Рабочая тетрадь по теме "Интеграл"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МАТЕМАТИКА

Рабочая тетрадь

для 1 курса

по теме: Интеграл

Разработчик: Фетисова А. А.

Семилуки

2016

Неопределённый интеграл.

Определение.  Неопределённый интегра́л для функции f ( x ) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке (a , b) и F(x) первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a < x < b, то

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C ,a < x < b ,где С — произвольная постоянная.

Сразу разберёмся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

f(x)– подынтегральная функция.

dx– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок.

f(x)dx– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

F(x)– первообразная функция.

F(x) + C – множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа C.

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию F(x) + C, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Таблица основных интегралов

1. .                                                       2. .

3. .                             4..

5. .                                           6. .

7. .                                     8. .

9. .                                           10. .

11. .                                  12. .

13. .                                14. .

15..                        16..

 Свойства неопределенного интеграла:

, где  – постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

 – интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.

Примеры.

Вычислить интеграл

1.   ;                             

2.   .

3.  

4.  

5.   =

Реши сам. Вычислить:

1.   ______________________________________________________________________

2.   _____________________________________________________________________

3.   _________________________________________________________________

4.   ____________________________________________________________

5.   _______________________________________________________________

6.   ________________________________________________________________

7.   ___________________________________________________________________

8.   ___________________________________________________________________________

9.   ______________________________________________________________________

10. __________________________________________________________________

11. _________________________________________________________________________

12. _________________________________________________________________________

13. ________________________________________________________________

14. _______________________________________________________________

Заполнить пропуски

Определенный интеграл

Определение:

Пусть дана функция f(x) на отрезке [a;b]. Площадь плоской  фигуры, расположенной ниже графика функции f(x) и ограниченного прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b]:

где     – нижний предел интегрирования;   – верхний предел интегрирования;

 – подынтегральная функция;     – подынтегральное выражение;

 – переменная интегрирования;       – отрезок интегрирования.

Свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

,   где   .

3.      При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель .

4.   Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке  функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть

.

5.   .

6.   Если , то .

7.   Если функция  на отрезке , то  на этом отрезке.

8.   Если на отрезке  , то .

 

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть функция  интегрируема на . Если функция  непрерывна на отрезке  и  – какая-либо ее первообразная на , то

      .              

Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.

Пример. Вычислить интеграл

1)

2)

 

3)

4)

5)

 

Реши сам. Вычислить:

1)

 

2)

3)

4)

5)

6)

 

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Геометрический смысл определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры

                              

Пример1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:  и  .

Решение: Найдем координаты точек пересечения линий:           

;      ;    .

;

Реши сам. 1.Вычислите площадь заштрихованной фигуры

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2)

 

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

f(x)=x+5;  g(x)=x²-4x+5;  х=-3, х=3; у=0.

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

4)  Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 – х², у =х² - 2х

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

5)  Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x²-2x+3, y=3x-1

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

6) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=3x²,   y=,   х=2,   х=0,   у=0  

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

7) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = , x=1,y=x-1  

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________