Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.
Подать заявку на курс
- Математика
Рабочая тетрадь по теме "Интеграл"
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ
«СЕМИЛУКСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»
МАТЕМАТИКА
Рабочая тетрадь
для 1 курса
по теме: Интеграл
Разработчик: Фетисова А. А.
Семилуки
2016
Неопределённый интеграл.
Определение. Неопределённый интегра́л для функции f ( x ) — это совокупность всех первообразных данной функции.
Если функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке (a , b) и F(x) первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a < x < b, то
∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C ,a < x < b ,где С — произвольная постоянная.
Сразу разберёмся в обозначениях и терминах:
– значок интеграла.
f(x)– подынтегральная функция.
dx– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок.
f(x)dx– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.
F(x)– первообразная функция.
F(x) + C – множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа C.
Решить интеграл – это значит найти определенную функцию F(x) + C, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Таблица основных интегралов
1. . 2. .
3. . 4..
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15.. 16..
Свойства неопределенного интеграла:
, где 
– постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
– интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.
Примеры.
Вычислить интеграл
;
.
=
Реши сам. Вычислить:
______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_________________________________________________________________
____________________________________________________________
_______________________________________________________________
________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
__________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
________________________________________________________________
_______________________________________________________________
Заполнить пропуски
Определенный интеграл
Определение:
Пусть дана функция f(x) на отрезке [a;b]. Площадь плоской фигуры, расположенной ниже графика функции f(x) и ограниченного прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b]:
где – нижний предел интегрирования; – верхний предел интегрирования;
– подынтегральная функция; – подынтегральное выражение;
– переменная интегрирования; – отрезок интегрирования.
Свойства определенного интеграла:
1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:
.
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
, где .
При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель .
Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть
.
.
Если , то .
Если функция на отрезке , то на этом отрезке.
Если на отрезке , то .
Формула Ньютона–Лейбница
Пусть функция интегрируема на . Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на , то
.
Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.
Пример. Вычислить интеграл
1)
2)
3)
4)
5)
Реши сам. Вычислить:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Геометрический смысл определенного интеграла.
Вычисление площади плоской фигуры
Пример1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .
Решение: Найдем координаты точек пересечения линий:
;.
;
Реши сам. 1.Вычислите площадь заштрихованной фигуры
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2)
___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
f(x)=x+5; g(x)=x2-4x+5; х=-3, х=3; у=0.
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 – х2, у =х2 - 2х
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
5) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2-2x+3, y=3x-1
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
6) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=3x2, y=, х=2, х=0, у=0
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
7) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = , x=1,y=x-1
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
| Автор | |
|---|---|
| Дата добавления | 24.10.2016 |
| Раздел | Математика |
| Подраздел | Другие методич. материалы |
| Просмотров | 85 |
| Номер материала | ДБ-286652 |
Просмотров: 45
Комментариев: 0
Просмотров: 62
Комментариев: 0
Просмотров: 266
Комментариев: 0
Просмотров: 83
Комментариев: 0
Просмотров: 294
Комментариев: 0
Просмотров: 50
Комментариев: 0