Рабочая программа по элективному курсу
«ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СПОСОБЫ ПОЛУЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ ПОЛУЧЕНИЙ»
Пояснительная записка
Рабочая программа элективного курса
«Замечательные неравенства» составлена на основе федерального компонента
государственного стандарта основного общего образования и авторской программы
элективного курса «Замечательные неравенства: 10-11 кл.». Автор: С.А.Гомонов,
канд.физ.-мат.наук..
Изучение курса математики на базовом уровне среднего
(полного) общего образования направлено на достижение следующих целей и задач:
Целью данного курса
является изучение избранных классов неравенств с переменными и научное
обоснование методов их получения, а также применение изученного теоретического
материала при решении неравенств.
Задачи курса:
- закрепление основ знаний о неравенствах и их свойствах;
- расширение представления о неравенствах;
- формирование умений решать неравенства с переменными;
- повышение общей математической культуры;
- развитие логического мышления обучающихся.
Изучение
элективного курса в 10 классе реализуется на основе использования следующего учебно-методического комплекта, используемого для достижения поставленной цели в соответствии с
образовательной программой учреждения:
Гомонов С. А. Методические рекомендации к
элективному курсу С.А. Гомонова Замечательные неравенства: способы получения и
примеры применения. 10 -11 классы. Профильное обучение Элективные курсы.
Москва. Дрофа 2007.
Общая
характеристика учебного предмета, место в учебном плане.
Согласно
федеральному базисному учебному плану для образовательных учреждений Российской
Федерации на изучение геометрии в 10 классе отводится 35 часов (1 урок в неделю), из расчета
1 учебный час в неделю из школьного компонента.
Формы организации учебного процесса.
В данном классе
ведущими методами обучения предмету являются: поисковый,
объяснительно-иллюстративный и репродуктивный. На уроках используются элементы
следующих технологий: личностно ориентированное обучение, обучение с
применением опорных схем, ИКТ. Формы промежуточной аттестации.
Промежуточная аттестация проводится в форме контрольных и зачётных работ. Формы
организации учебного процесса : общеклассные или фронтальные учебные
занятия; индивидуальные, парные, групповые, коллективные формы обучения
.Формы текущего контроля знаний, умений, навыков : беседа;
фронтальный опрос; промежуточная аттестация: тест, самостоятельные и
контрольные работы. Формы итогового контроля знаний, умений, навыков: тестовые
задания с выбором ответа или задания, требующие развёрнутого решения. В
приведенном тематическом планировании предусмотрено использование различных форм
уроков: уроки изучение нового материала, закрепление первичных знаний, урок
комплексного применения знаний, контроль знаний, урок закрепления, урок
обобщения и систематизации знаний, повторение пройденного материала, практикум,
повторение материала. Урокам сопутствует компьютерное обеспечение: задания
для устного опроса, электронный учебник. Использование компьютерных технологий
в преподавании курса позволяет непрерывно мёнять формы работы на уроке,
постоянно чередовать устные и письменные упражнения, осуществлять разные
подходы к решению математических задач, а это постоянно создает и поддерживает
интеллектуальное напряжение учащихся, формирует у них устойчивый интерес к
изучению данного предмета.
. Требования к уровню подготовки учащихся
Учащиеся должны
знать / понимать:
- определение числового неравенства и его
свойства;
- определение средних величин и их свойства;
уметь:
- правильно употреблять математическую терминологию;
- работать с литературными источниками, находить и
использовать информацию в бумажных и электронных изданиях;
- исследовать функцию на выпуклость, вогнутость;
- находить наибольшее и наименьшее значения функции с помощью
замечательных неравенств;
- применять неравенства при решении
статистических и оптимизационных задач.
Учебно-тематическое планирование
|
№
|
Наименование разделов, тем
|
Кол-во
часов
|
|
1
|
Числовые неравенства и их свойства
|
1
|
|
2
|
Основные методы установления истинности
числовых неравенств
|
2
|
|
3
|
Основные методы решения задач на
установление истинности неравенства с переменными. Частные случаи неравенства
Коши, их обоснование и применение
|
4
|
|
4
|
Метод математической индукции и его
применение к доказательствам неравенств. Неравенство Корни для произвольного
числа переменных
|
5
|
|
5
|
Неравенство Коши-Буняковского и его
применение к решению задач
|
2
|
|
6
|
Неравенства подсказывают методы их
обоснования
|
7
|
|
7
|
Средние степенные величины: свойства,
происхождение и применение.
|
6
|
|
8
|
Неравенство Чебышева и некоторые его
обобщения.
|
3
|
|
9
|
Генераторы замечательных неравенств
|
2
|
|
10
|
Применение неравенств
|
3
|
|
|
Итого
|
35
|
Календарно – тематическое планирование
|
№
урока
|
Наименование раздела и тем
|
Кол-во
часов
|
|
|
|
|
Числовые неравенства и их свойства
|
1
|
|
|
1
|
Числовые неравенства и их свойства
|
|
|
|
|
Основные методы установления
истинности числовых неравенств
|
2
|
|
|
2
|
Некоторые методы сравнения значений двух
числовых выражений
|
|
|
|
3
|
Некоторые методы сравнения значений двух
числовых выражений
|
|
|
|
|
Основные методы решения задач на
установление истинности неравенства с переменными. Частные случаи
нераве-нства Коши, их обоснование и применение
|
4
|
|
|
4
|
Неравенства с переменными, основные понятия
и свойства. Некоторые методы установления истинности неравенств с переменными
|
|
|
|
5
|
Основные методы решения задач на
установление истинности неравенств с переменными.
|
|
|
|
6
|
Основные методы решения задач на
установление истинности неравенств неизвестными. Равносильные своими
утверждениями задачи и теоремы. Частные случаи неравенства Коши.
|
|
|
|
7
|
Некоторые частные случаи неравенства Коши и
их применение для нахождения наибольших и наименьших значений функций
|
|
|
|
|
Метод математической индукции и его
применение к доказательствам неравенств. Неравенство Корни для произвольного
числа переменных
|
5
|
|
|
8
|
Полная индукция - метод перебора всех
вариантов и ее применение к решению задач.
|
|
|
|
9
|
Аксиома, принцип и метод математической
индукции и их применение при доказательстве неравенств с переменными.
|
|
|
|
10
|
Теоремы о сравнениях соответствующих членов
двух последовательностей.
|
|
|
|
11
|
Неравенство Коши для произвольного числа
переменных.
|
|
|
|
12
|
Неравенство Коши для произвольного числа
переменных.
|
|
|
|
|
Неравенство Коши-Буняковского и его
применение к решению задач
|
2
|
|
|
13
|
Неравенство Коши-Буняковского и условия его
реализации в варианте равенства.
|
|
|
|
14
|
Применение неравенства Коши-Буняковского к
решению задач.
|
|
|
|
|
Неравенства подсказывают методы их
обоснования
|
7
|
|
|
15
|
Метод выравнивания значений переменных и
метод раздвигания значений переменных (метод Штурма).
|
|
|
|
16
|
Метод выравнивания значений переменных и
метод раздвигания значений переменных (метод Штурма).
|
|
|
|
17
|
Использование для доказательств неравенств с
переменными свойства симметричности функций.
|
|
|
|
18
|
Использование для доказательств неравенств с
переменными свойства однородности функций. Условные тождества
|
|
|
|
19
|
Некоторые методы доказательств циклических
неравенств.
|
|
|
|
20
|
Простейшие приемы установления
геометрических неравенств.
|
|
|
|
21
|
Условные тождества и условные неравенства.
|
|
|
|
|
Средние степенные величины: свойства,
происхождение и применение.
|
6
|
|
|
22
|
Среднее арифметическое, геометрическое,
гармоническое и квадратическое и соотношения между ними.
|
|
|
|
23
|
Соотношения между средними гармоническим,
геометрическим, арифметическим, и квадратическим и их геометрические
интерпретации.
|
|
|
|
24
|
Симметрические средние и круговые
неравенства.
|
|
|
|
25
|
Среднее арифметическое взвешенное и его
свойства.
|
|
|
|
26
|
Средние степенные, их свойства и применение
для обоснования неравенств.
|
|
|
|
27
|
Средние степенные взвешенные и его свойства.
|
|
|
|
|
Неравенство Чебышева и некоторые его
обобщения.
|
3
|
|
|
28
|
Неравенство Чебышева, его доказательство и
простейшие обобщения.
|
|
|
|
29
|
Дальнейшие обоснования неравенств Чебышеваи
неравенств Коши-Буняковского.
|
|
|
|
30
|
Решение задач на применение обобщений
неравенств Чебышева.
|
|
|
|
|
Генераторы замечательных неравенств
|
2
|
|
|
31
|
Линейная и квадратичная функции и
неравенства с переменными
|
|
|
|
32
|
Неравенства геометрического происхождения.
Определенный интеграл и методы трапеций и треугольников
|
|
|
|
|
Применение неравенств
|
3
|
|
|
33
|
Неравенства в финансовой математике
|
|
|
|
34
|
Некоторые задачи на оптимизацию, задача
Дидоны
|
|
|
|
35
|
Решение задач на максимум и минимум с
помощью замечательных неравенств
|
|
|
СОДЕРЖАНИЕ
ПРОГРАММ УЧЕБНОГО КУРСА
Числовые неравенства и их свойства
Некоторые понятия и свойства, считающиеся
известными. Понятия «больше» и «меньше» для действительных чисел. Числовые
неравенства. Простейшие числовые неравенства. Цель –
вспомнить понятие положительного и отрицательного числа, числа нуль; основные
законы сложения и умножения чисел; понятия «больше», «меньше», «не больше», «не
меньше» их геометрические интерпретации и свойства
Основные методы установления истинности
числовых неравенств
Сравнение двух действительных чисел «по
определению». Сравнение двух положительных чисел путем сравнения с единицей их
отношения. Сравнение действительных чисел с помощью сравнения их степеней.
Метод сравнения двух чисел с помощью нахождения «промежуточного» для них числа
(метод оценок «сверху» и «снизу»). Метод применения замечательных неравенств.
Цель – закрепить навыки сравнение двух
числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей,
путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточным числом
Основные методы решения задач на установление
истинности неравенства с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их
обоснование и применение
Цель – рассмотреть различные методы
установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод
анализа, метод подстановки; отработать эти методы на примерах
Метод математической индукции и его
применение к доказательствам неравенств.
Понятие неравенства с переменными и его
решения. Неравенство-следствие. Равносильные неравенства. Опровержимые
неравенства.
Цель –ввести понятие индукции вообще и в
математике в частности; рассмотреть схему применения принципа математической
индукции и некоторые ее модификации на примерах
Неравенство Коши для произвольного
числа переменных
Основные методы решения задач на установление
истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их
обоснование и применение.
Цель – рассмотреть неравенство Коши для
произвольного числа переменных; его функциональное доказательство и некоторые
неравенство, эквивалентные неравенству Коши
Неравенство Коши-Буняковского и его
применение к решению задач
Метод математической индукции и его применение
к доказательствам неравенств. Неравенство. Корни для произвольного числа
переменных
Цель – рассмотреть геометрическую интерпретацию неравенства Коши-Буняковского и
векторный вариант записи этого неравенства; решить задания на применение
неравенства Коши-Буняковского
Неравенства
подсказывают методы их обоснования
Метод выравнивания значений переменных и метод
раздвигания значений переменных (метод Штурма).
Цель – рассмотреть методы обоснования
неравенств: метод штурма; использование симметричности, однородности
цикличности левой и правой частей неравенства; геометрический метод
Неравенство Чебышева и некоторые его
обобщения
Дальнейшие обоснования неравенств Чебышеваи
неравенств Коши-Буняковского.
Цель – рассмотреть простейший вариант
неравенства Чебышева и его обобщение.
Средние степенные величины: свойства,
происхождение и применение
Соотношения между средними гармоническим,
геометрическим, арифметическим, и квадратическим и их геометрические
интерпретации. Симметрические средние и круговые неравенства. Среднее
арифметическое взвешенное и его свойства.
Цель – ввести понятия средних степенных и
средних взвешенных степенных;
рассмотреть их свойства; решить задания на их
применение
Генераторы замечательных неравенств Линейная и квадратичная функции и неравенства с переменными Неравенства
геометрического происхождения. Определенный интеграл и методы трапеций и
треугольников
Цель – рассмотреть достаточные условия
выпуклости и вогнутости функции, заданной на указанном промежутке; рассмотреть
примеры функций, чья выпуклость и вогнутость устанавливается этими теоремам
Применение неравенств
Неравенства в финансовой математике. Некоторые
задачи на оптимизацию, задача Дидоны. Задачи на максимум и минимум с помощью
замечательных неравенств
Цель – рассмотреть задачи на нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции с помощью замечательных неравенств,
обсудить применение неравенств в математической статистике и экономике;
рассмотреть задачу Дидоны (упрощенный вариант)
Перечень учебно-методических средств обучения
Литература:
- Ивлев Б.М. (и др.). Задачи повышенной
трудности по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для 10–11-й кл. /
Б.М. Ивлев. М; Просвещение, 1990.
- Звавич Л. И. (и др.). Алгебра и начала
анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. / Л.И. Звавич,
Л.Я. Шляпочник, М.В. Чинкина. М; Дрофа, 1999.
- Балаяи Э.Н. Математика. Сам себе репетитор.
Задачи повышенной сложности. Ростов-на-Дону; Издательство “Феникс”, 2004.
- Шабунин М.И. Математика для поступающих в
вузы. Уравнения и системы уравнений. Учебное пособие. М; Аквариум, 1997.
- Мерзляк А.Г.(и др.). Алгебраический
тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов. / Мерзляк А.Г., Полонский
В.Б., Якир М.С. М; Илекса, 1998.
- Саакян С.М. (и др.). Задачи по алгебре и
началам анализа: Пособие для учащихся 10–11-й кл. / С.М. Саакян, А.М.
Гольдман, Д.В. Денисов. М; Просвещение, 2001.
- Гомонов С. А.
Методические рекомендации к элективному курсу С.А.
Гомонова Замечательные
неравенства: способы получения и примеры применения. 10 -11 классы. Профильное
обучение Элективные курсы. Москва. Дрофа 2009.
- Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.
Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1991.
- Сканави М.И., Сборник задач
по математике для поступающих во втузы. – М.: ОНИКС 21 век, Мир и
Образование, Альянс-В, 2001.
Интернет-ресурсы:
http://school-collection.edu.ru/
http://www.prosv.ru - сайт издательства «Просвещение» (рубрика «Математика»)
http:/www.mnemozina.ru
- сайт издательства Мнемозина (рубрика «Математика»)
http:/www.drofa.ru
- сайт издательства Дрофа (рубрика «Математика»)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.