Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочий материал по стереометрии "Параллельность в пространстве" (10 класс)

Рабочий материал по стереометрии "Параллельность в пространстве" (10 класс)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Параллельность в пространстве


В пространстве параллельными могут быть две прямые – не имеющие общих точек и лежащих в одной плоскости, прямая и плоскость – не имеющие общих точек и две плоскости – не имеющие общих точек.

На рисунке изображен куб. Укажите:

прямые, параллельные прямой ВС:

_____________________________________________________

прямые, параллельные плоскости АВС:

_____________________________________________________

плоскости, параллельные плоскости АА1С:

_____________________________________________________

плоскости, параллельные прямой АВ

А

В

С

hello_html_5ebad893.gif

D

D1

А1

В1

С1

_____________________________________________________



Дана плоскость и точка М, не лежащая в ней.

Сколько прямых, параллельных плоскости , Сколько плоскостей, параллельных плоскости ,

можно провести через заданную точку М? можно провести через точку М

Где располагаются эти прямые? Почему?

М





hello_html_m35a04d0a.gif

hello_html_m35a04d0a.gif

М





Рассмотрим признаки, по которым устанавливается параллельность прямых и плоскостей в пространстве.


  • Признак параллельности прямой и плоскости: прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости найдется хоть одна прямая, которая параллельна данной прямой.

Таким образом, чтобы утверждать, что прямая параллельна некоторой плоскости, необходимо найти в этой плоскости ___________________________________________________________________


  • Признак параллельности двух плоскостей: две плоскости параллельны, если в одной из них найдутся две пересекающиеся прямые, которые соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости.

Таким образом, чтобы утверждать, что две плоскости параллельны, необходимо в одной из них выделить _______________________________ и найти в другой плоскости ___________________, которые________________________________________________



  • Кhello_html_m1f70e252.gifакая прямая называется параллельной по отношению к плоскости?

  • Как доказать, что прямая и плоскость параллельны?

  • Какие плоскости называются параллельными?

  • Как доказать, что плоскости параллельны?

Параллельность прямых и плоскостей

Задание 2. Дана пирамида МАВС (точка М не лежит в плоскости АВС)

Объясните, почему (АВС) 1В1С1)


Задание 1. Дан куб. Объясните, почему:

hello_html_7687db14.gif

А

В

С

hello_html_46820429.gif

D

D1

А1

В1

С1

А1С1 (АВС)

В1С1 (ВСD1)






З

М

К

адание 3. Ромб АВСD и трапеция ВСМК ( ВС – основание) не лежат в одной плоскости..

Как расположены Мhello_html_m229c928.gifhello_html_m21f193ed.gifhello_html_m6522dbed.gif

В

А

D

К и (АВС), АК и (ВМС)?

М

С

К и (АВС )________________ потому, что ____________________

___________________________________________________________

Аhello_html_6ac5b5cd.gifК и (ВМС) _________________ потому, что ____________________

____________________________________________________________



Задание 4. Основания трапеции параллельны плоскости . Каково взаимное расположение плоскости и плоскости трапеции?


Задание 5. Дан куб. (см. задание 1). Докажите, что плоскости АВ1D1 и BDC1 параллельны.


Задание 6. Выпишите верные утверждения, для неверных утверждений приведите контрпример (пример-рисунок, опровергающий данное утверждение)

  1. Прямая, параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости

  2. Через одну из двух параллельных прямых можно провести бесконечное множество плоскостей, параллельных другой прямой.

  3. Существует бесконечное множество плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

  4. Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны..

  5. Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

  6. Если через две параллельные прямые провести две различные плоскости, то эти плоскости будут параллельны.


Задание 7. Постройте сечение плоскостью, проходящей через:

точку К и параллельно (АВМ) точку Р и параллельно (А1ВС)

D1

С1


hello_html_m30756a9b.gif

В1


К



С

D

Р



hello_html_m919db75.gifhello_html_46dbde8d.gifhello_html_m73a77b75.gifhello_html_1a50a845.gifhello_html_m79e7caf8.gif

А

В

С

М

hello_html_m6e01aa78.gif

А

В

А1







Свойства параллельных прямых и плоскостей


  • Теорема1: если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

hello_html_77a6975.gifhello_html_4a499f33.gif

Дано:

= а, =b, 

hello_html_36073a24.gifhello_html_m4b43fedb.gifhello_html_360f46f4.gifhello_html_m6e01aa78.gifhello_html_m7d9a97ec.gifhello_html_72cdde13.gif

а

Доказать: a  b


hello_html_30e01fe4.gif Доказательство.

Предположим, что прямые a и b не параллельны

hello_html_36073a24.gifhello_html_m4b43fedb.gifhello_html_m5a2b4e9c.gifhello_html_m6e01aa78.gifhello_html_m6e01aa78.gifhello_html_17235be5.gifhello_html_m676bd3c3.gif

b

Тогда a и b либо ______________, либо _______________


1) Пусть a b, т.е прямые a и b имеют _____________. Эта общая точка принадлежит плоскости , т.к. ___________ и плоскости , т.к. ___________________

Значит плоскости и имеют __________________, а значит эти плоскости ________________, что противоречит условию. Значит прямые a и b не могут пересекаться.

2) Пусть a b. Но через скрещивающиеся прямые нельзя провести ____________________, а по условию прямые a и b лежат ___________________. Полученное противоречие позволяет сделать вывод, что прямые a и b не могут быть скрещивающимися.

Значит __________________

Теорема, отражающая свойства параллельных плоскостей, пересеченных третьей плоскостью, доказана.


hello_html_m1f70e252.gif

  • Всегда ли линии пересечения двух плоскостей с третьей плоскостью параллельны?



Задание 1. Прямые a и b пересекают параллельные плоскости и в точках М, Е, Р и К..

Нhello_html_241b81f2.gifhello_html_4c758c2c.gifа рисунке изображены три точки. Где расположена четвертая точка?

hello_html_5c40d274.gifhello_html_38274841.gif

а

b

а

b

Если a b Если ab

Е

hello_html_m38d1a78a.gif

Р

Е


hello_html_5cb508a0.gif

Р


hello_html_m4ba9f1f8.gifhello_html_4cf9bf73.gifhello_html_241b81f2.gifhello_html_735a2930.gif


hello_html_30ae9e3d.gif

М

К

hello_html_m38d1a78a.gif

К

М


hello_html_m3e56070d.gifhello_html_79ebe228.gif

hello_html_m53b23c09.gifhello_html_mef39cfb.gif

Почему не рассматривается случай, когда прямые a и b скрещивающиеся?



Задание 2. Две параллельные плоскости пересечены двумя параллельными прямыми a и b.

А, В, С, D – точки пересечения прямых с плоскостями.

Дhello_html_m5d7647e0.gifhello_html_m5d7647e0.gif

а

b

окажите, что АВС D является параллелограммом.

hello_html_541b5f40.gif

А

D

Доказательство. Т.к. a b, то через них можно провести

плоскость, в которой лежит четырехугольник АВС D.

hello_html_m5161173e.gifhello_html_m5161173e.gifЧтобы этот четырехугольник был параллелограммом, необходимо

доказать, что _________________ и ________________

hello_html_18918f40.gif

В

С

1) т.к. a b по условию, то ___________________________

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскости и , которые по

условию _________________. Значит по свойству, рассмотрен-

ному выше, ________________. Ч.т.д.


Задание 3. Дано:  Доказать: 1) АВ А1В1, 2) ∆АОВ подобен ∆А1ОВ1

hello_html_496f944a.gif Доказательство.

1)_____________________________________________________

2) т.к. АВ А1В1, то прямая АВ1секущая при параллель-

ных прямых. ____________________________________________ _______________________________________________________



Зhello_html_m2e400e4a.gifадание 4. Дано:  , прямые a и b пересекаются в точке О,

АО=5, ОВ=4, ОА1=3, А1В.=6.

Нhello_html_4ba749a1.gifайти: АВ и В1

Р

А

ешение.

1) АВ А1В1, т.к. ______________________________________

hello_html_m30dc7d72.gif _______________________________________________________

2) ∆АОВ подобен ∆А1ОВ1, т.к. ___________________________

Значит ________________________________________________

_______________________________________________________


З

А

А1

адание 5. Дано: АВ А1В1, АС А1С1. Докажите, что ВС В1С

hello_html_4cbb7abc.gifhello_html_mc08cd4a.gifhello_html_5a89792b.gifhello_html_4cbb7abc.gifhello_html_mc08cd4a.gifhello_html_5a89792b.gifhello_html_438e1b6b.gif Доказательство.

Плоскости АВС и А1В1С1 _________________, потому что

_______________________________________________________.

З

С

С1

начит ________________________________________________

hello_html_1248a4c6.gif

В

В1

_______________________________________________________ __ ____________________________________________________

hello_html_438e1b6b.gif



Задание 6. Исправьте ошибку на рисунке и решите задачу.

М


hello_html_1a5fe740.gifhello_html_20f2fd66.gif Дано: , АА1= 3, МВ1=12, МА=6, АВ=4

Найти: А1В1, МВ, ВВ1

hello_html_54ce0677.gifhello_html_54ce0677.gifhello_html_m47d094b7.gifhello_html_4a8711ec.gifhello_html_m1cea5f85.gifhello_html_m2689f2c6.gif

hello_html_m4665b58b.gifhello_html_4f73d936.gif

А

В

В1

А1

Решение._____________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ ______________________________________________________ _______________________________________________________


Зhello_html_1a46736a.gif

А1

В1

адание 7. Прямые a и b скрещивающиеся, . Докажите, что АВ и А1В1 – скрещивающиеся

hello_html_12c955e1.gif

hello_html_1a46736a.gif

В

А

hello_html_m4a902ac8.gif

hello_html_m23df8e13.gifhello_html_m5bad0a9f.gifhello_html_1f977b02.gifhello_html_m643e1878.gif

Теорема 2: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Дhello_html_m5af91f59.gif

В

А

ано: ., a b

Дhello_html_m29645546.gifhello_html_m5f226de3.gifоказать: АА1=ВВ1

Д

А1

В1

а

b

оказательство. Рассмотрим плоскость АВВ1, проведенную через параллельные прямые a и b.Эта плоскость пересекает плоскости и ., которые по условию ________________________. (АВВ1)= _________, (АВВ1)= ___________.

Значит отрезки АВ и А1В1 __________________, а т.к. АА1 ВВ1по условию, то четырехугольник АВВ1А1является_________________ По свойству параллелограмма имеем:_______________________


Теорема, отражающая свойство параллельных прямых, пересекающих параллельные плоскости, доказана.

hello_html_m1f70e252.gif

  • Какие отрезки равны, если две параллельные прямые пересекают две параллельные плоскости?


Зhello_html_26b9406.gifhello_html_26b9406.gifhello_html_m4e789333.gif

а

b

с

адание 1. Плоскости и параллельны, прямые а, b и с параллельны друг другу.

1)Укажите равные отрезки.

hello_html_m15b4d325.gif

А1

С1

hello_html_70de69ee.gifhello_html_m69a2aac7.gifhello_html_49e4e19f.gif

В1

hello_html_6281e4ba.gifhello_html_m4e789333.gifhello_html_5f5706c5.gif2)Докажите, что АА1 (ВВ1С)

hello_html_56016f70.gif

А

С

hello_html_m64366db0.gifhello_html_m2f91e84b.gif

hello_html_70de69ee.gifhello_html_m69a2aac7.gifhello_html_49e4e19f.gif

В

hello_html_1f977b02.gif


Задание 2. Теорема 2 гласит: если ., a b, то отрезки, заключенные между плоскостями, равны. (см рис выше)

Верны ли обратные утверждения:

а) если и отрезки, заключенные между плоскостями, равны, то a b;

б) если a b и отрезки, заключенные между плоскостями, равны, то ?


З

А1

В1

адание 3. Параллелограммы АВСD и А1В1СD не лежат в одной плоскости.

1)Укажите равные отрезки: hello_html_56016f70.gifhello_html_726afa95.gif

А

В

С

D

___________

2)Докажите параллельность плоскостей ВСВ1 и АDА1


Задание 4. . Докажите подобие треугольников АВС и А1В1С1

hello_html_4d9e8f02.gifhello_html_m3479389a.gifhello_html_4db2ff52.gif

. hello_html_56016f70.gif

В

А

С

hello_html_6bea2158.gifhello_html_m3e26518a.gif

Задание 5. Даны две параллельные плоскости и и точка А не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая, которая пересекает плоскости в точках Х и У. Докажите, что отношение длин отрезков АХ:АУ не зависит от выбора прямой

hello_html_17235be5.gif

hello_html_5f5706c5.gifhello_html_6f1c5b59.gifhello_html_m22a4495c.gif

hello_html_56016f70.gif

В1

А1

hello_html_570a4d66.gifhello_html_1869e9c8.gif

С1

hello_html_m7337d91d.gif

hello_html_m4a902ac8.gifhello_html_4a8711ec.gifhello_html_410345bf.gif




Дополнительные задания

hello_html_328b91d0.gifhello_html_328b91d0.gifhello_html_328b91d0.gif

В1

С1

Параллелограммы АВСD и А1В1С1D1 лежат в параллель

hello_html_328b91d0.gif ных плоскостях. Прямые, проходящие через их вершины

hello_html_35202ef5.gif

А1

D1

параллельны.

1) Докажите, что ВDD1В1 - параллелограмм

2) Докажите, что DСВ1А1 - параллелограмм

hello_html_35202ef5.gif

А

В

С

D




М

hello_html_m1c7cce01.gifhello_html_m5e0c1160.gifhello_html_m45f837c3.gif МАВС – пирамида (точка М не лежит в (АВС))

(АВС) 1В1С1), МА1=АА1. Найдите площадь

∆А1В1С1, если площадь ∆АВС=15 см2

В1

_________________________________________________

hello_html_m36d08372.gif _________________________________________________

А1

С1

_________________________________________________

_________________________________________________

В

_________________________________________________

hello_html_m1f38fd52.gif _________________________________________________

А

С

_________________________________________________

_________________________________________________




Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

Данный рабочий материал является обобщением типичных заданий по стреометрии по теме "Параллельность в пространстве", содержит теоретический материал, необходимый при изучении соответствующих вопросов, задания для практического выполнения и вопросы для закрепления темы. Материал построен таким образом, что его можно использовать как конспект к уроку с тренировочными заданиями, как материал для самостоятельного изучения или же как элемент рабочей тетради. Как правило, на уроке нет возможности прорешать большое количество задач из-за необходимости выполнять рисунки. Материал содержит задания на готовых рисунках. Подготовительные вопросы позволяют актуализировать знания перед изучением определенной "порции" материала. Контрольные вопросы позволяют выяснить уровень понимания и усвоения изученного материала.

Автор
Дата добавления 09.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров291
Номер материала ДВ-046207
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх