Рабочая тетрадь по теме "Интеграл"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«СЕМИЛУКСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МАТЕМАТИКА

Рабочая тетрадь

для 1 курса

по теме: Интеграл

Разработчик: Фетисова А. А.

Семилуки

2016

Неопределённый интеграл.

Определение. Неопределённый интегра́л для функции f ( x ) — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция f ( x ) определена и непрерывна на промежутке (a , b) и F(x) первообразная, то есть F'(x)=f(x) при a < x < b, то

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C ,a < x < b ,где С — произвольная постоянная.

Сразу разберёмся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

f(x)– подынтегральная функция.

dx– значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок.

f(x)dx– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

F(x)– первообразная функция.

F(x) + C – множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа C.

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию F(x) + C, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Таблица основных интегралов

1. . 2. .

3. . 4..

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15.. 16..

Свойства неопределенного интеграла:

, где  – постоянный множитель можно (и нужно) вынести за знак интеграла.

 – интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме двух интегралов от каждой функции в отдельности. Данное свойство справедливо для любого количества слагаемых.

Примеры.

Вычислить интеграл

1. ;

2. .

5. =

Реши сам. Вычислить:

1. ______________________________________________________________________

2. _____________________________________________________________________

3. _________________________________________________________________

4. ____________________________________________________________

5. _______________________________________________________________

6. ________________________________________________________________

7. ___________________________________________________________________

8. ___________________________________________________________________________

9. ______________________________________________________________________

10. __________________________________________________________________

11. _________________________________________________________________________

12. _________________________________________________________________________

13. ________________________________________________________________

14. _______________________________________________________________

Заполнить пропуски

Определенный интеграл

Определение:

Пусть дана функция f(x) на отрезке [a;b]. Площадь плоской фигуры, расположенной ниже графика функции f(x) и ограниченного прямыми x=a, x=b и осью абсцисс, называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку [a;b]:

где – нижний предел интегрирования; – верхний предел интегрирования;

– подынтегральная функция; – подынтегральное выражение;

– переменная интегрирования; – отрезок интегрирования.

Свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

, где .

2. При интегрировании сложной функции перед интегралом выносится множитель .

2. Интеграл от суммы (разности) двух или нескольких интегрируемых на отрезке функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций, то есть

.

2. .

3. Если , то .

4. Если функция на отрезке , то на этом отрезке.

5. Если на отрезке , то .

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть функция интегрируема на . Если функция непрерывна на отрезке и – какая-либо ее первообразная на , то

.

Данная формула позволяет вычислить определенный интеграл.

Пример. Вычислить интеграл

1)

2)

₃₎

4)

5)

Реши сам. Вычислить:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Геометрический смысл определенного интеграла.

Вычисление площади плоской фигуры

Пример1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .

Решение: Найдем координаты точек пересечения линий:

;.

;

Реши сам. 1.Вычислите площадь заштрихованной фигуры

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2)

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3). Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

f(x)=x+5; g(x)=x²-4x+5; х=-3, х=3; у=0.

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

4) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = 4 – х², у =х² - 2х

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

5) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x²-2x+3, y=3x-1

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

6) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=3x², y=, х=2, х=0, у=0

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

7) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = , x=1,y=x-1

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________

________________________________