Инфоурок › Информатика ›Рабочие программы›Рабочая программа учебной дисциплины "Основы теории чисел"

Рабочая программа учебной дисциплины "Основы теории чисел"

Скачать материал

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение

«Колледж автоматизации

и информационных технологий № 20»

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Общеобразовательной учебной дисциплины

«Основы теории чисел»

Специальность:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем

уровень подготовки: базовый

Москва

2016

ОДОБРЕНО

на заседании ПЦК "Информационная безопасность автоматических систем"

Протокол № _ от «__» 20__ г.

Председатель

____________ /Бавыкин В.В./

Программа учебной дисциплины разработана в соответствии с требованиями ФГОС по специальности:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем и учебным планом ГБПОУ КАИТ № 20

УТВЕРЖДАЮ

Руководитель учебного структурного подразделения «1М»

_____________________________/Мельников С. П./

«_____» ________________________20__ г.

СОГЛАСОВАНО

Зав. учебно-методическим отделением

_____________________________/______________/

«_____» ________________________20__ г.

Разработчик (автор): Филиппова Зоя Михайловна, преподаватель,

высшая квалификационная категория_________________________________

Ф.И.О., должность, квалификационная категория

_____________________________________________________________________________________________

Рецензент:

Внешний: _______________________________________________

(Ф.И.О., место работы, должность, квалификационная категория (ученая степень, звание)

СОДЕРЖАНИЕ

	стр.
1. Паспорт рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины	4
2. Структура и содержание общеобразовательной учебной дисциплины	10
3. Условия реализации рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины	15
4. Контроль и оценка результатов освоения общеобразовательной учебной дисциплины	19

1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»

1.1. Область применения программы: реализация среднего профессионального образования в пределах ППСЗ по специальности:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем

в соответствии c примерной программой по учебной дисциплине «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ», с учетом профиля получаемого профессионального образования.

1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.

Дисциплина “Основы теории чисел” относится к базовой части Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (ФГОС ПО) по направлению 10.02.03 информационная безопасность автоматических систем, являясь частью блока “Алгебра и теория чисел”.

Дисциплина “Основы теории чисел” базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математики.

В ходе изучения дисциплины “Основы теории чисел” студенты должны освоить основные понятия и методы теории чисел. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями и монографиями.

1.3 Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

Рабочая программа учебной дисциплины «Основы теории чисел» ориентирована на достижение следующих целей:

· овладение студентами математическим аппаратом теории чисел, фундаментальными теоретическими положениями этой науки;

· воспитание и развитие их математической культуры;

· осознание ими прикладного характера математики в целом и теории чисел в частности.

Курс теории чисел должен решать следующие задачи:

· вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по теории чисел;

· давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;

· учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке теории чисел;

· предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;

· демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории, открывающую дорогу многим приложениям;

· демонстрировать применение теории чисел для решения разнообразных практических задач;

· пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать типовые задачи;

· обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.

В результате изучения дисциплины “Теория чисел” у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом профессионального образования:

научно-исследовательская и научно-изыскательская:

· применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;

· решение математических проблем, соответствующих направленности (профилю) образования, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;

· подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований;

· участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и подготовка публикаций по результатам проводимых научно-исследовательских работ.

производственно-технологическая:

· использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;

· применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;

· сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники.

· Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

· В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:

· овладение умениями использовать полученные знания по основам теории чисел при шифровании и дешифровании сообщений; оценивать достоверность естественнонаучной информации;

· освоение знаний о фундаментальных теоремах по основам теории чисел, лежащих в основе науки о криптографиях; наиболее важных открытиях в теории чисел, оказавших определяющее влияние на развитие передачи секретных текстов; методах научного познания шифрования информации;

· развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе приобретения знаний и умений по основам теории чисел с использованием различных источников информации и современных информационных технологий;

· воспитание убежденности в возможности шифрования информации по теремам из теории чисел; использования достижений теории чисел на благо развития человеческой цивилизации; необходимости сотрудничества в процессе совместного выполнения задач, готовности к морально-этической оценке использования научных достижений, чувства ответственности за защиту информации;

· использование приобретенных знаний и умений для решения практических задач повседневной жизни, обеспечения безопасности информации, рационального использования возможностей науки теории чисел для криптографических целей.

· 1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Студент, изучивший дисциплину, должен

· ЗНАТЬ

· основные теоретико-числовые понятия;

· основные результаты о делимости целых чисел и теории сравнений;

· основные алгоритмы решения стандартных задач.

· УМЕТЬ

· применять теорему о делении с остатком и свойства делимости к решению различных арифметических задач;

· применять алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя целых чисел, его линейного разложения и наименьшего общего кратного;

· используя “решето” Эратосфена, составлять таблицы простых чисел и решать задачи на применение основной теоремы арифметики и свойств простых чисел.

· находить разложение заданного рационального числа в конечную цепную дробь и разложение заданного иррационального числа в бесконечную цепную дробь, вычислять подходящие дроби и применять свойства подходящих дробей при решении задач;

· применять определение и свойства сравнений по заданному модулю при составлении полной и приведённой систем вычетов;

· вычислять значения функции Эйлера и остатки арифметических выражений от деления на заданное число, используя свойства сравнений и теоремы Эйлера и Ферма.

· решать различными способами линейные сравнения первой степени с одним неизвестным.

· применять для решения задач алгоритмы нахождения показателя и первообразного корня по заданному модулю. Уметь решать двучленные сравнения, используя таблицы индексов.

· применять обобщённый признак делимости Паскаля для конструирования конкретных признаков делимости.

· проверять правильность выполнения простейших арифметических действий с помощью сравнений.

· ВЛАДЕТЬ

· В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть общеучебными компетенциями по 4 блокам:

· самоорганизация - организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

· самообучение - осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, заниматься самообразованием;

· информационный блок - использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;

· коммуникативный блок – быть способным эффективно работать в коллективе и команде, брать на себя ответственность за результат выполнения заданий.

1.4. Профильная составляющая (направленность) дисциплины.

· В программе по основам теории чисел профильную составляющую представляют все разделы.

· Профильное изучение дисциплины осуществляется:

· путем отбора дидактических единиц программы по теории чисел, знание которых будет необходимо при освоении ППСЗ ФГОС и в будущей профессиональной деятельности;

· осуществлением межпредметных связей дисциплины с общетехническими и специальными дисциплинами ППСЗ ФГОС;

· организацией внеаудиторной самостоятельной работы, направленной на расширение и углубление знаний, которые будут необходимы при осуществлении профессиональной деятельности.

1.5. Количество часов, отведенное на освоение программы общеобразовательной дисциплины:

· максимальная учебная нагрузка – 119 часов,

· в том числе:

· обязательная аудиторная учебная нагрузка обучающегося – 79 часов;

· самостоятельная работа обучающегося – 40 часов.

2. СТРУКТУРА И ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ дИСЦИПЛИНЫ

2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	*Объем часов*
Максимальная учебная нагрузка (всего)	119
Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)	79
в том числе:
практические и лабораторные занятия	41
контрольная работа	4
Самостоятельная работа обучающегося (всего)	40
в том числе:
1. Решение задач по темам 2. Подготовка к практическим и лабораторным работам. Отчеты. 3. Подготовка сообщений (презентаций).
Итоговая аттестация в форме экзамена.	16

2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины

Наименование разделов и тем	Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы, самостоятельная работа обучающегося	Объем часов	Уровень освоения
1	2	3	4
Введение	Содержание учебного материала	2	2
Введение	Что изучает дисциплина основы теории чисел.	2	2
Раздел 1. Теория делимости в кольце целых чисел		12
Тема 1.1. Делимость целых чисел	Содержание учебного материала	2	2
	Теорема о делении с остатком. Делимость нацело и её свойства. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД. Наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа и их свойства	2	2
	Практическая работа № 1 по теме «Делимость целых чисел»	2	2-3
	Самостоятельная работа № 1: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Изготовление мультимедийных презентаций «Взаимно простые числа и их свойства», «Алгоритм Евклида», «Наименьшее общее кратное», «Делимость надело и ее свойства»	2
Тема 1. 2. Основная теорема арифметики	Содержание учебного материала	2
	Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Описание делителей натурального числа. Количество t(n) и сумма s(n) делителей натурального числа. Нахождение НОД и НОК с помощью канонических разложений. Бесконечность количества простых чисел в арифметических прогрессиях.^* Решето Эратосфена.	2	2
	Практическая работа № 2 по теме «Нахождение НОД и НОК с помощью канонических разложений»	2	3


	Самостоятельная работа № 2: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Подготовка сообщений, конспекта. Реферат «Евклид выдающийся ученый». Сообщение «Решето Эратосфена». Сообщение «Простые числа и их свойства».	2
Тема 1. 3. Цепные дроби	Содержание учебного материала	2	2
	Конечные цепные дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Теорема о представлении рациональных чисел конечными цепными дробями. Применение конечных цепных дробей к нахождению линейного разложения НОД.	2	2
	Практическая работа № 3 по теме «Цепные дроби»	2	3
	Самостоятельная работа № 3: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Подготовка сообщений, конспекта. Решение задач по теме «Конечные цепные дроби». Презентации: «Конечные цепные дроби», «Признак иррациональности числа и иррациональность числа e», «Бесконечные цепные дроби», «Теорема о представлении иррациональных чисел бесконечными цепными дробями»	2
Раздел 2. Теория сравнений		38
Тема 2. 1. Арифметика остатков, классы вычетов	Содержание учебного материала	4	2
	Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо *Z_n, поле Z_pи группа Z_n^. Полная и приведённая системы вычетов. Мультипликативные функции. Функция Эйлера и её основные свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Структура решений линейного сравнения первой степени. Методы решения. Показатель числа (или класса вычетов) по заданному модулю и его основные свойства. Первообразные корни по заданному модулю. Количество и структура первообразных корней.	4	2
	Контрольная работа № 1 по теме «Теория делимости в кольце целых чисел. Теория сравнений»	2	3
	Практическая работа № 4 «Обобщенная торема Евклида»	2	2
	Практическая работа № 5 «Теорема Эйлера»	2	2
	Практическая работа № 6 «Малая теорема Ферма»	2	2
	Практическая работа № 7 «Китайская теорема об остатках»	2	2
	Практическая работа № 8 «Линейные сравнения первой степени»	2	2
	Самостоятельная работа № 4: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Презентация «Теорема Евклида», «Китайская теорема об остатках», «Теорема Эйлера», «Теорема Ферма»	5
Тема 2. 2. Квадратичные вычеты	Содержание учебного материала	6	2
	Квадратичные вычеты и невычеты. Факторизация.Символ Лежандра и его свойства.	6	2
	Практическая работа № 9 «Квадратичные вычеты »	2	2
	Практическая работа № 10«Факторизация»	2	2
	Практическая работа № 11 «Символ Лежандра»	2	2
	Контрольная работа № 2 по теме «Квадратичные вычеты»	2	2
	Самостоятельная работа № 5 «Квадратичные вычеты» 1. Решение задач на тему«Квадратичные вычеты». 2. Подготовка к практическим работам. 3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Символ Лежандра», «Факторизация»	7
Тема 2. 3. Дискретный логарифм	Содержание учебного материала
	Логарифмирование в конечных полях. Примеры логарифмирование в конечных полях. Сложность алгоритмов логарифмирования в конечных полях.	4	2
	Практическая работа № 12«Логарифмирование в конечных полях»	2	2
	Практическая работа № 13 «Алгоритмы логарифмирования в конечных полях»	2	2
	Самостоятельная работа № 6 «Дискретный логарифм» 1. Решение задач на тему «Дискретный логарифм». 2. Подготовка к практическим работам. 3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Примеры логарифмирование в конечных полях».	4
Раздел 3 Арифметические приложения теории сравнений		27
Тема 3.1. Схема шифрования RSA	Содержание учебного материала	4	2
	Шифрование с открытым ключем. Схема RSA.шифрования и дешифрования по схеме RSA.Атаки на RSА.Реализация атак на RSA. Доказательство основной теоремы о схеме RSA. Решение примеров шифрования с использованием схемы RSA.Программирование системы	4	2
	Практическая работа № 14 «Шифрование с открытым ключом»	2	2
	Практическая работа № 15 «Схема RSA»	2	2
	Практическая работа № 16 «Шифрование по схемеRSA»	2	2
	Практическая работа № 17 «Дешифрование по схемеRSA»	2	2
	Практическая работа № 18 «Атаки на схемы RSA»	2	2
	Самостоятельная работа № 7 «Схема шифрования RSA» 1. Решение задач на тему «Схема шифрования RSA». 2. Подготовка к практическим работам. 3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Схема шифрования RSA», «Схема дешифрования RSA», «Атаки на схему шифрования RSA».	7
Тема 3.2 Криптологические протоколы	Содержание учебного материала	4	2
	Криптологические протоколы. Практическое использование криптологических протоколов. Системы Диффи и Хеллмана. Схема шифрования ElGamal. Электронная подпись ElGamal	4	2
	Практическая работа № 19«Криптологические протоколы »	3	2
	Самостоятельная работа № 8 «Криптологические протоколы» 1. Решение задач на тему «Криптологические протоколы». 2. Подготовка к практическим работам. 3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Криптологические протоколы»,	2
Тема 3.3 Алгоритмы шифрования	Содержание учебного материала
	Алгоритм DSA (DSS). Программирование DSA. Схемы аутентификации Schnorr-Shamir. Схема аутентификации Feige-Fiat-Shamir	4	2
	Практическая работа № 20 «Программирование DSA»	2	2
	Самостоятельная работа № 8 «Криптологические протоколы» 1. Решение задач на тему «Криптологические протоколы». 2. Подготовка к практическим работам. 3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Криптологические протоколы»,	3
	Всего:	119 ч. в т.ч.: аудиторных – 79ч. практических работ – 41 ч. внеаудиторных самостоятельных работ – 40 ч.	ььь

Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1.- ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств)

2.- репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции и под руководством)

3. –продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

3. условия реализации программы общеобразовательной УЧЕБНОЙ дисциплины

«ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»

3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению реализации общеобразовательной дисциплины

Реализация программы дисциплины требует наличия учебного кабинета.

Оборудование учебного кабинета:

· посадочные места по количеству обучающихся;

· рабочее место преподавателя;

· рабочая доска;

· комплект наглядных пособий по дисциплине (плакаты, таблицы, слайды, видеофильмы);

· комплект учебно-методической документации;

· учебные дидактические материалы.

Технические средства обучения:

· компьютер;

· colorDisplay;

· видеоплеер;

· видеопроектор;

· музыкальный центр;

· акустическая система;

· компьютерный класс:

· микропроцессор не ниже PentiumIV,

· объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ,

· объем ОЗУ не меньше 512 МБ

· операционная система WindowsXP / 7

· текстовым редактором Word – 2003

· среды программирования TurboPascal или Delphi.

слайд-проектор.

3.2.Учебно-методический комплекс учебной дисциплины, систематизированный по компонентам

1. Нормативные документы и методическое обеспечение реализации дисциплины.

2. Сборники задач по теории чисел.

3. Комплекты типовых заданий, тестов, вопросов по теории чисел.

3.3. Информационно-коммуникационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.

2. Валицкас А.И. Конспект лекций по теории чисел: Теория делимости в кольце целых чисел. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2002.

3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.

4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 2008.

5. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. – М.: Издательский центр “Академия”, 2008.

6. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.

Дополнительные источники:

7. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел – М.: Наука, 1985.

8. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: “Алгебра и теория чисел”: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.

9. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра – М.: Просвещение, 1978.

10. Воробьев Н.Н. Признаки делимости – М.: Наука, 1980.

11. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи – М.: Наука, 1978.

12. Воронин С.М. Простые числа – М.: Знание, 1978.

13. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. – М.: Изд. МГУ, 1984.

14. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. – Москва-Ленинград, 1940.

15. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964.

16. Казачек Н.А., Перлатов Г.Н., Виленкин Н.Я., Бородин А.И. Алгебра и теория чисел. Части I, II, III. – М.: Просвещение, 1974.

17. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. – М.: Наука, 1975.

18. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х ТТ.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

19. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1970.

20. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.

21. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II – М.: Просвещение, 1978.

22. Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1967.

23. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. –М.: Наука, 1982.

24. Постников М.М. Введение в аналитическую теорию чисел. – М.: Наука, 1971.

25. Прахар К. Распределение простых чисел. – М.: Мир, 1967.

26. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.

27. Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.

28. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Едиториал УРСС, 2004.

29. Эльнатанов Б.А. Развитие метода решета. – Душанбе, 1984.

Электронные образовательные ресурсы

1. Теория чисел // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_чисел

4. Контроль и оценка результатов освоения учебной Дисциплины

Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практичесrb занятий, тематического контроля, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, презентаций.

Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)

Формируемые общеучебные и общие компетенции

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Обучающиеся должны

уметь:

У1: уверенно пользоваться теоремами, определениями, свойствами при решении задач;

У2: сформировать умение составлять алгоритмы, приводящие к решению поставленных задач и делать выводы;

У3: сформировать умение решать задачи по теории чисел;

У4: применять полученные знания для шифрования и дешифрования серетных сообщений, передаваемых по открытым каналам связи;

У5: сформировать собственную позицию по отношению к шифрованию и дешифрованию информации, получаемой из разных источников;

знать:

З1: смысл понятий по теории чисел: терема, определение, алгоритм, лемма, свойства, программа, языки программирования;

З2: смысл величин по теории чисел: НОД, НОК, факторизация, сравнение, квадратичный вычет, квадратичный невычет, факториал, смвол Лежандра, функция Эйлера, дискретный логарифм,шифрование, дешифрование, матричный процессор, Схема RSA, криптологические протоколы;

З3: смысл основных теорем и алгоритмов теории чисел: Малая теорема Ферма, Теорема Эйлера, алгоритм Евклида, Китайсая теорема об остатках, теорема Чебышева;

З4: роль теории чисел в программировании и криптографии.

Общеучебные компетенции

1.Самоорганизация

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях.

2.Самообучение

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, заниматься самообразованием.

3.Информационный блок

Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

4.Коммуникативный блок

Способность эффективно работать в коллективе и команде, брать на себя ответственность за результат выполнения заданий.

Общие компетенции, включающие в себя способность:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Текущий контроль:

Экспертная оценка результатов деятельности студентов при выполнении и защите практических и лабораторных работ, тематического контроля, тестировании, внеаудиторной самостоятельной работы, устной проверке знаний на учебных занятиях, защите презентаций

и др. видов текущего контроля.

Промежуточный контроль:

Контрольная работа

Итоговый контроль:

экзамен

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Контрольная работа по ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

вариант-ОБРАЗЕЦ

1. Найти НОД трёх чисел: 19074, 13566, 8211.

Решение. Используем свойство (19074, 13566, 8211) = ((19074, 13566), 8211).

Сначала находим НОД(19074, 13566) = 102, а затем НОД(102, 8211) = 51.

_ 8211 | 102
816 80
_ 102|51
102 2
0 _ 19074 | 13566
13566 1
_ 13566 |5508
11016 2
_ 5508 |2550
5100 2
_ 2550 |408
2448 6
_ 408 |102
408 4
0

Таким образом, НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

Ответ: НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

2. Найти все x = 5^a×7^b×11^g со свойством j (x) = 2310000.

Решение. Если a¹ 0, b¹ 0, g¹ 0, то j (5^a×7^b×11^g) = j(5^a)×j(7^b)×j(11^g) = = 5^a^–1×4×7^b^–1×6×11^g^–1×10 = 2⁴×3×5^a×7^b^–1×11^g^–1.

С другой стороны, 2310000 = 2⁴×3×5⁴×7×11. Из равенства 2⁴×3×5^a×7^b^–1×11^g^–1 = = 2⁴×3×5⁴×7×11 находим (используя единственность канонического разложения), что a = 4, b = 2, g = 2, т.е. x = 5⁴×7²×11².

Исследуем теперь случаи, когда некоторые из показателей a, b, gнулевые. Из предыдущих вычислений видно, что 3, 7,11 участвуют в каноническом разложении числа 2310000 = 2⁴×3×5⁴×7×11, так что b¹ 0, g¹ 0. Если a = 0, то j(x) = = j (7^b×11^g) = j(7^b)×j(11^g) = 7^b^–1×6×11^g^–1×10 = 2²×3×5×7^b^–1×11^g^–1и равенство j(x) = = 2310000 = 2⁴×3×5⁴×7×11невозможно.

Таким образом, найденное выше решение единственно.

Ответ: x = 5⁴×7²×11².

2. Найти количество натуральных чисел x со свойствами:

x< 450 и НОД(x, 450) = 15.

Решение. Любое число xс указанными в условии свойствами имеет вид x = = 15×y, где 1£y< 30 (т.к. 15 £x< 450). При этом условие НОД(x, 450) = 15означает, что НОД(y, ) = 1, т.е. НОД(y, 30) = 1. Таким образом, задача сводится к отысканию всех чисел yсо свойствами 1£y< 30и НОД(y, 30) = 1. Таких чисел j(30) = j(2×3×5) = j(2)×j(3)×j(5) = 1×2×4 = 8.

Ответ: 8 чисел.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 10×х º 12 (mod 14),

б) методом цепных дробей 101×х º 130 (mod113).

Решение.а)Метод подбора.Сравнение 10×х º 12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5×xº 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Последовательно подставляя в сравнение 5×xº 6 (mod 7)значения x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, находим 5×0 = 0 6 (mod 7), 5×1 = 5 6 (mod 7), 5×2 = 10 º 3 6 (mod 7), 5×3 = 15 º 1 6 (mod 7), 5×4 = 20 º 6 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5×xº 6 (mod 7)будет класс xº 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения – классы xº 4+0×7 = 4 (mod 14), xº 4+1×7 = 11 (mod 14).

Ответ: x º 4 (mod 14), x º11 (mod 14).

Искусственный приём.Так же как и выше, вначале решаем сравнение 5×xº 6 (mod 7). Для этого будем искать xв виде xº(mod 7), где tвыбирается так, чтобы дробь принимала целое значение. Перебирая t = 0, 1, 2, находим t = 2и xº 4 (mod 7).Выписываем решения исходного решения: xº 4+0×7 = 4(mod 14), xº 4+1×7 = 11 (mod 14).

Ответ: x º 4 (mod 14), x º11 (mod 14).

Метод Эйлера.Сравнение 10×х º 12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5×xº 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Поскольку 5^j⁽⁷⁾º 1 (mod 7), то умножая обе части сравнения 5×xº 6 (mod 7)на 5^j^(7)–1, получим xº5^j^(7)–1×5×xº5^j^(7)–1×6 º 5^6–1×6 º5²×5²×5×6 º 4×4×2 º 2×2 = 4 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5×xº 6 (mod 7)будет класс xº 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения – классы xº 4+0×7 = 4 (mod 14), xº 4+1×7 = 11 (mod 14).

Ответ: x º 4 (mod 14), x º11 (mod 14).

б)Метод цепных дробей.Сравнение 101×х º 130 (mod113) имеет единственный класс решений, т.к НОД(101, 113) = 1 | 130. При этом исходное сравнение равносильно 101×х º 17 (mod113), которое и будем решать.

Разлагаем дробь в конечную цепную дробь:

_ 113 | 101
1011
_ 101| 12
968
_12|5
102
_ 5 | 2
42
_2|1
22
0 Таким образом, = [1; 8, 2, 2, 2] – конечная цепная дробь порядка 4. Вычислим её значение, составив таблицу:

i	–1	0	1	2	3	4
*a_i*	–	1	8	2	2	2
*P_i*	1	1	9	19	47	113
*Q_i*	0	1	8	17	42	101

Таким образом, 101×47 – 113×42 = 1 и значит, 101×47 º 1 (mod 113), так что решением рассматриваемого сравнения 101×х º 17 (mod113) будет xº 47×17 = = 799 º 8 (mod 113).

Ответ: x º8 (mod 113).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 40×х ¹⁰º 3 (mod 17).

Решение. Упростим сравнение: 6×х ¹⁰º 3 (mod 17)и поскольку НОД(3, 17) = 1, последнее сравнение равносильно (после сокращения на 3) сравнению 2×х ¹⁰º 1 (mod 17), которое и будем решать.

Переходя к индексам по модулю j(17) = 16, получимind(2) + 10×ind(x) ººind(1) (mod 16) или (вычисляяind(2) с помощью таблиц индексов)10×ind(x) ºind(1) – ind(2) º 0 – 14 º 2 (mod 16).

Сравнение 10×ind(x) º2 (mod 16)имеет два класса решений по модулю 16, т.к. НОД(10, 16) = 2 | 2.Это сравнение равносильно сравнению 5×yº 1 (mod 8), которое имеет единственный класс решений yº 5 (mod 8). Значит сравнение 10×ind(x) º2 (mod 16)имеет следующие решения: ind(x₁) º 5+0×8 = 5 (mod 16), ind(x₂) º5+1×8 = 13 (mod 16).

По таблице антииндексов находим соответствующие решения xº 5 (mod 17)и xº 12 (mod 17).

Ответ: xº 5 (mod 17) и xº 12 (mod 17).

5. Найти остаток от деления (15728 + 19³⁰)⁷ на 57.

Решение.1. Находим остаток от деления 15728 на 57:

15728 º 53º –4 (mod 57) _ 15728 |57
114275
_ 432
399
_ 338
285
53 .

2. Находим остаток от деления 19³⁰на 57: 19³⁰ = (19²)¹⁵ = = 361¹⁵º 19¹⁵ = (19²)⁷×19 º 19⁷×19 º (19²)⁴º 19⁴º (19²)²ºº 19²º 19 (mod 57).

3. Имеем (15728 + 19³⁰)⁷º (–4 + 19)⁷ = 15⁷ (mod 57).

4. Вычислим 15⁷ = (15²)³×15 º 54³×15 º (–3)³×15 = – 27×15 = = –405 º –6 º 51 (mod 57):

Ответ: остаток равен 51.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Решение.1.Находим каноническое разложение знаменателя: 10500 = 105×100 = = 2²×5³×3×7 = 2²×5³×21.

2. Находим длину предпериода: (длина предпериода) = max{2, 3} = 3.

3. Находим длину периода P₂₁(10): 10¹ = 10 1 (mod 21), 10² = 100 º–5 1 (mod 21), 10³º 10×(–5) º –8 1 (mod 21), 10⁴º (–5)²º4 1 (mod 21), 10⁵ºº 10×4 º–2 1 (mod 21), 10⁶º 10×(–2) º1 (mod 21).

Таким образом, (длина периода) = 6.

Ответ: длина предпериода равна 3, а длина периода – 6.

Вариант 0

1. Найти НОД трёх чисел: 2226, 3213, 6489.

2. Решить уравнение: j (7^х) = 294.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 7×х º 6 (mod 9),

б) методом цепных дробей 88×х º 324 (mod404).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 25×х ⁷º –7 (mod 31).

5. Найти остаток от деления 11 ⁸⁰² на 1000.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 1

1. Найти НОД трёх чисел: 3445, 4225, 5915.

2. Найти все x = 5^a×7^b×11со свойством j (x) = 42000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 3×х º 1 (mod 11),

б) методом цепных дробей 365×х º 50 (mod 395).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 8×х⁹º –17 (mod 41).

5. Найти остаток от деления 19 ²⁴⁰² на 100.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 2

3. Найти НОД трёх чисел: 1073, 3683, 34481.

4. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 975 и НОД(x, 975) = 13.

5. Решить сравнение: а) тремя способами 18×х º 12 (mod 30),

б) методом цепных дробей 91×х º 143 (mod 222).

6. Решить сравнение с помощью индексов: 7×х¹³ + 23 º 0 (mod 47).

7. Найти остаток от деления 1967¹⁹⁶⁸ на 11.

8. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 3

1. Найти НОД трёх чисел: 1012, 1474, 4598.

2. Решить уравнение: j (11^х) = 13310.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 39×х º 5 (mod 11),

б) методом цепных дробей 27×х º 25 (mod 119).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 9×х¹¹ + 1 º 0 (mod 43).

5. Найти остаток от деления 109³⁴⁵ на 14.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 4

1. Найти НОД трёх чисел: 988, 2014, 42598.

2. Найти все x = 5^a×7×11^g со свойством j (x) = 330000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 37×х º 16 (mod 11),

б) методом цепных дробей 82×х º 14 (mod 202).

4. Решить сравнение с помощью индексов: 19×х⁵ + 13 º 0 (mod 53).

5. Найти остаток от деления 293²⁷⁵ на 48.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 5

1. Найти НОД трёх чисел: 7975, 2585, 13915.

2. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 120 и не взаимно простых с числом 30.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 62×х º 5 (mod 13),

б) методом цепных дробей 243×х º 271 (mod 317).

4. Решить с помощью индексов: 32^хº 15 (mod 37).

6. Найти остаток от деления: 117⁵³ на 11.

7. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 6

1. Найти НОД трёх чисел: 874, 1518, 20142.

2. Решить уравнение j(15^x) = 9000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 11×х º 15 (mod 24),

б) методом цепных дробей 92×х º 20 (mod 284).

