Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочая тетрадь по теме "Элементы комбинаторики" (10 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Рабочая тетрадь по теме "Элементы комбинаторики" (10 класс)

библиотека
материалов


Муниципальное образование Крыловский района село Шевченковское

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №4

имени Черкашина Евгения Валентиновича

села Шевченковского муниципального образования Крыловский район









РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по предмету «Алгебре и начала анализа»

на тему «Элементы комбинаторики»







Разработчик учитель математики

МБОУ СОШ №4 Лысенко В.И.


Настоящая рабочая тетрадь по предмету «Алгебра и начала анализа», тема «Элементы комбинаторики» Цель рабочей тетради – закрепление теоретических знаний по теме «Элементы комбинаторики» при изучении дисциплины «Алгебра и начала анализа», отработка практических навыков при решении задач по теме «Элементы комбинаторики», выработка личных качеств по организации самостоятельной работы при обучении в высшем учебном заведении.


Теория:

Пусть hello_html_m6371c5a7.gifи hello_html_m7094fc3d.gif– конечные не пересекающиеся множества (т.е. hello_html_5c76cda1.gifø), тогдаhello_html_m7216f6d3.gif


Примеры решения задач:

Задача 1

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?


Решение:

hello_html_m42b52c14.gifhello_html_m262ae99a.gif

По правилу суммы получаем

hello_html_m1b4b2de4.gif


Задача 2

Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи?


Решение:

Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего

6+10=16 вариантов.


Теория:


Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.


Примеры решения задач:

Задача 1

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?


Решение:

Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.


Задача 2

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение:

В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.


Теория:


Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулойhello_html_m22cf2fbd.gif, где X и Y - множества, а hello_html_52fc894e.gif - область пересечения.


Примеры решения задач:

Задача 1

20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего?

Ответ: 10+20-5=25 человек.


Задача 2

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий.


hello_html_413aeca5.png

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.


Теория


Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов.


Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

hello_html_6e63280c.gif

n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n

n!=1*2*3*...*n 0!=1

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?


Решение:

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.


hello_html_74292363.gif

Задача 2

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?


Решение:

Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:

hello_html_m5045be6c.gif

Возможно 360 вариантов.


Теория:

В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn.

Pn=n!

Действительно при n=m:

hello_html_m18dde797.gif

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?


Решение:

  1. Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P6=6!=720

  2. 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P5=5!=120.

P6-P5=720-120=600


Задача 2

Квартет

Проказница Мартышка

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры

И споры,

Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?


Решение

Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно

P4=4!=24 варианта перестановок.


Теория

Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения.

Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m.

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается hello_html_7e72a178.gif.

hello_html_1f977db9.gif.

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.


Решение:

Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно hello_html_2cb82a66.gifвариантов.

Задача 2

У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.


Решение:

Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_6c4108c3.gif способами. Второй человек может выбрать 2 книги hello_html_1afe2fea.gif. Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.


Задача 3

При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?


Решение:

Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости.

Следовательно, возможно hello_html_m27a5e71e.gif.


Теория

Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула hello_html_m6afa0279.gif, а для сочетаний hello_html_44f141a.gif.


Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?


Решение:

Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно hello_html_367d7637.gif.


Задача 2

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных?


Решение:

Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пироженных по семь

hello_html_m6526a4f4.gif.

Задача 3

Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет?


Решение:

Порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть

hello_html_m61ae1c80.gifвариантов.


Теория

hello_html_m7f993f4a.gifhello_html_m460c7bdf.gif,

где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nr-количество одинаковых элементов.


Примеры решения задач:

Задача 1

Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение:

Всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно hello_html_aa2cdb9.gif.


Номера заданий

Условия задач и ход их решения

Оценка преподавателя

Задача №1

Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?



Решение










Задача №2

Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев?


Решение










Задача №3

На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?



Решение










Задача №4

Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?



Решение











Задача №5

Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?



Решение











Задача №6

Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре «Верю   не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт).



Решение











Задача №7

В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода.



Решение











Задача №8

На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?


Решение











Задача №9

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?


Решение











Задача №9

Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?



Решение












Задача №10

В книжный магазин поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек?



Решение












Итоговый вывод преподавателя





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 09.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров347
Номер материала ДБ-246600
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх