Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Математика Другие методич. материалыРабочая тетрадь по математике

Рабочая тетрадь по математике

Скачать материал
Скачать тест к этому уроку
библиотека
материалов


ОГБПОУ «Старомайнский технологический техникум»















МАТЕМАТИКА


Рабочая тетрадь

для студентов 2 курса очной формы обучения



по специальностям:


35.02.07 Механизация сельского хозяйства

среднего профессионального образования



Студент группы ___________


__________________________


__________________________










Старая Майна

2016



Рабочая тетрадь по дисциплине «МАТЕМАТИКА» для студентов 2 курса очной формы обучения составлены в соответствии с рабочей программой дисциплины, одобренной цикловой методической комиссией естественноматематических дисциплин


Протокол №___ от «____»_________2016г.

Председатель цикловой методической комиссии

общеобразовательных, ОГСЭ, ЕН и математических дисциплин _______________ С.В.Радчук




Составитель: Г.В.Ширманова - преподаватель Старомайнского технологического техникума








Рабочая тетрадь по дисциплине «Математика» предназначены для работы студентов очной формы обучения на занятии как самостоятельно, так и под руководством преподавателя. Содержит основной теоретический материал и список заданий для решения по всему курсу дисциплины.

Может быть полезна студентам, обучающимся в системе среднего профессионального образования, как для самостоятельного изучения материала, так и для систематизации знаний и умений по курсу.



Содержание


Пояснительная записка…………………………………………………............

5

Раздел 1. Линейная алгебра.................................................................................

7

Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножений матриц, возведение в степень …………………….....................................................................


7

Определитель квадратной матрицы. Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная матрица. Матричные уравнения.........................................................

10

Основные понятия и определения: общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определенные, совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса..............

13

Раздел 2. Математический анализ...................................................................

15

Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики..............................................................................

15

Числовая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы...........................................................

18

Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва первого и второго рода..............................................................................

22

Раздел 3. Дифференциальное исчисление.........................................................

23

Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.....

23

Исследование функции с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции......................................................................................

27

Раздел 4. Интегральное исчисление.............................................................

29

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены переменной..............................................................................

29

Задача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, значений геометрических величин...........

32

Раздел 5. Комплексные числа .........................................................................

35

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел. Действия над комплексными числами........................................................................

35

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика................

38

Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки, сочетания. Формула Ньютона. Случайные события. Вероятность события. Простейшие свойства вероятности......................................

38

Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд...

40

Справочные материалы................................................................................

43

Список литературы..............................................................................................

46




1. Пояснительная записка


Рабочая тетрадь полностью включает материал, предусмотренный программой по "Математике" для средних специальных учебных заведений. В нем найдут много полезного для себя студенты 2 курса технических специальностей.

Мысль о том, что по рабочей тетради можно учиться, не вызывает сомнения. Данная тетрадь содержит основной материал всех разделов курса: математические понятия, определения, теоремы, формулы, свойства и т.д. В рабочей тетради весь материал, относящийся к какому-либо понятию, помещен компактно. Это поможет вам быстро получить все необходимые сведения об интересующем вас понятии.

Эта тетрадь поможет систематизировать знания, быстро и полно повторить основные моменты той или иной темы, найти нужные сведения.

Кроме теоретических сведений в рабочей тетради содержится перечень основных задач по темам курса для аудиторной и внеаудиторной работы.


Студент может:

  • дополнять теоретические сведения в рабочую тетрадь;

  • быстро найти нужную информацию о той или иной формуле, теореме, понятии и т.п.;

  • при подготовке к устному ответу или к контрольной работе прочитать и обдумать соответствующий материал по теме;

  • при решении задач использовать соответствующий теоретический материал;

  • при подготовке к устному экзамену теоретический материал рабочей тетради взять за основу при чтении учебников.

Учитель может:

  • при объяснении нового материала использовать "открытые" опорные конспекты, имеющиеся в рабочей тетради;

  • избавить себя от утомительной процедуры «надиктовывания» план-конспектов, формул и т.п.

  • проводить письменный или устный опрос по материалам рабочей тетради;

  • использовать теоретические сведения из рабочей тетради при решении задач, во время проведения самостоятельных работ;

  • проводить по данной тетради комплексное или тематическое повторение;

Автор надеется, что рабочая тетрадь принесет пользу всем, кто будет использовать её при освоении математики!

Раздел 1. Линейная алгебра


hello_html_7772b54c.gif

Понятие матрицы. Типы матриц. Действия над матрицами: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, транспонирование матриц, умножений матриц, возведение в степень.


Матрицей hello_html_m1d841c98.gif называется прямоугольная таблица, составленная из hello_html_1d5826a6.gif элементов hello_html_me9625e3.gif некоторого множества. Записывается матрица в виде:

hello_html_3af728a9.gif.

Элементы матрицы нумеруются двумя индексами. Первый индекс i элемента hello_html_m70d4e1f5.gif обозначает номер строки, а второй j – номер столбца, на пересечении которых находится этот элемент в матрице. Если у матрицы m строк и n столбцов, то, по определению, она имеет размерность hello_html_1d5826a6.gif.


Матрицы A и B называются равными, если все hello_html_m619bb0dd.gif


Типы матриц

Тип матрицы

Пример

1) Если матрица состоит из одной строки, то она называется матрицей-строкой




2) Если матрица состоит из одного столбца, то она называется матрицей-столбцом




3) Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной. Матрица размера hello_html_e7c25f3.gif называется квадратной матрицей n-го порядка. Элементы hello_html_58ece3ce.gif образуют главную диагональ матрицы


4) Матрица E с элементами hello_html_7b94eb20.gif называется единичной матрицей n-го порядка


5) Если все элементы матрицы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной


6) Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой




7) Если amn = anm , то матрица называется симметрической




Действия над матрицами

Действия

Пример

1) Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

cij = aij bij

С = А + В = В + А.

Замечание: Главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера

А = hello_html_m5205bacd.gif; B = hello_html_m38541459.gif


А+В=


А–В=


2) Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

hello_html_m5d712cab.gif

А = hello_html_m4e6aa686.gif


2А=

3) Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

hello_html_481e6f4c.gif.

Замечание: Главным свойством этой операции является то, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Замечание: Если надо умножить несколько матриц, то необходимо производить умножение последовательно слева направо.

hello_html_m36d7e460.gif

А=hello_html_5192b028.gif, В = hello_html_d2e3165.gif


АВ=


А = hello_html_m36e7ebe9.gif и В = hello_html_5d4647b5.gif.


АВ =

4) Возведение матрицы А в натуральную степень n определяется как произведение n матриц, каждая из которых равна А.

А = hello_html_d2e3165.gif

hello_html_3634873d.gif=


hello_html_m74c19d1b.gif=


5) Матрицу В называют транспониро-ванной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А=hello_html_2f5c524b.gif АТ=hello_html_m2730a380.gif

другими словами, bji = aij.

hello_html_9f8338c.gif



hello_html_m5ddaa259.gif

1.1 Выполните операции с матрицами:

  1. Найдите сумму и разность матриц С и D

hello_html_m743ce940.png

  1. Найдите произведение матрицы А на число 4

hello_html_m208e8146.png

  1. Найти матрицу hello_html_1f115029.png, если

hello_html_fea5d12.png

  1. Найти матрицу hello_html_m4836bfb4.png, если

hello_html_511bbfe7.png

  1. Составьте транспонированную матрицу, полученную из А:

hello_html_m3803e51e.png

  1. Найдите произведение матриц

hello_html_9fc5618.png

  1. Найдите матрицу hello_html_mfa2ebbd.gif

hello_html_9fc5618.png

8. Найти произведения АВ и ВА (если это возможно).

а) hello_html_382ef378.gif

б) hello_html_787b2559.gif, hello_html_3b0c215e.gif

в) hello_html_14da97b1.gif.

9. Решите задачу:

Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей hello_html_3a472279.gifСтоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей В=(10 15). Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида, 200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида?



Оhello_html_2f42806a.gifпределитель квадратной матрицы. Определители 2-го, 3-го порядков. Правило Саррюса. Свойства определителей. Обратная матрица. Матричные уравнения.


Определителем (детерминантом) квадратной матрицы второго порядка hello_html_m2c1cedcd.gif называется число hello_html_m6409a2c.gif.

Обозначается: hello_html_m63235935.gif.

Правило, по которому вычисляется определитель матрицы второго порядка, схематически можно изобразить следующим образом:

hello_html_1e1d12ba.gifhello_html_m136ed232.gifhello_html_69883f27.gifhello_html_m643ca6c4.gifили hello_html_7ac0cb0f.gif

Определителем квадратной матрицы третьего порядка hello_html_m58de70a4.gif называется число hello_html_m12c1e007.gif.

Обозначается:

hello_html_m45a5465e.gif


1 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод треугольников):

hello_html_2c5f3150.gifhello_html_32b7667d.gifhello_html_mb3210c2.gif

2 способ вычисления определителя 3-го порядка (метод Саррюса):

+ + + - - -

hello_html_m444552a1.gifhello_html_28b83a10.gif

3 способ вычисления определителя (разложение определителя по элементам строки или столбца):

Минором hello_html_m27e1a3fb.gif элемента hello_html_m70d4e1f5.gif называется определитель (n1)-го порядка hello_html_2cc71aa2.gif, полученный из определителя n-го порядка hello_html_61d4078.gif вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическое дополнение hello_html_54ac29cd.gif элемента hello_html_m70d4e1f5.gif определяется равенством hello_html_m5155e671.gif.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i1, … ,is, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

hello_html_18cb098e.gif


Свойства определителей:

















Обратная матрица

Матрица hello_html_m70da8903.gif называется обратной для квадратной матрицыhello_html_7cebfe76.gif, если hello_html_1013f6ae.gif.

Алгоритм нахождения обратной матрицы









1.2 Найти определитель

hello_html_4f15b29f.gif

1.3 Найти определитель тремя способами

1)hello_html_1bae742.gif 2)hello_html_1bae742.gif 3)hello_html_1bae742.gif

1.4 Вычислите определители второго порядка

а) hello_html_46f136b.gif б) hello_html_6162d4e6.gif в) hello_html_6a5c25da.gif г) hello_html_3862a691.gif д) hello_html_m1794fff1.gif

1.5 Вычислите определители третьего порядка первым способом (а, б), вторым способом (в, г)

а) hello_html_78da6140.gif б) hello_html_2d9c8219.gif в) hello_html_5586ac8b.gif г) hello_html_1b825162.gif

1.6 Найти все миноры и алгебраические дополнения матрицы:

hello_html_96f1680.gif

1.7 Вычислите определители третьим способом, используя разложение по строке, либо по столбцу.

а) hello_html_1777de1a.gif б) hello_html_44b91616.gif в) hello_html_m65c31745.gif

1.8 Найти обратную матрицу для матрицы hello_html_m6e27159a.gif












Основные понятия и определения: общий вид системы линейных уравнений (СЛУ) с 3-я переменными. Совместные определенные, совместные неопределенные и несовместные СЛУ. Решение СЛУ по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса.

hello_html_28fb95c6.gif


Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x1, x2, x3 имеет вид:

hello_html_m760a49f.gif

где hello_html_m70d4e1f5.gif коэффициенты системы; hello_html_m451abfa4.gif свободные члены.

Система

Условие

совместная



несовместная



определенная



неопределенная



однородная




К элементарным преобразованиям относятся:






Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

Система из n уравнений с n неизвестными

hello_html_6307e52e.gif

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

xi = i/, где

= det A, а i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

i = hello_html_m5bebfb45.gif


Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Система из n уравнений с n неизвестными

hello_html_6307e52e.gif

Составим матрицы: A = hello_html_m58f026b0.gif; B = hello_html_m71ad525b.gif; X = hello_html_68c6b67b.gif.

Систему уравнений можно записать: AX = B.

Сделаем следующее преобразование: A-1AX = A-1B,

hello_html_7957affe.gif

т.к. А-1А = Е, то ЕХ = А-1В Х = А-1В


Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений


Пусть дана система 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными:

hello_html_m4259d3a0.gif

Прямой ход: Путем последовательного исключения переменных система уравнений сводится к ступенчатому виду, т.е. к системе, в которой каждое последующее уравнение содержит меньшее число переменных, чем предыдущее.

Последовательное исключение переменных можно осуществить с помощью элементарных преобразований:

  1. Умножение обеих частей уравнения на одно и тоже число;

  2. Прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на некоторое число.

Замечание: Перестановка уравнений не изменяет систему, т.е. ее решение остается прежним.


Обратный ход: Из последнего уравнения непосредственно определяется неизвестная х3, затем подставляется во второе уравнение и находится х2, после чего найденные значения подставляются в первое уравнение и находится х1.


1.10 Найти решение системы уравнений методом Крамера, матричным методом, методом Гаусса:

а)hello_html_39d9478b.gif б)hello_html_m9eb2e13.gif в)hello_html_m74960bce.gif

г)hello_html_m29f204e0.gif д)hello_html_5d18c7d.gif


Раздел 2. Математический анализ

hello_html_m6a23a6a9.gif

Аргумент и функция. Область определения и область значений функции. Свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.


Свойства функции

  1. Область определения

  2. Множество значений

  3. Нули функции

  4. Четность, нечетность

  5. Периодичность

  6. Монотонность

  7. Экстремумы

Заполните второй столбик таблицы:

Функция, её график

Свойства функции

Линейная функция hello_html_1ced4b2c.gif

hello_html_29a551a5.png












Степенная функция hello_html_2a748834.gif

hello_html_m17e316f1.pnghello_html_m1a3e0151.gif






Степенная функция hello_html_m263571fc.gif

hello_html_m5c136c3.pnghello_html_7153f543.gif


Показательная функция hello_html_59f97701.gif

hello_html_m5fd24ecc.jpghello_html_2f391157.gif





Логарифмическая функция hello_html_m4c23aecd.gif

hello_html_604dad53.jpghello_html_m3e1c2795.gif




Тригонометрическая функция hello_html_m5508de0b.gif

hello_html_6c02b422.png











Тригонометрическая функцияhello_html_74692366.gif

hello_html_55d9c8e7.png










Тригонометрическая функцияhello_html_370605da.gif

hello_html_m70210242.png


Тригонометрическая функцияhello_html_m38bbd191.gif

hello_html_3d678c6f.png



Чhello_html_40a74518.gifисловая последовательность и ее предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы.



Числовая последовательность и её предел

Числовая последовательность _________________________________________________

______________________________________________________________________________


Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство |xn - a| < ε.


Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремитсякa при hello_html_m53fd79f4.gif,ипишут hello_html_m7f067a0d.gif


Предел функции

Число А называется пределом функции f(x) при hello_html_69436c41.gif, если для любой последовательности аргументов hello_html_m23e670b5.gif, сходящейся к а, соответствующая последовательность значений функции hello_html_m24fa9a04.gif сходится к А.

Число А называется пределом функции f(x) при hello_html_69436c41.gif, если для любого hello_html_5beb40ae.gif существует такое hello_html_m3e62db79.gif, что для всех х, удовлетворяющих условиям hello_html_m2d3c4ad0.gif, выполняется неравенство hello_html_m6a7b4995.gif.

Обозначается hello_html_67bb1737.gif


П

Функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)

редел функции в точке

hello_html_409640e4.gify f(x)


A +

A

A -




0 a - a a + x




Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.


Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство hello_html_3d035f60.gif

При этом предполагается, что функция f(x) определена в окрестности бесконечности.

Записывают: hello_html_16b9a3a4.gif



Графически можно представить:


hello_html_405d00a1.gify y



A A




0 х 0 х


y y



A A




0 х 0 х


Основные теоремы о пределах

Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха, то

Теорема 1. hello_html_m33e3de2b.gif, где С = const.

Теорема 2. hello_html_56773d09.gif

Теорема 3. hello_html_m77222e65.gif

Следствие. hello_html_m26528ada.gif

Теорема 4. hello_html_m359f91fe.gif при hello_html_m4e9c4a27.gif

Теорема 5. hello_html_m12487fca.gif

Теорема 6. hello_html_m1d9e2595.gif


Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если hello_html_m3632dd87.gif.

Функция называется бесконечно большой при ха, где а – число или одна из величин , + или -, если hello_html_m1a280920.gif, где А – число или одна из величин , + или -.

Обратная бесконечно малой величины является бесконечно большой величиной и наоборот.


Табличные пределы

1. hello_html_47be992d.gif

3. hello_html_m3aa0815c.gif

2. hello_html_331cc044.gif

4. hello_html_56a7b791.gif




Методы вычисления пределов


1) Метод непосредственного вычисления

2) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m72db000.gif

Для того чтобы раскрыть неопределенность вида hello_html_49df1600.gif при отыскании предела отношения многочленов hello_html_m6b9eb43e.gif, нужно

  1. определить тип неопределенности,

  2. если неопределенность вида hello_html_49df1600.gif, то поделить числитель и знаменатель на двучлен hello_html_m64121057.gif.


Замечание: При отыскании пределов от иррациональных функций с неопределенностями вида hello_html_49df1600.gif используется рассмотренный выше прием, но предварительно умножают числитель и знаменатель на выражения, сопряженные числителю и знаменателю

3) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m1eb2964e.gif

Если предел отношения двух алгебраических функций при значении hello_html_m16e7b9dc.gif дает неопределенность вида hello_html_m1af5eb48.gif, то нужно числитель и знаменатель поделить на старшую степень x встречающуюся в этой функции.


4) Замечательные пределы


Пhello_html_m7c89dcc9.gifервый замечательный предел hello_html_1d61310d.gif

Вhello_html_fb491d3.gifторой замечательный предел: hello_html_2c5cdbb7.gif или hello_html_m7ae803b0.gif


5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Эквивалентные бесконечно малые функции

При hello_html_m73d0af3.gifsin x~ х

tg x ~ х

arcsin x~ х

arctg x ~ х

ln(1+x) ~ х

ex -1~ х

ax -1~ х ln a


    1. Вычислите пределы функций указанным методом:

1) Метод непосредственного вычисления

hello_html_m5dc79036.gif

2) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m72db000.gif

а)hello_html_m2524067b.gif б) hello_html_289d5491.gif

3) Раскрытие неопределенностей вида hello_html_m1eb2964e.gif

hello_html_3b450608.gif


4) Замечательные пределы

а)hello_html_664bc5a9.gif б)hello_html_2ca34a63.gif в)hello_html_4d66176e.gif г)hello_html_773dce5f.gif

д)hello_html_m73cf12c3.gif е)hello_html_m7a0adf75.gif ж)hello_html_2f47af36.gif.


5) Применение эквивалентных бесконечно малых функций

а)hello_html_m5c0b2afb.gif б)hello_html_6dab2823.gif


    1. Вычислите пределы функций:

hello_html_5a57dac9.gif hello_html_m4bf3b141.gifhello_html_m4617de9f.gif

hello_html_m3781fad0.gif hello_html_mbd2d5ca.gifhello_html_6c452c44.gif

hello_html_m265192c0.gif з)hello_html_m4cf299df.gifи)hello_html_m53a436bc.gif

к)hello_html_7ed603b6.gif л)hello_html_m2600f4d7.gif м)hello_html_m69d76140.gif

н)hello_html_24be47d4.gif о)hello_html_72718ae1.gifп)hello_html_72455006.gif

р)hello_html_78639bcd.gif с)hello_html_48922a2a.gif т)hello_html_m607db64a.gif

у)hello_html_739bca4.gif ф)hello_html_m133da71f.gif





Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва первого и второго рода.

hello_html_5d603a3d.gif

1. Односторонние пределы

Пределом функции слева (справа) называется предел, вычисляемый в предположении, что х стремится к hello_html_662afb8e.gif, оставаясь всё время меньше (больше) hello_html_662afb8e.gif.

hello_html_m29bf3201.gif- предел функции слева hello_html_m284b3ee9.gif- предел функции справа

Пределы слева и справа называются односторонними.

hello_html_mf27f731.gifhello_html_mf27f731.gifу у



hello_html_m5fbd7490.gifhello_html_m5fbd7490.gif

0 х 0 х



2. Непрерывность функции

Функция hello_html_72bf5369.gif называется непрерывной в точке hello_html_m1a116d6d.gif, если:



Функция hello_html_72bf5369.gif называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.


3. Классификация точек разрыва

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности (не выполняется хотя бы одно из этих условий непрерывности функции в точке), называется точками разрыва этой функции.

Пусть х0 – точка разрыва функции hello_html_m1c8ecd59.gif.

Тип точки разрыва

Условие

Рисунок

Точка устранимого разрыва




  • hello_html_m6ea0350c.gifhello_html_m284b3ee9.gif

  • односторонние пределы -конечные

  • f0) не существует

hello_html_7de5820f.gif

Точка разрыва первого рода





  • hello_html_m166730c5.gifhello_html_m284b3ee9.gif

  • односторонние пределы -конечные


hello_html_7de5820f.gif



Точка разрыва второго рода

  • hello_html_mfdbfd79.gifили

hello_html_1a3dd5.gifне существует

  • hello_html_62906040.gifили

hello_html_m284b3ee9.gifне существует

hello_html_2fcafd7d.gif


    1. Найдите точки разрыва функции

а) hello_html_6dfc603c.gif

б) hello_html_613a232d.gif

в) hello_html_m587cc41d.gif

г) hello_html_m231c10d6.gif

д) hello_html_6e8fff25.gif

е) hello_html_m67b5a51c.gif

ж) hello_html_4cd299ea.gif

з) hello_html_78acd39e.gif









Раздел 3. Дифференциальное исчисление

hello_html_7ae1ead7.gif

Определение производной. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной. Производные основных элементарных функций. Дифференцирование сложных функций.


Определение производной

hello_html_m76462937.gif Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0.

hello_html_6d1cabb8.gif- приращением аргумента


hello_html_m6abcc8fd.gif- приращением функции

Производной функции f(x) в точке x0 называется

_________________________________________

_________________________________________

_________________________________________

hello_html_m24dd434c.gif

Дифференцирование ___________________________________________________________

Правила дифференцирования

Пусть U,V - дифференцируемые функции независимой переменной х, С-константа; тогда:

1)hello_html_1e7553f5.gif

2)hello_html_m245e252b.gif

3)hello_html_154142d.gif

4)hello_html_405c65d8.gif

5) Если у = f(U), U = g(x) следовательно, у = f(g(x)) - сложная функция. Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной. hello_html_706e247d.gif


Формулы дифференцирования


Производная элементарной функции

Производная сложной функции

1

hello_html_m58a01bb2.gif


Степенная функция

2

hello_html_m75f05d56.gif


3

hello_html_m66abcc48.gif

hello_html_mf073c76.gif

4

hello_html_3fe386d0.gif

hello_html_466b58c7.gif

5

hello_html_ada9816.gif

hello_html_7b18136b.gif

Показательная функция

6

hello_html_4a3fe534.gif

hello_html_6d3dd4d2.gif

7

hello_html_252614a2.gif

hello_html_4f88b8c7.gif

Логарифмическая функция

8

hello_html_6fba0267.gif

hello_html_m783b4513.gif

9

hello_html_m45a491ca.gif

hello_html_m52206d4d.gif

10

hello_html_27903c75.gif

hello_html_m2afb7d07.gif

Тригонометрическая функция

11

hello_html_952eb5f.gif

hello_html_4f934a8b.gif

12

hello_html_1544f1d4.gif

hello_html_7f64c241.gif

13

hello_html_5a999a64.gif

hello_html_m4bff9d6f.gif

14

hello_html_m404f924b.gif

hello_html_m8e7b35a.gif

Обратная тригонометрическая функция

15

hello_html_d54df01.gif

hello_html_m36443e03.gif

16

hello_html_2e501dd.gif

hello_html_2179308b.gif

17

hello_html_m4bbd69.gif

hello_html_m781615.gif

18

hello_html_m7861bd19.gif

hello_html_m5c89417e.gif


Замечание: __________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Первой дифференцируется та функция, которая вычислялась бы последней – это самое главное!

hello_html_5c0b545d.gifГеометрический смысл производной hello_html_25d19502.gif

Уравнение касательной к кривой:

hello_html_77c5b2ab.gif


Уравнение нормали к кривой:

hello_html_77c7beb7.gif.




Физический смысл производной

Производная функции показывает _________________________________ функции.

Физический смысл производной функции s(t), где t - время, а s(t) - закон движения (изменения координат) –______________________________________движения. hello_html_67522ba9.gif

Вторая производная функции –. _____________________ hello_html_7c99509a.gif

Производная высших порядков

Производная hello_html_m44391f87.gifот функции hello_html_fa306bb.gif называется производной первого порядка, или первой производной. Тогда производная от первой производной, если она существует, называется второй производной или производной второго порядка функции y=f(x) и обозначается hello_html_m617dcd9e.gif, hello_html_m3250a7cb.gif, hello_html_bb8d96f.gif.

Производной n-го порядка функции y=f(x), если она существует, называется производная от производной (n-1) - порядка;

hello_html_2f890d2e.gif, hello_html_63f885e6.gif, hello_html_mfea097c.gif

Дифференциал функции

hello_html_6d201646.gifили hello_html_m2d9eb284.gif

Использование дифференциала для приближенных вычислений

hello_html_m5bb6715a.gif.


3.1 Найти производную функции:

а) hello_html_m2d336c40.gif

б) hello_html_m42304172.gif

в) hello_html_m51c745ff.gif

г) hello_html_m1af823be.gif

д)hello_html_m376b0597.gif

е)hello_html_71ce0c42.gif

ж)hello_html_m74e60c6a.gif

з)hello_html_422fd195.gif

и)hello_html_5f99e1e.gif

к)hello_html_6e7cfd2c.gif

л) y=hello_html_m7e9dd004.gif

м)hello_html_m3232bddd.gif

н)hello_html_m27ed2a98.gif

о)hello_html_45447f67.gif

п)hello_html_m54a57812.gif

р)hello_html_mc7d094b.gif

с)hello_html_m1427d5d2.gif

т)hello_html_m55facada.gif

у)hello_html_m555223dc.gif

ф)hello_html_3da2fa20.gif

х)hello_html_67fdeecd.gif

ц)hello_html_39ae7217.gif

ч)hello_html_m262373bd.gif

ш)hello_html_m51ea5ac8.gif

3.2 Найти дифференциалы функции:

а) f(x) = 2 - 3x + x3

б) f(t) = t2 + cos3t – 5

в) hello_html_7316499c.gif

3.3 Найти n-производную функции:

a) hello_html_m1c2b5317.gif

hello_html_4beee120.gif



б)hello_html_m786c6350.gif

hello_html_4beee120.gif



в)hello_html_5c1d5562.gif

hello_html_1d47b323.gif



г)hello_html_m5e22c3a2.gif

hello_html_1d47b323.gif



д)hello_html_m3cccd64c.gif

hello_html_1d47b323.gif




Иhello_html_2c5b4a37.gifсследование функции с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функции. Асимптоты. Исследование функций и построение их графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции.


Алгоритм исследования функции:









Заполните первый столбик в таблице:

Этап

Комментарии


Совокупность всех тех значений, которые принимает независимая переменная х функции y=f(x)


1. D(y) симметрична относительно 0

2. f(–x)= f(x) – функция четная (график симметричен относительно оси Оу)

f(–x)= – f(x) – функция нечетная (график симметричен относительно начала координат)


Аhello_html_7de5820f.gifhello_html_7de5820f.gifсимптота – это прямая, к которой приближаются точки графика функции при бесконечном удалении их от начала координат.

Вертикальная асимптота hello_html_m31c783e5.gif

если:hello_html_m1b913eda.gif или hello_html_m6e6f3bb7.gif




Горизонтальная асимптота hello_html_m77134d5d.gif

если:hello_html_m549c4af8.gif или hello_html_mf777084.gif




Наклонная асимптота hello_html_m5ab4df13.gif

еhello_html_2678aa68.gifhello_html_2678aa68.gifhello_html_7de5820f.gifсли: hello_html_6ba6a461.gif или hello_html_1bc374b3.gif







- с осью ОХ (у = 0)

- с осью ОУ (х = 0)


Найти производную f (х) данной функции f(х).

Найти критические точки (внутренние точки области определения, в которых производная функции f (х) равна нулю или не существует).

Критические точки разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами монотонности.

Определить знак производной на каждом из интервалов монотонности.

  • Если f (х) 0, то f(х) возрастает на этом промежутке.

  • Если f (х)hello_html_3813d461.gif 0, то f(х) убывает на этом промежутке.

Исследовать знак производной f (х) в окрестности точки х0.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «-» на «+», то в этой точке функция f(х) имеет минимум.

Если f (х) меняет знак при переходе через точку х0 с «+» на «-», то в этой точке функция f(х) имеет максимум.

Если f (х) не меняет знак при переходе через точку х0 , то в этой точке функция f(х) не имеет экстремумов.


  1. Найти вторую производную f (х) данной функции f(х).

  2. Найти критические точки второго рода (внутренние точки области определения, в которых вторая производная функции f (х) равна нулю или не существует).

  3. Критические точки второго рода разбивают область определения функции f(х) на интервалы, в каждом из которых производная f (х) сохраняет свой знак. Эти интервалы будут интервалами выпуклости.

  4. Определить знак второй производной на каждом из интервалов выпуклости.

  • Если f (х)> 0, то график функции f(х) выпуклый вниз.

  • Если f (х)< 0, то график функции f(х) выпуклый вверх.

  • Если f (х) меняет знак при переходе через критическую точку второго рода, то эта точка будет точкой перегиба графика функции.


Совокупность всех тех значений, которые принимает зависимая переменная у

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Если функция f(x) дифференцируема на интервале и непрерывна на отрезке [а; b], то для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой функции на отрезке [а; b] нужно:





3.4 Исследовать функцию и построить её график:

а) y = 2 - 3x + x3 б)hello_html_m4d55c035.gifв)hello_html_33245253.gif

г) hello_html_4024fe3.gif д) hello_html_m33a07b99.gif

Раздел 4. Интегральное исчисление

hello_html_m6661bf06.gif

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены переменной.


Первообразная функция

Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x).

Основное свойство первообразной: Функция f(х) имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную.

Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C.

Записывают: hello_html_m584d5ba.gif

где – знак интеграла,

f(x) dx – подынтегральное выражение,

F(x) – первообразная функции f(x),

С – константа.

Свойства неопределенного интеграла

1. hello_html_54ec593b.gif

2. hello_html_5aa5b49e.gif где f(x), g(x) – некоторые функции от х.

3.hello_html_m5747442c.gif


Таблица неопределенных интегралов

  1. hello_html_3207ea81.gif

  2. hello_html_537baf95.gif

  3. hello_html_5d5a3c02.gif

  4. hello_html_m2ed65a5a.gif

  5. hello_html_m7c5fc523.gif

  6. hello_html_m4aba22cb.gif

  7. hello_html_m758d391a.gif

  8. hello_html_m7189f0a4.gif

  9. hello_html_3ce7c8ff.gif

  10. hello_html_mc959872.gif

  11. hello_html_m7c9b4637.gif

  12. hello_html_m60680897.gif

  13. hello_html_m301f7b47.gif

  14. hello_html_50cef9c3.gif

  15. hello_html_3801af9e.gif

  16. hello_html_m29d1ffda.gif

  17. hello_html_26a6a87b.gif

  18. hello_html_22c3d7ef.gif

Методы интегрирования

1) Непосредственное интегрирование

4.1 Найдите неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

2) Метод введения новой переменной (метод подстановки)

Алгоритм

4.2 Найдите неопределенные интегралы методом подстановки:

10. hello_html_4c6f884b.gif


15. hello_html_m60a1fed7.gif





3) Метод интегрирования по частям осуществляется по формуле:

hello_html_1fb1c0a4.gif

где u, v – непрерывно-дифференцируемые функции от х.


Алгоритм

Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы:

hello_html_m3218a8b8.gif

hello_html_15b061f7.gif

hello_html_7c362b1b.gif


hello_html_m3797f51f.gif

hello_html_m255308e4.gif

hello_html_m390f8a48.gif

hello_html_m43c27353.gif

hello_html_m4e17254a.gif

hello_html_m16006420.gif

hello_html_14db0a89.gif

Замена

hello_html_m42bfbeba.gif


hello_html_cb50c53.gif

hello_html_3b8534df.gif

hello_html_788434dc.gif

hello_html_5f054e73.gif


hello_html_m2a7e1256.gif

Замечание

Интегрируют по частям столько раз, какова степень многочлена f(x)


Интегрируют по частям два раза

где f(x) – степенная функция


4.3 Найдите неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:

Зhello_html_3daec2bd.gifадача о площади криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Вычисление площади плоских фигур, значений геометрических величин



Формула Ньютона – Лейбница: hello_html_m5831e202.gif


Методы вычисления определенных интегралов


1) Метод непосредственного интегрирования

4.4 Найдите определенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

2) Метод подстановки

Особенностью является только то, что, заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

4.5 Найдите определенные интегралы методом подстановки:

1. hello_html_m1dc6e13.gif


2. hello_html_7a045347.gif

3. hello_html_12803222.gif

3) Метод интегрирования по частям

4.6 Найдите определенные интегралы методом интегрирования по частям:


Геометрический смысл определенного интеграла

Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной:

  • прямыми x = а, х = b;

  • осью Ох (у = 0);

  • частью графика y = f(x) непрерывной и неотрицательной функции.


Основные случаи расположения плоской фигуры



hello_html_3045a8cb.gif

2

hello_html_m4796de6c.png


hello_html_6ce12e7c.gif

3

hello_html_m4185b725.png

hello_html_5f3e989c.gif

4

hello_html_mb11fe15.png

hello_html_7b415d65.gif

5

hello_html_f3c71c6.png

hello_html_m5e5ea5f7.gif

6

hello_html_471ecc62.png

hello_html_ma569cca.gif

7


hello_html_m3e8d9299.png

hello_html_m2f0122f5.gif

8


hello_html_6a68eccb.png

hello_html_7ee84182.gif

9

hello_html_170c49fe.png

hello_html_m29587184.gif

hello_html_m631eff51.gif

Алгоритм решения задач на вычисление площадей плоских фигур

4.7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)hello_html_308ba36c.gif

б) y = x, y = x2, x = 2


Объем тел вращения






hello_html_68c8cf23.gifhello_html_463ac9ad.png

hello_html_7109cc3a.png




hello_html_7290b620.gif



4.8 Найти объем тела, полученного вращением

а) вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой hello_html_5f013f2c.gif , прямыми х = 1, х = 4 и осью Ох

б) вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х2 = 4у, у = 4, х = 0.








Раздел 5. Комплексные числа

hello_html_68c9e6e3.gif

Определение комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная форма записи комплексных чисел.

Действия над комплексными числами



Комплексным числом z называется выражение hello_html_m60942080.gif, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением: hello_html_mfdf5b73.gif

a - действительная часть числа z (a = Re z),

b - мнимая часть числа z (b = Im z).


Комплексное число

Условие

чисто мнимое


действительное


комплексно – сопряженные


равные


равно нулю



Геометрическая интерпретация

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________


hello_html_m4e0bb400.gifу



b A(a, b)

r


0 a x


Форма записи комплексного числа

Вид

Операции

Алгебраическая

hello_html_m60942080.gif, где


a = Re zдействительная часть


b = Im z – мнимая часть

hello_html_m1a626d56.gif

hello_html_1b105a55.gif


Сложение

hello_html_2cedf110.gif

Вычитание

hello_html_2828da6f.gif

Умножение

hello_html_2a7582ef.gif

hello_html_m5aac5c29.gif

Деление

hello_html_m22620c5d.gif

hello_html_689c1d3f.gif

hello_html_m6a6bf297.gif

Тригонометрическая

hello_html_m7291e65e.gif, где

hello_html_m1c2e33ec.gifмодуль

hello_html_m28980caa.gifаргумент


hello_html_1d1873a4.gif

1) Если hello_html_m2b09b862.gif (1-ая и 4-ая координатные четверти), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_e8f42b9.gif .

2) Если hello_html_m1dc33c3.gif (2-ая координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_m79e6b28f.gif.

3) Если hello_html_3b361632.gif (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле hello_html_m6138d03e.gif.

hello_html_157604a9.gif

hello_html_m1ee7f539.gif


Умножение

hello_html_36c46353.gif

Деление

hello_html_3de31d36.gif

Возведение в степень

hello_html_m5d4c788d.gifформула Муавра

Извлечение корня

hello_html_5f7a62b1.gif

корень n–ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при hello_html_44c25071.gif

Показательная

hello_html_36dafd32.gif, где

hello_html_m1c2e33ec.gifмодуль

hello_html_m28980caa.gifаргумент


hello_html_18049644.gif

hello_html_1a55328e.gif


Умножение

hello_html_m456dca9f.gif

Деление

hello_html_m2a3fa596.gif

Возведение в степень

hello_html_m39fbc636.gif

Извлечение корня

hello_html_3b2dad18.gif

корень n–ой степени из комплексного числа имеет n различных значений при hello_html_44c25071.gif

5.1 Построить на комплексной плоскости следующие комплексные числа:

hello_html_m5c918a19.png,  hello_html_36fbd77c.png,  hello_html_322e0cec.png hello_html_m500c1cca.png,  hello_html_m6479e6e1.png, 

hello_html_m63117e1b.png hello_html_m6d1dc65d.png,  hello_html_m4bc081ac.png,  hello_html_m412654b0.png,  hello_html_3ac87bcb.png

5.2 Выполнить операции над комплексными числами, записанными в алгебраической форме:

а) Сложить два комплексных числа hello_html_m66092bdb.gif

б) Найти разности комплексных чисел hello_html_m2b94ad27.gif, если  hello_html_m17a7fd7d.gif

в) Найти произведение комплексных чисел  hello_html_mac824d1.gif

г) Даны комплексные числа hello_html_m27803bd9.gif. Найти частное hello_html_1ba07ec8.gif .

5.3 Решить квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом:

hello_html_m65efb7ff.png

5.4 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа: hello_html_5589aec6.gif

5.5 Дано комплексное число hello_html_7e15bc65.gif, найти hello_html_m60bbb2ac.png. Ответ запишите в тригонометрической форме.

5.6 Найти hello_html_m29ff4516.gif, если hello_html_m2e1212a7.gif . Ответ запишите в тригонометрической форме. Изобразите найденные корни на комплексной плоскости.

5.7 Найти их сумму, разность, произведение и частное чисел:

hello_html_2b6d2e79.png, hello_html_6d71fc9c.png.

5.8 Представить в тригонометрической и показательной форме комплексные числа:  hello_html_5227c3e8.png, hello_html_62aabd93.png

5.9 Представить в алгебраической и показательной форме комплексные числа: hello_html_m2ead8c82.gif, hello_html_mf95d4d.gif

5.10 Найти hello_html_68b00e2b.png, если hello_html_53f9584.gif, Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

5.12 Для числа hello_html_4effb402.gif найти:

а) тригонометрическую форму,

б) найти z20,

в) найти hello_html_m29ff4516.gif, изобразите найденные корни на комплексной плоскости.







Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика

hello_html_m739cd1a4.gif

Элементы комбинаторного анализа: размещения, перестановки, сочетания. Формула Ньютона. Случайные события.

Вероятность события. Простейшие свойства вероятности



Комбинаторика


Множество (n)


Пhello_html_4bdee4af.gifhello_html_m63c7eb5a.gifодмножество (m)

Множество (n)

hello_html_m3f3d09db.gif

Порядок важен

hello_html_m3f3d09db.gif

Пhello_html_m3f3d09db.gifорядок неважен

Пhello_html_m3f3d09db.gifорядок важен

Размещения

Сочетания

Перестановки

hello_html_m651360b8.gif

hello_html_26270d60.gif

hello_html_m2594196e.gif


Теория вероятностей


Классическое определение вероятности события

hello_html_4f0b8938.gif, где

hello_html_9dd2bb6.gif- число элементарных исходов;

hello_html_m6cf923f2.gif- число исходов благоприятствующих появлению события hello_html_m17c9d4c6.gif.

Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий

hello_html_m65f21bf7.gif

Сумма вероятностей противоположных событий

hello_html_m762a320.gif

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий

hello_html_224817aa.gif

Условная вероятность


hello_html_43f87aec.gif

Вероятность произведения двух зависимых событий

hello_html_m487e48b3.gif

Вероятность произведения двух независимых событий

hello_html_22cb600c.gif

Формула полной вероятности



hello_html_5ba79c5a.gif

Формула Байеса

hello_html_m73ba462e.gif,

где к=1,2,…n, Р(А) находится по формуле полной вероятности

Формула Бернулли


hello_html_m68833156.gif

6.1 Решите комбинаторные задачи:

1. Сколько различных рейтингов можно составить для 8 человек?

2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любым из 5 языков на любой другой (русский, английский, французский, немецкий, итальянский)

3. Сколько различных хорд можно провести через 6 точек, лежащих на окружности.


6.2 Решите задачу по классическому определению вероятности:

В ящике находится 10 деталей: 8 стандартных и 2 нестандартных. Наудачу вынимаем три детали. Какова вероятность того, что среди этих трех деталей 2 окажутся бракованными?


6.3 Решить задачи на сумму и произведение вероятностей

1. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

2. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза подряд. Найти вероятности хотя бы одного выстрела.

3. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

4. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

5. Последовательно послано четыре радиосигнала. Вероятности приема каждого из них не зависят от того, приняты ли остальные сигналы, или нет. Вероятности приема сигналов равны соответственно 0,2, 0,3, 0,4, 0,5. Определить вероятность приема трех радиосигналов.

6. Двадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся знает ответы только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса одного билета или на один вопрос одного билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

7. Вероятность поражения мишени при одном выстреле первым стрелком равна 0,8, а вторым стрелком 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка поразят мишень.


6.4 Решить задачу по формуле Бернулли:

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.

Задачи математической статистики. Выборка. Вариационный ряд

hello_html_45818ab3.gif

Случайной величиной _________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Случайные величины можно разделить на две категории.

ДСВ

НСВ

Дискретной (прерывной) величиной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.


Непрерывной случайной величиной называют случайную величину у которой функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Множество может быть как конечным, так и бесконечным


Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно

Пример: игральные кости. Выпадаемый номер - случайная величина, которая может принимать одно из возможных значений - 1, 2, 3, 4, 5 или 6 с равной вероятностью


Пример: рост студентов - рост студента может принимать любое значение из числового промежутка 1 м до 2,5 м. Число возможных значений - бесконечно.

Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически

При табличном задании (ряд распределения ДСВ) - первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

x

x1

x2

. . .

хn

р

p1

p2

. . .

pn

Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  По оси абсцисс откладываются возможные значения дискретной случайной величины, а по оси ординат соответствующие вероятности.

hello_html_m11e6561d.png

Функция hello_html_5dee8a88.gif  называется функцией распределения случайной величины Х.

Для дискретной случайной величины

hello_html_m29351a0a.png

где     xi - значения, принимаемые случайной величиной Х;

P(xi) - значения вероятностей при X  = xi;

х - некоторое фиксированное значение Х.

hello_html_1a4c9d69.png

График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой разрывную ступенчатую линию, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.


Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b) вычисляется по формуле:

1 способ: hello_html_m343c8cf9.gif.

2 способ: hello_html_m30b4e645.gif

Плотностью распределения вероятности НСВ Х называют функцию hello_html_m4666533f.gif - первую производную от функции распределения hello_html_m6403aa2d.gif: hello_html_m684a4be.gif.

Кривая, изображающая плотность распределения, называется кривой распределения

hello_html_45ec07eb.png


Числовые характеристики ДСВ:

  1. Математическое ожидание:

hello_html_2bcc6a83.gif

(среднее арифметическое значений случайной величины)

  1. Дисперсия:

hello_html_m946e3bb.gifили hello_html_m4e8da35f.gif

(мера разброса случайной величины)

  1. Среднее квадратическое отклонение:

hello_html_5bee9011.gif

(стандартное отклонение случайной величины)


Числовые характеристики НСВ:

  1. Математическим ожиданием:

hello_html_37d1e987.gif

2. Дисперсия:

hello_html_m50ecf814.gifили hello_html_m60492cc6.gif

3. Среднее квадратическое отклонение:

hello_html_m8923435.gif


6.5 Решите задачи математической статистики:

1. Закон распределения случайной величины имеет вид:

X

0

1

2

p

0,0625

0,375

0,5625

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.


2. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно р1=0,3; p2=0,4; p3=0,5; p4=0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов, построить многоугольник распределения.


3. Задана ДСВ Х

xi

2

5

9

pi

0.3

0.4

0.3

Найти: 1) Функцию распределения F(х) ДСВ и построить ее график.

  1. M(x), D(x),б(x).


4. Определить функцию распределения числа гербов при четырех подбрасываниях монеты.


5. Закон распределения случайной величины имеет вид:

X

0

1

2

p

0,0625

0,375

0,5625

  1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

  2. Постройте многоугольник распределения.

  3. Составьте функцию распределения.

  4. Постройте график функции распределения.



Справочные материалы


Таблица квадратов двузначных чисел

десятки

единицы

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

100

121

144

169

196

225

256

289

324

361

2

400

441

484

529

576

625

676

729

784

841

3

900

961

1024

1089

1156

1225

1296

1369

1444

1521

4

1600

1681

1764

1849

1936

2025

2116

2209

2304

2401

5

2500

2601

2704

2809

2916

3025

3136

3249

3364

3481

6

3600

3721

3844

3969

4096

4225

4356

4489

4624

4761

7

4900

5041

5184

5329

5476

5625

5776

5929

6084

6241

8

6400

6561

6724

6889

7056

7225

7396

7569

7744

7921

9

8100

8281

8464

8649

8836

9025

9216

9409

9604

9801

Формулы сокращенного умножения

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 =a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

a3 + b3 = (a+b)(a2 –ab + b2)

a3 – b3 = (a – b )(a2 + ab + b2)


Квадратное уравнение

ax2 + bx + c = 0, где a, b, chello_html_m7cb53dec.gifR, аhello_html_m88d8014.gif0, х – неизвестное

Дискриминант D = b2 - 4ac

  • Если D<0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

  • Если D=0, то уравнение имеет два равных корня равные hello_html_4e416a8e.gif

  • Если D>0, то уравнение имеет два различных корня: x­1­=hello_html_b042bd8.gif, x2=hello_html_2459f775.gif


Степень с натуральным показателем

hello_html_m455548e6.gif, где а – любое действительное число, n >1.

При n =1 считают по определению hello_html_6802de60.gif= а.

Для любых а и b и любых натуральных m и n:

1. hello_html_m2eba3d15.gif

  1. hello_html_m30e596c9.gif

  2. hello_html_be5fdb8.gif, если hello_html_1f7fe6ff.gif, n>m

  3. hello_html_20914569.gif

  4. hello_html_2fdfc153.gif, если hello_html_22e39df5.gif

  5. hello_html_69258464.gif

  6. hello_html_m72b9f5e3.gif

  7. hello_html_m11ea8dcc.gif

  8. если hello_html_166800da.gif

  9. если hello_html_m134bcce2.gif, то hello_html_m7a7f0465.gif

  10. еhello_html_511d6877.gifсли hello_html_3f7b1361.gif, тоhello_html_1bc27f57.gif

если hello_html_116160a1.gif, то hello_html_19f229d2.gif


Степень с нулевым показателем

hello_html_m2248d522.gif, 00 – не имеет смысла


Степень с отрицательным целым показателем

hello_html_m5ea14cae.gif, hello_html_m5053a47f.gif- не имеет смысла


Степень с рациональным показателем

hello_html_199e0ff9.gif, где m – целое, n – натуральное


Арифметический корень n-степени

Для любых а>0 и b>0 и любых натуральных m и n:

  1. hello_html_m50206979.gif

  2. hello_html_511ac3e5.gif

  3. hello_html_m764a70bc.gif, если hello_html_22e39df5.gif

  4. hello_html_m4d8325e3.gif

  5. hello_html_4997298d.gif

hello_html_511d6877.gif|a|, если n2 – чётное натуральное число

  1. hello_html_m53c31e34.gifn =

а, если n3 – нечётное натуральное число


Логарифм числа

Логарифмом числа с по основанию а (при а>0, hello_html_1f7fe6ff.gif) называется показатель степени в, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число с.

Т.е. если hello_html_m43611760.gif, то можно записать hello_html_433b2e34.gif

Основное логарифмическое тождество hello_html_5efc9367.gif

Основные свойства логарифмов (hello_html_m1b269ced.gif)

  1. Отрицательные числа и нуль не имеют логарифма

  2. hello_html_m20d3f88b.gif

  3. hello_html_6386d309.gif

  4. hello_html_m2258ddcc.gif

  5. hello_html_532e4aed.gif

  6. hello_html_46df5414.gif

  7. hello_html_3b68bd33.gif

  8. hello_html_25dcfdfa.gif

Формула перехода от логарифмов по одному основанию к логарифмам по другому основанию:

hello_html_m167e8cc2.gif


Тригонометрия

О

y

hello_html_mb8ea64f.gifпределение тригонометрических функций действительного числа

hello_html_258e6cd3.gifhello_html_5115be4c.gif

Sin x

hello_html_4366128d.gifОрдината точки hello_html_258e6cd3.gif, полученной при вращении точки А на hello_html_7c662469.gif радиан вокруг начала координат называется синусом числа hello_html_7c662469.gif.

Абсцисса точки hello_html_258e6cd3.gif, полученной при вращении точки А на hello_html_7c662469.gif радиан вокруг начала координат называется косинусом числа hello_html_7c662469.gif.

Тангенсом числа hello_html_7c662469.gifназывается отношение синуса этого числа к его косинусу. hello_html_m65ea2aaa.gif

Котангенсом числа hello_html_7c662469.gifназывается отношение косинуса этого числа к его синусу. hello_html_m2e48017b.gif

Значение тригонометрических функций в основных углах

00

300

450

600

900

1800

2700

3600

hello_html_32184cfc.gif

0

hello_html_m3b4cd65c.gif

hello_html_m3f7ec675.gif

hello_html_1d58aa35.gif

hello_html_738c4ab.gif

hello_html_m205b7917.gif

hello_html_m3c9f703c.gif

hello_html_m51d2f165.gif

Sin hello_html_7c662469.gif

0

hello_html_2b2ed72.gif

hello_html_ma8bd39f.gif

hello_html_73b84cef.gif

1

0

1

0

Cos hello_html_7c662469.gif

1

hello_html_73b84cef.gif

hello_html_ma8bd39f.gif

hello_html_2b2ed72.gif

0

1

0

1

Tg hello_html_7c662469.gif

0

hello_html_1afdea2c.gif

1

hello_html_2d077f92.gif

0

0

Chello_html_m26624d7.giftg hello_html_7c662469.gif

hello_html_2d077f92.gif

1

hello_html_1afdea2c.gif

0

0


Т

у

hello_html_2d077f92.gif

hello_html_m5b85ec04.gifригонометрический круг

Ось котангенсов

hello_html_124f5164.gif

hello_html_m7e3ceea.gif


1

-1

-hello_html_2d077f92.gif

hello_html_2d077f92.gif


hello_html_5d13578e.gif

hello_html_m667312a6.gif

hello_html_m48e2f1e2.gif

hello_html_124f5164.gif


hello_html_m274a4787.gif





Ось косинусов

hello_html_m274a4787.gif

hello_html_30bdd639.gif

hello_html_5d13578e.gif

hello_html_6b6dc23e.gif

х

hello_html_m48e2f1e2.gif

hello_html_6fd555f4.gif

-1


0

1


hello_html_30bdd639.gif



hello_html_6fd555f4.gif

hello_html_m7e3ceea.gif


hello_html_7f92bb26.gif


-1




Ось тангенсов

-hello_html_2d077f92.gif

Ось синусов


Список литературы


Основные источники:

Пехлецкий И.Д. Математика: учебник. – М.: Издательский центр «Академия», 2010.


Дополнительные источники:

Лисичкин В.Т., Соловейчик И. Л. Математика в задачах с решениями: учебное пособие. – Издательство «Лань», 2011.


  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Скачать материал
Скачать тест к этому уроку
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Скачать материал
Скачать тест к этому уроку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.