4. Решить сравнение с помощью индексов: х²º 54 (mod 67).

5. Найти остаток от деления 5⁸⁰ + 7 ¹⁰⁰ на 13.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 7

1. Найти НОД трёх чисел: 9911, 952, 2227.

2. Найти все x = 5^a×7^bсо свойством j(x) = 147000.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 6×х º 8 (mod 10),

б) методом цепных дробей 221×х º 111 (mod 360).

4. Решить сравнение с помощью индексов: х²º 37 (mod 41).

5. Найти остаток от деления 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ на 5.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 8

1. Найти НОД трёх чисел: 1253, 406, 252.

2. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 2476и НОД(x, 2476) = 619.

3. Решить сравнение: а) тремя способами 8×х º 14 (mod 18),

б) методом цепных дробей 113×х º 89 (mod 311).

4. Найти сравнение с помощью индексов: х²º 58 (mod 61).

5. Найти остаток от деления 11 ¹⁸⁴¹ на 7.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 9

1. Найти НОД трёх чисел: 2743, 3587, 6963.

2. Найти количество натуральных чисел не превосходящих 2272 и взаимно простых с числом 568 .

3. Решить сравнение: а) тремя способами 10×х º 4 (mod 14),

б) методом цепных дробей 95×х º 59 (mod 308).

4. Решить сравнение с помощью индексов: х¹⁵º 38 (mod 59).

5. Найти остаток от деления 23 ²³⁴² на 14.

6. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Контрольная работа по ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

вариант-ОБРАЗЕЦ

3. Найти НОД трёх чисел: 19074, 13566, 8211.

Решение. Используем свойство (19074, 13566, 8211) = ((19074, 13566), 8211).

Сначала находим НОД(19074, 13566) = 102, а затем НОД(102, 8211) = 51.

_ 8211 | 102
816 80
_ 102|51
102 2
0 _ 19074 | 13566
13566 1
_ 13566 |5508
11016 2
_ 5508 |2550
5100 2
_ 2550 |408
2448 6
_ 408 |102
408 4
0

Таким образом, НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

Ответ: НОД(19074, 13566, 8211) = 51.

4. Найти все x = 5^a×7^b×11^g со свойством j (x) = 2310000.

Решение. Если a¹ 0, b¹ 0, g¹ 0, то j (5^a×7^b×11^g) = j(5^a)×j(7^b)×j(11^g) = = 5^a^–1×4×7^b^–1×6×11^g^–1×10 = 2⁴×3×5^a×7^b^–1×11^g^–1.

Таким образом, найденное выше решение единственно.

Ответ: x = 5⁴×7²×11².

9. Найти количество натуральных чисел x со свойствами:

x< 450 и НОД(x, 450) = 15.

Ответ: 8 чисел.

7. Решить сравнение: а) тремя способами 10×х º 12 (mod 14),

б) методом цепных дробей 101×х º 130 (mod113).

Ответ: x º 4 (mod 14), x º11 (mod 14).

Разлагаем дробь в конечную цепную дробь:

i	–1	0	1	2	3	4
*a_i*	–	1	8	2	2	2
*P_i*	1	1	9	19	47	113
*Q_i*	0	1	8	17	42	101

Ответ: x º8 (mod 113).

8. Решить сравнение с помощью индексов: 40×х ¹⁰º 3 (mod 17).

По таблице антииндексов находим соответствующие решения xº 5 (mod 17)и xº 12 (mod 17).

Ответ: xº 5 (mod 17) и xº 12 (mod 17).

9. Найти остаток от деления (15728 + 19³⁰)⁷ на 57.

Решение.1. Находим остаток от деления 15728 на 57:

15728 º 53º –4 (mod 57) _ 15728 |57
114275
_ 432
399
_ 338
285
53 .

3. Имеем (15728 + 19³⁰)⁷º (–4 + 19)⁷ = 15⁷ (mod 57).

4. Вычислим 15⁷ = (15²)³×15 º 54³×15 º (–3)³×15 = – 27×15 = = –405 º –6 º 51 (mod 57):

Ответ: остаток равен 51.

10. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Решение.1.Находим каноническое разложение знаменателя: 10500 = 105×100 = = 2²×5³×3×7 = 2²×5³×21.

2. Находим длину предпериода: (длина предпериода) = max{2, 3} = 3.

Таким образом, (длина периода) = 6.

Ответ: длина предпериода равна 3, а длина периода – 6.

Вариант 0

7. Найти НОД трёх чисел: 2226, 3213, 6489.

8. Решить уравнение: j (7^х) = 294.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 7×х º 6 (mod 9),

б) методом цепных дробей 88×х º 324 (mod404).

10.Решить сравнение с помощью индексов: 25×х ⁷º –7 (mod 31).

11.Найти остаток от деления 11 ⁸⁰² на 1000.

12.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 1

7. Найти НОД трёх чисел: 3445, 4225, 5915.

8. Найти все x = 5^a×7^b×11со свойством j (x) = 42000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 3×х º 1 (mod 11),

б) методом цепных дробей 365×х º 50 (mod 395).

10.Решить сравнение с помощью индексов: 8×х⁹º –17 (mod 41).

11.Найти остаток от деления 19 ²⁴⁰² на 100.

12.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 2

10. Найти НОД трёх чисел: 1073, 3683, 34481.

11. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 975 и НОД(x, 975) = 13.

12. Решить сравнение: а) тремя способами 18×х º 12 (mod 30),

б) методом цепных дробей 91×х º 143 (mod 222).

13. Решить сравнение с помощью индексов: 7×х¹³ + 23 º 0 (mod 47).

14. Найти остаток от деления 1967¹⁹⁶⁸ на 11.

15. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 3

8. Найти НОД трёх чисел: 1012, 1474, 4598.

9. Решить уравнение: j (11^х) = 13310.

10.Решить сравнение: а) тремя способами 39×х º 5 (mod 11),

б) методом цепных дробей 27×х º 25 (mod 119).

11.Решить сравнение с помощью индексов: 9×х¹¹ + 1 º 0 (mod 43).

12.Найти остаток от деления 109³⁴⁵ на 14.

13.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 4

7. Найти НОД трёх чисел: 988, 2014, 42598.

8. Найти все x = 5^a×7×11^g со свойством j (x) = 330000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 37×х º 16 (mod 11),

б) методом цепных дробей 82×х º 14 (mod 202).

10.Решить сравнение с помощью индексов: 19×х⁵ + 13 º 0 (mod 53).

11.Найти остаток от деления 293²⁷⁵ на 48.

12.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 5

5. Найти НОД трёх чисел: 7975, 2585, 13915.

6. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 120 и не взаимно простых с числом 30.

7. Решить сравнение: а) тремя способами 62×х º 5 (mod 13),

б) методом цепных дробей 243×х º 271 (mod 317).

8. Решить с помощью индексов: 32^хº 15 (mod 37).

6. Найти остаток от деления: 117⁵³ на 11.

14.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 6

7. Найти НОД трёх чисел: 874, 1518, 20142.

8. Решить уравнение j(15^x) = 9000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 11×х º 15 (mod 24),

б) методом цепных дробей 92×х º 20 (mod 284).

10.Решить сравнение с помощью индексов: х²º 54 (mod 67).

11.Найти остаток от деления 5⁸⁰ + 7 ¹⁰⁰ на 13.

12.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 7

7. Найти НОД трёх чисел: 9911, 952, 2227.

8. Найти все x = 5^a×7^bсо свойством j(x) = 147000.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 6×х º 8 (mod 10),

б) методом цепных дробей 221×х º 111 (mod 360).

10.Решить сравнение с помощью индексов: х²º 37 (mod 41).

11.Найти остаток от деления 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ на 5.

12.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 8

7. Найти НОД трёх чисел: 1253, 406, 252.

8. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 2476и НОД(x, 2476) = 619.

9. Решить сравнение: а) тремя способами 8×х º 14 (mod 18),

б) методом цепных дробей 113×х º 89 (mod 311).

10.Найти сравнение с помощью индексов: х²º 58 (mod 61).

11.Найти остаток от деления 11 ¹⁸⁴¹ на 7.

12.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Вариант 9

7. Найти НОД трёх чисел: 2743, 3587, 6963.

8. Найти количество натуральных чисел не превосходящих 2272 и взаимно простых с числом 568 .

9. Решить сравнение: а) тремя способами 10×х º 4 (mod 14),

б) методом цепных дробей 95×х º 59 (mod 308).

10.Решить сравнение с помощью индексов: х¹⁵º 38 (mod 59).

11.Найти остаток от деления 23 ²³⁴² на 14.

12.Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби в десятичную.

Скачать материал

Скачать материал "Рабочая программа учебной дисциплины "Основы теории чисел""

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 663 820 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Задания для контрольной работы по теме «Арифметико-логические основы компьютерной техники» и методические указания по их выполнению. В помощь подготовки к ЕГЭ по информатике

26.10.2016
902
11

docx

Алгоритмизация и программирование. Языки программирования высокого уровня.

26.10.2016
3745
9

docx

Конспект урока информатики на тему "Высказывания. Логические операции"

Рейтинг: 4 из 5

26.10.2016
10009
155

docx

3D кітапша жасауда виртуалды сабақ

26.10.2016
1780
5

docx

Технологическая карта урока по информатики на тему "Выражения. Логические операции"

Рейтинг: 5 из 5

26.10.2016
944
7

docx

Таблица по информатики на тему "Логические операции"

26.10.2016
931
8

docx

Заготовка к уроку информатики по теме: "Высказывание. Логические операции."

Рейтинг: 4 из 5

26.10.2016
1233
15

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 26.10.2016 1371
- DOCX 145.4 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Филиппова Зоя Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Филиппова Зоя Михайловна
- На сайте: 8 лет и 9 месяцев
- Подписчики: 2
- Всего просмотров: 23968
- Всего материалов: 21