Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочая тетрадь по теме "Степенная функция"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Рабочая тетрадь по теме "Степенная функция"

библиотека
материалов

hello_html_ma9089f0.gifhello_html_ma9089f0.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_ma9089f0.gifhello_html_ma9089f0.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_76f43f10.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_76f43f10.gifhello_html_76f43f10.gifhello_html_76f43f10.gifhello_html_76f43f10.gifhello_html_m3234e0d2.gifhello_html_m431673e1.gifhello_html_m1cdb3c77.gifhello_html_7af33974.gifhello_html_4a588c55.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m6e068b97.gifhello_html_m3234e0d2.gifhello_html_411f3523.gifhello_html_m3234e0d2.gifhello_html_7115e965.gifhello_html_550e4122.gifhello_html_3054a04b.gifhello_html_3054a04b.gifhello_html_m4a816b6f.gifhello_html_m4a816b6f.gifhello_html_m4a816b6f.gifhello_html_m4a816b6f.gifhello_html_49ecb57d.gifhello_html_49ecb57d.gifhello_html_49ecb57d.gifhello_html_m3234e0d2.gifhello_html_m3234e0d2.gifhello_html_m3234e0d2.gifhello_html_m3234e0d2.gifhello_html_m4a816b6f.gifМинистерство образования и науки Хабаровского края

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Хабаровский технический колледж»













Рабочая тетрадь

по алгебре и началам анализа

Тема «СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ»


студента (ки) группы_________________________________

Ф.И.О.______________________________________________

















2014


Рабочая тетрадь по алгебре и началам анализа по теме «Степенная функция»

.


Автор тетради Ивашкина Е.С., преподаватель КГБОУ СПО Технический колледж.



Рабочая тетрадь по алгебре и началам анализа по теме «Степенная функция» рассмотрена и одобрена на заседании цикловой комиссии математических и общих естественнонаучных дисциплин.

Протокол № ___3______ от ____20.10._______ 2014 года.







Рабочая тетрадь по алгебре и началам анализа по теме «Степенная функция» предназначена для студентов, изучающих математику в учреждениях среднего профессионального образования, реализующих образовательную программу среднего полного образования. Рабочая тетрадь разработана на основе примерной программы учебной дисциплины «Математика», утверждённой Министерством образования и науки Российской Федерации и Федеральным институтом развития образования в 2008 году.

Рабочая тетрадь содержит основные понятия теории и основные формулы по теме «Степенная функция», а также набор заданий для самостоятельной работы.















Содержание

1.Определение и свойства степенной функции.


2.Иррациональные уравнения.


3.Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными.


4.Контрольная работа.

































1. Определение и свойства степенной функции.


Историческая справка


Учение о степенных функциях развивалось параллельно с расширением понятия степени (начиная со степеней с натуральными показателями и заканчивая понятием степени с любым действительным показателем). Так, равенством а0=1 (где а≠0) пользовался в начале XV в. самаркандский учёный ал-Каши. В XV же веке французский математик Н.Шюке ввел понятие отрицательного показателя степени. Идея введения дробных показателей встречается ещё в XIV в. в работах французского учёного Н.Орема, где в словесной формулировке он описал правила действия со степенями.

Современную символику степеней с нулевым, отрицательным и дробным показателем начал использовать английский математик Д.Валлис (1616-1703), а общепринятой эта символика стала после употребления её И.Ньютоном (1643-1727) в своих работах.

В начале XVIIв., в результате открытия метода координат и аналитической геометрии, появились графический метод исследования функций и графический способ решения уравнений.

Ньютон называл все кривые, задаваемые функцией

у=ах+вх2+сх3+…..+рхn,

параболическими кривыми, хотя традиционно все же этим термином называют графики функций

у= схm,

где с- положительное действительное число, m – положительное рациональное число. Если m< 0, то графики функций называют гиперболическими кривыми.


Определение: Функцию у=хр, где р - заданное действительное число, называют степенной функцией.


Свойство 1: Степенная функция у=хр для любого рhello_html_c662e8e.gifR определена при х>0


Свойство 2: Множество значений степенной функции у=хр при х>0, р≠0 – все положительные числа


Свойство 3: Степенная функция у=хр на интервале х>0 является возрастающей, если р>0, и убывающей, если р<0.



http://www.terver.ru/img/stepennajafunkcijaieeproizv/1.jpg





Картинка 1 из 620






Задание 1:Изобразить схематично графики функций:

1)hello_html_26d234ba.gif 2) hello_html_6eb629f7.gif 3) hello_html_36df3a13.gif 4) hello_html_6e4b6c8c.gif


Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4


Бланки ЕГЭ 2005 ответов 2-1 А4

















2. Решение иррациональных уравнений

Определение: Уравнение называется иррациональным, если хотя бы одно неизвестное находится под знаком радикала.

Задание 1: Выбрать иррациональное уравнение:

1) hello_html_m5bcb81c0.gif 4) hello_html_m212ecc00.gif

2) 2х+63 =hello_html_2a837ff3.gif 5) х2-3hello_html_m5f23c00d.gifх=4

3) 12-hello_html_2c11f6a7.gif=1 6) hello_html_m55e82ffb.gif


Задание 2: Какое из чисел –2;-1;0;1;2 будет являться корнем иррационального уравнения: hello_html_50c82cf5.gif


Задание 3: Является ли число х=2 корнем уравнение hello_html_m58c1ef.gif, как это проверить.


Задание 4: Методом подстановки найти решение иррационального уравнения:


х=1

х=-7




х=-1

х=7









Правило. Для решения иррационального уравнения необходимо возвести в степень обе части уравнения. Причём необходимо учитывать следующее:

1) если возводим в четную степень, то нужна проверка

2) если возводим в нечетную степень, то проверка не нужна

.

Пример: Решить иррациональное равнение:

1) hello_html_m6e09f94e.gif 2)hello_html_m64eef643.gif

Решение: Проверка: Решение: Проверка:

hello_html_5732236c.gifhello_html_6fdf308c.gifhello_html_731ff809.gif а)hello_html_m7318e57d.gif

5х+4=9 3=3 х+4=3х-6 б)hello_html_m4c9cdefc.gif

5х=9-4 х-3х=-6-4 3=3

5х=5 -2х=-10

х=1 Ответ: х=1 х=5 Ответ: х=5


3) hello_html_m2ff0c2d3.gif

Решение: Проверка:

hello_html_mf1fc352.gifhello_html_272975f3.gif

х2+4х-8=х2 х=2

х2+4х-8-х2=0 2=2

4х-8=0

4х=0+8

4х=8

х=2 Ответ: х=2


Задание 5: Заполнить таблицу:

Уравнение

Возведение в квадрат

Решение уравнения

Проверка

Ответ

1

hello_html_m2839b384.gif

hello_html_64befa6f.gif

3х-9=36

3х=36+9

3х=45

х=15

hello_html_m33ce5ce3.gif

6=6






х=15

2

hello_html_6a0b4462.gif



























3

hello_html_95381b7.gif

hello_html_m99ab35f.gif

3х+5=х+13

3х-х=13-5

2х=8

х=4

hello_html_71268f32.gif

hello_html_463205d8.gif




х=4

4

hello_html_m3f5b5e07.gif












5

hello_html_2fd8470a.gif














Задание 6: Закончить решение:

hello_html_3d5a5eec.gif

Решение:

hello_html_4d8e0bb.gif

2-6х+12=х2+5х-6

2-6х+12-х2-5х+6=0

х2-11х+18=0

а=1, b=-11, с=18

х1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_m61fc3f6f.gif


х1=hello_html_4a7d4d06.gif х2=hello_html_14ee3a7d.gif


Проверка:

  1. х=9

hello_html_7b3a2755.gif

hello_html_22feb61f.gif

  1. х=2

hello_html_eb34bf3.gif

hello_html_m6c84283c.gif

Ответ: х1=9, х2=….

2) hello_html_m34b40c9.gif

Решение:

hello_html_m682604eb.gif

х2-5х+15=9

х2-5х+15-9=0

х2-5х+6=0

а=1, b=-5, с=6

х1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_m2443ba93.gif


х1=hello_html_62015a4.gif х2=hello_html_m6d64c3ae.gif

Проверка:







Задание 7: Найти ошибку:

hello_html_5f7fbeb.gif


Решение:

hello_html_m29203a47.gif

2-2х+1=2х2-6х+13

2-2х+1-2х2+6х-13=0

х2+4х-12=0

а=1, b=4, с=-12

х1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_m4d460bd.gif


х1=hello_html_49006aaa.gif х2=hello_html_m6d791ca6.gif

Проверка:

  1. х=2

hello_html_m3bffcc8a.gif

hello_html_6d2530d6.gif

  1. х=-6

hello_html_ma05578.gif

hello_html_md587c96.gif

  1. х=-6 –посторонний корень

Ответ: х=2



Задание 8: Найти сумму корней иррационального уравнения:

1) hello_html_66398a41.gif

2) hello_html_m6a373a30.gif


1). hello_html_66398a41.gif

Решение:

























2) hello_html_m6a373a30.gif

Решение:
































Формулы сокращенного умножения


квадрат суммы: ( а + в )² = а² + 2ав + в²

квадрат разности: ( а - в )² = а² - 2ав + в²

разность квадратов: а² - в² = ( а - в )( а + в)

куб суммы: ( а + в )³ = а³ + 3а² в + 3ав² + в³

куб разности: ( а - в )³ = а³ - 3а² в + 3ав² - в³

разность кубов: а³ - в³ = ( а – в)( а² + ав + в² )

сумма кубов: а³ + в³ = ( а + в)( а² - ав + в² )


Задание 9: Заполнить таблицу:


многочлен

формула

упрощение

результат

1

(2х+3)2

Квадрат суммы


(2х)² + 2·2х·3 + 3²

2+12х+9

2

(4х-1)2







3

(2х-2)3







4

(х+5)3







5

(х+6)2









Пример: Решить иррациональное уравнение:

х-6 =hello_html_m76b91b4c.gif

Решение:

(х-6)2 =(hello_html_m76b91b4c.gif)2

(х)2-2·х·6+62=2х+12

х2-12х+36=2х+12

х2-12х+36-2х-12=0

х2-14х+24=0

а=1, b=-14, с=24

х1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_1bc1093c.gifhello_html_70ae2af6.gif

х1= hello_html_300b45fb.gif х2= hello_html_m6104b5c5.gif

Проверка:

1) х=12 2) х=2

12-6=6 2-6 =-4

hello_html_32822d50.gif6 hello_html_m55e339e5.gif4

6=6 -4≠4

х=2- посторонний корень


Ответ: х=12



Задание 10: Проверить решение и найти ошибку:

х+1 =hello_html_m12b1ccc0.gif

Решение:

(х+1)2 =(hello_html_m12b1ccc0.gif)2

(х)2+2·х·1+12=-1-х

х2+2х+1=-1-х

х2+2х+1+1+х=0

х2+3х+2=0

а=1, b=3, с=2

х1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_20716b19.gifhello_html_14188d12.gif

х1= hello_html_m27d47d0f.gif х2= hello_html_m7e7517c2.gif

Проверка:

1) х=1 2) х=-2

1+1=2 -2+1=1

hello_html_3199f5d4.gif( по определению hello_html_253216f9.gif, а≥0 ) hello_html_2f97000.gif

1=1

х=1- посторонний корень

Ответ: х=-2


Задание 11: Решить иррациональное уравнение:

1) hello_html_m7d0c6209.gif

2) х-2 =hello_html_m50adc6c8.gif

3) х+3 =hello_html_2e7f110d.gif


  1. hello_html_m7d0c6209.gif

Решение:



















2) х-2 =hello_html_m50adc6c8.gif

Решение























3) х+3 =hello_html_2e7f110d.gif

Решение



















Задание 12: Найти сумму корней иррационального уравнения:

1) hello_html_m34b40c9.gif 2) х+4 = hello_html_m28cb90e0.gif

а) 4 б) 5 в)6

































Пример. Решить уравнение: hello_html_m2fa70b69.gif

Решение:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы из сомножителей равен нулю.






















Ответ: hello_html_7c15e645.gif


Пример: Решить иррациональное уравнение:

hello_html_m31cd61b4.gif

Решение:

hello_html_4a12d0ed.gif

hello_html_485e99db.gif

hello_html_3f9b490f.gif

а=6, b=-7, с=2

х1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_m65567c97.gifhello_html_m480233c3.gif

х1= hello_html_m491d6d55.gif х2= hello_html_11045921.gif

Проверка:

  1. х=hello_html_4289534c.gif

hello_html_1fcaae0f.gif

2) х=hello_html_338e30ad.gif

hello_html_6a42ce96.gif( по определению hello_html_253216f9.gif, а≥0 )

х=hello_html_338e30ad.gif- посторонний корень

Ответ: х=hello_html_4289534c.gif


Задание 13:Закончить решение уравнения: hello_html_m3b9f8e64.gif.

Решение:

hello_html_m3d8dcc1b.gif




























Ответ:


Задание 14: Решить иррациональное уравнение:

1)hello_html_mba2ab57.gif

2) hello_html_m7271e20f.gif











































Проверь себя!


Решить иррациональное уравнение:


  1. hello_html_m47129935.gif

  1. hello_html_m5c24758e.gif

  1. hello_html_68caf85a.gif

  1. hello_html_1887a91f.gif

  1. hello_html_m30fb287.gif































































3. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными

Историческая справка

Ещё со времен вавилонян и древних индусов считается, что одной из основных целей алгебры является решение уравнений и их систем.

В древнем Вавилоне более 4000 лет назад умели решать уравнения первой, второй и некоторые уравнения третьей степени. Однако, общей теории уравнений в те времена ещё не было.

Приведём задачу, найденную в папирусе Кахуна (XVIII- XVI вв. до н.э.). Задача сформулирована в современных обозначениях и сводится по существу к решению системы уравнений: «Найдите числа ч и у, для которых х22 =100 и hello_html_m453dfc6f.gif». В папирусе решена задача методом «ложного положения». «Положим х=1, тогда у=hello_html_m6db0cb2c.gif и х22=hello_html_m69a93d14.gif. Но в условии х22=102, значит, в качестве х нужно брать не 1, а 10:hello_html_42d4f9f1.gif. Тогда у=6».

В древности уравнениям придавалась геометрическая форма. Сегодня напоминания о «геометрической алгебре» встречается , например, в терминах «квадрат числа», «куб числа» и др.

Известно, что впервые правила преобразования уравнений, обосновав их, правда, геометрически, разработал выдающийся узбекский ученый первой половины IX в. Аль-Хорезми. В XII в. труды аль-Хорезми были переведены на латинский язык и долгое время в Европе являлись основным руководством по алгебре. Арабское название операции «восполнение» (перенесение отрицательных членов уравнения в другую часть) звучало как «ал-джебер», что и дало название разделу математики, занимающемуся решением уравнений, - «алгебра».

Начало освобождения алгебры о геометрической формы в III в. связывают с именем древнегреческого учёного Диофанта. Однако лишь после того, как французский математик Ф.Виет (1540-1603) ввел буквенные обозначения для неизвестных и известных величин, и после появления трудов Р.Декарта (1596-1650) и других европейских учёных XVI-XVII вв. процесс освобождения алгебры от геометрической терминологии был завершён. Этот процесс способствовал расцвету алгебры и развитию различных её направлений: теориям уравнений, многочленов, функций и пр.


















Задание 1: Показать номер той пары чисел, которая является решением системы уравнений (методом подстановки):

х=-1, у=1

х=1, у=-1



х-у=0

х·у=1




х=-1, у=-1

х=1, у=1





Задание 2: Закончить составление системы, решением которой является пара чисел х=-3, у=2

1) х+у=….. 2) х22=……

х·у=….. х+у=…..


Существует ли ещё пара чисел, удовлетворяющая данной системе?


Правило: Для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными (методом подстановки), необходимо из одного уравнения системы выразить одно неизвестное через другое, а затем подставить полученное выражение в другое уравнение системы. Ответ записывается в виде (х;у).


Задание 3: Решить систему уравнений:

х+у=5

х·у=6


Решение:


х+у=5 х·у=6

Выразим х через у: х=5-у, подставим во 2 уравнение: (5-у)·у=6

5у-у2 –6=0

2+5у-6=0 : (-1)

у2-5у+6=0

а=1,b=-5, с=6

у1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_m67ead404.gifhello_html_541e3fe9.gif

у1= hello_html_m74e4a258.gif у2= hello_html_m6d64c3ae.gif

у1=3 у2=2

х1=5-у=5-3=2 х2= 5-у =5-2=3


Ответ: (2;3), (3;2)


Задание 4: Закончить решение

х-у=2

х·у=8

Решение:

х-у=2 х·у=8

Выразим х через у: х=2+у, подставим во 2 уравнение: (2+у)·у=8

2у+у2 –8=0

у2+2у-8=0

у1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_m4c8fbdae.gifhello_html_m28c22acc.gif

у1= hello_html_7a93c0f6.gif у2= hello_html_m59fd57eb.gif

у1=2 у2=-4

х1=2+у=2+2=4 х2= 2+у =……………

Ответ: (4;2), (….;-4)


Задание 5: Решить систему и стрелками указать те пары чисел, которые будут являться решениями:

(-2;-5)

(3;2)

х-у=2

х·у=8





х-у=3

х·у=10



(-2;-4)

(4;2)



х-у=1

х·у=6



(-2;-3)

(5;2)


















Пример: Решить систему уравнений:


х22=200

х+у=20

Решение:

(х-у)·(х+у)=200

х+у=20 (разделим первое уравнение системы на второе уравнение)

hello_html_1a71e1e6.gif , получим: х-у=10

х=10+у, (подставим во второе уравнение системы)

(10+у)+у=20

2у=20-10

2у=10

у=5, х=10+у=10+5=15

Ответ: (15;5)



Пример: Решить систему уравнений:

х+х·у+у=-1

х-х·у+у=3

Решение:

Сложим первое и второе уравнение системы: (х+х·у+у)+( х+х·у+у)=-1+3

х+у+х+у=2

2х+2у=2

2(х+у)=2

х+у=1, х=1-у

Подставим выражение для х в первое уравнение системы:

(1-у)+(1-у)·у+у=-1

1-у+у-у2+у=-1

2+у+1+1=0

2+у+2=0

у2-у-2=0

а=1,b=-1, с=-2

у1,2= hello_html_m38cf44b7.gif=hello_html_m5a289bc9.gifhello_html_m21012ed8.gif

у1= hello_html_2a49416e.gif у2= hello_html_m35d2e7e7.gif

у1=2 у2=-1

х1=1-у=1-2=-1 х2= 1-у =1-(-1)=2


Ответ: (-1;2), (2;-1)





Задание 6: Решить самостоятельно :

1) х-у=6 2) х22=27 3) х-х·у+у=7

х·у=-5 х+у=-3 х+х·у+у=5


Ответ записать в виде таблицы:


Задание

1

2

3

Ответ













































Проверь себя!

I.Решить систему уравнений:


  1. х-у=2

х22=12

  1. х-у=1

х∙у=6

  1. ху=6

х22=13

II. Разность двух чисел в 24 раза меньше их произведения, а сумма этих чисел в 5 раз больше их разности. Найти эти числа

4. Контрольная работа

Уровень А:

1) Решить иррациональное уравнение:

а) hello_html_m49a27cb0.gif

б) hello_html_m10afdf11.gif

в) hello_html_m4b8ca0c0.gif

г) hello_html_51937a5d.gif

2) Решить систему уравнений:

а) х-у=3 б) х·у=-2

х·у=10 2х+у=0

Уровень В:

1) Решить иррациональное уравнение:

а) hello_html_40a1bb7c.gif

б) hello_html_10d5d72f.gif

2) Решить систему уравнений:

а) х-2у=-7 б) х22=9

х·у=-6 х-у=1

Уровень С:

1) Решить иррациональное уравнение:

а) hello_html_45d7082c.gif

б) hello_html_726791f0.gif

2) Решить систему уравнений:

х-х·у+у=-7

х+х·у+у=1








































































Краткое описание документа:

Рабочая тетрадь по алгебре и началам анализа по теме "Степенная 

функция" соответствует структуре учебника "Алгебра и начала

анализа10-11класс" Алимов Ш.А. и др. Содержит различные формы

и методы изложения материала, задания расположены с учетом 

возрастания сложности, при выполнении заданий требуются умения

систематизировать, сравнивать, анализировать предложенную

информацию, применять имеющиеся знания и умения в нестандартной

ситуации. Помимо заданий в рабочей тетради содержатся и

справочные материалы, в конце тетради находится контрольная

работа.

Использование рабочей тетради позволяет осуществить достижение 

уровня обязательной математической подготовки, ведет к повышению 

активности и самостоятельности студентов.

 

 

 

Автор
Дата добавления 25.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров373
Номер материала 409896
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх