Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочий материал по теме "Решение квадратных неравенств" (8 класс)

Рабочий материал по теме "Решение квадратных неравенств" (8 класс)

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy


СВИДЕТЕЛЬСТВО СРАЗУ ПОСЛЕ ПРОСМОТРА ВЕБИНАРА

Вебинар «Подростковая лень: причины, способы борьбы»

Просмотр и заказ свидетельств доступен только до 22 января! На свидетельстве будет указано 2 академических часа и данные о наличии образовательной лицензии у организатора, что поможет Вам качественно пополнить собственное портфолио для аттестации.

Получить свидетельство за вебинар - https://infourok.ru/webinar/65.html

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Решение квадратных неравенств

Теоретическая часть

  • Неравенство вида ах2+ bх+с>0 называется квадратным (могут быть использованы знаки < , , )


  • Решить неравенство ах2+ bх+с>0 - это значит найти такие значения переменной х, при которых квадратный трехчлен ах2+ bх+с принимает положительные значения. Аналогичен смысл решения неравенств ах2+ bх+с<0, ах2+ bх+с0, ах2+ bх+с0.


  • Значения квадратного трехчлена совпадают со значениями соответствующей квадратичной функции.


  • Квадратные неравенства удобно решать на основе свойств соответствующей квадратичной функции f(x)= ах2+ bх+с.


Значит, при решении неравенства ах2+ bх+с>0 надо ответить на вопрос: «при каких значениях аргумента функция у= ах2+ bх+с. принимает положительные значения» , а при решении неравенства ах2+ bх+с<0 надо найти такие х, при которых соответствующая функция принимает отрицательные значения.


1. Вспомните свойства квадратичной функции, восполняя пробелы в тексте (устно)

У любой функции, в том числе и квадратичной, каждому значению аргумента х будет соответствовать определенное значение функции - у. Точки (х;у) образуют график функции. Графиком квадратичной функции является …., ветви которой будут направлены вверх, если …, и вниз, если ….

Квадратичная функция (как и любая другая) может сменить свой знак при переходе через точку, называемую ….. Таких точек у квадратичной функции может быть …., Это зависит от ….

Еhello_html_m20f2a7c4.gifhello_html_m20f2a7c4.gifсли при решении уравнения ах2+ bх+с=0 получаем два корня, то схема знаков квадратичной функции выглядит так: или так , это зависит от …

Еhello_html_m20f2a7c4.gifhello_html_m20f2a7c4.gifсли же дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то оно имеет …… и график квадратичной функции пересекает ось абсцисс … раз (точнее – касается оси х) и схема знаков функции выглядит так , если ветви направлены …. или , если ветви параболы направлены….. Парабола может и не пересекать ось х, если… . Тогда значения функции всегда положительны, если ветви параболы направлены … и значения функции всегда отрицательны, если ….

Поэтому, чтобы решить квадратное неравенство достаточно схему знаков соответствующей квадратичной функции


2. Составьте алгоритм решения квадратного неравенства, выбрав нужные для этого действия, указав порядок выполнения (карандашом)

Нhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifайти ООФ, найти ОЗФ, найти координаты вершины параболы, определить направление ветвей параболы, записать ось симметрии параболы, найти нули функции, найти точки пересечения графика с осью у, изобразить схему знаков функции,

иhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifзобразить схему монотонности функции, выписать промежутки знакопостоянства функции, выписать промежутки монотонности функции, выписать промежутки нужного знака

3. Анализ результатов, собеседование

Решение квадратных неравенств

Алгоритм решения

  1. Преобразовать неравенство к виду ах2+ bх+с>0 или ах2+ bх+с<0

  2. Перейти к квадратичной функции

  3. Найти нули квадратичной функции

  4. Построить схематично параболу, учитывая направление ветвей

  5. С помощью параболы определить знаки на полученных промежутках

  6. Пhello_html_m24326f7b.gifо знаку неравенства выбрать нужный промежуток и записать ответ


hello_html_m12d3fa46.gif

Пример. Решить неравенство (х+2)2-3х 6

  1. Преобразуем неравенство к виду ах2+ bх+с0. Для этого раскроем скобки, перенесем слагаемые в левую часть и приведем подобные слагаемые:

х2+4х+4-3х 6,

х2+4х+4-3х-6 0,

х2+х-2 0

  1. Перейдем к квадратичной функции: f(x)= х2+х-2, f(x)0.

  2. Найдем нули квадратичной функции: f(x)=0, х2+х-2=0.

4) Построим схематично параболу, учитывая, что ее ветви направлены вверх:







Получим х1=1, х2=-2
  1. Определим знаки на полученных промежутках:

hello_html_20559888.gifhello_html_m1a8aa965.gif

+

+

-


х

х

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m2c9573e9.gif

-2

-2

1

1




  1. Учитывая знак неравенства, выберем промежуток, где f(x)0:

f(x)0 при х(-; -2][1;+ )

Ответ: (-; -2][1;+ )



a>0,D>0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m4c7905bd.gif

+

+

-








a>0, D=0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m48e6f854.gif

+

+


a>0, D<0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m117a8235.gif

+


a<0, D>0

hello_html_m409ca764.gif

+



hello_html_m2c9573e9.gif

-

-





a<0, D=0

hello_html_m2c9573e9.gif

-

-

hello_html_m409ca764.gif

a

-

<0, D<0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m409ca764.gif


Решение квадратных неравенств

Практические задания

Δ №1-3, №4-6, №7


1. Какие из чисел -2; 0; 1 являются решением квадратного неравенства:

х2+6х+8<0, х2+х>0, 3х2-х+2>0?


2. Постройте схематично параболу у= х2+6х+9. Используя эскиз графика решите неравенства: х2+6х+9>0, х2+6х+9<0, х2+6х+90, х2+6х+90


3. Решите неравенство:

а) х2-16<0, х2-36>0, х2+5>0, х2+1<0

б) х2+7х<0, х2+3х>0, х2+hello_html_m25de9899.gifх>0, х2-4.2х<0

в) х2-3х-40>0, 3х2+5х-2<0, х2+12х+40>0, -4х2+12х+9<0, х2-5х-50<0, 9х2+6х+1>0


4. Найдите множество решений неравенства:

1) х2<5, 2) 0,8х2>x, 3) (x-0.5)(x+1.2)0, 4) x(x-8)>(2x-1)2,

5) 3a(a-2)+1>(a-1)2, 6) hello_html_6710dc46.gif, 7) hello_html_6fdd69e3.gif

5. Найдите целые решения неравенства:

х2+5х0, -х2+4>0, 3x20, х2+7<0



6. При каких значениях х имеет смысл выражение:

hello_html_258fdda2.gif, hello_html_44b09995.gif, hello_html_m30681b5f.gif


7. Составьте квадратное неравенство решением которого является:

а) [-2;2] б) (0;3) в) (-;2)(5;+) г) д) R





Контрольные вопросы:

  1. Почему при решении квадратного неравенства в правой его части должен быть ноль?

  2. Как можно упростить неравенство -0,5х2+х-3,1<0 , прежде чем его решать?

  3. Почему при решении неравенства х2+6х(х-1)<0 надо раскрывать скобки, а при решении неравенства (х-6)(2-3х)>0 скобки раскрывать не нужно?

  4. Почему неравенство вида aх2+bх<0 всегда имеет решения?

  5. В каком случае квадратное неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

  6. В каком случае решением квадратного неравенства является одно число? Приведите примеры.


Решение квадратных неравенств

З1 Изобразив схематично график функции решите неравенства:

1) hello_html_m18a8026f.gif, hello_html_394c6100.gif, hello_html_22d8331f.gif

2) hello_html_4a9ba39b.gif, hello_html_3d75f298.gif, hello_html_m2068d934.gif

Выполните самостоятельно:

Δ № 547, 548 № 549 №569




З2 Ответьте на вопросы:

  1. Почему при решении квадратного неравенства в правой его части должен быть ноль?

  2. Как можно упростить неравенство -0,5х2+х-3,1<0 , прежде чем его решать?

  3. Почему при решении неравенства х2+6х(х-1)<0 надо раскрывать скобки, а при решении неравенства (х-6)(2-3х)>0 скобки раскрывать не нужно?

  4. Почему неравенство вида aх2+bх<0 всегда имеет решения?

  5. В каком случае квадратное неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

  6. В каком случае решением квадратного неравенства является одно число? Приведите примеры.


Выполните самостоятельно:

Δ № 546, 552 № 545 №564




З3 На какие вопросы можно ответить, решив неравенство hello_html_m227cc1d0.gif

  1. При каких значениях х квадратный трехчлен hello_html_49a9df5c.gifпринимает отрицательные значения?

  2. При каких значениях аргумента график функции hello_html_583b2fe6.gifрасположен выше оси х?

  3. При каких значениях переменной выражение hello_html_m1307926c.gif имеет смысл?

  4. При каких значениях переменной значение выражения hello_html_m340c0d2e.gif не меньше значений выражения hello_html_6766dd5.gif?


Выполните самостоятельно:

Δ №550, 559 № 560, 566 №571, 563






Проверочная работа


Решение квадратных неравенств

Проверочная работа

1. Решите неравенства:

hello_html_5acf4f1d.gifhello_html_56da9f9b.gif

hello_html_m48bef1cd.gifhello_html_15c83039.gif

hello_html_f6c3fe2.gifhello_html_m5dbb92d5.gif

2. Найдите значения х, при которых квадратный трехчлен

hello_html_4771f7a2.gifhello_html_2c5936d8.gif

принимает положительные значения принимает отрицательные значения

3. Найдите целые решения неравенства:

hello_html_7b835f0d.gifhello_html_m11538bf.gif

4. Докажите, что при любом значении а выражение

hello_html_20ebb98d.gif отрицательно hello_html_6f9bbce7.gif положительно

5. Найдите решения неравенства?

hello_html_ef07e1.gifhello_html_m285b2274.gif

6. Составьте квадратное неравенство, решением которого является указанное множество чисел:

а)(-3;0) а)(-;0][3;+)

б)R б)


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Краткое описание документа:

й материал предназначен для изучения метода решения квадратных неравенств. Содержит:

* теоретический материал по данному вопросу;

* интруктивную карту по решению неравенств второй степени;

* разноуровневые задания для развития навыка решения квадратных неравентсв;

* контрольные вопросы для закрепления темы;

* проверочную работу для итогового контроля.

Материал может быть использован учителем как конспект соответствующего урока, при обощающем повторении, в работе по ликвидации пробелов в знаниях учащихся, а также самими учащимися для самостоятельного изучения данного вопроса.

Автор
Дата добавления 09.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров372
Номер материала ДВ-046504
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх