Рабочая тетрадь по теме"Решение тригонометрических уравнений"

Рабочая тетрадь рассчитана на самостоятельное (или под руководством преподавателя) изучение обучающимися темы «Тригонометрические уравнения».

          Структура рабочей тетради соответствует разделам «Алгебра и начала анализа» для  10-11 классов.

     Рабочая тетрадь включает следующие темы: «Понятие тригонометрического уравнения», «Частные случаи тригонометрических уравнений»,  «Решение тригонометрических уравнений».

В пособии коротко представлены: теория (более подробно в учебнике), разобранные примеры решений заданий, различные варианты заданий по материалам учебного пособия, позволяющие обучающимся работать самостоятельно. 

     Даются проверочные задания для закрепления, контроля и самоконтроля знаний обучающихся. Пособие с успехом можно использовать при подготовке к сдаче экзамена, доступная форма изложения позволит быстро восстановить знания.

Содержание

1. Решение уравнений вида cos x = a

2. Решение уравнений вида sin x = a

3. Решение уравнений вида tg x = a

4. Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному

5. Решение однородных тригонометрических уравнений

6. Проверь себя

Решение уравнений вида cos x = a

Уравнение cos x = a имеет решение, если −1 ≤ a ≤ 1.

Учитывая периодичность функции косинус, получим множества корней уравнения cos x = a: или

Частные случаи решения  уравнения  cos x = a.

Уравнение	Решение

Уравнение cos x = a имеет решение при  а _____________

Какой формулой выражается это решение? __________________________

Имеет ли решение уравнение cos x = a при   1.  ______________

Значение а при решении уравнения   cos x = a откладывается на оси ______

В каком промежутке находится arccos a ? _______________________

Arccos (- а) = ________________________________________

Решение уравнения cos x = 1 _______________________________________

Решение уравнения cos x = - 1 ________________________________________

Решение уравнения cos x = 0 _________________________________________

Обрати внимание на решение примеров:

§  cos x =                                           cos x = -   

х =  arccos  + 2n, n Z            х =  arccos (-) + 2n, n Z

 т.к. arccos = , то                               т.к..  arccos (- ) =  -  = , то

х =   + 2n, n Z                        х =   + 2n, n Z

Попробуй решить сам:

cos x =                                           cos x = -                                           

________________________             __________________________

_______________________             __________________________   

______________________ _            __________________________

cos 4x = 1                                              cos (x +) =0                                         

________________________             _____________________________

__________________________                      _________________________________

 ___________________________­­­­­­­­­­­­                     _______________________________

ЗАПОМНИ!

Решение уравнений вида sin x = a

Уравнение sin x = a имеет решение, если −1 ≤ a ≤ 1.

x1 = α1; x2 = α2. Учитывая периодичность функции синус, получим множества корней уравнения sin x = a: или

Частные случаи решения уравнения sin x = a 

Уравнение	Решение

Уравнение sin x = a имеет решение при а _____________

Какой формулой выражается это решение? __________________________

Имеет ли решение уравнение sin x = a при   1.  Ответ ______________

Значение а при решении уравнения  sin x = a откладывается на оси ______

В каком промежутке находится arcsin  a ? _______________________

Arcsin  (- а) = ________________________________________

Решение уравнения sin x = 1 _______________________________________

Решение уравнения sin x = - 1 ________________________________________

Решение уравнения sin x = 0 _________________________________________

Обрати внимание на решение примеров:

§  sin x =                                                sin x = -                                                 

х = (- 1) arcsin  +  n, n Z          х = (- 1) arcsin( - ) +  n, n Z 

  т.к.  arcsin  = , то                                       т.к.  arcsin( - ) = - , то           

  х = (- 1) +  n, n Z                       х = (- 1)( - )+  n, n Z 

                                                                    х = (- 1) +  n, n Z 

 Попробуй решить сам:

sin x =                                                sin x = -                                                  _______________________                 __________________________

________________________               __________________________

________________________               __________________________

 

sin 2x = - 1                                                 sin (x + ) = 0       

 

ЗАПОМНИ!

 

Решение уравнений вида tg x = a

Уравнение tg x = a имеет решение при любом а, так как область значений тангенса — вся числовая ось.

Значит, уравнение tg x = a на этом интервале имеет единственный корень. Учитывая, что тангенс периодическая функция, то множества решений уравнения записывают так: tg x — это ордината точки Т, пересечения прямой ОР1 с линией тангенсов Р0Т.

В каком промежутке находится arctg a? _________________________________

Общая формула для решения уравнения  tg х = а _________________________

arctg (-а) = __________________________________________

Обрати внимание на решение примеров:

§  Tg x =                                              Tg x =  - 

 X = arctg + n,   n Z.                  X = arctg (-) + n,   n Z.

 Т.к. arctg = , то                                         т.к.  arctg (- )= - , то

x =   + n,   n Z.                               x = -   + n,   n Z.                                                                                   

 Попробуй решить сам:

Tg x =   

_________________________________

_________________________________

_______________________________                                                                                             

Tg x = -1  

_______________________________

______________________________                 

ЗАПОМНИ!

ТЕБЕ ПРИГОДИТСЯ!!!

Справедливы соотношения:

§  SIN= 1 - COS                (1);  

§  COS  = 1 - SIN               (2).

Формулы корней уравнения:

§  Sin x = a

                                                                   (3)

   

§  cos x = a

                                                            (4)

§  tg x = a

                                                            (5)

§  ах + bx + c =0

x =                             (6)

Решение тригонометрических уравнений, приводимых к квадратному.

Рассмотри решение следующих уравнений:

§  8 sin² x – 6 sin x – 5 = 0;

Введём обозначение  Sin x = a, тогда данное уравнение можно записать в виде  8а– 6а – 5 = 0.

Решаем это квадратное уравнение относительно а.

а = ;  а = - , а = .

Следовательно,  Sin x = -  или  Sin x = .

1.     Решим уравнение  Sin x = -                                 

                                  х = (- 1) +  n, n Z .

2.     Решим уравнение  Sin x = .

                   Это уравнение корней не имеет, так как Sin x  не может быть больше единицы.

§  8cos² x + 6 sin x - 3 = 0;

Заменяя cos² x через 1 - SINх, получим  8(1 - SINх) + 6 sin x - 3 = 0;

                                                                        8 sin² x – 6 sin x – 5 = 0              

Пришли к уравнению, рассмотренному в первом примере.

 

Попробуй решить сам

3 sin² x – 5 sin x – 2 = 0;

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2 sin² x + 3 cos x = 0.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

         6 sin² x – 5 cos x + 5 = 0;

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

cos² x + 2 sin x + 2 = 0;

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение однородных тригонометрических уравнений

. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла.

§  Уравнения вида asinx + bcosx = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями первой степени;

§  Уравнения вида asin²х + bcosx sinx+ ccos²x = 0 называют однородными тригонометрическими уравнениями второй степени.

  Ознакомься с решением примеров:

§  2sinx  - 3cosx = 0

Поделив уравнение на cosx 0, получим 2 tgх – 3 = 0, решаем это уравнение:

                  Tgх =, х = arctg + n, n Z.

§  Решить уравнение:  3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2.

                           3sin ² x + 4 sin x · cos x + 5 cos ² x = 2sin ² x + 2cos ² x,

                             sin ² x + 4 sin x · cos x + 3 cos ² x = 0 ,

                             tg ² x + 4 tg x + 3 = 0 ,  отсюда  y ² + 4y +3 = 0 ,

                              корни этого уравнения:  y₁ = -1,  y₂ = -3,  отсюда

                             1)   tg x = –1,                  2)  tg x = –3,

              x = -  + n, n Z .             x = - arctg 3+ n, n Z

Попробуй решить сам:

§   cos x + sin x = 0

_______________________________________________________________  ______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

§   sin x = 2 cos x

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________ ______________________________________________________________

______________________________________________________________

§    3 sin² x – 4 sin x cos x + cos² x = 0;

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

§    6 sin² x = 5 sin x cos x – cos² x

_______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________________________________________________________

Запомни!

Алгоритм решения уравнения  a sin²+ bcosxsinx+ ccos²x =0

1.     Посмотреть, есть ли в уравнении член asin²х.

2.     Если этот член содержится, то уравнение решается делением обеих его частей на cos²x и последующем введением новой переменной y =tgx.

3.     Если asin²х не содержится, то уравнение решается методом вынесения общего множителя за скобки.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

1.     Решите уравнение, упростив левую часть:

а) cos x - sinx = ;   б) 2 sinx cos 2x = 1;

в) sin 3x cos (x + ) + cos 3x sin (x + ) = 0.

2.     Решите уравнение, сделав подстановку:

а) 2sinx – 5sin x + 2 = 0;       б) 2 cosx + 5 sin x – 4 = 0;

в) cos 2x + 5 sin x – 3 = 0;       г) 2 tg x + 2 ctg x = 5.

3.     Решите уравнение методом разложения на множители:

а) 5 sin x + 3 sin 2x = 0;  б) sin 7x – sin x = 0;

4.     Решите уравнение, используя однородность:

а) sin x -  cos x = 0;

б) sinx – 3 sin x cosx + 2 cosx = 0;

в) sin x cos x -  cos x = 0;