Рабочая программа по спецкурсу по математике 5 класса

Рассмотрено на МО учителей математики Протокол № От «__»_____  20__г. Руководитель МО Маленкова Т.А.

Согласовано на МС школы МАОУ ФМШ №56 Протокол № От «__»_______20___г. Руководитель МС ___Юндунова Н.С.

Утверждаю директор М АОУ ФМШ №56  _______    Перинова В.В. Приказ № От «__» _____20___г.

Рабочая программа

спецкурса по математике

«Занимательная математика »

для учащихся 5М класса.

(Содержит тематическое и поурочное планирование).

                                                                                                Составитель:

                                                                                                 Дельбеева Р.Г., учитель высшей   категории МАОУ ФМШ №56

 г. Улан- Удэ

2018

Актуальность программы

Математика возникла на основе практической деятельности людей и в начале своего развития служила преимущественно практическим целям. Оторванность математических знаний школьного курса от практики приводит к непониманию цели изучения сложных формул, многочисленных теорем, правил; вызывает снижение интереса к математическим знаниям. Данная программа своим содержанием может привлечь внимание обучающихся 5 класса, так как в ней прослеживается  неразрывная связь теории с практикой. Математическое  образование не будет абстрактным, и у обучающихся все реже будет возникать вопрос: “А зачем нам нужно изучать математику?”. В данной программе подобраны задания с практическим содержанием, побуждающие познавательный интерес к математике, связанные с ситуациями в повседневной жизни. Опыт показывает, что включение в учебный процесс математических задач практического содержания необходимо и чрезвычайно важно. Эти задачи важны в психологическом отношении, так как формируют интересы обучающихся, развивают их логическое мышление. В методологическом отношении эти задачи интересны тем, что позволяют показать тесную взаимосвязь теории и практики. Методическая ценность этих задач состоит в том, что они обеспечивают возможность для применения разнообразных форм и методов обучения.

Пояснительная записка.

Рабочая программа спецкурса «Занимательная математика» для 5 класса составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования.

Данная программа позволяет учащимся ознакомиться со многими интересными вопросами математики на данном этапе обучения, выходящими за рамки школьной программы, расширить целостное представление о проблеме данной науки. Решение математических задач, связанных с логическим мышлением закрепит интерес детей к познавательной деятельности, будет способствовать развитию мыслительных операций и общему интеллектуальному развитию.

       Не менее важным фактором  реализации данной программы является  и стремление развить у учащихся умений самостоятельно работать, думать, решать творческие задачи, работать в группе, создавать проекты, использовать ИКТ технологии, а также совершенствовать навыки  аргументации собственной позиции по определенному вопросу.

      Содержание программы соответствует познавательным возможностям школьников и предоставляет им возможность работать на уровне повышенных требований, развивая  учебную мотивацию.

Спецкурс рассчитан на 35 часов для обучающихся 5 класса. Предлагаемые занятия предполагают развитие пространственного воображения и математической интуиции обучающихся,  проявляющих интерес и склонность к изучению математики, в процессе решения задач практического содержания. Основное содержание курса математики начальной школы в большей степени ориентировано на абстрактный материал. Поэтому задачам практического содержания, способствующим развитию пространственного воображения обучающихся, их математической интуиции, логического мышления, должно уделяться особое внимание.

Данная программа занятий предназначена, для  всех обучающихся 5 класса, как проявляющих интерес и склонность к изучению математики, так и равнодушных к ней. Она составлена с учетом содержания программы по математике для учреждений, обеспечивающих получение среднего образования. 

Рассматриваемые на занятиях занимательные геометрические и практические задания имеют прикладную направленность. Тематика занятий с системой соответствующих заданий позволяет учителю дифференцировать процесс обучения, осуществлять личностно-ориентированное, развивающее, гуманистически направленное обучение.

Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, стимулирует  обучающихся к самостоятельному применению и пополнению своих знаний через содержание курса, стимулирует самостоятельность и способность к самореализации. В результате у учеников формируется устойчивый интерес к решению задач повышенной трудности, значительно улучшается качество знаний, совершенствуются умения применять полученные знания не только в учебных ситуациях, но и в повседневной деятельности, за пределами школы. А это на сегодняшний день очень актуально в связи с осуществлением компетентностно-ориентированного подхода.

Наряду с традиционными  формами организации занятий будут применяться такие организационные формы как дискуссия, проекты, диспут, выступление с докладами, презентациями, групповая работа.  Для развития познавательной активности обучающихся  будут  применяться  видеофильмы и мультимедиа технологии, интернет-технологии, которые дают возможность повысить степень активности школьников и привлечь внимание обучающихся.

Цель, задачи и принципы программы:

Цель:  развивать математический образ мышления

Задачи:

Ø  расширять кругозор учащихся в различных областях элементарной математики;

Ø  расширять математические знания в области математики;

Ø  развитие мотивации к собственной учебной деятельности;

Ø  учить  применять математическую терминологию;

Ø  учить проектной деятельности;

Ø  развивать умения отвлекаться от всех качественных сторон и явлений, сосредоточивая внимание на количественных сторонах;

Ø  уметь делать доступные выводы и обобщения, обосновывать собственные мысли.

Принципы программы:

Ø  Актуальность

            Создание условий для повышения мотивации к обучению математики, стремление развивать интеллектуальные возможности  учащихся.

Ø  Научность

Математика – учебная дисциплина, развивающая умения логически мыслить, видеть количественную сторону предметов и явлений, делать выводы, обобщения.

Ø  Системность

Курс строится от частных задач к общим (решение математических задач) и в конце курса презентация проекта.

Ø  Практическая направленность

Содержание занятий направлено на освоение  проектной деятельности, которая пригодится в дальнейшей работе, на решение занимательных задач, которые впоследствии помогут ребятам принимать участие в школьных олимпиадах и других математических играх и конкурсах.

Ø  Обеспечение мотивации

Во-первых, развитие интереса к математике как науке физико-математического направления, во-вторых, успешное усвоение учебного материала на уроках и выступление на олимпиадах по математике, овладение методом проектов.

Основные виды деятельности учащихся:

Ø  решение математических задач;

Ø  оформление математических газет;

Ø  участие в математической олимпиаде, международной игре «Кенгуру»;

Ø  знакомство с научно-популярной литературой, связанной с математикой;

Ø   выполнение проекта, творческих работ;

Ø  самостоятельная работа; работа в парах, в группах.

ü  .

Умения, навыки и способы деятельности.

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчёты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

            При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

            Таким образом, в ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:

·         развить представление о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;

·         овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;

·         изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;

·         развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами;

·         получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;

·         развить логическое мышление и речь, проводить несложные систематизации, приводить примеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический);

·         сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

Тематическое планирование.

№ п/п	Наименование разделов и тем	Количество часов
1	История математики.	2
2	Старинные меры длины.	1
3	Задачи, решаемые с конца.	2
4	Задачи на разрезание.	1
5	Задачи на взвешивание.	3
6	Задачи на переливание.	2
7	Логические задачи, решаемые с помощью таблиц.	2
8	Задачи со спичками.	2
9	Задачи на делимость чисел.	2
10	Принцип Дирихле.	2
11	Комбинаторика.	2
12	Элементы статистики.	2
13	Олимпиадные задачи.	8
14	Метод проектов.	3
15	Итоговое занятие «Брей -  ринг».	1

Поурочное планирование.

1.      История математики (2 часа).

1 урок.

Начинаю свой спецкурс с этой темы для того чтобы показать детям, что математика – это наука, которая появилась не по воле великих математиков древности, а наука, появившаяся из самой жизни, само существование человека продиктовало необходимость ее появления. Эти занятия помогут понять детям: зачем нужна математика!

1)      Историческая справка. Учитель может дать ее в виде рассказа, презентации.

Математика в Вавилонии

   О вавилонской цивилизации, к счастью, нам известно довольно много. Все это благодаря отлично сохранившимся глиняным табличкам, которые были покрыты так называемыми клинописными текстами, возраст которых датируется примерно от 2000 лет до н. э. вплоть до III века до н. э. Как правило, математика на найденных клинописных табличках в основном затрагивала только моменты, связанные с ведением хозяйства. Также простая арифметика и алгебра применялись при обмене денег, при расчетах за товары, вычислении либо простых, либо сложных процентов, налогов и части урожая, которые обычно уходили в пользу государства, землевладельца или храма. Со временем, когда начали строить каналы, зернохранилища и другие сложные постройки, арифметические и геометрические задачи стали усложняться. Математика также понадобилась и для ведения учета общественных работ, которых в то время было предостаточно.

Крайне важную роль математика сыграла при расчете календаря. Ведь именно по календарю определялись сроки посева и сбора урожая, а также все религиозные праздники. Именно вавилонская астрономия положила начало делению окружности на 360 градусов, а градуса и минуты на шестьдесят частей. Вавилонянам принадлежит одна из первых систем исчисления. Для этого они использовали числа от 1 до 59, основанием которых была 10-ка. Символ, который обозначал единицу, вавилоняне повторяли необходимое количество раз для чисел от 1 до 9. Дальнейшие обозначения, то есть, от 11 до 59, обозначались комбинацией символа числа 10, а также символа единицы. Для чисел, начиная с 60 и больше, была введена позиционная система исчисления, основанием которой стало число 60. Существенным прорывом в вавилонской математике стал позиционный принцип. То есть, один и тот же числовой знак или символ обретал различные значения в зависимости от места его расположения. В качестве примера может послужить значение 6 в нынешней записи числа 606. Однако у вавилонян ноль отсутствовал, именно поэтому и набор символов могут означать следующее: 65 — это 60+5, и 3605 — это 60²+0+5. Возникали неоднозначность и с восприятием дробей, так как одни те же символы могли трактоваться и как число, и как дробь. К примеру, 21: дробь — 21/60 и число — 20/60+1/60². Но данная проблема решалась довольно просто — все зависело от конкретного контекста.

 Вавилонянами были составлены специальные таблицы, которые предназначались для выполнения деления, а также таблицы квадратов и квадратных корней. Появились и таблицы кубов, включая кубические корни. Вавилонянам было знакомо и приближение числа. Как следует из клинописных текстов, которые были посвящены алгебраическим и геометрическим задачам, в Вавилонском царстве пользовались квадратичной формулой, чтобы решать квадратные уравнения, некоторые особые типы задач, которые могли включать в себя до десяти неизвестных. Также квадратичные формулы использовались и для решения отдельных разновидностей кубических уравнений, включая уравнения четвертой степени. На найденных глиняных табличках были запечатлены лишь задачи и главные моменты их решений. Для обозначения неизвестных применялась геометрическая терминология, поэтому и методы решений обозначались геометрическими действиями с линиями и площадями. А вот алгебраические задачи формулировались и решались только в словесных обозначениях.

Египет

   Наше понимание древнеегипетской математики основывается в основном на двух папирусах, которые датируются приблизительно 1700 лет до н. э. Однако те математические сведения, которые содержат эти папирусы, восходят к совсем раннему периоду, примерно 3500 лет до н. э. Египтяне отлично ориентировались на тот момент в математике. Они использовали ее для вычисления массы тел, площадей посевов, объемов зернохранилищ, размеров податей, количества камней, которые предназначались для строительства различных сооружений. В папирусах нашлось и упоминание о задачах с определением количества зерна для приготовления необходимого числа кружек пива и даже более сложных, где для приготовления пива использовались одновременно несколько сортов зерна. В данном случае прибегали к переводным коэффициентам. Но, пожалуй, основное применение математика в Египте нашла в астрономии. При помощи математики производились расчеты, которые были связаны с календарем. Календарь был необходим для определения различных дат религиозных праздников, а также для предсказания ежегодных разливов реки Нил. Однако, несмотря на все эти факты, уровень астрономии в Древнем Египте все же существенно уступал степени ее развития в Вавилонском царстве.          

У египтян геометрия в основном сводилась к вычислениям площадей круга, треугольников, прямоугольников, трапеций и к формулам объемов определенных тел. Стоит также отметить, что, несмотря на все величие египетских пирамид, для их строительства египтяне использовали крайне простую и примитивную математику.

Все задачи, включая их решения, которые были представлены в папирусах, были сформулированы только рецептурно, без всяких объяснений. Египтяне работали только с самыми простейшими видами квадратных уравнений, а также арифметическими и геометрическими прогрессиями. Именно поэтому и все те правила, которые они выводили для себя, были, соответственно, самого простейшего вида. Ни египетская математика, ни вавилонская, не имели общих методов. Весь багаж математических знаний являл собой только скопление эмпирических правил и формул. Несмотря на то, что индейцы майя, проживавшие на территории Центральной Америки, нисколько не оказали своего влияния на развитие математики, их некоторые достижения, которые относятся приблизительно к IV веку, все же заслуживают отдельного внимания. Скорее всего, именно майя, в своей двадцатеричной системе самыми первыми начали использовать определенный символ для обозначения нуля. А вообще у майя были две системы исчисления. Одна подразумевала использование иероглифов, вторая являлась более распространенной, так как была более примитивной. Так, точка обозначала единицу, горизонтальной чертой обозначали число пять, специальный символ — ноль. Остальные позиционные обозначение шли с числа двадцать. Числа писались по вертикали и сверху вниз.

Греческая математика

Как утверждает нам XX век, основателями математики были греки классического периода (VI-IV в. В до н. э.). Все, что было ранее, — это всего лишь набор эмпирических заключений. И в дедуктивном рассуждении последнее утверждение было сделано таким образом, что любая возможность его исключения сводилась к нулю. Греки сильно настаивали именно на дедуктивном доказательстве, и это обстоятельство было экстраординарным шагом. Стоит заметить, что кроме греков, больше ни одна цивилизация не смогла дойти до идеи получения конечных заключений, основываясь только на дедуктивных рассуждениях, которые были сформулированы из аксиом. Именно в греческом обществе классического периода исследователи находят одно из объяснений приверженности методам дедукции. В то время абсолютно все математики, а также философы (как правило, это были одни и те же лица) принадлежали исключительно к высшим слоям общества. Они никогда не утруждали себя практической деятельностью, так как рассматривали это занятие, как крайне непристойное. Математики того времени любили «поразглагольствовать» на тему абстрактных рассуждений о числах, а также о туманных отношениях к решению практических задач. Математику греки разделяли на арифметику (теоретический аспект) и на логистику (вычислительный аспект). И, если арифметика полностью принадлежала математикам-философам, то логистикой могли заниматься свободнорожденные низших классов, а также рабы.

В греческой системе счисления использовался алфавит. Аттическая система, которой пользовались в VI-III в. В. До н. э., для обозначения единицы использовала простую вертикальную черту, а числа 5, 10, 100, 1000, а также 10 000, обозначались начальными буквами из греческих названий. Чуть позже в ионической системе счисления, чтобы обозначить числа, применялись 24 буквы греческого алфавита, включая три архаические. Все кратные числа от 1000 до 9000 обозначались точно так же, как первые девять чисел, то есть от одного до девяти, но для отличия перед каждой буквой греки ставили вертикальную черту. Буквой М (от греч. Мириони — 10 000) обозначались десятки тысяч. После М ставилось то число, на которое и умножалось 10 000. К моменту прихода времени Платона и Аристотеля греческая математика полностью сформировала дедуктивный характер. Дедуктивную математику приписывают Фалесу Милетскому (приблизительно 640-546 гг. до н. э.). Однако он, как и многие греческие математики того времени, а именно — классического периода, также был философом. Говорилось, что Фалес начал использовать метод дедукции, чтобы доказать некоторые задачи в геометрии, но многие ставят это под большой вопрос.

К моменту прихода времени Платона и Аристотеля греческая математика полностью сформировала дедуктивный характер. Дедуктивную математику приписывают Фалесу Милетскому (приблизительно 640-546 гг. до н. э.). Однако он, как и многие греческие математики того времени, а именно — классического периода, также был философом. Говорилось, что Фалес начал использовать метод дедукции, чтобы доказать некоторые задачи в геометрии, но многие ставят это под большой вопрос.

Другой великий грек, чье имя тесно связано с развитием математики, также внес свой вклад в ее развитие. Это, конечно же, был Пифагор (приблизительно 585-500 гг. до н.э.). Он много странствовал, поэтому и познакомился с вавилонской, а также египетской математикой. Пифагор в дальнейшем организовал целое свое движение, популярность которого пришлась на 550-300 гг. до н.э.

Сторонники этого движения называли себя пифагорейцы. Именно они уже создали чистую математику, которая была представлена на основе теории чисел и геометрии. Целые числа обозначались точками либо камешками, с последующей группировкой этих чисел согласно форме возникающей фигуры или «фигурные числа». Чтобы было понятнее, слово «калькуляция», то есть «расчет» или «вычисление», берет свое начало от греческого слова, которое переводится, как «камешек». Такие числа, как 3, 6, 10 и так далее пифагорейцы прозвали треугольными, потому как соответствующее число камешков можно было расположить в виде треугольника. Числа 4, 9, 16 и так далее — квадратные числа, так как число их камней можно было расположить в форме квадрата. Простые геометрические конфигурации для пифагорейцев открывали определенные свойства чисел. В частности, так называемые треугольные числа, последовательно идущие друг за другом, в сумме давали квадратное число.

Пифагорейцы относились к числам как к чему-то большему, нежели просто обозначению количества. Так, двойка символизировала различие и соотносилась с мнением, которое, как известно, бывает различным у разных людей. Число 4 означало справедливость, так как состоит из двух равных частей, одинаковых множителей — двоек.

   Открытия пифагорейцев относительно сумм чисел привели к возникновению теоремы Пифагора. Так, толчком к этому послужило открытие того, что некоторые квадратные числа в сумме давали опять же квадратное число. Например, сумма 9 и 16 равна 25 и так далее. Такие числа, как 3,4 и 5, а также 5, 12, 13 и т. д. называют пифагоровыми. Они находят отражение в геометрии: Если 2 числа из тройки представляют собой длины катетов треугольника, то третье — длина гипотенузы этого треугольника. Именно из этого заключения была выведена теорема Пифагора.

   В Древней Греции математика тесно граничила с геометрией. Так, любое квадратное уравнение решалось при помощи геометрических построений. Существовали особые построения для разных арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления, при которых для наглядности использовались отрезки.

   В результате того, что задачи стали иметь геометрический вид, это привело к ряду важных событий. Одно из них — числа теперь стали рассматривать и отдельно от геометрии, так как делать расчеты с несоизмеримыми отношениями, было возможно только, прибегая к геометрическим методам. Геометрия на тот момент являлась основной практически всей математики. Это длилось вплоть до XVI века. Хотя даже и в XVIII веке, несмотря на то, что уже были хорошо развиты и алгебра, и математический анализ, строгая математика так и продолжала трактоваться, как геометрия, а слово «геометр» имело точно такой же смысл, что и «математик». Благодаря пифагорейцам, получилось создать именно ту математику, которая впоследствии была систематизировано изложена, а также доказана в «Началах» Евклида. Достаточно оснований полагать, что именно пифагорейцы открыли то, что сегодня мы называем теоремами о треугольниках, многоугольниках, параллельных прямых, сферах, окружностях и правильных многогранниках.

Индия и Арабский Халифат

   После греков за математику активно принялись индийцы. Индийские математики никогда не занимались различными доказательствами, однако именно они ввели ряд оригинальных понятий и высокоэффективных методов. Благодаря им, был введен ноль, причем сразу же, как кардинальное число, так и как символ отсутствия единиц в каком-либо разряде. Махавира (приблизительно 850 гг. н. э.) изобрел ряд операций, связанных с нулем. Так, он установил, что деление любого числа на ноль оставляет число неизмененным. Уже чуть позже Бхаксарой (приблизительно 1114 н. э.) дал правильный ответ деления числа на ноль, причем ему же приписаны и правила действий с иррациональными числами. Именно индийцы ввели в обиход отрицательные числа. Таким образом, они записывали долги. Самое раннее упоминание об отрицательных числах найдено у Брахмагупты (приблизительно 630 гг. н. э.). Примерно в 800 годах н. э. индийская математика вошла в Багдад. Слово «алгебра» произошло от названия книги «АЛЬ-джебр Ва-л-мукабала» («Восполнение и противопоставление»), которая была написана в 830 году н. э., а введено повсеместно математиком Аль-Хорезми. Аль-Хорезми в своих сочинениях воздавал должное достижениям индийской математики. Алгебра Аль-Хорезми основывалась на учениях Брахмагупты, однако в ней явно проглядывалась вавилонское и греческое влияние. Выдающийся арабский математик Ибн Аль-Хайсам (приблизительно 965-1039 гг. н. э.) сумел разработать метод получения алгебраических решений кубических, а также квадратных уравнений. Арабские математики, включая и Омар Хайяма, уже тогда умели решать многие кубические уравнения при помощи геометрических методов, при этом, они использовали конические сечения. В тригонометрию арабскими астрономами были введены понятия тангенса и котангенса. Насирэддин Туси (приблизительно 1201 – 1274 гг. н. э.) в своем «Трактате о полном четырехугольнике» регулярно смог изложить плоскую, а также сферическую геометрии. Именно он рассмотрел тригонометрию, как отдельное понятие от астрономии.

   Пожалуй, самым главным вкладом арабов в математику являются их великолепные переводы, а также комментарии к самым выдающимся творениям греков. Европа смогла оценить все эти работы только после того, как арабский Халифат завоевал Северную Африку и Испанию. А уже чуть позднее труды греков полностью перевели на латынь.

Средние  века. Эпоха возрождения   

   Средневековая Европа. Несмотря на все свое величие, Римская цивилизация не смогла оставить ни единого существенного следа в математике, так как она была уж слишком озабочена решением своих практических проблем. А вот цивилизация, которая сложилась в Европе времен раннего Средневековья (приблизительно 400-1100 гг. н. э.) не была столь продуктивной по ряду противоположных причин. Во-первых, вся интеллектуальная жизнь была сконцентрирована только на теологии, во-вторых, — на загробной жизни. Поэтому уровень математических познаний не поднимался выше простой арифметики, а также самых элементарных разделов «Начала» Евклида. Пожалуй, самым главным разделом математики в Средние века оставалась астрология. В то время любого астролога называли математиком. А так как вся медицина на тот момент основывалась преимущественно на астрологических показаниях и противопоказаниях, всем медикам также пришлось срочно стать математиками.

   Примерно в 1100 году западноевропейская математика приступила к освоению сохраненных византийскими греками и арабами наследия Древнего мира Востока. Это продлилось около трех веков. А так как арабы практически полностью владели всеми трудами древних греков, Европа смогла заполучить в свое распоряжение просто огромную математическую литературу. Все труды переводились на латынь, что способствовало существенному росту знаний и подъему математических исследований в довольно короткие сроки. Практически все ученые Европы признавали, что свое вдохновение они черпали именно из трудов греков. Одним из самых первых европейских математиков, который заслужил упоминание, стал Леонардо Пизанский или Фибоначчи. Благодаря своему сочинению «Книга абака», изданному в 1202 году, европейцы смогли познакомиться с индо-арабскими цифрами, а также методами вычислений. Из сочинения они узнали и про алгебру. Однако в течение последующих нескольких столетий столь возросшая математическая активность пошла на спад. Весь свод математических исследований и знаний той эпохи отразил Лука Пачоли в 1494 году. В нем было написано, что никаких алгебраических новшеств открыто либо придумано не было, все это уже есть у Леонардо.

Возрождение. Одними из самых выдающихся геометров эпохи Возрождения, как ни странно, стали художники. Именно они развили идею перспективы, требующей геометрии со сходящимися параллельными прямыми. Понятия проекции и сечения ввел в то время художник Леон Баттиста Альберти (1404-1472 гг.). Все прямые лучи света, которые исходят от глаз смотрящего к различным точкам представляемой сцены, образуют проекцию. А сечение получается путем прохождения плоскости через проекцию. Поэтому для того, чтобы картина, которую рисует художник, в конечном результате была максимально реалистичной, она должна следовать законам проекции и быть именно таким сечением. Суждение о проекции и сечении тут же вызывали ряд математических вопросов. К примеру, какие именно общие геометрические свойства у сечения и у исходной сцены? Какими именно обладают свойствами два различных сечения одной проекции, которые были образованы двумя различными плоскостями, пресекающими саму проекцию под разными углами? Благодаря таким вот вопросам и родилась проективная геометрия, а основал ее Ж. Дезарг (1593-1662 гг.). Он создал ее при помощи доказательств, которые основывались на проекции, а также сечении. Он унифицировал подход к разным типам конических сечений, которые выдающийся геометр из Греции — Аполлоний, рассматривал всегда отдельно.

Начало современной математики XVI век в Западной Европе стало выдающимся в достижениях алгебры и арифметики. Математики ввели в обиход десятичные дроби, а также правила арифметических действий с ними. Настоящий фурор совершил Дж. Непер, который в 1614 году изобрел логарифмы. Уже в конце XVII века сложилось четкое понимание логарифмов как показателей степеней с абсолютно любым положительным числом, но только не единицей, в качестве основания. В XVI веке стали активно пользовать иррациональными числами. Б. Паскаль (1623-1662 гг.), а также И. Барроу (1630-1677 гг.), который являлся учителем И. Ньютона (1643-1727 гг.) и преподававший в Кембриджском университете, заявили, что число корень из двух, можно трактовать исключительно как геометрическую величину и более никак. Но в тоже время Р. Декарт (1596-1650 гг.) и Дж. Валлис (1616-1703 гг.) утверждали следующее: иррациональные числа допустимы и без ссылок на геометрию, то есть сами по себе. Однако в XVI веке возобновились споры по поводу законности отрицательных чисел, а также комплексных чисел (Декарт их назвал «мнимыми»), которые возникали при решении квадратных уравнений. Несмотря на доказательную базу, эти числа были под подозрением вплоть до XVIII века, несмотря на то, что Л. Эйлер (1707-1783) прекрасно ими пользовался. Комплексные числа окончательно были признаны только в XIX веке, после того, как математики того времени полностью ознакомились с их геометрическими представлениями.

2)                      Домашнее задание: приготовить доклады о великих математиках, о их открытиях м жизни.

2урок.

Учащиеся делают доклады о великих математиках.

2.                        Старинные меры длины (1 час).

1)                      Познакомить учащихся со старинными мерами длины.

2)                 Задачи на применение старинных мер.

1. Каков рост в миллиметрах у Дюймовочки в одноимённой сказке Г-Х. Андерсена?

2. А.С. Пушкин говорит, что у царя Салтана родился сын «в аршин». Найдите рост будущего князя Гвидона в сантиметрах.

3. Обычное пожелание морякам перед плаванием: «Семь футов под килем!». Сколько это будет в сантиметрах?

4. Кольцо баскетбольной корзины расположено на высоте 10 футов. Найдите эту высоту в метрах, сантиметрах и миллиметрах.

5. Длина футбольных ворот 7 м 32 см, а высота 2 м 44 см. Найдите размеры ворот в футах (можно считать фут = 30 см 5 мм).

6. В хоккей на траве играют на прямоугольной площадке со сторонами 91 м 50 см и 54 м 90 см. Найдите длины сторон в ярдах.

7. Выразите в дюймах и сантиметрах 1 вершок, 1 пядь, 1 аршин, 1 сажень.

8. Верста – 500 саженей. Найдите длину версты в метрах.

9. Есть поговорка «пять вёрст до небес, и всё лесом». Сколько метров «до небес»?

10. Братья сеяли пшеницу, да возили в град-столицу; знать, столица та была вёрст 15 от села. На каком расстоянии была столица от села? (Ответ округлите до целых)

11. Определите «рост» человека, о котором говорят «от горшка два вершка, а уже указчик» (высоту горшка считать 25 см.).

3)Домашнее задание:  Найдите в литературе пословицы, поговорки, крылатые выражения, высказывания из сказок, где упоминаются старинные русские меры.

3.      Задачи, решаемые с конца (2 часа).

Логические задачи – это хороший способ развития умственных способностей. К классу логических задач относятся также задачи решаемые «с конца».

Простейшим примером задачи, решаемой с «конца» может служить игра в лабиринты, нарисованные на бумаге, которые нужно проходить с помощью карандаша. Многие из этих лабиринтов содержат несколько возможных путей, и среди них только один верный путь, который приведет в конец лабиринта к заветной цели. Ускорить решение такой задачки-лабиринта можно, если пойти в обратном направлении, начав движение с конечной точки и прорисовывая путь к началу лабиринта.

Задача 1

Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Какого возраста отец и сын?

Решение

Так как сын родился тогда, когда отцу было 25 лет, то разница в их возрасте будет 25 лет. Тогда 65 – 25 = 40 (лет) – будет удвоенный возраст сына, а значит, сыну будет 20 лет, а отцу 45.

Задача 2

Одну овцу лев съел за 2 дня, волк за 3 дня, собака за шесть дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?

Решение

1. Так как лев съел овцу за 2 дня, то за 1 день он съел ½ овцы.
2. Так как волк съел овцу за 3 дня, то за 1 день он съел 1/3 овцы.
3. Так как собака съела овцу за 6 дней, то за 1 день она съела 1/6 овцы.
4. Вместе лев, волк и собака за 1 день съедят ½+1/3+1/6=1, то есть 1 овцу.

Задача 3

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет;  в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок.

Сколько яблок было у каждого мальчика в начале?

Решение

Решаем задачу с конца с помощью таблицы.

НОМЕР МАЛЬЧИКА	1	2	3
Число яблок в конце	8	8	8
Число яблок до передачи их третьим мальчиком	8 : 2 = 4	8 : 2 = 4	8 + 4 + 4 = 16
Число яблок до передачи их вторым мальчиком	4 : 2 = 2	4 + 2 + 8 = 14	16 : 2 = 8
Число яблок первоначально	2 + 4 + 7 = 13	14 : 2 = 7	8 : 2 = 4

Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно  13, 7 и 4.

7.                  Я задумала число, умножила его на 7, прибавила 15 и получила 50. Какое число я задумала?

Решение:

Начнем решение задачи с «конца». В результате всех действий мы получили число 50. Далее от 50 отнимаем 15 и получаем число (35), до прибавления 15. Затем число, полученное в первом действии делим на семь, тем самым получаем искомое число 5.

7.                  Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение:

Так как осталось 32км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32: 2/3 = 48 (км). Эти 48км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48: 2/3 = 72 (км). Эти 72км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72: 2/3 = 108 (км). Задача решена.

7.                  Средний из трех братьев старше младшего на 2 года, а возраст старшего брата превышает сумму лет двух остальных братьев четырьмя годами. Найдите возраст каждого брата, если вместе им 96 лет.

Решение:

 Удвоенные возраст старшего брата на 4 года больше от суммы лет всех троих братьев и равен поэтому 96+4=100 годам. Значит, возраст старшего брата равен 100: 2=50 годам. Удвоенный возраст среднего брата на 2 года больше от суммы его лет и лет младшего брата и равен поэтому (96-50) +2=48. Значит возраст среднего брата равен 48: 2=24 годам. Теперь осталось найти возраст младшего брата: 96-50-24=22 года. Получаем ответ: младшему – 22, среднему – 24, старшему – 50

7. Однажды купец предложил бездельнику заработать. «Как только ты перейдешь через этот мост, - сказал он, - твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля». Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

Решение:

 Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 рубля, а до перехода третьего моста – 12 рублей. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (рублей), а до перехода второго моста – 36: 2 = 18 (рублей). Рассуждая аналогично, получим, что после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (рубля), а перед переходом первого моста – 42: 2 = 21 (рубль). Таким образом, у бездельника сначала был 21 рубль.

Задачи для самостоятельного решения:

1). Я задумал число, умножил его на 8, результат уменьшил на 10 и новый результат умножил на 5. Получилось 70. Какое число я задумал.

2). Библиотека из фонда детских книг передала интернату половину книг и еще тридцать книг, после этого она передала половину оставшихся и еще десять книг. В библиотеке осталось 150 детских книг. Сколько детских книг было в библиотеке первоначально?

3). Маша принесла своим друзьям медведям торт. Известно, что старший медведь съедает торт за 2 дня, средний медведь – за 3 дня, младший медведь – за 6 дней. За сколько дней три медведя вместе съедят торт?

4). «Мишины котята». Увидит Миша где-нибудь брошенного котенка, непременно подберет и принесет домой. Всегда воспитывается у него несколько котят, а сколько именно он не любит говорить, чтобы над ним не смеялись. Бывало, спросят у него: Сколько у тебя теперь котят? Немного, - ответит он. – Три четверти их числа, да еще три четверти одного котенка. Товарищи думали, что он просто балагурит. А между тем Миша задавал им задачу, которую решить совсем нетрудно. Сколько было у Миши котят?

4. Задачи на разрезание (1 час).

Задачи на разрезание интересны прежде всего тем, что универсального метода решения таких задач не существует, и каждый, кто берется за их решение, может в полной мере проявить свою смекалку, интуицию и способность к творческому мышлению.

Задачи на разрезание помогут как можно раньше формировать геометрические представления у школьников.

1.      Разделите фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части так, чтобы линия разрезов шла по сторонам квадратов. Придумайте два способа решения.

2.      Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на две равные части по линиям сетки так, чтобы в каждой из частей был кружок.

3.      Разрежьте фигуры, изображенные на рисунке, на две равные части по линиям сетки так, чтобы в каждой из частей был кружок.

4. На клетчатой бумаге нарисован квадрат размером 5*5 клеток. Придумайте, как разрезать его по линиям сетки на 7 различных прямоугольников.

5. Разделите квадрат размером 4*4 клетки на две равные части так, чтобы линия разрезов шла по сторонам клеток. Найдите все возможные способы решения. (Фигуры, получившиеся при разных способах разрезания, должны быть разными.)

6. Разделите фигуры, изображенные на рисунке, на две равные части. (Разрезать можно не только по сторонам клеток, но и по их диагоналям.)

7. Арбуз разрезали на 4 части и съели. Получилось пять корок. Могло ли такое быть?

8. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке на четыре равные части: (Разрезать можно не только по сторонам клеток, но и по их диагоналям.)

1.      Разделите квадрат размером 6*6 клеток, изображенный на рисунке, на четыре одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала три закрашенные клетки. Резать можно только по линиям сетки.

10. Попробуйте разрезать изображенную на рисунке фигуру на 3 равные по форме части:

11.  Разрежьте фигуру на 4 равные по форме части:

12. Разделите фигуру на две одинаковые части, и из полученных частей сложите шахматную доску.

5.Задачи на взвешивание (3 часа).

            Еще один вид логических задач – это задачи на взвешивание. Эти задачи можно разделить на несколько видов, рассмотрим 3 из них.

1 урок.

Задачи на  сравнения с помощью весов.

1.       Имеется 27 теннисных шариков. 26 весят одинаково, а 27-й чуть потяжелее.

Какое минимальное количество взвешиваний на чашечных весах гарантирует нахождение тяжёлого шарика?

Решение:

Достаточно воспользоваться весами три раза. Разделите 27 шариков на 3 группы, 9 шариков в каждой. Сравните две группы – бракованный шарик окажется в той группе, что потяжелее. Если весы достигли равновесия, то бракованный шарик в третьей группе. Таким оразом мы определим группу из 9 шариков, один из которых искомый. Поделите эту группу на 3 подгруппы, по три шарика в каждой. Аналогично первому шагу сравните вес двух любых подгрупп. Теперь сравните два шарика (два из трех, среди которых точно должен быть искомый) и Вам всё будет ясно. Итак, мы нашли бракованный шарик и при этом воспользовались весами только три раза.

2.      На рождественской ёлке висят три пары шаров: два белых, два голубых и два красных. Внешне шары одинакового размера. Однако в каждой паре есть один лёгкий и один тяжёлый шар. Все лёгкие шары весят между собой одинаково, и так же все тяжёлые шары. С помощью двух взвешиваний на чашечных весах определите все лёгкие и все тяжёлые шары.

Решение:

Положите один красный и один белый шар на левую чашу весов, а на правую шачу один синий и второй белый шар. Если достигнуто равновесие, то очевидно, что на каждой чаше есть один тяжёлый и один лёгкий шар. Поэтому достаточно сравнить два белых шара, чтобы узнать ответ на интересующий нас вопрос. Однако если после первого взвешивания равновесие не достигнуто, то на той стороне, что тяжелее, лежит тяжёлый белый шар. Следующим логическим шагом будет сравнение веса уже взвешенного красного шара и еще не взвешенного синего шара.

После этого Вам уж точно должно стать ясно, какие шары лёгкие, а какие тяжёлые.

3.        На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые  груши, на другой  чашке – 3 таких же яблоке и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша?

Решение:

Так как  весы находятся в равновесии, а  все яблоки  и все груши одинаковы по весу, то: 6 яблок + 3 груши = 3 яблока + 5 груш; Снимем с обеих чашек   по 3 яблока и по 3 груши, получим: 3 яблока  = 2 груши, значит, 1 груша тяжелее 1 яблока.

Ответ: Груша тяжелее.

4.        Груша и слива весят столько, сколько весят 2 яблока ; 4 груши весят столько,  сколько весят 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5 груш ?

Решение:

 По условию задачи имеем: 1 груша + 1 слива = 2 яблока;4 груши = 5 яблок + 2 сливы. Добавим на обе чашки  весов второго равенства равные по весу  (1 груша + 1 слива) и 2 яблока : 4 груши + ( 1 груша + 1 слива) = 5 яблок + 2 сливы + 2 яблока ; 5 груш + 1 слива = 7 яблок + 2 сливы ;Снимем с обеих чашек по 1 сливе, получим: 5 груш = 7 яблок + 1 слива, значит, 5 груш  тяжелее 7 яблок.

Ответ: 5 груш тяжелее.                                      

5.       Из 75 одинаковых по виду колец одно кольцо по весу несколько отличается от  других. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче оно или тяжелее остальных?

Решение:

 Разобьем все кольца на три группы по 25 колец. Положим на весы по 25 колец. Если весы в равновесии, то отличающееся кольцо находится в третьей группе, тогда  кольца с одной  чашки  убираем и кладем на нее кольца из третьей группы, если  чашка с третьей группой колец окажется тяжелее, то искомое кольцо – тяжелее, а если наоборот, то – легче.

Если же одна чашка перевесит  сразу же, то более легкие кольца убираем и кладем на эту чашку кольца третьей группы, ели весы окажутся в равновесии, то  искомое кольцо – легче, а если нет, то – тяжелее.

6.      Дано 6 гирь: две зеленых, две красных, две синих. В каждой паре одна гиря тяжелая, а другая легкая, причем все тяжелые гири  весят одинаково и все легкие тоже. Можно ли на чашечных весах найти все тяжелые гири?

Решение:

 Положим на одну чашку весов две красную и синюю гири, а на вторую – красную и зеленую. Если одна из чаш перевесила, то красная гиря, которая на ней лежит – тяжелая. Тогда положим обе красных гири на одну чашку весов, а на вторую – зеленую и синюю гири, которые мы уже взвешивали. Если перевесили красные, то  и синяя и зеленая – легкие, если перевесили синяя и зеленая, то они тяжелые. Если весы остались в равновесии, то некрасная гиря, которая при первом взвешивании  лежала на перевесившей чашке, тяжелая, а та, которая лежала на другой чашке – легкая. Если же весы при первом взвешивании оказались в равновесии, то достаточно  взвесить красные гири между собой. Та гиря, которая лежала на одной чашке с тяжелой красной – легкая, а та, которая лежала на одной чаше с легкой красной- тяжелая.

7.       Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче  она остальных или тяжелее? Находить фальшивую монету не требуется.                    

Решение:

 Взвешиваем по 50 монет. Возможны Следующие случаи :

1).Равенство:  Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там. Тогда, ели левая кучка тяжелее, то фальшивая монета тяжелее; а если левая кучка легче, то фальшивая монета легче.

2).Неравенство: Берем  более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по

25 монет. Тогда, если весы в равновесии, то фальшивая монета  легче, если же вес кучек неодинаковый, то фальшивая монета тяжелее.

2 урок.

Задачи на взвешивание на весах с гирями.

1.      В наличии 9 кг муки и чашечные весы с гирькой в 200 грамм. Необходимо в 3 приема отвесить ровно 2 кг муки для приготовления вкуснейшего пирога.

Решение:

1. Уравновесим на одной чаше 4600г муки, а на другой 4400г муки + гиря 200г;

2. Разложим поровну 4400г на чаши: 2200г и 2200г;

3. На одну чашу кладем гирю в 200г, а на другую чашу отсыпаем из 2200г до тех пор, пока не уравновесим весы. В итоге у в руках останется 2000г или 2 кг муки из которой и будем готовить пирог!

2.      У Эрудита имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Как  эрудиту в три приема отвесить 2 кг этой крупы?

Решение:

Эрудиту нужно развесить крупу на две равные части по 4,5 кг;

затем развесить одну из этих частей еще раз пополам, то есть по 2,25 кг,

и от одной из этих частей отнять при помощи двух имеющихся гирь 250 г.

Таким образом, Эрудит в три приема получит вес в 2 кг.

3.       У барона Мюнхаузена есть 8 внешне одинаковых гирек весом  1г, 2 г, 3 г, …, 8 г. Он помнит, какая из гирек, сколько весит, но граф Склероз ему не верит. Сможет ли  Барон провести одно взвешивание на чашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь?

Решение: Так как, 7г + 8 г = 1 г + 2 г + 3 г + 4 г + 5г, то остается  6г, значит, за одно взвешивание барон сможет установить вес одной гирьки в 6 г.                                                                                       Да, сможет.

4.       Имеются  двухчашечные весы и гири массой 1, 3, 9 , 27 и 81 г. На одну чашку весов кладут груз, гири разрешается класть на обе  чаши. Докажите, что весы можно уравновесить, если масса груза равна :  

                 а) 31г;      б) 52 г ;   в) 74 г ;    г) 80 г.

Решение: Так как гири можно класть на обе чашки весов, то гири в 1г и 3 г дают возможность взвесить массы в  1г+ 4г, добавляя гирю в 9 г, получаем возможность взвешивать от 5 г  до 13 г, добавляя гирю в 27 г получаем  возможность взвешивать  от 13 г до 31 г, добавляя гирю в 81 г получаем возможность взвешивать от 31 г  до 121 г, следовательно, имеем:

                     а) 31 г = 1г + 3 г + 27 г;

                     б) 52г + 3 г + 27 г = 81 г + 1г;

                     в) 74 г +1 г + 9 г = 81 г + 3г;

                     г)  80 г + 1 г  = 81 г.

5.  Золотоискатель  Джек добыл  9 кг песка.  Сможет ли он за три взвешивания  отмерить  2 кг песка с помощью двухчашечных  весов  с двумя гирями – 200 г  и 50 г? 

Решение: Первым взвешиванием делим песок на две кучки по 4500 г, вторым – одну из этих  кучек  на две кучки по  2250 г, и, наконец, от одной из этих кучек с помощью гирь отсыпаем 250 г.

Ответ: сможет.

3 урок.

Задачи на взвешивание на весах без гирь.

2.      Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей девять монет: из них 8 настоящих, а одна фальшивая – она легче чем настоящая. Как найти ее Золушке за два взвешивания?

Решение:

Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она – в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете – фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.

3.      Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая?

Решение:

Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.

4.       Из трех одинаковых по виду колец одно несколько легче остальных. Как найти его одним взвешиванием на шашечных весах без гирь?

Решение:

  Кладем два кольца на весы. Если весы в равновесии, то оставшееся кольцо  более легкое; если же одно кольцо перевесит, то оно легче других.   

5.      Из 27 монет одна фальшивая- она легче остальных. За какое наименьшее число  взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету? 

 Решение:

Разобьем все монеты на три кучки по 9 монет. Кладем на каждую чашку  весов  по 9 монет. Здесь возможны такие случаи:

1)Если весы окажутся в равновесии, то фальшивая монета в третьей   кучке.

Разобьем  третью кучку  на  три  равные части по  3  монеты и будем взвешивать по 3 монеты. Если весы – в равновесии, то фальшивая монета в отложенной кучке, если же одна чашка весов перевесила, то фальшивая монета на более легкой чашке. И в том и в другом случае берем ту кучку, которая оказалась легче и  разложим ее на три части по 1 монете. Взвесив по одной монете, определим фальшивую: она окажется либо более легкой на чашке весов, если весы не в равновесии, либо оставшаяся, если весы окажутся  в равновесии.

7)                                                                          Если весы окажутся не в равновесии, то фальшивая монета окажется на чашке весов, которая легче. Далее поступаем так же, как и в первом случае, но только с теми монетами, которые лежат на легкой чашке.

И в первом, и во втором случае достаточно трех взвешиваний.

 Ответ: За 3 взвешивания.

6.       Владелец монетного завода  имел 10 рабочих. Каждому утром он  выдавал 500 г золота для изготовления  50  золотых монет по 10 г. Наблюдая несколько дней, он установил, что кто-то из рабочих изготавливает монеты по 9 г, а сэкономленное золото присваивает. Подумав, он нашел способ, чтобы с помощью одного только  взвешивания найти нерадивого работника. Как он это сделал? 

Решение:

Возьмем у первого рабочего 1 монету, у второго рабочего – 2 монеты, у третьего- 3 монеты и так далее, у десятого рабочего 10 монет. Взвесим все взятые монеты. Тогда возможны следующие случаи:

1)      фальшивые монеты изготовляет первый рабочий, тогда вес взятых монет будет: 1× 9 + 2×10 + 3×10 + × × × + 10× 10 = 549 (г);

 2) фальшивые монеты    изготовляет второй рабочий, тогда вес     взятых монет будет: 

                                    1×10 + 2× 9 + 3× 10 + 4×10 + × × × + 9×10 + 10×10 = 548 (г)

                3) фальшивые  монеты    изготовляет третий  рабочий, тогда вес

 взятых монет будет:                   

                                     1×10 + 2×10 + 3× 9 + 4×10 + × × × + 9×10 + 10×10 = 547 (г)

                     Рассуждая дальше, наконец, получим:

               4) фальшивые монеты    изготовляет десятый  рабочий, тогда вес взятых монет    будет:                   

                                       1×10 + 2× 10 + 3× 10 + 4×10 + × × × + 9×10 + 10×9 = 540 (г)

   Заметим, что вес взятых монет в первом, втором, третьем  …   десятом случае отличается от веса настоящих монет на 1г, на 2г, на 3г ,…, на 10 г.

Вес настоящих монет должен быть: 10 г × 55 монет = 550 г. Это означает, что взвесив 55 монет и получив результат 549 г, 548 г, 547 г и т. д.  Мы будем знать, сколько граммов не хватает до 550 г – это число укажет нам   номер нерадивого  рабочего.

7.       Султан имел 10 визирей, которые платили ему каждый год по одному мешку денег. Заметил он, что один из визирей хитрит и дает мешок, в котором каждая  монета легче на один грамм. Как при помощи одного взвешивания полученных денег узнать, кто поступает нечестно?

Решение:

 Задача решается аналогично предыдущей. Берем из каждого мешка монеты: Из первого 1 монету, из второго – 2 монеты и т.д. из десятого –10 монет и взвешиваем. Вес настоящих монет должен быть:

1г × 55 монет = 55 г .Узнав, сколько граммов не хватает до 55г, мы найдем, из какого мешка были взяты монеты.            

8.      На одной  чашке весов лежит кусок мыла, а на другой  три четверти такого куска и  еще  три четверти килограмма.  Весы находятся в равновесии. Сколько весит кусок мыла?

Решение: 

 Разделим кусок мыла на 4 равные части, тогда  4 равные части куска мыла = 3 такие же части мыла +    кг; Снимем с каждой чашки по 3 части, получим: 1 часть =     кг, значит, целый кусок весит 3 кг.

Ответ: 3 кг.                   

9.       4 чашки и 1 кувшин весят столько, сколько весят 17 свинцовых шариков.  1 кувшин весит столько же, сколько 7 свинцовых шариков и 1 чашка. Сколько шариков уравновешивает кувшин?

Решение:

По условию задачи имеем: 4 чашки + 1 кувшин = 17 шариков;1 кувшин = 7 шариков + 1 чашка.  На первые весы вместо 1 кувшина ставим  7 шариков + 1чашку, получим: 4 чашки + (7 шариков + 1 чашка) = 17 шариков ; 5 чашек + 7 шариков = 17 шариков.

Снимем с каждой чашки по 7 шариков, получим: 5 чашек = 10 шариков, рассуждая дальше, получим, что 1 чашка  уравновешивает 2 шарика, а значит,4 чашки уравновешивают 8 шариков.

А так как 4 чашки + 1 кувшин = 17 шариков, то  8 шариков + 1 кувшин = 17 шариков. Снимем по 8 шариков, получим, что  1 кувшин = 9 шариков.

Ответ: 9 шариков.

6.Задачи на переливание (2 часа).

Задачи на переливание — один из видов старинных задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях для 5–6-х классов.

1 – 2 уроки

Теоретический материал:

 Суть этих задач сводится к следующему: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком-либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний.

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости «на глаз»

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать.

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях:

Ø знаем, что сосуд пуст,

Ø знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

Ø в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

Ø в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

Ø в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде.

Чаще всего используются словесный способ решения (т.е. описание последовательности действий) и  способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний.
1. Однажды Винни-Пух захотел полакомиться медом и пошел к пчелам в гости. По дороге нарвал букет цветов, чтобы подарить труженицам пчелкам. Пчелки очень обрадовались, увидев мишку с букетом цветов, и сказали: «У нас есть большая бочка с медом. Мы дадим тебе меда, если ты сможешь с помощью двух сосудов вместимостью 3 л и 5 л налить себе 4 л!» Винни-Пух долго думал, но все-таки смог решить задачку. Как он это сделал? 

Решение:

Как в результате можно получить 4 л? Нужно из 5-литрового сосуда отлить 1 л. А как это сделать? Нужно в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. 
Решение лучше и удобнее оформить в виде таблицы:

Ходы	1	2	3	4	5	6
5 л	5	2	2	-	5	4
3 л	-	3	-	2	2	3

Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (1 шаг). Из 5-литрового сосуда отливаем 3 л в 3-литровый сосуд (2 шаг). Теперь в 5-литровом сосуде осталось 2 литра меда. Выливаем из 3-литрового сосуда мед назад в бочку (3 шаг). Теперь из 5-литрового сосуда выливаем те 2 литра меда в 3-литровый сосуд (4 шаг). Наполняем из бочки 5-литровый сосуд медом (5 шаг). И из 5-литрового сосуда дополняем медом 3-литровый сосуд. Получаем 4 литра меда в 5-литровом сосуде (6 шаг). Задача решена. 
Поиск решения можно было начать с такого действия: к трем литрам добавить 1 литр. Но тогда решение будет выглядеть следующим образом:

Ходы	1	2	3	4	5	6	7	8
5 л	-	3	3	5	-	1	1	4
3 л	3	-	3	1	1	-	3	-

2. Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100 метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу. 

Решение:

Ход рассуждений таков: 
Как в результате получить 7 литров? – Нужно к 5 литрам долить 2 л. А где их взять? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. А как их получить? В 8-литровый перелить из 5-литрового 5 литров, потом еще три. 
Решение задачи показано в таблице:

Ходы	1	2	3	4	5	6	7
8 л	-	5	5	8	-	2	7
5 л	5	-	5	2	2	5	-

3.Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Решение: 

Будем «шаги» переливаний записывать в виде строки из трех чисел.

При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

Шаги	Бидон
	10 л	7 л	3 л
1-й	3	7	0
2-й	3	4	3
3-й	6	4	0
4-й	6	1	3
5-й	9	1	0
6-й	9	0	1
7-й	2	7	1
8-й	2	5	3

4.Разделить на 2 равные части воду, находящуюся в 6-литровом сосуде (4 л) и в 7-литровом (6 л), пользуясь этими и 3-литровым сосудами. Какое наименьшее количество переливаний потребуется? 

Решение:

В скобках – второй вариант решения.

	Сосуд 6 л	Сосуд 3 л	Сосуд 7 л
До переливания	4	0	6
Первое переливание	1 (4)	3 (3)	6 (3)
Второе переливание	1 (6)	2 (1)	7 (3)
Третье переливание	6 (2)	2 (1)	2 (7)
Четвертое переливание	5 (2)	3 (3)	2 (5)
Пятое переливание	5 (5)	0 (0)	5 (5)

5.Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов?

Решение:

Переливаем из 8-литрового ведра 5 литров молока в 5-литровое. Переливаем из 5-литрового бидона 3 литра в 3-литровый бидон. 
Переливаем их теперь в 8-литровое ведро. Итак, теперь 3-литровое ведро пусто, в 8-литровом 6 литров молока, а в 5-литровом – 2 литра молока. 
Переливаем 2 литра молока из 5-литрового бидона в 3-литровый, а потом наливаем 5 литров из 8-литрового ведра в 5-литровый бидон. Теперь в 8-литровом 1 литр молока, в 5-литровом – 5, а в 3-литровом – 2 литра молока. 
Доливаем дополна 3-литровый бидон из 5-литрового и переливаем эти 3 литра в 8-литровое ведро. В 8-литровом ведре стало 4 литра, так же, как и в 5-литровом бидоне. Задача решена.

	Сосуд  8 л	сосуд  5 л	сосуд  3 л
До переливания	8	0	0
Первое переливание	3	5	0
Второе переливание	3	2	3
Третье переливание	6	2	0
Четвертое переливание	6	0	2
Пятое переливание	1	5	2
Шестое переливание	1	4	3
Седьмое переливание	4	4	0

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

6.У подножья высокого холма, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Решение:

Ходы	1	2	3	4	5	6	7
8л	–	5	5	8	–	2	7
5л	5	–	5	2	2	5	–

6.Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать?

Решение:

Ходы	1	2	3	4	5	6	7	8
12 л	12	4	4	9	9	1	1	6
8 л	-	8	3	3	-	8	6	6
5 л	-	-	5	-	3	3	5	-

7.Губке Бобу срочно нужно налить из водопроводного крана 6 л воды. Но он имеет лишь два сосуда 5-литровый и 7-литровый. Как ему это сделать?

Решение: 

Ходы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
7 л	7	2	2	-	7	4	4	-	7	6
5 л	-	5	-	2	2	5	-	4	4	5

7.Логические задачи, решаемые с помощью таблиц (1 час).

                     Логические задачи интересны школьникам, прежде всего тем, что они занимательны, не требуется большого запаса математических знаний и можно ограничиться только некоторыми сведениями из арифметики. Их решение развивает логическое мышление, а это способствует не только лучшему усвоению математики, но и успешному усвоению основ любой другой науки. Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Данная статья не претендует на какие-то «открытия» в области преподавания математики и тем более в самой математике. Здесь представлена подборка логических задач, решаемых с помощью таблиц.

                   Обычно трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений. Испытанный способ их записи – составление таблиц, называемых логическими квадратами.

1.      Коля, Боря, Вова, Юра заняли первые четыре места в соревнованиях. На вопрос, какие места они заняли, трое ответили: Коля ни 1-е, ни 4-е; Боря -2-е; Вова – ни 4-е. Какие места заняли мальчики?

Решение:

Место	Коля	Боря	Вова	Юра
1 место	-
2 место		+
3 место
4 место	-		-

Между множеством имён мальчиков и множеством завоеванных мест должно быть взаимно однозначное соответствие.

У Коли ни 1-е, ни 4-е, но и ни 2-е (оно у Бори),следовательно, у него 3-е место. У Вовы ни 4-е, ни 3-е, ни 2-е, значит,-1-е место. У Бори 2-е место (по условию). Значит, у Юры 4-е место.

Место	Коля	Боря	Вова	Юра
1 место	-		+
2 место		+
3 место	+
4 место	-		-	+

2.      Беседуют трое друзей: Белокуров, Рыжов и Чернов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что ни у кого из нас цвет волос не соответствует фамилии, да и ты не брюнет». Какой цвет волос у каждого из друзей?

Решение:

Составим таблицу:

Фамилия	Цвет волос
	рыжий	черный	русый
Белокуров		-	-
Чернов		-
рыжов	-

Так как между множеством фамилий участников беседы и множеством цвета волос должно быть взаимно однозначное соответствие, то получаем:

Фамилия	Цвет волос
	рыжий	черный	русый
Белокуров	+	-	-
Чернов	-	-	+
рыжов	-	+	-

Ответ: Белокуров – рыжий, Чернов – блондин, Рыжов – брюнет.

3.      В чашке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас, и вода. Известно, что вода и молоко находятся не в чашке; сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом; в банке не лимонад и не вода; стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В каком сосуде налита какая жидкость?

Решение:

В банке может быть только квас, ибо из условия следует что там не лимонад, не вода и не молоко. В чашке – лимонад, так как известно, что там не молоко и не квас. Поскольку в стакане не молоко и не квас, не лимонад- значит вода, а в кувшине-то, что осталось, то есть молоко. Таким образом, получаем:

	молоко	лимонад	квас	вода
чашка	-	+	-	-
стакан	-	-	-	+
кувшин	+	-	-	-
банка	-	-	+	-

Ответ: В чашке – лимонад, в стакане – вода, в кувшине – молоко, в банке – квас.

4.      Когда три подруги – Надя, Валя, и Маша – вышли гулять, на них были белое, красное, и синее платье. Туфли были тех же цветов, но только у Нади цвета туфель и платья совпадают. При этом у Вали ни платье, ни туфли не были синими, а Маша была в красных туфлях. Определите цвет платьев и туфель каждой из подруг?

Решение:

	Надя	Валя	Маша
Белое	-	Туфли	Платье
Красное	-	Платье	Туфли
Синее	Туфли платье	-	-

Ответ:  у Нади туфли и платье синие, У Вали туфли белые, платье красное, У Маши туфли красные, платье белое.

5.      В авиационном подразделении служат Потапов, Щедрин, Семенов, Коновалов и Самойлов. Их специальности (они перечислены не в том же порядке, что и фамилии): пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик. Об этих людях известно следующее:

 1. Щедрин и Коновалов не умеют управлять самолетом.

 2. Потапов и Коновалов готовятся стать штурманами.

 3. Щедрин и Самойлов живут в одном доме с радистом.

 4. Семенов был в доме отдыха вместе со Щедриным и сыном синоптика.

 5. Потапов и Щедрин в свободное время любят играть в шахматы с

бортмехаником.

 6. Коновалов, Семенов и синоптик увлекаются боксом.

 7. Радист боксом не увлекается.

Решение:

Начнем решение задачи с построения логического квадрата. Элементы первого множества (фамилии) записываем в строках, а элементы второго множества (профессии) расположим по колонкам. И вот что у нас получается:

	Пилот	штурман	Бортмеханик	Радист	Синоптик
Потапов
Щедрин
Семенов
Коновалов
Самойлов

А теперь проведем анализ условия задачи, сделаем на его основе выводы и зафиксируем их в таблице. Из условия 1 следует, что ни Щедрин, ни Коновалов пилотом быть не могут. Поставим на соответствующих клетках (на пересечении фамилии и профессии) знак «минус». Из условия 2 ясно, что ни Потапов, ни Коновалов пока еще не штурманы. Занесем в таблицу и это. Условие 3 приводит к выводу, что радист не Щедрин и не Самойлов. Запишем. Условие 4 говорит о том, что фамилия синоптика не Щедрин и не Семенов. Отметим и это. Условие 5 подсказывает, что бортмеханик не Потапов и не Щедрин. Записав это в таблицу, мы увидим, что в строке «Щедрин» знаками «минус» заполнены все клетки, кроме одной, говорящей о том, что Щедрин может быть только штурманом, и никем иным. Отметим этот вывод и поставим в соответствующей клетке знак «плюс». А поскольку, согласно условию задачи, речь идет только об одном штурмане, то и в столбце «штурман» в оставшихся незаполненных клетках проставляем знаки «минус». И вот что получается на данный момент:

	Пилот	штурман	Бортмеханик	Радист	Синоптик
Потапов		-	-
Щедрин	-	+	-	-	-
Семенов		-			-
Коновалов	-	-
Самойлов		-	-	-

Продолжим анализ. Из условия 6 видно, что синоптик – не Коновалов и не Семенов. Отмечаем это в таблице. Условие 7, сопоставленное с условием 6, показывает, что радист – не Коновалов и не Семенов. Ставим в соответствующие клетки знак «минус». Теперь в строке «Коновалов» осталась одна клетка, в которой не стоит знак минус, следовательно, Коновалов – бортмеханик. Отмечаем этот вывод знаком «плюс», а в других незаполненных клетках в столбце «бортмеханик» проставляем знаки «минус», так как других бортмехаников по условию задачи нет. Не стоит знак «минус» и в верхней клетке, в столбце «радист». Эта клетка расположена в строке «Потапов». Значит, Потапов – радист. Отметим это знаком «плюс» и заполним знаками «минус» другие свободные клетки в строке «Потапов» (ведь никем, кроме радиста, он быть не может). Теперь из таблицы видно, что пилот – Семенов, а синоптик – Самойлов. Решение задачи завершено. Вот заполненная до конца таблица:

	Пилот	штурман	Бортмеханик	Радист	Синоптик
Потапов	-	-	-	+	-
Щедрин	-	+	-	-	-
Семенов	+	-	-	-	-
Коновалов	-	-	+	-	-
Самойлов	-	-	-	-	+

8.Задачи со спичками (1 час).

Головоломки со спичками уже давно используются в качестве задач для развития логики и творческого мышления.

Правило любой подобной головоломки, задачи или игры заключается в том, что вам необходимо переложить одну или несколько спичек таким образом, чтобы выполнилось поставленное условие. Однако зачастую прийти к верному решению бывает не так-то просто. Для этого следует проявить настойчивость, внимание и креативность. Можно выделить несколько общих правил для того, чтобы правильные ответы при прохождении спичечных головоломок:

1.      Внимательно прочитайте задание. Выясните, нет ли в нем подвоха, двусмысленности формулировок. Поймите точно, что от вас хотят. Иногда в условии задачи может содержаться подсказка.

2.      Практически любая задача направлена на логику и смекалку, поэтому сразу приготовьтесь искать нестандартное решение, которое у вас может потребовать некоторое время. Обратите внимание, что списки могут накладываться друг на друга, перемещаться в любом направлении, а также переворачиваться, если обратного не дано в условии.

3.      Смотрите на фигуры шире. Часто в условии задачи вас просят переместить спичку так, чтобы получилось определенное количество геометрических фигур (треугольников, квадратов). Обратите внимание, что несколько маленьких фигур могут составлять одну большую. Например, четыре квадрата, поставленные в 2 ряда, образуют 5 квадратов: 4 маленьких и один большой.

4.      Постарайтесь решать задание, сохраняя спокойствие, не пытаясь во чтобы то ни стало найти ответ. Ищите ответ последовательно, вдумчиво, постепенно перебирая возможные варианты, стараясь не пропустить правильный ответ. Поспешность может привести к тому, что вы пропустите ответ, от которого находились всего в одном шаге.

Задачи:

ü     Верное равенство

Задание. Нужно переместить только одну спичку в выложенном спичками арифметическом примере «8+3-4=0» так, чтобы получилось верное равенство (можно менять и знаки, цифры).

Решение:

Первый способ. Из восьмерки перемещаем нижнюю левую спичку в середину нуля. Получается: 9+3-4=8.

Второй способ. От цифры 8 убираем правую верхнюю спичку и ставим ее на верх четверки. В итоге верное равенство: 6+3-9=0.

Третий способ. В цифре 4 переворачиваем горизонтальную спичку вертикально и перемещаем ее в нижний левый угол четверки. И опять арифметическое выражение верно: 8+3-11=0.

10.  Развернуть рыбку

Задание. Переставьте три спички так, чтобы рыбка поплыла в обратном направлении. Другими словами, нужно повернуть рыбу на 180 градусов по горизонтали.

Решение:

 Для решения задачи будем передвигать спички, которые составляют нижнюю часть хвоста и туловища, а также нижний плавник нашей рыбы. Переместим 2 спички наверх, а одну вправо, как показано на схеме. Теперь рыбка плывет не вправо, а влево.

11.  Подобрать ключ

Задание. В этой задаче из 10 спичек сложена форма ключа. Передвиньте 4 спички так, чтобы получилось три квадрата.

Решение:

 Задача решается достаточно просто. Четыре спички, образующие ту часть ручку ключа, нужно переместить на стержень ключа, так чтобы 3 квадрата были выложены в ряд.

12.  Поле для крестиков-ноликов.

Условие. Необходимо переложить 3 спички так, чтобы получить ровно 3 квадрата.

Решение:

 Чтобы получить ровно три квадрата в этой задаче необходимо переместить 2 нижних вертикальных спички вправо и влево соответственно, чтобы они замыкали боковые квадраты. А нижней центральной горизонтальной спичкой нужно замкнуть верхний квадрат.

13.  Головоломка «бокал с вишенкой»

Условие. С помощью четырех спичек сложена форма бокала, внутри которого лежит вишня. Нужно передвинуть две спички так, чтобы вишня оказалась за пределами бокала. Разрешается менять положение бокала в пространстве, однако его форма должна оставаться неизменной.

Решение:

 Решение этой достаточно известной логической задачи с 4 спичками основывается на том, что мы меняем положение бокала, переворачивая его. Самая левая спичка уходит вправо вниз, а горизонтальная – перемещается правее на половину своей длины.

14.  Пять из девяти

Условие. Перед Вами девять маленьких квадратов, образованных двадцатью четырьмя спичками. Уберите 8 спичек, не трогая остальных, чтобы осталось всего лишь 2 квадрата.

Решение:

 Для этой задачи я нашел 2 способа решения.
Первый способ. Убрать спички так, чтобы остался только самый большой квадрат, образованный крайними спичками и самый маленький квадрат в центре, состоящий из четырех спичек.
Второй способ. Также оставить самый большой квадрат из 12 спичек, а также квадрат 2 на 2 спички. У последнего квадрата 2 стороны должны образовываться спичками большой квадрата, а 2 другие стороны должны быть в центре.

7. Соприкасающиеся друг с другом спички

Задание. Необходимо разместить 6 спичек так, чтобы каждая спичка соприкасалась с остальными пятью.

Решение:

 Это задание требует подключения ваших творческих способностей, и выход за рамки плоскости – ведь спички можно класть друг на друга. Верное решение выглядит следующим образом. На схеме все спички действительно соприкасаются друг с другом. Хочу отметить, онлайн нарисовать такую фигуры гораздо проще, чем выложить так настоящие спички.

15.  Семь квадратов

Условие. Переложите 2 спички так, чтобы образовать 7 квадратов.

Решение:

 Чтобы решить эту достаточно сложную задачу нужно думать нешаблонно. Берем 2 любые спички, образующие угол самого большого внешнего квадрата и кладем их крест-накрест друг на друга в один из маленьких квадратов. Так мы получаем 3 квадрата 1 на 1 спичку и 4 квадрата со сторонами длиной в половину спички.

9.Задачи на делимость чисел (2 часа).

Несмотря на то, что эта тема дается в школьной программе 6 класса, ее можно дать на спецкурсе в 5 классе, т. к. задания, требующие знания законов делимости встречаются в олимпиадном материале для 5- классников.

Теория:

Признаки делимости

· Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на

2 (то есть четная).

· Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

· Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число,

составленное из двух последних цифр, делится на 4.

· Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на

5 (то есть равна 0 или 5).

· Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 13), надо разбить его десятичную

запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа

может содержать 1 или 2 цифры), после чего взять группы с нечетными

номерами со знаком «минус», а с четными номерами — со знаком «плюс».

Если полученное выражение делится на 7 (на 13), то и заданное число делится

на 7 (на 13).

· Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число,

составленное из трех последних цифр, делится на 8.

· Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

· Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра — ноль.

· Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на

четных местах в десятичной записи, и сумма его цифр, стоящих на нечетных

местах в десятичной записи, дают одинаковые остатки при делении на 11.

Утверждения, связанные с делимостью чисел.

· Если ab и bc , то ac .

· Если am, то и abm.

· Если amи bm, то a+bm

· Если a+.bm и am, то и bm

· Если am и ak, причем m и kвзаимно просты, то amk

· Если abm и a взаимно просто с m, то bm.

Задачи:

Простые задачи:

1.      К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на

15.

Ответ: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2.      К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на

72.

Ответ: 4104.

3.      Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24?

Ответ: нет, например, 12.

4.      Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого

участвуют все цифры по 1 разу.

Ответ: 9876543120.

5.      Дано число 645*7235. Замените * цифрой так, чтобы полученное число стало

кратно 3

 Ответ: 1, 4, 7.

6.      Дано число 72*3*. Замените * цифрами так, чтобы полученное число стало

кратно 45.

Ответ: 72630, 72135.

Задачи посложнее:

1.      Сколько воскресений может быть в году?

Решение:

В году может быть 365 или 366 дней, каждый седьмой день – воскресенье, значит, 365=52×7+1 или 366=52×7+2, их может быть 52, или 53, если воскресенье пришлось на 1 число.

2.      Начнем считать пальцы рук следующим образом: первым пусть будет большой палец, вторым – указательный, третьим – средний, четвертым – безымянный, пятым – мизинец, шестым – снова безымянный, седьмым – средний, восьмым – указательный, девятым – большой, десятым – указательный палец и т.д. Какой палец будет 2000-м?

Решение:

Количество пальцев при счете будут повторяться с периодом 8, значит, достаточно посчитать остаток от деления 2000 на 8. Он равен 0. Т.к. восьмым идет указательный палец, то и 2000-ым будет указательный палец.

3.      Когда до полного числа десятков не хватило 2 яйца, их пересчитали дюжинами

(по 12 штук). Осталось 8 яиц. Сколько было яиц, если их больше 300, но

меньше 400?

Решение:

При счете десятками не хватало 2 яиц до полного десятка. Значит, оставалось 8 яиц, как и при счете дюжинами. Отложим 8 яиц, тогда число оставшихся кратно 10 и 12, т.е. кратно 60. Значит, яиц было 368.

4.      Крестьянка несла на базар в корзине яйца. Проезжающий мимо всадник нечаянно толкнул ее, и все яйца разбились. На вопрос, сколько было яиц, она ответила: «Когда я их раскладывала по 2, то одно яйцо осталось. То же самое произошло, когда я их раскладывала по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда я их разложила по 7, то остатка не оказалось». Сколько было яиц у крестьянки?

Решение:

Убавим 1 яйцо. Тогда остальные разделятся на 2, 3, 4, 5, и 6 без остатка. Это число кратно 60. Добавим 1. Получим 61. , но 61 не делится на 7. Прибавляя по 60, получим 121, затем 181, 241, 301. Проверкой убеждаемся, что подходит 301.

10.Принцип Дирихле (2 часа).

Теория:

Очень  часто  в задания математических  олимпиад  включаются  задачи, при решении которых можно  использовать прием, называемый  принципом  Дирихле. В  школьном  курсе математики этот  прием отсутствует. Поэтому  научить  этому  приему   стоит  при  подготовке  к  олимпиадам школьников  от 5 до 10 класса. Ученики 5  класса свободно  схватывают  идею  решения с  использованием  принципа Дирихле.

Основы теории. Принцип Дирихле выражает соотношение между двумя множествами. Существует несколько формулировок данного принципа. Самая популярная следующая:

        «Если в клетках сидит m зайцев, причем m  n, то хотя бы в одной клетке сидят, по крайней мере, два зайца.»

Доказывается данный принцип Дирихле легко, методом доказательства от противного. Некоторые задачи на применение этого принципа также можно решить, используя метод доказательства от противного, но не все.

На первый взгляд, непонятно, почему это совершенно очевидное предложение, тем не менее, является мощным математическим методом решения задач, причем самых разнообразных. Все дело оказывается в том, что в каждой конкретной задаче нелегко понять, что же здесь выступает в роли «зайцев», а что – в роли»клеток». И почему надо, чтобы «зайцев» было больше, чем «клеток». Выбор «зайцев» и «клеток» часто не очевиден. Далеко не всегда по формулировке задачи можно определить, что следует применить принцип Дирихле. Главное же достоинство данного метода решения состоит в том, что он дает неконструктивное решение (т.е. мы знаем, что такие клетки есть, но где именно они находятся, часто указать не можем); попытка же дать конструктивное доказательство приводит к большим трудностям.

  Рассмотрим другие формулировки принципа Дирихле:

   «Пусть в n клетках сидят m зайцев, причем n больше m. Тогда найдется хотя бы одна пустая клетка».

( Доказывается аналогично- методом от противного);

«Если m зайцев сидят в n клетках, то найдется клетка, в которой сидят не меньше, чем   зайцев, и найдется клетка, в которой сидят не больше, чем   зайцев»;

«Если m зайцев съели n килограммов травы, то какой-то заяц съел не менее   килограммов травы, а какой-то заяц съел не больше    килограммов (а если кто-то съел больше среднего, то кто-то съел меньше среднего)»   (непрерывный принцип );

« Если в n клетках сидят m зайцев и m  kn+1, то в какой-то из клеток сидят, по крайней мере , k+1 заяц» (обобщенный принцип).

Некоторые задачи решаются с использованием формулировок, аналогичным принципу Дирихле. Сформулируем данные утверждения:

1) Если на отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше 1, то, по крайней мере, два из них имеют общую точку.

2) Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше  , то, по крайней мере, две из них имеют общую точку.

3) Если внутри  фигуры  площадью  1  расположено несколько  фигур, сумма площадей  которых больше  1, то, по крайней мере, две из  них имеют общую точку.

Задачи:

1.      Восемь кроликов посадили в семь клеток. Докажите, что есть клетка, в которой оказалось по крайней мере два кролика.  Решение.  Если бы ни в какой клетке не было двух кроликов, то всего их было бы не больше, чем клеток, то есть, максимум 7. Но кроликов 8, противоречие. 2.    За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения: а)»кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты»; б)»кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты»;             в)»двум людям досталось по крайней мере две конфеты»;             г)»каждому досталась хотя бы одна конфета». Решение. А) Если бы никому не досталось две конфеты, то конфет всего было бы не больше 4. Но их 10, противоречие. Б) Если бы никому не досталось три конфеты, то конфет всего было бы не больше 2·4 = 8. Но их 10, противоречие. В, г) Теоретически, все конфеты мог забрать, например, один человек. 3.      В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24 чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество носков нужно взять из шкафа, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета? Решение: Если взять только два носка, то они могут оказаться разных цветов, и составить из них пару не получится. А из трёх носков два точно будут одного цвета. 4.    Какое минимальное количество носков нужно взять, чтобы заведомо можно было составить хотя бы одну пару носков черного цвета? Решение: Если взять 25 носков, то 24 из них могут оказаться синими, и составить чёрную пару не получится. Если же взять 26 носков, то синих среди них не может быть больше 24 синих, поэтому точно будут два чёрных. 5.      Как изменится решение задачи, если в ящике лежат 12 пар чёрных и 12 пар синих ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а) и пару черного цвета (как в пункте б)? Ботинки, в отличие от носков, бывают левыми и правыми. Решение:  Если взять 24 ботинка, то все они могут оказаться левыми, и составить пару из них не получится. Разобьём мысленно все 48 ботинок на пары. Пар будет 24. Если взять 25 ботинок, то два из них точно будут из одной пары. Если взять 36 ботинок, то 24 из них могут оказаться синими, а остальные 12 — левыми чёрными, и составить из них чёрную пару не получится. Если взять 37 ботинок, то хотя бы 13 из них будут чёрными, а значит, будет точно хотя бы один чёрный левый и хотя бы один чёрный правый. 6.      В лесу растут миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что есть две ёлки с одинаковым количеством иголок. Решение. У ёлки может быть 0, 1, 2, …, 600000 иголок. 600001 возможный вариант, а ёлок больше (1000000). Значит, какой-то вариант точно повторяется, т.е. найдутся две ёлки с одинаковым количеством иголок. 7.      В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников. Решение. Если такого класса нет, то учеников в школе не может быть больше, чем 33·30 = 990 < 1000, противоречие. 8.    В квадратном ковре со стороной 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать коврик со стороной 1 метр, в котором дырок не будет. Решение. Разобьём ковёр на 16 маленьких ковриков размером 1×1. Так как дырок всего 15, хотя бы один квадратик окажется без дырок. Его и можно вырезать. 9.    В финальном матче школьного чемпионата по баскетболу команда 5А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде по баскетболу 5 игроков.) Решение. Предположим, что такие два игрока не найдутся. Тогда все пять игроков забили разное количество мячей. Пусть первый игрок ничего не забил, второй забил один мяч, третий — два, четвёртый — три, пятый — четыре. Тогда всего игроки забили 10 мячей. Если же кто-то забил больше, чем мы предположили, то и всего мячей было забито больше. Но поскольку по условию игроки забили 9 мячей, наше предположение неверно. Значит, есть два игрока, забившие поровну. 10.  Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайне мере два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории? Верно ли это для любой аудитории Малого мехмата? Решение. Да, верно. Проведём рассуждения сразу для любой аудитории. Пусть в аудитории n человек, и у всех из них разное количество друзей. Друзей может быть 0, 1, 2, …, (n – 1). Всего n возможных вариантов. А так как человек тоже n, то все эти варианты используются. Значит, есть человек, у которого 0 друзей, т. е. который ни с кем не дружит. И есть человек, у которого (n – 1) друг, т.е. который дружит со всеми. Однако этого быть не может, т.к. эти два человека должны одновременно и дружить, и не дружить друг с другом. Получаем противоречие. Значит, два человека с одинаковым количеством друзей всегда найдутся. 11.  Каждая клетка таблицы 2011×2011 покрашена в один из 2010 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Всегда ли можно за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет? Решение. Возьмём любую строку. Так как цветов 2010, а клеток в строке — 2011, есть по крайней мере две клетки одного цвета. Значит, мы можем перекрасить всю строку в этот цвет. Воспользуемся этим и покрасим каждую строку в какой-нибудь цвет. Теперь у нас есть 2011 строк, покрашенные в 2010 цветов. Значит, по крайней мере две строки покрашены в один цвет (допустим, красный). То есть, в любом столбце есть две красные клетки. Покрасим все столбцы в красный цвет — все клетки доски будут покрашены в один цвет. 12.  Можно ли клетки доски 5×5 покрасить в четыре цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее, чем в три цвета? Решение. Нельзя. Предположим, что существует раскраска таблицы 5×5, удовлетворяющая условию. Рассмотрим эту таблицу. В каждом столбце найдется цвет, в который покрашены по крайней мере две клетки этого столбца. Назовем такой цвет преобладающим для данного столбца (возможно, у какого-то столбца будет два преобладающих цвета). Аналогично, какой то цвет (назовем его 1) будет преобладающим для двух столбцов. Поскольку от перестановки строк и столбцов ничего не зависит, будем считать, что это столбцы a и b. Также можем считать, что в первом столбце цветом 1 покрашены клетки a4 и a5. Тогда клетки b4 и b5 должны быть покрашены какими-то двумя различными цветами, отличными от цвета 1. Пусть они покрашены цветами 2 и 3, а поскольку цвет 1 — преобладающий для столбца b, можем считать, что клетки b2 и b3 покрашены цветом 1. Рассмотрим клетку a3. Выбрав 3 и 4 строку и столбцы a и b, мы получим, что клетка a3 не может быть покрашенной цветами 1 и 3. Выбрав 3 и 5 строку и столбцы a и b, мы получим, что клетка a3 не может быть покрашенной цветами 1 и 2. То есть клетка a3 покрашена цветом 4. Но из аналогичных рассуждений мы получаем, что и клетка a2 покрашена цветом 4. То есть квадрат, состоящий из клеток a3, a2, b3 и b2, покрашен в два цвета — противоречие.

11.Комбинаторика (2 часа).

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить.

Рассмотрим задачу.

1.      Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 1 и 2.

Решение.

В записи числа на первом месте (в разряде сотен) может стоять цифра 1 или 2

1

Или

2

На втором месте (в разряде десятков) в каждом случае также может стоять одна из двух цифр 1 или 2

На третьем месте (в разряде единиц) в каждом из полученных четырех случаев также можно записать либо 1, либо 2

Получим восемь чисел:

111; 112; 121; 122; 211; 212; 221; 222.

2.      В правлении фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами можно это сделать?

Решение.

Президентом фирмы можно избрать одного из пяти человек:

Президент:

После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать одного из четырёх оставшихся членов правления:

Значит, выбрать президента можно 5-ю способами и для каждого из выбранного президента 4-мя способами можно выбрать вице-президента.

Т.о. общее число способов

5 * 4=20.

3.      Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры о и 7 . Найдите сумму этих чисел и разделите её на 211.

Решение:

·         Какая цифра может стоять на первом месте? (выполняется схема на доске)

·         На втором месте?

·         На третьем?

700; 707;

770; 777;

 (700 + 707+ 770+ 777) : 211 = 14.

4.      Запишите все трёхзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 5 и 7.

Ответ: 555; 557; 575; 577; 755; 757; 775; 777.

5.      В футбольной команде 5-го класса 7 человек. Члены команды выбирают капитана и вратаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

·         Сколько человек в команде?

·         Какие варианты существуют? (капитан может быть вратарем и не может)

·         Рассмотрим вариант, когда вратарь не может быть капитаном.

·         Сколько вариантов выбора капитана существует? (7)

·         Сколько существует вариантов выбора вратаря для выбранного капитана?(6)

·         Сколькими способами можно выбрать капитана и вратаря?
7 * 6 = 42.

·         Как изменится решение задачи, если вратарь может быть капитаном?

·         Сколько способов выбора существует при этом условии?
7 * 7 = 49.

6.      Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая (ч), кофе (к), булочки (б), печенья (п) и вафель (в)?

7.        Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

Решение:

                          КБС            КСБ

                          БСК            БКС

                          СБК           СКБ  

Ответ: 6 вариантов.

8.       У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются  3 элегантных шляпы ,4 чудных  плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить? 

9.       В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

Решение:

 Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11 способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару капитана  и его заместителя можно выбрать 11 • 10 = 110 способами.

10.   Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр?

Решение:

Должно получиться двузначное число –  всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 • 3 = 9 способами, т.е. получится 9 чисел.

11.   Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

Решение:

Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция с учетом исключения повторов цифр – 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 • 4 • 3 = 60 чисел.

12.   Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра?

Решение:

5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 вариантов.

13.   Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

Решение:

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 способов.

14.   Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено6 приборов?

Решение:

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.

15.   В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные? 

Решение:

8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов.

16.   Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9?

Решение:

Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем  8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 8 000 000 номеров.

12.Элементы статистики (2 часа).

В 5-м классе можно рассмотреть несколько статистических понятий.

Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

1.  Найдите среднее арифметическое чисел:

А) 24, 22, 27, 20,16, 31 
Б) 11, 9, 7, 6, 2, 0,1 
В) 30, 5, 23, 5, 28, 30
Г) 144, 146, 114, 138.

2.  В таблице приведены данные о продаже в течение недели лука, завезенного в магазин:

День недели	ПН.	ВТ.	СР.	ЧТ.	ПТ.	СБ.	ВС.
Количество картофеля	185	324	220	162	218	286	216

Сколько лука в среднем продавали ежедневно в эту неделю?

5.      В аттестате о среднем образовании у четверых друзей – выпускников школы – оказались следующие оценки:

Ильин: 4, 4, 5, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 4, 4 
Романов: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 3, 4, 4
Семенов: 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4 
Попов: 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 4.

С каким средним балом окончил школу каждый из этих выпускников?

• Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.

Размах ряда находят тогда, когда хотят определить, как велик разброс данных в ряду.

1.       Каждый из 24 участников соревнования по стрельбе произвел по десять выстрелов. Отмечая всякий раз, число попаданий в цель получили следующий ряд данных:

6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8, 6, 6, 5, 6, 4, 3, 6, 5.

Найдите для этого ряда размах.

2.       На соревнованиях по фигурному катанию судьи поставили спортсмену следующие оценки:

5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5,1; 5,1; 5,4; 5,5; 5,3.

Для полученного ряда чисел найдите размах и среднее арифметическое. Каков смысл каждого из этих показателей?

3.  Найдите размах ряда чисел.

А) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26; 
Б) 21, 18,5, 25,3, 18,5, 17,9; 
В) 67,1, 68,2, 67,1, 70,4, 68,2; 
Г) 0,6, 0,8, 0,5, 0,9, 1,1.

• Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.

Ряд чисел может иметь более одной моды или не иметь ее совсем.

47, 46, 50, 52, 47, 52, 49, 45, 43, 53 – (имеет)

69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 – (не имеет)

1.       Найдите моду ряда чисел.

45, 48, 85, 31, 23, 45, 67, 45, 19, 48, 45, 85, 19, 27,45, 62, 45, 23, 67, 45, 89, 19, 87, 45, 56, 45, 43, 23, 12, 45, 78, 28, 19, 45, 65, 45, 81, 83, 45.

2.       В таблице записаны результаты ежедневного измерения на метеостанции в полдень температуры воздуха (в градусах Цельсия) в течении первой декады марта:

Число месяца	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Температура	-2	-1	-3	0	1	2	2	3	4	3

Найдите моду ряда чисел и сделайте вывод, в какие числа марта температура воздуха была одинаковой. Найдите среднюю температуру воздуха. Составьте таблицу отклонений от средней температуры воздуха в полдень в каждый из дней декады.

6.      В таблице показано число деталей, изготовленных за смену рабочими одной бригады:

№ п/п	Фамилия	Число деталей	№ п/п	Фамилия	Число деталей
1 2 3 4 5 6	Иванов Лазарев Ильин Бережной Егоров Петров	38 42 36 45 48 45	7 8 9 10 11	Семенов Лукин Андреев Попов Сурков	45 42 40 47 39

Для представленного в таблице ряда чисел найдите моду. Каков смысл этого показателя?

Медиана как статистическая характеристика.

• Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине.
  Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.

1.  Найдите медиану ряда чисел:

А) 30, 32, 37 ,40, 41, 42 ,45 ,49 ,52; 
Б) 102, 104, 205, 207, 327 ,408 ,417;
В) 16, 18 ,20, 22, 24 ,26; 
Г)1,2 1,4 2,2, 2,6, 3,2 3,8 4,4 5, 6.

2.  В таблице показано число посетителей выставки в разные дни недели:

День недели	Пн.	Вт.	Ср.	Чт.	Пт.	Сб.	Вс.
Число посетителей	604	638	615	636	625	710	724

Найдите медиану ряда чисел.

3.       Ниже указана среднесуточная переработка сахара (в тыс. ц.) заводами сахарной промышленности некоторых регионов:

12,2, 13,2, 13,7, 18,0 18,6 12,2 18,5 12,4 14,2 17,8.

Для представленного ряда данных найдите медиану. Что характеризует этот показатель?

Наглядное представление статистической информации.

7.      Одним из хорошо известных способов представления ряда данных является построение столбчатых диаграмм.

Столбчатые диаграммы используют тогда, когда хотят проиллюстрировать динамику изменения данных во времени или распределение данных, полученных в результате статистических исследований.

Столбчатая диаграмма составлена из прямоугольников равной ширины, с выбранными произвольно основаниями, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Высота каждого прямоугольника равна(при выбранном масштабе) исследуемой величине (частоте).

8.      Для наглядного изображения соотношения между частями исследуемой совокупности удобно использовать круговые диаграммы.

Если результат статистического исследования представлен в виде таблицы относительных частот, то для построения круговой диаграммы круг разбивается на секторы, центральные углы которых пропорциональны относительным частотам, определенным по каждой группе.

Круговая диаграмма сохраняет свою наглядность и выразительность лишь при небольшом числе частей совокупности.

3. Интервальные ряды данных изображают с помощью гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, составленную из сомкнутых прямоугольников. Основание каждого прямоугольника равно длине интервала, а высота – частоте или относительной частоте. В гистограмме, в отличие от столбчатой диаграммы, основания прямоугольников выбираются не произвольно, а строго определены длиной интервала.

1. Постройте столбчатую диаграмму, показывающую распределение рабочих цеха по тарифным разрядам, которое представлено в следующей таблице:

Тарифный разряд	1	2	3	4	5	6
Число рабочих	4	2	10	16	8	4

ü     В фермерском хозяйстве площади, отведенные под посевы зерновых, распределены следующим образом: пшеница – 63%; овес – 16%; просо – 12%; гречиха – 9%. Постройте круговую диаграмму, иллюстрирующую распределение площадей, отведенных под зерновые.

ü     На основе опроса была составлена следующая таблица распределения учащихся по времени, которое они затратили в определенный учебный день на просмотр телепередач:

Время, ч	Частота
0–1	12
1–2	24
2–3	8
3–4	5

Пользуясь таблицей, постройте соответствующую гистограмму.

9.      В оздоровительном лагере были получены следующие данные о массе 28 мальчиков (с точностью до 0,1 кг):

21,8; 29,3, 30,2, 20,0, 23,8, 24,5, 24,0, 20,8, 22,0, 20,8, 22,0, 25,0, 25,5, 28,2, 22,5, 21,0, 24,5, 24,8, 24,6, 24,3, 26,0, 26,8, 23,2, 27,0, 29,5, 23,0 22,8, 31,2.

Используя эти данные, заполните таблицы:

Вес, кг	Частота		Вес, кг	Частота
2022			20–23
22–24			23–26
24–26			26–29
26–28			29–32
28–30
30–32

По данным этих таблиц постройте на разных рисунках в одном и том же масштабе две гистограммы. Что общего у этих гистограмм и чем они различаются?

5. По четвертным оценкам по геометрии учащиеся одного класса распределились следующим образом: “5” – 4 ученика; “4” – 10 учеников; “3” – 18 учеников; “2” – 2 ученика. Постройте столбчатую диаграмму, характеризующую распределения учащихся по четвертным оценкам по геометрии.

13.Олимпиадные задачи (6 часов).

1. Два апельсина весят столько, сколько 4 лимона, а один лимон, как три абрикоса. Сколько лимонов должно быть на левой чаше, чтобы весы были в равновесии, если на правой чаше 1 апельсин и 3 абрикоса?

Решение;

Если 2 апельсина весят, как 4 лимона, то 1 апельсин весит, как 2 лимона. 3 абрикоса весят, как 1 лимон. Значит 1 апельсин и 3 абрикоса весят как 2+1=3 лимона.

Ответ: 3.

14)             Когда Буратино врет, его нос удлиняется на 5 см, а когда он говорит правду его нос становится короче на 3 см. Утром длина его носа была 7 см. За день он 2 раза соврал и 3 раза сказал правду. Какой длины стал нос у Буратино к вечеру?

Решение;

За день длина носа Буратино увеличилась на 5*2 – 3*3 = 1 см. Значит длина его носа к вечеру стала 7+1=8 см.

Ответ: 8 см.

15)             Коробку размером 10 х 15 х 20 см нужно наполнить одинаковыми кубиками. Какое минимальное количество кубиков позволит это сделать?

Решение:

Для того, чтобы наполнить коробку одинаковыми кубиками, нужно чтобы длина, ширина и высота коробки делились на длину стороны кубика. Есть  только 2 таких числа – 1 и 5. Чем больше длина стороны кубика, тем меньше кубиков потребуется, значит наполнять коробку мы будем кубиками со стороной 5. Осталось посчитать, сколько их потребуется. Их нужно будет (10/5)*(15/5)*(20/5)=2*3*4 = 24.

Ответ: 24.

16)             На скамейке сидят Катя, её мама, папа и плюшевый мишка. Папа сидит рядом с дочкой, но не рядом с мишкой. Мишка не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Кати?

Решение:

Заметим, что мишка сидит не рядом с папой и не рядом с мамой, значит он сидит рядом с Катей, а так как у него ровно один сосед, значит он сидит с краю, а рядом с ним Катя. На втором соседнем с Катей месте должен сидеть папа, осталось одно место рядом с папой – для мамы. Значит рядом с мамой сидит папа.

Ответ: Папа.

17)             В некотором месяце три четверга пришлись на чётные числа. Каким днём недели было 20 число этого месяца?

Решение:

Четверги бывают раз в 7 дней, значит четверги, пришедшиеся на чётные числа бывают раз в 14 дней. Первое чётное число – 2, если это четверг, то остальные четверги будут 9, 16, 23 и 30 числа. Если это не четверг, то первый четверг будет как минимум 4 числа, тогда последний должен быть как минимум 32, но месяцев с таким количеством дней не бывает. Значит 2  число этого месяца – четверг, а значит 20 число – понедельник.

Ответ: понедельник.

18)             Старые часы отстают на 30 секунд в час. Сколько времени они покажут через сутки после того, как стрелки установили на 12 часов?

Решение:

В сутках 24 часа, значит за сутки часы отстанут на 30*24 секунд, что равняется 12 минутам. Значит вместо 12 часов, часы покажут на 12 минут меньше – 11.48.

19)             Из книги выпал кусок, первая страница которого имеет номер 165, а номер последней состоит из тех же цифр, но записанных в другом порядке. Сколько листов выпало из книги?

Решение:

Номер последней страницы должен быть чётным, потому что каждый лист – это 2 страницы. Значит последняя цифра последней страницы – 6. Номер последней страницы больше номера первой страницы. Значит последняя страница имеет номер 516. Количество выпавших листов равно (516 – 165+1)/2 = 176.

Ответ: 176.

20)             В клетку посадили 20 страшных зверей крокомотов, которые поедают друг друга.

Крокомот считается сытым, если он съел трех других крокомотов (неважно сытых или голодных). Какое наибольшее число крокомотов может насытиться? (при этом оставаться живыми им не обязательно)

Решение:

После того, как один из крокомотов насыщается, общее количество крокомотов уменьшается на 3. То есть насытиться может не больше 20/3 = 6 (ост. 2) крокомотов. Покажем, что 6 крокомотов действительно смогут насытиться. Пронумеруем всех крокомотов от 1 до 20. Пусть сначала 17ый зверь съел 18го, 19го и 20го и насытился. Затем 14ый съел 15го, 16го и 17го. 11ый съел 12го, 13го и 14го. 8ой съел 9го, 10го и 11го. 5ый съел 6го, 7го и 8го. 2ой съел 3го, 4го и 5го. Таким образом насытились 6 крокомотов: 17й, 14й, 11й, 8ой, 5й и 2ой, а живы остались только 2ой и 1ый.

Ответ: 6.

21)             В квадратной коробке в 2 слоя уложены одинаковые квадратные шоколадки. Паша съел все 20 шоколадок, которые лежали в верхнем слое вдоль стенок коробки. Сколько шоколадок было в этой коробке изначально?

Решение:

Заметим, что количество шоколадок в слое вдоль стенок коробки равно учетверенной длине стороны коробки минус 4. То есть четыре стороны коробки равны 24. Сторона коробки равна 6. (Длина верхнего слоя равняется 6*6 – 4*4=20). Значит в одном слое помещается 6*6=36 шоколадок. Слоев 2, значит всего шоколадок было 36*2=72.

Ответ: 72.

22)             Мать положила на стол конфеты и сказала своим трем детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Нина, она взяла треть конфет и ушла. Потом вернулся Толя, он взял треть конфет от лежавших на столе и тоже ушел. Потом вернулся Вова и тоже взял треть от конфет,
которые увидел на столе. Сколько конфет оставила детям мама, если Вова взял 4 конфеты?

Решение:

Будем анализировать с конца. Вова взял 4 конфеты, что составляло треть от лежащих на столе, то есть к его приходу на столе оставалось 4*3=12 конфет. Толя взял треть, оставшихся к его приходу конфет, после чего их осталось 12. Значит Толя взял себе 6 конфет, а к его приходу на столе было 18 конфет. Нина взяла треть, оставшихся к ее приходу конфет, после чего их осталось 18. Значит Нина взял себе 9 конфет, а мама оставила им 27 конфет.

Ответ: 27.

23)             После ремонта часы Оксаны шли правильно, но рассеянный мастер установил в часах две стрелки одинаковой длины. Сколько раз в течение суток Оксана могла видеть на своих часах приведенную картинку?

Решение:

Мы видим, что одна стрелка находится на отметке 1, а другая на отметке 2. Это означает, что какая бы из стрелок не была часовой, в указанный момент времени либо 1 час 0 минут, либо 2 часа 0 минут, а значит вторая стрелка должна указывать на отметку 0. Значит Оксана не могла видеть такую картинку на своих часах.

Ответ: 0.

24)             В кувшине впятеро больше воды, чем в чайнике, а в чайнике на 8 стаканов воды меньше, чем в кувшине. Сколько стаканов воды в кувшине?

Решение:

Количество стаканов воды в чайнике примем за 1 часть, тогда количество воды в кувшине составит 5 частей. В кувшине, по условию, на 8 стаканов воды больше, чем в чайнике. Это составляет 5 – 1 = 4 части. Следовательно, на 1 часть приходится 8:4 = 2 стакана воды. Итак, в чайнике 2 стакана воды, а в кувшине 2 + 8 = 10 стаканов воды.

Ответ: 10.

25)             Сколько девочек стоит в кругу, если в нём 10 мальчиков, рядом с каждым мальчиком стоят мальчик и девочка, а никакие две девочки рядом не стоят?

Решение:

Очевидно, что в кругу может стоять 5 девочек: 5 пар мальчиков, по обе стороны от них стоит по девочке (см. рис.). Меньше 5 девочек не может быть, так как каждому левому мальчику в паре соответствует, по крайней мере, одна девочка, стоящая слева от него. Девочек не может быть больше 5, поскольку никакие две девочки рядом не стоят.

 

Ответ: 5.

26)             По окончании хоккейного турнира две команды-победительницы набрали одинаковое количество очков. Для установления одного победителя было решено, чтобы эти команды провели между собой несколько игр до тех пор, пока одна из команд не одержит 4 победы. Ничьих в этих играх нет. Какое наибольшее количество игр может оказаться необходимым для определения победителя?

Решение:

Для установления победителя может понадобиться или 4 игры (если все игры выиграет одна из команд), или 5 игр (одна из команд выиграет 4 игры, а вторая одну), или 6 игр (одна из команд выиграет 4 игры, а вторая две), или 7 игр (одна из команд выиграет 4 игры, а вторая три). Наибольшее количество равно 7.

Ответ: 7.

27)             На школьной викторине участникам предложили 20 вопросов. За правильный ответ учащийся получал 12 очков, а за неправильный с него списывали 10 очков. Сколько правильных ответов дал учащийся, ответивший на все вопросы и набравший 86 очков?

Решение:

Если бы учащийся ответил на все вопросы правильно, то он набрал бы 12∙20 = 240 очков. Но он набрал на 240 – 86 = 154 очка меньше за счёт неправильных ответов. За каждый неправильный ответ учащийся терял от максимальной суммы 12 + 10 = 22 очка. Следовательно, ученик неправильно ответил на 154:22 = 7 вопросов, а правильно — на 20 – 7 = 13 вопросов.

Ответ: 13.

28)             На рисунке изображены три первые фигуры последовательности фигур, составленных из точек. Каждая следующая фигура этой последовательности получается из предыдущей, как 2-я из 1-й, 3-я из 2-й. Сколько точек содержит фигура №10?

Решение:

Каждая следующая фигура получается из предыдущей добавлением ряда точек, в котором на одну точку больше, чем в нижнем ряду предыдущей фигуры. В следующей таблице представим количество точек в первых десяти фигурах последовательности.

№ фигуры	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Кол-во точек	6	10	15	21	28	36	45	55	66	78

Ответ: 78.

29)             В театре билеты продаются по цене 300 руб. и 400 руб. Всего в театре 12 рядов по 25 мест в каждом ряду. Общая стоимость всех билетов равна 100000 руб. Сколько билетов продается по 400 руб.?

Решение:

В театре 25×12 = 300 мест. Если бы все билеты стоили по 300 руб., то общая их стоимость составила бы 300×300 = 90 000 руб. Но на самом деле общая стоимость билетов составляет 100 000 руб., то есть на 100 000 – 90 000 = 10 000 руб. больше за счёт билетов по 400 руб., которые на 100 руб. дороже более дешёвых. Следовательно, количество билетов по 400 руб. равно 10 000: 100 = 100.

Ответ: 100.

30)             В корзине имеется большое количество яблок каждого из трех сортов. Какое наименьшее количество яблок нужно вынуть из корзины, не заглядывая в нее, чтобы среди них обязательно оказалось хотя бы 3 яблока одного сорта?

Решение:

Если вынуть 6 яблок, то среди них может оказаться по 2 яблока каждого сорта. Если же добавить ещё 1 яблоко, то обязательно окажется по крайней мере 3 яблока одного сорта.

Ответ: 7.

19. В первенстве школьных команд района по футболу участвовало 10 команд. Каждая команда играет с каждой один матч. Команда «Вымпел» набрала 25 очков, а команда «Звезда» — 24. Известно, что за победу присуждается 3 очка, за ничью — 1 очко, а за поражение — 0 очков. Каков результат матча «Вымпел» — «Звезда»?

Решение:

Каждая команда провела 9 матчей, максимальное количество очков, которое могла набрать каждая команда, равно 3×9 = 27. Команда «Вымпел» набрала на 27 – 25 = 2 очка меньше, следовательно, она потеряла 2 очка, то есть свела 1 матч вничью. Если бы у нее было хотя бы одно поражение, то она набрала бы не больше 24 очков. Команда «Звезда» потеряла 27 – 24 = 3 очка, то есть проиграла 1 матч, ничьих у неё нет. Таким образом, в матче «Вымпел» — «Звезда» — победил «Вымпел».

Ответ: Победил «Вымпел».

20. У продавца имеется 5 гирь массой 1, 2, 3, 4, 5 кг. Известно, что все покупатели, стоящие в очереди к продавцу, купили разное целое количество килограммов товара, и все их покупки продавец смог взвесить с помощью своих гирь. Какое наибольше количество покупателей могло стоять в очереди?

Решение:

Так как сумма масс всех гирь равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 кг, то в очереди могло стоять самое большее 15 покупателей. Действительно, с помощью имеющихся гирь можно взвесить любое целое количество килограммов товара от 1 кг до 15 кг: 6 = 5 + 1, 7 = 5 + 2, 8 = 5 + 3, 9 = 5 + 4, 10 = 5 + 4 + 1, 11 = 5 + 4 + 2, 12 = 5 + 4 + 3, 13 = 5 + 4 + 3 + 1, 14 = 5 + 4 + 3 + 2, 15 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Ответ: 15.

21. Три яблока дороже пяти груш. Сколько из приведенных утверждений наверняка верны, если все яблоки стоят одинаково, и все груши стоят одинаково?

1. Пять яблок дороже семи груш.

2. Семь яблок дороже тринадцати груш.

3. Четыре груши дешевле двух яблок.

4. Девять груш дешевле шести яблок.

Решение:

Верными являются утверждения 1 и 4. Докажем это. Так как три яблока дороже пяти груш, то яблоко дороже груши, а 2 яблока дороже 2-х груш. Прибавляя к стоимости 3-х яблок стоимость 2-х яблок, а к стоимости 5 груш стоимость 2-х груш, получим, что пять яблок дороже семи груш. Утверждение 1 верно

Так как три яблока дороже пяти груш, то шесть яблок дороже 10 груш, а значит дороже и 9 груш. Утверждение 4 верно.

Докажем, что утверждения 2 и 3 не всегда верны. Для этого достаточно привести пример, для которого условия выполняются, а заключение не выполняется.

Пусть яблоко стоит 2 зеда, а груша — 1 зед 10 тенов (зед — условная денежная единица, тен — сотая часть зеда). Тогда 3 яблока стоят 6 зедов, а 5 груш — 5 зедов 50 тенов, то есть три яблока дороже пяти груш. Условие выполняется. Но 7 яблок стоят 14 зедов, а 13 груш — 14 зедов 30 тенов, то есть семь яблок дешевле тринадцати груш. Утверждение 2 неверно.

В рассматриваемом примере 2 яблока стоят 4 зеда, а 4 груши — 4 зеда 40 тенов, то есть четыре груши дороже двух яблок. Утверждение 3 неверно.

Следовательно, из приведенных утверждений верных два.

Ответ: Два.

22. Антон и Даша живут в одном доме и учатся в одной школе. Антон идёт до школы 28 минут, а Даша — 20 минут. Через сколько минут после выхода Антона в школу вышла Даша, если она обогнала Антона, когда ему оставалось пройти четвёртую часть пути, и каждый из них проходил за равные промежутки времени равные расстояния?

Решение:

Так как весь путь Антон проходит за 28 минут, то на четвёртую часть пути ему потребуется 28:4 = 7 минут. Поэтому Антон был в пути 28 – 7 = 21 минуту, когда его обогнала Даша. Даше же на четверть пути требуется 20:4 = 5 минут. Поэтому в момент обгона Даша была в пути 20 – 5 = 15 минут. Следовательно, Даша вышла через 21 – 15 = 6 минут после выхода Антона.

Ответ: Через 6 минут.

23. Квадратный листок сложили пополам, потом ещё раз пополам. После двух сгибов получился квадрат. Полученный квадрат разрезали ножницами прямолинейным разрезом. Какое наибольшее количество кусочков бумаги могло при этом получиться?

Решение:

Полученный квадрат состоит из 4-х слоёв бумаги. Если разрез не проходит через линии сгиба, то будет 5 кусочков бумаги: от каждого слоя по одному кусочку и ещё один. Если же разрез будет проходить через линию сгиба, то количество кусочков только уменьшится за счёт соединения кусков из разных слоёв на линии сгиба.

Ответ: 5.

24. В некотором приборе ровно одна из 5-и батареек, но неизвестно какая, вышла из строя. Чтобы заменить одну батарейку на другую, требуется 10 секунд. За какое наименьшее время можно гарантированно заменить вышедшую из строя батарейку на исправную, если имеется одна новая батарейка, и после замены неисправной батарейки прибор сразу начинает работать?

Решение:

Для обеспечения гарантированности нужно рассмотреть наихудший вариант: неисправная батарейка оказалась пятой при замене батареек. На каждую из 4-х предыдущих замен требуется 10 секунд, так как если прибор не начал работать, то это означает, что вытащенная батарейка исправна и её можно использовать в следующей попытке. Следовательно, необходимо 10×5 = 50 секунд, чтобы гарантированно заменить вышедшую из строя батарейку.

Ответ: За 50 секунд.

25. В гараже стоят 750 автомобилей. Грузовые автомобили имеют по 6 колес, а легковые по 4 колеса. Каких автомобилей в гараже больше и на сколько, если колес всего 3024?

Решение:

Предположим, что все автомобили легковые. Тогда общее количество колёс равнялось бы 750×4 = 3000. На самом деле, колёс на 3024 – 3000 = 24 больше. Это происходит потому, что часть машин — грузовые, у которых на 6 – 4 = 2 колеса больше, чем у легковых автомобилей. Следовательно, количество грузовых автомобилей равно 24:2 = 12. Количество легковых равно 750 – 12 = 738. Их на 738 – 12 = 726 больше, чем грузовых.

Ответ: Легковых на 726

26. В трёх коробочках находится соль, сахар и лимонная кислота. Надпись («соль», «сахар», «лимонная кислота») на каждой коробке не соответствует её содержимому. Можно ли, открыв одну из коробочек и попробовав её содержимое, определить, что лежит в каждой из коробочек?

Решение:

Открываем, например, коробочку с надписью «сахар». Если в ней лежит соль, то в коробочке с надписью «соль» лежит лимонная кислота, в коробочке с надписью «лимонная кислота» лежит сахар. В противном случае надпись на коробочке с лимонной кислотой соответствует содержимому.

Если же в открытой коробочке лежит лимонная кислота, то в коробочке с надписью «лимонная кислота» лежит соль, а в коробочке с надписью «соль» лежит сахар.

Ответ: Можно.

27. Из 12 котят 8 рыжих и 7 пушистых. Каждый из них либо рыжий, либо пушистый; либо и рыжий, и пушистый. Какое количество котят являются и рыжими, и пушистыми одновременно?

Решение:

При нахождении общего количества котят, складывая количества рыжих и пушистых котят, то есть числа 8 и 7, мы дважды учтём котят, которые являются и рыжими и пушистыми одновременно. Следовательно, 8 + 7 – 12 = 15 – 12 = 3, это и есть искомое количество.

Ответ: 3.

28. 100 учащихся построены в шеренгу по росту. Можно ли, меняя местами двух учащихся, стоящих через одного, построить их в обратном порядке?

Решение:

Так как учащиеся меняются местами через одного, то ученик, стоящий на месте с чётным номером, всегда будет стоять на месте с чётным номером,. То же самое для учеников, стоящих на местах с нечётными номерами. Поэтому ученик с номером 100 не может оказаться на 1-м месте.

Ответ: Нельзя.

29. Все учащиеся 5-го класса занимаются одним из трёх видов спорта: гимнастикой, теннисом или плаванием. Известно, что 6 мальчиков — гимнасты, 5 девочек — теннисистки, 12 мальчиков — теннисисты или пловцы, 9 девочек занимаются гимнастикой или теннисом, 13 учащихся — теннисисты, 10 — пловцы. Сколько учащихся в классе?

Решение:

Так как 6 мальчиков — гимнасты, а 12 мальчиков — теннисисты или пловцы, то в классе 6 + 12 = 18 мальчиков.

Поскольку 5 девочек — теннисистки, а всего 13 учащихся — теннисисты, то 13 – 5 = 8 мальчиков занимаются теннисом.

В классе 12 – 8 = 4 мальчика занимаются плаванием, ибо 8 мальчиков занимаются теннисом, а 12 мальчиков — теннисисты или пловцы.

Так как 4 мальчика занимается плаванием, а всего плаванием занимается 10 учащихся, то 10 – 4 = 6 девочек занимается плаванием.

Поскольку 6 девочек занимается плаванием, а 9 девочек занимаются гимнастикой или теннисом, то в классе 6 + 9 = 15 девочек.

Следовательно, всего в классе 18 + 15 = 33 учащихся, ибо в классе 18 мальчиков и 15 девочек.

Ответ: 33.

30. Может ли год содержать месяц:

1) с пятью воскресеньями и пятью пятницами;

2) с пятью воскресеньями и пятью средами?

Решение:

31)             Если месяц содержит 31 день и начинается с пятницы, то пятниц будет 5 и последняя пятница будет 29-го числа. А пятое воскресенье будет 31-го числа.

В 2016-м году январь начался с пятницы, и в этом году в январе было 5 воскресений и 5 пятниц.

32)             Предположим, что месяц, содержащий 31 день, начинается с воскресенья. Тогда в этом месяце 5 воскресений, и последнее воскресенье 29-го числа. А сред только 4, так как 31-го — вторник.

Если месяц начинается с понедельника, вторника или среды, то в нем 5 сред, а воскресений только 4.

Если месяц начинается с четверга, то в нем 4 среды и 4 воскресенья.

Если месяц начинается с пятницы или субботы, то в нем 5 воскресений, а сред только 4.

Ответ: 1) Да; 2) нет.

31. Четыре мальчика и четыре девочки решили разделиться на две команды по четыре человека в каждой. Они встали в круг и начали считаться против часовой стрелки до тех пор, пока не будет сформирована первая команда. Каждый третий из ребят выходил из круга и шёл в первую команду. С кого начали считать: с мальчика или с девочки, если в результате оказалось, что первая команда состоит:

1) только из девочек;

2) только из мальчиков;

3) из двух девочек и двух мальчиков?

Решение:

1) На рисунке изображён результат счёта: буквами д1, д2, д3, д4 обозначены  девочки в порядке их выбора в первую команду. Следовательно, счёт начали с девочки.

2) Рассуждая аналогично предыдущему, приходим к выводу, что счёт начали с мальчика.

3) Анализ предыдущих случаев показывает, что ответ зависит от того, кого выбрали при выборе третьего члена команды.

Ответ: 1) С девочки; 2) с мальчика; 3) определить невозможно.

32. Два мальчика играют на гитарах, а один — на балалайке. На чём играет Юра, если Миша с Петей играют на разных инструментах, и Петя с Юрой тоже?

Решение:

Предположим, что Юра играет на балалайке, тогда Петя играет на гитаре, а Миша — на балалайке. Это противоречит тому, что на балалайке играет один мальчик. Следовательно, Юра играет на гитаре. Тогда Петя играет на балалайке, а Миша на гитаре. Условия задачи выполняются.

Ответ: На гитаре.

33. Количество осадков в марте превысило в полтора раза количество осадков в феврале. В апреле выпало втрое меньше осадков, чем их было в феврале. Сравните количество осадков, которые выпали за три указанных месяца, с утроенным количеством осадков, выпавших в феврале.

Решение:

Примем количество осадков, выпавших в апреле, за 2 части. Так как в феврале выпало втрое больше осадков, чем в апреле, то количество осадков, выпавших в феврале составит 6 частей. Поскольку количество осадков в марте превысило в полтора раза количество осадков в феврале, то количество осадков в марте составит 6 частей + 3 части = 9 частей. За три рассматриваемых месяца количество осадков составило 6 + 9 + 2 = 17 частей. А утроенное количество осадков, выпавших в феврале, составляет 18 частей. Следовательно, количество осадков, которые выпали за три указанных месяца меньше утроенного количества осадков, выпавших в феврале.

Ответ: Количество осадков, которые выпали за три указанных месяца меньше утроенного количества осадков, выпавших в феврале.

34. За круглым столом сидят 12 мальчиков и девочек. На вопрос «Кто твой сосед справа?» все ответили: «Мальчик». Сколько мальчиков сидит за столом, если все мальчики соврали, а все девочки сказали правду?

Решение:

Если бы за столом сидели одни девочки, то получилось бы, что они все соврали, значит за столом сидит хотя бы один мальчик. Так как он соврал, то справа от него сидит девочка. Справа от этой девочки сидит мальчик, так как девочки говорили правду. Рассуждая далее аналогично, приходим к выводу, что за столом сидит 6 мальчиков.

Ответ: 6 мальчиков.

35. Состоялось собрание учащихся двух выпускных четвёртых классов, на котором присутствовало 56 человек. Обсуждался вопрос, где отметить окончание начальной школы. Было два предложения: в лесу и в кондитерском кафе. После тайного голосования, в котором приняли участие все участники собрания, не было воздержавшихся и не было недействительных бюллетеней (никто не голосовал за оба предложения), председатель объявил, что принято первое предложение с преимуществом в 7 голосов. Витя заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как, исходя из приведенных данных, он смог это понять?

Решение:

Витя мог рассуждать так. Если мы сложим голоса за кафе и голоса за отмечание в лесу, то получим 56. Если к голосам за кафе прибавить 7, то получится количество голосов за отмечание в лесу. Значит удвоенное количество голосов за кафе + 7 должно равняться 56. Значит удвоенное количество голосов за кафе должно равняться 56-7=49, но 49 не делится на 2, значит получили противоречие, а значит результаты голосования сфальсифицированы.

14.Метод проектов (3 часа).

Неотъемлемая часть внеурочной работы по математике – это метод проектов. Активное включение школьника в создание тех или иных проектов дает ему возможность осваивать новые способы человеческой деятельности в социо-культурной среде.

Основные этапы выполнения проекта

Этап	Задача	Деятельность     учащихся	Деятельность      учителя
Начинание	Определение     темы, уточнение целей, выбор рабочей группы	Уточняют информацию, обсуждают задание	Мотивирует учащихся, объясняет цели проекта, наблюдает
Планирование	Анализ проблемы, определение источников информации,  постановка задач и выбор критериев оценки результатов, распределение ролей в команде	Формирует  задачи, уточняют информацию  (источники),  выбирают и обосновывают свои критерии успеха	Помогает в анализе и синтезе (по     просьбе), наблюдает
Принятие решения	Сбор и уточнение информации, обсуждение альтернатив («мозговой штурм»), выбор оптимального варианта, уточнение планов деятельности	Работают с информацией, проводят синтез и анализ идей, выполняют исследование	Наблюдает, консультирует
Выполнение	Выполнение проекта	Выполняют исследование и работают над проектом, оформляют проект	Наблюдает, советует (по просьбе)
Оценка         результатов	Анализ выполнения проекта, достигнутых результатов (успехов и неудач) и причин этого, анализ достижения поставленной цели	Участвуют в коллективном самоанализе проекта и самооценке	Наблюдает, направляет процесс анализа (если это необходимо)
Защита          проекта	Подготовка доклада, обоснование процесса проектирования, объяснение полученных результатов, коллективная защита проекта, оценка	Защищают проект, участвуют в коллективной оценке  результатов проекта	Участвует       в коллективном анализе и оценке   результатов проекта

1 проект. Экологический.

Сегодня мы остановимся на производстве бумаги.

Задача 1: Вычислить, сколько нужно вырубить леса для того, чтобы издать учебники «математика» для всех 5 – ков нашей школы.

            Планирование: обсудить этапы решения задачи. Этапы учащиеся могут спланировать в групповой работе, а затем это вывести на общее обсуждение.

1)      Вычислить площадь одного листа;

2)      Найти площадь всех листов учебника;

3)      Учесть количество учащихся 5 – классов школы (эту информацию учитель готовит заранее), найти площадь листов всех учебников.

4)      Найти в интернете, какое количество деревьев(кубометров) вырубают, чтобы получить 1 квадратный метр бумаги( если нет доступа к интернету, учитель готовит эту информацию заранее);

5)      Найти сколько вырубили леса для изготовления всех учебников.

Выполнение, анализ проекта:

В группе учащиеся реализуют составленный план.

Защита проекта:

Группа выбирает выступающего, который оформляет решение на доске, затем идет обсуждение  получившихся решений с последующей корректировкой.

2 проект. Математическая сказка.

Начинание:

Учащиеся делятся на группы, выбирают руководителя группы.

Планирование:

Учащиеся выбирают в группах, какое математическое содержание они будут отражать в своей сказке. Какая эта будет сказка (существующая или ребята придумают свою), определяются с героями. Учитель помогает детям составить критерии, по которым будут оцениваться сказки.

Выполнение:

Непосредственная работа по составлению сказки.

Оценка результатов:

Учащиеся в группе проверяют соответствует ли результат их работы заявленным критериям.

Защита проекта:

Отвечающие от каждой группы представляют результат своей работы на суд класса, остальные учащиеся оценивают проделанную работу по выработанным критериям.

Домашнее задание: сделать книжку с иллюстрациями для сказки, которую придумали в своей группе.

3 проект: Статистика вокруг нас.

Проект можно дать сразу после изучения темы «Элементы статистики».

Детям дается задание домой: по любой интересующей их теме собрать статистические данные.

Начинание:

Учащиеся делятся на группы, выбирают руководителя группы.

Планирование:

Учащиеся делятся в группах найденными статистическими справками и выбирают 3 лучшие.

Выполнение, оценка результатов:

Учащиеся получают задание: 1) по первой справке составить столбчатую диаграмму;

2)      По второй справке составить круговую диаграмму;

3)      По третьей справке составить гистограмму.

Выполняют в группах.

Защита проекта:

Защита проходит на доске.

15.Итоговое занятие «Брей -  ринг» (1 час).

1)      Учащиеся делятся на 2 команды, выбирают капитана, придумывают название и девиз.

Презентуют команду.

2)       Конкурс «Объяснялки».

Оценки за ответ: правильный ответ с 1 попытки – 3 балла

                                                               со 2 попытки – 2 балла

                                                               с 3 попытки – 1 балл

A.    Он очень круглый(1 попытка)

Мы на нем живем(2 попытка)

Похож на арбуз(3 попытка)

                                               (Шар)

B.     Имеет форму креста

Такой символ есть на батарейках

В математике это знак действия

                                                      (Плюс)

C.     За это снижают отметки

Отличники их делают редко

На них учатся

                                                    (Ошибки)

D.    Она показывает часть от всего

Ей стреляют из охотничьего ружья

Барабанная

                                                        (Дробь)

E.     Она нужна, чтобы не говорить глупости

Это когда одна мысль вытекает из другой

Бывает математическая, а бывает и женская

                                                           (Логика)

F.      Он похож на кулек

Похож на шутовской колпак

«круглая» пирамида

                                           (Конус)

G.    Его можно сложить из 4 спичек

Один из многоугольников

Вторая степень числа

                                               (Квадрат)

H.    Форма коробки

В них играют малыши

«Объемный» квадрат

                                         (Куб)

I.        Обычно находится в центре города

Этим интересуются когда покупают квартиру

Длина на ширину

                                           (Площадь)

J.       В любой комнате их 4

Маленьких туда ставят

Измеряется транспортиром

                                                (Угол)

K.    Самое приятное на уроке

Самое неприятное на перемене

Бывает еще последний

                                                    (Звонок)

3)      Конкурс «Обгонялки».

На выполнение 2 минуты за верный ответ 1 балл, если команда не знает ответ, то говорит «дальше».

Вопросы 1 команде:

Ø  Наименьшее натуральное число (1)

Ø  Чему равна ¼ часть час (15 минут)

Ø  Результат вычитания (разность)

Ø  У прямоугольника отрезали 1 угол, сколько углов стало (5)

Ø  Прибор для построения окружности (циркуль)

Ø  На двух руках 10 пальцев, сколько пальцев на 5 руках (25)

Вопросы 2 команде:

Ø  Число, из которого вычитают (уменьшаемое)

Ø  Сколько килограмм в половине тонны (500)

Ø  Сумма длин сторон многоугольника (периметр)

Ø  Равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти (уравнение)

Ø  1/100 часть метра (сантиметр)

Ø  Число, которое делят (делимое)

4)      Конкурс капитанов:

Составить как можно больше слов из слова «математика»

1 балл за каждое слово.

5)      Во время конкурса капитанов конкурс с остальными членами команд:

От каждой команды вызываются по два человека, 1 балл зарабатывает тот, кто первым отвечает на вопрос.

Ø  Купили 5 тортов по пол – кило, сколько купили кг тортов (2,5)

Ø  Турист прошел 5/12 км до лодочной станции и проплыл 4/12 на лодке. Какой путь проделал турист? (9/12)

Ø  Собрали 8 кг вишни, из ¼ ягод сварили варенье, сколько осталось вишни? (5 кг)

Ø  Сколько кг конфет получит каждый ребенок, если разделить 6 кг на 8 человек (6/8)

Ø  На отделку платья нужно ¼ м тесьмы. Сколько м тесьмы нужно на 4 платья? (1 м)

Ø  За обедом съели 1/3 пирога, а на ужин 2/3 пирога. Сколько пирога съели? (весь).

6)      Конкурс ребусов

Капитаны по очереди выбирают для своей команды ребусы (лежащие на столе вниз картинками). 1 минута на решение. 1 балл за правильный ответ, если не решила команда, то решает другая команда.

Краткое описание документа:

Данная программа позволяет учащимся ознакомиться со многими интересными вопросами математики на данном этапе обучения, выходящими за рамки школьной программы, расширить целостное представление о проблеме данной науки. Решение математических задач, связанных с логическим мышлением закрепит интерес детей к познавательной деятельности, будет способствовать развитию мыслительных операций и общему интеллектуальному развитию.

Не менее важным факторомреализации данной программы являетсяи стремление развить у учащихся умений самостоятельно работать, думать, решать творческие задачи, работать в группе, создавать проекты, использовать ИКТ технологии, а также совершенствовать навыкиаргументации собственной позиции по определенному вопросу.