Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочая тетрадь по теме"Решение тригонометрических уравнений"

Рабочая тетрадь по теме"Решение тригонометрических уравнений"

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:












hello_html_m18b78e46.gif






















Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством преподавателя) изучение обучающимися темы «Тригонометрические уравнения».

Структура рабочей тетради соответствует разделам «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов.

Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие тригонометрического уравнения», «Частные случаи тригонометрических уравнений», «Решение тригонометрических уравнений».

В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно.

Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний обучающихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.


















Содержание


1. Решение уравнений вида cos x = a


2. Решение уравнений вида sin x = a


3. Решение уравнений вида tg x = a


4. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному


5. Решение однородных тригонометрических уравнений


6. Проверь себя



























Решение уравнений вида cos x = a


Уравнение cos x = a имеет решение, если −1 ≤ a ≤ 1.


Учитывая периодичность функции косинус, получим множества корней уравнения cos x = a:

hello_html_m82527bb.png
или
hello_html_4aaf974.png

hello_html_m2315e78e.png



Частные случаи решения уравнения cos x = a.




Уравнение cos x = a имеет решение при а _____________


Какой формулой выражается это решение? __________________________


Имеет ли решение уравнение cos x = a при hello_html_m2d11d15e.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1496c37a.gif 1. ______________


Значение а при решении уравнения cos x = a откладывается на оси ______


В каком промежутке находится arccos a ? _______________________


Arccos (- а) = ________________________________________


Решение уравнения cos x = 1 _______________________________________


Решение уравнения cos x = - 1 ________________________________________


Решение уравнения cos x = 0 _________________________________________



Обрати внимание на решение примеров:

  • cos x = hello_html_m21de0e34.gif cos x = - hello_html_m21de0e34.gif

х = hello_html_478e24e9.gif arccos hello_html_m21de0e34.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ х = hello_html_478e24e9.gif arccos (-hello_html_m21de0e34.gif) + 2hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ


т.к. arccos hello_html_m21de0e34.gif= hello_html_7498791.gif, то т.к.. arccos (- hello_html_m21de0e34.gif) = hello_html_4fd45fec.gif - hello_html_7498791.gif = hello_html_m2e4c6a98.gif, то


х = hello_html_478e24e9.gifhello_html_7498791.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ х = hello_html_478e24e9.gifhello_html_m2e4c6a98.gif + 2hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ


Попробуй решить сам:



cos x = hello_html_m5497aee9.gif cos x = - hello_html_7a2515b5.gif

________________________ __________________________


_______________________ __________________________


______________________ _ __________________________



cos 4x = 1 cos (x +hello_html_7498791.gif) =0

________________________ _____________________________

__________________________ _________________________________

___________________________­­­­­­­­­­­­ _______________________________

ЗАПОМНИ!



hello_html_7f79ac32.png


















Решение уравнений вида sin x = a


Уравнение sin x = a имеет решение, если −1 ≤ a ≤ 1.

x1 = α1; x2 = α2.
hello_html_91afff8.png

Учитывая периодичность функции синус, получим множества корней уравнения

sin x = a:

hello_html_1ae720a.png
или
hello_html_m786256e9.png

hello_html_m614030f7.png


Частные случаи решения уравнения sin x = a

Уравнение sin x = a имеет решение при а _____________


Какой формулой выражается это решение? __________________________


Имеет ли решение уравнение sin x = a при hello_html_m2d11d15e.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m1496c37a.gif 1. Ответ ______________


Значение а при решении уравнения sin x = a откладывается на оси ______

В каком промежутке находится arcsin a ? _______________________


Arcsin (- а) = ________________________________________


Решение уравнения sin x = 1 _______________________________________


Решение уравнения sin x = - 1 ________________________________________


Решение уравнения sin x = 0 _________________________________________


Обрати внимание на решение примеров:

  • sin x = hello_html_m21de0e34.gif sin x = - hello_html_m21de0e34.gif

х = (- 1)hello_html_60c5c2a6.gif arcsin hello_html_m21de0e34.gif + hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ х = (- 1)hello_html_60c5c2a6.gif arcsin( - hello_html_m21de0e34.gif) + hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ

т.к. arcsin hello_html_m21de0e34.gif = hello_html_7f03fb02.gif, то т.к. arcsin( - hello_html_m21de0e34.gif) = - hello_html_7f03fb02.gif, то

х = (- 1)hello_html_60c5c2a6.gif hello_html_7f03fb02.gif+ hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ х = (- 1)hello_html_60c5c2a6.gif( - hello_html_7f03fb02.gif)+ hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ

х = (- 1)hello_html_4f3e0e37.gif hello_html_7f03fb02.gif+ hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ

Попробуй решить сам:

sin x = hello_html_7a2515b5.gif sin x = - hello_html_m5497aee9.gif _______________________ __________________________

________________________ __________________________

________________________ __________________________

sin 2x = - 1 sin (x + hello_html_73de7e9a.gif) = 0

ЗАПОМНИ!

hello_html_40bb4001.png













Решение уравнений вида tg x = a

Уравнение tg x = a имеет решение при любом а, так как область значений тангенса — вся числовая ось.

Значит, уравнение tg x = a на этом интервале имеет единственный корень. Учитывая, что тангенс периодическая функция, то множества решений уравнения записывают так:

hello_html_17fde039.png

tg x — это ордината точки Т, пересечения прямой ОР1 с линией тангенсов Р0Т.

hello_html_43ce65c6.png

В каком промежутке находится arctg a? _________________________________

Общая формула для решения уравнения tg х = а _________________________

arctg (-а) = __________________________________________

Обрати внимание на решение примеров:

  • Tg x = hello_html_m924a507.gif Tg x = -hello_html_m924a507.gif

X = arctg hello_html_m924a507.gif+ hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ. X = arctg (-hello_html_m924a507.gif) + hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ.

Т.к. arctg hello_html_m924a507.gif= hello_html_7498791.gif, то т.к. arctg (- hello_html_m924a507.gif)= - hello_html_7498791.gif, то

x = hello_html_7498791.gif + hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ. x = - hello_html_7498791.gif + hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ.

Попробуй решить сам:


Tg x = hello_html_1360b376.gif

_________________________________

_________________________________

_______________________________

Tg x = -1

_______________________________

______________________________



ЗАПОМНИ!


hello_html_68112aed.png







ТЕБЕ ПРИГОДИТСЯ!!!


Справедливы соотношения:


  • SINhello_html_22eaeb15.gifhello_html_7a00ba7d.gif= 1 - COShello_html_22eaeb15.gifhello_html_7a00ba7d.gif(1);

  • COShello_html_22eaeb15.gifhello_html_7a00ba7d.gif= 1 - SINhello_html_22eaeb15.gifhello_html_7a00ba7d.gif (2).

Формулы корней уравнения:


  • Sin x = a

(3)

hello_html_m786256e9.png

  • cos x = a

(4)

hello_html_4aaf974.png

  • tg x = a

(5)

hello_html_4aaf974.png


  • ахhello_html_22eaeb15.gif + bx + c =0

x =hello_html_m55b4355c.gif (6)


Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному.



Рассмотри решение следующих уравнений:


  • 8 sin2 x – 6 sin x – 5 = 0;

Введём обозначение Sin x = a, тогда данное уравнение можно записать в виде hello_html_22eaeb15.gif– 6а – 5 = 0.

Решаем это квадратное уравнение относительно а.


а = hello_html_m430e464b.gif; аhello_html_m59218672.gif = - hello_html_m21de0e34.gif, аhello_html_m2698bc4f.gif = hello_html_m1b987098.gif.

Следовательно, Sin x = - hello_html_m21de0e34.gif или Sin x = hello_html_m1b987098.gif.

  1. Решим уравнение Sin x = - hello_html_m21de0e34.gif

х = (- 1)hello_html_4f3e0e37.gif hello_html_7f03fb02.gif+ hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ .

  1. Решим уравнение Sin x = hello_html_m1b987098.gif.

Это уравнение корней не имеет, так как Sin x не может быть больше единицы.

  • 8cos2 x + 6 sin x - 3 = 0;

Заменяя cos2 x через 1 - SINhello_html_22eaeb15.gifх, получим 8(1 - SINhello_html_22eaeb15.gifх) + 6 sin x - 3 = 0;

8 sin2 x – 6 sin x – 5 = 0

Пришли к уравнению, рассмотренному в первом примере.

Попробуй решить сам


3 sin2 x – 5 sin x – 2 = 0;



_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 sin2 x + 3 cos x = 0.


_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6 sin2 x – 5 cos x + 5 = 0;

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


cos2 x + 2 sin x + 2 = 0;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Решение однородных тригонометрических уравнений

. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.

  • Уравнения вида asinx + bcosx = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени;

  • Уравнения вида asin2х + bcosx sinx+ ccos2x = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.


  Ознакомься с решением примеров:

  • 2sinx - 3cosx = 0

Поделив уравнение на cosx hello_html_m88d8014.gif0, получим 2 tgх – 3 = 0, решаем это уравнение:

Tgх =hello_html_4350c82b.gif, х = arctghello_html_4350c82b.gif + hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ.

  • Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

 

3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x,

 

                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

 

                             tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

                              корни этого уравнения:  y1 = 1,  y2 = 3,  отсюда

                             1)   tg x = –1,                  2)  tg x = –3,

                              

x = - hello_html_73de7e9a.gif + hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ . x = - arctg 3+ hello_html_4fd45fec.gifn, n hello_html_m7cb53dec.gifZ

Попробуй решить сам:


  • hello_html_m924a507.gifcos x + sin x = 0

_______________________________________________________________ ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

  • sin x = 2 cos x

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

  • 3 sin2 x – 4 sin x cos x + cos2 x = 0;

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

  • 6 sin2 x = 5 sin x cos x – cos2 x

_______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Запомни!

Алгоритм решения уравнения a sin2+ bcosxsinx+ ccos2x =0

  1. Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2х.

  2. Если этот член содержится, то уравнение решается делением обеих его частей на cos2x и последующем введением новой переменной y =tgx.

  3. Если asin2х не содержится, то уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.



ПРОВЕРЬ СЕБЯ


  1. Решите уравнение, упростив левую часть:


а) coshello_html_22eaeb15.gif x - sinhello_html_22eaeb15.gifx = hello_html_7a2515b5.gif; б) 2 sinhello_html_22eaeb15.gifx cos 2x = 1;

в) sin 3x cos (x + hello_html_73de7e9a.gif) + cos 3x sin (x + hello_html_73de7e9a.gif) = 0.


  1. Решите уравнение, сделав подстановку:


а) 2sinhello_html_22eaeb15.gifx – 5sin x + 2 = 0; б) 2 coshello_html_22eaeb15.gifx + 5 sin x – 4 = 0;


в) cos 2x + 5 sin x – 3 = 0; г) 2 tg x + 2 ctg x = 5.


  1. Решите уравнение методом разложения на множители:


а) 5 sin x + 3 sin 2x = 0; б) sin 7x – sin x = 0;


  1. Решите уравнение, используя однородность:


а) sin x - hello_html_m924a507.gif cos x = 0;


б) sinhello_html_22eaeb15.gifx – 3 sin x cosx + 2 coshello_html_22eaeb15.gifx = 0;


в) sin x cos x - hello_html_m924a507.gif coshello_html_22eaeb15.gif x = 0;




16


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 22.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров67
Номер материала ДБ-207086
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх