Муниципальное
образовательное учреждение
Средняя
общеобразовательная школа
Ворошиловского
района г. Волгограда
«УТВЕРЖДАЮ»
«СОГЛАСОВАНО»
директор МОУ СОШ №
40 заместитель
директора по УВР
______________/Г.Г.Бабич
/
_____________/___Шевченко И.Н______/
«____»
____________2014г.
«_____» _____________2014г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по
элективному курсу
«Замечательные неравенства»
для
учащихся 11 классов
Составитель: к.п.н.,
проф. РАЕ, Терещенкова Е.В.
Волгоград
– 2014
Пояснительная записка
За основу программы элективного курса «Замечательные неравенства» взята
программа к.физ.мат.наук,доц. С.А.Гомонова «Замечательные неравенства, их
обоснование и применение», из сборника под общей редакцией А.Г. Каспаржака
«Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область: математика»/Министерства
образования РФ – Национальный фонд подготовки кадров. – М.: Вита-Пресс, 2004. –
96с.
Программа курса по выбору свои содержанием сможет привлечь внимание
учащихся 11 классов, которым интересна математика и ее приложения и которым
захочется глубже и основательнее познакомиться с ее методами и идеями.
Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем
курсе школьной математики вопросы. Выбрав его, учащиеся за год пройдут путь от
доказательства простейших числовых неравенств, встречающихся на вступительных
экзаменах в вузы, до обоснования «замечательных» неравенств Коши–Буняковского,
Чебышева и Иенсона.
Элективный курс «Замечательные неравенства» рассчитан на один год (34
часа) для учащихся 11 классов. Запланированный данной программой для
усвоения учащимися объем знаний необходим для овладения ими методами решения
некоторых классов задач оптимизационного характера без применения средств
дифференциального исчисления, а также для ознакомления с некоторыми идеями
такого раздела как выпуклый анализ.
Целью данного курса является изучение
избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование методов их получения,
а также выход на приложения изученного теоретического материала. Таковыми будут
решения примеров на установление истинности простейших числовых неравенств,
встречающихся на вступительных экзаменах в вузы, а как завершение освоения
курса – рассуждения, требующие умения находить неравенства, помогающие
справиться с данными конкретными заданиями.
Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение,
способствует развитию логического мышления, намечает и использует целый ряд
межпредметных связей. Традиционные формы занятий, как лекция и семинар, будут
применяться, но на первое место выходят дискуссия, диспут, выступление с
докладами по результатам написания рефератов.
По данному курсу для итоговой отчетности предполагается
написание каждым учащимся 2-х рефератов с последующим выступлением на занятиях
с сообщением или даже докладом-отчетом о проделанной работе.
Календарно-тематическое планирование
элективного курса «Замечательные неравенства»
|
№ урока
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
раздел программы
|
Часть 1. Замечательные неравенства (13 часов)
|
|
тема урока
|
Числовые неравенства и их свойства
|
Основные методы установления истинности числовых неравенств
|
Основные методы решения задач на установление
истинности неравенств с переменными. Частные случаи неравенств Коши, их
обоснование и применение
|
Метод математической индукции и его применение к
доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных
|
|
кол-во часов
|
1
|
2
|
3
|
2
|
|
тип урока
|
комбинир
|
Лекция
|
семинар
|
лекция
|
семинар
|
семинар
|
лекция
|
лекция
|
|
элементы содержания
|
Действительные числа, число нуль, основные законы
сложения и умножения действительных чисел, св-ва суммы и произведения,
«больше», его геометрическая интерпритация, «меньше», «не меньше», «не
больше», числовые неравенства, их св-ва
|
Сравнение чисел – значений числовых выражений «по определению»,
сравнение их отношений с единицей, сравнение степеней, сравнение их с
пром.числом, метод введения вспом.функции, метод использования
«замеч.»неравенств
|
Частные случаи неравенств Коши, их обоснование и применение,
неравенства с параметрами, банк-хранилище замечательных неравенств наибольшей
востребованности. Равносильные неравенств, неравенств-следствия, задачи на
установление истинности, методы установления с переменными: «от противного»,
анализа, синтеза, усиления и ослабления, подстановки, использование тождеств,
понижения степени, интерпритаций
|
Индукция, система аксиом Дж. Пеано, схема применения принципа математической
индукции, модификации метода матем.индукции, теоремы о сравнении соответствующих
членов 2-х последовательностей с помощью сравнения разности
|
|
требования к уровню подготовки уч-ся
|
Иметь представление: Действительные числа, число
нуль, основные законы сложения и умножения действительных чисел, св-ва суммы
и произведения, «больше», его геометрическая интерпритация, «меньше», «не
меньше», «не больше», числовые неравенства, их св-ва
|
Иметь представление о методах сравнения: сравнение чисел – значений
числовых выражений «по определению», сравнение их отношений с единицей,
сравнение степеней, сравнение их с пром.числом, метод введения вспом.функции,
метод использования «замеч.»неравенств
|
Иметь представление о: частных случаях неравенств Коши, их
обоснование и применение, неравенства с параметрами, банк-хранилище
замечательных неравенств наибольшей востребованности. Равносильные
неравенств, неравенств-следствия, задачи на установление истинности, методы
установления с переменными: «от противного», анализа, синтеза, усиления и
ослабления, подстановки, использование тождеств, понижения степени, интерпритаций
|
Иметь представление о: индукции вообще и в математике в частности,
система аксиом Дж. Пеано, схема применения принципа математической индукции,
модификации метода матем.индукции, теоремы о сравнении соответствующих членов
2-х последовательностей с помощью сравнения разности
|
|
домашнее задание
|
Вспомнить симв.запись осн.зак-в сложения и умн.действ.чисел
|
Решить цикл задач из раздела «Задачи для с\решения»
|
Разобрать один из вариантов обоснования конкретного неравенства и
подготовить сообщение в защиту способа.
|
Доказать 2 вышеуказанные теоремы, используя индукцию
|
|
дата проведения
|
по плану
|
4.11
|
11.09-18.09
|
25.09-9.10
|
16.10-23.10
|
|
фактически
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ урока
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
раздел программы
|
Часть 1. Замечательные неравенства (13 часов)
|
Часть 2. Средние величины: их свойства и применение
(21 час)
|
|
тема урока
|
Метод математической индукции и его применение к
доказательству неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных
|
Неравенство Коши–Буняковского и его применение к
решению задач
|
Неравенства подсказывают методы их обоснования
|
Среднее арифметическое, геометрическое ,
гармоническое, квадратическое в случае 2-х параметров
|
Геометрические интерпретации. Среднее арифметико-геометрическое
Гаусса и среднее арифметико-гармоническое.
|
|
кол-во часов
|
2
|
2
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
тип урока
|
семинар
|
семинар
|
лекция
|
семинар
|
семинар
|
лекция
|
семинар
|
лекция
|
|
элементы содержания
|
Неравенство Коши для произвольного числа переменных, исторический
экскурс, функциональное доказательство неравенства Коши, неравенства, эквивалентные
неравенству Коши
|
Соотношение Коши – Буняковского, критерий реализации
этого соотношения в варианте равенства, геометрическая интерпретация
неравенства Коши– Буняковского, векторный вариант записи неравенства
|
Метод штурма, симметричность, однородность цикличности левой и правой
частей неравенств, геометрические неравенства, через соотношения между
длинами сторон треуг-ка
|
Средние величины, арифметическое, геометрическое, гармоническое и
квадратическое, соотношения между ними в случае 2-х параметров
|
Геометрическая интерпретация, 4 средние линии трапеции, среднее
арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их
существование и свойства
|
|
требования к уровню подготовки уч-ся
|
Иметь представление о: неравенстве Коши для произвольного числа
переменных, функциональное доказательство неравенства Коши, неравенства,
эквивалентные неравенству Коши
|
Иметь представление о: соотношении Коши – Буняковского, критерий
реализации этого соотношения в варианте равенства, геометрическая интерпретация
неравенства Коши– Буняковского, векторный вариант записи неравенства
|
Иметь представление о: методе штурма, симметричность, однородность
цикличности левой и правой частей неравенств, геометрические неравенства,
через соотношения между длинами сторон треуг-ка
|
Иметь представление о: средних величинах, арифметическое, геометрическое,
гармоническое и квадратическое, соотношения между ними в случае 2-х параметров
|
Иметь представление о: Геометрическая интерпретация, 4 средние линии
трапеции, среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее
арифметико-гармоническое, их существование и свойства
|
|
домашнее задание
|
Найти и разобрать самые яркие и интересные док-ва неравенства Коши
|
Придумать и доказать теоремы, обобщающие утверждения задач из
указанного раздела
|
Сообщение о разнообразии метода подстановки
|
Установить сохр-ся ли соотношение между средними при произвольных
действительных параметрах
|
|
дата проведения
|
по плану
|
30.10-6.11
|
13.11-20.11
|
27.11
|
4.12-11.12
|
18.12
|
|
фактически
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ урока
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
|
раздел программы
|
Часть 2. Средние величины: их свойства и применение
(21 час)
|
|
тема урока
|
Симметрические средние. Круговые неравенства
|
Среднее арифметическое взвешенное и его свойства
|
Средние степенные и средние взвешенные степенные
|
Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения
|
Свойства квадратической функции, геометрические
модели
|
|
кол-во часов
|
1
|
1
|
2
|
2
|
1
|
1
|
|
тип урока
|
семинар
|
лекция
|
лекция
|
семинар
|
лекция
|
лекция
|
семинар
|
|
элементы содержания
|
Симметрические средние, теорема Мюрхеда, круговые неравенства и методы
их док-ва
|
Среднее арифметическое взвешенное и его свойства, координаты центра
масс конечной системы материальных точек
|
Средние степенные и средние взвешенные степенные, вывод неравенств
Коши – Буняковского с помощью тождеств Лагранжа
|
простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием
одномонотонности последовательности
|
Свойства квадратической функции – источник простейших неравенств
|
|
требования к уровню подготовки уч-ся
|
Иметь представление о: симметрических средних, теореме Мюрхеда,
круговые неравенства и методы их док-ва
|
Иметь представление о: среднем арифметическом взвешенном и его
свойствах, координаты центра масс конечной системы материальных точек
|
Иметь представление о: средних степенных и средних взвешенных степенных,
выводе неравенств Коши – Буняковского с помощью тождеств Лагранжа
|
Иметь представление о: неравенстве Чебышева и простейшем варианте и
его обобщении, порожденное понятием одномонотонности последовательности
|
Иметь представление о: способах получения замечательных неравенств
|
|
домашнее задание
|
Разобрать методы опровержения круговых неравенств
|
Подготовить для изложения док-ва некоторых свойств х-нормы
|
Реферат на тему «Разные способы доказательства неравенства Коши – Буняковского»
|
Написать реферат и подготовить доклад на тему «П.Л. Чебышев и его
научное наследие»
|
Найти сходства и различия в 3-х доказательствах неравентства Коши
–Буняковского
|
|
дата проведения
|
по плану
|
25.12
|
8.12
|
15.01-22.01
|
29.01-5.02
|
12.02-19.02
|
|
фактически
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ урока
|
25
|
26
|
27
|
28
|
29
|
30
|
31
|
32
|
33
|
34
|
|
раздел программы
|
Часть 2. Средние величины: их свойства и применение
(21 час)
|
|
тема урока
|
Свойства одномонотонных последовательностей
|
Неравенство Иенсона
|
Неравенства Коши – Гельдера и Миновского
|
Применение неравенств
|
|
кол-во часов
|
1
|
4
|
3
|
2
|
|
тип урока
|
лекция
|
лекция
|
лекция
|
лекция
|
семинар
|
лекция
|
лекция
|
семинар
|
семинар
|
семинар
|
|
элементы содержания
|
Свойства одномонотонных последовательностей, свертка 2-х
последовательностей, расстояние между 2-мя точками
|
Выпуклый анализ – как раздел математики, свойства центра масс
конечной системы материальных точек, выпуклые фигуры и выпуклые функции,
надграфик и подграфик функции, неравенство Иенсона и его док-во, простейшие
примеры применения
|
Достаточные условия вогнутости и выпуклостифункции на промежутке,
примеры функций, чья выпуклость или вогнутость устанавливается теоремами
|
Упрощенный вариант задачи Дидоны, задачи на оптимизацию, поиск
наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств
|
|
требования к уровню подготовки уч-ся
|
Иметь представление о: свойствах двучленных и трехчленных одномонотонных
последовательностей, свойствах последовательностей произвольной длины,
получениях новых замечательных неравенств
|
Иметь представление о: выпуклом анализе – как разделе математики,
свойствах центра масс конечной системы материальных точек, выпуклых фигурах и
выпуклых функциях, надграфик и подграфик функции, неравенство Иенсона и его
док-во, простейшие примеры применения
|
Иметь представление о: достаточных условиях вогнутости и выпуклости
функции на промежутке, примерах функций, чья выпуклость или вогнутость
устанавливается теоремами
|
Иметь представление о: упрощенном варианте задачи Дидоны, задачах на
оптимизацию, поиске наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных
неравенств
|
|
домашнее задание
|
Разобрать док-ва свойств одномонотонности последовательностей
|
Придумать 10 примеров выпуклых и 10 примеров невыпуклых фигур;
доказать, что пересечение нескольких выпуклых фигур есть выпуклая фигура;
выяснить: является ли одноточечное множество выпуклой фигурой; выполнить
стендовый доклад по в/указанной теме
|
Заполнить таблицу выпуклых (вогнутых) функций с рассмотрением
соответствующих этим функциям видов неравенств Иенсона
|
Подготовить сообщения о 2знаменитых» решениях задач на поиск
наибольших и наименьших значений функций
|
|
дата проведения
|
по плану
|
26.02
|
5.03-26.03
|
2.04-16.04
|
23.05-7.05
|
|
фактически
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.