Рабочая программа внеурочной деятельности по математике "Уроки логического мышления" (5-6 классы)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Лицей №58»

городского округа город Уфа Республики Башкортостан

СОГЛАСОВАНО Научно-методическим советом МАОУ «Лицей № 58» городского округа г. Уфа протокол от «____»_________20___г. №__________

УТВЕРЖДЕНО приказом «МАОУ Лицей № 58» городского округа г. Уфа от «_____»_______20___г. №________ директор Мустафина С.А.

Рабочая программа спецкурса по математике

««Уроки логического мышления»

основное общее образование

Срок реализации программы: 2 года

                                 Авторы-составители программы : Егорова Н.Т., 

Уфа - 2016 г.

Пояснительная записка

          Новые социальные ориентиры в системе образования проявились в различных направлениях: в построении системы непрерывного образования, в изменении ее структуры, в появлении форм альтернативного и вариативного образования, в обновлении содержания, в разработке новых подходов к определению результатов обучения и другие. Основная идея состоит в том, чтобы создать ученику оптимальные возможности получения образования желаемого уровня и характера в любой период его жизни.

           Основной особенностью современного развития системы математического образования  является ориентация на широкую дифференциацию обучения математики, позволяющую решить две задачи. С одной стороны – обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой – сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявить и развить их математические способности, ориентировать на профессии, связанные с математикой, подготовить к обучению в ВУЗе. Практическая полезность дисциплины математика обусловлена тем, что её предметом являются фундаментальные структуры реального мира. 

                    Для активизации познавательной деятельности учащихся и  поддержания интереса к математике вводится данный курс «Уроки логического мышления», способствующий развитию математического мышления, а также эстетическому воспитанию ученика, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм.

            В детстве ребенок открыт и восприимчив к чудесам познания, к богатству и красоте окружающего мира. У каждого из них  есть способности и таланты,  надо в это верить, и развивать их.

            Данная программа  спецкурса по математике «Уроки логического мышления» рассчитана на два года обучения для учащихся 5-6 классов.  Программа дает возможность учащимся углубленного изучения основного курса математики путем рассмотрения задач, требующих нестандартного подхода при своем решении, а также для тех, кто пока не знает, что процесс решения задач может доставлять удовольствие.  Программа является наиболее актуальной на сегодняшний момент. Она составлена с учетом тенденций развития познавательной и творческой активности учащихся нашего времени и соответствует уровню развития современной подростковой аудитории. В нее включены задания, которые направлены на развитие аналитического мышления и зрительной памяти.

 Целью данной  программы является  привитие интереса учащимся к математике, углубление и расширение знаний учащихся по предмету, научить решать нестандартные задачи.

Задачи занятий по спецкурсу по математике:

-                развитие математического кругозора, мышления, исследовательских умений учащихся;

-                развитие логики и сообразительности, интуиции, пространственного воображения, математического мышления;

-                развивать познавательную и творческую активность учащихся;

-                показать учащимся исторические аспекты возникновения становления и развития счёта;

-                выработать у учащихся навыки работы с научной литературой с соответствующим составлением кратких текстов прочитанной информации;

-                        рассмотреть с учащимися некоторые методы решения старинных арифметических и логических задач.

-                        подготовить учащихся к участию в олимпиадах и конкурсах;

-                        провести с учащимися пропедевтическую работу по возможностям изучения математики в будущем

Рекомендуемые формы и методы проведения занятий. Изложение теоретического материала факультативных занятий может осуществляться с использованием традиционных словесных и наглядных методов: рассказ, беседа, демонстрация видеоматериалов, наглядного материала, различного оборудования. На занятиях применяются различные формы работы, такие как групповые, парные, командные, индивидуальные. На каждом из этапов обучения предполагается выполнение и защита творческих работ учащихся ( минипроекты) .

Задачи на  занятиях подбираются с учетом рациональной последовательности их предъявления: от репродуктивных, направленных на актуализацию знаний, к  частично-поисковым, ориентированным на  овладение  обобщенными приемами познавательной деятельности. Система занятий  должна вести к формированию следующих характеристик творческих способностей: беглость мысли, гибкость ума, оригинальность, любознательность, умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.

Материально-технические условия реализации программы.

          Для проведения занятий математического объединения необходимо наличие:

ñ кабинета;

ñ ТСО;

ñ  компьютера;

ñ  мультимедийного проектора;

ñ экрана;

ñ чертежного инструмента.

 Большое внимание уделяется решению логических, олимпиадных задач, задачам на числа, дроби, проценты, уделяется внимание истории развития математики, математическим играм, свойствам чисел, фокусам, софизмам. Учащиеся знакомятся с биографиями великих математиков, их высказываниями, решают занимательные задачи.

Ожидаемые результаты

           В результате освоения программы спецкурса по математике  «Уроки логического мышления» учащиеся

          после первого года обучения должны приобрести навыки решения логических, олимпиадных задач, задач с элементами комбинаторики; овладеть приемами быстрого счета; научиться использовать свой творческий потенциал; оформлять работы; доказывать свою точку зрения, получить представление об истории возникновения математической науки, иметь  представления о  графа.

          после второго года обучения  учащиеся должны улучшить вычислительные навыки и навыки работы с величинами,  отношениями и процентами. Учащиеся получат навыки самостоятельной и творческой работы с дополнительной математической литературой, навыки решения логических и олимпиадных задач; расширить кругозор; научиться составлять диаграммы, таблицы, схемы для решения задач, учащиеся должны распознавать плоские геометрические фигуры, уметь применять их свойства при решении различных задач; иметь  представления о пространственных фигурах

     Методическое обеспечение спецкурса

Формы проведения занятий: урок-обсуждение, деловая игра, практическое занятие.

Формы проведения итогов по каждому блоку: консультация, индивидуальное домашнее задание.

Форма проведения итогового занятия по курсу: итоговая конференция.

Техническое сопровождение: компьютер, мультимедийный проектор, демонстрационный экран , портативная документ – камера.

Дидактический материал: учебная, методическая литература, словари, мультимедийные презентации, подборка задач на электронных носителях, интерактивная математика 5-6 класс. [Электронный ресурс].

Учебно - тематический план на 1 год обучения

Номера уроков	Содержание учебного материала	Количество часов, отводимое на выполнение
		Всего	Теория	Практика
1	Из науки о числах	3	1	2
2	Логические задачи	11	1	3
3	Геометрические задачи	5	1	4
4	Комбинаторика	4	2	2
5	Делимость чисел	7	3	4

Краткое содержание разделов

1.     Из науки о числах

Тема 1. Из науки о числах.

ТЗ: 1ч. Запись цифр и чисел у разных народов.   Исторические сведения. Как люди научились считать. Старинные системы записи чисел.  Цифры у разных народов.  Римская нумерация. Числа великаны и числа лилипуты.   Открытие нуля. Числа-великаны. Названия больших чисел. Числа – малютки. Решение задач с большими и малыми числами.  История возникновения названия – «миллион», «миллиард», «триллион».  

ПЗ: 1ч. Решение задач с применением римской нумерации стр. 128 -130см [8], № 53 -54 см [1].

        2ч. Решение задач с большими и малыми числами Составление числовых выражений. Головоломки. Числовые ребусы. Решение заданий на восстановление записей вычислений. Запись числа с помощью знаков действий, скобок и определённым количеством одинаковых цифр. № 1 -23 см[1], стр. 107 см [7], №135 – 144 см [8]

Тема 1.  Логические задачи

ТЗ: 1ч. Задачи, решаемые с конца. Решение сюжетных, текстовых  задач методом «с конца».

        2ч. Круги Эйлера. Решение задач с использованием кругов Эйлера.  Простейшие графы. Понятие графа. Эйлеровы и гамильтоновы графы. Проблема четырех красок.

       3ч.  Алгоритмы  решения  задач  на переливания и взвешивания.

       4ч.  Приемы решения текстовых задач на движение: на сближение, на удаление,  движение в одном направлении, в противоположных направлениях, движение по реке.

       5ч. Дроби. Понятие о цепных дробях. Из истории дробей. Цепные дроби и календарь.

ПЗ: 1ч. Решение сюжетных, текстовых  задач методом «с конца»

 см [7]

        2ч. Решение задач с использованием кругов Эйлера. Решение простейших задач  на  графы. Решение логических задач  с помощью графов.  № 725 – 729, № 481 - 488 см[8],

      3ч.  Решение текстовых задач на переливание.  Решение задач  на определение фальшивых монет или предметов разного веса с помощью нескольких взвешиваний на чашечных весах без гирь, № 132  - 135 см[1],  № 277 – 285 см[8]

     4ч. Решение текстовых задач на движение: на сближение, на удаление,  движение в одном направлении, в противоположных направлениях, движение по реке.

     5ч.   Решение тестовых задач на совместную работу.  Выполнение тренировочных заданий. Составить схему решения обратной задачи на совместную работу.

     6ч.   Решение задач на все действия с дробями.  Решение занимательных старинных задач и задач-сказок, № 209 - 220 см[8]

Тема 2. Геометрические задачи

ТЗ: 1ч. Задачи на разрезания. Геометрия вокруг нас. Геометрия на клетчатой бумаге. Разрезание фигур на равные части.  Игра «Пентамино».

ПЗ: 1ч. Разрезание фигур на равные части.  Игра «Пентамино», № 191 - 218 см[1].

        2ч. Решение занимательных задач со спичками.

        3ч Разгадывание Китайской  головоломки  «Танграм»  и головоломки Наполеона.  Танграм, лабиринты, оригами.  Игра, рассчитанная на логику. Схема геометрических фигур. Оптимальные решения.

Тема 3. Комбинаторика

ТЗ: 1ч. Достоверные, невозможные и случайные события.  Дерево возможных вариантов. Достоверные, невозможные и случайные события. Вероятность. Подсчет вероятности.

        2ч. Сочетания, размещения. Факториал числа. Определение факториала. Вычисление факториала. Применение факториала при    решении задач на сочетания и размещения. Перебор возможных вариантов.

ПЗ: 1ч. Решение  элементарных задач по комбинаторики  на бросание кубиков и монет

       2ч. Решение  элементарных задач по комбинаторики и теории вероятности.

Тема 4. Делимость чисел

ТЗ: 1ч. Простые, составные, совершенные, дружественные числа, числа – «близнецы».  Решето Эратосфена.

        2ч. Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4. Признаки делимости натуральных чисел на 5, 7, 8. Признаки делимости натуральных чисел на 9, 11, 25, 125.

       3ч.  Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Взаимно простые числа. Остатки. Из истории математики: Евклид.

ПЗ: 1ч. Решение задач на делимость чисел. Применение решето Эратосфена для нахождения простых чисел.

        2ч. Решение задач с использованием признаков делимости.

        3ч. Решение задач с использованием  наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Применение алгоритма Евклида.

       4ч. Решение задач с использованием алгоритма Евклида.

Учебно - тематический план  на 2  год обучения

Номера уроков	Содержание учебного материала	Количество часов, отводимое на выполнение
		Всего	Теория	Практика
1	Числовые фокусы  и диковинки	3	2	1
2	Занимательные задания	6	2	4
3	Рациональные числа	3	1	2
4	Дроби и проценты	7	3	4
5	Решение некоторых видов составных задач	6	3	3
6	Геометрия вокруг нас	2	1	1
7	Элементы теории вероятности	3	1	2

Краткое содержание разделов

1.     Числовые фокусы и диковинки

Тема 1.  Галерея числовых диковинок.

Интересные свойства чисел 12, 365, 999, 10001, 111111. Число Шахерезады. Девять одинаковых цифр. Числовые пирамиды. Цифровая лестница. Периодические десятичные дроби.

Тема 2. Магические фигуры.

Магические квадраты. Магические кольца. Числовые пирамиды. Историческая справка. Построение квадратов 3х3; 5х5. Принцип быстрого построения таких квадратов.

Тема 2. Фокусы без обмана.

Арифметические и занимательные задачи.. Фокусы с предсказанием результатов действий. Фокусы с отгадыванием чисел. Фокусы, основанные на быстром счете. Фокусы, основанные на свойствах числа 9. Отгадывание возраста. Предсказание суммы.

2.     Занимательные задания

Тема 1.  Логические задачи.

Логический каркас. Задачи на четность и нечетность чисел. Задачи на логику. Задачи – шутки. Геометрические задачи на логику. Решение логических  задач с применением таблиц. Решение логических  задач с помощью рассуждений.

Тема 2. Принцип Дирихле.

Исторические сведения. Изучение принципа Дирихле.

Применение принципа Дирихле для решения задач.

3.     Рациональные числа.

Тема 1. Числовые множества.

Исторические сведения. Множества натуральных чисел. Множества целых чисел. Множества рациональных чисел. Множества иррациональных чисел. Множества комплексных чисел. Обозначение множества. Последовательности. Числа Фибоначчи.

Тема 2.  Задачи  на сложение и вычитание рациональных чисел.

Из истории положительных и отрицательных чисел. Арифметика «Диофанта».  Задачи  на сложение и вычитание рациональных чисел.

Тема 3. Координатная прямая и  координатная плоскость.

Исторические сведения.  Определение и обозначение. Понятия абсцисса и ордината точки. Связь с физикой. Составление заданий на координатной плоскости. Знакомство с биографиями Фалеса, Лейбница, Лобачевского, Эйлера, Лагранжа

4.     Дроби и проценты.

Тема 1.  Дроби. Ряды Фарея.

Определение дробей. Обыкновенные и десятичные дроби. Свойства дробей. Периодические дроби. Ряды Фарея и их свойства.

Тема 2. Основные задачи на дроби и проценты.

Нахождение части целого. Нахождение нескольких процентов от данной величины. Восстановление целого по известной его части. Восстановление величины по известным ее процентам. Нахождение отношения величин. Выражение отношения в процентах.

Тема 3. Типовые задачи  на дроби и проценты.

Увеличение (уменьшение) на часть целого. Увеличение (уменьшение) на несколько процентов. Сложные прценты. Увеличение в 100%, 200%. Уменьшение в несколько раз. Часть от части целого. Проценты от процентов целого.

Тема 4. Разные задачи на дроби и проценты.

Нахождение целого по его части. Нахождение целого по его процентам. Выражение остатка через часть целого. Выражение остатка процентами целого. Часть от части целого. Процет от процентов целого.

Тема 5. Решение задач на проценты с помощью пропорции.

Пропорция и её основное свойство. Практическое применение пропорций и отношений. Золотое сечение. Золотая пропорция в природе и в искусстве. Некоторые свойства пропорций. Решение задач на проценты с помощью пропорции.

 Тема 6. Круговые диаграммы.

Анализ диаграммы. Выбор диаграммы. Построения диаграмм. Интерпретация данных.

Тема 7. Задачи на проценты, решаемые с помощью уравнений.

Нахождение первоначальной стоимости. Сравнение цен. Доход по вкладу. Выделение частей целого. Изменение процентного содержания. Разделение целого на части.

5.     Решение некоторых видов составных задач

Тема 1.  Обучение решению некоторых видов составных задач

Нахождение чисел по их сумме и отношению.  Нахождение чисел по их разности и отношению. Нахождение неизвестных по их сумме и разности. Задача на исключение одного из неизвестных. Исключение неизвестного заменой одного неизвестного другим (подстановка).

Тема 2. Задачи на движение.

Решение задач на встречное движение двух тел. Решение задач на движение тел в одном направлении.  Решение задач на движение по реке.

Тема 3. Решение задач на совместную работу.

Решение тестовых задач на совместную работу.  Изучение алгоритма решения подобных задач.  Составить схему решения обратной задачи на совместную работу.

6.     Геометрия вокруг нас

Тема 1. Простейшие геометрические фигуры и их свойства.

Из истории геометрии. Биографические сведения об учёных: Фалес, Эратосфен, Архимед, Пифагор. Геометрические фигуры: угол, треугольник, круг, окружность, прямоугольник, многоугольники. Даются определения фигур, рассматриваются «видимые» свойства. Площади. Виды многоугольников. Треугольник, квадрат и шестиугольник могут полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий.

Тема 2. Объемные геометрические фигуры. Развертки.

Знакомство с объемными фигурами. Куб, параллелепипед,  пирамида, усеченная пирамида, цилиндр, конус, шар, сфера. Объемы.  Измерение сыпучих тел. Измерение объёма жидкости. Единицы измерения сыпучих и жидких тел.

7.     Элементы теории вероятности

Разные задачи на элементарную вероятность.  Задачи по комбинаторике. Задачи на подбрасывание монет и кубиков. Алгоритм решения.

ЛИТЕРАТУРА

1.                 Шарыгин И. Ф. МАТЕМАТИКА: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6 кл. / И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин.- 96 c.: ил. (в обл.) 2013г.

2.                 Балаян Э.Н. Готовимся к олимпиадам по математике 5 – 11 классы. Ростов на Дону: Феникс. 2011.

3.                 Перельман Я.. Занимательная арифметика. Загадки и диковинки в мире. М: ОЛМА. Медиа Групп. 2013.

4.                 Спивак А.. Тысяча и одна задача по математике. М: Просвещение,2013.

5.                 Минаева С.С. Дроби и проценты 5-7 классы. М: Издательство «Экзамен» 2013.

6.                 Смыкалова Е.В. Развивающее обучение на уроках математики в 5-6 кл. Спб СМИО-Пресс, 2001.

7.                 Смыкалова Е.В. Математика - 6. Сборник задач. Спб СМИО-Пресс, 2002.

8.                 Костыркина Н.П. Задачи повышенной сложности в курсе математики 5-6 кл. М. Просвещени, 1986.

9.                  Виват математика. 5кл._Кордина Н.Е_2013 -111с.

10.             Задачи на разрезание.  Ефимова Кукин_2002.

11.             Занимательные задания в обучении математике_Шуба М.Ю_Кн. для учителя_1994 -222с.

12.             Математика в стихах. 5-11кл._Панишева О.В._2013 -219с.

13.             Приглашение на Математический праздник_2005.

14.             Сказки и подсказки (задачи для математического кружка)_Козлова_2004.

15.             Текстовые задачи по математике. 5-6кл._Шевкин А.В_2011 -106с

16.             http://festival.1september.ru/articles/609124/

Календарно – тематическое планирование спецкурса

«Уроки логического  мышления», 5 класс (1 год обучения)

№ занятия	Содержание учебного  материала	Количество часов
	1.     Из науки о числах	3
1	Запись цифр и чисел у разных народов	1
2	Числа великаны и числа лилипуты	1
3	Числовые ребусы и головоломки	1
	2.     Логические задачи	4
4	Задачи, решаемые с конца.	1
5	Круги Эйлера.	1
6	Простейшие графы.	1
7	Решение логических задач  с помощью графов.	1
8	Эйлеровы и гамильтоновы графы. Раскраска карты.	1
9	Задачи на переливания.	1
10	Задачи на взвешивание.	1
11	Задачи на движение	1
12	Задачи на совместную работу.	1
13	Занимательные задачи на дроби	1
14	Старинные задачи	1
	3.     Геометрические задачи	5
15	Рисование фигур на клетчатой бумаге	1
16	Разрезание фигур на равные части.	1
17	Пентамино.	1
18	Задачи со спичками.	1
19	Геометрические головоломки. Танграм.	1
	4.     Комбинаторика	4
20	Достоверные, невозможные, случайные события.	1
21 - 22	Сочетания, размещения. Факториал числа.	2
23	Решение комбинаторных задач.	1
	5.     Делимость чисел	7
24	Простые и составные числа. Решето Эратосфена.	1
25	Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4.	1
26	Признаки делимости натуральных чисел на 5, 7, 8.	1
27	Признаки делимости натуральных чисел на 9, 11, 25,125	1
28	Взаимно простые числа. Деление с остатком.	1
29	НОД, алгоритм Евклида.	1
30	НОК.	1

Учебно-тематический план спецкурса

«Уроки логического  мышления», 6 класс (2 год обучения)

№ занятия	Содержание учебного материала	Количество часов
	1.     Числовые фокусы и диковинки	3
1	Галерея числовых диковинок.	1
2	«Магические» фигуры	1
3	Фокусы без обмана	1
	2.     Занимательные задания	6
4	Логический каркас	1
5	Задачи на четность и нечетность чисел	1
6	Задачи на логику. Задачи – шутки.	1
7	Геометрические задачи на логику.	1
8	Изучение принципа Дирихле.	1
9	Применение принципа Дирихле к решению задач.	1
	3.     Рациональные числа	3
10	Числовые множества. Числа Фибоначчи.	1
11	Задачи  на сложение и вычитание рациональных чисел	1
12	Координатная прямая и  координатная плоскость.	1
	4.     Дроби и проценты	7
13	Дроби. Ряды Фарея.	1
14	Основные задачи на дроби и проценты	1
15	Сложные проценты.	1
16	Разные задачи на дроби и проценты.	1
17	Решение задач на проценты с помощью пропорции	1
18	Круговые диаграммы	1
19	Задачи на проценты, решаемые с помощью уравнений	1
	5.     Решение некоторых видов составных задач	6
20	Нахождение чисел по их сумме и отношению	1
21	Нахождение неизвестных по их сумме и разности	1
22	Решение задач на встречное движение двух тел	1
23	Решение задач на движение тел в одном направлении	1
24	Решение задач на движение по реке	1
25	Решение задач на совместную работу	1
	6.     Геометрия вокруг нас	2
26	Простейшие геометрические фигуры и их свойства	1
27	Объемные геометрические фигуры. Развертки.	1
	7.     Элементы теории вероятности	3
28	Разные задачи на элементарную вероятность	1
29	Задачи по комбинаторике	1
30	Задачи по комбинаторике	1

 ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

"Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел"

Цели занятия:

·        образовательные: закрепление умений и навыков сложения и вычитания чисел с разными знаками, умений переносить свои знания в новую нестандартную ситуацию, овладение математической терминологией;

·        развивающие: развитие творческой, речевой, мыслительной активности, используя различные формы работы;

·        воспитательные: воспитание внимательности, активности и настойчивости в достижении цели, привитие навыков самостоятельной работы.

Форма проведения занятия: урок –решения познавательных задач.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, интерактивная доска, компьютер, карточки для учащихся, рабочие листы.

1.     Сообщение темы и постановка задачи.

На сегодняшнем  занятии мы должны закрепить полученные знания при сложении и вычитании чисел с разными знаками и показать умение применять их при выполнении различных заданий. Еще И.Павлов говорил: «Никогда не беритесь за последующее, не усвоив предыдущего». И девизом нашего урока, я думаю, должно стать высказывание «Складывать и вычитать мы научимся на «5» !»

2.     Актуализация знаний учащихся.

Начнем урок с устной работы. Перед вами ряд чисел.

-5,6; 11,8; -0,5; ; 3,7; 7; -19; 0.                                              

 

Ответьте на вопросы:

·        Какое число в ряду наибольшее?

·        Какое число имеет наибольший модуль?

·        Какое число является наименьшим в ряду?

·        Какое число имеет наименьший модуль?

·        Как сравнить два положительных числа?

·        Как сравнить два отрицательных числа?

·        Как сравнить числа с разными знаками?

·        Какие числа  в ряду являются противоположными?

·        Назовите числа в порядке возрастания.

Следующее задание:

В ваших рабочих листах записаны примеры. Рядом с каждым примером написана буква. Здесь зашифровано имя математика Древней Индии, который ввел в обиход отрицательные числа. Кто этот математик? Ответить на этот вопрос вы можете, решив примеры, записав в таблицу ответы в порядке возрастания с соответствующими буквами.

А) -5+9;

Б) – 11 – 3

У) -10 ,5 + 20,5;

А)   (-8,5) + 3,5;  

Г)  - 4 – ( - 10);

А) – 24  + 49  ;

Т) – 10, 7 + 30,7;

М) 2  + ;

Р) – 19 + 10;

Х) 6,9 + (- 6,9)

П) – (- 7) + 4,5.

Б	Р	А	Х	М	А	Г	У	П	Т	А
-13	-9	-5	0	3	4	6	10	11,5	20	25

Вы получили имя индийского математика Брахмагупта.

Послушаем сообщение об истории возникновения положительных и отрицательных чисел:         История говорит о том, что люди долго не могли привыкнуть к отрицательным числам. Отрицательные числа казались им непонятными, ими не пользовались, просто не видели особого смысла. Положительные числа долго трактовали как «прибыль», а отрицательные – как «долг», «убыток». Лишь в Древней Индии и Китае догадались вместо слов «долг в 10 юаней» писать просто «10 юаней»,  но рисовать их черной тушью.     В Древнем Китае были известны лишь правила сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел; правила умножения и деления не применялись. В Индии относились к отрицательным числам с некоторым недоверием, считая их своеобразными, не совсем реальными. Не одобряли их долго и европейские математики, потому что истолкование « имущество – долг» вызывало недоумение и сомнения.           Возникновение современных знаком «+» и « - » не совсем ясно. В Италии ростовщики, давая деньги в долг, ставили перед именем должника сумму долга и черточку, вроде нашего минуса, а когда должник возвращал деньги, зачеркивали ее, получалось что-то вроде нашего плюса. 

          Современные знаки «+» и «-» появились в Германии в последнее десятилетие 15 века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов.

Задание по карточкам.

Зачеркни неверные высказывания.

1. Сумма двух отрицательных чисел всегда равна нулю.

2. Разность двух отрицательных чисел не может быть положительным числом.

3. Сумма двух отрицательных чисел не может быть положительным числом.

4. У противоположных чисел всегда одинаковые модули.

5. Сумма двух любых чисел с разными знаками может быть положительным числом.

6. Сумма двух положительных чисел всегда больше нуля.

7. Сумма противоположных чисел всегда равна нулю.

3.     Закрепление знаний.

Задание «Лента времени».

          Началом современного летоисчисления считается Рождество Христово. На координатной прямой, изображенной на ваших рабочих листах, единичный отрезок показывает 1 век (100 лет). Отметьте годы рождения:

·        Пифагора   580-500 гг до н.э.

·        Евклида      365-300 гг до н.э.

·         Декарта        1637 г

·        Цельсия         1742 г.

 

Ответьте на вопрос: сколько прожил Пифагор, Евклид  по образцу:

Пифагор:    -500 – (-580)=…. лет.

Евклид:

      4.   а) х+ (- 0,2) = - 7,8     б)х – 6,7 = - 4     в) – 3,5 + х = 9,2

Учащиеся работают у доски, комментируя решение уравнений.

5.     Предварительный контроль (текущий зачет)

1 вариант	2 вариант
Вычисли:  а) 5,6 – ( - 1,3)  б) 15 – 21  в) 16 + ( -) Сравни числа: а)  3,78… 3,781 б) – 1,4… 0,2 в) – 6,21… - 8,1 г) 7,583… 7,5931	Вычисли: а) 6,5 – ( - 2,1) б) 17 – 20 в) 19 + ( -) Сравни числа: а) 6,21 … 6,211 б) – 2,5…0,1 в) – 9,43… -2,3 г) 4,264…4,2643

  ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ»

  Задача.

Расстояние между городом и зимовкой 150 км. Из города к зимовке выехали аэросани со средней скоростью 60 км/ч. В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вышел лыжник со скоростью 15 км/ч. На каком расстоянии от зимовки он встретит аэросани?

1.     Читаем условие задачи.

2.     Определяем требование: на каком расстоянии от зимовки он встретил аэросани?

3.     Данные задачи: расстояние 150 км между городом и зимовкой; скорости лыжника 15 км/ч и аэросаней 60 км/ч.

4.     Искомое: расстояние от зимовки до места встречи. Это расстояние, которое до встречи пройдёт лыжник.

5.     Ищем пути решения. Эта задача на встречное движение. Потому что в тексте задачи есть слова:  В это же время навстречу им из зимовки по той же дороге вышел лыжник.

6.     К задаче можно сделать рисунок:

                      15км/ч                                           60 км/ч

                                                                  

               

                                       150 км

7.     Лыжник и аэросани двигались навстречу друг другу. Можно узнать скорость сближения:  15 + 60 = 75 (км/ч)

 Найдём время, через которое они встретятся. Для этого расстояние разделим на скорость.  150 : 75 = 2 (ч).

 Какое расстояние пройдёт за это время лыжник? 15 · 2 = 30 (км). На таком расстоянии от зимовки они встретятся.

8.     Выплняем проверку.

Для этого решим обратную задачу. Теперь предположим, что мы знаем, что лыжник пройдёт до места встречи 30 км. Какое-нибудь данное задачи «превратим» в неизвестное. Пусть это будет скорость аэросаней. Решаем задачу по действиям:

1)    30:15=2(ч) – время до встречи.

2)    150-30=120(км) – расстояние, которое проехали до встречи аэросани.

3)    120:2=60(км/ч) – скорость аэросаней.

Ответ: на расстоянии 30км от зимовки лыжник встретил аэросани.

Задача.                                         

 От одной пристани одновременно отошли две моторные лодки в противоположных направлениях. Одна шла со средней скоростью 250 м/мин, а другая – 200 м/мин. На каком расстоянии друг от друга будут лодки через 40 мин?

1.     Читаем условие задачи.

2.      Требование /вопрос задачи/: на каком расстоянии друг от друга будут лодки через 40 минут?

3.     Данные: время движения лодок 40 мин; скорости лодок 250 м/мин и 200 м/мин.

4.     Искомое:  расстояние, на котором друг от друга будут лодки через 40 мин?    

5.     Ищем пути решения. Эта задача на  движение в противоположных направлениях. В тексте есть слова:  одновременно отошли две моторные лодки в противоположных направлениях.

6.     К задаче можно сделать рисунок:

                  200 м/мин            250м/мин

                                                                  

                                  

                                 40 мин

                                        ?

7.     Можно узнать скорость удаления лодок друг от друга. Для этого найдём сумму скоростей:  200 + 250 = 450 (м/мин). Это значит, что за минуту лодки удалились друг от друга на 450 метров.

Как найти, на сколько они удалились друг от друга за 40 минут? Нужно скорость удаления умножить на время:

  450 · 40 = 18000 (м) = 18 км – расстояние между лодками через 40 минут.

8.      Проверка.

Пусть будет неизвестно в задаче время, за которое лодки удалились друг от друга на 18 км. Найдём это время, решив обратную задачу:

1)    200 + 250 = 450 (м/мин) –скорости удаления лодок друг от друга.

2)    18000:450=40(мин.) – за это время лодки удалились друг от друга на 18 км. /Не забудьте при решении задачи 18 км перевести в 18000м, т.к. скорости даны в м/мин./

Проверка подтвердила правильность решения. Значит пишем ответ, полученный в задаче.

Ответ: 18 км – расстояние между лодками через 40 минут.

Задача.

Скорость моторной лодки в 3 раза больше скорости лодки на вёслах. За какое время моторная лодка пройдёт 24 км, если на вёсельной лодке это расстояние можно пройти за 5 часов?

1.     Читаем условие задачи.

2.      Требование: За какое время моторная лодка пройдёт 24 км?

3.     Данные: расстояние 24 км; время лодки на вёслах 5 часов; скорость моторной лодки в 3 раза больше скорости лодки на вёслах.

4.     Искомое: время моторной лодки.

5.     Ищем пути решения. Эта задача на  движение, в которой лодки проходят одно и то же расстояние 24 км с разными скоростями и разным временем. Удобно воспользоваться таблицей.

6.     Данные помещаем в таблицу.

Скорость	Расстояние	Время
Мот.лодка - ? в 3 раза больше, чем	24 км	?
Вес. лодка _ ?	24 км	6 час

7.     В третьей строке таблицы известны две величины: время и расстояние. Найдём скорость.

1)    24 : 6 = 4 (км/ч) – скорость лодки на вёслах.

Теперь, зная скорость лодки на вёслах и, учитывая. Что скорость моторной лодки в 3 раза больше, найдём скорость моторной лодки.

2)    4 · 3 = 12 (км/ч) – скорость моторной лодки.

Время движения моторной лодки определим, поделив 24 км на её скорость: 12 км/ч.

3)    24 : 12 = 2 (ч) – время движения моторной лодки.

8.     Проверка решения задачи:

    Знаем время моторной лодки, но не знаем время лодки на вёсах. Решаем обратную задачу:

1)    24:2=12(км/ч) – скорость моторной лодки.

2)    12:3=4(км/ч) – скорость вёсельной лодки. /т.к. если скорость моторной лодки в 3 раза больше, значит скорость вёсельной лодки в 3 раза меньше/

3)    24:4=6(ч) – время лодки на вёслах.

Пишем ответ, т.к. проверка показала правильность решения задачи.

Ответ: 2 часа.

   ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ «НА ДВИЖЕНИЕ»

 /с разбором решений/.

Все задачи на движение решаются с использованием зависимости между скоростью, временем и расстоянием. В математике время обозначают буквой t, расстояние – буквой s, а скорость буквой v.

 Зависимость между этими величинами можно записать при помощи формул: s = v · t ;    v = s : t ;    t = s : v.

  Задача.

  Мотоциклист ехал 3 часа со средней скоростью 60 км/ч и 2 часа со средней скоростью 70 км/час. Какое расстояние он проехал за это время? Узнай среднюю скорость движения.

  Для решения этой задачи используем зависимость; расстояние – это скорость, умноженная на время.

  Следовательно: 60 · 3 + 70 · 2 = 320 (км) – пройденное расстояние.

  Чтобы найти среднюю скорость, найдём время движения: 3 ч. + 2 ч. = 5ч.

  Средняя скорость: 320 : 5 = 64 (км/ч).

  Ответ: 320 км; 64 км/ч.

  При решении задач «на движение» используют понятия «скорость сближения» и «скорость удаления».

  Скорость сближения – сумма скоростей двух объектов при одновременном движении навстречу друг другу.

  Скорость удаления – сумма скоростей двух объектов при одновременном движении в противоположные стороны.

 Скорость – это путь пройденный телом за единицу времени. Примеры: 3км/ч, 45м/мин, 20см/с, 8м/с и т.п.

  Задача.

 Из двух городов, расстояние между которыми 1200 км, вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Один из них проходит это расстояние за 20 ч, а другой – за 30 ч. Через сколько часов поезда встретятся?

  Эту задачу решаем без рисунка. Определяем данные задачи. Известно всё расстояние и время каждого поезда. Используя зависимость:  v = s : t, можно найти скорости поездов.

1)    1200 : 20 = 60 (км/ч) – скорость первого поезда.

2)    1200 : 30 = 40 (км/ч) – скорость второго поезда.

3)    60 + 40 = 100 (км/ч) – скорость сближения.

4)    1200 : 100 = 12 (ч).

Ответ: через 12 часов поезда встретятся.

 ВНИМАНИЕ! Мы не сделали рисунок к этой задаче, т.к. можно допустить ошибку. Увидев на чертеже 20 ч и 30 ч, их ошибочно складывают. Потом делят весь путь на сумму 20 + 30 = 50 (ч) и получают неверный ответ.

  Зависимость между скоростью, расстоянием и временем можно рассмотреть при составлении  взаимообратных задач, оформляя их в таблицу.

Задание. Составьте три взаимообратные задачи по таблице:

Скорость	Время	Расстояние
?	4 ч	20 км
5 км/ч	?	20 км
5 км/ч	4 ч	?

Задача.

 «Лада» проехала 180 км за 2 часа, а «Запорожец» прошёл это же расстояние за 3 часа. Какая машина ехала с большей скоростью?

 В задаче известно расстояние и время каждой машины. Поместим данные в таблицу.

Машина	Скорость	Время	Расстояние
Лада	?	2 ч	180 км
Запорожец	?	3 ч	180 км

Можно найти скорость, применяя зависимость:   v = s : t.

1)    180 : 2 = 90 (км/ч) – скорость «Лады».

2)    180 : 3 = 60 (км/ч) – скорость «Запорожца».

3)    90 > 60 – скорость «Лады» больше.

Ответ: «Лада» ехала с большей скоростью.

Задача.

Первые 2 часа лыжник шёл со скоростью 18 км/ч, потом 2 часа со скоростью 15 км/ч, и ещё 2 часа со скоростью 12 км/ч. Какое расстояние прошёл лыжник? С какой скоростью должен двигаться лыжник, чтобы пройти это расстояние за 5 часов?

  Условие задачи обозначим на рисунке:

    18км/ч     18 км/ч      15 км/ч    15 км/ч  12 км/ч  12 км/ч

 

Этот рисунок позволяет записать решение задачи выражением:

18 · 2 + 15 · 2 + 12 · 2 = 80 (км)

Второй вопрос задачи требует нахождения средней скорости. Для этого нужно всё расстояние поделить на всё время.

80 : 5 = 16 (км/ч) – средняя скорость движения.

Ответ: 80 км, 16 км/ч.

Если бы лыжник шёл с постоянной скоростью, то преодолел бы весь путь за 5 часов. Но лыжник шёл с разной скоростью: сначала спешил, потом стал уставать, и скорость стала меньше.

Задача.

Мотоциклист едет со скоростью 1 км/мин. Какое расстояние он проедет за 5 часов, если будет двигаться с той же скоростью?

 Эта задача требует перевода единиц скорости. Внимательно читайте условие задачи. Скорость 1 км/мин, а время – 5 часов. Вспомним, что 1час = 60 мин, значит, за час мотоциклист проедет 60 км. Его скорость в новых единицах будет 60 км/ч.

 60 · 5 = 300 км.

Ответ: за 5 часов мотоциклист проедет 300 км.

Задача.

Скорость одного пешехода 50 м/мин, а скорость второго  пешехода 4 км/ч. За какое время пройдёт 12 км первый пешеход? За какое время это же расстояние пройдёт второй пешеход?

  Если применить зависимость нахождения времени по известной скорости и расстоянию:    t = s : v, то можно допустить ошибку: 12 : 50 и 12 : 4.

  В первом случае деление выполнять нельзя. Величины несоразмерны.  

12км : 50 м/мин. Удобно расстояние выразить в метрах.

1)    12000м : 50 м/мин = 240 мин. = 4 ч – время первого пешехода.

2)    12 : 4 = 3 ч – скорость второго пешехода.

Ответ: 4ч и 3ч.

 Во втором действии не переводились км в м, т.к. 12 км и 4 км/ч – соразмерные единицы.

Задача.

  Черепаха за 3 мин может проползти 15 м, а слон за это же время пройдёт 300 м. Во сколько раз скорость слона больше скорости черепахи?

 В задаче известно время и расстояние. Нужно найти скорости слона и черепахи. Применяем зависимость:     v = s : t.

1)    15 : 3 = 5 (м/мин) – скорость черепахи.

2)    300 : 3 = 100 (м/мин) – скорость слона.

3)    100 : 5 = 20 – во столько раз скорость слона больше скорости черепахи.

Ответ: в 20 раз больше.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

«Задачи на четность и нечетность натуральных чисел»

Теоретическая часть
Число называется четным, если оно делится на 2 без остатка.
Формула четного числа 2п.
Формула нечетного числа 2п+1.

Правила четности

1.     Сумма четных слагаемых - четна.

2.     Если число нечетных слагаемых четно, то и сумма четна.

3.     Если сумма двух чисел - четное число, то и их разность тоже четное число.

4.     Если сумма двух чисел - нечетное число, то и их разность тоже нечетное число.

5.     Если число нечетных слагаемых нечетно, то и сумма нечетна.

6.     Если один из множителей - четное число, то и произведение четно.

7.     Если все множители нечетны, то и произведение нечетно.

Задачи.

1.     Четно или нечетно число 1+2+3+4+…+2000?

Ответ: четно.

2.     Верно ли равенство 1х2+2х3+3х4+…+99х100 = 20002007?

Ответ: нет, сумма четных слагаемых всегда четна.

3.     Определить на четность числа 3(х+1); х+х; х+х+2005, если х нечетное.

Ответ: первое - четное, второе - четное, третье - нечетное.

4.     Можно ли квадрат размером 25х25 разрезать на прямоугольники 1х2?

Ответ: нет, число 625 не делится на2.

5.     Может ли вращаться система из 7 шестеренок, если первая сцеплена со второй, вторая с третьей и т.д., а седьмая сцеплена с первой?

Ответ: нет, если первая вращается по часовой стрелке, то все нечетные шестеренки должны вращаться по часовой стрелке, а первая и седьмая одновременно вращаться по часовой стрелке не могут.

6.     Можно ли разменять 100 рублей при помощи 25 монет достоинством 1 и 5 рублей?

Ответ: нет, сумма нечетного количества нечетных слагаемых - нечетное число.

7.     Можно ли соединить 13 городов дорогами, так чтобы из каждого города выходило ровно 5 дорог?

Ответ: нет, каждую дорогу считаем дважды, поэтому общее количество дорог должно быть четным. В нашем случае их 13х5 =65.

8.     Кузнечик прыгает по прямой: первый раз на 1 см, второй раз на 2 см и т.д. Может ли он через 25 прыжков вернуться на прежнее место?

Ответ: нет, чтобы вернуться на старое место общее количество сантиметров должно быть четно, а сумма 1+2+3+…+25 нечетна.

9.     Можно ли из 37 веревочек сплести сетку так, чтобы каждая веревочка была связана ровно с тремя другими?

Ответ: нет, произведение 37х3 нечетно.

10. Можно ли организовать шахматный турнир между 15 шахматистами так, чтобы каждый сыграл по 15 партий?

Ответ: нет, 15х15 нечетно.

11. Конь вышел с клетки а1 и через несколько ходов вернулся обратно. Докажите, что он сделал четное количество шагов.

Ответ: шахматная доска покрашена в два цвета. С каждым ходом конь меняет цвет клетки. Чтобы вернуться на исходную клетку, коню потребуется четное число ходов.

12. Можно ли ходом коня обойти все клетки шахматной доски, начав с клетки а1, и закончив на клетке h8 и на каждой клетке доски побывав ровно один раз?

Ответ: нет, цвет клеток а1 и h8 одинаковый, а конь должен сделать нечетное количество ходов - 63.

13. В школе 1688 учащихся, причем мальчиков на 373 больше, чем девочек. Доказать, что такого не может быть.

Ответ: если девочек х, то всего учеников 2х+373, а это число нечетное.

14. Произведение двух натуральных чисел умножили на их сумму. Могло ли получиться число 20002007?

Ответ: нет, произведение должно быть четно.

15. Доказать, что n х n + 3n четно при любом натуральном n.

Ответ: п х п+3п= п(п+1)+2п

16. Может ли произведение суммы трех последовательных натуральных чисел на сумму трех следующих за ними натуральных чисел быть равным 33333?

Ответ: нет, произведение должно быть четно, т.к.один из множителей четное число.

17. В ряд выписаны числа от 1 до 2006. Можно ли , меняя местами числа через одно, переставить их в обратном порядке?

Ответ: нет, четные можно поменять местами только с четными, нечетные с нечетными.

18. Можно ли из 2000 квадратиков со стороной 1см сложить фигуру сложить фигуру с периметром 4001см?

Ответ: нет, периметр одного квадратика 4см,при составлении фигуры периметр меняется на четное число см, т.е. периметр с нечетным числом см получить нельзя.

19. Доказать, что в равенстве 1?2?3?4?5?6?7?8?9?=20, «?» - это знаки плюс или минус, допущена ошибка.

Ответ: в выражении нечетное количество нечетных чисел. Ответ должен быть нечетным числом.

 ПРИЛОЖЕНИЕ 4

Задачи, решаемые с конца

1. Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

2. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

3. Черт и бездельник. Однажды черт предложил бездельнику заработать. “Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал он, – твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля”. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

4. Туристы. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

5. Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

6. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

Решение задач.

1. Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Решение.
Решаем задачу с конца: 
1) 2 ∙ 7 = 14 – число до деления на 7. 
2) (14 + 6) : 4 = 5 – число до умножения на 4. 
3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3. 
4) 15 – 5 = 10 – искомое число. 
Ответ: задумано число 10.

2. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; а третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

Решение.

Решаем задачу с конца с помощью таблицы.

Номер мальчика	1	2	3
Число яблок в конце	8	8	8
Число яблок до передачи их третьим мальчиком	8 : 2 = 4	8 : 2 = 4	8 + 8 + 4 = 16
Число яблок до передачи их вторым мальчиком	4 : 2 = 2	4 + 2 + 8 = 14	16 : 2 = 8
Число яблок первоначально	2 + 4 + 7 = 13	14 : 2 = 7	8 : 2 = 4

Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4.

Ответ: 13 яблок, 7 яблок, 4 яблока.

3. Черт и бездельник. Однажды черт предложил бездельнику заработать. “Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал он, – твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля”. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

Решение.

Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 рубля, а до перехода третьего моста – 12 рублей. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (рублей), а до перехода второго моста – 36 : 2 = 18 (рублей). Рассуждая аналогично, получим, что после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (рубля), а перед переходом первого моста – 42 : 2 = 21 (рубль). Таким образом, у бездельника сначала был 21 рубль.

Ответ: 21 рубль.

4. Туристы. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение.

Так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48 км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48 : 2/3 = 72 (км). Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км).

Ответ: 108 км

5. Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

Решение.

Так как на последнем озере сели оставшиеся гуси и больше не осталось, то там сел 1 гусь. Если бы село 2, то 1 гусь остался бы еще. Тогда к шестому озеру подлетало 1 + 12∙2 = 3 гуся. А к пятому 3 + 12∙2 = 7, к четвертому 7 + 12∙2 = 15, к третьему – 15 + 12∙2 = 31, ко второму 31 +12∙2 = 63, тогда к первому подлетело 63 + 12∙2 = 127 гусей.

Ответ: 127 гусей

6. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

Решение.

Перед последними воротами у крестьянина должно остаться (1 + 1) ∙ 2 = 4 яблока, перед вторыми – (4 + 1) ∙ 2 = 10, и перед первыми – (10 + 1) ∙ 2 = 22 яблока.

Ответ: 22 яблока.

7. Лилия на озере. На озере расцвела лилия. Каждый день число цветков удваивалось и на 20-й день все озеро покрылось цветами. За сколько дней покрылась цветами половина озера?

Решение.

Начнем с конца. Так как каждый день число цветков удваивается, а на 20-й день все озеро покрылось цветами, то половина его была покрыта цветами за один день до того, т.е. на 19-й день.

Ответ: за 19 дней.

Дополнительные задачи и задачи для самостоятельного решения.

1. Это старинная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще половину яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще половину яйца. Третья купила всего одно яйцо. После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар?

2. Задача из книги "Арифметика" Леонтия Магницкого. Отец решил отдать сына в учебу и спросил учителя: "Скажи, сколько учеников у тебя в классе?" Учитель ответил:

"Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня сто учеников". Сколько же учеников было в классе?

3. Мать купила яблоки. Два из них взяла себе, а остальные разделила между тремя своими сыновьями. Первому она дала половину всех яблок и половину яблока, второму – половина остатка и еще половину яблока, третьему – половину нового остатка и оставшуюся половину яблока. Сколько яблок купила мать, и сколько яблок получил каждый из сыновей?

4. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каждый раз выпивали половину имеющейся в нем воды. Оказалось, что после этого остался всего стакан воды. Сколько воды было в самоваре перед чаепитием?

5. Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал?

6. На праздник купили торт. Но ели его очень интересно – к торту подходил человек и съедал половину того, что осталось. Всего торт ели 5 человек, а пришедшему последним (пятым) Стасу, отдали все, что осталось – полкило торта. Сколько весил торт в начале?

7. Некто прогулял 1/4  урока. На следующий день он прогулял половину урока. Каждый день количество прогулянных уроков увеличивалось в два раза. На десятый день он впервые прогулял все уроки. На какой день он прогулял четверть уроков, если их количество в каждый день одинаково.

8. Хулиган Леша с занятия украл много спичек. По дороге другие ребята увидели его и каждый забрал у него несколько. Вова забрал треть, Вася – треть оставшихся, Гриша – еще треть оставшихся, Толя – тоже треть оставшихся. В итоге Леша сжег 16 спичек, и у него после этого спичек не осталось. Сколько у него их было?

9. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них стало. И, наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого вначале?

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

1. Составление заданий на координатной плоскости. Знакомство с биографиями Фалеса, Лейбница, Лобачевского, Эйлера, Лагранжа https://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCYQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.it-n.ru%2Fattachment.aspx%3Fid%3D126430&ei=MasdUvalOpTY4QTz9oCQCw&usg=AFQjCNEIQawJTvdYo65SYlY9BSRV0az3Vg&sig2=OT8h66jbWlhzIMvrYQAEdA&bvm=bv.51156542,d.bGE&cad=rjt

2.Задачи на совместную работу. http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/zadachi-na-sovmestnuyu-rabotu

3.Решение комбинаторных задач http://festival.1september.ru/articles/594278/

4. Задачи, решаемые с конца. http://festival.1september.ru/articles/609124/

http://frolova.spb.ru/matematicheskij-kruzhok/urok-1/

5. Круги Эйлера. http://mathem.hut1.ru/z_for.htm

6.Обучение решению некоторых видов составных задач

http://www.school2100.ru/upload/iblock/4e7/4e7fc5e0c7c4ab2db1818bb7014aab38.pdf

7.Занимательные задания http://festival.1september.ru/articles/566394/

http://potehechas.ru/zadachi/zadachi_8.shtml

http://logo-rai.ru/index.php/zadachi-shutki/60-zadachi-shutki/484-korol-i-ministr

8.Задачи на раскраску:  http://mmmf.msu.ru/circles/z6/20.html

9.Занимательные задания

 http://le-savchen.ucoz.ru/index/0-62

http://pedsovet.su/load/33-1-0-2609

10.Решение задач на движение по реке

http://festival.1september.ru/articles/415804/

http://nsportal.ru/ap/ap/drugoe/uchimsya-reshat-zadachi-na-dvizhenie

11.Пентамино. http://festival.1september.ru/articles/619411/

12.Задачи на четность и нечетность

http://www.frolov-family.narod.ru/chet_nechet.html

http://mmmf.msu.ru/circles/z6/3.html

13. Геометрические задачи на логику http://window.edu.ru/resource/119/69119/files/zmz5classbk.pdf

14.Задачи по комбинаторике

http://www.msiu.ru/upload/iblock/afc/02igajybhvusjvnl.pdf

http://mathematichka.ru/school/combinatorics/combination_problems.html

http://www.smekalka.pp.ru/math/answer_math_combination_09.html

15.Числовые множества http://festival.1september.ru/articles/509854/

16.Задачи  на сложение и вычитание рациональных чисел  1http://cl.rushkolnik.ru/docs/6/index-3970.html

2http://www.openclass.ru/node/47840.

-