Основные понятия
стереометрии.
Аксиомы стереометрии и
их следствия.
Основными понятиями
стереометрии, т.е. простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и
плоскость.
Точка является
идеализацией очень маленьких объектов, таки, размерами которых можно
пренебречь. Евклид в своей знаменитой книге «Начала» определял точку как то,
что не имеет частей. Точки на рисунке обозначают заглавными буквами латинского
алфавита.
Прямая является
идеализацией тонкой натянутой нити, которая не имеет конца. Прямые
обозначаются малыми буквами латинского алфавита (a, b, c, d,…) или указанием
двух точек, лежащих на данной прямой (АВ, СЕ, РК,…).
Плоскость является
идеализацией ровной безграничной поверхности. Плоскости обозначают малыми
буквами греческого алфавита (a, b, g, p,…) или указанием трех точек, не лежащих на одной прямой, но лежащих в
данной плоскости ( (АВС), (МРК), (СТН),…). Плоскость можно изобразить тремя
способами:
·
Как изображают
и обозначают плоскости?
·
Какой
способ изображения плоскости наиболее точно отражает ее понятие?
Рассмотрим взаимное расположение прямых и
плоскостей в пространстве
1. Точки и плоскость
Аксиома: какова бы ни была плоскость существуют точки
принадлежащее ей и точки, не принадлежащие ей.
АÎa,
ВÏa
2. Прямая и плоскость.
·
Прямая лежит в плоскости, т.е. она имеет с
плоскостью множество общих точек:
аÌb
Аксиома: если две точки прямой лежат в
плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости
·
Прямая пересекает плоскость, т.е. она имеет с плоскостью
только одну общую точку:
аÇb
=А
·
Прямая не имеет с плоскостью общих точек, т.е. она
параллельна плоскости:
b÷ êa
3. Две плоскости в пространстве.
·
Совпадают:
(АВС)=g
·
Пересекаются:
Аксиома: если две плоскости имеют общую
точку, то они имеют множество общих точек, лежащих на линии пересечения
плоскостей.
Иными словами: две плоскости пересекаясь, образуют прямую,
состоящую из общих для данных плоскостей,
точек.
aÇb=а
аÎa, аÎb
·
Не имеют общих точек, т.е. параллельны:
b ÷ êa
·
Как может располагаться прямая
относительно плоскости7
·
Как
выяснить: лежит ли прямая в плоскости?
·
Сколько
общих точек у плоскости и прямой, пересекающей ее?
·
Каким
может быть взаимное расположение двух плоскостей?
·
Сколько
общих точек у двух пересекающихся плоскостей? Где они расположены?
Задание
1. Сделайте рисунки, ответьте на вопросы, поясните
ответы
1) КÎa, СÎa Принадлежит
ли прямая КС плоскости a? Сколько общих точек имеют плоскость a и прямая КС? Почему?
2) МÎb, ЕÏb Принадлежит ли
прямая МЕ плоскости b? Сколько общих точек имеют плоскость b и прямая МЕ?
3) ЕÏg, РÏg Пересекает
ли прямая ЕР плоскостьg ? В каком случае это происходит?
4) АÎa, ВÏa, КÎАВ Принадлежит ли точка К плоскости a? Почему?
5) МÎ(АВС), NÏ(АВС), PÏ(АВС) Сколько общих точек имеют плоскости АВС и MNP? Где располагаются
точки, общие для этих двух плоскостей?
6) аÎa, aÎb, bÇa=M Принадлежит ли точка М плоскости a? Почему? Принадлежит ли точка
М плоскости b? Почему?
_________________________ ___________________________ __________________________
_________________________ ___________________________ __________________________
_________________________ ___________________________ __________________________
_________________________ ___________________________ __________________________
_________________________ ___________________________ __________________________
____________________________
___________________________
____________________________
___________________________
____________________________
___________________________
____________________________
___________________________
Задание
2. Отметьте верные утверждения. Ответы поясните
1) Если точки А и В принадлежат плоскости a, а точка С
принадлежит прямой АВ, то точка С принадлежит плоскости a
2) Если прямая АВ пересекает плоскость a в точке С то точка В
не принадлежит плоскости a
3) Если точка А принадлежит плоскости a, точка В принадлежит
плоскости b, то плоскости a и b пересекаются по прямой АВ
4) Если точка Р принадлежит плоскости КСМ, то
точка К принадлежит плоскости СМР
5) Если две вершины треугольника лежат в
плоскости a, то и третья его вершина лежит в плоскости a
№______, потому что
________________________________________________________________
№______, потому что
________________________________________________________________
№______, потому что
________________________________________________________________
№______, потому что
________________________________________________________________
№______, потому что
________________________________________________________________
Задание
3
1) Точки А, В, С и К не лежат в одной
плоскости.
Укажите:
а) плоскости,
которым принадлежит прямая АВ, точка М, точка С;
б) прямую
пересечения плоскостей АВС и АСК, АВК и КСМ
АВÎ_______________________, МÎ_______________________, СÎ_______________________,
(АВС)Ç(АСК)=____________________, (АВК)Ç(КМС)=____________________,
2) Точки А, В и С принадлежат плоскости a, точка М не
принадлежит этой плоскости
а) Принадлежит ли точка К плоскости a?
б) Укажите прямую пересечения плоскостей a и АВМ, АВМ и ВМС
в) Может ли точка Е принадлежать
плоскости a?
г) Принадлежит ли прямая АС плоскости ВМС?
а)_________ потому, что
_____________________________________________________________
б)__________________________________________________________________________________
в)_________ потому, что
_____________________________________________________________
г) _________ потому, что
____________________________________________________________
3) Точка Р лежит вне плоскости АВС.
Пересекаются
ли прямые РЕ и ВС?
_________
потому, что __________________________________
Аксиома: через две пересекающиеся прямые
можно провести плоскость и притом единственную
Следствия
|
|
|
|
|
Через три точки, не лежащие на одной
прямой, можно провести плоскость и притом единственную
|
|
|
Через две параллельные прямые можно
провести плоскость и притом единственную
|
|
|
Через прямую и не лежащую на ней точку
можно провести плоскость и притом единственную
|
|
·
Через что
в пространстве можно провести плоскость?
·
Почему
через две точку можно провести множество плоскостей? Как рас положены эти
плоскости по отношению друг к другу?
Задание
4.
Дан куб. Укажите плоскости, проходящие через:
прямые
АВ и ВС _________________________________________
точки
D, C, C1 __________________________________________
прямые
АА1 и СС1 _________________________________________
прямые
BD и B1D1 _________________________________________
прямые АС1
и А1С _________________________________________
Задание
5. Проведите плоскость через:
АС и А1С1 AD1
и BC1 точки А, С, D1
Задание
6.
Соедините совпадающие плоскости.
Плоскость, проведенная через: Совпадающая
плоскость:
прямую АВ и точку С1 (D
D1B1)
точки D, B, B1 (ВВ1С)
прямую АА1
и точку К (А1В1С1)
прямую КС и точку С1 (D1C1B1)
прямую А1Е
и В1D1 (АD1C1)
прямую ЕВ1
и точку А1 (В1ВА)
Задание
7. Укажите прямую, которая является линией
пересечения плоскостей:
(АВС) и (DD1C1), (ВС1К) и (ADC) (АКD1) и (АВС)
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
Задание 8.
Лучи
МА, МВ и МС лежат в одной плоскости и
пересекают
плоскость a в точках А, В и С.
объясните,
почему точки А, В и С будут
лежать
на одной прямой.
________________________________________
________________________________________
________________________________________
Задание
9.
Сколько плоскостей изображено на рисунке?
Запишите пересекающиеся плоскости, указав
линию их пересечения:
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________
Задание
10. Исправьте ошибки на рисунке:
Задание
11.
Постройте линию пересечения плоскостей (АВС) и a:
Взаимное расположение
прямых в пространстве
На плоскости две различные прямые либо
совпадают – имеют множество общих точек, либо пересекаются – имеют одну общую
точку, либо параллельны – не имеют общих точек.
прямая а совпадает с прямой АВ аÇb=М а
ê÷ b
Рассмотрим каким может быть взаимное расположение двух
прямых в пространстве. По рисунку укажите пары пересекающихся прямых и точку их
пересечения:
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
Укажите пары непересекающихся прямых:
______________________________________________
Являются ли эти прямые параллельными?
_______________________________________________
Можно ли через указанные пары провести плоскость?
_____________________________________
Таким образом, в пространстве две прямые могут
не пересекаться, но и не быть при этом параллельными. Такие прямые называются
скрещивающимися. Знак для скрещивающихся прямых
Определение:
Ø
Две непересекающиеся прямые называются
скрещивающимися, если через них нельзя провести плоскость
Ø
Две непересекающиеся прямые называются параллельными,
если через них можно провести плоскость
Задание
1. Дано: аÎa, АÎa, АÏа.
Проведите через точку А прямую b
пересекающую
прямую а.
Сколько таких прямых существует? __________________
Где они расположены?______________________________
параллельную
прямой а
Сколько таких прямых существует? __________________
Где они расположены?______________________________
скрещивающуюся
с прямой а
Сколько таких прямых существует? __________________
Где они расположены?______________________________
Задание
2. Отметьте верные утверждения исходя из рисунка, где
АВСDA1B1C1D1- куб
AB÷ êCD AA1 DC
ADÇDD1 A1DÇBC
B1D1ÇAC BC1÷ êDC
Задание
3. Даны две параллельные прямые а и b. Как
может быть расположена по отношению к ним третья прямая? Сделайте
соответствующие рисунки.
Задание 4. Даны две скрещивающиеся прямые а
и b. Как может быть расположена по отношению к ним третья прямая?
Изобразите соответствующие геометрические ситуации:
Задание 5. Плоскости a и b пересекаются по прямой АВ.
Прямая МР лежит в плоскости a, точка К лежит в плоскости b
Проведите через точку К прямую
а) пересекающую МР б)
скрещивающуюся с МР в) параллельную МР
1) если МР ÷ ê АВ
Как расположена проведенная вами прямая по
отношению к плоскости a, по отношению к b?
_____________________ _____________________
___________________
2) если МР Ç АВ
Как расположена проведенная вами прямая по
отношению к плоскости a, по отношению к b?
_____________________ _____________________
___________________
·
Какие прямые в пространстве называются
параллельными?
·
Какие
прямые называются скрещивающимися?
·
В чем
разница между параллельными и скрещивающимися прямыми?
Проверочная
работа
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.