Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Рабочий материал по теме "Решение квадратных неравенств" (8 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Рабочий материал по теме "Решение квадратных неравенств" (8 класс)

библиотека
материалов

Решение квадратных неравенств

Теоретическая часть

  • Неравенство вида ах2+ bх+с>0 называется квадратным (могут быть использованы знаки < , , )


  • Решить неравенство ах2+ bх+с>0 - это значит найти такие значения переменной х, при которых квадратный трехчлен ах2+ bх+с принимает положительные значения. Аналогичен смысл решения неравенств ах2+ bх+с<0, ах2+ bх+с0, ах2+ bх+с0.


  • Значения квадратного трехчлена совпадают со значениями соответствующей квадратичной функции.


  • Квадратные неравенства удобно решать на основе свойств соответствующей квадратичной функции f(x)= ах2+ bх+с.


Значит, при решении неравенства ах2+ bх+с>0 надо ответить на вопрос: «при каких значениях аргумента функция у= ах2+ bх+с. принимает положительные значения» , а при решении неравенства ах2+ bх+с<0 надо найти такие х, при которых соответствующая функция принимает отрицательные значения.


1. Вспомните свойства квадратичной функции, восполняя пробелы в тексте (устно)

У любой функции, в том числе и квадратичной, каждому значению аргумента х будет соответствовать определенное значение функции - у. Точки (х;у) образуют график функции. Графиком квадратичной функции является …., ветви которой будут направлены вверх, если …, и вниз, если ….

Квадратичная функция (как и любая другая) может сменить свой знак при переходе через точку, называемую ….. Таких точек у квадратичной функции может быть …., Это зависит от ….

Еhello_html_m20f2a7c4.gifhello_html_m20f2a7c4.gifсли при решении уравнения ах2+ bх+с=0 получаем два корня, то схема знаков квадратичной функции выглядит так: или так , это зависит от …

Еhello_html_m20f2a7c4.gifhello_html_m20f2a7c4.gifсли же дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то оно имеет …… и график квадратичной функции пересекает ось абсцисс … раз (точнее – касается оси х) и схема знаков функции выглядит так , если ветви направлены …. или , если ветви параболы направлены….. Парабола может и не пересекать ось х, если… . Тогда значения функции всегда положительны, если ветви параболы направлены … и значения функции всегда отрицательны, если ….

Поэтому, чтобы решить квадратное неравенство достаточно схему знаков соответствующей квадратичной функции


2. Составьте алгоритм решения квадратного неравенства, выбрав нужные для этого действия, указав порядок выполнения (карандашом)

Нhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifайти ООФ, найти ОЗФ, найти координаты вершины параболы, определить направление ветвей параболы, записать ось симметрии параболы, найти нули функции, найти точки пересечения графика с осью у, изобразить схему знаков функции,

иhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifhello_html_m66005642.gifзобразить схему монотонности функции, выписать промежутки знакопостоянства функции, выписать промежутки монотонности функции, выписать промежутки нужного знака

3. Анализ результатов, собеседование

Решение квадратных неравенств

Алгоритм решения

  1. Преобразовать неравенство к виду ах2+ bх+с>0 или ах2+ bх+с<0

  2. Перейти к квадратичной функции

  3. Найти нули квадратичной функции

  4. Построить схематично параболу, учитывая направление ветвей

  5. С помощью параболы определить знаки на полученных промежутках

  6. Пhello_html_m24326f7b.gifо знаку неравенства выбрать нужный промежуток и записать ответ


hello_html_m12d3fa46.gif

Пример. Решить неравенство (х+2)2-3х 6

  1. Преобразуем неравенство к виду ах2+ bх+с0. Для этого раскроем скобки, перенесем слагаемые в левую часть и приведем подобные слагаемые:

х2+4х+4-3х 6,

х2+4х+4-3х-6 0,

х2+х-2 0

  1. Перейдем к квадратичной функции: f(x)= х2+х-2, f(x)0.

  2. Найдем нули квадратичной функции: f(x)=0, х2+х-2=0.

4) Построим схематично параболу, учитывая, что ее ветви направлены вверх:







Получим х1=1, х2=-2
  1. Определим знаки на полученных промежутках:

hello_html_20559888.gifhello_html_m1a8aa965.gif

+

+

-


х

х

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m2c9573e9.gif

-2

-2

1

1




  1. Учитывая знак неравенства, выберем промежуток, где f(x)0:

f(x)0 при х(-; -2][1;+ )

Ответ: (-; -2][1;+ )



a>0,D>0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m4c7905bd.gif

+

+

-








a>0, D=0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m48e6f854.gif

+

+


a>0, D<0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m117a8235.gif

+


a<0, D>0

hello_html_m409ca764.gif

+



hello_html_m2c9573e9.gif

-

-





a<0, D=0

hello_html_m2c9573e9.gif

-

-

hello_html_m409ca764.gif

a

-

<0, D<0

hello_html_m2c9573e9.gifhello_html_m409ca764.gif


Решение квадратных неравенств

Практические задания

Δ №1-3, №4-6, №7


1. Какие из чисел -2; 0; 1 являются решением квадратного неравенства:

х2+6х+8<0, х2+х>0, 3х2-х+2>0?


2. Постройте схематично параболу у= х2+6х+9. Используя эскиз графика решите неравенства: х2+6х+9>0, х2+6х+9<0, х2+6х+90, х2+6х+90


3. Решите неравенство:

а) х2-16<0, х2-36>0, х2+5>0, х2+1<0

б) х2+7х<0, х2+3х>0, х2+hello_html_m25de9899.gifх>0, х2-4.2х<0

в) х2-3х-40>0, 3х2+5х-2<0, х2+12х+40>0, -4х2+12х+9<0, х2-5х-50<0, 9х2+6х+1>0


4. Найдите множество решений неравенства:

1) х2<5, 2) 0,8х2>x, 3) (x-0.5)(x+1.2)0, 4) x(x-8)>(2x-1)2,

5) 3a(a-2)+1>(a-1)2, 6) hello_html_6710dc46.gif, 7) hello_html_6fdd69e3.gif

5. Найдите целые решения неравенства:

х2+5х0, -х2+4>0, 3x20, х2+7<0



6. При каких значениях х имеет смысл выражение:

hello_html_258fdda2.gif, hello_html_44b09995.gif, hello_html_m30681b5f.gif


7. Составьте квадратное неравенство решением которого является:

а) [-2;2] б) (0;3) в) (-;2)(5;+) г) д) R





Контрольные вопросы:

  1. Почему при решении квадратного неравенства в правой его части должен быть ноль?

  2. Как можно упростить неравенство -0,5х2+х-3,1<0 , прежде чем его решать?

  3. Почему при решении неравенства х2+6х(х-1)<0 надо раскрывать скобки, а при решении неравенства (х-6)(2-3х)>0 скобки раскрывать не нужно?

  4. Почему неравенство вида aх2+bх<0 всегда имеет решения?

  5. В каком случае квадратное неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

  6. В каком случае решением квадратного неравенства является одно число? Приведите примеры.


Решение квадратных неравенств

З1 Изобразив схематично график функции решите неравенства:

1) hello_html_m18a8026f.gif, hello_html_394c6100.gif, hello_html_22d8331f.gif

2) hello_html_4a9ba39b.gif, hello_html_3d75f298.gif, hello_html_m2068d934.gif

Выполните самостоятельно:

Δ № 547, 548 № 549 №569




З2 Ответьте на вопросы:

  1. Почему при решении квадратного неравенства в правой его части должен быть ноль?

  2. Как можно упростить неравенство -0,5х2+х-3,1<0 , прежде чем его решать?

  3. Почему при решении неравенства х2+6х(х-1)<0 надо раскрывать скобки, а при решении неравенства (х-6)(2-3х)>0 скобки раскрывать не нужно?

  4. Почему неравенство вида aх2+bх<0 всегда имеет решения?

  5. В каком случае квадратное неравенство не имеет решений? Приведите примеры.

  6. В каком случае решением квадратного неравенства является одно число? Приведите примеры.


Выполните самостоятельно:

Δ № 546, 552 № 545 №564




З3 На какие вопросы можно ответить, решив неравенство hello_html_m227cc1d0.gif

  1. При каких значениях х квадратный трехчлен hello_html_49a9df5c.gifпринимает отрицательные значения?

  2. При каких значениях аргумента график функции hello_html_583b2fe6.gifрасположен выше оси х?

  3. При каких значениях переменной выражение hello_html_m1307926c.gif имеет смысл?

  4. При каких значениях переменной значение выражения hello_html_m340c0d2e.gif не меньше значений выражения hello_html_6766dd5.gif?


Выполните самостоятельно:

Δ №550, 559 № 560, 566 №571, 563






Проверочная работа


Решение квадратных неравенств

Проверочная работа

1. Решите неравенства:

hello_html_5acf4f1d.gifhello_html_56da9f9b.gif

hello_html_m48bef1cd.gifhello_html_15c83039.gif

hello_html_f6c3fe2.gifhello_html_m5dbb92d5.gif

2. Найдите значения х, при которых квадратный трехчлен

hello_html_4771f7a2.gifhello_html_2c5936d8.gif

принимает положительные значения принимает отрицательные значения

3. Найдите целые решения неравенства:

hello_html_7b835f0d.gifhello_html_m11538bf.gif

4. Докажите, что при любом значении а выражение

hello_html_20ebb98d.gif отрицательно hello_html_6f9bbce7.gif положительно

5. Найдите решения неравенства?

hello_html_ef07e1.gifhello_html_m285b2274.gif

6. Составьте квадратное неравенство, решением которого является указанное множество чисел:

а)(-3;0) а)(-;0][3;+)

б)R б)



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

й материал предназначен для изучения метода решения квадратных неравенств. Содержит:

* теоретический материал по данному вопросу;

* интруктивную карту по решению неравенств второй степени;

* разноуровневые задания для развития навыка решения квадратных неравентсв;

* контрольные вопросы для закрепления темы;

* проверочную работу для итогового контроля.

Материал может быть использован учителем как конспект соответствующего урока, при обощающем повторении, в работе по ликвидации пробелов в знаниях учащихся, а также самими учащимися для самостоятельного изучения данного вопроса.

Автор
Дата добавления 09.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров439
Номер материала ДВ-046504
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх