II.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО ПРЕДМЕТА
Алгебра и начала анализа
10 класс
Повторение. Решение задач с использованием
свойств чисел и систем счисления, делимости, долей и частей, процентов, модулей
чисел. Решение задач с использованием свойств степеней и корней, многочленов,
преобразований многочленов и дробно-рациональных выражений. Решение задач с
использованием градусной меры угла. Модуль числа и его свойства. Решение задач
на движение и совместную работу, смеси и сплавы с помощью линейных, квадратных
и дробно-рациональных уравнений и их систем. Решение задач с помощью числовых
неравенств и систем неравенств с одной переменной, с применением изображения
числовых промежутков. Решение задач с использованием числовых функций и их
графиков. Использование свойств и графиков линейных и квадратичных функций,
обратной пропорциональности и функции .
Графическое решение уравнений и неравенств. Использование операций над
множествами и высказываниями. Использование неравенств и систем неравенств с
одной переменной, числовых промежутков, их объединений и пересечений.
Применение при решении задач свойств арифметической и геометрической
прогрессии, суммирования бесконечной сходящейся геометрической прогрессии.
Множества (числовые, геометрических фигур).
Характеристическое свойство, элемент множества, пустое, конечное, бесконечное
множество. Способы задания множеств Подмножество. Отношения принадлежности,
включения, равенства. Операции над множествами. Круги Эйлера. Конечные и
бесконечные, счетные и несчетные множества.
Истинные и ложные высказывания, операции над
высказываниями. Алгебра высказываний. Связь высказываний с множествами.
Кванторы существования и всеобщности.
Законы логики. Основные логические правила.
Решение логических задач с использованием кругов Эйлера, основных
логических правил.
Умозаключения. Обоснования и доказательство в
математике. Теоремы. Виды математических утверждений. Виды доказательств.
Математическая индукция. Утверждения: обратное данному,
противоположное, обратное противоположному данному. Признак и свойство,
необходимые и достаточные условия.
Основная теорема арифметики. Остатки и
сравнения. Алгоритм Евклида. Китайская теорема об остатках. Малая теорема
Ферма. q-ичные системы счисления. Функция Эйлера,
число и сумма делителей натурального числа.
Радианная мера угла, тригонометрическая
окружность. Тригонометрические функции чисел и углов. Формулы приведения,
сложения тригонометрических функций, формулы двойного и половинного аргумента.
Преобразование суммы, разности в произведение тригонометрических функций, и
наоборот.
Нули функции, промежутки знакопостоянства,
монотонность. Наибольшее и наименьшее значение функции. Периодические функции и
наименьший период. Четные и нечетные функции. Функции «дробная часть числа» и «целая часть числа» .
Тригонометрические функции числового аргумента
, , , .
Свойства и графики тригонометрических функций.
Обратные тригонометрические функции, их
главные значения, свойства и графики. Тригонометрические уравнения. Однородные
тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических неравенств.
Простейшие системы тригонометрических уравнений.
Степень с действительным показателем, свойства
степени. Простейшие показательные уравнения и неравенства. Показательная
функция и ее свойства и график. Число и
функция .
Логарифм, свойства логарифма. Десятичный и
натуральный логарифм. Преобразование логарифмических выражений. Логарифмические
уравнения и неравенства. Логарифмическая функция и ее свойства и график.
Степенная функция и ее свойства и график.
Иррациональные уравнения. Преобразования графиков функций: сдвиг, умножение на
число, отражение относительно координатных осей. Графические методы решения
уравнений и неравенств.
11 класс
Первичные представления о множестве
комплексных чисел. Действия с комплексными числами. Комплексно сопряженные
числа. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Решение уравнений в комплексных числах.
Метод интервалов для решения неравенств. Графические
методы решения уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля.
Системы показательных, логарифмических и
иррациональных уравнений. Системы показательных, логарифмических и
иррациональных неравенств.
Взаимно обратные функции. Графики взаимно
обратных функций.
Уравнения, системы уравнений с параметром.
Формула Бинома Ньютона. Решение уравнений
степени выше 2 специальных видов. Теорема Виета, теорема Безу. Приводимые и
неприводимые многочлены. Основная теорема алгебры. Симметрические многочлены.
Целочисленные и целозначные многочлены.
Диофантовы
уравнения. Цепные дроби. Теорема Ферма о сумме квадратов.
Суммы и ряды,
методы суммирования и признаки сходимости.
Теоремы о
приближении действительных чисел рациональными.
Множества на
координатной плоскости.
Неравенство
Коши–Буняковского, неравенство Йенсена, неравенства о средних.
Понятие предела
функции в точке. Понятие предела функции в бесконечности. Асимптоты графика
функции. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших. Непрерывность
функции. Свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса.
Дифференцируемость
функции. Производная функции в точке. Касательная к графику функции.
Геометрический и физический смысл производной. Применение производной в
физике. Производные элементарных функций. Правила дифференцирования.
Вторая производная,
ее геометрический и физический смысл.
Точки экстремума
(максимума и минимума). Исследование элементарных функций на точки экстремума,
наибольшее и наименьшее значение с помощью производной. Построение графиков
функций с помощью производных. Применение производной при решении задач.
Нахождение экстремумов функций нескольких переменных.
Первообразная.
Неопределенный интеграл. Первообразные элементарных функций. Площадь
криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл.
Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью интеграла.
Методы решения
функциональных уравнений и неравенств.
Геометрия
10 класс
Повторение. Решение задач с использованием свойств
фигур на плоскости. Решение задач на доказательство и построение контрпримеров.
Применение простейших логических правил. Решение задач с использованием теорем
о треугольниках, соотношений в прямоугольных треугольниках, фактов, связанных с
четырехугольниками. Решение задач с использованием фактов, связанных с
окружностями. Решение задач на измерения на плоскости, вычисления длин и
площадей. Решение задач с помощью векторов и координат.
Наглядная стереометрия. Призма,
параллелепипед, пирамида, тетраэдр.
Основные понятия геометрии в пространстве.
Аксиомы стереометрии и следствия из них. Понятие об аксиоматическом методе.
Теорема Менелая для тетраэдра. Построение сечений многогранников методом следов. Центральное
проектирование. Построение сечений многогранников методом проекций.
Скрещивающиеся прямые в пространстве. Угол
между ними. Методы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.
Теоремы о параллельности прямых и плоскостей в
пространстве. Параллельное проектирование и изображение фигур. Геометрические
места точек в пространстве.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Ортогональное проектирование. Наклонные и проекции. Теорема о трех
перпендикулярах.
Виды тетраэдров. Ортоцентрический тетраэдр,
каркасный тетраэдр, равногранный тетраэдр. Прямоугольный тетраэдр. Медианы и
бимедианы тетраэдра.
Достраивание тетраэдра до параллелепипеда.
Расстояния между фигурами в пространстве.
Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых.
Углы в пространстве. Перпендикулярные
плоскости. Площадь ортогональной проекции. Перпендикулярное сечение призмы.
Трехгранный и многогранный угол. Свойства плоских углов многогранного угла.
Свойства плоских и двугранных углов трехгранного угла. Теоремы косинусов и синусов
для трехгранного угла.
Виды многогранников. Развертки
многогранника. Кратчайшие пути на поверхности многогранника.
Теорема Эйлера.
Правильные многогранники. Двойственность правильных многогранников.
Призма. Параллелепипед. Свойства
параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед. Наклонные призмы.
Пирамида. Виды пирамид. Элементы правильной
пирамиды. Пирамиды с равнонаклоненными ребрами и гранями, их основные
свойства.
Площади поверхностей многогранников.
11 класс
Тела вращения: цилиндр, конус, шар и сфера.
Сечения цилиндра, конуса и шара. Шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой сектор
(конус).
Усеченная пирамида и усеченный конус.
Элементы сферической геометрии. Конические
сечения.
Касательные прямые и плоскости. Вписанные и
описанные сферы. Касающиеся сферы. Комбинации тел вращения.
Векторы и координаты. Сумма векторов,
умножение вектора на число. Угол между векторами. Скалярное произведение.
Уравнение плоскости. Формула расстояния между
точками. Уравнение сферы. Формула расстояния от точки до плоскости. Способы
задания прямой уравнениями.
Решение задач и доказательство теорем с
помощью векторов и методом координат. Элементы геометрии масс.
Понятие объема. Объемы многогранников. Объемы
тел вращения. Аксиомы объема. Вывод формул объемов прямоугольного
параллелепипеда, призмы и пирамиды. Формулы для нахождения объема тетраэдра.
Теоремы об отношениях объемов.
Приложения
интеграла к вычислению объемов и поверхностей тел вращения. Площадь
сферического пояса. Объем шарового слоя. Применение объемов при решении задач.
Площадь сферы.
Развертка цилиндра
и конуса. Площадь поверхности
цилиндра и конуса.
Комбинации
многогранников и тел вращения.
Подобие в
пространстве. Отношение объемов и площадей поверхностей подобных фигур.
Движения в пространстве: параллельный перенос, симметрия относительно
плоскости, центральная симметрия, поворот относительно прямой.
Преобразование
подобия, гомотетия. Решение задач на плоскости с использованием
стереометрических методов.
Вероятность и статистика, логика, теория
графов и комбинаторика
10 класс
Повторение. Использование таблиц и диаграмм
для представления данных. Решение задач на применение описательных
характеристик числовых наборов: средних, наибольшего и наименьшего значения,
размаха, дисперсии и стандартного отклонения. Вычисление частот и вероятностей
событий. Вычисление вероятностей в опытах с равновозможными элементарными
исходами. Использование комбинаторики. Вычисление вероятностей независимых
событий. Использование формулы сложения вероятностей, диаграмм Эйлера, дерева
вероятностей, формулы Бернулли.
Вероятностное
пространство. Аксиомы теории вероятностей.
Условная вероятность.
Правило умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Дискретные случайные
величины и распределения. Совместные
распределения. Распределение суммы и произведения независимых случайных
величин. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Математическое
ожидание и дисперсия суммы случайных величин.
Бинарная случайная
величина, распределение Бернулли. Геометрическое распределение.
Биномиальное распределение и его свойства. Гипергеометрическое распределение и его свойства.
Непрерывные случайные
величины. Плотность вероятности. Функция распределения. Равномерное
распределение.
Показательное
распределение, его параметры.
Распределение
Пуассона и его применение.
Нормальное распределение. Функция Лапласа. Параметры нормального распределения.
Примеры случайных величин, подчиненных нормальному закону (погрешность
измерений, рост человека). Центральная предельная теорема.
Неравенство
Чебышева. Теорема Чебышева и теорема Бернулли. Закон больших чисел. Выборочный
метод измерения вероятностей. Роль закона больших чисел в науке, природе и
обществе.
11 класс
Ковариация двух
случайных величин. Понятие о коэффициенте корреляции. Совместные наблюдения
двух случайных величин. Выборочный коэффициент корреляции. Линейная
регрессия.
Статистическая
гипотеза. Статистика критерия и ее уровень значимости. Проверка простейших
гипотез. Эмпирические распределения и их связь с теоретическими
распределениями. Ранговая корреляция.
Построение
соответствий. Инъективные и сюръективные соответствия. Биекции. Дискретная
непрерывность. Принцип Дирихле.
Кодирование.
Двоичная запись.
Основные понятия
теории графов. Деревья. Двоичное дерево. Связность. Компоненты связности. Пути
на графе. Эйлеровы и Гамильтоновы пути.
Приложение 1
Оценочные и методические материалы
КРИТЕРИИ ОЦЕНИВАНИЯ ЗНАНИЙ И УМЕНИЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Содержание и объем материала, подлежащего
проверке и оценке, определяются программой по математике для средней школы. В
задания для проверки включаются основные, типичные и притом различной сложности
вопросы, соответствующие проверяемому разделу программы. Основными формами
проверки знаний и умений учащихся по математике в средней школе являются устный
опрос и письменная контрольная работа, наряду с которыми применяются и другие
формы проверки. При этом учитывается, что в некоторых случаях только устный
опрос может дать более полные представления о знаниях и умениях учащихся; в
тоже время письменная контрольная работа позволяет оценить умение учащихся
излагать свои мысли на бумаге; навыки грамотного и фактически грамотного
оформления выполняемых ими заданий. При оценке устных ответов и письменных
контрольных работ учитель в первую очередь учитывает имеющиеся у учащегося
фактические знания и умения, их полноту, прочность, умение применять на
практике в различных ситуациях. Результат оценки зависит также от наличия и
характера погрешностей, допущенных при устном ответе или письменной контрольной
работе. Среди погрешностей выделяются ошибки, недочеты и мелкие погрешности. Погрешность
считается ошибкой, если она свидетельствует о том, что ученик не овладел
основными знаниями, умениями и их применением. К недочетам относятся
погрешности, свидетельствующие о недостаточно полном или недостаточно прочном
усвоении основных знаний и умений или об отсутствии знаний, не считающихся в
соответствии с программой основными. К недочетам относятся погрешности,
объясняющиеся рассеянностью или недосмотром, но которые не привели к искажению
смысла полученного учеником задания или способа его выполнения. Грамматическая
ошибка, допущенная в написании известного учащемуся математического термина,
небрежная запись, небрежное выполнение чертежа считаются недочетом. К мелким
погрешностям относятся погрешности в устной и письменной речи, не искажающие
смысла ответа или решения, случайные описки и т. п.
Как за устный ответ, так и за письменную
контрольную работу может быть выставлена одна из отметок: 5,4,3,2.
Оценка устных ответов. Ответ оценивается
отметкой “5”, если учащийся: 1) полностью раскрыл содержание материала в
объеме, предусмотренном программой; 2) изложил материал грамотным языком, точно
используя математическую терминологию и символику, в определенной логической
последовательности; 3) правильно выполнил рисунки, чертежи, графики,
сопутствующие ответу; 4) показал умение иллюстрировать теорию конкретными
примерами, применять в новой ситуации при выполнении практического задания; 5)
продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов,
сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков; 6)
отвечая самостоятельно, без наводящих вопросов учителя. Возможны 1-2 неточности
при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил
после замечания учителя.
Ответ оценивается отметкой “4”,если
удовлетворяет в основном требованиям на оценку “5”, но при этом имеет один из
недочетов: 1) в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие
математическое содержание ответа; 2) допущены 1-2 недочета при освещении
основного содержания ответа, исправленные после замечания учителя; 3) допущены
ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в
выкладках, легко исправленные после замечания учителя.
Ответ оценивается отметкой “3”,если: 1)
неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не
всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и
продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программы; 2)
имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической
терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих
вопросов учителя; 3) ученик не справился с применением теории в новой ситуации
при выполнении практического задания, но выполнил обязательное задание.
Ответ оценивается отметкой “2”,если: ) не
раскрыто содержание учебного материала; 2) обнаружено незнание или не понимание
учеником большей или наиболее важной части учебного материала; 3) допущены
ошибки в определении понятия, при использовании математической терминологии, в
рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после
нескольких наводящих вопросов учителя.
Оценивание письменных контрольных работ. При
проверке письменных работ по математике следует различать грубые и негрубые
ошибки. Отметка “5” ставится в случае, если работа выполнена безошибочно; “4”-в
работе допущены 1 грубая и 1-2 негрубые ошибки;“3”-в работе допущены 2-3 грубые
или 3 и более негрубые ошибки;“2”-если в работе допущены 4 и более грубых
ошибок. Учитель может повысить отметку за оригинальный ответ или оригинальное
решение, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии учащегося, а
так же за решение более сложной задачи или ответа на наиболее трудный вопрос,
предложенные сверх обычных заданий. Оценивая ответ учащегося или письменную
контрольную работу, учитель дает устно качественную характеристику их
выполнения.
Алгебра и начала анализа. Вероятность и
статистика, логика, теория графов и комбинаторика
Контрольная работа №1 по теме
«Решение задач с использованием числовых функций и их графиков»
Контрольная работа №2 по теме «Степень с
действительным показателем»
Контрольная работа №3 по теме «Показательная и
логарифмическая функции»
Контрольная работа № 4 по теме
«Свойства и графики тригонометрических функций»
Контрольная работа №5 по теме
«Тригонометрические функции»
Контрольная работа №6 по теме «Вероятность и
статистика, логика, теория графов и комбинаторика».
Ответы к контрольной
работе №6
Итоговая контрольная работа
Геометрия.
Контрольная работа №1
по теме «Основные понятия
геометрии в пространстве»
Контрольная работа №2 по теме «Тетраэдр. Параллелепипед».
Контрольная работа №3
по теме «Углы в пространстве»
Контрольная работа №
4 по теме «Виды многогранников»
Приложение 2
Тематика проектов для 10 класса
Оценка достижения предметных, метапредметных,
личностных результатов может проводиться в ходе различных процедур. Одной из
таких процедур по формированию УУД, в соответствии с ФГОС, является защита
итогового индивидуального проекта. Учащимся 10 класса предлагается примерный
перечень исследовательских и проектных работ.
·
Алгоритмы решения тригонометрических уравнений и
систем уравнений.
·
Великие математики древности
·
Великое искусство и жизнь Джероламо Кардано.
·
Геометрические модели в естествознании.
·
Геометрия Лобачевского
·
Геометрия многогранников
·
Графический метод решения тригонометрических
уравнений и неравенств.
·
Графический подход к решению некоторых
тригонометрических уравнений.
·
Графики элементарных функций в рисунках
·
Диофантовы уравнения.
·
Загадки пирамиды
·
Загадочные графики тригонометрических функций.
·
Замечательные неравенства, их обоснование и
применение. Великие математики и их великие теоремы.
·
Замечательные математические кривые: розы и
спирали.
·
Золотая пропорция
·
Красивые задачи в математике
·
Математика и философия
·
Методы построения графиков тригонометрических функций.
·
Методы решения тригонометрических уравнений
·
Метод математической индукции как эффективный метод
доказательства гипотез.
·
Нестандартные способы решения тригонометрических
уравнений
·
Разработка логических игр.
·
Свойства тригонометрических функций: гармонические
колебания
·
Формула для нахождения корней кубического
уравнения. Уравнения четвертой степени и методы их решения.
·
Формула сложных процентов и ее применение.
·
Функции в жизни человека
·
«Числа не управляют миром, но показывают, как
управляется мир» (И.В. Гете).
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.