Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Информатика / Рабочие программы / Рабочая программа учебной дисциплины "Основы теории чисел"

Рабочая программа учебной дисциплины "Основы теории чисел"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Информатика

Поделитесь материалом с коллегами:

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение

«Колледж автоматизации

и информационных технологий № 20»















РАБОЧАЯ ПРОГРАММА



Общеобразовательной учебной дисциплины

«Основы теории чисел»

Специальность:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем

уровень подготовки: базовый













Москва

2016



ОДОБРЕНО


на заседании ПЦК "Информационная безопасность автоматических систем"


Протокол № _ от «__» 20__ г.


Председатель

____________ /Бавыкин В.В./


Программа учебной дисциплины разработана в соответствии с требованиями ФГОС по специальности:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем и учебным планом ГБПОУ КАИТ № 20




УТВЕРЖДАЮ


Руководитель учебного структурного подразделения «1М»


_____________________________/Мельников С. П./


«_____» ________________________20__ г.



СОГЛАСОВАНО


Зав. учебно-методическим отделением


_____________________________/______________/


«_____» ________________________20__ г.



Разработчик (автор): Филиппова Зоя Михайловна, преподаватель,

высшая квалификационная категория_________________________________

Ф.И.О., должность, квалификационная категория

_____________________________________________________________________________________________





Рецензент:

Внешний: _______________________________________________

(Ф.И.О., место работы, должность, квалификационная категория (ученая степень, звание)








СОДЕРЖАНИЕ



стр.

1. Паспорт рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины

4

2. Структура и содержание общеобразовательной учебной дисциплины

10

3. Условия реализации рабочей программы общеобразовательной учебной дисциплины

15

4. Контроль и оценка результатов освоения общеобразовательной учебной дисциплины

19



1. ПАСПОРТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»

1.1. Область применения программы: реализация среднего профессионального образования в пределах ППСЗ по специальности:

10.02.03 информационная безопасность автоматических систем

в соответствии c примерной программой по учебной дисциплине «ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ», с учетом профиля получаемого профессионального образования.


1.2. Место дисциплины в структуре образовательной программы.



Дисциплина “Основы теории чисел” относится к базовой части Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (ФГОС ПО) по направлению 10.02.03 информационная безопасность автоматических систем, являясь частью блока “Алгебра и теория чисел”.

Дисциплина “Основы теории чисел” базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математики.

В ходе изучения дисциплины “Основы теории чисел” студенты должны освоить основные понятия и методы теории чисел. Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями и монографиями.

    1. Цели и задачи учебной дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:

Рабочая программа учебной дисциплины «Основы теории чисел» ориентирована на достижение следующих целей:

  • овладение студентами математическим аппаратом теории чисел, фундаментальными теоретическими положениями этой науки;

  • воспитание и развитие их математической культуры;

  • осознание ими прикладного характера математики в целом и теории чисел в частности.

Курс теории чисел должен решать следующие задачи:

  • вооружать студентов фундаментальными теоретическими знаниями по теории чисел;

  • давать достаточный терминологический и понятийный запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы;

  • учить навыкам формулировки разнообразных теоретических и практических задач на языке теории чисел;

  • предлагать строгие формальные доказательства основных результатов, развивая культуру мышления студентов;

  • демонстрировать наглядность большинства идей излагаемой теории, открывающую дорогу многим приложениям;

  • демонстрировать применение теории чисел для решения разнообразных практических задач;

  • пополнить алгоритмический запас студентов, позволяющий им решать типовые задачи;

  • обеспечить разнообразный материал для самостоятельной работы.

В результате изучения дисциплины “Теория чисел” у студентов формируются навыки в следующих основных видах деятельности, предусмотренные стандартом профессионального образования:

научно-исследовательская и научно-изыскательская:

  • применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;

  • решение математических проблем, соответствующих направленности (профилю) образования, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;

  • подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований;

  • участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и подготовка публикаций по результатам проводимых научно-исследовательских работ.

производственно-технологическая:

  • использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;

  • применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;

  • сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники.


  • Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

  • В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:

  • овладение умениями использовать полученные знания по основам теории чисел при шифровании и дешифровании сообщений; оценивать достоверность естественнонаучной информации;

  • освоение знаний о фундаментальных теоремах по основам теории чисел, лежащих в основе науки о криптографиях; наиболее важных открытиях в теории чисел, оказавших определяющее влияние на развитие передачи секретных текстов; методах научного познания шифрования информации;

  • развитие познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей в процессе приобретения знаний и умений по основам теории чисел с использованием различных источников информации и современных информационных технологий;

  • воспитание убежденности в возможности шифрования информации по теремам из теории чисел; использования достижений теории чисел на благо развития человеческой цивилизации; необходимости сотрудничества в процессе совместного выполнения задач, готовности к морально-этической оценке использования научных достижений, чувства ответственности за защиту информации;

  • использование приобретенных знаний и умений для решения практических задач повседневной жизни, обеспечения безопасности информации, рационального использования возможностей науки теории чисел для криптографических целей.

  • 1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине: Студент, изучивший дисциплину, должен

  • ЗНАТЬ

  • основные теоретико-числовые понятия;

  • основные результаты о делимости целых чисел и теории сравнений;

  • основные алгоритмы решения стандартных задач.

  • УМЕТЬ

  • применять теорему о делении с остатком и свойства делимости к решению различных арифметических задач;

  • применять алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя целых чисел, его линейного разложения и наименьшего общего кратного;

  • используя “решето” Эратосфена, составлять таблицы простых чисел и решать задачи на применение основной теоремы арифметики и свойств простых чисел.

  • находить разложение заданного рационального числа в конечную цепную дробь и разложение заданного иррационального числа в бесконечную цепную дробь, вычислять подходящие дроби и применять свойства подходящих дробей при решении задач;

  • применять определение и свойства сравнений по заданному модулю при составлении полной и приведённой систем вычетов;

  • вычислять значения функции Эйлера и остатки арифметических выражений от деления на заданное число, используя свойства сравнений и теоремы Эйлера и Ферма.

  • решать различными способами линейные сравнения первой степени с одним неизвестным.

  • применять для решения задач алгоритмы нахождения показателя и первообразного корня по заданному модулю. Уметь решать двучленные сравнения, используя таблицы индексов.

  • применять обобщённый признак делимости Паскаля для конструирования конкретных признаков делимости.

  • проверять правильность выполнения простейших арифметических действий с помощью сравнений.

  • ВЛАДЕТЬ

  • В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть общеучебными компетенциями по 4 блокам:

  • самоорганизация - организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях;

  • самообучение - осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, заниматься самообразованием;

  • информационный блок - использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;

  • коммуникативный блок – быть способным эффективно работать в коллективе и команде, брать на себя ответственность за результат выполнения заданий.

1.4. Профильная составляющая (направленность) дисциплины.

  • В программе по основам теории чисел профильную составляющую представляют все разделы.

  • Профильное изучение дисциплины осуществляется:

  • путем отбора дидактических единиц программы по теории чисел, знание которых будет необходимо при освоении ППСЗ ФГОС и в будущей профессиональной деятельности;

  • осуществлением межпредметных связей дисциплины с общетехническими и специальными дисциплинами ППСЗ ФГОС;

  • организацией внеаудиторной самостоятельной работы, направленной на расширение и углубление знаний, которые будут необходимы при осуществлении профессиональной деятельности.

1.5. Количество часов, отведенное на освоение программы общеобразовательной дисциплины:

  • максимальная учебная нагрузка – 119 часов,

  • в том числе:

  • обязательная аудиторная учебная нагрузка обучающегося – 79 часов;

  • самостоятельная работа обучающегося – 40 часов.

2. СТРУКТУРА И ПРИМЕРНОЕ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ дИСЦИПЛИНЫ


2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы


Вид учебной работы

Объем часов

Максимальная учебная нагрузка (всего)

119

Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)

79

в том числе:


практические и лабораторные занятия

41

контрольная работа

4

Самостоятельная работа обучающегося (всего)

40

в том числе:


1. Решение задач по темам

2. Подготовка к практическим и лабораторным работам. Отчеты.

3. Подготовка сообщений (презентаций).


Итоговая аттестация в форме экзамена.

16



1.


2.2. Тематический план и содержание учебной дисциплины


Наименование разделов и тем

Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы, самостоятельная работа обучающегося

Объем часов

Уровень освоения

1

2

3

4

Введение

Содержание учебного материала

2

2

Что изучает дисциплина основы теории чисел.

Раздел 1. Теория делимости в кольце целых чисел

12


Тема 1.1. Делимость целых чисел


Содержание учебного материала

2

2

Теорема о делении с остатком. Делимость нацело и её свойства. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида. Линейное разложение НОД. Наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа и их свойства

Практическая работа № 1 по теме «Делимость целых чисел»

2

2-3

Самостоятельная работа № 1: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя.

Изготовление мультимедийных презентаций «Взаимно простые числа и их свойства», «Алгоритм Евклида», «Наименьшее общее кратное», «Делимость надело и ее свойства»

2


Тема 1. 2. Основная теорема арифметики

Содержание учебного материала




2


Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики. Описание делителей натурального числа. Количество (n) и сумма (n) делителей натурального числа. Нахождение НОД и НОК с помощью канонических разложений. Бесконечность количества простых чисел в арифметических прогрессиях.* Решето Эратосфена.


2

Практическая работа № 2 по теме «Нахождение НОД и НОК с помощью канонических разложений»

2


3

Самостоятельная работа № 2: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Подготовка сообщений, конспекта.

Реферат «Евклид выдающийся ученый».

Сообщение «Решето Эратосфена».

Сообщение «Простые числа и их свойства».

2


Тема 1. 3. Цепные дроби


Содержание учебного материала


2

2

Конечные цепные дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Теорема о представлении рациональных чисел конечными цепными дробями. Применение конечных цепных дробей к нахождению линейного разложения НОД.

Практическая работа № 3 по теме «Цепные дроби»

2

3

Самостоятельная работа № 3: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Подготовка сообщений, конспекта.

Решение задач по теме «Конечные цепные дроби».

Презентации: «Конечные цепные дроби», «Признак иррациональности числа и иррациональность числа e», «Бесконечные цепные дроби», «Теорема о представлении иррациональных чисел бесконечными цепными дробями»


2


Раздел 2. Теория сравнений


38



Тема 2. 1. Арифметика остатков, классы вычетов

Содержание учебного материала



4



2

Отношение сравнимости по модулю и его основные свойства. Кольцо Zn, поле Zpи группа Zn. Полная и приведённая системы вычетов. Мультипликативные функции. Функция Эйлера и её основные свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Китайская теорема об остатках. Структура решений линейного сравнения первой степени. Методы решения. Показатель числа (или класса вычетов) по заданному модулю и его основные свойства. Первообразные корни по заданному модулю. Количество и структура первообразных корней.

Контрольная работа № 1 по теме «Теория делимости в кольце целых чисел. Теория сравнений»

2


3

Практическая работа № 4 «Обобщенная торема Евклида»

2

2

Практическая работа № 5 «Теорема Эйлера»

2

2

Практическая работа № 6 «Малая теорема Ферма»

2

2

Практическая работа № 7 «Китайская теорема об остатках»

2

2

Практическая работа № 8 «Линейные сравнения первой степени»

2

2

Самостоятельная работа № 4: проработка дополнительной литературы, с использованием рекомендаций преподавателя. Презентация «Теорема Евклида», «Китайская теорема об остатках», «Теорема Эйлера», «Теорема Ферма»

5



Тема 2. 2. Квадратичные вычеты


Содержание учебного материала



6

2

Квадратичные вычеты и невычеты. Факторизация.Символ Лежандра и его свойства.

Практическая работа № 9 «Квадратичные вычеты »

2

2

Практическая работа № 10«Факторизация»

2

2

Практическая работа № 11 «Символ Лежандра»

2

2

Контрольная работа № 2 по теме «Квадратичные вычеты»

2

2

Самостоятельная работа № 5 «Квадратичные вычеты»

1. Решение задач на тему«Квадратичные вычеты».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Символ Лежандра», «Факторизация»

7



Тема 2. 3. Дискретный логарифм

Содержание учебного материала




Логарифмирование в конечных полях. Примеры логарифмирование в конечных полях. Сложность алгоритмов логарифмирования в конечных полях.

4

2

Практическая работа № 12«Логарифмирование в конечных полях»

2

2

Практическая работа № 13 «Алгоритмы логарифмирования в конечных полях»

2

2

Самостоятельная работа № 6 «Дискретный логарифм»

1. Решение задач на тему «Дискретный логарифм».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Примеры логарифмирование в конечных полях».

4


Раздел 3 Арифметические приложения теории сравнений

27



Тема 3.1.

Схема шифрования RSA


Содержание учебного материала

4

2

Шифрование с открытым ключем. Схема RSA.шифрования и дешифрования по схеме RSA.Атаки на RSА.Реализация атак на RSA.

Доказательство основной теоремы о схеме RSA. Решение примеров шифрования с использованием схемы RSA.Программирование системы

Практическая работа № 14 «Шифрование с открытым ключом»

2

2

Практическая работа № 15 «Схема RSA»

2

2

Практическая работа № 16 «Шифрование по схемеRSA»

2

2

Практическая работа № 17 «Дешифрование по схемеRSA»

2

2

Практическая работа № 18 «Атаки на схемы RSA»

2

2

Самостоятельная работа № 7 «Схема шифрования RSA»

1. Решение задач на тему «Схема шифрования RSA».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Схема шифрования RSA», «Схема дешифрования RSA», «Атаки на схему шифрования RSA».

7




Тема 3.2

Криптологические протоколы


Содержание учебного материала

4

2


Криптологические протоколы. Практическое использование криптологических протоколов. Системы Диффи и Хеллмана. Схема шифрования ElGamal. Электронная подпись ElGamal

Практическая работа № 19«Криптологические протоколы »

3

2

Самостоятельная работа № 8 «Криптологические протоколы»

1. Решение задач на тему «Криптологические протоколы».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Криптологические протоколы»,

2


Тема 3.3 Алгоритмы шифрования

Содержание учебного материала




Алгоритм DSA (DSS). Программирование DSA. Схемы аутентификации Schnorr-Shamir. Схема аутентификации Feige-Fiat-Shamir

4

2


Практическая работа № 20 «Программирование DSA»

2

2


Самостоятельная работа № 8 «Криптологические протоколы»

1. Решение задач на тему «Криптологические протоколы».

2. Подготовка к практическим работам.

3. Подготовка сообщений (презентации) по темам: «Криптологические протоколы»,

3



Всего:

119 ч.

в т.ч.: аудиторных – 79ч.

практических работ – 41 ч.

внеаудиторных самостоятельных работ –

40 ч.


ььь

Для характеристики уровня освоения учебного материала используются следующие обозначения:

1.- ознакомительный (узнавание ранее изученных объектов, свойств)

2.- репродуктивный (выполнение деятельности по образцу, инструкции и под руководством)

3. –продуктивный (планирование и самостоятельное выполнение деятельности, решение проблемных задач)

2.3. условия реализации программы общеобразовательной УЧЕБНОЙ дисциплины

3.«ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ»

3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению реализации общеобразовательной дисциплины

Реализация программы дисциплины требует наличия учебного кабинета.

Оборудование учебного кабинета:

  • посадочные места по количеству обучающихся;

  • рабочее место преподавателя;

  • рабочая доска;

  • комплект наглядных пособий по дисциплине (плакаты, таблицы, слайды, видеофильмы);

  • комплект учебно-методической документации;

  • учебные дидактические материалы.


Технические средства обучения:

  • компьютер;

  • colorDisplay;

  • видеоплеер;

  • видеопроектор;

  • музыкальный центр;

  • акустическая система;

  • компьютерный класс:

  • микропроцессор не ниже PentiumIV,

  • объём ПЗУ не меньше 2-3 ГБ,

  • объем ОЗУ не меньше 512 МБ

  • операционная система WindowsXP / 7

  • текстовым редактором Word – 2003

  • среды программирования TurboPascal или Delphi.

слайд-проектор.


3.2.Учебно-методический комплекс учебной дисциплины, систематизированный по компонентам

  1. Нормативные документы и методическое обеспечение реализации дисциплины.

  2. Сборники задач по теории чисел.

  3. Комплекты типовых заданий, тестов, вопросов по теории чисел.


3.3. Информационно-коммуникационное обеспечение обучения

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы


Основные источники:

  1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.

  2. Валицкас А.И. Конспект лекций по теории чисел: Теория делимости в кольце целых чисел. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 2002.

  3. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – СПб.: Издательство “Лань”, 2007.

  4. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 2008.

  5. Нестеренко Ю.В. Теория чисел. – М.: Издательский центр “Академия”, 2008.

  6. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – СПб: Издательство “Лань”, 2008.


Дополнительные источники:

  1. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел – М.: Наука, 1985.

  2. Валицкас А.И., Евсюкова Е.В., Шаипова А.Я., Шебанова Л.П. Разноуровневые задания по курсу: “Алгебра и теория чисел”: Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов пединститутов. – Тобольск: изд-во ТГПИ, 1998.

  3. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С., Стеллецкий И.В. Алгебра – М.: Просвещение, 1978.

  4. Воробьев Н.Н. Признаки делимости – М.: Наука, 1980.

  5. Воробьев Н.Н. Числа Фибоначчи – М.: Наука, 1978.

  6. Воронин С.М. Простые числа – М.: Знание, 1978.

  7. Галочкин А.И., Нестеренко Ю.В., Шидловский А.Б. Введение в теорию чисел. – М.: Изд. МГУ, 1984.

  8. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. – Москва-Ленинград, 1940.

  9. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964.

  10. Казачек Н.А., Перлатов Г.Н., Виленкин Н.Я., Бородин А.И. Алгебра и теория чисел. Части I, II, III. – М.: Просвещение, 1974.

  11. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. – М.: Наука, 1975.

  12. Кострикин А.И. Введение в алгебру (в 3-х ТТ.). – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000.

  13. Кудреватов Г.А. Сборник задач по теории чисел. – М.: Просвещение, 1970.

  14. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.

  15. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Алгебра и теория чисел. Части I, II – М.: Просвещение, 1978.

  16. Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1967.

  17. Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. –М.: Наука, 1982.

  18. Постников М.М. Введение в аналитическую теорию чисел. – М.: Наука, 1971.

  19. Прахар К. Распределение простых чисел. – М.: Мир, 1967.

  20. Сирота Е.Р., Евсюкова Е.В. Готовимся к государственному экзамену. Алгебра и теория чисел. – Тобольск: Изд-во ТГПИ, 1995.

  21. Степанов С.А. Сравнения. – М.: Знание, 1975.

  22. Хинчин А.Я. Цепные дроби. – М.: Едиториал УРСС, 2004.

  23. Эльнатанов Б.А. Развитие метода решета. – Душанбе, 1984.



Электронные образовательные ресурсы

  1. Теория чисел // Википедия: свободная энциклопедия. – Электрон. дан. – Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_чисел




4. Контроль и оценка результатов освоения учебной Дисциплины


4. Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практичесrb занятий, тематического контроля, тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, презентаций.


Результаты обучения

(освоенные умения, усвоенные знания)


Формируемые общеучебные и общие компетенции

Формы и методы контроля и оценки результатов обучения

Обучающиеся должны

уметь:

У1: уверенно пользоваться теоремами, определениями, свойствами при решении задач;

У2: сформировать умение составлять алгоритмы, приводящие к решению поставленных задач и делать выводы;

У3: сформировать умение решать задачи по теории чисел;

У4: применять полученные знания для шифрования и дешифрования серетных сообщений, передаваемых по открытым каналам связи;

У5: сформировать собственную позицию по отношению к шифрованию и дешифрованию информации, получаемой из разных источников;

знать:

З1: смысл понятий по теории чисел: терема, определение, алгоритм, лемма, свойства, программа, языки программирования;

З2: смысл величин по теории чисел: НОД, НОК, факторизация, сравнение, квадратичный вычет, квадратичный невычет, факториал, смвол Лежандра, функция Эйлера, дискретный логарифм,шифрование, дешифрование, матричный процессор, Схема RSA, криптологические протоколы;

З3: смысл основных теорем и алгоритмов теории чисел: Малая теорема Ферма, Теорема Эйлера, алгоритм Евклида, Китайсая теорема об остатках, теорема Чебышева;

З4: роль теории чисел в программировании и криптографии.


Общеучебные компетенции

1.Самоорганизация

Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях.

2.Самообучение

Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, заниматься самообразованием.

3.Информационный блок

Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

4.Коммуникативный блок

Способность эффективно работать в коллективе и команде, брать на себя ответственность за результат выполнения заданий.


Общие компетенции, включающие в себя способность:

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), результат выполнения заданий.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.




Текущий контроль:

Экспертная оценка результатов деятельности студентов при выполнении и защите практических и лабораторных работ, тематического контроля, тестировании, внеаудиторной самостоятельной работы, устной проверке знаний на учебных занятиях, защите презентаций

и др. видов текущего контроля.



Промежуточный контроль:

Контрольная работа


Итоговый контроль:

экзамен



ПРИЛОЖЕНИЕ 1


Контрольная работа по ТЕОРИИ ЧИСЕЛ


вариант-ОБРАЗЕЦ


  1. Найти НОД трёх чисел: 19074, 13566, 8211.


Решение. Используем свойство (19074, 13566, 8211) = ((19074, 13566), 8211).

Сначала находим НОД(19074, 13566) = 102, а затем НОД(102, 8211) = 51.












Таким образом, НОД(19074, 13566, 8211) = 51.


Ответ: НОД(19074, 13566, 8211) = 51.


  1. Найти все x = 5711 со свойством  (x) = 2310000.


Решение. Если  0,  0,  0, то  (5711) = (5)(7)(11) = = 5–147–1611–110 = 24357–111–1.

С другой стороны, 2310000 = 24354711. Из равенства 24357–111–1 = = 24354711 находим (используя единственность канонического разложения), что  = 4,  = 2,  = 2, т.е. x = 5472112.

Исследуем теперь случаи, когда некоторые из показателей , , нулевые. Из предыдущих вычислений видно, что 3, 7,11 участвуют в каноническом разложении числа 2310000 = 24354711, так что  0,  0. Если  = 0, то (x) = =  (711) = (7)(11) = 7–1611–110 = 22357–111–1и равенство (x) = = 2310000 = 24354711невозможно.

Таким образом, найденное выше решение единственно.


Ответ: x = 5472112.


  1. Найти количество натуральных чисел x со свойствами:

x< 450 и НОД(x, 450) = 15.

Решение. Любое число xс указанными в условии свойствами имеет вид x = = 15y, где 1y< 30 (т.к. 15 x< 450). При этом условие НОД(x, 450) = 15означает, что НОД(y, hello_html_m51c8aefd.gif) = 1, т.е. НОД(y, 30) = 1. Таким образом, задача сводится к отысканию всех чисел yсо свойствами 1y< 30и НОД(y, 30) = 1. Таких чисел (30) = (235) = (2)(3)(5) = 124 = 8.


Ответ: 8 чисел.


  1. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  12 (mod 14),

б) методом цепных дробей 101х  130 (mod113).


Решение.а)Метод подбора.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Последовательно подставляя в сравнение 5x 6 (mod 7)значения x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, находим 50 = 0 hello_html_m3532a84d.gif6 (mod 7), 51 = 5 hello_html_m3532a84d.gif 6 (mod 7), 52 = 10 3 hello_html_m3532a84d.gif 6 (mod 7), 53 = 15 1 hello_html_m3532a84d.gif 6 (mod 7), 54 = 20  6 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения – классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x 4 (mod 14), x 11 (mod 14).


Искусственный приём.Так же как и выше, вначале решаем сравнение 5x 6 (mod 7). Для этого будем искать xв виде xhello_html_56072567.gif(mod 7), где tвыбирается так, чтобы дробь принимала целое значение. Перебирая t = 0, 1, 2, находим t = 2и x 4 (mod 7).Выписываем решения исходного решения: x 4+07 = 4(mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).


Ответ: x 4 (mod 14), x 11 (mod 14).


Метод Эйлера.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Поскольку 5(7) 1 (mod 7), то умножая обе части сравнения 5x 6 (mod 7)на 5(7)–1, получим x5(7)–15x5(7)–16  56–16 525256  442  22 = 4 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения – классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).


Ответ: x 4 (mod 14), x 11 (mod 14).


б)Метод цепных дробей.Сравнение 101х  130 (mod113) имеет единственный класс решений, т.к НОД(101, 113) = 1 | 130. При этом исходное сравнение равносильно 101х  17 (mod113), которое и будем решать.

Разлагаем дробь hello_html_m3be58a36.gif в конечную цепную дробь:

Таким образом, hello_html_m3be58a36.gif = [1; 8, 2, 2, 2] – конечная цепная дробь порядка 4. Вычислим её значение, составив таблицу:


i

1

0

1

2

3

4

ai

1

8

2

2

2

Pi

1

1

9

19

47

113

Qi

0

1

8

17

42

101


hello_html_60daace3.gif

Таким образом, 10147 – 11342 = 1 и значит, 10147  1 (mod 113), так что решением рассматриваемого сравнения 101х  17 (mod113) будет x 4717 = = 799  8 (mod 113).


Ответ: x 8 (mod 113).


  1. Решить сравнение с помощью индексов: 40х 10 3 (mod 17).


Решение. Упростим сравнение: 6х 10 3 (mod 17)и поскольку НОД(3, 17) = 1, последнее сравнение равносильно (после сокращения на 3) сравнению 2х 10 1 (mod 17), которое и будем решать.

Переходя к индексам по модулю (17) = 16, получимind(2) + 10ind(x) ind(1) (mod 16) или (вычисляяind(2) с помощью таблиц индексов)10ind(x) ind(1) – ind(2) 0 – 14  2 (mod 16).

Сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет два класса решений по модулю 16, т.к. НОД(10, 16) = 2 | 2.Это сравнение равносильно сравнению 5y 1 (mod 8), которое имеет единственный класс решений y 5 (mod 8). Значит сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет следующие решения: ind(x1)  5+08 = 5 (mod 16), ind(x2) 5+18 = 13 (mod 16).

По таблице антииндексов находим соответствующие решения x 5 (mod 17)и x 12 (mod 17).


Ответ: x 5 (mod 17) и x 12 (mod 17).


  1. Найти остаток от деления (15728 + 19 30)7 на 57.


Решение.1. Находим остаток от деления 15728 на 57:

15728  53 –4 (mod 57).

2. Находим остаток от деления 19 30на 57: 19 30 = (19 2) 15 = = 361 15 19 15 = (19 2)719  19 719  (19 2) 4 19 4 (19 2) 2 19 2 19 (mod 57).

3. Имеем (15728 + 19 30)7 (–4 + 19) 7 = 15 7 (mod 57).

4. Вычислим 15 7 = (15 2) 315  54 315  (–3) 315 = – 2715 = = –405  –6  51 (mod 57):


Ответ: остаток равен 51.


  1. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_m5990c325.gif в десятичную.


Решение.1.Находим каноническое разложение знаменателя: 10500 = 105100 = = 2 25 337 = 2 25 321.

2. Находим длину предпериода: (длина предпериода) = max{2, 3} = 3.

3. Находим длину периода P21(10): 101 = 10 hello_html_m3532a84d.gif1 (mod 21), 10 2 = 100 –5 hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 3 10(–5)  –8hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 4 (–5) 24 hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 5 104 –2 hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 6 10(–2) 1 (mod 21).

Таким образом, (длина периода) = 6.


Ответ: длина предпериода равна 3, а длина периода – 6.




5.Вариант 0


  1. Найти НОД трёх чисел: 2226, 3213, 6489.

  2. Решить уравнение:  (7 х) = 294.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 7х  6 (mod 9),

б) методом цепных дробей 88х  324 (mod404).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 25х 7 –7 (mod 31).

  2. Найти остаток от деления 11 802 на 1000.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_25d21eaa.gif в десятичную.



Вариант 1


  1. Найти НОД трёх чисел: 3445, 4225, 5915.

  2. Найти все x = 5711со свойством  (x) = 42000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 3х  1 (mod 11),

б) методом цепных дробей 365х  50 (mod 395).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 8х9 –17 (mod 41).

  2. Найти остаток от деления 19 2402 на 100.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_mcf2e0cb.gif в десятичную.




Вариант 2


  1. Найти НОД трёх чисел: 1073, 3683, 34481.

  2. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 975 и НОД(x, 975) = 13.

  1. Решить сравнение: а) тремя способами 18х  12 (mod 30),

б) методом цепных дробей 91х  143 (mod 222).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 7х13 + 23  0 (mod 47).

  2. Найти остаток от деления 1967 1968 на 11.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_33ffaf27.gif в десятичную.







Вариант 3


  1. Найти НОД трёх чисел: 1012, 1474, 4598.

  2. Решить уравнение:  (11 х) = 13310.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 39х  5 (mod 11),

б) методом цепных дробей 27х  25 (mod 119).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 9х11 + 1  0 (mod 43).

  2. Найти остаток от деления 109 345 на 14.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_6464d59c.gif в десятичную.



Вариант 4


  1. Найти НОД трёх чисел: 988, 2014, 42598.

  2. Найти все x = 5711 со свойством  (x) = 330000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 37х  16 (mod 11),

б) методом цепных дробей 82х  14 (mod 202).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 19х5 + 13  0 (mod 53).

  2. Найти остаток от деления 293 275 на 48.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_51a75fe1.gif в десятичную.



Вариант 5


  1. Найти НОД трёх чисел: 7975, 2585, 13915.

  2. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 120 и не взаимно простых с числом 30.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 62х  5 (mod 13),

б) методом цепных дробей 243х  271 (mod 317).

  1. Решить с помощью индексов: 32 х 15 (mod 37).

6. Найти остаток от деления: 117 53 на 11.

  1. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_478aee6c.gif в десятичную.






Вариант 6


  1. Найти НОД трёх чисел: 874, 1518, 20142.

  2. Решить уравнение (15x) = 9000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 11х  15 (mod 24),

б) методом цепных дробей 92х  20 (mod 284).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: х2 54 (mod 67).

  2. Найти остаток от деления 5 80 + 7 100 на 13.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_50911e06.gif в десятичную.



Вариант 7


  1. Найти НОД трёх чисел: 9911, 952, 2227.

  2. Найти все x = 57со свойством (x) = 147000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 6х  8 (mod 10),

б) методом цепных дробей 221х  111 (mod 360).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: х2 37 (mod 41).

  2. Найти остаток от деления 2 100 + 3 100 на 5.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_640a96f.gif в десятичную.



Вариант 8


  1. Найти НОД трёх чисел: 1253, 406, 252.

  2. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 2476и НОД(x, 2476) = 619.

  1. Решить сравнение: а) тремя способами 8х  14 (mod 18),

б) методом цепных дробей 113х  89 (mod 311).

  1. Найти сравнение с помощью индексов: х2 58 (mod 61).

  2. Найти остаток от деления 11 1841 на 7.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_m3e95938.gif в десятичную.







Вариант 9


  1. Найти НОД трёх чисел: 2743, 3587, 6963.

  2. Найти количество натуральных чисел не превосходящих 2272 и взаимно простых с числом 568 .

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  4 (mod 14),

б) методом цепных дробей 95х  59 (mod 308).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: х15 38 (mod 59).

  2. Найти остаток от деления 23 2342 на 14.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_m59369179.gif в десятичную.




ПРИЛОЖЕНИЕ 1


Контрольная работа по ТЕОРИИ ЧИСЕЛ



вариант-ОБРАЗЕЦ


  1. Найти НОД трёх чисел: 19074, 13566, 8211.


Решение. Используем свойство (19074, 13566, 8211) = ((19074, 13566), 8211).

Сначала находим НОД(19074, 13566) = 102, а затем НОД(102, 8211) = 51.












Таким образом, НОД(19074, 13566, 8211) = 51.


Ответ: НОД(19074, 13566, 8211) = 51.


  1. Найти все x = 5711 со свойством  (x) = 2310000.


Решение. Если  0,  0,  0, то  (5711) = (5)(7)(11) = = 5–147–1611–110 = 24357–111–1.

С другой стороны, 2310000 = 24354711. Из равенства 24357–111–1 = = 24354711 находим (используя единственность канонического разложения), что  = 4,  = 2,  = 2, т.е. x = 5472112.

Исследуем теперь случаи, когда некоторые из показателей , , нулевые. Из предыдущих вычислений видно, что 3, 7,11 участвуют в каноническом разложении числа 2310000 = 24354711, так что  0,  0. Если  = 0, то (x) = =  (711) = (7)(11) = 7–1611–110 = 22357–111–1и равенство (x) = = 2310000 = 24354711невозможно.

Таким образом, найденное выше решение единственно.


Ответ: x = 5472112.


  1. Найти количество натуральных чисел x со свойствами:

x< 450 и НОД(x, 450) = 15.

Решение. Любое число xс указанными в условии свойствами имеет вид x = = 15y, где 1y< 30 (т.к. 15 x< 450). При этом условие НОД(x, 450) = 15означает, что НОД(y, hello_html_m51c8aefd.gif) = 1, т.е. НОД(y, 30) = 1. Таким образом, задача сводится к отысканию всех чисел yсо свойствами 1y< 30и НОД(y, 30) = 1. Таких чисел (30) = (235) = (2)(3)(5) = 124 = 8.


Ответ: 8 чисел.


  1. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  12 (mod 14),

б) методом цепных дробей 101х  130 (mod113).


Решение.а)Метод подбора.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Последовательно подставляя в сравнение 5x 6 (mod 7)значения x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, находим 50 = 0 hello_html_m3532a84d.gif6 (mod 7), 51 = 5 hello_html_m3532a84d.gif 6 (mod 7), 52 = 10 3 hello_html_m3532a84d.gif 6 (mod 7), 53 = 15 1 hello_html_m3532a84d.gif 6 (mod 7), 54 = 20  6 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения – классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).

Ответ: x 4 (mod 14), x 11 (mod 14).


Искусственный приём.Так же как и выше, вначале решаем сравнение 5x 6 (mod 7). Для этого будем искать xв виде xhello_html_56072567.gif(mod 7), где tвыбирается так, чтобы дробь принимала целое значение. Перебирая t = 0, 1, 2, находим t = 2и x 4 (mod 7).Выписываем решения исходного решения: x 4+07 = 4(mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).


Ответ: x 4 (mod 14), x 11 (mod 14).


Метод Эйлера.Сравнение 10х  12 (mod 14)имеет два класса решений по модулю 7, т.к. НОД(10, 14) = 2 | 12. При этом исходное сравнение равносильно 5x 6 (mod 7), в котором НОД(5, 7) = 1, так что это сравнение имеет единственный класс решений по модулю 7.

Поскольку 5(7) 1 (mod 7), то умножая обе части сравнения 5x 6 (mod 7)на 5(7)–1, получим x5(7)–15x5(7)–16  56–16 525256  442  22 = 4 (mod 7). Таким образом, решением сравнения 5x 6 (mod 7)будет класс x 4 (mod 7), а решениями исходного сравнения – классы x 4+07 = 4 (mod 14), x 4+17 = 11 (mod 14).


Ответ: x 4 (mod 14), x 11 (mod 14).


б)Метод цепных дробей.Сравнение 101х  130 (mod113) имеет единственный класс решений, т.к НОД(101, 113) = 1 | 130. При этом исходное сравнение равносильно 101х  17 (mod113), которое и будем решать.

Разлагаем дробь hello_html_m3be58a36.gif в конечную цепную дробь:

Таким образом, hello_html_m3be58a36.gif = [1; 8, 2, 2, 2] – конечная цепная дробь порядка 4. Вычислим её значение, составив таблицу:


i

1

0

1

2

3

4

ai

1

8

2

2

2

Pi

1

1

9

19

47

113

Qi

0

1

8

17

42

101


hello_html_60daace3.gif

Таким образом, 10147 – 11342 = 1 и значит, 10147  1 (mod 113), так что решением рассматриваемого сравнения 101х  17 (mod113) будет x 4717 = = 799  8 (mod 113).


Ответ: x 8 (mod 113).


  1. Решить сравнение с помощью индексов: 40х 10 3 (mod 17).


Решение. Упростим сравнение: 6х 10 3 (mod 17)и поскольку НОД(3, 17) = 1, последнее сравнение равносильно (после сокращения на 3) сравнению 2х 10 1 (mod 17), которое и будем решать.

Переходя к индексам по модулю (17) = 16, получимind(2) + 10ind(x) ind(1) (mod 16) или (вычисляяind(2) с помощью таблиц индексов)10ind(x) ind(1) – ind(2) 0 – 14  2 (mod 16).

Сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет два класса решений по модулю 16, т.к. НОД(10, 16) = 2 | 2.Это сравнение равносильно сравнению 5y 1 (mod 8), которое имеет единственный класс решений y 5 (mod 8). Значит сравнение 10ind(x) 2 (mod 16)имеет следующие решения: ind(x1)  5+08 = 5 (mod 16), ind(x2) 5+18 = 13 (mod 16).

По таблице антииндексов находим соответствующие решения x 5 (mod 17)и x 12 (mod 17).


Ответ: x 5 (mod 17) и x 12 (mod 17).


  1. Найти остаток от деления (15728 + 19 30)7 на 57.


Решение.1. Находим остаток от деления 15728 на 57:

15728  53 –4 (mod 57).

2. Находим остаток от деления 19 30на 57: 19 30 = (19 2) 15 = = 361 15 19 15 = (19 2)719  19 719  (19 2) 4 19 4 (19 2) 2 19 2 19 (mod 57).

3. Имеем (15728 + 19 30)7 (–4 + 19) 7 = 15 7 (mod 57).

4. Вычислим 15 7 = (15 2) 315  54 315  (–3) 315 = – 2715 = = –405  –6  51 (mod 57):


Ответ: остаток равен 51.


  1. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_m5990c325.gif в десятичную.


Решение.1.Находим каноническое разложение знаменателя: 10500 = 105100 = = 2 25 337 = 2 25 321.

2. Находим длину предпериода: (длина предпериода) = max{2, 3} = 3.

3. Находим длину периода P21(10): 101 = 10 hello_html_m3532a84d.gif1 (mod 21), 10 2 = 100 –5 hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 3 10(–5)  –8hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 4 (–5) 24 hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 5 104 –2 hello_html_m3532a84d.gif 1 (mod 21), 10 6 10(–2) 1 (mod 21).

Таким образом, (длина периода) = 6.


Ответ: длина предпериода равна 3, а длина периода – 6.




6.Вариант 0


  1. Найти НОД трёх чисел: 2226, 3213, 6489.

  2. Решить уравнение:  (7 х) = 294.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 7х  6 (mod 9),

б) методом цепных дробей 88х  324 (mod404).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 25х 7 –7 (mod 31).

  2. Найти остаток от деления 11 802 на 1000.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_25d21eaa.gif в десятичную.



Вариант 1


  1. Найти НОД трёх чисел: 3445, 4225, 5915.

  2. Найти все x = 5711со свойством  (x) = 42000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 3х  1 (mod 11),

б) методом цепных дробей 365х  50 (mod 395).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 8х9 –17 (mod 41).

  2. Найти остаток от деления 19 2402 на 100.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_mcf2e0cb.gif в десятичную.




Вариант 2


  1. Найти НОД трёх чисел: 1073, 3683, 34481.

  2. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 975 и НОД(x, 975) = 13.

  1. Решить сравнение: а) тремя способами 18х  12 (mod 30),

б) методом цепных дробей 91х  143 (mod 222).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 7х13 + 23  0 (mod 47).

  2. Найти остаток от деления 1967 1968 на 11.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_33ffaf27.gif в десятичную.






Вариант 3


  1. Найти НОД трёх чисел: 1012, 1474, 4598.

  2. Решить уравнение:  (11 х) = 13310.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 39х  5 (mod 11),

б) методом цепных дробей 27х  25 (mod 119).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 9х11 + 1  0 (mod 43).

  2. Найти остаток от деления 109 345 на 14.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_6464d59c.gif в десятичную.



Вариант 4


  1. Найти НОД трёх чисел: 988, 2014, 42598.

  2. Найти все x = 5711 со свойством  (x) = 330000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 37х  16 (mod 11),

б) методом цепных дробей 82х  14 (mod 202).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: 19х5 + 13  0 (mod 53).

  2. Найти остаток от деления 293 275 на 48.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_51a75fe1.gif в десятичную.



Вариант 5


  1. Найти НОД трёх чисел: 7975, 2585, 13915.

  2. Найти количество натуральных чисел, не превосходящих 120 и не взаимно простых с числом 30.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 62х  5 (mod 13),

б) методом цепных дробей 243х  271 (mod 317).

  1. Решить с помощью индексов: 32 х 15 (mod 37).

6. Найти остаток от деления: 117 53 на 11.

  1. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_478aee6c.gif в десятичную.






Вариант 6


  1. Найти НОД трёх чисел: 874, 1518, 20142.

  2. Решить уравнение (15x) = 9000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 11х  15 (mod 24),

б) методом цепных дробей 92х  20 (mod 284).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: х2 54 (mod 67).

  2. Найти остаток от деления 5 80 + 7 100 на 13.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_50911e06.gif в десятичную.



Вариант 7


  1. Найти НОД трёх чисел: 9911, 952, 2227.

  2. Найти все x = 57со свойством (x) = 147000.

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 6х  8 (mod 10),

б) методом цепных дробей 221х  111 (mod 360).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: х2 37 (mod 41).

  2. Найти остаток от деления 2 100 + 3 100 на 5.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_640a96f.gif в десятичную.



Вариант 8


  1. Найти НОД трёх чисел: 1253, 406, 252.

  2. Найти количество натуральных чисел xсо свойствами:

x< 2476и НОД(x, 2476) = 619.

  1. Решить сравнение: а) тремя способами 8х  14 (mod 18),

б) методом цепных дробей 113х  89 (mod 311).

  1. Найти сравнение с помощью индексов: х2 58 (mod 61).

  2. Найти остаток от деления 11 1841 на 7.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_m3e95938.gif в десятичную.








Вариант 9


  1. Найти НОД трёх чисел: 2743, 3587, 6963.

  2. Найти количество натуральных чисел не превосходящих 2272 и взаимно простых с числом 568 .

  3. Решить сравнение: а) тремя способами 10х  4 (mod 14),

б) методом цепных дробей 95х  59 (mod 308).

  1. Решить сравнение с помощью индексов: х15 38 (mod 59).

  2. Найти остаток от деления 23 2342 на 14.

  3. Найти длину периода и длину предпериода при обращении обыкновенной дроби hello_html_m59369179.gif в десятичную.


9


Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 26.10.2016
Раздел Информатика
Подраздел Рабочие программы
Просмотров54
Номер материала ДБ-293090
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх