281838
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыРабочая тетрадь по теме "Первообразная"

Рабочая тетрадь по теме "Первообразная"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Рабочая тетрадь по теме

«Первообразная и интеграл»


Тема первообразная и интеграл - одна из основных базовых тем, изучаемых в 11 классе. Как и любая другая тема она требует осмысления и хорошего закрепления. Данная рабочая тетрадь предназначена для отработки навыков вычисления первообразной.

По данной теме формул много. Понятно, что запомнить большое количество формул не просто, тем более, что надо не только знать их, но и уметь выбирать самую полезную формулу в конкретной ситуации. Конечно для этого самое реальное средство – практика, решение достаточно большего количества заданий.

Данное пособие дает возможность отработать каждую формулу по отдельности. В данном пособии также даны решения на 10 заданий повышенной сложности взятые из сборников тестов 2009-2011 годов. Для проверки уровня усвоенного материала в конце сборника даны тесты на соответствия.

Пособие можно использовать в качестве дополнительного материала на уроках, в качестве домашней работы, а также для самостоятельной работы дома.





Содержание рабочей тетради:

  1. Теоретический материал по данной теме (правила, формулы)

  2. Задания на отработку для каждой формулы уровня А

  3. Задания на отработку уровня В

  4. Разбор сложных заданий уровня С из тестников по подготовке к ЕНТ

  5. Тесты на соответствие, для более прочного усвоения материала

  6. Ответы для самопроверки.






















Первообразная функции и интеграл


Операция нахождения функции по их производным, называется интегрированием.

Определение: Функция F(x), заданная на отрезке hello_html_2caaec5e.gif, называется первообразной для функции f (х), заданной на том же отрезке, если выполняется условие: F1(x) = f (х).

Множество всех первообразных F(x) +C для функции f (х) на некотором промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается:


hello_html_m4792970b.gif

Чтобы найти неопреленный интеграл (то есть множество первообразных для подинтегральной функции), достаточно его свести к табличным. Это часто удаётся путём преобразования подинтегрального выражения и применения основных правил интегрирования:

1) hello_html_m58eeb148.gif = hello_html_830cbad.gifhello_html_m78531b32.gifhello_html_537e7644.gif

2) hello_html_221a6675.gif = hello_html_m12fc8350.gifhello_html_76cc5456.gif , где hello_html_m5faf1d98.gif - постоянная

3) hello_html_693372b8.gif = hello_html_m74776dd7.gif, где hello_html_m5faf1d98.gifи bпостоянные, hello_html_m1317c93.gif

Для нахождения первообразных используется следующая таблица:


Функция

Первообразная


Функция

Первообразная

f (x) = 1

F(x) = х +C


f (х) = hello_html_3875955a.gif

F(x) =hello_html_3875955a.gif +C

f (x) = hello_html_m5faf1d98.gif

F(x) = hello_html_m5faf1d98.gifх +C


f (х) = hello_html_m550365da.gif

F(x) = hello_html_m1a7bb15c.gif+C

f (х) = xn


F(x) = hello_html_37817fa3.gif+C


f (х) = sin x

F(x) =-cos x +C


f (х) =hello_html_m311eb8c3.gif

F(x) = ln x+C


f (х) = cos x


F(x) = sin x +C

f (х) =hello_html_m4f4426ff.gif

F(x) = - hello_html_m311eb8c3.gif+C


f (х) =hello_html_2b067d37.gif

F(x) = -ctg x +C

f (х) =hello_html_77a7203d.gif

F(x) =hello_html_m4d43992a.gif+C


f (х) =hello_html_m5a06e08.gif

F(x) = tg x +C

f (х) =hello_html_6c92ec61.gif

F(x) = hello_html_1d97c508.gif+C


f (х) = tg x


F(x) = =hello_html_m724fd411.gif+C

f (х) = hello_html_m247fcf1a.gif


F(x) = hello_html_mf253fb1.gif+C


f (х) = сtg x


F(x) = =hello_html_m303cf517.gif+C

f (х) = hello_html_m7144a2f6.gif


F(x) = hello_html_m6991b28a.gifx hello_html_m7144a2f6.gif+C


f (х) =hello_html_m23f3b4a5.gif

F(x) = hello_html_m305f29d1.gif+C

f (х) =hello_html_3d8b9a8.gif


F(x) =hello_html_m816b1ac.gif hello_html_3d8b9a8.gif+C


f (х) = hello_html_m710fdfee.gif


F(x) = hello_html_2315696f.gif+C

f (х) =hello_html_meeb8e37.gif


F(x) = hello_html_139ebfd8.gif+C




Используя формулы первообразных, заполните таблицы:

Уровень А

f (х) = xn F(x) = hello_html_37817fa3.gif+C

f (х)

X5

X8

2X20

8hello_html_m4f4227c.gif

5x4

hello_html_314f77a7.gif

3x14

14x25

F(x)

hello_html_m28fdb1ad.gif+C








f (х) = hello_html_m311eb8c3.gif F(x) = ln x+C

f (х)

3/х

hello_html_51a926d5.gif

hello_html_706e4579.gif

hello_html_m5d3c59a8.gif

hello_html_3b8b0d9d.gif

hello_html_75079e27.gif

hello_html_m7b834a00.gif

hello_html_23599e6.gif

F(x)

3lnx+C








f (х) = hello_html_m4f4426ff.gif F(x) = - hello_html_m311eb8c3.gif+C

f (х)

hello_html_m5fe42b6b.gif

hello_html_5d8718e5.gif

hello_html_m19c8690b.gif

hello_html_m7c6b3ec7.gif

hello_html_6f15e2c3.gif

hello_html_60b1451d.gif

F(x)

- hello_html_m71b0be77.gif+C





f (х) = hello_html_77a7203d.gif F(x) = hello_html_m4d43992a.gif+C

f (х)

hello_html_m6434f102.gif

hello_html_m1c59366d.gif

hello_html_m3d35bb1c.gif

hello_html_77c54cb0.gif

hello_html_m4ef88e8e.gif

hello_html_m1b237df2.gif

hello_html_m3b25bbb9.gif

hello_html_m3a7ed722.gif

hello_html_m98c4b59.gif

F(x)

-hello_html_4ade08f7.gif





-hello_html_m11b43c53.gif




f (х) = hello_html_6c92ec61.gif F(x) = hello_html_1d97c508.gif+C

f (х)

hello_html_65ccca98.gif

hello_html_1907c412.gif

hello_html_mfe6d5dd.gif

hello_html_m1f9a1065.gif

hello_html_5cf5fae8.gif

hello_html_49f95ea9.gif

F(x)

hello_html_m31a5f2e.gif






f (х) = hello_html_m247fcf1a.gif F(x) = hello_html_mf253fb1.gif+C

f (х)

hello_html_58755abf.gif

hello_html_1d97c508.gif

hello_html_744df3e4.gif

hello_html_m6c852a78.gif

hello_html_7495a285.gif

hello_html_m28c43a78.gif

F(x)

hello_html_7719603a.gif



hello_html_138c39.gif



f (х) = hello_html_m7144a2f6.gif F(x) = hello_html_m6991b28a.gifx hello_html_m7144a2f6.gif+C

f (х)

hello_html_m2773a981.gif

hello_html_m5acc0216.gif

hello_html_6d08464e.gif

hello_html_m37e584fe.gif

hello_html_m1ecc9c9.gif

hello_html_638a12fe.gif

F(x)

hello_html_m620dcf5.gifhello_html_m2773a981.gif






f (х) = hello_html_3d8b9a8.gif F(x) = hello_html_m816b1ac.gif hello_html_3d8b9a8.gif+C

f (х)

hello_html_m72c389b8.gif

hello_html_m65f09e62.gif

hello_html_4b8ba9d5.gif

hello_html_m17b14bca.gif

hello_html_5270aaa1.gif

hello_html_m402d3ae8.gif

F(x)

hello_html_m7927611e.gifhello_html_m72c389b8.gif







f (х) = hello_html_m550365da.gif F(x) = hello_html_m1a7bb15c.gif+C

f (х)

hello_html_m28fa9110.gif

hello_html_m3a087d82.gif

hello_html_m45220d1.gif

hello_html_63a10d3f.gif

hello_html_5535509e.gif

hello_html_m6283e6af.gif

F(x)

hello_html_m2447f25f.gif






f (х) = hello_html_3875955a.gif F(x) =hello_html_3875955a.gif +C

f (х)

hello_html_6ebb2f9a.gif

hello_html_m11cd5729.gif

hello_html_52d1364b.gif

hello_html_4eb079b.gif

hello_html_m4c37cd7d.gif

hello_html_m583a70be.gif

F(x)

hello_html_6ebb2f9a.gif+C


hello_html_6bfeda60.gif+C




f (х) = sin x F(x) =-cos x +C

f (х)

3sin x

0.5sin x

sinhello_html_2860b879.gif

8sin hello_html_45493e91.gif

5sin3 x

125sin hello_html_m70465f75.gif

F(x)

-3 cos x +C


- 3cosх/3+C




f (х) = cos x F(x) = sin x +C

f (х)

cos 3x

2cos 5x

hello_html_m3d4efe4.gifcos hello_html_45493e91.gif

cos 20x

coshello_html_421d4e85.gif

Cos50 x

F(x)

hello_html_m4ea30934.gifsin3 x +C


sinhello_html_45493e91.gif +C




f (х) = hello_html_2b067d37.gif F(x) = -ctg x +C

f (х)

hello_html_m2e67652b.gif

hello_html_m3e15fa9c.gif

hello_html_m3f4325b6.gif

hello_html_27ecec7e.gif

hello_html_m1aaa9c43.gif

hello_html_2dc036e6.gif

F(x)

-1/5 ctg 5x +C






f (х) = hello_html_m5a06e08.gif F(x) = tg x +C

f (х)

hello_html_m1507f3ea.gif

hello_html_d2131de.gif

hello_html_m3830b31b.gif

hello_html_61371639.gif

hello_html_m4ffb1c49.gif

hello_html_m21b7be0.gif

F(x)

1/5 tg 5x +C






f (х) = tg x F(x) = hello_html_m724fd411.gif+C

f (х)

hello_html_m5df7e543.gif

hello_html_2d6d1f9b.gif

hello_html_75535ae.gif

hello_html_m5f8aed16.gif

hello_html_m5dbc3799.gif

3hello_html_m49976e4f.gif

F(x)

hello_html_m19983a88.gif+C






f (х) = hello_html_m23f3b4a5.gif F(x) = hello_html_m305f29d1.gif+C

f (х)

hello_html_3a6959d5.gif

hello_html_446728d0.gif

hello_html_m15a62148.gif

hello_html_11e08e45.gif

hello_html_5f163d09.gif

hello_html_m7e1b3685.gif

F(x)

hello_html_m653f70a5.gifх/5 +C






f (х) = hello_html_m710fdfee.gif F(x) = hello_html_2315696f.gif+C

f (х)

hello_html_20b6c4f0.gif

hello_html_m39d33803.gif

hello_html_4074b7a.gif

hello_html_4822be79.gif

hello_html_307a276b.gif

hello_html_m277bb342.gif

F(x)

hello_html_m3af3737a.gif+C








Используя второе и третье правила интегрирования найдите первообразные следующих функции:

Уровень В

f (х) = xn F(x) = hello_html_37817fa3.gif+C

f (х)

(2х+1)5

(4х-3)4

hello_html_7c58e936.gif

(х-3)5

(8-4х)6

hello_html_m32006f0f.gif

hello_html_56e429e6.gif=hello_html_1ac6db06.gif

F(x)

hello_html_514e7336.gif+C







f (х) = hello_html_m311eb8c3.gif F(x) = ln x+C

f (х)

hello_html_42dc1848.gif

hello_html_m15549e43.gif

hello_html_m1762ea92.gif

hello_html_m499fb0e5.gif

hello_html_m4fc0791f.gif

F(x)

hello_html_me0b5ded.gif+C





f (х) = hello_html_m4f4426ff.gif F(x) = - hello_html_m311eb8c3.gif+C

f (х)

hello_html_m6a934c7c.gif

hello_html_m7871186e.gif

hello_html_m27df79a3.gif

hello_html_m495acfe0.gif

hello_html_m3a70668d.gif

F(x)

-hello_html_63790849.gif+C





f (х) = hello_html_77a7203d.gif F(x) = hello_html_m4d43992a.gif+C

f (х)

hello_html_m7fbf801a.gif

hello_html_5f7a8437.gif

hello_html_b8a7131.gif

hello_html_mc2bd8e2.gif

hello_html_m73a6b9e.gif

hello_html_m7372eedb.gif

F(x)

hello_html_3dc8b5c2.gif



hello_html_m74ceada.gif



f (х) = hello_html_6c92ec61.gif F(x) = hello_html_1d97c508.gif+C

f (х)

hello_html_371a05f2.gif

hello_html_m77629ebb.gif

hello_html_m1ae3b687.gif

hello_html_m48420a20.gif

hello_html_m166a635d.gif

hello_html_6b1c422b.gif

F(x)

hello_html_43340b5a.gif






f (х) = hello_html_m247fcf1a.gif F(x) = hello_html_mf253fb1.gif+C

f (х)

hello_html_b4a4744.gif

hello_html_582a9be2.gif

hello_html_m7f4f429e.gif

hello_html_4a50d201.gif

hello_html_m64e20a62.gif

hello_html_m1cb6f0cb.gif

F(x)

hello_html_102ca061.gif










f (х) = hello_html_m7144a2f6.gif F(x) = hello_html_m6991b28a.gifx hello_html_m7144a2f6.gif+C

f (х)

hello_html_me95a933.gif

hello_html_64b0e068.gif

hello_html_m22576d3e.gif

hello_html_m65c8c371.gif

hello_html_m76e743f0.gif

hello_html_m562e2dad.gif

F(x)

hello_html_730d7f9c.gifhello_html_me95a933.gif







f (х) = hello_html_3d8b9a8.gif F(x) = hello_html_m816b1ac.gif hello_html_3d8b9a8.gif+C

f (х)

hello_html_3d58bd20.gif

hello_html_36e3dd24.gif

hello_html_4614bad8.gif

hello_html_m403202c3.gif

hello_html_7f3876e4.gif

hello_html_29470a68.gif

F(x)

hello_html_1d2e3352.gif* *hello_html_3d58bd20.gif






f (х) = hello_html_m550365da.gif F(x) = hello_html_m1a7bb15c.gif+C

f (х)

hello_html_243aa528.gif

hello_html_m519757be.gif

hello_html_10fbbe40.gif

hello_html_m4f6ca4ee.gif

hello_html_m77940ce5.gif

hello_html_m16e45822.gif

F(x)

hello_html_100c1c0c.gif






f (х) = sin x F(x) =-cos x +C

f (х)

3sin (3x+2)

sin 4x

sin (4-x)

sin (3x-4)

6sinhello_html_1ea970b9.gif

125sin hello_html_m70465f75.gif

F(x)

- cos(3x +2)+C






f (х) = cos x F(x) = sin x +C

f (х)

3 cos (3x+2)

5 cos 4x

cos (4-x)

cos ( x-4)

cos 8x

cos 0.5x

F(x)

sin (3x +2) +C






f (х) = hello_html_2b067d37.gif F(x) = -ctg x +C

f (х)

hello_html_26762ff4.gif

hello_html_m28a3200f.gif

hello_html_m1b21a231.gif

hello_html_19956a9d.gif

hello_html_m36907a78.gif

hello_html_m35ddfd0.gif

F(x)

- ctg 5x +C






f (х) = hello_html_m5a06e08.gif F(x) = tg x +C

f (х)

hello_html_7c4cdf2.gif

hello_html_m4aa74771.gif

hello_html_6b48d81e.gif

hello_html_m629f6d14.gif

hello_html_m42498819.gif

hello_html_658ac19e.gif

F(x)

tg 5x +C

















Уровень С

Как было отмечено ранее, чтобы найти неопреленный интеграл (то есть множество первообразных для подинтегральной функции), достаточно его свести к табличным. Это часто удаётся путём преобразования подинтегрального выражения.

Приведём примеры решении заданий из тесников 2009-2011г по теме «Первообразная и интеграл» :

1) hello_html_4d8127d9.gifdx = hello_html_77d28614.gif tg x –x + C

2) hello_html_m320daed3.gif dx = hello_html_m4d7989f.gifhello_html_533adcdf.gif+ hello_html_m1967d01a.gif= hello_html_m5870497e.gif +C

3) hello_html_3d5a17c.gif dx = hello_html_m726d6dea.gifhello_html_533adcdf.gif- hello_html_m1967d01a.gif= hello_html_m7cb10835.gif+C

4) hello_html_7cf24350.gifdx = hello_html_m3c7f3c77.gifdx = hello_html_1a751574.gif =

= - hello_html_m5da2013b.gif - hello_html_m3c5a7c3b.gif+C = - hello_html_m16cd0454.gif - hello_html_m68fb1371.gif+C

5) hello_html_503ac8d0.gifdx = hello_html_795dd237.gif dx = hello_html_m60074804.gif + C

6) hello_html_1c3647f3.gif dx = hello_html_dbfd680.gif dx = hello_html_mc2b8121.gif dx=hello_html_m4ab2679a.gif dx=

= hello_html_77a29eee.gif +C

7) hello_html_m33e9dbc6.gif dx = hello_html_3227ea85.gif= hello_html_m21b5289b.gif dx -hello_html_72d2f550.gif dx + hello_html_3c30a3e9.gif dx =

= hello_html_352b37b6.gif +C


8) hello_html_231d46b.gif dx = hello_html_588484e5.gif= hello_html_m21b5289b.gif dx +hello_html_72d2f550.gif dx + hello_html_3c30a3e9.gif dx =

= hello_html_5ff446c5.gif +C

9) hello_html_m318ad4b0.gif = hello_html_m23edfcdf.gif dx - hello_html_m49d08065.gifdx - hello_html_m61c0f468.gif dx = hello_html_m25681c37.gif dx - hello_html_m759b1664.gif- hello_html_m61c0f468.gif dx =

= hello_html_680d5219.gif - x - ( hello_html_m5a13ad5f.gif) + C = hello_html_680d5219.gif - x + hello_html_5c3e832a.gif + C

10) hello_html_m3ceda42a.gif = hello_html_m18ab6827.gif = hello_html_1aad930.gif = x+ hello_html_m4d1d4174.gif+ hello_html_m9e1aba2.gif+C
















Для отработки навыков вычисления первообразных предлогаются тесты на соответствие.

Найдите первообразные функций и из предложенных ответов выберите верный ответ


ВАРИАНТ 1

f (х)

F(x)

1) hello_html_m6e10efb6.gifhello_html_m53d4ecad.gif

A) hello_html_m2130ae0c.gif

2) hello_html_m4839c4aa.gif

В) 2*hello_html_m595b9f5e.gif - hello_html_m66c1d1b5.gif

3) hello_html_1ee396a5.gif

С) hello_html_a128f23.gif

4) hello_html_m595b9f5e.gif + hello_html_295c31dc.gif

Д) hello_html_me4b9d54.gif

5) hello_html_57ba8aaa.gif

Е) hello_html_m5a5ef87c.gif+ С



ВАРИАНТ 2

f (х)

F(x)

1) hello_html_5319dc99.gifhello_html_m53d4ecad.gif

A) 3hello_html_a7062c9.gif + hello_html_6b9e849.gifhello_html_m53d4ecad.gif

2) hello_html_3d4d9aa5.gif

В) hello_html_69f3ed35.gif

hello_html_m53d4ecad.gif

3) hello_html_141cca20.gif

С) hello_html_m7c5bda1f.gifhello_html_m53d4ecad.gif

4) hello_html_a7062c9.gif + hello_html_43390e3a.gif

Д) hello_html_7f4a3447.gif

5) hello_html_15f2c96c.gif

Е) hello_html_m4efe7be3.gif

ВАРИАНТ 3

f (х)

F(x)

1) hello_html_13b41907.gifhello_html_m53d4ecad.gif

A) hello_html_m78d10bf.gif

2) hello_html_134bed3e.gif

В) hello_html_m3ed5b5e1.gif

3) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3c5b240b.gif

С) hello_html_m686de28d.gif

4) hello_html_m25c800e0.gif

Д) hello_html_9bf56aa.gif

5) hello_html_m30b136fd.gif

Е) hello_html_34120b27.gif


ВАРИАНТ 4

f (х)

F(x)

1) hello_html_m11b066ab.gifhello_html_m53d4ecad.gif

A) hello_html_3699f57c.gif

2) hello_html_4004c13c.gif

В) hello_html_540ca7f5.gif

3) hello_html_m28da135d.gif

С) hello_html_m28bd14f7.gif+ 4х2

4) hello_html_m3a9b4bbe.gif+8х

Д) hello_html_5c4ce299.gif

5) hello_html_m46dcebde.gif

Е) hello_html_f76ee8f.gif



ВАРИАНТ 5

f (х)

F(x)

1) hello_html_4ce4e39b.gifhello_html_m53d4ecad.gif

A) hello_html_m47fa6c3c.gif

2) hello_html_5b91342a.gif

В) hello_html_76946fa7.gif

3) hello_html_m66d67658.gif

С) hello_html_m448c4635.gif

4) hello_html_m53bb8c00.gif

Д) hello_html_77f2a6f.gif

5) hello_html_m30b01b80.gif

Е) hello_html_m50d34d24.gif



1

2

3

4

5

Вариант 1

C

A

E

B

D

Вариант 2

B

E

D

A

C

Вариант 3

D

C

B

E

A

Вариант 4

E

D

A

C

B

Вариант 5

B

E

D

A

C


Общая информация

Номер материала: ДВ-506976

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.