального района Воронежской области

РАССМОТРЕНО:                                                         ПРИНЯТО:

на заседании методического объединения                на заседании педагогического совета

учителей физико-математического цикла                 МКОУ «Верхнелуговатская СОШ»

МКОУ «Верхнелуговатская СОШ»                          «___» _______________ 2016 г.

«__» ____________ 2016 г.                                        (протокол № ___)                          

(протокол № _____)

Руководитель методического объединения

____________________ (Т. В. Черных)

                                                                            УТВЕРЖДАЮ:

                                                                            Директор МКОУ «Верхнелуговатская  СОШ»

                                                                             __________   /А.Н.Харин/ 

                                                                             Приказ по школе № ______ от ____________

                                                                             М.П.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по учебному предмету «Математика»

для 9 класса

на 2015-2016 учебный год

Составитель программы: Черных Татьяна Владимировна

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа основного общего образования по математике разработана на основе авторской программы, составленной Н. Г. Миндюк (Алгебра. Предметная линия учебников Ю. Н. Макарычева и других. Программы общеобразовательных учреждений. 7-9 класы / сост. Н. Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 2011) и примерной программы основного общего образования по математике (М.: Издательский центр «Вентана - Граф», Т. Б. Васильева, 2007).

Сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений необходимо в повседневной жизни,  для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Практическая значимость школьного курса математики обусловлена тем, что его объектом являются количественные отношения действительного мира. Математическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических понятий и идей. Математика является языком науки и техники. С ее помощью моделируются и изучаются явления и процессы, происходящие в природе.

Математика является одним из опорных предметов основной школы: она обеспечивает изучение других дисциплин. В первую очередь это относится к предметам естественнонаучного цикла, в частности к физики. Развитие логического мышления учащихся при обучении математике способствует усвоению предметов гуманитарного цикла. Практические умения и навыки математического характера необходимы для трудовой и профессиональной подготовки школьников.

Развитие у учащихся правильных представлений о сущности и происхождении математических абстракций, соотношений реального и идеального, характере отражения математической наукой явлений и процессов реального мира, месте математики в системе наук и роли математического моделирования в научном познании и в практике способствует формированию научного мировоззрения учащихся и качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе.

Требуя от учащихся умственных и волевых усилий, концентрации внимания, активности развитого воображения, математика развивает нравственные черты личности (настойчивость, целеустремленность, творческую активность, самостоятельность, ответственность, трудолюбие, дисциплину и критичность мышления) и умение аргументировано отстаивать свои взгляды и убеждения, а также способность принимать самостоятельные решения.

Изучение алгебры, функций, вероятности и статистики, геометрии существенно расширяет кругозор учащихся, знакомя их с индукцией и дедукцией, обобщением и конкретизацией, анализом и синтезом, классификацией и систематизацией, абстрагированием, аналогией. Активное использование задач на всех этапах учебного процесса развивает творческие способности школьников.

         Изучение математики позволяет формировать умения и навыки умственного труда - планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов. В процессе изучения математики школьники должны научиться излагать свои мысли ясно и исчерпывающе, лаконично и емко, приобрести навыки четкого, аккуратного и грамотного выполнения математических записей.

Важнейшей задачей школьного курса математики является развитие логического мышления учащихся. Сами объекты математических умозаключений и принятые в математике правила их конструирования способствуют формированию умений обосновывать и доказывать суждения, приводить четкие определения, развивают логическую интуицию, кратко и наглядно раскрывают механизм логических построений и учат их применению. Тем самым математика занимает одно из ведущих мест в формировании научно-теоретического мышления школьников.

Место предмета в федеральном базисном учебном плане

Данная рабочая программа предполагает изучение математики 9 класса из расчета 5 часов в неделю. Курс алгебры - 3 часа в неделю (всего 102 часа), курс геометрии - 2 часа (68 часов).

Общая характеристика учебного предмета

Школьный курс математики состоит из двух модулей: алгебра и геометрия.

Алгебра

В курсе алгебры можно выделить следующие основные содержательные линии: арифметика; алгебра; функции; вероятность и статистика. Наряду с этим в содержание включены два дополнительных методологических раздела: логика и множества; математика в историческом развитии, что связано  с реализацией целей обще-интеллектуального и общекультурного развития учащихся. Содержание каждого из этих разделов разворачивается в содержательно-методическую линию, пронизывающую все основные содержательные линии. При этом первая линия - «Логика и множества» - служит для овладения учащимися некоторыми элементами универсального математического языка, вторая - «Математика в историческом развитии» - способствует созданию общекультурного, гуманитарного фона изучения курса.

Содержание линии «Арифметика» служит базовой для дальнейшего изучения учащимися математики, способствует развитию  их логического мышления, формированию умения пользоваться алгоритмами, а также приобретению практических навыков, необходимых в повседневной жизни. Развитие понятия о числе в основной школе связано с рациональными и иррациональными числами, формированием первичных представлений о действительном числе.

Содержание линии «Арифметика» способствует формированию у учащихся математического аппарата для решения задач из разделов математики, смежных предметов и окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики как языка для построения математических моделей процессов и явлений реального мира.

Развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики, и овладение навыками дедуктивных рассуждений также являются задачами изучения алгебры. Преобразование символьных форм вносит специфический вклад в развитии воображения учащихся, их способностей к математическому творчеству. В основной школе материал группируется вокруг рациональных выражений.

Содержание раздела «Функции» нацелено на получение школьниками конкретных знаний о функции как важнейшей математической модели для описания и исследования разнообразных процессов. Изучение этого материала способствует развитию у учащихся умение использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), вносит вклад в формирование представлений о роли математики в развитии цивилизации и культуры.

Раздел «Вероятность и статистика» ― обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего для формирования у учащихся функциональной грамотности ― умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной карте мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации, и закладываются основы вероятного мышления.

Геометрия

В курсе условно можно выделить следующие содержательные линии: «Наглядная геометрия», «Измерение геометрических величин», «Координаты», «Векторы», «Логика и множества», «Геометрия в историческом развитии».

Материал, относящийся к линии «Наглядная геометрия» (элементы наглядной стереометрии) способствует развитию пространственных представлений учащихся в рамках изучения планиметрии.

Содержание разделов «Геометрические фигуры» и «Измерение геометрических величин» нацелено на получение конкретных знаний о геометрической фигуре как важнейшей математической модели для описания окружающего мира. Систематическое изучение свойств геометрических фигур позволит развивать логическое мышление и показать применение этих свойств при решении задач вычислительного и конструктивного характера, а также практических.

Материал, относящийся к содержательным линиям «Координаты» и «Векторы», в значительной степени несет в себе межпредметные знания, которые находят применение как в различных математических дисциплинах, так и  в смежных предметах.

Особенностью линии «Логика и множества» является то, что представленный здесь материал преимущественно изучается при рассмотрении различных вопросов курса. Соответствующий материал нацелен на математическое развитие учащихся, формирование у них умения точно, сжато и ясно излагать мысли в устной и письменной речи.

Линия «Геометрия в историческом развитии» предназначена для формирования представлений о геометрии как части человеческой культуры, для общего развития школьников, для создания культурно-исторической среды обучения.

Цели

Изучение математики на ступени основного общего образования направлено на достижение следующих целей:

-       овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

-       интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;

-       формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

-       воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Требования к результатам обучения и освоению содержания курса

Программа обеспечивает достижение следующих результатов освоения образовательной программы основного общего образования:

личностные:

1)    формирование ответственного отношения к учению, готовности  и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, выбору дальнейшего образования на базе ориентировки в мире профессий и профессиональных предпочтений, осознанному построению индивидуальной образовательной траектории с учетом устойчивых познавательных интересов;

2)    формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики;

3)    формирование коммуникативной компетентности в общении и сотрудничестве со сверстниками, старшими и младшими в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, творческой и других видах деятельности;

4)    умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;

5)    критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

6)    креативность мышления, инициативу, находчивость, активность при решении геометрических задач;

7)    умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

8)    способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

метапредметные:

1)    умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач;

2)    умение осуществлять контроль по результату и по способу действия на уровне произвольного внимания и вносить необходимые коррективы;

3)    умение адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность и собственные возможности ее решения;

4)    осознанное владение логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий, классификации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев, установления родословных связей;

5)    умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы;

6)    умение создавать, применять и преобразовывать знаковосимволические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;

7)    умение организовывать учебное  сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределять функции и роли участников, общие способы работы; умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учета интересов; слушать партнера; формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение;

8)    формирование и развитие учебной и общепользовательской компетентности в области использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ-компетентности);

9)    первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов;

10)           умение видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

11)           умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

12)           умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

13)           умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

14)           умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

15)           понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

16)           умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

17)           умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера;

предметные:

1)    овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания геометрии; представление об основных изучаемых понятиях (число, геометрическая фигура, вектор, координаты) как важнейших математических моделях, позволяющих описывать и изучать реальные процессы и явления;

2)    овладение базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания алгебры; иметь представление о числе, владение символьным языком алгебры, значение элементарных функциональных зависимостей, иметь представление о статистических закономерностях в реальном  мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

3)    умение работать с геометрическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной  речи с применением математической терминологией и символики, использовать различные языки  математики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;

4)    умение работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и символику, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический), обосновывать суждения, проводить классификацию, доказывать математические утверждения;

5)    овладение навыками устных, письменных, инструментальных вычислений;

6)    овладение  математическим языком, умение использовать его для описания предметов окружающего мира, развитие пространственных представлений и изобразительных умений, приобретение навыков геометрических построений;

7)    усвоение систематических знаний о плоских фигурах и их свойствах, а также на наглядном уровне – о простейших пространственных телах, умение применять систематические знания о них для решения геометрических и практических задач;

8)    умение измерять длины отрезков, величины углов, использовать формулы для нахождения периметров, площадей и объемов геометрических фигур;

9)    умение выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений, применять их для решения учебных математических задач и задач, возникающих  в смежных предметах;

10)           умение пользоваться математическими  формулами и самостоятельно составлять формулы зависимостей между величинами на основе обобщения частных случаев и эксперимента;

11)           умение решать линейные и квадратные уравнения и неравенства, а также приводимые к ним уравнения, неравенства, системы; применять графические представления для решения и исследования уравнений, неравенств, систем; применять полученные умения для решения задач из математики, смежных предметов, практики;

12)           овладение системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, умение строить графики функций, описывать их свойства, использовать функционально-графические представления для описания и анализа математических задач и реальных зависимостей;

13)           овладение основными способами представления и анализа статистических данных; умение решать задачи на нахождение частоты и вероятности случайных событий;

14)           умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера.

Выпускник научится в 7-9 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне)

Элементы теории множеств и математической логики

·                   Оперировать на базовом уровне^[1] понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность;

·                   задавать множества перечислением их элементов;

·                   находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;

·                   оперировать на базовом уровне понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;

·                   приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов.

Числа

·       Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанная дробь, рациональное число, арифметический квадратный корень;

·       использовать свойства чисел и правила действий при выполнении вычислений;

·       использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;

·       выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;

·       оценивать значение квадратного корня из положительного целого числа;

·       распознавать рациональные и иррациональные числа;

·       сравнивать числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       оценивать результаты вычислений при решении практических задач;

·       выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;

·       составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Тождественные преобразования

·      Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

·      выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые;

·      использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;

·      выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений и выражений с квадратными корнями.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       понимать смысл записи числа в стандартном виде;

·       оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».

Уравнения и неравенства

·       Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение неравенства;

·       проверять справедливость числовых равенств и неравенств;

·       решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным;

·       решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;

·       проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства);

·       решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;

·       изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других учебных предметах.

Функции

·       Находить значение функции по заданному значению аргумента;

·       находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;

·       определять положение точки по её координатам, координаты точки по её положению на координатной плоскости;

·       по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции;

·       строить график линейной функции;

·       проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности);

·       определять приближённые значения координат точки пересечения графиков функций;

·       оперировать на базовом уровне понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;

·       решать задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным подсчётом без применения формул.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания, области положительных и отрицательных значений и т.п.);

·       использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других учебных предметов.

Статистика и теория вероятностей

·       Иметь представление о статистических характеристиках, вероятности случайного события, комбинаторных задачах;

·       решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;

·       представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;

·       читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;

·       определять основные статистические характеристики числовых наборов;

·       оценивать вероятность события в простейших случаях;

·       иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       оценивать количество возможных вариантов методом перебора;

·       иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий;

·       сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;

·       оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях.

Текстовые задачи

·       Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;

·       строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трёх взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

·       осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;

·       составлять план решения задачи;

·       выделять этапы решения задачи;

·       интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

·       знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;

·       решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

·       решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;

·       находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;

·       решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать прикидку).

Геометрические фигуры

·       Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур;

·       извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде;

·       применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;

·       решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания.

Отношения

·       Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

·       Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;

·       применять формулы периметра, площади и объёма, площади поверхности отдельных многогранников при вычислениях, когда все данные имеются в условии;

·       применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей в простейших случаях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.

Геометрические построения

·       Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни.

Геометрические преобразования

·       Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       распознавать движение объектов в окружающем мире;

·       распознавать симметричные фигуры в окружающем мире.

Векторы и координаты на плоскости

·       Оперировать на базовом уровне понятиями вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости;

·       определять приближённо координаты точки по её изображению на координатной плоскости.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать векторы для решения простейших задач на определение скорости относительного движения.

История математики

·       Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;

·       знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей;

·       понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

·       Выбирать подходящий изученный метод для решении изученных типов математических задач;

·       Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства.

Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углублённом уровнях

Элементы теории множеств и математической логики

·                   Оперировать^[2] понятиями: определение, теорема, аксиома, множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств;

·                   изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;

·                   определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;

·                   задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;

·                   оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания (импликации);

·                   строить высказывания, отрицания высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;

·       использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для описания реальных процессов и явлений.

Числа

·       Оперировать понятиями: множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, иррациональное число, квадратный корень, множество действительных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных, действительных чисел;

·       понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;

·       выполнять вычисления, в том числе с использованием приёмов рациональных вычислений;

·       выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;

·       сравнивать рациональные и иррациональные числа;

·       представлять рациональное число в виде десятичной дроби

·       упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенной и десятичной дроби;

·       находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;

·       выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;

·       составлять и оценивать числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов;

·       записывать и округлять числовые значения реальных величин с использованием разных систем измерения.

Тождественные преобразования

·       Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;

·       выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);

·       выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;

·       выделять квадрат суммы и разности одночленов;

·       раскладывать на множители квадратный   трёхчлен;

·       выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;

·       выполнять преобразования дробно-рациональных выражений: сокращение дробей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую отрицательную степень;

·       выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;

·       выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни;

·       выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;

·       выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

·       Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);

·       решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований;

·       решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью тождественных преобразований;

·       решать дробно-линейные уравнения;

·       решать простейшие иррациональные уравнения вида , ;

·       решать уравнения вида ;

·       решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;

·       использовать метод интервалов для решения целых и дробно-рациональных неравенств;

·       решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;

·       решать несложные квадратные уравнения с параметром;

·       решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;

·       решать несложные уравнения в целых числах.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;

·       выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;

·       выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;

·       уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

Функции

·       Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, чётность/нечётность функции;

·       строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, функции вида: , , , ;

·       на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x) для построения графиков функций ;

·       составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;

·       исследовать функцию по её графику;

·       находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности квадратичной функции;

·       оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;

·       решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;

·       использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов.

Текстовые задачи

·       Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

·       использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

·       различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

·       знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

·       моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;

·       выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

·       уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

·       анализировать затруднения при решении задач;

·       выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

·       интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

·       анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

·       исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчёта;

·       решать разнообразные задачи «на части»,

·       решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

·       осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение). выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;

·       владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

·       решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

·       решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

·       решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;

·       решать несложные задачи по математической статистике;

·       овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учётом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

·       решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

·       решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

Статистика и теория вероятностей

·       Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;

·       извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;

·       составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;

·       оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник Паскаля;

·       применять правило произведения при решении комбинаторных задач;

·       оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события, операции над случайными событиями;

·       представлять информацию с помощью кругов Эйлера;

·       решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;

·       определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;

·       оценивать вероятность реальных событий и явлений.

Геометрические фигуры

·       Оперировать понятиями геометрических фигур;

·       извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;

·       применять геометрические факты для решения задач, в том числе, предполагающих несколько шагов решения;

·       формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур;

·       доказывать геометрические утверждения;

·       владеть стандартной классификацией плоских фигур (треугольников и четырёхугольников).

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.

Отношения

·       Оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные фигуры, подобные треугольники;

·       применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках при решении задач;

·       характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

·       Оперировать представлениями о длине, площади, объёме как величинами. Применять теорему Пифагора, формулы площади, объёма при решении многошаговых задач, в которых не все данные представлены явно, а требуют вычислений, оперировать более широким количеством формул длины, площади, объёма, вычислять характеристики комбинаций фигур (окружностей и многоугольников) вычислять расстояния между фигурами, применять тригонометрические формулы для вычислений в более сложных случаях, проводить вычисления на основе равновеликости и равносоставленности;

·       проводить простые вычисления на объёмных телах;

·       формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объёмов и решать их.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       проводить вычисления на местности;

·       применять формулы при вычислениях в смежных учебных предметах, в окружающей действительности.

Геометрические построения

·       Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;

·       свободно оперировать чертёжными инструментами в несложных случаях,

·       выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;

·       изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью простейших компьютерных инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;

·       оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

Преобразования

·       Оперировать понятием движения и преобразования подобия, владеть приёмами построения фигур с использованием движений и преобразований подобия, применять полученные знания и опыт построений в смежных предметах и в реальных ситуациях окружающего мира;

·       строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования свойств фигур;

·       применять свойства движений для проведения простейших обоснований свойств фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений.

Векторы и координаты на плоскости

·       Оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора;

·       выполнять действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), вычислять скалярное произведение, определять в простейших случаях угол между векторами, выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные знания в физике, пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач;

·       применять векторы и координаты для решения геометрических задач на вычисление длин, углов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·       использовать понятия векторов и координат для решения задач по физике, географии и другим учебным предметам.

История математики

·       Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;

·       понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

·       Используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение;

·       выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;

·       использовать математические знания для описания закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства;

·       применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач.

Содержание курса математики в 7–9 классах

Алгебра

Числа

Рациональные числа

Множество рациональных чисел. Сравнение рациональных чисел. Действия с рациональными числами. Представление рационального числа десятичной дробью.

Иррациональные числа

Понятие иррационального числа. Распознавание иррациональных чисел. Примеры доказательств в алгебре. Иррациональность числа . Применение в геометрии. Сравнение иррациональных чисел. Множество действительных чисел.

Тождественные преобразования

Числовые и буквенные выражения

Выражение с переменной. Значение выражения. Подстановка выражений вместо переменных.

Целые выражения

Степень с натуральным показателем и её свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем.

Одночлен, многочлен. Действия с одночленами и многочленами (сложение, вычитание, умножение). Формулы сокращённого умножения: разность квадратов, квадрат суммы и разности. Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, применение формул сокращённого умножения. Квадратный трёхчлен, разложение квадратного трёхчлена на множители.

Дробно-рациональные выражения

Степень с целым показателем. Преобразование дробно-линейных выражений: сложение, умножение, деление. Алгебраическая дробь. Допустимые значения переменных в дробно-рациональных выражениях. Сокращение алгебраических дробей. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Действия с алгебраическими дробями: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень.

Преобразование выражений, содержащих знак модуля.

Квадратные корни

Арифметический квадратный корень. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни: умножение, деление, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня.

Уравнения и неравенства

Равенства

Числовое равенство. Свойства числовых равенств. Равенство с переменной.

Уравнения

Понятие уравнения и корня уравнения. Представление о равносильности уравнений. Область определения уравнения (область допустимых значений переменной).

Линейное уравнение и его корни

Решение линейных уравнений. Линейное уравнение с параметром. Количество корней линейного уравнения. Решение линейных уравнений с параметром.

Квадратное уравнение и его корни

Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Формула корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Теорема, обратная теореме Виета. Решение квадратных уравнений: использование формулы для нахождения корней, графический метод решения, разложение на множители, подбор корней с использованием теоремы Виета. Количество корней квадратного уравнения в зависимости от его дискриминанта. Биквадратные уравнения. Уравнения, сводимые к линейным и квадратным. Квадратные уравнения с параметром.

Дробно-рациональные уравнения

Решение простейших дробно-линейных уравнений. Решение дробно-рациональных уравнений.

Методы решения уравнений: методы равносильных преобразований, метод замены переменной, графический метод. Использование свойств функций при решении уравнений.

Простейшие иррациональные уравнения вида , .

Уравнения вида .Уравнения в целых числах.

Системы уравнений

Уравнение с двумя переменными. Линейное уравнение с двумя переменными. Прямая как графическая интерпретация линейного уравнения с двумя переменными.

Понятие системы уравнений. Решение системы уравнений.

Методы решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический метод, метод сложения, метод подстановки.

Системы линейных уравнений с параметром.

Неравенства

Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств. Проверка справедливости неравенств при заданных значениях переменных.

Неравенство с переменной. Строгие и нестрогие неравенства. Область определения неравенства (область допустимых значений переменной).

Решение линейных неравенств.

Квадратное неравенство и его решения. Решение квадратных неравенств: использование свойств и графика квадратичной функции, метод интервалов. Запись решения квадратного неравенства.

Решение целых и дробно-рациональных неравенств методом интервалов.

Системы неравенств

Системы неравенств с одной переменной. Решение систем неравенств с одной переменной: линейных, квадратных. Изображение решения системы неравенств на числовой прямой. Запись решения системы неравенств.

Функции

Понятие функции

Декартовы координаты на плоскости. Формирование представлений о метапредметном понятии «координаты». Способы задания функций: аналитический, графический, табличный. График функции. Примеры функций, получаемых в процессе исследования различных реальных процессов и решения задач. Значение функции в точке. Свойства функций: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, чётность/нечётность, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения. Исследование функции по её графику.

Представление об асимптотах.

Непрерывность функции. Кусочно заданные функции.

Линейная функция

Свойства и график линейной функции. Угловой коэффициент прямой. Расположение графика линейной функции в зависимости от её углового коэффициента и свободного члена. Нахождение коэффициентов линейной функции по заданным условиям: прохождение прямой через две точки с заданными координатами, прохождение прямой через данную точку и параллельной данной прямой.

Квадратичная функция

Свойства и график квадратичной функции (парабола). Построение графика квадратичной функции по точкам. Нахождение нулей квадратичной функции, множества значений, промежутков знакопостоянства, промежутков монотонности.

Обратная пропорциональность

Свойства функции . Гипербола.

Графики функций. Преобразование графика функции  для построения графиков функций вида .

Графики функций , , , .

Последовательности и прогрессии

Числовая последовательность. Примеры числовых последовательностей. Бесконечные последовательности. Арифметическая прогрессия и её свойства. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий. Сходящаяся геометрическая прогрессия.

Решение текстовых задач

Задачи на все арифметические действия

Решение текстовых задач арифметическим способом. Использование таблиц, схем, чертежей, других средств представления данных при решении задачи.

Задачи на движение, работу и покупки

Анализ возможных ситуаций взаимного расположения объектов при их движении, соотношения объёмов выполняемых работ при совместной работе.

Задачи на части, доли, проценты

Решение задач на нахождение части числа и числа по его части. Решение задач на проценты и доли. Применение пропорций при решении задач.

Логические задачи

Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.

Основные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).

Статистика и теория вероятностей

Статистика

Табличное и графическое представление данных, столбчатые и круговые диаграммы, графики, применение диаграмм и графиков для описания зависимостей реальных величин, извлечение информации из таблиц, диаграмм и графиков. Описательные статистические показатели числовых наборов: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения. Меры рассеивания: размах, дисперсия и стандартное отклонение.

Случайная изменчивость. Изменчивость при измерениях. Решающие правила. Закономерности в изменчивых величинах.

Случайные события

Случайные опыты (эксперименты), элементарные случайные события (исходы). Вероятности элементарных событий. События в случайных экспериментах и благоприятствующие элементарные события. Вероятности случайных событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями. Классические вероятностные опыты с использованием монет, кубиков. Представление событий с помощью диаграмм Эйлера. Противоположные события, объединение и пересечение событий. Правило сложения вероятностей. Случайный выбор. Представление эксперимента в виде дерева. Независимые события. Умножение вероятностей независимых событий. Последовательные независимые испытания. Представление о независимых событиях в жизни.

Элементы комбинаторики

Правило умножения, перестановки, факториал числа. Сочетания и число сочетаний. Формула числа сочетаний. Треугольник Паскаля. Опыты с большим числом равновозможных элементарных событий. Вычисление вероятностей в опытах с применением комбинаторных формул. Испытания Бернулли. Успех и неудача. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли.

Случайные величины

Знакомство со случайными величинами на примерах конечных дискретных случайных величин. Распределение вероятностей. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания. Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей. Применение закона больших чисел в социологии, страховании, в здравоохранении, обеспечении безопасности населения в чрезвычайных ситуациях.

Геометрия

Геометрические фигуры

Фигуры в геометрии и в окружающем мире

Геометрическая фигура. Формирование представлений о метапредметном понятии «фигура». 

Точка, линия, отрезок, прямая, луч, ломаная, плоскость, угол, биссектриса угла и её свойства, виды углов, многоугольники, круг.

Осевая симметрия геометрических фигур. Центральная симметрия геометрических фигур.

Многоугольники

Многоугольник, его элементы и его свойства. Распознавание некоторых многоугольников. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. Правильные многоугольники.

Треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренный треугольник, его свойства и признаки. Равносторонний треугольник. Прямоугольный, остроугольный, тупоугольный треугольники. Внешние углы треугольника. Неравенство треугольника.

Четырёхугольники. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция, равнобедренная трапеция. Свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, квадрата.

Окружность, круг

Окружность, круг, их элементы и свойства; центральные и вписанные углы. Касательная и секущая к окружности, их свойства. Вписанные и описанные окружности для треугольников, четырёхугольников, правильных многоугольников.

Геометрические фигуры в пространстве (объёмные тела)

Многогранник и его элементы. Названия многогранников с разным положением и количеством граней. Первичные представления о пирамиде, параллелепипеде, призме, сфере, шаре, цилиндре, конусе, их элементах и простейших свойствах.

Отношения

Равенство фигур

Свойства равных треугольников. Признаки равенства треугольников.

Параллельно­сть прямых

Признаки и свойства параллельных прямых. Аксиома параллельности Евклида. Теорема Фалеса.

Перпендикулярные прямые

Прямой угол. Перпендикуляр к прямой. Наклонная, проекция. Серединный перпендикуляр к отрезку. Свойства и признаки перпендикулярности.

Подобие

Пропорциональные отрезки, подобие фигур. Подобные треугольники. Признаки подобия.

Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

Измерения и вычисления

Величины

Понятие величины. Длина. Измерение длины. Единицы измерения длины. Величина угла. Градусная мера угла.

Понятие о площади плоской фигуры и её свойствах. Измерение площадей. Единицы измерения площади.

Представление об объёме и его свойствах. Измерение объёма. Единицы измерения объёмов.

Измерения и вычисления

Инструменты для измерений и построений; измерение и вычисление углов, длин (расстояний), площадей. Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике Тригонометрические функции тупого угла. Вычисление элементов треугольников с использованием тригонометрических соотношений. Формулы площади треугольника, параллелограмма и его частных видов, формулы длины ок­ружности и площади круга. Сравнение и вычисление площадей. Теорема Пифагора. Теорема синусов. Теорема косинусов.

Расстояния

Расстояние между точками. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между фигурами.

Геометрические построения

Геометрические построения для иллюстрации свойств геометрических фигур.

 Инструменты для построений: циркуль, линейка, угольник. Простейшие построения циркулем и линейкой: построение биссектрисы угла, перпендикуляра к прямой, угла, равного данному,

Построение треугольников по трём сторонам, двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежащим к ней углам.

Деление отрезка в данном отношении.

Геометрические преобразования

Преобразования

Понятие преобразования. Представление о метапредметном понятии «преобразование». Подобие.

Движения

Осевая и центральная симметрия, поворот и параллельный перенос. Комбинации движений на плоскости и их свойства.

Векторы и координаты на плоскости

Векторы

Понятие вектора, действия над векторами, использование векторов в физике, разложение вектора на составляющие, скалярное произведение.

Координаты

Основные понятия, координаты вектора, расстояние между точками. Координаты середины отрезка. Уравнения фигур.

Применение векторов и координат для решения простейших геометрических задач.

История математики

Возникновение математики как науки, этапы её развития. Основные разделы математики. Выдающиеся математики и их вклад в развитие науки.

Бесконечность множества простых чисел. Числа и длины отрезков. Рациональные числа. Потребность в иррациональных числах. Школа Пифагора

Зарождение алгебры в недрах арифметики. Ал-Хорезми. Рождение буквенной символики. П.Ферма, Ф. Виет, Р. Декарт. История вопроса о нахождении формул корней алгебраических уравнений степеней, больших четырёх. Н. Тарталья, Дж. Кардано, Н.Х. Абель, Э.Галуа.

Появление метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Появление графиков функций. Р. Декарт, П. Ферма. Примеры различных систем координат.

Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске. Сходимость геометрической прогрессии.

Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма, Б.Паскаль, Я. Бернулли, А.Н.Колмогоров.

От земледелия к геометрии. Пифагор и его школа. Фалес, Архимед. Платон и Аристотель. Построение правильных многоугольников. Триссекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л Эйлер, Н.И.Лобачевский. История пятого постулата.

Геометрия и искусство. Геометрические закономерности окружающего мира.

Астрономия и геометрия. Что и как узнали Анаксагор, Эратосфен и Аристарх о размерах Луны, Земли и Солнца. Расстояния от Земли до Луны и Солнца. Измерение расстояния от Земли до Марса.

Роль российских учёных в развитии математики: Л.Эйлер. Н.И.Лобачевский, П.Л.Чебышев, С. Ковалевская, А.Н.Колмогоров.

Математика в развитии России: Петр I, школа математических и навигацких наук, развитие российского флота, А.Н.Крылов. Космическая программа и М.В.Келдыш.

Содержание курса

Алгебра

Алгебраические выражения. Квадратный трехчлен; разложение квадратного трехчлена на множители.

Уравнения.  Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным. Примеры решения уравнений третьей и четвертой степеней. Решение дробно-рациональных уравнений.

Уравнение с двумя переменными, примеры решения уравнений в целых числах.

Система уравнений с двумя переменными. Равносильность систем. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и сложением. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.

Графическая интерпретация систем уравнений с двумя переменными и их систем.

Неравенства. Квадратные неравенства. Системы неравенств с двумя переменными.

Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функции.

Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершин параболы, ось симметрии. Степенные функции с натуральным показателем, их графики. Использование графиков функции для решения уравнений и систем.

Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей.

Числовые последовательности. Понятие последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий. Сложные проценты.

Вероятность и статистика

Комбинаторика. Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения. Перестановки и факториал.

Случайные события и вероятность. Понятие о случайном опыте и случайном событии. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности.

Логика и множества

Элементы логики. Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если…, то…, в том и только в том случае, логические связки и, или.

Математика в историческом развитии

Изобретение метода координат, позволяющего переводить геометрические  объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма. Примеры различных систем координат на плоскости.

Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи) о кроликах, числа Фибоначчи. Задача о шахматной доске.

Истоки теории вероятностей: страховое дело, азартные игры. П. Ферма. Б. Паскаль. Я. Бернулли. А. Н. Колмогоров.

Геометрия

Наглядная геометрия. Наглядные представления о пространственных фигурах: куб, параллелепипед, призма, пирамида, шар, сфера, конус, цилиндр. Изображение пространственных фигур. Примеры сечений. Многогранники. Правильные многогранники. Примеры разверток многогранников, цилиндра и конуса. Понятие объема; единицы объема. Объем прямоугольного параллелепипеда, куба.

Геометрические фигуры. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0°до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Решение треугольников: теорема косинусов и теорема синусов. Замечательные точки треугольника.

Многогранник. Выпуклые многогранники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники.

Окружность и круг. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный угол, вписанный угол, величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности, их свойства. Вписанные и описанные многоугольники. Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.

Геометрические преобразования. Понятия о равенстве фигур. Понятие о движении: осевая и центральная симметрии, параллельный перенос, поворот. Понятие о подобие фигур и гомотетии.

Решение задач на вычисление, доказательство и построение с использованием свойств изученных фигур.

Измерение геометрических величин. Периметр многоугольника.

Длина окружности, число π; длина дуги окружности.

Градусная мера угла, соответствие между величиной центрального угла и длиной дуги окружности.

Площадь многоугольника. Площадь круга и площадь сектора. Соотношение между площадями подобных фигур.

Решение задач на вычисление и доказательство с использованием изученных формул.

Координаты.  Уравнение прямой. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.

Векторы. Длина (модуль) вектора. Равенство векторов. Коллинеарные векторы. Координаты вектора. Умножение вектора на число, сумма векторов, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Скалярное произведение векторов.

Теоретико-множественные понятия. Множество, элемент множества. Задание множеств перечислением элементов, характеристическим свойством. Подмножество. Объединение множеств.

Элементы логики. Определение. Аксиомы и теоремы. Доказательство от противного. Теорема, обратная данной. Пример и контрпример.

Понятие о равносильности, следовании, употребление логических связок если…, то…, в том и только в том случае, логические связки и, или.

Геометрия в историческом развитии. Построение правильных многоугольников. Трисекция угла. Квадратура круга. Удвоение куба. История числа  π. Золотое сечение. «Начала» Евклида. Л. Эйлер. Н. И. Лобачевский. История пятого постулата.

Изобретение метода координат, позволяющего переводить геометрические объекты на язык алгебры. Р. Декарт и П. Ферма. Примеры различных систем координат на плоскости.

Для реализации программного содержания используется следующий учебно-методический комплект:

1.     Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова, под ред. С. А. Теляковского. -  М.: «Просвещение», 2009.

2.      Геометрия. 7-9 класс /  Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. М.: «Просвещение», 2009.

3.     Математика. Содержание образования: Сборник нормативно-правовых документов и методических материалов. – М.: Вентана-Граф, 2007.

4.     Алгебра. Предметная линия учебников Ю. Н. Макарычева и других. Программы общеобразовательных учреждений. 7-9 класы / сост. Н. Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 2011.

5.     Геометрия. Сборник рабочих программ. 7 – 9 классы: пособие для учителей общеобразовательных учреждений / составитель Т. А. Бурмистрова. – М: Просвещение, 2011.

6.     Дидактические материалы по алгебре для  9 класса. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк М.: «Просвещение», 2002

КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

по учебному предмету «Математика» для 9 класса

на 2016 - 2017 учебный год

№ уроков	Тема	Дата проведения урока		Примечание
		План	Факт
§1. Функции и их свойства (5 часов).
1	Функция. Область определения и область значений функций.
2	Функция. Область определения и область значений функций.
3	Свойства функций и графики основных функций.
4	Свойства функций и графики основных функций.
5	Свойства функций и графики основных функций.
§2. Квадратный трехчлен (5 часов).
6	Корни квадратного трехчлена.
7	Корни квадратного трехчлена.
8	Разложение квадратного трехчлена на множители.
9	Разложение квадратного трехчлена на множители.
10	Разложение квадратного трехчлена на множители.
Вводное повторение по геометрии (3 часа).
11	Повторение материала, изученного в 8 классе.
12	Повторение материала, изученного в 8 классе.
13	Контрольная работа  №1 (на входе).
§1. Понятие вектора (2 часа).
14	Анализ к/р. Векторы.
15	Откладывание вектора от данной точки.
§2. Сложение и вычитание векторов (4 часа).
16	Сумма двух векторов.
17	Сумма нескольких векторов.
18	Вычитание векторов.
19	Решение задач по теме «Сложение и вычитание векторов».
§3. Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач (6 часов).
20	Умножение вектора на число.
21	Умножение вектора на число.
22	Применение векторов к решению задач.
23	Средняя линия трапеции.
24	Решение задач по теме «Векторы».
25	Контрольная работа №2 по теме «Векторы».
§3. Квадратичная функция и её график (8 часов).
26	Анализ к/р. Функция у = ах², её график и свойства.
27	Функция у = ах², её график и свойства.
28	Графики функций у = ах2+n и у =a(x - m)2.
29	Графики функций у = ах2+n и у =a(x - m)2.
30	Построение графика квадратичной функции.
31	Построение графика квадратичной функции.
32	Построение графика квадратичной функции.
33	Построение графика квадратичной функции.
§4. Степенная функция. Корень n – ой степени (4 часа).
34	Степенная функция y = xn.
35	Корень n–ой степени.
36	Корень n–ой степени.
37	Контрольная работа  №3 по теме «Квадратичная функция. Степенная функция».
§1. Координаты вектора (2 часа)
38	Анализ к/р. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
39	Координаты вектора.
§2. Простейшие задачи в координатах (2 часа).
40	Простейшие задачи в координатах.
41	Простейшие задачи в координатах.
§3. Уравнения окружности и прямой (6 часов).
42	Уравнение окружности.
43	Уравнение прямой.
44	Уравнение окружности и прямой.
45	Решение задач по теме «Уравнение окружности и прямой».
46	Решение задач по теме «Метод координат».
47	Контрольная работа  №4 по теме «Метод координат».
§5. Уравнения с одной переменной (7 часов).
48	Анализ к/р. Целое уравнение и его корни.
49	Целое уравнение и его корни.
50	Целое уравнение и его корни.
51	Целое уравнение и его корни.
52	Дробные рациональные уравнения.
53	Дробные рациональные уравнения.
54	Дробные рациональные уравнения.
§6. Неравенства с одной переменной (6 часов).
55	Решение неравенств второй степени с одной переменной.
56	Решение неравенств второй степени с одной переменной.
57	Решение неравенств методом интервалов.
58	Решение неравенств методом интервалов.
59	Применение метода интервалов для решения неравенств.
60	Контрольная работа  №5 по теме  «Уравнения и неравенства с одной переменной».
§1. Синус, косинус и тангенс угла (3 часа).
61	Анализ к/р. Синус, косинус и тангенс угла.
62	Синус, косинус и тангенс угла.
63	Синус, косинус и тангенс угла.
§2. Соотношения между сторонами и углами треугольника (4 часа).
64	Теорема о площади треугольника.
65	Теоремы синусов и косинусов.
66	Решение треугольников.
67	Измерительные работы.
§3. Скалярное произведение векторов (4 часа).
68	Скалярное произведение векторов.
69	Применение скалярного произведения векторов при решении задач.
70	Контрольная работа №6 (за 1 – е полугодие).
71	Анализ к/р. Решение задач по теме «Скалярное произведение векторов».
§7. Уравнения с двумя переменными и их системы (10 часов).
72	Уравнение с двумя переменными и его график.
73	Уравнение с двумя переменными и его график.
74	Графический способ решения систем уравнений.
75	Графический способ решения систем уравнений.
76	Решение систем уравнений второй степени.
77	Решение систем уравнений второй степени.
78	Решение систем уравнений второй степени.
79	Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
80	Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
81	Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.
§8. Неравенства с двумя переменными и их системы (6 часов).
82	Графическое решение неравенства с двумя переменными.
83	Графическое решение неравенства с двумя переменными.
84	Системы неравенств с двумя переменными.
85	Системы неравенств с двумя переменными.
86	Системы неравенств с двумя переменными.
87	Контрольная работа  №7 по теме «Системы уравнений с двумя переменными».
§1. Правильные многоугольники (5 часа).
88	Анализ к/р. Правильные многоугольники.
89	Окружность, описанная около правильного многоугольника и вписанная в правильный многоугольник.
90	Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.
91	Решение задач по теме «Правильный многоугольник».
92	Решение задач по теме «Правильный многоугольник».
§2. Длина окружности (7 часа).
93	Длина окружности.
94	Длина окружности.
95	Площадь круга и кругового сектора.
96	Площадь круга и кругового сектора.
97	Решение задач по теме «Длина окружности и площадь круга».
98	Решение задач по теме «Длина окружности и площадь круга».
99	Контрольная работа  №8 по теме «Длина окружности и площадь круга».
§9. Арифметическая прогрессия (8 часов).
100	Анализ к/р. Последовательности.
101	Последовательности.
102	Определение арифметической прогрессии. Формула n -  го члена  арифметической прогрессии.
103	Определение арифметической прогрессии. Формула n -  го члена  арифметической прогрессии.
104	Формула суммы  n первых членов арифметической прогрессии.
105	Формула суммы  n первых членов арифметической прогрессии.
106	Формула суммы  n первых членов арифметической прогрессии.
107	Контрольная работа  №9 по теме «Арифметическая прогрессия».
§1. Понятие движения (3 часа).
108	Анализ к/р. Понятие движения.
109	Свойства движения.
110	Решение задач по теме «Понятие движения. Осевая и центральная симметрия».
§2. Параллельный перенос и поворот (5 часа).
111	Параллельный перенос.
112	Поворот.
113	Решение задач по теме «Параллельный перенос. Поворот».
114	Решение задач по теме «Параллельный перенос. Поворот».
115	Контрольная работа  №10  по теме «Движения».
§10. Геометрическая прогрессия (7 часов).
116	Анализ к/р. Определение геометрической прогрессии. Формула n -  го члена геометрической прогрессии.
117	Определение геометрической прогрессии. Формула n -  го члена геометрической прогрессии.
118	Определение геометрической прогрессии. Формула n -  го члена геометрической прогрессии.
119	Формула суммы  n первых членов геометрической прогрессии.
120	Формула суммы  n первых членов геометрической прогрессии.
121	Формула суммы  n первых членов геометрической прогрессии.
122	Контрольная работа  №11 по теме «Геометрическая прогрессия».
§11. Элементы комбинаторики (8 часов).
123	Анализ к/р. Примеры комбинаторных задач.
124	Примеры комбинаторных задач.
125	Перестановки.
126	Перестановки.
127	Размещения.
128	Размещения.
129	Сочетания.
130	Сочетания.
§12. Начальные сведения из теории вероятностей (5 часов).
131	Относительная частота случайного события.
132	Относительная частота случайного события.
133	Вероятность равновозможных событий.
134	Вероятность равновозможных событий.
135	Контрольная работа  №12 по теме «Элементы комбинаторики и теории вероятностей».
§1. Многогранники (4 часа).
136	Анализ к/р. Многогранники.
137	Многогранники.
138	Многогранники.
139	Многогранники.
§2. Тела и поверхности вращения (4 часа).
140	Тела и поверхности вращения.
141	Тела и поверхности вращения.
142	Тела и поверхности вращения.
143	Тела и поверхности вращения.
Об аксиомах планиметрии (2 часа).
144	Об аксиомах планиметрии.
145	Об аксиомах планиметрии.
Повторение (25 часов).
146	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
147	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
148	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
149	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
150	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
151	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
152	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
153	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
154	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
155	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
156	Итоговая проверочная работа.
157	Итоговая проверочная работа.
158	Итоговая проверочная работа.
159	Итоговая проверочная работа.
160	Анализ итоговой проверочной работы.
161	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
162	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
163	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
164	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
165	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
166	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
167	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
168	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
169	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.
170	Повторение изученного материала.  Решение задач по пройденным темам.

Информационно-методическое обеспечение учебного процесса.

1. Поурочные разработки по алгебре к учебнику «Алгебра. 9 класс». М.: «ВАКО», 2010.

2.  Поурочные разработки по геометрии к учебнику «Геометрия. 7-9 классы».       Н. Ф. Гаврилова. М.: «ВАКО», 2005.

3. Учебно-методическое пособие «Алгебра. 9 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации - 2010». Под редакцией Ф. Ф. Лысенко.  Ростов-на-Дону: «Легион-М», 2009.

4. Учебно-методическое пособие «Алгебра. 9 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации - 2010». Под редакцией Ф. Ф. Лысенко.  Ростов-на-Дону: «Легион-М», 2010.

5. Учебно-методическое пособие «Алгебра. 9 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации - 2010». Под редакцией Ф. Ф. Лысенко.  Ростов-на-Дону: «Легион-М», 2011.

6. Геометрические задачи для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7 -9 классы. Э. Н. Балаян. Ростов – на – Дону: Феникс, 2011.

7. Контрольно-измерительные материалы. Алгебра: 9 класс / Сост. Л. И. Мартышова. – М.: ВАКО, 2011.

8. Алгебра. Тематический контроль (в новой форме): к учебнику «Алгебра: учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений» / Ю. Н. Макарычева и др., под ред. С. А. Теляковского / Ю. П. Дудницин, В. Л. Кронгауз. – М.: «Экзамен, 2009.

Программно-педагогические средства, реализуемые с помощью компьютера.

1.     CD «Математика. 5 – 11 классы. Практикум».

2.     CD «Алгебра. 7 – 11 класс». Электронный учебник – справочник.

---

[1] Здесь и далее – распознавать конкретные примеры общих понятий по характерным признакам, выполнять действия в соответствии с определением и простейшими свойствами понятий, конкретизировать примерами общие понятия.

[2] Здесь и далее – знать определение понятия, уметь пояснять его смысл, уметь использовать понятие и его свойства при проведении рассуждений, доказательств, решении задач.