Задания исследовательского характера по математике

Класс  5 - 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1

В квадрате проведены два отрезка, соединяющие противоположные вершины. Сколько всего получилось треугольников?  (8)

Задача 2

Несмотря на то, что Баба Яга, как любая женщина, скрывает, сколько ей лет, стало известно, что ее возраст выражается наименьшим трехзначным числом, которое записывается различными цифрами. Сколько лет Бабе Яге?

                    (102 г.)

Задача 3

Начерти два отрезка так, чтобы один был длиннее другого на 2 см., а вместе они составили бы отрезок длиной 14 см.          (6 см., 8 см.)

(8-2=6,  6+8=14)

Задача 4

В деревне Простоквашино на скамейке перед домом сидит дядя Федор, кот Матроскин, пес Шарик и почтальон Печкин. Если Шарик, сидящий крайним слева, сядет между Матроскиным и Федором, то Федор окажется крайним слева. Кто где сидит?   (Ш., Ф., М., П)

Задача 5

Говорят, что мудрая Тортилла отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зеленую. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», на синей – «Зеленая коробочка пуста», а на зеленой – «Здесь сидит змея». Тортилла прочла надписи и сказал: «Действительно, в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой – змея, а третья – пуста. Но имей в виду, что все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он - твой».

                          Где лежит золотой ключик?                         (в зеленой)

Задача 6

Было на свете когда-то 25 оловянных солдатиков, сделанных из старой оловянной ложки массой 123 г.  24 солдатика были одинаковыми: друг от друга не отличались ничем, но двадцать пятый был не такой, как все. Он оказался одноногим. Его отливали последним, и олова немного не хватило. Какова масса последнего солдатика?

                                   (3 г.)                (123:24=5(ост. 3)

 

- Задача на установление сходства и различия:

Выделить общие черты прямоугольника и квадрата.

Комментарий. Для решения данной задачи обучающийся должен выделить все свойства, признаки и формулы связанные с каждой из фигур, а затем выбрать те, которые совпадают.

(Общее: все углы прямые, противоположные стороны параллельны, диагонали в точке пересечения делятся пополам, у обоих четыре стороны, четыре угла, четыре вершины

разное: у квадрата все стороны равны, диагонали пересекаются под прямым углом, а у прямоугольника равны только противоположные стороны.)

- Задача на развитие логики и смекалки:

6 рыбаков за 6 дней съели 6 судаков. За сколько дней 10 рыбаков съедят 10 судаков?

Комментарий. Для обучающихся данная задача покажется простой, иони сразу назовут ответ «10», но только при проявлении смекалки обучающиеся назовут правильный ответ

(6 : 6 = 1 судак - съедает один рыбак за шесть дней;

Найдем, за сколько дней десять рыбаков съедят 10 судаков, если один рыбак за шесть дней съедает одну рыбу.

10 : 10 * 6 = 6 дней - за столько дней десять рыбаков съедят десять судаков)

- Задача, решение которой производится с помощью древавариантов:

Задача: Сколько различных трехзначных чисел можно получить изцифр 1, 3, 5, 9, если при записи числа не могут стоять рядом 2 одинаковыецифры?

Комментарий. Данную задачу обучающиеся смогут решить только спомощью древа вариантов, так как в школьном курсе математике не изучаются все формулы для решения комбинаторных задач. Для того чтобырешить эту задачу, обучающиеся должны будут выбрать числа которыемогут стоять на разряде сотен, десятков и единиц, далее перебрать все возможные вариантыпоследовательности чисел, а затем посчитать получившееся количествовариантов.

(из данных цифр можно составить 4*3*2=24 трехзначных числа)

 

Высоту дерева можно измерить разными способами:

1) с помощью воздушного шарика и нитки измерить высоту берёзы. Как это можно сделать?

После некоторых исследований обучающиеся приходят к выводу:

1) привязать к шарику длинную нитку и выталкивать ее постепенно вверх до тех пор, пока шарик не достигнет верхушки берёзы;

2) сделать на нитке отметку (например, узелок);

3) вернуть шарик вниз, измерить длину выпущенной части нитки с помощью рулетки.  (Высота берёзы – 12 м.)

2) Метод «Карандаш»

Провести исследование, как при помощи карандаша и рулетки вычислить высоту дерева.

Проведя исследование, обучающиеся пришли к порядку вычисления:

1) встать от дерева на такое расстояние, чтобы видеть его целиком - от основания до верхушки. Рядом со стволом стоит одноклассник;

2) вытянуть перед собой руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз и подвести кончик грифеля к вершине дерева. Теперь переместить ноготь большого пальца так, чтобы он оказался под основанием ствола;

3) повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен параллельно земле. При этом ноготь должен все также оставаться в точке основания ствола;

4) крикнуть однокласснику, чтобы он отошел от дерева. Когда он достигнет точки, на которую указывает острие карандаша, подать сигнал, чтобы он остановился.

5) измерить расстояние от ствола до места, где остановился одноклассник. Оно будет равняться высоте дерева – 10 м.

 

3)                По тени.

Определить высоту дерева по его тени.

Обучающиеся провели исследование. Вбили палку в землю, измерили длину тени и длину палки. Оказалось, что при измерении тень от палки в 2 раза больше длины палки (длина тени 4 м., а длина палки 2 м), значит высота дерева будет в 2 раза меньше длины его тени (высота тени дерева 12 м., значит высота дерева 6 м.)

4)                Начертить окружность без циркуля

Обучающимся была дана веревка и две палки.

Обучающиеся провели исследование. Одну палку вбили в землю, привязали к ней веревку, натянули веревку и привязали другую палку. Затем прошли по кругу и получилась окружность.

Исследовательские умения создают условия в стремлении познать объективно новые факты, используя теорию исследований. При решении исследовательских задач обучающийся обучается применять математические знания к практическим нуждам.

Задания исследовательского характера существенно отличаются от традиционных заданий уже своей формулировкой. Так большая часть заданий школьных учебников звучит так: "Решить уравнение", "Доказать, что выражение … больше выражения …", "Упростите…" и т.п.

В формулировках исследовательских заданий нет явного ответа, его необходимо самим найти и обосновать. Формулировки заданий могут быть такими: "Исследовать …". "Верно ли, что если …, то …".

Типы исследовательских заданий

I тип - стандартные задачи, обеспечивающие деятельность обучающихся по образцу или изученному правилу (выполнение вычислений, измерений, практических заданий и т.п.)

II тип - задачи, обеспечивающие готовность к исследовательской деятельности, включающие:

а) умение проводить анализ наблюдаемых объектов и выполнять описание наблюдений на уроках математики;

Например, какой геометрической формы должен быть чайник (при условии неизменного объёма и материала, из которого изготовлен чайник), чтобы вода в нём остывала как можно дольше?

В ходе рассуждений обучающиеся пришли к выводу, что чайник в форме шара (красный чайник) имеет наименьшую поверхность, а значит дольше остаётся горячим (медленнее остывает), чем чайник любой другой формы.

б) умение классифицировать объекты на уроках математики (выделять существенные признаки объекта);

Например, почему кошка сворачивается в клубок, когда холодно?

В ходе рассуждений обучающиеся объяснили, что в холодную погоду многие животные спят, свернувшисьвклубок, так как таким образом они уменьшают площадь поверхности своего тела, таким образом уменьшая теплоотдачу тела в окружающую среду.

в) умение обобщать и находить закономерности на уроках математики;

Например, разгадай правило, по которому записан каждый ряд чисел, и продолжи его:

А) 123, 246, 492 … (984, 1968)  (предыдущее число умножается на 2)

б) 15, 75, 375 … (1875, 9375)  (предыдущее число умножается на 5)

в) 3020, 3220, 3420 … (3620, 3820)  (к предыдущему числу прибавить 200)

г) 7602, 7632, 7662 … (7692, 7722)  (к предыдущему числу прибавить 30)

г) решатьпоисково-исследовательские задачи, результатом решения которых является догадка, т.е. нахождение пути (способа) решения.

Например, квадрат и прямоугольник имеют одинаковые периметры. Площадь какой фигуры больше? Проведите исследование, если периметр равен: 1) 16 см; 2) 32 см.

(площадь квадрата – 16 кв см (4*4=16), площадь прямоугольника – 60 кв см (10*6=60))

Появление догадки свидетельствует о развитии у обучающихся таких качеств исследовательской деятельности, как смекалка и сообразительность. Такими заданиями могут быть задачи на смекалку

-                    В каком месяце есть 28 дней? (во всех)

-                    Какое число делится на все числа без остатка? (Число 1 (единица) делитсянавсе целые числабезостатка.)

-                    На двух руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (На руках 10 пальцев, то есть на двух руках, значит: 10 ÷ 2 = 5 пальцев. Значит, на одной руке 5 пальцев. Считаем, сколько пальцев на 10 руках, для этого количество рук умножаем на количество пальцев. Записываем решение: 5 × 10 = 50 пальцев. То есть на 10 руках 50 пальцев. Ответ: на 10 руках 50 пальцев.)

-                    Тройка лошадей пробежала путь 30 км. Сколько километров пробежала каждая лошадь? (по 30 км)

Задачи на логику

1) Дети пилят бревна на метровые куски. Отпиливание одного куска занимает одну минуту. За сколько минут они распилят бревно длиной 5 метров? (Ответ. за 4 минуты. Решение задачи. Распилов всегда будет на 1 меньше, чем кусков. Таким образом, будет потрачено 5×1-1=4 минуты.)

2) Кот в Сапогах поймал четырёх щук и ещё половину улова. Сколько щук поймал Кот в Сапогах? (2*4=8 (щ.) - весь улов.   Ответ: 8 щук.)

Задачи на поиск разных вариантов

Расставьте скобки так, чтобы равенства стали верными:

а) 90+120:10*2=42

б) 90+120:10*2=96.

в) 180+400-400:4=180

г) 180+400-400:4=480.

(ответ:

А) (90+120):10*2=42

б) 90+120:(10*2)=96

в) 180+(400-400):4=180

г) 180+400-(400:4)=480)