Рабочая тетрадь по теме "Элементы комбинаторики" (10 класс)

Муниципальное образование Крыловский района село Шевченковское

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №4

имени Черкашина Евгения Валентиновича

села Шевченковского муниципального образования Крыловский район

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по предмету «Алгебре и начала анализа»

на тему  «Элементы комбинаторики»

Разработчик учитель математики

МБОУ СОШ №4 Лысенко  В.И.

Настоящая рабочая тетрадь по предмету «Алгебра и  начала анализа», тема «Элементы комбинаторики» Цель рабочей тетради – закрепление теоретических знаний по теме «Элементы комбинаторики» при изучении дисциплины «Алгебра и  начала анализа», отработка практических навыков при решении задач по теме «Элементы комбинаторики», выработка личных качеств по организации самостоятельной работы при обучении в высшем учебном заведении.

ТЕМА 1:ПРАВИЛО СУММЫ

Теория:                                                                              

Пусть и – конечные не пересекающиеся множества (т.е. ø), тогда

Примеры решения задач:

Задача 1

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение:

По правилу суммы получаем

Задача 2

Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи?

Решение:

Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего

6+10=16 вариантов.

ТЕМА 2: ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Теория:

Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Примеры решения задач:

Задача 1

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение:

 Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.

Задача 2

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение:

В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.

ТЕМА 3: ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ МНОЖЕСТВА

Теория:

Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой, где X и Y - множества, а  - область пересечения.

Примеры решения задач:

Задача 1

20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего?

Ответ: 10+20-5=25 человек.

Задача 2

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

 Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким  владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

ТЕМА 4: РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ.

Теория

Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n

n!=1*2*3*...*n      0!=1

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Решение:

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Задача 2

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение:

Два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:

 

Возможно 360 вариантов.

ТЕМА 5.ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Теория:

В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m  называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают P_n.

P_n=n!

Действительно при n=m:

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

1)   Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P₆=6!=720

2)   0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P₅=5!=120.

P₆-P₅=720-120=600

Задача 2

Квартет

Проказница Мартышка

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры

И споры,

Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

Решение

Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно

P₄=4!=24 варианта перестановок.

ТЕМА 6.СОЧИТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Теория

Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения.

Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m.

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается .

.

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

Решение:

Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно вариантов.

Задача 2

У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.

Решение:

Так как надо  порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2_ух книг - сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги  способами. Второй человек может выбрать 2 книги . Значит всего по правилу произведения возможно 21*36=756 вариантов.

Задача 3

При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

Решение:

Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвертый игрок забирает оставшиеся кости.

Следовательно, возможно .

ТЕМА 7 РАЗМЕЩЕНИЯ ИСОЧЕТАНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Теория

Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется формула , а для сочетаний .

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение:

Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно .

Задача 2

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных?

Решение:

Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех видов пироженных по семь –

.

Задача 3

Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет?

Решение:

Порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть

 вариантов.

ТЕМА 8 ПЕРЕСТАНОВКИ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Теория

,

где n-количество всех элементов, n₁,n₂,…,n_r-количество одинаковых элементов.

Примеры решения задач:

Задача 1

Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»?

Решение:

Всего букв 6. Из них одинаковы n₁«а»=3, n₂«н»=2, n₃«с»=1. Следовательно, число различных перестановок равно .

Задачи для самостоятельного решения

Номера заданий	Условия задач и ход их решения	Оценка преподавателя
Задача №1	Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи»?
Решение
Задача №2	Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев?
Решение
Задача №3	На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры?
Решение
Задача №4	Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую?
Решение
Задача №5	Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек?
Решение
Задача №6	Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре                 «Верю ‑ не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт).
Решение
Задача №7	В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода.
Решение
Задача №8	На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз?
Решение
Задача №9	Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»?
Решение
Задача №9	Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой?
Решение
Задача №10	В книжный магазин  поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек?
Решение
Итоговый вывод преподавателя