Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочая тетрадь по теме "Интеграл"

Рабочая тетрадь по теме "Интеграл"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

















МАТЕМАТИКА



Рабочая тетрадь

для 1 курса

по теме: Интеграл





Разработчик: Фетисова А. А.











Семилуки

2016



Неопределённый интеграл.

Определение. Неопределённый интегра́л для функции f ( x ) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке (a , b) и F(x) первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a < x < b, то

f ( x ) d x = F ( x ) + C ,a < x < b ,где С — произвольная постоянная.

Сразу разберёмся в обозначениях и терминах:

hello_html_m2c6ba306.gifзначок интеграла.

f(x)– подынтегральная функция.

dx– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок.

f(x)dx– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

F(x)– первообразная функция.

F(x) + C – множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа C.

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию F(x) + C, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.


Таблица основных интегралов


1. . 2. .

3. . 4..

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15.. 16..



Свойства неопределенного интеграла:

hello_html_7163422e.gif, где hello_html_m1a09d7aa.gif – постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

hello_html_mf0aab32.gif – интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.


Примеры.

Вычислить интеграл

  1. ;

  2. .

  3. =

Реши сам. Вычислить:

  1. ______________________________________________________________________



  1. _____________________________________________________________________



  1. _________________________________________________________________



  1. ____________________________________________________________



  1. _______________________________________________________________



  1. ________________________________________________________________



  1. ___________________________________________________________________



  1. ___________________________________________________________________________



  1. ______________________________________________________________________



  1. __________________________________________________________________



  1. _________________________________________________________________________



  1. _________________________________________________________________________



  1. ________________________________________________________________



  1. _______________________________________________________________



Заполнить пропуски

hello_html_310910fe.gif

hello_html_2e75f3df.gif

hello_html_m232871f9.gif

hello_html_52098a8.gif

hello_html_m66b079e.gif

hello_html_m66b079e.gif

hello_html_m2aacd89c.gif

Определенный интеграл

Определение:

Пусть дана функция f(x) на отрезке [a;b]. Площадь плоской фигуры, расположенной ниже графика функции f(x) и ограниченного прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b]:





где – нижний предел интегрирования; – верхний предел интегрирования;

подынтегральная функция; – подынтегральное выражение;

переменная интегрирования; – отрезок интегрирования.


Свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

  1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

, где .

  1. При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель .


  1. Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть

.

  1. .

  2. Если , то .

  3. Если функция на отрезке , то на этом отрезке.

  4. Если на отрезке , то .

Формула Ньютона–Лейбница


Пусть функция интегрируема на . Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на , то

.

Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.

Пример. Вычислить интеграл

1)

hello_html_m2f8527bb.gif

2)

3)

hello_html_479a49c9.gif

4)

hello_html_5e09ae78.jpghello_html_31965230.jpghello_html_m463ce86c.jpg

5)

hello_html_43a92f21.jpghello_html_m1f6a46b7.jpghello_html_m2bc221a1.jpg



Реши сам. Вычислить:

1)



2)



3)



4)



5)



6)

7)



8)



9)



10)



11)



12)




Геометрический смысл определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры


hello_html_1b98e4f5.jpghello_html_1b98e4f5.jpghello_html_1b98e4f5.jpg


Пример1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .

Решение: Найдем координаты точек пересечения линий:

;.


;


Реши сам. 1.Вычислите площадь заштрихованной фигуры

hello_html_35ab160d.png

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2)

hello_html_228e2ae2.png

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

f(x)=x+5; g(x)=x2-4x+5; х=-3, х=3; у=0.

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________



4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 – х2, у =х2 - 2х

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________



5) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x2-2x+3, y=3x-1



________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________



6) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=3x2, y=, х=2, х=0, у=0

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________



7) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = , x=1,y=x-1

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________





Автор
Дата добавления 24.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров12
Номер материала ДБ-286652
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх