Рабочая тетрадь "Задание №16" из ОГЭ по математике

Вписанные и центральные углы

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным.

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают эту окружность, называют центральным.

На рисунке 1  - вписанный,  - центральный.

 

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается. [1]

 Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. [2]

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.[3]

Теорема. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Следствие 3. Если центральный и вписанный углы опираются на одну и ту же дугу, то центральный угол в два раза больше вписанного угла.

Разбор типовых задач

1. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 8. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение:

О-центр окружности (т.к.по условию сказано, что угол AOB -центральный).

ОА=ОВ как радиусы окружности. 

Значит, треугольник ОАВ - равнобедренный.

Следовательно, углы А и В равны по 60°.

Найдем угол О по теореме о сумме углов треугольника (сумма углов треугольника равна 180°), ∠О=180°-(60°+60°)=60°.

Значит,  треугольник АВО - равносторонний, ОА=ОВ=АВ= 6.

Значит, радиус окружности равен 6.

Ответ: 6.

2. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 32°. Найдите величину угла OAB.

Решение:

Вписанный угол OAB и вписанный угол OCD опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны по свойству (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны).

Следовательно, искомый угол OAB равен 32°.

Ответ: равен 32°.

3. Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 20°.

Решение:

NP - диаметр, значит, дуга PMN равна 180°.

Угол MNP вписанный, опирающийся на дугу МР, значит эта дуга равна 40°.

Угол MON - центральный и опирается на дугу MN. Их градусные меры равны.

Градусная мера дуги MN равна 180°-40°=140°.

Значит, угол MON равен 140° (градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

Ответ: 140°.

4. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 140° и 70° соответственно.

Решение: искомый угол DEF - вписанный и опирается на дугу DF, градусная мера которой в два раза больше градусной меры угла DEF.

Вся окружность составляет 360°.

Градусная мера дуги DF равна разности 360°-(140°+70°)=150°.

Значит, вписанный угол DEF, опирающийся на дугу DF, равен 75°.

Ответ: 75°.

5. Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 94°.

Решение: Искомый угол ACB является вписанным и опирается на дугу AB. Градусная мера этой дуги в два раза больше градусной меры этого угла.

По условию угол AOC - центральный. Значит, О - центр окружности, а отрезок BC - диаметр.

Тогда градусная меру дуги CAB равна 180°.

Угол AOC - центральный, опирающийся на дугу АС, значит, градусная мера дуги АС равна 94°.

Вычислим градусную меру дуги АВ как разность  180°-94°=86°.

Значит, ∠ACB=43°, так как вписанный угол в два раза меньше градусной меры дуги, на которую он опирается.

Ответ: 43°.

6. Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 8:12. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Известно, что вся окружность составляет 360°.

Сосчитаем количество частей, на которые разбита окружность 8+12=20.

Вычислим сколько градусов составляет одна часть 360°:20=18°.

Значит, меньший центральный угол AOB равен произведению °.

Ответ: 144°.

7.  На окружности по разные стороны от диаметра  взяты точки  и . Известно, что . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Решение:

Искомый угол NMB является вписанным, опирается на дугу NB и градусная мера угла NMB будет равна половине градусной меры дуги NB.

АВ - диаметр, значит дуга ANB равна 180°.

Угол NBA равен 36°, значит, дуга AN 72°.

Вычислим градусную меру дуги NB через разность 180°-72°=108°.

Градусная мера угла NMB будет равна половине градусной меры дуги NB, следовательно, угол NMB равен 54°.

Ответ: 54°.

Решение задач

1. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

2. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

3. Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

4. Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

5. Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

6. Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Примечание. Задачи 1-6 взяты с сайта https://oge.sdamgia.ru

 

---

[1] Геометрия. 7-9 классы: учеб.для общеобразоват. учреждений/ [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]- 20-е изд. - М.: Просвещение, 2020.

[2] Геометрия. 7-9 классы: учеб.для общеобразоват. учреждений/ [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]- 20-е изд. - М.: Просвещение, 2020.

[3] Геометрия. 7-9 классы: учеб.для общеобразоват. учреждений/ [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.]- 20-е изд. - М.: Просвещение, 2020.