Рабочая тетрадь по теме "Первообразная"

Рабочая тетрадь по теме

«Первообразная и интеграл»

Тема первообразная и интеграл - одна из основных базовых тем, изучаемых в 11 классе. Как и любая другая тема она требует осмысления и хорошего закрепления. Данная рабочая тетрадь предназначена для отработки навыков вычисления первообразной.

По данной теме формул много. Понятно, что запомнить большое количество формул не просто, тем более, что надо не только знать их, но и уметь выбирать самую полезную формулу в конкретной ситуации. Конечно для этого самое реальное средство – практика, решение достаточно большего количества заданий.

Данное пособие дает возможность отработать каждую формулу по отдельности. В данном пособии также даны решения на 10 заданий повышенной сложности взятые из сборников тестов 2009-2011 годов. Для проверки уровня усвоенного материала в конце сборника даны тесты на соответствия.

Пособие можно использовать в качестве дополнительного материала на уроках, в качестве домашней работы, а также для самостоятельной работы дома.

Содержание рабочей тетради:

1. Теоретический материал по данной теме (правила, формулы)

2. Задания на отработку для каждой формулы уровня А

3. Задания на отработку уровня В

4. Разбор сложных заданий уровня С из тестников по подготовке к ЕНТ

5. Тесты на соответствие, для более прочного усвоения материала

6. Ответы для самопроверки.

Первообразная функции и интеграл

Операция нахождения функции по их производным, называется интегрированием.

Определение: Функция F(x), заданная на отрезке , называется первообразной для функции f (х), заданной на том же отрезке, если выполняется условие: F¹(x) = f (х).

Множество всех первообразных F(x) +C для функции f (х) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается:

Чтобы найти неопреленный интеграл (то есть множество первообразных для подинтегральной функции), достаточно его свести к табличным. Это часто удаётся путём преобразования подинтегрального выражения и применения основных правил интегрирования:

1) =

2) = , где - постоянная

3) = , где и b – постоянные,

Для нахождения первообразных используется следующая таблица:

Функция

Первообразная

Функция

Первообразная

f (x) = 1

F(x) = х +C

f (х) =

F(x) = +C

f (x) =

F(x) = х +C

f (х) =

F(x) = +C

f (х) = xⁿ

F(x) = +C

f (х) = sin x

F(x) =-cos x +C

f (х) =

F(x) = ln x+C

f (х) = cos x

F(x) = sin x +C

f (х) =

F(x) = - +C

f (х) =

F(x) = -ctg x +C

f (х) =

F(x) =+C

f (х) =

F(x) = tg x +C

f (х) =

F(x) = +C

f (х) = tg x

F(x) = =+C

f (х) =

F(x) = +C

f (х) = сtg x

F(x) = =+C

f (х) =

F(x) = x +C

f (х) =

F(x) = +C

f (х) =

F(x) = +C

f (х) =

F(x) = +C

f (х) =

F(x) = +C

Используя формулы первообразных, заполните таблицы:

Уровень А

f (х) = xⁿ F(x) = +C

f (х)

X⁵

X⁸

2X²⁰

⁸

5x⁴

3x¹⁴

14x²⁵

F(x)

+C

f (х) = F(x) = ln x+C

f (х)

3/х

F(x)

3lnx+C

f (х) = F(x) = - +C

f (х)

F(x)

- +C

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

-+С

-+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+С

+С

f (х) = F(x) = x +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+C

+C

f (х) = sin x F(x) =-cos x +C

f (х)

3sin x

0.5sin x

sin

8sin

5sin3 x

125sin

F(x)

-3 cos x +C

- 3cosх/3+C

f (х) = cos x F(x) = sin x +C

f (х)

cos 3x

2cos 5x

cos

cos 20x

cos

Cos50 x

F(x)

sin3 x +C

sin ^+C

f (х) = F(x) = -ctg x +C

f (х)

F(x)

-1/5 ctg 5x +C

f (х) = F(x) = tg x +C

f (х)

F(x)

1/5 tg 5x +C

f (х) = tg x F(x) = +C

f (х)

3

F(x)

+C

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

х/5 +C

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+C

Используя второе и третье правила интегрирования найдите первообразные следующих функции:

Уровень В

f (х) = xⁿ F(x) = +C

f (х)

(2х+1)⁵

(4х-3)⁴

(х-3)⁵

(8-4х)⁶

=

F(x)

+C

f (х) = F(x) = ln x+C

f (х)

F(x)

+C

f (х) = F(x) = - +C

f (х)

F(x)

-+C

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = F(x) = x +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

* *+С

f (х) = F(x) = +C

f (х)

F(x)

+С

f (х) = sin x F(x) =-cos x +C

f (х)

3sin (3x+2)

sin 4x

sin (4-x)

sin (3x-4)

6sin

125sin

F(x)

- cos(3x +2)+C

f (х) = cos x F(x) = sin x +C

f (х)

3 cos (3x+2)

5 cos 4x

cos (4-x)

cos ( x-4)

cos 8x

cos 0.5x

F(x)

sin (3x +2) +C

f (х) = F(x) = -ctg x +C

f (х)

F(x)

- ctg 5x +C

f (х) = F(x) = tg x +C

f (х)

F(x)

tg 5x +C

Уровень С

Как было отмечено ранее, чтобы найти неопреленный интеграл (то есть множество первообразных для подинтегральной функции), достаточно его свести к табличным. Это часто удаётся путём преобразования подинтегрального выражения.

Приведём примеры решении заданий из тесников 2009-2011г по теме «Первообразная и интеграл» :

1) dx = tg x –x + C

2) dx = + = +C

3) dx = - = +C

4) dx = dx = =

= - - +C = - - +C

5) dx = dx = + C

6) dx = dx = dx= dx=

= +C

7) dx = = dx - dx + dx =

= +C

8) dx = = dx + dx + dx =

= +C

9) = dx - dx - dx = dx - - dx =

= - x - ( ) + C = - x + + C

10) = = = x+ + +C

Для отработки навыков вычисления первообразных предлогаются тесты на соответствие.

Найдите первообразные функций и из предложенных ответов выберите верный ответ

ВАРИАНТ 1

f (х)

F(x)

1)

A)

2)

В) 2* -

3)

С)

4) +

Д)

5)

Е) + С

ВАРИАНТ 2

f (х)

F(x)

1)

A) 3 +

2)

В)

3)

С)

4) +

Д)

5)

Е)

ВАРИАНТ 3

f (х)

F(x)

1)

A)

2)

В)

3)

С)

4)

Д)

5)

Е)

ВАРИАНТ 4

f (х)

F(x)

1)

A)

2)

В)

3)

С) + 4х² +С

4) +8х

Д)

5)

Е)

ВАРИАНТ 5

f (х)

F(x)

1)

A)

2)

В)

3)

С)

4)

Д)

5)

Е)

1

2

3

4

5

Вариант 1

C

A

E

B

D

Вариант 2

B

E

D

A

C

Вариант 3

D

C

B

E

A

Вариант 4

E

D

A

C

B

Вариант 5

B

E

D

A

C